高中数学排列组合 平均分组(分配问题)
排列组合中的分组分配
• 练习：9件不同的玩具，按下列分配方案各有几
•
• • • • 种分法? ①甲得2件，乙得3件，丙得4件，有多少种分法 ? ②一人得2件，一人得3件，一人得4件，有多少 种分法? ③每人3件，有多少种分法? ④平均分成三堆，有多少种分法? ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种
9
C C C C C C C C C C C 2174
3 3 3 9 2 1 3 3 5 8 1 2 3 3 5 7 0 3 3 3 5 6
排列组合中的分组分配问题
ab ac ad bc bd cd
cd bd bc
ad ac ab
引旧育新
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？ 2 C4 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 2 C2 2 A2
3
这两个在分组时只能算一个
记住：
平均分成的组，不管 它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分 组后要除以m!，其中m
2 每组中选正、副组长都有 A5 种方法．
5 5 C10 C5 2 2 A A 种． 5 5 50400 2 A2
由分步计数原理共有
二：均分有分配对象的问题
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人，有多少种不同的分法？ 方法：先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· （1）均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
例7 六本不同的书分给甲、乙、丙3人，1人1本，1人2 本,1人3本有多少种分法?
C61C52C33A33
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C CCC 4 A4
排列组合中的分组问题
2 4 2 2
2 2 C4 C2 x 2 A2
6人平均分为三组有多少种不同的结果？ 处理方法相同
C
3 9
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
混合分组也称为局部平均分组，对于平均 分组部分一定要注意按照平均分组处理。
排列组合中的分组问题
分组问题的类型
一、平均分组
二、不平均分组 三、混合分组
所谓“平均分组”是指将所有元素分成所有 组元素个数相等的组。
例如. 将4个人分成两组，每组都是2人，有多少种不同的分法？ 由分步计数原理： 2 第1步： C4 2 第2 步: C 2 2 2 共计: C4 C2 6 现在我们利用列举法列出6种可能：假设4人分别为A、B、C、D。 1 2 3 4 5 6 (A、B),（A、C）,（A、D）,（B、C）,（B、D）,（C、D） （C、D),（B、D）,（B、C）,（A、D）,（A、C）,（A、B） 实际只有3种
2 2 2 C6 C4 C2 3 A3
对于n个元素，平均分为m组时，我们一定要在分组后要除以
A m!
m m
• 所谓“非均匀分组”是指将所有元素分成 元素个数彼此不相等的组。 例如. 将6人分别以1人、2人、3人分成三 组，有多少种不同的分组方法？
3 2 C C C 4 3
1 6
• 所谓“混合分组”是指即有平均分组又有 不平均分组。 例如，将9人分成人数为3人、2人 、2人、2 四组，有多少种分配方法？ 方法相类似利用分步计数原理
排列组合平均分组不平均分组问题
1
2
3
4
C 42 C 21C11 A22
A44
C
41C
31C
2 2
A22
A44
C
2 4
A44
144
例14、将六本不同的书分给三人， 一人1本，一人1本，另一人4本，有 多少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
2 4
6
例6、将六本不同的书分成三堆，一 堆1本，一堆1本，另一堆4本，有多 少种不同的分法？
1
2
3
4
5
6
C
4 6
C
21C11
A22
C
61C
51C
4 4
A22
15
三、完全不平均分组
例7、将三本不同的书分成两堆，一 堆1本，一堆2本，有多少种不同的 分法？
1
2
3
C
31C
2 2
C
2 3
C
1 1
排列组合平均分组问题
一、完全平均分组
例1、将两本不同的书分成两堆，有 多少种不同的分法？
1
2
例2、将三本不同的书分成三堆，有 多少种不同的分法？
1
2
3
例3、将四本不同的书分成两堆，每 堆两本，有多少种不同的分法？
1
2
3
4
12 34 13 24 14 23 34 12 24 13 23 14
C42C
2 2
A22
3
例4、将六本不同的书分成三堆，每 堆两本，有多少种不同的分法？
排列组合中分组分配问题
分组分配问题一．基本内容1.案例分析：将4个不同的元素分为2份,每份2个,请问有多少不同的分法?解析：若按照2422C C 6=的方法进行分组,不妨设4个元素分别为,,,a b c d ,则会出现以下情况：①,ab cd ;②,cd ab ;③,ac bd ;④,bd ac ;⑤,ad bc ;⑥,bc ad .显然，用组合数公式计算出来的结果重复了三次，最终的分组结果应以为：242222C C 3A =2.基本原理2.1分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：将n 个不同元素分成m 组，且每组的元素个数分别为m m m m m ,,,,321 ，记m m mm m m n mm m n mm n mn C C C C N )()(121321211-+++-+--⋅⋅⋅⋅= .（1）非均匀不编号分组：n 个不同元素分成m 组，每组元素数目均不相等，且不考虑各组间的顺序，其分法种数为N .（2）均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号（即无序）的m 组，每组元素数目相等，其分法种数为m mA N .（3）部分均匀不编号分组：将n 个不同元素分成不编号的m 组，其中有r 组元素个数相等，其分法种数为r rA N ，如果再有k 组均匀分组，应再除以kk A .2.2分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．3.相同元素的分组问题：挡板法及其应用：对于n 个相同元素分成m 组(m n <),且每组至少一个元素的分组问题,可采用“隔板法”解决:n 个元素之间形成1n -个空格,只需放入1m -个隔板即可,故不同的分配方案有11C m n --种，其等效于不定方程的非负整数解个数：不定方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解.（1）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的正整数解为11--n r C 个.（2）方程r x x x n =+⋅⋅⋅++21的非负整数解为11--+n r n C 个.二．例题分析例1．某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至少有1名学生且至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有（）A ．48B ．54C ．60D ．72【解析】将5名大学生分为1-2-2三组，即第一组1个人，第二组2个人，第三组2个人，共有2215312215C C C A ∙∙=种方法；由于甲不去看冰球比赛，故甲所在的组只有2种选择，剩下的2组任意选，所以由2224A =种方法；按照分步乘法原理，共有41560⨯=种方法；故选：C.例2．甲､乙､丙､丁､戊5名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有,,A B C 三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区.则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在A 小区的概率为（）A ．193243B ．100243C ．23D ．59【解析】首先求所有可能情况，5个人去3个地方，共有53243=种情况，再计算5个人去3个地方，且每个地方至少有一个人去，5人被分为3,1,1或2,2,1当5人被分为3,1,1时，情况数为3353C A 60⨯=;当5人被分为2,2,1时，情况数为12354322C C A 90A ⨯⨯=；所以共有6090150+=.由于所求甲不去A ，情况数较多，反向思考，求甲去A 的情况数，最后用总数减即可，当5人被分为3,1,1时，且甲去A ，甲若为1，则3242C A 8⨯=，甲若为3，则2242C A 12⨯=共计81220+=种，当5人被分为2,2,1时，且甲去A ，甲若为1，则224222C A 6A ⨯=，甲若为2，则112432C C A 24⨯⨯=，共计62430+=种，所以甲不在A 小区的概率为()1502030100243243-+=，故选：B.例3．安排5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排1名大学生，则大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为（）A ．15B ．310C ．325D ．625【解析】5名大学生分三组，每组至少一人，有两种情形，分别为2,2,1人或3,1,1人；当分为3,1,1人时，有3353C A 60=种实习方案，当分为2,2,1人时，有22353322C C A 90A ⋅=种实习方案，即共有6090150+=种实习方案，其中甲、乙到同一家企业实习的情况有13233333C A C A 36+=种，故大学生甲、乙到同一家企业实习的概率为36615025=，故选：D.例4．学校要安排2名班主任，3名科任老师共五人在本校以及另外两所学校去监考，要求在本校监考的老师必须是班主任，且每个学校都有人去，则有（）种不同的分配方案．A ．18B ．20C ．28D ．34【解析】根据本校监考人数分为：本校1人监考，另外4人分配给两所学校，有2，2和3，1两种分配方案，所以总数为：28)(2233142222222412=+∙A C C A A C C C ；本校2人监考，另外3人分配给两所学校，有2，1一种分配方案，所以总数为：()212223226C C C A =，根据分类计数原理，所有分配方案总数为28+6=34；故选：D.例5．现有甲､乙､丙､丁､戊五位同学，分别带着A ､B ､C ､D ､E 五个不同的礼物参加“抽盲盒”学游戏，先将五个礼物分别放入五个相同的盒子里，每位同学再分别随机抽取一个盒子，恰有一位同学拿到自己礼物的概率为（）A ．45B ．12C ．47D ．38【解析】先从五人中抽取一人，恰好拿到自己的礼物，有15C 种情况，接下来的四人分为两种情况，一种是两两一对，两个人都拿到对方的礼物，有224222C C A 种情况，另一种是四个人都拿到另外一个人的礼物，不是两两一对，都拿到对方的情况，由3211C C 种情况，综上：共有22111425322245C C C C C A ⎛⎫⋅+= ⎪⎝⎭种情况，而五人抽五个礼物总数为55120A =种情况，故恰有一位同学拿到自己礼物的概率为4531208=.故选：D 例6．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面深化新时代教师队伍建设改革的意见》精神，加强义务教育教师队伍管理，推动义务教育优质均衡发展，安徽省全面实施中小学教师“县管校聘”管理改革，支持建设城乡学校共同体.2022年暑期某市教体局计划安排市区学校的6名骨干教师去4所乡镇学校工作一年，每所学校至少安排1人，则不同安排方案的总数为（）A ．2640B ．1440C ．2160D ．1560【解析】将6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422C C A 1560A C ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.故选：D.例7．为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．【解析】①若2位女老师和1名男老师分到一个学校有1333C A =18种情况；②若2位女老师分在一个学校，则3名男教师分为2组，再分到3所学校，有2333C A =18种情况，故两名女教师分到同一所学校的情况种数为181836+=种．故答案为：36．例8．2020年是脱贫攻坚决战决胜之年，某市为早日实现目标，现将甲､乙､丙､丁4名干部派遣到,,A B C 三个贫困县扶贫，要求每个贫困县至少分到一人，则甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为___________.【解析】每个贫困县至少分到一人，4名干部分到三个县有211342132236C C C A A =种方案，其中甲､乙2名干部被分到同一个贫困县的方案有336A =种所以甲､乙2名干部不被分到同一个贫困县的概率为3665366P -==，故答案为：56例9．为弘扬学生志愿服务精神，某学校开展了形式多样的志愿者活动．现需安排5名学生，分别到3个地点（敬老院、幼儿园和交警大队）进行服务，要求每个地点至少安排1名学生，则有_______________________种不同的安排方案（用数字作答）．【解析】先将5人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，再将三组分配给三个地点，由分步乘法计数原理可知，不同的安排方案数为2233535322150C C C A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭种.故答案为：150.例10．6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．【解析】按题目要求可按4、1、1或3、2、1或2、2、2分配，若按4、1、1分配，丙丁必须在4人里，需要从其余剩下的4人里选2人，有24C 种，去掉选中甲乙的1种情况，有(24C －1)种选法，安排去3个学校，共有(24C －1)33A ＝30种；若按3、2、1分配有两类，丙丁为2，甲乙中选1人作1，分配到3个学校有1323C A ，丙丁在3人组中，从剩余4人中取1人，组成3人组，剩余3人取2人组成2人组，剩余1人构成1人组，去掉甲乙构成2人组的情况2种，共有12432C C -种取法，安排去3个学校有(12432C C -)33A 种，两类共有1323C A ＋(12432C C -)33A ＝72种；若按2、2、2分配有2·33A ＝12种，∴共有30＋72＋12＝114种分配方案．下面是挡板法及其应用，仅做了解即可.例11．不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为（）A ．55B ．60C ．91D ．540解析：不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位（不包含两端）中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.例12．方程123412x x x x +++=的正整数解共有（）组A ．165B ．120C ．38D ．35解析：如图，将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个空隙中任选三个插入三块隔板，把球分成四组，每一种分法所得球的数目依次是1x 、2x 、3x 、4x ，显然满足123412x x x x +++=，故()1234,,,x x x x 是方程123412x x x x +++=的一组解，反之，方程123412x x x x +++=的每一组解都对应着一种在12个球中插入隔板的方式，故方程123412x x x x +++=的正整数解的数目为：31111109165321C ⨯⨯==⨯⨯，故选：A.。
高中数学排列组合-平均分组(分配问题)概要
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61 3C62 3C63 C64 126 种分法.
C61C52C33
注意：非均分问题无分配对象只要按比例分完 再用乘法原理作积
六、非均分组分配对象确定问题
例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人有 多少种不同的分法？
C61C52C33
七、非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给3人，1人1本，1人2本,1人3本 有多少种分法
C61C52C33 A33
例2：6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、丙三 个人，有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的三组看成是三个元素在三个位 置上作排列
C
2 6
C
2 4
C
2 2
A
3 3
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
=90
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
注意：非均分组有分配对象要把组数当作元素 个数再作排列。
五、当堂训练
练习1
1：12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法？
C132
C
39 C 36
C
3 3
A
4 4
练习2
2：10本不同的书
（1）按2∶2∶2∶4分成四
排列组合中的分组分配问题例解
排列组合中的分组分配问题例解在排列、组合的学习中分组分配问题经常遇到，本文谈一谈几种常见问题。
实例：6本不同的书，按照以下要求处理，各有几种分法(1) 分成三堆，一堆一本，一堆两本，一堆三本； (2) 平均分成三堆；(3) 分成三堆，一堆四本，另两堆各一本； (4) 分成四堆，两堆各一本，另两堆各两本；(5) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得一本，乙得两本，丙得三本；(6) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得一本，一人得两本，一人得三本； (7) 平均分给甲、乙、丙三个人；(8) 分给甲、乙、丙三个人 ，甲得四本，乙、丙各得一本； (9) 分给甲、乙、丙三个人 ，一人得四本，另两人各得一本； (10) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，甲、乙各得一本，丙、丁各得两本； (11) 分给甲、乙、丙、丁四个人 ，两人各得一本，另两人各得两本；分析：在排列、组合中分组分配问题一般按照“先分组再分配”的原则，但不排除其他途径。
在分组时要区分是均分还是非均分或部分均分，在分配时要区分是定向分配还是非定向分配。
（1）非均匀分组,分步产生每一组不会造成重复:123653C C C(2) 均匀分组,分步产生每一组会造成重复,应消去步骤造成的重复计数：22264233C C C A（3）部分均匀分组，应消去均匀分组时步骤上造成的重复计数：41162122C C C A（4）同（3）：112265422222C C C C A A（5）非均匀定向分配，等同于非均匀分组：123653C C C 亦可理解为甲、乙、丙依次选择。
（6）非均匀不定向分配，分组后再分配：12336533C C C A （7）均匀分配，分组后再分配：2223642333C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:222642C C C（8）部分非均匀定向分配，均匀部分要分配：4112621222C C C A A 亦可理解为甲、乙、丙依次选择:411621 C C C(9)部分非均匀不定向分配，分组后再分配：4113 621232C C CA A（10）同（8）：:1122226542222222C C C CA AA A亦可理解为甲、乙、丙依次选择:11226542 C C C C（11）同（9）11224 654222422C C C CA A A小结：（1）分组时应注意消去均匀部分的重复计数。
6、排列组合问题之分组分配问题(两个五个方面)
排列组合问题之分组分配问题（一）（五个方面）一、非均匀分组（分步组合法）“非均匀分组”是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组。
例1、7人参加义务劳动，按下列方法分组有多少种不同的分法？①分成3组，分别为1人、2人、4人；②选出5个人分成2组，一组2人，另一组3人。
解：①先选出1人，有17C 种，再由剩下的6人选出2人，有26C 种，最后由剩下的4人为一组，有44C 种。
由分步计数原理得分组方法共有124764105C C C =（种）。
②可选分同步。
先从7人中选出2人，有27C 种，再由剩下的5人中选出3人，有35C 种，分组方法共有2375210C C =（种）。
也可先选后分。
先选出5人，再分为两组，由分步计数原理得分组方法共有523753210C C C =（种）。
二、均匀分组（去除重复法）“均匀分组”是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组。
㈠全部均匀分组（去除重复法）例2、7人参加义务劳动，选出6个人，分成2组，每组都是3人，有多少种不同的分法？解：可选分同步。
先选3人为一组，有37C 种；再选3人为另一组，有34C 种。
又有2组都是3人，每22A 种分法只能算一种，所以不同的分法共有33742270C C A =（种）。
也可先选后分。
不同的分法共有3366372270C C C A ⋅=（种）。
㈡部分均匀分组（去除重复法）例3、10个不同零件分成4堆，每堆分别有2、2、2、4个，有多少种不同的分法？解：分成2、2、2、4个元素的4堆，分别有210C 、28C 、26C 、44C 种，又有3堆都是2个元素，每33A 种分法只能算一种，所以不同的分组方法共有222410864333150C C C C A ⋅=（种）。
【小结：不论是全部均匀分组，还是部分均匀分组，如果有m 个组的元素是均匀的，都有mm A 种顺序不同的分法只能算一种分法。
】 三、编号分组㈠非均匀编号分组（分步先组合后排列法）例4、7人参加义务劳动，选出2人一组、3人一组，轮流挖土、运土，有多少种分组方法？解：分组方法共有232752420C C A =（种）。
排列组合中的分组分配问题
如果先跨2个台阶还剩3个台阶3种方法再上去，5+3=8种。 登上6个台阶，… … 8+5=13种。 登上7个台阶，… … 13+8=21种。 … … … 21+13=34种 … … … 34+21=55种。 登上10个台阶， 55+34=89种。
分析：
（1）矩形 C82C52 280；即： （7 6 5 4 3 2 1）（ 4 3 2 1） 280
若求正方形个数，则： ①只由一个小正方形组成的有7 * 4； ②由2 * 2小正方形组成的有6 *3； ③由3*3小正方形组成的有5* 2 ； ④ 由4 * 4小正方形组成的有4 *1。 故7 * 4＋6 *3＋5* 2＋4 *1 60 。
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
引旧育新:
1 把abcd分成平均两组共 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
ad
bc
bc
ad
这两个在分组时只能算一个
bd
ac
cd
ab
2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m表示组数。
5、
1. 平面上有10个点，其中有且只有4点共线，
现从中任取2点，共可以组成多少条直线？
C120 - C42 +1
1[1].2排列组合中的分组分配问题(1)
![1[1].2排列组合中的分组分配问题(1)](https://img.taocdn.com/s3/m/ba627735580216fc700afdf6.png)
（（（789）））………两每每人 人 人各各 至1得 少本两1，本本。另；人C624CA本3432C；22 gCA6133CA2512CC6424Cg4A2C3322
C61C52C33 gA33
9
i)2、2、2 :
C62C42C22 A33
gA33；ii）1、2、3 :
C61C52C33
gA33;
1、有分配对象和无分配对象; 2、分配对象确定和不确定.
X
说明： 提出分组与分配问题，澄清模糊概念： n 个不同元素按照某些条件分配给 k 个不同的对象，称为
分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将 n 个不同 元素按照某些条件分成 k 组，称为分组问题.分组问题有不平 均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。分组问题和 分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是 不区分的；而后者即使 2 组元素个数相同，但因对象不同， 仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
引旧育新:
1 把abcd分成平均两组共 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
ad
bc
bc
ad
这两个在分组时只能算一个
bd
ac
cd
ab
2平均分成的组，不管它们的顺序如何，都是一种情况， 所以分组后要除以A(m,m)，即m!，其中m表示组数。
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可
分组分配问题
结论
1、平均分组问题：
n个不同元素平均分成m组，每组k个元
素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm,
2、平均分配问题：
n个不同元素平均分给m个不同对象，
每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
应用：
1、某校高二年级有 6 个班级，现从外地转入 4 名学生，
二、非平均分组与分配问题
1、非平均分组问题
m m
（2）先分成3组，分别有1、2、3本书，再分配各三个 人，则有
2、非平均分配问题
包括两种：
（1）定向的非平均分配与非平均分组的分法种数一样
（2）非定向的非平均分配的分法种数
三、部分平均分组与分配问题
1
应用：
A3 3
应用：
四、分组分配与概率的综合问题
结论:n个不同元素平均分成m组，每组k
个元素，则分组的方法为:
Cnk
Cnk
Ck
k n2k
Ckk
Amm
2、平均分配问题：n个不同元素平均分给m个不同对
象，每个对象k个元素，则分配的方法:
结论：n个不同元素平均分给m个不同对 象，每个对象k个元素，则分配的方法为:
CnkCnkkCnk2k Ckk
要安排到该年级的 2 个班里且每班安排 2 名，则不
同的安排方案有多少种？
C 2C 2 42
A2
A2
6
2
2、6 名护士，3 名医生，分成三组，到甲、乙、丙 三村去下乡，每组两名护士，1 名医生，共有多少 种不同的分法？
C2C2C2 C1C1C1
Hale Waihona Puke 6423 21C62C42C22 A33
排列组合题型全归纳 专题14 分组与分配问题(原卷版)
专题14分组与分配问题【方法技巧与总结】分组问题（分成几堆，无序）有等分、不等分、部分等分之别.一般地，平均分成n堆（组）必须除以n n A；A.如果有m堆（组）元素个数相同，必须除以m m【典型例题】例1．（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲、乙、丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲、乙、丙三人中，一人4本，另两人各1本，有180种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，共有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例2．（2023春·安徽宿州·高二安徽省泗县第一中学校考开学考试）将6名实习教师分配到3所学校进行培调，每名实习教师只能分配到1个学校，每个学校至少分配1名实习教师，则不同的分配方案共有（）A．240种B．360种C．450种D．540种例3．（2023春·湖南长沙·高二长沙一中校考开学考试）某社区为了做好疫情防控工作，安排6名志愿者进行核酸检测，需要完成队伍组织､信息录人､采集核酸三项任务，每项任务至少安排一人但至多三人，则不同的安排方法有（）A．450种B．72种C．90种D．360种例4．（2023·陕西铜川·校考一模）将4名新招聘的工人分配到A，B两个生产车间，每个车间至少安排1名工人，则不同安排方案有（）A．36种B．14种C．22种D．8种例5．（2023秋·山西长治·高二长治市上党区第一中学校校考期末）某班开展阅读比赛，老师选择了5本不同的课外书，要求每位同学在3天内阅读完这5本课外书，每天至少选一本阅读，选择的课外书当天需阅读完，则不同的选择方式有（）A．540种B．300种C．210种D．150种例6．（2023秋·山东潍坊·高二统考期末）某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊、己六位同学参加A，B，C三个企业的调研工作，每个企业去2人，且甲去B企业，乙不去C企业，则不同的派遣方案共有（）A．42种B．30种C．24种D．18种例7．（2023春·江苏南京·高三南京市宁海中学校考阶段练习）将5名学生志愿者分配到成语大赛、诗词大会、青春歌会、爱心义卖4个项目参加志愿活动，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A．60种B．120种C．240种D．480种例8．（2023·重庆·统考一模）2022年8月某市组织应急处置山火救援行动，现从组织好的5支志愿团队中任选1支救援物资接收点服务，另外4支志愿团队分配给“传送物资、砍隔离带、收捡垃圾”三个不同项目，每支志愿团队只能分配到1个项目，且每个项目至少分配1个志愿团队，则不同的分配方案种数为（）A．36B．81C．120D．180例9．（2023秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考期末）若六位老师前去某三位学生家中辅导，每一位学生至少有一位老师辅导，每一位老师都要前去辅导且仅能辅导一位同学，由于就近考虑，甲老师不去辅导同学1，则有（）种安排方法A．335B．100C．360D．340例10．（2023春·湖南株洲·高三株洲二中校考阶段练习）将5名女老师和5名男老师分配到三个社区，每名老师只去一个社区，若每个社区都必须要有女老师，且有男老师的社区至少有2名女老师，则不同的分配方法有（）A．1880种B．2940种C．3740种D．5640种例11．（2023春·江苏南京·高二校考开学考试）有5人参加某会议，现将参会人安排到酒店住宿，要在a、b、c三家酒店选择一家，且每家酒店至少有一个参会人入住，则这样的安排方法共有（）A．96种B．124种C．150种D．130种例12．（2023秋·河南焦作·高二温县第一高级中学校考期末）某市新冠疫情封闭管理期间，为了更好的保障社区居民的日常生活，选派6名志愿者到甲、乙、丙三个社区进行服务，每人只能去一个地方，每地至少派一人，则不同的选派方案共有（）A．540种B．180种C．360种D．630种例13．（2023·全国·高三专题练习）佳木斯市第一中学校为了做好疫情防控工作，组织了6名教师组成志愿服务小组，分配到东门、西门、中门3个楼门进行志愿服务.由于中门学生出入量较大，要求中门志愿者人数不少于另两个门志愿者人数，若每个楼门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个楼门进行服务，则不同的分配方法种数为（）A．240B．180C．690D．150A B C三个不同的小区参加新冠疫情例14．（2023·全国·高三专题练习）甲、乙、丙、丁、戊五名志愿者去,,防控志愿服务，每个小区至少去1人，每人只去1个小区，且甲、乙去同一个小区，则不同的安排方法有（）A．28种B．32种C．36种D．42种例15．（2023·全国·高三专题练习）某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（）A．72B．108C．216D．432例16．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是（）A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有15种分法；B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有90种分法；D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有1080种分法；例17．（多选题）（2023秋·辽宁葫芦岛·高三葫芦岛第一高级中学校考期末）九本书籍分给三位同学，下列说法正确的是（）A．九本书内容完全一样，每人至少一本有28种不同的分法B．九本书内容都不一样，分给三位同学有9319683=种不同的分法C．九本书内容完全一样，分给三位同学有55种不同的分法D．九本书内容都不一样，甲同学至少一本，乙同学至少二本有63729=种不同的分法例18．（2023秋·甘肃庆阳·高二校考期末）某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5名医生支援，5名医生要分配到3个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生．则有_________种不同的分配方法．例19．（2023·高三课时练习）一支医疗小队由3名医生和6名护士组成，将他们全部分配到三家医院，使每家医院分到医生1名和护士1至3名，其中护士甲和护士乙必须分到同一家医院，则不同的分配方法有_________种.例20．（2023秋·上海闵行·高三上海市七宝中学校考期末）8支足球队进行三轮淘汰赛角逐出冠军，赛前进行随机抽签来确定赛程表，赛程安排方式如下：确定第一轮4场比赛的分组，再确定第一轮的4支胜者队伍在第二轮2场比赛的分组，最后确定第二轮的2支胜者队伍进行第三轮比赛.注意：进行比赛的两支队伍不计顺序，每轮各场比赛不计顺序，赛程表赛前一次性完成制定(与具体每场比赛的胜者是谁无关).则赛程表有___________种.例21．（2023·全国·高三专题练习）现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种.例22．（2023·高二课时练习）把5名志愿者分到3所学校去服务，每个学校至少去一名志愿者，则不同的分派方法有______种．例23．（2023·全国·高三专题练习）某校有5名大学生打算前往观看冰球，速滑，花滑三场比赛，每场比赛至多2名学生前往，则甲同学不去观看冰球比赛的方案种数有__种．例24．（2023·全国·高三专题练习）从5双不同尺码的鞋子中任取4只，使其中至少有2只能配成一双，则有______种不同的取法．例25．（2023秋·江苏扬州·高三仪征中学校联考期末）为促进援疆教育事业的发展，某省重点高中选派了3名男教师和2名女教师去支援边疆工作，分配到3所学校，每所学校至少一人，每人只去一所学校，则两名女教师分到同一所学校的情况种数为______．例26．（2023·全国·高三专题练习）A、B、C、D四人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛，若A和B不参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是______.（用数字作答）.例27．（2023·全国·高三专题练习）安徽省地形具有平原、台地（岗地）、丘陵、山地等类型，其中丘陵地区占了很大比重，因此山地较多，著名的山也有很多．某校开设了研学旅行课程，该校有6个班级分别选择黄山、九华山、天柱山中的一座山作为研学旅行的地点，每座山至少有一个班级选择，则恰好有2个班级选择黄山的方案有__________种．例28．（2023春·江苏盐城·高二校考阶段练习）有6本不同的书按下列分配方式分配，问共有多少种不同的分配方法？（1）分成1本、2本、3本三组；（2）分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；（3）分成每组都是2本的三组；（4）分给甲、乙、丙三人，每个人2本．例29．（2023·全国·高三专题练习）按下列要求分配6本不同的书,各有多少种不同的分配方式?（1）分成三份,1份1本,1份2本,1份3本;（2）甲、乙、丙三人中,一人得1本,一人得2本,一人得3本;（3）平均分成三份,每份2本;（4）平均分配给甲、乙、丙三人,每人2本;（5）分成三份,1份4本,另外两份每份1本;（6）甲、乙、丙三人中,一人得4本,另外两人每人得1本;（7）甲得1本,乙得1本,丙得4本.例30．（2023春·甘肃兰州·高二校考开学考试）某校高三年级有6个班，现要从中选出10人组成高三女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少要选1人参加．求这10个名额有多少种不同的分配方法．例31．（2023·全国·高三专题练习）将4个编号为1、2、3、4的不同小球全部放入4个编号为1、2、3、4的4个不同盒子中.求：(1)每个盒至少一个球，有多少种不同的放法？(2)恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？(3)每盒放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，有多少种不同的放法？(4)把已知中4个不同的小球换成四个完全相同的小球（无编号），其余条件不变，恰有一个空盒，有多少种不同的放法？例32．（2023·全国·高二专题练习）设有编号为1、2、3、4、5的5个球和编号为1、2、3、4、5的5个盒子，现将这5个球放入5个盒子内．(1)只有1个盒子空着，共有多少种投放方法？(2)没有1个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？(3)每个盒子内投放1球，并且至少有2个球的编号与盒子编号相同，有多少种投放方法？。
高中数学排列组合中的分组分配问题
排列组合中的分组分配问题分组分配问题是排列组合教学中的一个重点和难点。
某些排列组合问题看似非分配问题，实际上可运用分配问题的方法来解决。
下面就排列组合中的分组分配问题，谈谈自己在教学中的体会和做法。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m一、提出分组与分配问题，澄清模糊概念n个不同元素按照某些条件分配给k个不同得对象，称为分配问题，分定向分配和不定向分配两种问题；将n个不同元素按照某些条件分成k组，称为分组问题.分组问题有不平均分组、平均分组、和部分平均分组三种情况。
分组问题和分配问题是有区别的，前者组与组之间只要元素个数相同是不区分的；而后者即使2组元素个数相同，但因对象不同，仍然是可区分的.对于后者必须先分组后排列。
二、基本的分组问题例1 六本不同的书，分为三组，求在下列条件下各有多少种不同的分配方法？(1)每组两本.(2)一组一本，一组二本，一组三本.(3)一组四本，另外两组各一本.分析：(1)分组与顺序无关，是组合问题。
分组数是624222C C C=90(种) ，这90种分组实际上重复了6次。
我们不妨把六本不同的书写上1、2、3、4、5、6六个号码，考察以下两种分法：(1，2)(3，4)(5，6)与(3，4)(1，2)(5，6)，由于书是均匀分组的，三组的本数一样，又与顺序无关，所以这两种分法是同一种分法。
以上的分组方法实际上加入了组的顺序，因此还应取消分组的顺序，即除以组数的全排列数33A，所以分法是22264233C C CA=15(种)。
(2)先分组，方法是615233C C C，那么还要不要除以33A？我们发现，由于每组的书的本数是不一样的，因此不会出现相同的分法，即共有615233C C C=60(种) 分法。
(3)分组方法是642111C C C=30(种) ，那么其中有没有重复的分法呢？我们发现，其中两组的书的本数都是一本，因此这两组有了顺序，而与四本书的那一组，由于书的本数不一样，不可能重复。
排列组合中的分组分配
(1)
C
2 6
C
2 4
C
2 2
(2)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
(3)
C
1 6
C
2 5
C
3 3
A
3 3
(4)
C
4 6
C
1 2
C
1 1
(5)
排列组合中的分组分配问题
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
引旧育新
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法？
ab
cd
ac
bd
ad
bc
bc
ad
bd
ac
cd
ab
C
2 4
C
2 2
A
2 2
3
这两个在分组时只能算一个
记住：
平均分成的组，不管 它们的顺序如何，都 是一种情况，所以分 组后要除以m!，其中m
A
3 3
C
2 6
C
2 4
C
2 2
三：部分均分无分配对象的问题
例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法
C64C21C11 A22
三：部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
排列组合中的分组分配
则不同分法为
C C C m1 n
m2 n m1
m3 n ( m1 m2 )
C mk mk
种．
如果 m1, m2 mk中有且仅有i个相等,则不同的分法为：
C C C m1
m2
m3
n
n m1
n ( m1 m2 )
Aii
C mk mk
种．
基础探究 一：均分无分配对象的问题
先分类，以集合A为基准，划左舷的3个人中，有以下几类情况：①A中有3人；②A 中有2人；C中有1人；③A中有1人，C中有2人；④C中有3人。
第①C类39，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在B,C中选3人， 有
C33C39 C32C15C38 C13C52C37 C30C35C36
种 ,以下类同
A33
三.多面手问题
例4 :有12名划船运动员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，其余5人既会划左舷 也会划右舷。现在要从这12名运动员中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛，有 多少种不同的选法？
分析：设集合A={只会划左舷的3个人}，B={只会划右舷的4个人}，C={既会划左舷又 会划右舷的5个人}
A33 种．
故由分步计数原理有
C92
C
3 7
C
4 4
A33
7560 种．
③每人3件，即各人分得数相同，不需排列．则有
C93
C63 A33
C33
A33
1680 种．
• 练习： 9件不同的玩具，按下列分配方案各有几种分法? • ④平均分成三堆，有多少种分法? • ⑤分为2、2、2、3四堆，有多少种分法?
高中数学排列组合-平均分组分配问题优选课堂.ppt
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
我们规定：Cn0 1.
简定易辅理导 1:
C C m
nm
n
n
1
c c c 性质2 m m m1
n1
n
n
证明:
Cmn
Cm1 n
n!
n!
m!(n m)! (m 1)![n (m 1)]!
n!(n m 1) n!m (n m 1 m)n!
所以分组后要除以Amm，即m!，其中m表示组数。
简易辅导
5
点拨提高
一、均分无分配对象的问题
例1：12本不同的书 （1）按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法？ （2）按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法？
(1)
C
142C
84C
4 4
A
3 3
12! 8! 1 5775
4!·8! 4!·4! 3!
解:（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班，
每班至少一个.由（1）可知共有 C62 种15分法
注：第一小题也可以先给每个班一个指标，
然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C61
3C62
3C63
C 4
简易6辅导
126
种分法. 18
C
2 4
C
2 2
=90
简易辅导
7
三、部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3：3：2：2：2分给A、B、C、D、E五 个人有多少种不同的分法？
方法：先分再排法。分成的组数看成元素的个数·
解：均分的五组看成是五个元素在五个位置上 作排列