2016年山西省普通高中学业水平考试数学试题
2016年山西省中考数学试卷(解析版)
2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6C．6D．﹣2．（3分）不等式组解集是（）A．x＞﹣5B．x＜3C．﹣5＜x＜3D．x＜53．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2＝﹣B．（3a2）3＝9a6C．5﹣3÷5﹣5＝D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y＝x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x+1）2﹣13B．y＝（x﹣5）2﹣3C．y＝（x﹣5）2﹣13D．y＝（x+1）2﹣39．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB＝12，∠C＝60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y＝（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“＝”或“＜”）13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中x＝﹣2．17．（7分）解方程：2（x﹣3）2＝x2﹣9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD ＝AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD＝AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB＝2，D为上一点，∠ABD＝45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg﹣5000kg （含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE ＝CA＝50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC＝13cm，AC＝10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．2016年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．【解答】解：∵+（﹣）＝0，∴﹣的相反数是：．故选：A．2．【解答】解：，解①得：x＞﹣5，解②得：x＜3，则不等式的解集是：﹣5＜x＜3．故选：C．3．【解答】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选：C．4．【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．故选：A．5．【解答】解：5500万＝5.5×107．故选：B．6．【解答】解：A、（﹣）2＝，故此选项错误；B、（3a2）3＝27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5＝25，故此选项错误；D、﹣＝2﹣5＝﹣3，正确；故选：D．7．【解答】解：设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，由题意得，故选：B．8．【解答】解：因为y＝x2﹣4x﹣4＝（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y＝x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y＝（x+1）2﹣3．故选：D．9．【解答】解：如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°，∵OA＝OF，∴∠A＝∠OF A＝60°，∴∠DFO＝120°，∴∠EOF＝360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO＝30°，（也可以根据∠EOF＝∠AOE﹣∠AOF 求解）的长＝＝π．故选：C．10．【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1在直角三角形DCF中，DF＝＝∴FG＝∴CG＝﹣1∴＝∴矩形DCGH为黄金矩形故选：D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．【解答】解：由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）12．【解答】解：∵在反比例函数y＝（m＜0）中，k＝m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1＝9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2＝13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）＝4n+1．故答案为：4n+1．14．【解答】解：列表得如下：∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．15．【解答】解：∵AB＝CD＝4，C为线段AB的中点，∴BC＝AC＝2，∴AD＝2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA＝∠EAB，BC＝GE＝2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB＝∠DAE，∴∠DAE＝∠HEA，∴HA＝HE，设GH＝x，则HA＝HE＝HG+GE＝2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴＝，即＝，解得：x＝3﹣，即HG＝3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0＝9﹣5﹣4+1＝1（2）x＝﹣2时，﹣＝﹣＝﹣＝＝＝217．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）＝0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）＝0，解得：x1＝3，x2＝9．18．【解答】解：（1）调查的总人数是18÷9%＝200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18＝60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是＝30%；喜欢机电维修的所占的百分比是＝13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%＝540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．19．【解答】（1）证明：如图2，在CB上截取CG＝AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA＝MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB＝MG，又∵MD⊥BC，∴BD＝GD，∴DC＝GC+GD＝AB+BD；（2）解：如图3，截取BF＝CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB＝AC，∠ABF＝∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF＝AD，∵AE⊥BD，∴FE＝DE，则CD+DE＝BE，∵∠ABD＝45°，∴BE＝＝，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．20．【解答】解：（1）方案A：函数表达式为y＝5.8x；方案B：函数表达式为y＝5x+2000；（2）由题意得：5.8x＜5x+2000，解得：x＜2500，则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（kg）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5＝3600（kg），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．21．【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG＝30°，在Rt△ACG中，CG＝AC sin30°＝50×＝25，∵GD＝50﹣30＝20，∴CD＝CG+GD＝25+20＝45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H＝30°，在Rt△CDH中，CH＝＝2CD＝90，∴EH＝EC+CH＝AB﹣BE﹣AC+CH＝300﹣50﹣50+90＝290，在Rt△EFH中，EF＝EH•tan30°＝290×＝，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．22．【解答】解：（1）如图2，由题意可得：∠1＝∠2，∠2＝∠3，∠1＝∠4，AC＝AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′＝AC，则∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAE＝∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′＝90°，又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA＝BC，∴CF＝AF＝AC＝×10＝5，在Rt△BCF中，BF＝＝＝12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°，∴△ACE∽△CBF，∴＝，即＝，解得：EC＝，∵AC＝AC′，AE⊥CC′，∴CC′＝2CE＝2×＝，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a＝C′C﹣13＝﹣13＝，②点C″在C′C的延长线上，a＝C′C+13＝+13＝，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC＝A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．23．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣3x﹣8，∵y＝x2﹣3x﹣8＝（x﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线x＝3，又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y＝kx，∵经过点D（6，﹣8），∴6k＝﹣8，∴k＝﹣，∴直线l的解析式为y＝﹣x，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3＝﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴x2﹣3x﹣8＝﹣4，∴x2﹣6x﹣8＝0，x＝3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP＝OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE＝＝5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则＝，∴OM＝OE＝5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y＝k1x﹣5，∴3k1﹣5＝﹣4，∴k1＝，∴直线ME解析式为y＝x﹣5，令y＝0，得x﹣5＝0，解得x＝15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴＝，即＝，∴m＝﹣，②如图2中，当QO＝QP时，△POQ是等腰三角形．∵当x＝0时，y＝x2﹣3x﹣8＝﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE＝＝5，∴OE＝CE，∴∠1＝∠2，∵QO＝QP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴CE∥PB，设直线CE交x轴于N，解析式为y＝k2x﹣8，∴3k2﹣8＝﹣4，∴k2＝，∴直线CE解析式为y＝x﹣8，令y＝0，得x﹣8＝0，∴x＝6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴＝，∴＝，∴m＝﹣．③OP＝PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP＝∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m＝﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．。
2016山西高考文科数学真题及答案
2016山西高考文科数学真题及答案注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合{1,3,5,7}A =，{|25}B x x =≤≤，则A B = （ ）。
（A ）{1,3}（B ）{3,5}（C ）{5,7}（D ）{1,7} 【参考答案】B【答案解析】集合A 与集合B 公共元素有3，5，故{}35A B ⋂=，选B 。
【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第一章《集合》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（２）设(12i)(i)a ++的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a=（ ）。
（A ）－3（B ）－2（C ）2（D ）3 【参考答案】A【答案解析】设i a a i a i )21(2))(21(++-=++，由已知，得a a 212+=-，解得3-=a ，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（3）为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，学.科.网余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （A ）13（B ）12（C ）13（D ）56【参考答案】A【答案解析】将4中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2种，故概率为31，选A. 【试题点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
（4）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c.已知a =，2c =，2cos 3A =，则b=（ ）。
2016年山西中考题及答案
弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB,的中点，
即CD=AB+BD.
下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程.
证明：如图2,在CB上截取CG=AB，连接MA,MB,
MC和MG.
5.（2016•山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫
星.据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千
米，这个数据用科学计数法可表示为（）
A.5.510B.5.510C.55 106D.0.5510
6.（2016•山西）下列运算正确的是（）
A.--2=-B.（3a2）3=9a6C.5-3亠5-5=丄
EF;以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线与
点G;作GH _AD，交AD的延长线于点H.则图中下列矩形 是黄金矩形的是（）
A.矩形ABFEB.矩形EFCDC.矩形EFGH
D.矩形DCGH
二、填空题（本大题共5个小题，每
小题3分，共15分）
11.（2016•山西）如图是利用网格
画出的太原市地铁1,2,3号线路部 “
AB的倾斜角为30，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底 座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FE_AB于点巳两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距 离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求 支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）
22.（2016•山西）（本题12分）综合与实践 问题情境
所用的时间为旦竺
x+600
再根据甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用 的时间相等列方程
解答：甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg所用的时 间相等，所以型0」观
【数学】2016年山西省数学中考真题(解析版)
2016年山西省中考真题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣2．（3分）不等式组解集是（）A．＞﹣5 B．＜3 C．﹣5＜＜3 D．＜53．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600g，甲搬运5000g 所用时间与乙搬运8000g所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少g货物，设甲每小时搬运g货物，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y=2﹣4﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（+1）2﹣13 B．y=（﹣5）2﹣3 C．y=（﹣5）2﹣13 D．y=（+1）2﹣3 9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中=﹣2．17．（7分）解方程：2（﹣3）2=2﹣9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE ⊥BD于点E，则△BDC的周长是．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000g﹣5000g（含2000g和5000g）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量（g）之间的函数表达式；（2）求购买量在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a2+b﹣8与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．A【解析】∵+（﹣）=0，∴﹣的相反数是：．故选A．2．C【解析】，解①得：＞﹣5，解②得：＜3，则不等式的解集是：﹣5＜＜3．故选C．3．C【解析】调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选C．4．A【解析】观察图形可知，该几何体的左视图是．故选A．5．B【解析】5500万=5.5×107．故选B．6．D【解析】A、（﹣）2=，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；故选D．7．B【解析】设甲搬运工每小时搬运千克，则乙搬运工每小时搬运（+600）千克，由题意得，故选B.8．D【解析】因为y=2﹣4﹣4=（﹣2）2﹣8，所以抛物线y=2﹣4﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（+1）2﹣3．故选D．9．C【解析】如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OF A=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故选C．10．D【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形故选D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3，0）【解析】由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）12．＞【解析】∵在反比例函数y=（m＜0）中，=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．4n+1【解析】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．故答案为：4n+1．14．【解析】列表得如下：1 2 31 1、1 1、2 1、32 2、1 2、2 2、33 3、1 3、2 3、3∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．15．3﹣【解析】∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=，则HA=HE=HG+GE=2+，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0=9﹣5﹣4+1=1（2）=﹣2时，﹣=﹣=﹣===217．解：方程变形得：2（﹣3）2﹣（+3）（﹣3）=0，分解因式得：（﹣3）（2﹣6﹣﹣3）=0，解得：1=3，2=9．18．解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．19．（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．20．解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8；方案B：函数表达式为y=5+2000；（2）由题意得：5.8＜5+2000，解得：＜2500，则当购买量的范围是2000≤＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（g）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（g），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．21．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=AC sin 30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH==2CD=90，∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH•tan 30°=290×=，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．22．解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′=90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．23．解：（1）∵抛物线y=a2+b﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y=2﹣3﹣8，∵y=2﹣3﹣8=（﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线=3，又∵抛物线与轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y=，∵经过点D（6，﹣8），∴6=﹣8，∴=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴2﹣3﹣8=﹣4，∴2﹣6﹣8=0，=3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交轴于点H．则=，∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y=1﹣5，∴31﹣5=﹣4，∴1=，∴直线ME解析式为y=﹣5，令y=0，得﹣5=0，解得=15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．∵当=0时，y=2﹣3﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交轴于N，解析式为y=2﹣8，∴32﹣8=﹣4，∴2=，∴直线CE解析式为y=﹣8，令y=0，得﹣8=0，∴=6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．③OP=PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．。
2016年山西省中考数学真题含答案解析
山西省2016年高中阶段教育学校招生统一考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.16-的相反数是( )A .16B .6-C .6D .16- 2.不等式组50,26x x +⎧⎨⎩＞＜的解集是( )A .5x -＞B .3x ＜C .53x -＜＜D .5x ＜ 3.以下问题不适合全面调查的是( )A .调查某班学生每周课前预习的时间B .调查某中学在职教师的身体健康状况C .调查全国中小学生课外阅读情况D .调查某校篮球队员的身高4.如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图,小正方形中的数字表示该位置小正方体的个数,则该几何体的左视图是( )ABC D5.我国计划在2020年左右发射火星探测卫星.据科学研究,火星距离地球的最近距离约为5500万千米,这个数据用科学记数法可表示为( ) A .65.510⨯千米 B .75.510⨯千米 C .65510⨯千米 D .80.5510⨯千米6.下列运算正确的是( )A .239()24-=-B .236(3)9a a =C .3515525--÷=D .85032-=-7.甲、乙两个搬运工搬运某种货物,已知乙比甲每小时多搬运600 kg ,甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用时间相等,求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物.设甲每小时搬运kg x 货物,则可列方程为( )A .50008000600x x =- B .50008000600x x =+ C .50008000600x x=+D .50008000600x x =- 8.将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位,再向上平移5个单位,得到抛物线的函数表达式为( )A .2(1)13y x =+-B .2(5)3y x =--C .2(5)13y x =--D .2(1)3y x =+-9.如图,在□ABCD 中,AB 为O e 的直径,O e 与DC 相切于点E ,与AD 相交于点F ,已知12AB =,60C ∠=o ,则»FE的长为( ) A .π3B .π2C .πD .2π10.宽与长的比是51-(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值,给我们以协调和匀称的美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ,分别取AD ,BC 的中点,,E F 连接EF ；以点F 为圆心,以FD 为半径画弧,交BC 的延长线与点G ；作GH AD ⊥,交AD 的延长线于点H .则图中下列矩形是黄金矩形的是( )A .矩形ABFEB .矩形EFCDC .矩形EFGHD .矩形DCGH第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分.把答案填写在题中的横线上)11.如图是利用网格画出的太原市地铁1,2,3号线路部分规划示意图.若建立适当的平面直角坐标系,表示双塔西街点的坐标为(0,)1-,表示桃园路的点的坐标为()1,0-,则表示太原火车站的点(正好在网格点上)的坐标是 .12.已知点1(1,)m y -,2(3,)m y -是反比例函数(0)my m x=＜图象上的两点,则1y 2y (填“＞”或“=”或“＜”).13.如图是一组有规律的图案,它们是由边长相同的小正方形组成,其中部分小正方形涂有阴影,依此规律,第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形(用含有n 的代数式表示).第1个 第2个 第3个14.如图是一个能自由转动的正六边形转盘,这个转盘被三条分割线分成形状相同,面积相等的三部分,且分别标有“1”“2”“3”三个数字,指针的位置固定不动.让转盘自由转动两次,当每次转盘停止后,记录指针指向的数(当指针指向分割线时,视其指向分割线左边的区域),则两次指针指向的数都是奇数的概率为 . 15.如图,已知点C 为线段AB 的中点,CD AB ⊥且4CD AB ==,连接AD ,BE AB ⊥,AE 是DAB ∠的平分线,与DC 相交于点F ,EH DC ⊥于点G ,交AD 于点H ,则HG 的长为 .三、解答题(本大题共8小题,共75分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分10分,每题5分) (1)计算：2101(3)()82(2)5----⨯+-；(2)先化简,再求值：222211x x xx x ---+,其中2x =-.17.(本小题满分7分) 解方程：222(3)9x x -=-.18.(本小题满分8分)每年5月的第二周为“职业教育活动周”,2016年山西省展开了以“弘扬工匠精神,打造技能强国”为主题的系列活动,活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动,相关职业技术人员进行了现场演示,活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计,绘制了统计图(均不完整).请解答以下问题：(1)补全条形统计图和扇形统计图；(2)若该校共有1800名学生,请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？(3)要从这些被调查的学生中,随机抽取一人进行访谈,那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 .________________ _____________19.(本小题满分7分)阿基米德折弦定理阿基米德(Archimedes,公元前287～公元212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al Biruni-(973年～1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al Biruni-译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理.阿基米德折弦定理：如图1,AB和BC是Oe的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC AB＞,M是¼ABC的中点,则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD AB BD=+.下面是运用“截长法”证明CD AB BD=+的部分证明过程.证明：如图2,在CB上截取CG ABMA MB MC和MG.∵M是=,连接,,¼=.ABC的中点,∴MA MC……任务：(1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分；(2)填空：如图(3),已知等边△ABC内接于Oe,AB= 2,D为»AC上一点,∠=o,AE BD45ABD⊥与点E,则△BDC的周长是.20.(本小题满分7分)山西省某苹果基地销售优质苹果,该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg (含2000kg 和5000kg )的客户有两种销售方案(客户只能选择其中一种方案)：方案A ：每千克5.8元,由基地免费送货. 方案B ：每千克5元,客户需支付运费2000元.(1)请分别写出按方案A ,方案B 购买这种苹果的应付款y (元)与购买量x (kg )之间的函数表达式；(2)求购买量x 在什么范围时,选用方案A 比方案B 付款少；(3)某水果批发商计划用20000元,选用这两种方案中的一种,购买尽可能多的这种苹果,请直接写出他应选择哪种方案.21.(本小题满分10分)太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点,已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业.如图是太阳能电池板支撑架的截面图,其中的粗线表示支撑角钢,太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同,均为300 cm ,AB 的倾斜角为30o ,50cm BE CA ==,支撑角钢,CD EF 与底座地基台面接触点分别为,,D F CD 垂直于地面,FE AB ⊥于点E .两个底座地基高度相同(即点,D F 到地面的垂直距离相同),均为30 cm ,点A 到地面的垂直距离为50 cm ,求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm (结果保留根号).22.(本小题满分12分) 综合与实践 问题情境在综合与实践课上,老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动.如图1,将一张菱形纸片ABCD (90BAD ∠o ＞)沿对角线AC 剪开,得到△ABC 和△ACD .图1图2图3图4操作发现(1)将图1中的△ACD 以A 为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使BAC α=∠,得到如图2所示的△'AC D ,分别延长BC 和C D '交于点E ,则四边形C ACE '的形状是 ；(2)创新小组将图1中的△ACD 以A 为旋转中心,按逆时针方向旋转角α,使2BAC α=∠,得到如图3所示的△'AC D ,连接DB ,C C ',得到四边形D C BC ',发现它是矩形.请你证明这个结论； 实践探究(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上,量得图3中13cm BC =,10cm AC =,然后提出一个问题：将△'AC D 沿着射线DB 方向平移cm a ,得到△''''A C D ,连接D B ',C C '',使四边形D C BC '''恰好为正方形,求a 的值.请你解答此问题；(4)请你参照以上操作,将图1中的△ACD 在同一平面内进行一次平移,得到△'''A C D ,在图4中画出平移后构造出的新图形,标明字母,说明平移及构图方法,写出你发现的结论,不必证明.23.(本小题满分14分) 探究与实践如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线28y ax bx =+-与x 轴交于,A B 两点,与y 轴交于点C ,直线l 经过坐标原点O ,与抛物线的一个交点为D ,与抛物线的对称轴交于点E ,连接CE ,已知点,A D 的坐标分别为2,0,6()(,8)--. (1)求抛物线的函数表达式,并分别求出点B 和点E 的坐标；(2)试探究抛物线上是否存在点F ,使FOE FCE △≌△,若存在,请直接写出点F 的坐标；若不存在,请说明理由；(3)若点P 是y 轴负半轴上的一个动点,设其坐标为(0,)m ,直线PB 与直线l 交于点Q .试探究：当m 为何值时,△OPQ 是等腰三角形.山西省2016年高中阶段教育学校招生统一考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】因为()0a a +-=，所以16-的相反数是16，故选A. 【提示】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案. 【考点】相反数 2.【答案】C【解析】解502 6 x x +>⎧⎨<⎩①②，由①得5x >-，由②得3x <，所以不等式组的解集是53x -<<，故选C.【提示】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 【考点】解一元一次不等式组 3.【答案】C【解析】A.调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查； B.调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查； C.调查全国中小学生课外阅读情况，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D.调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查.【提示】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查. 【考点】全面调查与抽样调查 4.【答案】A【解析】从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形，故选A. 【提示】根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定. 【考点】简单几何体的三视图 5.【答案】B【解析】将55 000 000用科学记数法表示为：75.510⨯，故选B.【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中11|0|a ≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数. 【考点】科学记数法表示较大的数 6.【答案】D 【解析】A.239()24-=，故A 错误； B.236(3)27a a =，故B 错误； C.3552353111555525555--÷=÷=⨯==，故C 错误；=- D.【提示】根据实数的运算可判断A ；根据幂的乘方可判断B ；根据同底数幂的除法可判断C ；根据实数的运算可判断D .【考点】实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法 7.【答案】B【解析】甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等，所以50008000600x x =+，故选B.【提示】设甲每小时搬运kg x 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x ， 根据题意乙每小时搬运的货物为600x +，乙搬运8 000 kg 所用的时间为8000600x +；再根据甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等列方程. 【考点】分式方程的应用 8.【答案】D【解析】将抛物线化为顶点式为：2(2)8y x =--，左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为2(1)3y x =+-.故选D.【提示】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移. 【考点】抛物线的平移 9.【答案】C 【解析】18023180609030EOF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1226r =÷=，∴»2π30π6π180180n r F x E===g g ，故选C. 【提示】如图连接OF ，OE ，由切线可知490∠=︒，故由平行可知390∠=︒；由OF OA =，且60C ∠=︒，所以160C ∠=∠=︒，所以OFA △为等边三角形，∴260∠=︒，从而可以得出»FE所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出.【考点】切线的性质，求弧长10.【答案】D【解析】(51)CG CF =-，2GH CF =， ∴(51)51CG CF GH --==， ∴矩形DCGH 是黄金矩形，故选D.【提示】由作图方法可知5DF CF =，所以(51)CG CF =-，且2GH CD CF ==，从而得出黄金矩形.【考点】黄金分割的识别第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】(3,0)【解析】根据双塔西街点的坐标为(0,1)-和桃园路的点的坐标为(0,1)-，可知大南门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标. 【提示】确定坐标原点是解题的关键. 【考点】坐标的确定 12.【答案】>【解析】在反比函数my x=中，0m <，10m -<，30m -<，在第四象限y 随着x 的增大而增大，且13m m ->-，所以12y y >.【提示】由反比函数0m <，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大，∵0m <，【解析】如图（1）由勾股定理可得DA ==；由AE 是DAB ∠的平分线可知12∠=∠；由CD AB ⊥，BE AB ⊥，EH DC ⊥可知四边形GEBC 为矩形， ∴HE AB ∥，∴23∠=∠， ∴13∠=∠，故EH HA =，设EH HA x ==，则2GH x =-，DH x =，∵HE AC ∥，∴DGH DCA △∽△，∴DH HGDA AC =22x -=， 解得55x =-，故55235HG EH EG =-=--=-.【提示】由勾股定理求出DA ；由平行得出12∠=∠，由角平分得出23∠=∠，从而得出13∠=∠，所以HE HA =.再利用DGH DCA △∽△即可求出HE ，从而求出HG.【考点】实数的运算，负指数幂，零次幂；分式的化简求值 17.【答案】13x =，29x =【解析】解法一：原方程可化为22(3)(3)(3)x x x -=+-，∴22(3)(3)(3)0x x x --+-=， ∴(3)[2(3)(3)]0x x x ---+=，∴(3)(-9)0x x -=，∴3090x x -=-=或，∴13x =，29x =. 解法二：原方程可化为212270x x -+=，这里1a =，12b =-，27c =， ∵224(12)4127360b ac -=--⨯⨯=>，∴1236126212x ±±==⨯，因此原方程的根为13x =，29x =.【提示】方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取3x -，利用公式法求解； 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解. 【考点】解一元二次方程 18.【答案】（1）见解析（2）该校对“工业设计”最感兴趣的学生约是540人 （3）0.13（或13%或13100） 【解析】（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示：（2）180030%540⨯=（人），∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人.（3）140%30%8%9%13%----=，∴正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率13%. 【提示】（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可；（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1 800乘以30%； （3）通过对扇形的观察可知.【考点】条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率 19.【答案】（1）证明：又∵A C ∠=∠， ∴MBA MGC △≌△， ∴MB MG =.又∵MD BC ⊥，BD GD =， ∴CD CG GD AB BD =+=+.（2）由（1）的证明方法可证BE ED DC =+，【提示】（1）已截取CG AB =，∴只需证明BD DG =；且MD BC ⊥，所以需证明MB MG =，故证明MBA MGC △≌△即可；（2）因为2AB =，故利用三角函数可得BE ；由阿基米德正弦定理可得BE DE DC =+，则BDC △周长BC CD BD BC DC DE BE =++=+++BC DC DE BE =+++（）BC BE BE =++2BC BE =+，然后代入计算可得答案.【提示】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从而求出GD ，继而求出CD ，连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF .当四边形BCC D '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上，2407113131313a C C ='-=-=； ②点C ''在边C C '的延长线上，24040913131313a C C ='+=+=.综上所述，a的值为7113或40913.（4）本小题答案不唯一.例：画出正确图形（如下图所示），平移及构图方法：将ACD△沿着射线CA方向平移，平移距离为12AC的长度，得到A C D''△，连接A B'，C D'，如图4.结论：四边形是平行四边形.【提示】（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明；（2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明；（3）利用平移的性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点C''在边C C'上和点C''在边C C'的延长线上时；（4）开放型题目，答对即可.【考点】几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，23.【答案】（1）抛物线的函数表达式为21382y x x=--，点B的坐标为(8,0)，点E的坐标为(3,4)-（2）抛物线上存在点F，使FOE FCE∆∆≌，点F的坐标为(317,4)--或(317,4)+-（3）当m的值为83-或323-时，OPQ∆是等腰三角形【解析】（1）∵抛物线28y ax bx=+-经过点(2,0)A-，(6,8)D-，∴428036688a ba b--=⎧⎨+-=-⎩，解得123ab⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线的函数表达式为21382y x x=--.∵22112538(3)222y x x x=--=--，∴抛物线的对称轴为直线3x=.又∵抛物线与x轴交于A，B两点，点A的坐标为(2,0)-，∴点B的坐标为(8,0).设直线l的函数表达式为y kx=，∵点(6,8)D-在直线l上∴68k=-，解得43k=-，当0x =时，2388y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为238y k x =-，∴2384k -=-，解得243k =， ∴CE 的函数表达式为483y x =-，令0y =，得4803x -=，∴6x =，∴点N 的坐标为(6,0). ∵CN PB ∥，∴OP OB =，∴8m -=，解得32m =-.解法二： 当0x =时，213882y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，∴点E 的坐标为(3,4)-， ∴22345OE =+=，223(84)5CE =+-=，∴OE CE =，∴12∠=∠， 设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况： ①当QO QP =时，OPQ △是等腰三角形. ∴13∠=∠，∴23∠=∠，∴CE PB ∥又∵HM y ∥轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴8EM CP m ==--， ∴4(8)4HM HE EM m m =+=+--=--，835BH =-=， ∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BHOP BO=∴458m m --=-，∴323m =- ②当OP OQ =时，OPQ △是等腰三角形． ∵HM y ∥轴，∴OPQ EMQ ~△△，∴EQ EMOQ OP=，∴EQ EM =， ∴5()5EM EQ OE OQ OE OP m m ==-=-=--=+，∴4(5)HM m =-+ ∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BH OP BO =，∴158m m --=-，∴83m =-.∴综上所述，当m 的值为83-或323-时，OPQ △是等腰三角形.【提示】（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式； 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标；点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令其横坐标为3x=，即可求出点E的坐标；=，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F （2）利用全等对应边相等，可知FO FC-，带入抛物线表达式，即可求出横坐标；的纵坐标为4（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解.【考点】求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成。
2016年山西省中考数学试卷含答案
2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）61-的相反数是（ ） A ．61 B ．－6 C ．6 D ．61- 2．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ ）A ．x >5B ．x <3C ．－5<x <3D ．x <5 3．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间;B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ）A ．6105.5⨯B ．7105.5⨯C ．61055⨯D ．81055.0⨯ 6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8=7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x x C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 8．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y9．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，︒=∠60C ，则FE 的长为（ ） A ．3πB ．2πC ．πD ．π2 10．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫 做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）A ．矩形ABFEB ．矩形EFCDC ．矩形EFGHD ．矩形DCGH 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，－1），表示桃园路的点的坐标为（－1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．12．（2016·山西）已知点（m －1，1y ），（m－3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y 2y （填“>”或“=”或“<”） 13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛---（2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =－2．17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC >AB ，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +B D ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ． ∵M 是ABC 的中点， ∴MA =MC ．．．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于O ，AB =2，D 为O 上 一点, ︒=∠45ABD ，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的长是 ．20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为︒30，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，AB FE ⊥于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆．操作发现（1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使 BAC ∠=α， 得到如图2所示的D C A '∆，分别延长BC 和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的 状是 ；……………（2分） （2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使BAC ∠=2α，得到如图3所示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2） 试探究抛物线上是否存在点F ，使F O E ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．2016年山西省中考数学试卷解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（2016·山西）61-的相反数是（ A ） A ．61 B ．－6 C ．6 D ．61- 考点：相反数解析：利用相反数和为0计算 解答：因为a +（－a ）=0 ∴61-的相反数是612．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ C ）A ．x >5B ．x <3C ．－5<x <3D ．x <5 考点： 解一元一次不等式组分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 解答： 解⎩⎨⎧<>+②①6205x x由①得x >－5 由②得x <3所以不等式组的解集是－5<x <33．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高 考点：全面调查与抽样调查．分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选 择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查． 解答：A ．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查； C ．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D ．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）考点：三视图分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形 故选A ．5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ） A ．6105.5⨯ B ．7105.5⨯ C ．61055⨯ D ．81055.0⨯ 考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：7105.5⨯．6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8=考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法， 分析：根据实数的运算可判断A ． 根据幂的乘方可判断B ． 根据同底数幂的除法可判断C ． 根据实数的运算可判断D解答：A ．49232=⎪⎭⎫⎝⎛-，故A 错误B ．632273a a =）（，故B 错误 C ．255551515155253535-3-==⨯=÷=÷，故C 错误． D ．23252250-8-=-=，故选D ．7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ） A ．x x 80006005000=- B ．60080005000+=x x C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 考点：分式方程的应用分析：设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x5000， 根据题意乙每小时搬运的货物为x +600，乙搬运8000kg 所用的时间为6008000+x再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程 解答：甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，所以60080005000+=x x 故选B ．8．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y 考点：抛物线的平移分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移解答：将抛物线化为顶点式为：8)2(2--=x y ，左平移3个单位，再向上平移5个单位 得到抛物线的表达式为()312-+=x y故选D ．9．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，︒=∠60C ，则FE 的长为（ C ） A ．3πB ．2πC ．πD ．π2考点：切线的性质，求弧长 分析：如图连接OF ，OE由切线可知︒=∠904，故由平行可知︒=∠903由OF =OA ，且︒=∠60C ，所以︒=∠=∠601C 所以△OFA 为等 边三角形∴︒=∠602，从而可以得出FE 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出 解答：︒=︒︒︒=∠∠︒=∠3090-60-1803-2-180EOF r =12÷2=6 ∴FE =πππ=⋅⋅=180630180r n 故选C10．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ） A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH考点：黄金分割的识别分析：由作图方法可知DF =5CF ，所以CG =CF )15(-，且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形解答：CG =CF )15(-，GH =2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形 选D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，－1），表示桃园路的点的坐标为（－1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） ．考点：坐标的确定分析：根据双塔西街点的坐标为（0，－1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标 （3，0）12．（2016·山西）已知点（m －1，1y ），（m －3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y > 2y （填“>”或“=”或“<”） 考点：反比函数的增减性分析：由反比函数m <0，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大 ∵m <0，∴m －1<0，m －3<0，且m －1>m －3，从而比较y 的大小 解答：在反比函数xmy =中，m <0，m －1<0，m －3<0，在第四象限y 随着x 的增大而增大 且m －1>m －3，所以1y > 2y13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有（4n +1）个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．考点：找规律分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n －1）=4n +1个 解答：（4n +1）14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 94 考点：树状图或列表求概率 分析：列表如图：解答：由表可知指针指向的数都是奇数的概率为 9415．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为）（或152525-3+-考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出DA ， 由平行得出21∠=∠，由角平分得出32∠=∠ 从而得出31∠=∠，所以HE =H A ． 再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE ， 从而求出HG1231 （1，1） （1，2） （1，3）2 （2，1） （2，2） （2，3） 3（3，1）（3，2）（3，3）解答：如图（1）由勾股定理可得 DA =52422222=+=+CD AC 由 AE 是DAB ∠的平分线可知21∠=∠由CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为矩 形，∴HE ∥AB ，∴32∠=∠ ∴31∠=∠ 故EH =HA 设EH =HA =x则GH =x －2，DH =x -52 ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA ∴AC HGDA DH =即2252-52-=x x 解得x =5-5 故HG =EH －EG =5-5－2=53-三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛---考点：实数的运算，负指数幂，零次幂分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果．解答：原=9－5－4+1 ……………………………（4分） =1． ……………………………（5分） （2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =－2． 考点：分式的化简求值分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算 解答：原式=1)1)(1()1(2+-+--x xx x x x ……………………………（2分）=112+-+x xx x ……………………………（3分） =1+x x……………………………（4分） 当x =－2时，原式=21221=+--=+x x ……………………（5分）17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（考点：解一元二次方程分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x －3，利用公式法求解 方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解 解答：解法一：原方程可化为)3)(3(322-+=-x x x ）（ ……………………………（1分）0)3)(3()3(22=-+--x x x ． ……………………………（2分） 0)]3()3(2)[3(=+---x x x ． ……………………………（3分） 0)9-)(3(=-x x ． ……………………………（4分） ∴ x －3=0或x －9=0． ……………………………（5分） ∴ 31=x ，92=x ． ……………………………（7分） 解法二： 原方程可化为027122=+-x x ……………………………（3分）这里a =1，b =－12，c =27． ∵0362714)12(422>=⨯⨯--=-ac b ∴2612123612±=⨯±=x ． ……………………………（5分） 因此原方程的根为 31=x ，92=x ． ……………………………（7分）18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以30%（3）由扇形统计图可知解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示（2）1800×30%=540（人）∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或10013）19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al －Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al －Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC >AB ，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +B D ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程． 证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ． ∵M 是ABC 的中点， ∴MA =MC ．．．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于O ，AB =2，D 为O 上一点， ︒=∠45ABD ，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC考点：圆的证明分析：（1）已截取CG=AB∴只需证明BD=DG且MD⊥BC，所以需证明MB=MG故证明△MBA≌△MGC即可（2）AB=2，利用三角函数可得BE=2由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE然后代入计算可得答案解答：（1）证明：又∵C∠，…………………（1分）A∠=∴△MBA≌△MG C．…………………（2分）∴MB=MG．…………………（3分）又∵MD⊥BC，∵BD=G D．…………………（4分）∴CD=CG+GD=AB+B D．…………………（5分）（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一点，︒ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC=∠4520．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．考点：一次函数的应用分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可（2）先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为x=y8.5方案B应付款y与购买量x的函数关系为2000y5+=x然后分段求出哪种方案付款少即可（3）令y=20000，分别代入A方案和B方案的函数关系式中，求出x，比大小．解答：（1）方案A：函数表达式为x=．………………………（1分）y8.5方案B：函数表达式为20005+y………………………（2分）=x（2）由题意，得2000<xx．………………………（3分）8.5+5解不等式，得x<2500 ………………………（4分）∴当购买量x的取值范围为2500≤x时，选用方案A2000<比方案B付款少．………………………（5分）（3）他应选择方案B．………………………（7分）21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为︒30，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，ABFE⊥于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）考点：三角函数的应用分析：过点A作CDAG⊥，垂足为G，利用三角函数求出CG，从而求出GD，继而求出C D．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF解答：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ．…………（1分）则︒=∠30CAG ，在Rt ACG ∆中，25215030sin =⨯=︒⋅=AC CG ．…………（2分） 由题意，得203050=-=GD ．…………（3分）452025=+=+=∴GD CG CD （cm ）．…（4分）连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．…（5分）由题意，得︒=∠30H ．在Rt CDH ∆中，90230sin ==︒=CD CD CH ．……………………（6分） 290905050300=+--=+--=+=∴CH AC BE AB CH EC EH ．………（7分） 在Rt EFH ∆中，332903329030tan =⨯=︒⋅=EH EF （cm ）．……………（9分） 答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为33290cm ．……………………（10分） 22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆．操作发现（1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使 BAC ∠=α，得到如图2所示的D C A '∆，分别延长BC和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的状是 菱形 ；……………（2分）（2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使BAC ∠=2α，得到如图3所示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明（2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情 况当点C ''在边C C '上和点C ''在边C C '的延长线上时．（4）开放型题目，答对即可解答：（1）菱形（2）证明：作C C AE '⊥于点E ．…………………………………………（3分）由旋转得AC C A ='，BAC AE C CAE ∠=='∠=∠∴α21． 四边形ABCD 是菱形，BC BA =∴，BAC BCA ∠=∠∴，BCA CAE ∠=∠∴，BC AE //∴，同理C D AE '//，C D BC '∴//，又C D BC '= ，∴ 四边形D C BC '是平行四边形，…………………（4分）又BC AE // ，︒=∠90CEA ，︒=∠-='∠∴90180CEA C BC ，∴四边形D C BC '是矩形…………………………………………（5分）（3）过点B 作AC BF ⊥，垂足为F ，BC BA = ，5102121=⨯===∴AC AF CF ． 在Rt BCF ∆ 中，125132222=-=-=CF BC BF ，在ACE ∆和CBF ∆中，BCF CAE ∠=∠ ， ︒=∠=∠90BFC CEA ．ACE ∆∴∽CBF ∆，BC AC BF CB =∴，即131012=CE ，解得13120=CE ， C A AC '= ，C C AE '⊥，132401312022=⨯=='∴CE C C ．…………………（7分） 当四边形D C BC '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上．1371131324013a =-=-'=C C ．…………………（8分）②点C ''在边C C '的延长线上，13409131324013a =+=+'=C C ．……………（9分） 综上所述，a 的值为1371或13409．（4）：答案不唯一． 例：画出正确图形．……………………………………（10分）平移及构图方法：将ACD ∆沿着射线CA 方向平移，平移距离为AC 21的长度，得到D C A ''∆， 连接DC B A ,'．………………………（11分）结论：四边形是平行四边形……（12分）23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成分析：（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标 点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令 其横坐标为3=x ，即可求出点E 的坐标（2）利用全等对应边相等，可知FO =FC ，所以点F 肯定在OC 的垂直平分线上，所 以点F 的纵坐标为－4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标（3）根据点P 在y 轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解解答：（1） 抛物线8y 2-+=bx ax 经过点A （－2，0），D （6，－8），⎩⎨⎧-=-+=--∴88636082a 4b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==321b a …………………………………（1分） ∴抛物线的函数表达式为83212--=x x y ……………………………（2分） ()225321832122--=--=x x x y ，∴抛物线的对称轴为直线3=x ．又 抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）…………………（4分）设直线l 的函数表达式为kx y =． 点D （6，－8）在直线l 上，∴6k =－8，解得34-=k ． ∴直线l 的函数表达式为x y 34-=………………………………………………………（5分） 点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横坐标为3，纵坐标为4334-=⨯-，即点E 的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）（2）抛物线上存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆．点F 的坐标为（4,173--）或（4,173-+）．……………………………………（8分）（3）解法一：分两种情况：①当OQ OP =时，OPQ ∆是等腰三角形．点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，过点E 作直线ME //PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OQ OE OP OM =，5==∴OE OM ……………………………………（9分）∴点M 的坐标为（0，－5）．设直线ME 的表达式为51-=x k y ，∴4531-=-k ，解得311=k ，∴ME 的函数表达式为531-=x y，。
2016年山西省中考数学试卷(完整解析版)讲解
2016年山西省中考数学试卷总分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（2016·山西）61-的相反数是（ A ）A ．61 B ．-6 C ．6 D ．61- 【考点】相反数【分析】利用相反数和为0计算【解答】因为a+（-a ）=0∴61-的相反数是612．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ ） A ．x ＞5 B ．x ＜3 C ．-5＜x ＜3 D ．x ＜5【考点】解一元一次不等式组【分析】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【解答】解⎩⎨⎧<>+②① 6205x x 由①得x ＞ -5由②得x ＜3所以不等式组的解集是-5＜x ＜3．3．（2016•山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某校篮球队员的身高【考点】全面调查与抽样调查．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选：C ．【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）【考点】三视图【分析】根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定．【解答】从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形．故选A ．5．（2016•山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（ ）A ．5.5×106千米B ．5.5×107千米C ．55×106千米D ．0.55×108千米【考点】科学记数法—表示较大的数．【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式．其中1≤|a|＜10，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【解答】解：5500万=5.5×107． 故选：B ．【点评】此题考查科学记数法的表示方法，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8= 【考点】实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，【分析】根据实数的运算可判断A ．根据幂的乘方可判断B ．根据同底数幂的除法可判断C ．根据实数的运算可判断D【解答】A ．49232=⎪⎭⎫ ⎝⎛-，故A 错误B ．632273a a =）（，故B 错误C ．255551515155253535-3-==⨯=÷=÷，故C 错误． D ．23252250-8-=-=，故选D ．7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x xC ．xx 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲种机器人每小时搬运x 千克，则乙种机器人每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg 所用时间与乙搬运8000kg 所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x5000， 根据题意乙每小时搬运的货物为x+600，乙搬运8000kg 所用的时间为6008000+x 再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程。
【数学】2016年山西省数学中考真题(解析版)
2016年山西省中考真题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣2．（3分）不等式组解集是（）A．＞﹣5 B．＜3 C．﹣5＜＜3 D．＜53．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600g，甲搬运5000g 所用时间与乙搬运8000g所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少g货物，设甲每小时搬运g货物，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y=2﹣4﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（+1）2﹣13 B．y=（﹣5）2﹣3 C．y=（﹣5）2﹣13 D．y=（+1）2﹣3 9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中=﹣2．17．（7分）解方程：2（﹣3）2=2﹣9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE ⊥BD于点E，则△BDC的周长是．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000g﹣5000g（含2000g和5000g）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量（g）之间的函数表达式；（2）求购买量在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a2+b﹣8与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．A【解析】∵+（﹣）=0，∴﹣的相反数是：．故选A．2．C【解析】，解①得：＞﹣5，解②得：＜3，则不等式的解集是：﹣5＜＜3．故选C．3．C【解析】调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选C．4．A【解析】观察图形可知，该几何体的左视图是．故选A．5．B【解析】5500万=5.5×107．故选B．6．D【解析】A、（﹣）2=，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；故选D．7．B【解析】设甲搬运工每小时搬运千克，则乙搬运工每小时搬运（+600）千克，由题意得，故选B.8．D【解析】因为y=2﹣4﹣4=（﹣2）2﹣8，所以抛物线y=2﹣4﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（+1）2﹣3．故选D．9．C【解析】如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OF A=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故选C．10．D【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形故选D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3，0）【解析】由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）12．＞【解析】∵在反比例函数y=（m＜0）中，=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．4n+1【解析】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．故答案为：4n+1．14．【解析】列表得如下：1 2 31 1、1 1、2 1、32 2、1 2、2 2、33 3、1 3、2 3、3∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．15．3﹣【解析】∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=，则HA=HE=HG+GE=2+，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0=9﹣5﹣4+1=1（2）=﹣2时，﹣=﹣=﹣===217．解：方程变形得：2（﹣3）2﹣（+3）（﹣3）=0，分解因式得：（﹣3）（2﹣6﹣﹣3）=0，解得：1=3，2=9．18．解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．19．（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．20．解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8；方案B：函数表达式为y=5+2000；（2）由题意得：5.8＜5+2000，解得：＜2500，则当购买量的范围是2000≤＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（g）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（g），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．21．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=AC sin 30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH==2CD=90，∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH•tan 30°=290×=，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．22．解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′=90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．23．解：（1）∵抛物线y=a2+b﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y=2﹣3﹣8，∵y=2﹣3﹣8=（﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线=3，又∵抛物线与轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y=，∵经过点D（6，﹣8），∴6=﹣8，∴=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴2﹣3﹣8=﹣4，∴2﹣6﹣8=0，=3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交轴于点H．则=，∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y=1﹣5，∴31﹣5=﹣4，∴1=，∴直线ME解析式为y=﹣5，令y=0，得﹣5=0，解得=15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．∵当=0时，y=2﹣3﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交轴于N，解析式为y=2﹣8，∴32﹣8=﹣4，∴2=，∴直线CE解析式为y=﹣8，令y=0，得﹣8=0，∴=6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．③OP=PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．。
山西省2016年中考数学试题含答案
2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（2016·山西）61-的相反数是（）A ．61B ．-6C ．6D ．61-2．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（）A ．x >5B ．x <3C ．-5<x <3D ．x <53．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（）A ．6105.5⨯B ．7105.5⨯C ．61055⨯D ．81055.0⨯6．（2016·山西）下列运算正确的是（）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-B ．63293a a =）（C ．251555-3-=÷D ．23-50-8=7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x x C ．x x 80006005000=+D ．60080005000-=x x 8．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（）A ．13)1(2-+=x y B ．3)5(2--=x y C ．13)5(2--=x y D ．()312-+=x y 9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，︒=∠60C ，则 FE 的长为（）A ．3πB ．2πC ．πD ．π210．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（2016·山西）已知点（m -1，1y ），（m -3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y 2y （填“>”或“=”或“<”）13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分）（1）计算：()1222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛---（2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =-2．17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al -Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC >AB ，M 是 ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．下面是运用“截长法”证明CD =AB +BD 的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC．．．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于O ，AB =2，D 为O 上一点,︒=∠45ABD ，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC 的长是．20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为︒30，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF 与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，ABFE⊥于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（︒∆．BAD）沿对角线AC剪开，得到ABC∆和ACD>∠90操作发现（1）将图1中的ACD∆以A为旋转中心，α，逆时针方向旋转角α，使BAC=∠得到如图2所示的D∆，分别延长BCA'C和CACE'的D'交于点E，则四边形C状是；……………（2分）（2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使BAC ∠=2α，得到如图3所示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．A 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．B 8．D 9．C 10．D二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3，0）．12．1y >2y 13．（4n +1）14．9415．）（或152525-3+-16．（1）解答：原=9-5-4+1……………………………（4分）=1．……………………………（5分）（2）解答：原式=1)1)(1()1(2+-+--x xx x x x ……………………………（2分）=112+-+x x x x ……………………………（3分）=1+x x ……………………………（4分）当x =-2时，原式=21221=+--=+x x ……………………（5分）17．解答：解法一：原方程可化为)3)(3(322-+=-x x x ）（……………………………（1分）0)3)(3()3(22=-+--x x x ．……………………………（2分）0)]3()3(2)[3(=+---x x x ．……………………………（3分）0)9-)(3(=-x x ．……………………………（4分）∴x -3=0或x -9=0．……………………………（5分）∴31=x ，92=x ．……………………………（7分）解法二：原方程可化为027122=+-x x ……………………………（3分）这里a =1，b =-12，c =27．∵0362714)12(422>=⨯⨯--=-ac b∴2612123612±=⨯±=x ．……………………………（5分）因此原方程的根为31=x ，92=x ．……………………………（7分）18．解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示（2）1800×30%=540（人）∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13（或13%或10013）19．解答：（1）证明：又∵C A ∠=∠，…………………（1分）∴△MBA ≌△MGC ．…………………（2分）∴MB =MG ．…………………（3分）又∵MD ⊥BC ，∵BD =GD ．…………………（4分）∴CD =CG +GD =AB +BD ．…………………（5分）（2）填空：如图（3），已知等边△ABC 内接于O ，AB =2，D 为O 上一点，︒=∠45ABD ，AE ⊥BD 与点E ，则△BDC的长是222+．20．解答：（1）方案A ：函数表达式为x y 8.5=．………………………（1分）方案B ：函数表达式为20005+=x y ………………………（2分）（2）由题意，得200058.5+<x x ．………………………（3分）解不等式，得x <2500………………………（4分）∴当购买量x 的取值范围为25002000<≤x 时，选用方案A 比方案B 付款少．………………………（5分）（3）他应选择方案B ．………………………（7分）21．解答：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ．…………（1分）则︒=∠30CAG ，在Rt ACG ∆中，25215030sin =⨯=︒⋅=AC CG ．…………（2分）由题意，得203050=-=GD ．…………（3分）452025=+=+=∴GD CG CD （cm ）．…（4分）连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．…（5分）由题意，得︒=∠30H ．在Rt CDH ∆中，90230sin ==︒=CD CDCH ．……………………（6分）290905050300=+--=+--=+=∴CH AC BE AB CH EC EH ．………（7分）在Rt EFH ∆中，332903329030tan =⨯=︒⋅=EH EF （cm ）．……………（9分）答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为33290cm ．……………………（10分）22．解答：（1）菱形（2）证明：作C C AE '⊥于点E ．…………………………………………（3分）由旋转得AC C A ='，BAC AE C CAE ∠=='∠=∠∴α21．四边形ABCD 是菱形，BC BA =∴，BAC BCA ∠=∠∴，BCA CAE ∠=∠∴，BC AE //∴，同理C D AE '//，C D BC '∴//，又C D BC '= ，∴四边形D C BC '是平行四边形，…………………（4分）又BC AE // ，︒=∠90CEA ，︒=∠-='∠∴90180CEA C BC ，∴四边形D C BC '是矩形…………………………………………（5分）（3）过点B 作AC BF ⊥，垂足为F ，BC BA = ，5102121=⨯===∴AC AF CF ．在Rt BCF ∆中，125132222=-=-=CF BC BF ，在ACE ∆和CBF ∆中，BCF CAE ∠=∠ ，︒=∠=∠90BFC CEA ．ACE ∆∴∽CBF ∆，BC AC BF CB =∴，即131012=CE ，解得13120=CE ，C A AC '= ，C C AE '⊥，132401312022=⨯=='∴CE C C ．…………………（7分）当四边形D C BC '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上．1371131324013a =-=-'=C C ．…………………（8分）②点C ''在边C C '的延长线上，13409131324013a =+=+'=C C ．……………（9分）综上所述，a 的值为1371或13409．（4）：答案不唯一．例：画出正确图形．……………………………………（10分）平移及构图方法：将ACD ∆沿着射线CA 方向平移，平移距离为AC 21的长度，得到D C A ''∆，连接DC B A ,'．………………………（11分）结论：四边形是平行四边形……（12分）23．解答：（1） 抛物线8y 2-+=bx ax 经过点A （－2，0），D （6，－8），⎩⎨⎧-=-+=--∴88636082a 4b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==321b a …………………………………（1分）∴抛物线的函数表达式为83212--=x x y ……………………………（2分）()225321832122--=--=x x x y ，∴抛物线的对称轴为直线3=x ．又 抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）…………………（4分）设直线l 的函数表达式为kx y =． 点D （6，－8）在直线l 上，∴6k =－8，解得34-=k ．∴直线l 的函数表达式为x y 34-=………………………………………………………（5分）点E 为直线l 和抛物线对称轴的交点．∴点E 的横坐标为3，纵坐标为4334-=⨯-，即点E 的坐标为（3，－4）……………………………………………………………………（6分）（2）抛物线上存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆．点F 的坐标为（4,173--）或（4,173-+）．……………………………………（8分）（3）解法一：分两种情况：①当OQ OP =时，OPQ ∆是等腰三角形．点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，过点E作直线ME //PB ，交y 轴于点M ，交x 轴于点H ，则OQ OEOP OM =，5==∴OE OM ……………………………………（9分）∴点M 的坐标为（0，－5）．设直线ME 的表达式为51-=x k y ，∴4531-=-k ，解得311=k ，∴ME 的函数表达式为531-=x y ，令y =0，得0531=-x ，解得x =15，∴点H 的坐标为（15，0）…（10分）又 MH//PB ，∴OHOBOM OP =，即1585=-m ，∴38-=m ……………………………（11分）②当QP QO =时，OPQ ∆是等腰三角形．当x =0时，88312-=--=x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，又因为QP QO =，∴31∠=∠，∴32∠=∠，∴CE//PB ………………………………………………………………（12分）设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为82-=x k y ，∴4832-=-k ，解得342=k ，∴CE 的函数表达式为834-=x y ，令y =0，得0834=-x ，∴6=x ，∴点N 的坐标为（6，0）………………………………………………………………（13分）CN//PB ，∴ONOBOC OP =，∴688=-m ，解得332-=m ………………（14分）综上所述，当m 的值为8-或332-时，OPQ ∆是等腰三角形．解法二：当x =0时，883212-=--=x x y ，∴点C 的坐标为（0，－8），∴点E 的坐标为（3，－4），54322=+=∴OE ，5)48(322=-+=CE ，∴OE=CE ，∴21∠=∠，设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况：1当QP QO =时，OPQ ∆是等腰三角形．∴31∠=∠，∴32∠=∠，∴CE //PB ………………………………………（9分）又 HM //y 轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴m CP EM --==8，∴5384)8(4=-=--=--+=+=BH m m EM HE HM ， HM//y 轴，∴BHM ∆∽BOP ∆，∴BO BHOP HM =……………………………………………………（10分）∴332854-=∴=---m m m ………………………………………………………（11分）②当OQ OP =时，OPQ ∆是等腰三角形．y EH // 轴，∴OPQ ∆∽EMQ ∆，∴OPEMOQ EQ =，∴EM EQ =……………（12分）mm OP OE OQ OE EQ EM +=--=-=-==∴5)(5，)5(4m HM +-=∴，y EH // 轴，∴BHM ∆∽BOP ∆，∴BH HM =…………………………………………………（13分）∴38851-=∴=---m m m ………………（14分）∴当m 的值为38-或332-时，OPQ ∆是等腰三角形．。
2016年山西省中考数学试卷
m (m < 0) x
象 案
的两点 它们是
则 y1 边长相
y2
填
>
或
=
或 中部
<
小
2016·山西
方形涂 表示 影
规律的
的小
方形组 方形 用含
第n个
案中
个涂
影的小
n 的 数式
14
2016·山西 如
面 相等的 部
是一个能自 且 别标
转动的
边形转盘 这个转盘被 条
割线 动
形状相 转盘自动
1
2
3
个数
指针的位置固定
O 的直径 O
D
y = (x + 1)2 − 3
2016·山西 如
DC 相
在 ABCD 中 AB
AD 相交于点 F
于点 E
已知 AB=12
∠C = 60°
则 FE 的长
A C 10
π
3
B D
π
2 2π
π
2016·山西
宽
长的比是 们
5 -1 2
0 618 的矩形
的美感 们
做黄金矩形
黄金矩形蕴 着 作 方
AB=2 D
O
一点, ∠ABD = 45°
AE⊥BD
点E
则△BDC 的长是
第 5
共 27
20
2016·山西
本题 7
省某苹果基地销
优
苹果 该基地对需要
且购买 在 2000kg~5000kg 销 方案 客户 千克 5 能选择
含 2000kg 和 5000kg 中一种方案 基地免费 费 2000 元
即 CD=AB+BD
2016年山西省中考数学试题(解析)含答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每个小题给出的四个选项中，只有 一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西） A．
1 6 1 的相反数是（ 6
） D．
1 6
B．-6
C．6
x 5 0 2．（2016·山西）不等式组 的解集是（ 2 x 6
2 3 B． （3a 2） 9a 6
D． 0.55 108
1 25
C． 5-3 5-5
D． 8 - 50 -3 2
7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运 600kg，甲搬运 5000kg 所用 的时间与乙搬运 8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少 kg 货物．设甲每小时搬运 xkg 货物，则可列方程为（ ） 5000 8000 5000 8000 A． B． x 600 x x x 600 5000 8000 5000 8000 C． D． x 600 x x x 600 8．（2016·山西）将抛物线 y x 2 4 x 4 向左平移 3 个单位，再向上平移 5 个单位，得到抛物线的表达式 为（ ） B． y ( x 5) 2 3 C． y ( x 5) 2 13 D． y x 1 3
2
A． y ( x 1) 2 13
9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， O 与 DC 相切于点 E，与 AD 相交于点 F， 的长为（ 已知 AB=12， C 60 ，则 FE ） A．
3
B．
2
C．
D． 2
山西省2016年中考数学真题试题(含解析)
2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）61-的相反数是（ ） A ．61 B ．-6 C ．6 D ．61-2．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ ）A ．x >5B ．x <3C ．-5<x <3D ．x <53．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ ）5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ ）A ．6105.5⨯B ．7105.5⨯C ．61055⨯D ．81055.0⨯6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ ）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8=7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ ）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x x C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 8．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ ）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y9．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，︒=∠60C ，则FE 的长为（ ） A ．3πB ．2πC ．πD ．π210．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ） A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGH D ．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 ．12．（2016·山西）已知点（m -1，1y ），（m -3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y 2y （填“>”或“=”或“<”）13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有 个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 15．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛---（2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =-2．17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．（1）补全条形统计图和 扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的 学生中随机抽取一人进 行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理 阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC．．．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一点, ︒ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC的长是．=∠4520．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为︒30，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，ABFE⊥于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆． 操作发现（1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使 BAC ∠=α， 得到如图2所示的D C A '∆，分别延长BC 和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的 状是 ；……………（2分） （2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使BAC ∠=2α，得到如图3所示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；实践探究 （3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1） 求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2） 试探究抛物线上是否存在点F ，使F O E ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3） 若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB 与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ∆是等腰三角形．2016年山西省中考数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．（2016·山西）61-的相反数是（ A ） A ．61 B ．-6 C ．6 D ．61-考点：相反数解析：利用相反数和为0计算 解答：因为a +（-a ）=0∴61-的相反数是612．（2016·山西）不等式组⎩⎨⎧<>+6205x x 的解集是（ C ）A ．x >5B ．x <3C ．-5<x <3D ．x <5考点： 解一元一次不等式组分析： 先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可． 解答： 解⎩⎨⎧<>+②①6205x x由①得x >-5 由②得x <3所以不等式组的解集是-5<x <33．（2016·山西）以下问题不适合全面调查的是（ C ）A ．调查某班学生每周课前预习的时间B ．调查某中学在职教师的身体健康状况C ．调查全国中小学生课外阅读情况D ．调查某篮球队员的身高 考点：全面调查与抽样调查．分析：一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选 择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．解答：A ．调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查 B ．调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查；C ．调查全国中小学生课外阅读情况 ，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查；D ．调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查；4．（2016·山西）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方体中的数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（ A ）考点：三视图分析：根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定． 解答：从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形 故选A ． 5．（2016·山西）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星．据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学计数法可表示为（ B ）A ．6105.5⨯B ．7105.5⨯C ．61055⨯D ．81055.0⨯考点：科学记数法—表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时， 要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数． 解答：将55 000 000用科学记数法表示为：7105.5⨯．6．（2016·山西）下列运算正确的是 （ D ）A ．49232-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- B ．63293a a =）（ C ．251555-3-=÷ D ．23-50-8=考点：实数的运算，幂的乘方，同底数幂的除法，分析：根据实数的运算可判断A ． 根据幂的乘方可判断B ．根据同底数幂的除法可判断C ． 根据实数的运算可判断D 解答：A ．49232=⎪⎭⎫⎝⎛-，故A 错误B ．632273a a =）（，故B 错误 C ．255551515155253535-3-==⨯=÷=÷，故C 错误． D ．23252250-8-=-=，故选D ．7．（2016·山西）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg ，甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg 货物．设甲每小时搬运xkg 货物，则可列方程为（ B ）A ．x x 80006005000=-B ．60080005000+=x x C ．x x 80006005000=+ D ．60080005000-=x x 考点：分式方程的应用分析：设甲每小时搬运xkg 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：x5000， 根据题意乙每小时搬运的货物为x +600，乙搬运8000kg 所用的时间为6008000+x再根据甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等列方程 解答：甲搬运5000kg 所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等，所以60080005000+=x x 故选B ．8．（2016·山西）将抛物线442--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为（ D ）A ．13)1(2-+=x yB ．3)5(2--=x yC ．13)5(2--=x yD ．()312-+=x y考点：抛物线的平移分析：先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移解答：将抛物线化为顶点式为：8)2(2--=x y ，左平移3个单位，再向上平移5个单位 得到抛物线的表达式为()312-+=x y故选D ．9．（2016·山西）如图，在ABCD 中，AB 为O 的直径，O 与DC 相切于点E ，与AD 相交于点F ，已知AB =12，︒=∠60C ，则FE 的长为（ C ）A ．3πB ．2πC ．πD ．π2考点：切线的性质，求弧长 分析：如图连接OF ，OE由切线可知︒=∠904，故由平行可知︒=∠903由OF =OA ，且︒=∠60C ，所以︒=∠=∠601C 所以△OFA 为等 边三角形∴︒=∠602，从而可以得出FE 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出 解答：︒=︒︒︒=∠∠︒=∠3090-60-1803-2-180EOF r =12÷2=6∴FE =πππ=⋅⋅=180630180r n故选C10．（2016·山西）宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ D ） A ．矩形ABFE B ．矩形EFCD C ．矩形EFGHD ．矩形DCGH考点：黄金分割的识别分析：由作图方法可知DF =5CF ，所以CG =CF )15(-，且GH =CD =2CF 从而得出黄金矩形 解答：CG =CF )15(-，GH =2CF ∴2152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形选D ．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．（2016·山西）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图．若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，-1），表示桃园路的点的坐标为（-1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是 （3，0） ．考点：坐标的确定分析：根据双塔西街点的坐标为（0，-1），可知大南 门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正 好在网格点上）的坐标解答：太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标 （3，0）12．（2016·山西）已知点（m -1，1y ），（m -3，2y ）是反比例函数)0(<=m xmy 图象上的两点，则1y > 2y （填“>”或“=”或“<”） 考点：反比函数的增减性分析：由反比函数m <0，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大 ∵m <0，∴m -1<0，m -3<0，且m -1>m -3，从而比较y 的大小解答：在反比函数xmy =中，m <0，m -1<0，m -3<0，在第四象限y 随着x 的增大而增大且m -1>m -3，所以1y > 2y13．（2016·山西）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有（4n +1）个涂有阴影的小正方形（用含有n 的代数式表示）．考点：找规律分析：由图可知，涂有阴影的正方形有5+4（n -1）=4n +1个 解答：（4n +1）14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 94考点：树状图或列表求概率 分析：列表如图：解答：由表可知指针指向的数都是奇数的概率为 9415．（2016·山西）如图，已知点C 为线段AB 的中点，CD ⊥AB 且CD =AB =4，连接AD ，BE ⊥AB ，AE 是DAB ∠的）（或152525-3+-平分线，与DC 相交于点F ，EH ⊥DC 于点G ，交AD 于点H ，则HG 的长为 考点：勾股定理，相似，平行线的性质，角平分线； 分析：由勾股定理求出DA ， 由平行得出21∠=∠，由角平分得出32∠=∠ 从而得出31∠=∠，所以HE =HA ． 再利用△DGH ∽△DCA 即可求出HE ， 从而求出HG解答：如图（1）由勾股定理可得 DA =52422222=+=+CD AC由 AE 是DAB ∠的平分线可知21∠=∠由CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，EH ⊥DC 可知四边形GEBC 为矩 形，∴HE ∥AB ，∴32∠=∠ ∴31∠=∠ 故EH =HA 设EH =HA =x则GH =x -2，DH =x -52 ∵HE ∥AC ∴△DGH ∽△DCA ∴AC HGDA DH =即2252-52-=x x 解得x =5-5 故HG =EH -EG =5-5-2=53-三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（2016·山西）（本题共2个小题，每小题5分，共10分） （1）计算：()01222851)3(-+⨯-⎪⎭⎫⎝⎛---考点：实数的运算，负指数幂，零次幂分析：根据实数的运算，负指数幂，零次幂三个考点．针对每个考点分别进行计算，然后根 据实数的运算法则求得计算结果．解答：原=9-5-4+1 ……………………………（4分） =1． ……………………………（5分） （2）先化简，在求值：112222+---x xx x x ，其中x =-2． 考点：分式的化简求值分析：先把分子分母因式分解，化简后进行减法运算解答：原式=1)1)(1()1(2+-+--x xx x x x ……………………………（2分） =112+-+x xx x ……………………………（3分） =1+x x……………………………（4分） 当x =-2时，原式=21221=+--=+x x ……………………（5分）17．（2016·山西）（本题7分）解方程：93222-=-x x ）（考点：解一元二次方程分析：方法一：观察方程，可先分解因式，然后提取x -3，利用公式法求解方法二：将方程化为一般式，利用公式法求解 解答：解法一：原方程可化为)3)(3(322-+=-x x x ）（ ……………………………（1分）0)3)(3()3(22=-+--x x x ． ……………………………（2分） 0)]3()3(2)[3(=+---x x x ． ……………………………（3分） 0)9-)(3(=-x x ． ……………………………（4分） ∴ x -3=0或x -9=0． ……………………………（5分） ∴ 31=x ，92=x ． ……………………………（7分） 解法二： 原方程可化为027122=+-x x ……………………………（3分）这里a =1，b =-12，c =27． ∵0362714)12(422>=⨯⨯--=-ac b ∴2612123612±=⨯±=x ． ……………………………（5分） 因此原方程的根为 31=x ，92=x ． ……………………………（7分）18．（2016·山西）（本题8分）每年5月的第二周为：“职业教育活动周”，今年我省展开了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动，活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人?（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是考点：条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，简单概率分析：（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1800乘以30%（3）由扇形统计图可知解答：（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示（2）1800×30%=540（人）∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人（3）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是 0.13（或13%或10013）19．（2016·山西）（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（Archimedes，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al-Biruni（973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC>AB，M是ABC的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是ABC的中点，∴MA=MC．．．任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一点，ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC∠45=︒考点：圆的证明分析：（1）已截取CG=AB∴只需证明BD=DG且MD⊥BC，所以需证明MB=MG故证明△MBA≌△MGC即可（2）AB=2，利用三角函数可得BE=2由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE=BC+（DC+DE）+BE=BC+BE+BE=BC+2BE然后代入计算可得答案解答：（1）证明：又∵C∠，…………………（1分）=A∠∴△MBA≌△MGC．…………………（2分）∴MB=MG．…………………（3分）又∵MD⊥BC，∵BD=GD．…………………（4分）∴CD=CG+GD=AB+BD．…………………（5分）（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一点，︒ABD，AE⊥BD与点E，则△BDC∠45=20．（2016·山西）（本题7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg~5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5．8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．考点：一次函数的应用分析：（1）根据数量关系列出函数表达式即可（2）先求出方案A应付款y与购买量x的函数关系为x=y8.5方案B应付款y与购买量x的函数关系为2000y=x5+然后分段求出哪种方案付款少即可（3）令y =20000，分别代入A 方案和B 方案的函数关系式中，求出x ，比大小． 解答：（1）方案A ：函数表达式为x y 8.5=． ………………………（1分）方案B ：函数表达式为20005+=x y ………………………（2分）（2）由题意，得200058.5+<x x ． ………………………（3分）解不等式，得x <2500 ………………………（4分） ∴当购买量x 的取值范围为25002000<≤x 时，选用方案A比方案B 付款少． ………………………（5分） （3）他应选择方案B ． ………………………（7分）21．（2016·山西）（本题10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业，如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB 的长度相同，均为300cm ，AB 的倾斜角为︒30，BE =CA =50cm ，支撑角钢CD ，EF 与底座地基台面接触点分别为D ，F ，CD 垂直于地面，AB FE ⊥于点E ．两个底座地基高度相同（即点D ，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm ，点A 到地面的垂直距离为50cm ，求支撑角钢CD 和EF 的长度各是多少cm （结果保留根号）考点：三角函数的应用分析：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从 而求出GD ，继而求出CD ．连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ，利用三角函数求出 CH ，由图得出EH ，再利用三角函数值求出EF解答：过点A 作CD AG ⊥，垂足为G ．…………（1分）则︒=∠30CAG ，在Rt ACG ∆中，25215030sin =⨯=︒⋅=AC CG ．…………（2分）由题意，得203050=-=GD ．…………（3分） 452025=+=+=∴GD CG CD （cm ）．…（4分）连接FD 并延长与BA 的延长线交于点H ．…（5分） 由题意，得︒=∠30H ．在Rt CDH ∆中，90230sin ==︒=CD CDCH ．……………………（6分）290905050300=+--=+--=+=∴CH AC BE AB CH EC EH ．………（7分） 在Rt EFH ∆中，332903329030tan =⨯=︒⋅=EH EF （cm ）．……………（9分） 答：支撑角钢CD 的长为45cm ，EF 的长为33290cm ．……………………（10分）22．（2016·山西）（本题12分）综合与实践 问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD （︒>∠90BAD ）沿对角线AC 剪开，得到ABC ∆和ACD ∆． 操作发现（1）将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心， 逆时针方向旋转角α，使 BAC ∠=α， 得到如图2所示的D C A '∆，分别延长BC 和C D '交于点E ，则四边形C ACE '的 状是 菱形 ；……………（2分） （2）创新小组将图1中的ACD ∆以A 为旋转中心，按逆时针方向旋转角 α，使BAC ∠=2α，得到如图3所示的D C A '∆，连接DB ，C C '，得到四边形D C BC '，发现它是矩形．请你证明这个论；（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC =13cm ，AC =10cm ，然后提出一个问题：将D C A '∆沿着射线DB 方向平移acm ，得到D C A ''''∆，连接D B '，C C ''，使四边形D C BC '''恰好为正方形，求a 的值．请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的ACD ∆在同一平面内进行一次平移，得到D C A '''∆，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 考点：几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定， 矩形的判定正方形的判定分析：（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明 （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明（3）利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情 况当点C ''在边C C '上和点C ''在边C C '的延长线上时． （4）开放型题目，答对即可 解答：（1）菱形（2）证明：作C C AE '⊥于点E ．…………………………………………（3分）由旋转得AC C A ='，BAC AE C CAE ∠=='∠=∠∴α21．四边形ABCD 是菱形，BC BA =∴，BAC BCA ∠=∠∴，BCA CAE ∠=∠∴，BC AE //∴，同理C D AE '//，C D BC '∴//，又C D BC '= ，∴ 四边形D C BC '是平行四边形，…………………（4分）又BC AE // ，︒=∠90CEA ，︒=∠-='∠∴90180CEA C BC ，∴四边形D C BC '是矩形…………………………………………（5分）（3）过点B 作AC BF ⊥，垂足为F ，BC BA = ，5102121=⨯===∴AC AF CF ．在Rt BCF ∆ 中，125132222=-=-=CF BC BF ，在ACE ∆和CBF ∆中，BCF CAE ∠=∠ ， ︒=∠=∠90BFC CEA ．ACE ∆∴∽CBF ∆，BC AC BF CB =∴，即131012=CE ，解得13120=CE ， C A AC '= ，C C AE '⊥，132401312022=⨯=='∴CE C C ．…………………（7分） 当四边形D C BC '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上．1371131324013a =-=-'=C C ．…………………（8分） ②点C ''在边C C '的延长线上，13409131324013a =+=+'=C C ．……………（9分） 综上所述，a 的值为1371或13409． （4）：答案不唯一．例：画出正确图形．……………………………………（10分）AC 21的长度，平移及构图方法：将ACD ∆沿着射线CA 方向平移，平移距离为得到D C A ''∆，连接DC B A ,'．………………………（11分） 结论：四边形是平行四边形……（12分） 23．（2016·山西）（本题14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线8y 2-+=bx ax 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，直线l 经过坐标原点O ，与抛物线的一个交点为D ，与抛物线的对称轴交于点E ，连接CE ，已知点A ，D 的坐标分别为（－2，0），（6，－8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B 和点E 的坐标； （2）试探究抛物线上是否存在点F ，使FOE ∆≌FCE ∆，若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P 是y 轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m ），直线PB与直线l 交于点Q ．试探究：当m 为何值时，OPQ ∆是等腰三角形．考点：求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构 成分析：（1）将A ，D 的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式 点B 坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A 点坐标即可求出B 点坐标 点E 坐标：E 为直线l 和抛物线对称轴的交点，利用D 点坐标求出l 表达式，令 其横坐标为3=x ，即可求出点E 的坐标（2）利用全等对应边相等，可知FO =FC ，所以点F 肯定在OC 的垂直平分线上，所 以点F 的纵坐标为-4，带入抛物线表达式，即可求出横坐标（3）根据点P 在y 轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解解答：（1） 抛物线8y 2-+=bx ax 经过点A （－2，0），D （6，－8）， ⎩⎨⎧-=-+=--∴88636082a 4b a b 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==321b a …………………………………（1分） ∴抛物线的函数表达式为83212--=x x y ……………………………（2分）()225321832122--=--=x x x y ，∴抛物线的对称轴为直线3=x ．又 抛物线与x 轴交于A ，B 两点，点A 的坐标为（－2，0）．∴点B 的坐标为（8，0）…………………（4分）。
【数学】2016年山西省数学中考真题(解析版)
2016年山西省中考真题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣2．（3分）不等式组解集是（）A．＞﹣5 B．＜3 C．﹣5＜＜3 D．＜53．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600g，甲搬运5000g 所用时间与乙搬运8000g所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少g货物，设甲每小时搬运g货物，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y=2﹣4﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（+1）2﹣13 B．y=（﹣5）2﹣3 C．y=（﹣5）2﹣13 D．y=（+1）2﹣3 9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC 的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中=﹣2．17．（7分）解方程：2（﹣3）2=2﹣9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC ＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB 上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE ⊥BD于点E，则△BDC的周长是．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000g﹣5000g（含2000g和5000g）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量（g）之间的函数表达式；（2）求购买量在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移a cm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=a2+b﹣8与轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．A【解析】∵+（﹣）=0，∴﹣的相反数是：．故选A．2．C【解析】，解①得：＞﹣5，解②得：＜3，则不等式的解集是：﹣5＜＜3．故选C．3．C【解析】调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选C．4．A【解析】观察图形可知，该几何体的左视图是．故选A．5．B【解析】5500万=5.5×107．故选B．6．D【解析】A、（﹣）2=，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；故选D．7．B【解析】设甲搬运工每小时搬运千克，则乙搬运工每小时搬运（+600）千克，由题意得，故选B.8．D【解析】因为y=2﹣4﹣4=（﹣2）2﹣8，所以抛物线y=2﹣4﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（+1）2﹣3．故选D．9．C【解析】如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OF A=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故选C．10．D【解析】设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形故选D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3，0）【解析】由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）12．＞【解析】∵在反比例函数y=（m＜0）中，=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．4n+1【解析】由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．故答案为：4n+1．14．【解析】列表得如下：1 2 31 1、1 1、2 1、32 2、1 2、2 2、33 3、1 3、2 3、3∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．15．3﹣【解析】∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=，则HA=HE=HG+GE=2+，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0=9﹣5﹣4+1=1（2）=﹣2时，﹣=﹣=﹣===217．解：方程变形得：2（﹣3）2﹣（+3）（﹣3）=0，分解因式得：（﹣3）（2﹣6﹣﹣3）=0，解得：1=3，2=9．18．解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．19．（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．20．解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8；方案B：函数表达式为y=5+2000；（2）由题意得：5.8＜5+2000，解得：＜2500，则当购买量的范围是2000≤＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（g）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（g），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．21．解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=AC sin 30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH==2CD=90，∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH•tan 30°=290×=，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．22．解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′=90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．23．解：（1）∵抛物线y=a2+b﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y=2﹣3﹣8，∵y=2﹣3﹣8=（﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线=3，又∵抛物线与轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y=，∵经过点D（6，﹣8），∴6=﹣8，∴=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴2﹣3﹣8=﹣4，∴2﹣6﹣8=0，=3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交轴于点H．则=，∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y=1﹣5，∴31﹣5=﹣4，∴1=，∴直线ME解析式为y=﹣5，令y=0，得﹣5=0，解得=15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．∵当=0时，y=2﹣3﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交轴于N，解析式为y=2﹣8，∴32﹣8=﹣4，∴2=，∴直线CE解析式为y=﹣8，令y=0，得﹣8=0，∴=6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．③OP=PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．。
【精编】2016年山西省数学中考试卷与解析
2016年山西省中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣2．（3分）不等式组解集是（）A．x＞﹣5 B．x＜3 C．﹣5＜x＜3 D．x＜53．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）A．B．C．D．8．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣39．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD 相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是．12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1y2（填“＞”或“=”或“＜”）13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣2．17．（7分）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg ﹣5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．2016年山西省中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．（3分）﹣的相反数是（）A．B．﹣6 C．6 D．﹣【解答】解：∵+（﹣）=0，∴﹣的相反数是：．故选：A．2．（3分）不等式组解集是（）A．x＞﹣5 B．x＜3 C．﹣5＜x＜3 D．x＜5【解答】解：，解①得：x＞﹣5，解②得：x＜3，则不等式的解集是：﹣5＜x＜3．故选：C．3．（3分）以下问题不适合全面调查的是（）A．调查某班学生每周课前预习的时间B．调查某中学在职教师的身体健康状况C．调查全国中小学生课外阅读情况D．调查某校篮球队员的身高【解答】解：调查某班学生每周课前预习的时间适合全面调查；调查某中学在职教师的身体健康状况适合全面调查；调查全国中小学生课外阅读情况适合抽样调查，不适合全面调查；调查某校篮球队员的身高适合全面调查，故选：C．4．（3分）如图是由几个大小相同的小正方体搭成的几何体的俯视图，小正方形中数字表示该位置小正方体的个数，则该几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：观察图形可知，该几何体的左视图是．故选：A．5．（3分）我国计划在2020年左右发射火星探测卫星，据科学研究，火星距离地球的最近距离约为5500万千米，这个数据用科学记数法可表示为（）A．5.5×106千米B．5.5×107千米C．55×106千米D．0.55×108千米【解答】解：5500万=5.5×107．故选：B．6．（3分）下列运算正确的是（）A．（﹣）2=﹣B．（3a2）3=9a6C．5﹣3÷5﹣5=D．【解答】解：A、（﹣）2=，故此选项错误；B、（3a2）3=27a6，故此选项错误；C、5﹣3÷5﹣5=25，故此选项错误；D、﹣=2﹣5=﹣3，正确；故选：D．7．（3分）甲、乙两个搬运工搬运某种货物，已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等，求甲、乙两人每小时分别搬运多少kg货物，设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为（）A．B．C．D．【解答】解：设甲搬运工每小时搬运x千克，则乙搬运工每小时搬运（x+600）千克，由题意得，故选B8．（3分）将抛物线y=x2﹣4x﹣4向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的函数表达式为（）A．y=（x+1）2﹣13 B．y=（x﹣5）2﹣3 C．y=（x﹣5）2﹣13 D．y=（x+1）2﹣3【解答】解：因为y=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，所以抛物线y=x2﹣4x﹣4的顶点坐标为（2，﹣8），把点（2，﹣8）向左平移3个单位，再向上平移5个单位所得对应点的坐标为（﹣1，﹣3），所以平移后的抛物线的函数表达式为y=（x+1）2﹣3．故选D．9．（3分）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD 相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则的长为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：如图连接OE、OF，∵CD是⊙O的切线，∴OE⊥CD，∴∠OED=90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∠C=60°，∴∠A=∠C=60°，∠D=120°，∵OA=OF，∴∠A=∠OFA=60°，∴∠DFO=120°，∴∠EOF=360°﹣∠D﹣∠DFO﹣∠DEO=30°，的长==π．故选C．10．（3分）宽与长的比是（约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD，分别取AD、BC的中点E、F，连接EF：以点F为圆心，以FD为半径画弧，交BC的延长线于点G；作GH⊥AD，交AD的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（）A．矩形ABFE B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形DCGH【解答】解：设正方形的边长为2，则CD=2，CF=1在直角三角形DCF中，DF==∴FG=∴CG=﹣1∴=∴矩形DCGH为黄金矩形故选D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．（3分）如图是利用网格画出的太原市地铁1，2，3号线路部分规划示意图，若建立适当的平面直角坐标系，表示双塔西街点的坐标为（0，﹣1），表示桃园路的点的坐标为（﹣1，0），则表示太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标是（3，0）．【解答】解：由双塔西街点的坐标为（0，﹣1）与桃园路的点的坐标为（﹣1，0）得：平面直角坐标系，可知：太原火车站的点的坐标是（3，0）；故答案为：（3，0）12．（3分）已知点（m﹣1，y1），（m﹣3，y2）是反比例函数y=（m＜0）图象上的两点，则y1＞y2（填“＞”或“=”或“＜”）【解答】解：∵在反比例函数y=（m＜0）中，k=m＜0，∴该反比例函数在第二象限内y随x的增大而增大，∵m﹣3＜m﹣1＜0，∴y1＞y2．故答案为：＞．13．（3分）如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n个图案中有4n+1个涂有阴影的小正方形（用含有n的代数式表示）．【解答】解：由图可得，第1个图案涂有阴影的小正方形的个数为5，第2个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×2﹣1=9，第3个图案涂有阴影的小正方形的个数为5×3﹣2=13，…，第n个图案涂有阴影的小正方形的个数为5n﹣（n﹣1）=4n+1．故答案为：4n+1．14．（3分）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”、“2”、“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数（当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域），则两次指针指向的数都是奇数的概率为．【解答】解：列表得如下：∵由表可知共有9种等可能结果，其中两次指针指向的数都是奇数的有4种结果，∴两次指针指向的数都是奇数的概率为，故答案为：．15．（3分）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，BE⊥AB，AE是∠DAB的平分线，与DC相交于点F，EH⊥DC于点G，交AD于点H，则HG的长为3﹣．【解答】解：∵AB=CD=4，C为线段AB的中点，∴BC=AC=2，∴AD=2，∵EH⊥DC，CD⊥AB，BE⊥AB，∴EH∥AC，四边形BCGE为矩形，∴∠HEA=∠EAB，BC=GE=2，又∵AE是∠DAB的平分线，∴∠EAB=∠DAE，∴∠DAE=∠HEA，∴HA=HE，设GH=x，则HA=HE=HG+GE=2+x，∵EH∥AC，∴△DHG∽△DAC，∴=，即=，解得：x=3﹣，即HG=3﹣，故答案为：3﹣．三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（10分）（1）计算：（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0（2）先化简，再求值：﹣，其中x=﹣2．【解答】解：（1）（﹣3）2﹣（）﹣1﹣×+（﹣2）0=9﹣5﹣4+1=1（2）x=﹣2时，﹣=﹣=﹣===217．（7分）解方程：2（x﹣3）2=x2﹣9．【解答】解：方程变形得：2（x﹣3）2﹣（x+3）（x﹣3）=0，分解因式得：（x﹣3）（2x﹣6﹣x﹣3）=0，解得：x1=3，x2=9．18．（8分）每年5月的第二周为“职业教育活动周”，今年我省开展了以“弘扬工匠精神，打造技能强国”为主题的系列活动．活动期间某职业中学组织全校师生并邀请学生家长和社区居民参加“职教体验观摩”活动，相关职业技术人员进行了现场演示，活动后该校教务处随机抽取了部分学生进行调查：“你最感兴趣的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．请解答以下问题：（1）补全条形统计图和扇形统计图；（2）若该校共有1800名学生，请估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生有多少人？（3）要从这些被调查的学生中，随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．【解答】解：（1）调查的总人数是18÷9%=200（人），则喜欢工业设计的人数是200﹣16﹣26﹣80﹣18=60（人）．喜欢工业设计的所占的百分比是=30%；喜欢机电维修的所占的百分比是=13%．；（2）估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生数是：1800×30%=540（人）；（3）正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率是0.13．故答案是：0.13．19．（7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理阿基米德（archimedes，公元前287﹣公元前212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子．阿拉伯Al﹣Binmi（973﹣1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al﹣Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB和BC是⊙O的两条弦（即折线ABC是圆的一条折弦），BC＞AB，M是的中点，则从M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD．下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程．证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．…任务：（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；（2）填空：如图3，已知等边△ABC内接于⊙O，AB=2，D为上一点，∠ABD=45°，AE⊥BD于点E，则△BDC的周长是2+2．【解答】（1）证明：如图2，在CB上截取CG=AB，连接MA，MB，MC和MG．∵M是的中点，∴MA=MC．在△MBA和△MGC中∵，∴△MBA≌△MGC（SAS），∴MB=MG，又∵MD⊥BC，∴BD=GD，∴DC=GC+GD=AB+BD；（2）解：如图3，截取BF=CD，连接AF，AD，CD，由题意可得：AB=AC，∠ABF=∠ACD，在△ABF和△ACD中∵，∴△ABF≌ACD（SAS），∴AF=AD，∵AE⊥BD，∴FE=DE，则CD+DE=BE，∵∠ABD=45°，∴BE==，则△BDC的周长是2+2．故答案为：2+2．20．（7分）我省某苹果基地销售优质苹果，该基地对需要送货且购买量在2000kg ﹣5000kg（含2000kg和5000kg）的客户有两种销售方案（客户只能选择其中一种方案）：方案A：每千克5.8元，由基地免费送货．方案B：每千克5元，客户需支付运费2000元．（1）请分别写出按方案A，方案B购买这种苹果的应付款y（元）与购买量x（kg）之间的函数表达式；（2）求购买量x在什么范围时，选用方案A比方案B付款少；（3）某水果批发商计划用20000元，选用这两种方案中的一种，购买尽可能多的这种苹果，请直接写出他应选择哪种方案．【解答】解：（1）方案A：函数表达式为y=5.8x；方案B：函数表达式为y=5x+2000；（2）由题意得：5.8x＜5x+2000，解得：x＜2500，则当购买量x的范围是2000≤x＜2500时，选用方案A比方案B付款少；（3）他应选择方案B，理由为：方案A：苹果数量为20000÷5.8≈3448（kg）；方案B：苹果数量为（20000﹣2000）÷5=3600（kg），∵3600＞3448，∴方案B买的苹果多．21．（10分）太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业．如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300cm，AB的倾斜角为30°，BE=CA=50cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D、F，CD垂直于地面，FE⊥AB于点E．两个底座地基高度相同（即点D，F 到地面的垂直距离相同），均为30cm，点A到地面的垂直距离为50cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少cm（结果保留根号）．【解答】解：过A作AG⊥CD于G，则∠CAG=30°，在Rt△ACG中，CG=ACsin30°=50×=25，∵GD=50﹣30=20，∴CD=CG+GD=25+20=45，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则∠H=30°，在Rt△CDH中，CH==2CD=90，∴EH=EC+CH=AB﹣BE﹣AC+CH=300﹣50﹣50+90=290，在Rt△EFH中，EF=EH•tan30°=290×=，答：支撑角钢CD和EF的长度各是45cm，cm．22．（12分）综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（∠BAD＞90°）沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD．操作发现（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是菱形；（2）创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α=2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论；实践探究（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将△AC′D沿着射线DB方向平移acm，得到△A′C′D′，连接BD′，CC′，使四边形BCC′D恰好为正方形，求a的值，请你解答此问题；（4）请你参照以上操作，将图1中的△ACD在同一平面内进行一次平移，得到△A′C′D，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．【解答】解：（1）如图2，由题意可得：∠1=∠2，∠2=∠3，∠1=∠4，AC=AC′，故AC′∥EC，AC∥C′E，则四边形ACEC′是平行四边形，故四边形ACEC′的形状是菱形；故答案为：菱形；（2）证明：如图3，作AE⊥CC′于点E，由旋转得：AC′=AC，则∠CAE=∠C′AE=α=∠BAC，∵四边形ABCD是菱形，∴BA=BC，∴∠BCA=∠BAC，∴∠CAE=∠BCA，∴AE∥BC，同理可得：AE∥DC′，∴BC∥DC′，则∠BCC′=90°，又∵BC=DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形，∵∠BCC′=90°，∴四边形BCC′D是矩形；（3）如图3，过点B作BF⊥AC，垂足为F，∵BA=BC，∴CF=AF=AC=×10=5，在Rt△BCF中，BF===12，在△ACE和△CBF中，∵∠CAE=∠BCF，∠CEA=∠BFC=90°，∴△ACE∽△CBF，∴=，即=，解得：EC=，∵AC=AC′，AE⊥CC′，∴CC′=2CE=2×=，当四边形BCC′D′恰好为正方形时，分两种情况：①点C″在边C′C上，a=C′C﹣13=﹣13=，②点C″在C′C的延长线上，a=C′C+13=+13=，综上所述：a的值为：或；（4）答案不唯一，例：如图4，画出正确图形，平移及构图方法：将△ACD沿着射线CA方向平移，平移距离为AC的长度，得到△A′C′D′，连接A′B，D′C，结论：∵BC=A′D′，BC∥A′D′，∴四边形A′BCD′是平行四边形．23．（14分）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx﹣8与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线l经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（﹣2，0），（6，﹣8）．（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使△FOE≌△FCE？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线l交于点Q，试探究：当m为何值时，△OPQ是等腰三角形．【解答】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx﹣8经过点A（﹣2，0），D（6，﹣8），∴，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣8，∵y=x2﹣3x﹣8=（x﹣3）2﹣，∴抛物线对称轴为直线x=3，又∵抛物线与x轴交于点A、B两点，点A坐标（﹣2，0），∴点B坐标（8，0）．设直线l的解析式为y=kx，∵经过点D（6，﹣8），∴6k=﹣8，∴k=﹣，∴直线l的解析式为y=﹣x，∵点E为直线l与抛物线的交点，∴点E的横坐标为3，纵坐标为﹣×3=﹣4，∴点E坐标（3，﹣4）．（2）抛物线上存在点F使得△FOE≌△FCE，此时点F纵坐标为﹣4，∴x2﹣3x﹣8=﹣4，∴x2﹣6x﹣8=0，x=3，∴点F坐标（3+，﹣4）或（3﹣，﹣4）．（3）①如图1中，当OP=OQ时，△OPQ是等腰三角形．∵点E坐标（3，﹣4），∴OE==5，过点E作直线ME∥PB，交y轴于点M，交x轴于点H．则=，∴OM=OE=5，∴点M坐标（0，﹣5）．设直线ME的解析式为y=k1x﹣5，∴3k1﹣5=﹣4，∴k1=，∴直线ME解析式为y=x﹣5，令y=0，得x﹣5=0，解得x=15，∴点H坐标（15，0），∵MH∥PB，∴=，即=，∴m=﹣，②如图2中，当QO=QP时，△POQ是等腰三角形．∵当x=0时，y=x2﹣3x﹣8=﹣8，∴点C坐标（0，﹣8），∴CE==5，∴OE=CE，∴∠1=∠2，∵QO=QP，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴CE∥PB，设直线CE交x轴于N，解析式为y=k2x﹣8，∴3k2﹣8=﹣4，∴k2=，∴直线CE解析式为y=x﹣8，令y=0，得x﹣8=0，∴x=6，∴点N坐标（6，0），∵CN∥PB，∴=，∴=，∴m=﹣．③OP=PQ时，显然不可能，理由，∵D（6，﹣8），∴∠1＜∠BOD，∵∠OQP=∠BOQ+∠ABP，∴∠PQO＞∠1，∴OP≠PQ，综上所述，当m=﹣或﹣时，△OPQ是等腰三角形．。
2016年山西省中考数学试卷-答案
山西省2016年高中阶段教育学校招生统一考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】A【解析】因为()0a a +-=，所以16-的相反数是16，故选A. 【提示】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，进而得出答案. 【考点】相反数 2.【答案】C【解析】解502 6 x x +>⎧⎨<⎩①②，由①得5x >-，由②得3x <，所以不等式组的解集是53x -<<，故选C.【提示】先求出每个不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可. 【考点】解一元一次不等式组 3.【答案】C【解析】A.调查某班学生每周课前预习的时间，班级容量小，且要求精准度高，用全面调查； B.调查某中学在职教师的身体健康状况，人数不多，容易调查，适合普查； C.调查全国中小学生课外阅读情况，中学生的人数比较多，适合采取抽样调查； D.调查某篮球队员的身高，此种情况数量不是很大，故必须普查.【提示】一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查. 【考点】全面调查与抽样调查 4.【答案】A【解析】从左面看第一列可看到3个小正方形，第二列有1个小正方形，故选A. 【提示】根据俯视图上的数字确定，每一列上的个数由该方向上的最大数决定. 【考点】简单几何体的三视图 5.【答案】B【解析】将55 000 000用科学记数法表示为：75.510⨯，故选B.【提示】科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中11|0|a ≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值大于10时，n 是正数；当原数的绝对值小于1时，n 是负数. 【考点】科学记数法表示较大的数 6.【答案】D 【解析】A.239()24-=，故A 错误； B.236(3)27a a =，故B 错误； C.3552353111555525555--÷=÷=⨯==，故C 错误；=- D.【提示】设甲每小时搬运kg x 货物，则甲搬运5000kg 所用的时间是：5000x ， 根据题意乙每小时搬运的货物为600x +，乙搬运8 000 kg 所用的时间为8000600x +；再根据甲搬运5 000 kg 所用的时间与乙搬运8 000 kg 所用的时间相等列方程. 【考点】分式方程的应用 8.【答案】D【解析】将抛物线化为顶点式为：2(2)8y x =--，左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到抛物线的表达式为2(1)3y x =+-.故选D.【提示】先将一般式化为顶点式，根据左加右减，上加下减来平移. 【考点】抛物线的平移 9.【答案】C【解析】18023180609030EOF ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1226r =÷=，∴2π30π6π180180n r F x E ===，故选C.【提示】如图连接OF ，OE ，由切线可知490∠=︒，故由平行可知390∠=︒；由OF OA =，且60C ∠=︒，所以160C ∠=∠=︒，所以OFA △为等边三角形，∴260∠=︒，从而可以得出FE 所对的圆心角然后根据弧长公式即可求出.【考点】切线的性质，求弧长 10.【答案】D【解析】1)CG CF =，2GH CF =，∴CG GH ==， ∴矩形DCGH 是黄金矩形，故选D.【提示】由作图方法可知DF ，所以1)CG CF =，且2GH CD CF ==，从而得出黄金矩形. 【考点】黄金分割的识别第Ⅱ卷二、填空题 11.【答案】(3,0)【解析】根据双塔西街点的坐标为(0,1)-和桃园路的点的坐标为(0,1)-，可知大南门为坐标原点，从而求出太原火车站的点（正好在网格点上）的坐标. 【提示】确定坐标原点是解题的关键. 【考点】坐标的确定 12.【答案】>【解析】在反比函数my x=中，0m <，10m -<，30m -<，在第四象限y 随着x 的增大而增大，且13m m ->-，所以12y y >.【提示】由反比函数0m <，则图象在第二四象限分别都是y 随着x 的增大而增大，∵0m <，∴10m -<，30m -<，且13m m ->-，从而比较y 的大小.【考点】反比函数的增减性 13.【答案】(41)n +【解析】第1个图形中有5个阴影小正方形，第2个图形中有9个阴影小正方形，第3个图形中有13个阴【解析】如图（1）由勾股定理可得DA ； 由AE 是DAB ∠的平分线可知12∠=∠；由CD AB ⊥，BE AB ⊥，EH DC ⊥可知四边形GEBC 为矩形， ∴HE AB ∥，∴23∠=∠， ∴13∠=∠，故EH HA =，设EH HA x ==，则2GH x =-，DH x =，∵HE AC ∥，∴DGH DCA △∽△，∴DH HG DA AC =22x -=，【提示】由勾股定理求出DA ；由平行得出12∠=∠，由角平分得出23∠=∠，从而得出13∠=∠，所以【解析】（1）补全的扇形统计图和条形统计图如图所示：（2）180030%540⨯=（人），∴估计该校对“工业设计”最感兴趣的学生是540人.（3）140%30%8%9%13%----=，∴正好抽到对“机电维修”最感兴趣的学生的概率13%. 【提示】（1）利用条形和扇形统计图相互对应求出总体，再分别计算即可；（2）由扇形统计图可知对“工业设计”最感兴趣的学生有30%，再用整体1 800乘以30%； （3）通过对扇形的观察可知.【提示】（1）已截取CG AB =，∴只需证明BD DG =；且MD BC ⊥，所以需证明MB MG =，故证明MBA MGC △≌△即可；（2）因为2AB =，故利用三角函数可得BE =；由阿基米德正弦定理可得BE DE DC =+，则BDC△周长BC CD BD BC DC DE BE =++=+++BC DC DE BE =+++（）BC BE BE =++2BC BE =+，然后代=30，在Rt sin3050AC =⨯5030=-CG GD +=tan30290EH ︒=【提示】过点A 作AG CD ⊥，垂足为G ，利用三角函数求出CG ，从而求出GD ，继而求出CD ，连接FD当四边形BCC D '''恰好为正方形时，分两种情况：①点C ''在边C C '上，2407113131313a C C ='-=-=； ②点C ''在边C C '的延长线上，24040913131313a C C ='+=+=. 综上所述，a 的值为7113或40913. （4）本小题答案不唯一.例：画出正确图形（如下图所示），平移及构图方法：将ACD △沿着射线CA 方向平移，平移距离为12AC 的长度，得到A C D ''△，连接A B '，C D '，如图4.结论：四边形是平行四边形.【提示】（1）利用旋转的性质和菱形的判定证明； （2）利用旋转的性质以及矩形的判定证明；（3）利用平移的性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点C ''在边C C '上和点C ''在边C C '的延长线上时； （4）开放型题目，答对即可.【考点】几何综合，旋转实际应用，平移的实际应用，旋转的性质，平移的性质，菱形的判定，矩形的判定【解析】（1）∵抛物线28y ax bx =+-经过点(2,0)A -，(6,8)D -，当0x =时，21388y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，设直线CE 交x 轴于点N ，其函数表达式为238y k x =-，∴2384k -=-，解得243k =， ∴CE 的函数表达式为483y x =-，令0y =，得4803x -=，∴6x =，∴点N 的坐标为(6,0). ∵CN PB ∥，∴OP OB =，∴8m -=，解得32m =-.解法二：当0x =时，213882y x x =--=-，∴点C 的坐标为(0,8)-，∴点E 的坐标为(3,4)-，∴5OE =，5CE =，∴OE CE =，∴12∠=∠，设抛物线的对称轴交直线PB 于点M ，交x 轴于点H ．分两种情况：①当QO QP =时，OPQ △是等腰三角形.∴13∠=∠，∴23∠=∠，∴CE PB ∥又∵HM y ∥轴，∴四边形PMEC 是平行四边形，∴8EM CP m ==--，∴4(8)4HM HE EM m m =+=+--=--，835BH =-=，∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BH OP BO = ∴458m m --=-，∴323m =- ②当OP OQ =时，OPQ △是等腰三角形．∵HM y ∥轴，∴OPQ EMQ ~△△，∴EQ EM OQ OP=，∴EQ EM =， ∴5()5EM EQ OE OQ OE OP m m ==-=-=--=+，∴4(5)HM m =-+∵HM y ∥轴，∴BHM BOP ~△△，∴HM BH =，∴15m --=，∴8m =-. 33【提示】（1）将A，D的坐标代入函数解析式，解二元一次方程即可求出函数表达式；点B坐标：利用抛物线对称性，求出对称轴结合A点坐标即可求出B点坐标；x=，即可求点E坐标：E为直线l和抛物线对称轴的交点，利用D点坐标求出l表达式，令其横坐标为3出点E的坐标；=，所以点F肯定在OC的垂直平分线上，所以点F的纵坐标为（2）利用全等对应边相等，可知FO FC4-，带入抛物线表达式，即可求出横坐标；（3）根据点P在y轴负半轴上运动，∴分两种情况讨论，再结合相似求解.【考点】求抛物线的解析式，求点坐标，全等构成，等腰三角形的构成。
山西省2016年中考数学真题试题(含参考答案)
感兴趣的学生的概率是
19．（2016·山西）（本题 7 分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理
阿基米德（Archimedes，公元前 287~公元 212 年， 是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为 王子．
阿拉伯 Al-Biruni（973 年~1050 年）的译文中保存 德折弦定理的内容，苏联在 1964 年根据 Al-Biruni 译本出版了俄文版
有阴影，依此规律，第 n 个图案中有
个涂有阴影的小正方形（用含有 n 的代数式表示）．
14．（2016·山西）如图是一个能自由转动的正六边形转盘，
这个转盘被三
条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”“2”“3”三个数字，指针的位置固定不 动．让转盘自动转动两次，当指针指向的数都是奇数的概率为 15．（2016·山西）如图，已知点 C 为线段 AB 的中点，CD⊥AB 且 CD=AB=4，连接 AD，BE⊥AB，AE 是 DAB 的平分线，与 DC 相交于点 F，EH⊥DC 于点 G，交 AD 于点 H，则 HG 的长为
式为（ ）
A． y (x 1)2 13
B． y (x 5)2 3
C． y (x 5)2 13 D． y x 12 3
9．（2016·山西）如图，在 ABCD 中，AB 为 O 的直径， DC 相切于点 E，与 AD 相交于点 F，已知 AB=12， C 60 ，则
验观摩”活动，相关职
业技术人员进行了现场演示，活
动后该校随机抽取了部
分学生进行调查：“你最感兴趣
的一种职业技能是什么？”并对此进行了统计，绘制了统计图（均不完整）．
（1）补全条形统计图和
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2016年山西省普通高中学业水平考试（真题）
数 学
(考试时间：60分钟；满分：100分)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的考生号、姓名填写在试题卷、答题卡上，考生要认真核对答题卡
上粘贴的条形码的“考生号、姓名”与考生本人考生号、姓名是否一致。
2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色字迹签字笔在答题卡上作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷和答题卡一并收回。
第Ⅰ卷（选择题，满分36分）
一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知集合A={0，1，2，3}，B={1，2}，则A ∩B=
A ．{1，2}
B ．{1，2，3，0}
C ．{2，3}
D ．{1，2，3}
2．直线y=－2x+2的斜率是
A ．－1
B ．1
C ．－2
D ．2
3．下图是某市2014年各月的平均气温(单位：℃)数据的茎叶图，则这组数据的中位数是
A ．19
B ．20
C ．21
D ．23
4．若函数f(x)=(2
1)x ，则f(0)等于 A ．0 B ．1 C ．21 D ．2
5．在下列函数中，偶函数是
A ．f(x)=x
B ．f(x)=2x
C ．f(x)=log 2x
D ．f(x)=x 2
6．已知等比数列{an}中，a 1=2，a 3=8，则a 5=
A ．14
B ．16
C ．32
D ．64
7．若a ＜b ，则下列不等式成立的是
A ．ac ＜bc
B ．a 2＜b 2
C ．lg a ＞lgb
D ．2a ＜2b
0 8 9 1 2 5 8 2 0 0 3 3 8 3 1 2
8．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是
A ．7
B ．9
C ．11
D ．13
9．sin15°cos75°+cos15°sin105°等于
A ．0
B 21．
C ．23
D ．1
10．已知函数f(x)=x 2－2x+b 在区间(2，4)内有唯一零点，则实数b 的取值范围是
A ．(－8，0)
B ．(－∞，0)
C ．(－8，+∞)
D ． R
ll ．已知向量AB OA ⊥，||OA =3，则OB OA •=
A ．12
B ．9
C ．6
D ．3
12．已知实数x ，y 满足⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥-+≥,022,01,0y x y x y ，则z=(x －1)2+(y －2)2的最小值是
A ．59
B ．553
C ．5
D ．2
第卷（非选择题 共64分）
二、填空题(本大题共4小题，每小题3分，共12分．要求直接写出结果，不必写出计算过程或推证过程)
13．若某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的形状是。
14．已知向量a =(4，2)，b =(x ，3)，或a ∥b ，则实数x 的值为。
15．若函数f(x)=(2m －1)x 3是幂函数，则实数m= 。
16．在△ABC 中，a ，b ，C 分别是内角A ，B ，C 的对边，若a=4，c=33，
B=6π，则sinA= 。