材料力学课件第六章 弯曲应力

1
EI z 抗弯刚度
My E Iz y
横截面应力分布:
第三章 扭
转
结 论:
中性轴过横截面的形心
Sz 0
中性层的曲率公式:
M EI z
1
正应力计算公式:
y My E Iz
应用条件:
max p
第三章 扭
转
附录 一、静矩
1. 静矩和形心
4 2 2
①
y
h
d③
③
h
b
（3）计算组合图形的形心惯性矩
bh3 πd 4 πh 2 d 2 I y I y1 I y2 I y3 12 64 64
第三章 扭 转
例题7
试计算T形截面的形心主惯性矩。
50
z
解：（1）确定形心及形心主惯性轴。
A1 z1 A2 z2 zc A1 A2 300 30 0 50 270 150 300 30 50 270 90(mm )
z
Sz y d A ,
A
Sy z d A
A
y yC C zC
dA z
分别为图形对z 轴和 y 轴的静矩。
二、形心
O y
由平面图形的形心公式:
yC

A
yd A A , zC
zd A
A
A
Sz yc , A
轴过形心
zC
Sy A
S z yC A ,
第三章 扭
S y zC A
yc
270
C2 C C1
300
yC y
30
I yC I yc I yc 2.05 108 (mm 4 )
I zC
1 1 3 30 300 270 503 7.03 107 (mm 4 ) 12 12
转
第三章 扭
§6.3
横力弯曲时的正应力
y My E Iz
x
§6.2
纯弯曲时的正应力
正应力在横截面上如何分布？
dA

变形几何关系
从三方面来考虑：
物理关系
静力学关系
第三章 扭
转
1.变形几何关系
第三章 扭
转
梁在纯弯曲时的 平面假设： 梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于
变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。
第三章 扭 转
中性层：梁中纤维即不伸
x
Ai zi A1 z1 A2 z2 2000 150 2800 70 zC 103.3mm Ai A1 A2 2000 2800
由于 z 轴是对称轴
第三章 扭 转
yC 0
例题3 解：
求图示红色部分的面积对 y 轴的静矩。
h a h S y b a a 2 4 2
O
第三章 扭
转
例题6
求图示图形对其形心轴 y 的惯性矩。
h
4 4 4 4
d
h
h
d③
h
b
第三章 扭
转
解：（1）将图形分割为三部分 （2）计算三部分对形心主惯
h 4 4 4 4
z
性轴的形心惯性矩。
h
d
②
C
bh 3 I y1 12
I y 2 I y3 πd h πd 64 4 4 πd 4 πh 2 d 2 64 64
n
n
（5）工程中常把惯性矩表示为平面图形的面积与某一长度平
方的乘积,
即
2 z 2 y
I z Ai
iz
或
Iz A Iy A
I y Ai
iy
其中iy、iz分别为平面图形对z 轴和 y 轴的 惯性半径。
第三章 扭 转
二、极惯性矩
z
定义：图形面积对某点的二次矩
y dA z
Ip 2 d A
同理可得：
y
h 2
b
hb Iz 12
第三章 扭
3
转
例题5
求图示圆平面对y 、z 的惯性矩。
z
解：由上一章可知
πd 4 2 Ip d A A 32 I p Iy Iz 又
d
C y
Iy Iz
πd 4 Iy Iz 64
第三章 扭 转
附录 一、惯性积
3. 惯性积
z y
2 A
O
2
yc dA 2a yc dA a
2 A A
A dA
I zc a 2 A
第三章 扭 转
z
zC y b yC dA C a z
平行移轴公式：
I y I yC b A
2
zC yC y
I z I zC a A
2
I yz I yC zC abA
y

3. 静力学关系
M
z
x dA
N dA0
A
(1)
y
z
y
M y z d A 0
A
(2)
M z y d A M
A
E E
(3)
y

第三章 扭
转
y N x d A E dA 0 A ρ A
yd A 0
A
Sz 0
惯性积 Iy0z0=0时，则坐标轴 y0、z0称为主惯性轴。
因此，具有一个或两个对称轴的正交坐标轴一定是平面
图形的主惯性轴。
(2)主惯性矩 平面图形对任一主惯性轴的惯性矩称为
主惯性矩。
第三章 扭
转
(3)形心主惯性轴
过形心的主惯性轴称为形心主惯性轴。
可以证明:任意平面图形必定存在一对相互垂直的形心主惯性轴。
b h2 2 a 2 4
h 2
a
y
h 2
b
第三章 扭
转
附录 一、惯性矩
2.
惯性矩和惯性半径
z y
定义：图形面积对某轴的二次矩
dA z
I z y2 d A , I y z2 d A
A A
工程中常把惯性矩表示为平面图形的
面积与某一长度平方的乘积, 即 或
O y
由对称性可知:
270
C2 C C1
300
yC y
30
yc 0
第三章 扭 转
（2）利用平行移轴公式，分别计算两部分对 yc 的惯性矩。
1 I 300 303 300 30 90 2 12 7.36 107 (mm 4 )
yc
z
50
1 I 50 2703 50 270 60 2 12 1.31108 (mm 4 )
别校核:
t max t , c max c
第三章 扭
转
P
例题1 两矩形截面梁，尺寸和材料的许 用应力均相等，但放置如图(a)、 (b)。按弯曲正应力强度条件确定 两者许可载荷之比 P1／P2＝？
A l
B
P1
P2
z
h
z
b
(a)
第三章 扭 转
(b)
解：
P
max 1
M max 1 Wz1
Pl 12 bh 6
A l
B
max 2
M max 2 Wz 2
P2l 2 hb 6
P1
P2
z
h
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
第三章 扭 转
b
(a)
(b)
例题 2 已知：P=10kN，a =1.2m [σ]=10MPa，h/b =2 试：选择梁的截面尺寸。
第三章 扭 转
强度计算
max
M max M max ymax Iz W
b
Iz W 抗弯截面系数 ymax
bh3
h
z
bh 2 12 W h 6 2
d
z
W
d 4
d
64
d 3
32
2
第三章 扭
转
强度条件为：
max
M max W
对于脆性材料,由于其抗拉和抗压强度不等,则应分
2 A
O
a
y
I y c z c y c z c dA
A
y y c a , z zc b
第三章 扭
转
z
I zc yc dA
2 A
z y b
zC yC dA C
y y c a , z zc b
I z y dA
2 A
zC yC a z y
( yc a ) dA
长也不缩短的那层。
中性轴：中性层与横截面 的交线。
： 中性层的曲率半径。
第三章 扭
转
距中性层为 y 处的纤维 bb的 线应变：
( y) d d d

第三章 扭
y

转
2. 物理关系
再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。
E E
第三章 扭 转
Ay
i 1 i
n
i
A
,
zc
Sy A

Az
i 1
n
i i
A
例题2
100
y
求所示图形的形心位置
解：建立图示坐标系，并将图形 分成两部分。
①
C
20
②
2
140
A1 20 100 2000mm
z1 150mm z2 70mm
zC
A2 20 140 2800mm 2
20
(4)形心主惯性矩 平面图形对任一形心主惯性轴的惯性矩称为形
心主惯性矩。
第三章 扭
转
附录
4. 平行移轴公式
z zC y b yC dA
2
I y z dA
A
I z y 2 dA
A
I y z y zdA
A
zC yC
C
I y c z c dA
2 A
I z c y c dA
y2 z h 1 2 b
yC C zC O y
b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
三、组合图形的静矩和形心
第6章
弯曲应力
※ 梁的纯弯曲 ※ 纯弯曲时的正应力 ※ 横力弯曲时的正应力
※ 弯曲切应力
※ 提高弯曲强度的措施
第三章 扭 转
§6.1
梁的纯弯曲
a A C
横截面上同时存在弯矩和剪力
P
P
D
a B
横力弯曲
横截面上只有弯矩并无剪力
Q
P
纯弯曲
P
x
M
Pa
f1 ( M ) f 2 (Q)
第三章 扭 转
O
y
dy
y
hb 2 4 b1 z y2 2 4h 2 b S y dA h 2 (1 2 ) dy A2 0 2 b 15
y2 2hb A dA h(1 2 )dy A 0 b 3
b
第三章 扭
转
z
Sy 2 Sz 3 yC b, zC h, A 8 A 5
y M y z d A z E dA 0 A A
M z y d A y E dA
A A
中性轴过形心
I yz 0
E
y



A
y 2 dA M
令:
I z y 2dA
A
M EI z
1
第三章 扭
转
M EI z
定义：图形对一对相互垂直的轴的矩
dA z
I yz yz d A
A
如果所选的正交坐标轴中，有一个坐 标轴是对称轴，则平面图形对该对坐 标系的惯性积必等于零。
O dA
z dA
y
I yz yz d A 0
A
O
y
第三章 扭
转Байду номын сангаас
二、几个主要定义
(1)主惯性轴 当平面图形对某一对正交坐标轴y0、z0的
转
对该轴静矩为零
例 题 1
计算由抛物线、y 轴和 z 轴所围成的
平面图形对 y 轴和 z 轴的静矩，并确
定图形的形心坐标。
z
y2 z h 1 2 b
解：取微分面积如图示
S z ydA yzdy
A 0
b
b
0
y y h(1 2 )dy b
2
强度计算
上式是在平面假设 和 单向受力假设 的基础上推导的，实验
证明在纯弯曲情况下这是正确的。
对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使 横截面发生翘曲，不再保持为平面。

弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨度大于梁的横截面高
度5倍(即l>5h)时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小 ，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可 以应用于横力弯曲的梁中。
1、组合图形对某一轴的静矩等于组成它的各部分图形对同一
轴静矩的代数和，即：
S z Ai yi ,
i 1
n
S y Ai zi
i 1
n
其中：Ai， yi， zi 分别代表第 i 个图形的面积和形心坐标，
n为分割成的简单图形的个数。 2、组合图形的形心坐标
Sz yc A
第三章 扭 转
A

又
y z
2 2
2
O
y
I p 2 d A ( y2 z2 ) d A I z I y
A A
第三章 扭
转
例题4
求图示矩形对对称轴y 、z 的惯性矩。
z
解：取微分面积如图示
I y z dA
2 A
2 h 2
h
z bdz
2
h 2
dz z
bh 3 12
I z Ai , I y Ai
2 z
2 y
iy
Iy A
, iz
Iz A
其中iy、iz 分别为平面图形对 z 轴和 y 轴的惯性半径。
第三章 扭 转
（4）组合图形对某轴的惯性矩等于各组成图形对同一轴的 惯性矩之和:
I z I zi , I y I yi
i 1 i 1