数据的收集与整理

数据的收集与整理

◆【课前热身】

1.一组数据4，5，6，7，7，8的中位数和众数分别是（）

A．7，7 B．7，6.5 C．5.5，7 D．6.5，7

2.我市统计局发布的统计公报显示，2004年到，我市GDP增长率分别为9.6%、10.2%、10.4%、10.6%、10.3%. 经济学家评论说，这5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的比较小.

A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差

3.在一次青年歌手大奖赛上，七位评委为某位歌手打出的分数如下：9.5， 9.4， 9.6， 9.9，

9.3， 9.7，9.0，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数是（）

A．9.2 B．9.3 C．9.4 D．9.5

4.若样本数据1，2，3，2的平均数是a，中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．

【参考答案】

1. D

2. D

3. D

4.0

◆【考点聚焦】

〖知识点〗

平均数、方差、标准差、方差的简化公式

〖大纲要求〗

了解样本方差、总体方差、样本标准差的意义，理解加权平均数的概念，掌握它的计算公式，会计算样本方差和样本标准差，掌握整理数据的步骤和方法.

◆【备考兵法】

1．方差的定义

在一组数据x1，x2，…，x n中，各数据与它们的平均数x的差的平方的平均数，•叫做

这组数据的方差．通常用“S2”表示，即S2=1

n

[（x1－x）2+（x2－x）2+…+（x n－x）2]．

2．方差的计算

（1）基本公式 S 2

=

1n

[（x 1－x ）2+（x 2－x ）2+…+（x n －x ）2

] （2）简化计算公式（Ⅰ） S 2

=

1n [（x 12+x 22+…+x n 2）－n x 2]，也可写成S 2=1n

（x 12+x 22+…+x n 2）－x 2

，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方． （3）简化计算公式（Ⅱ） S 2

=

1n

[（x`12+x`22+…+x`n 2）－nx x `2

]． 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a ，得到一组数据x`1=x 1－a ，x`2=x 2－a ，…x`n =x n －a ，•那么S 2

=

1n [（x`12+x`22+…+x`n 2）－n x `2]，也可写成S 2=1n

（x`12+x`22+…+x`n 2）－x `2

．记忆方法是：•方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方． 3．标准差的定义和计算

方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即 S=2S =

222121

[()()()n x x x x x x n

-+-++-

4．方差和标准差的意义

方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况． 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小． 〖考查重点与常见题型〗

1．考查平均数的求法，有关习题常出现在填空题或选择题中，如：

(1)已知一组数据为3，12，4，x ，9，5，6，7，8的平均数为7，则x ＝ (2)某校篮球代表队中，5名队员的身高如下（单位：厘米）：185，178，184，183，180，则这些队员的平均身高为（ ） （A ）183 （B ）182 （C ）181 （D ）180

2．考查样本方差、标准差的计算，有关试题常出现在选择题或填空题中，如：

（1）数据90，91，92，93的标准差是（ ）（A ）2 （B ）54 （C ）54 （D ）52 （2）甲、乙两人各射靶5次，已知甲所中环数是8、7、9、7、9，乙所中的环数的平均数

x2＝8，方差S2乙＝0.4，那么，对甲、乙的射击成绩的正确判断是（）

（A）甲的射击成绩较稳定（B）乙的射击成绩较稳定

（C）甲、乙的射击成绩同样稳定（D）甲、乙的射击成绩无法比较

◆【考点链接】

1．平均数的计算公式___________________________．

2. 加权平均数公式_____________________________．

3. 中位数是___________________________，众数是__________________________．4．极差是__________________，方差的计算公式_____________________________．标准差的计算公式：_________________________．

◆【典例精析】

例1甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下（•单位：分）甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数；

（2）分别计算这两组数据的方差；

（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？

【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．

【答案】（1）x甲=1

4

（6+2+7+5）+80=85，x乙=

1

4

（5+1+5+9）+80=85．

（2）S甲2=1

4

[（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+（85－85）2]=3.5，S乙2

=1

4

[（85－85）2+（81－85）2+（85－85）2+（89－85）2]=8．

（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．

【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．

例2在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、•乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度（以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分．