九年级数学下册 第28章圆28.3圆中的计算问题 1弧长和扇形的面积课件 华东师大版
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180
【规律总结】 求弧长“三步法”
1.求弧所对圆心角的度数； 2.求弧所在圆的半径； 3.依据弧长公式求出弧长．
【跟踪训练】
1.(2012·湛江中考)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长
为2π cm，则这个扇形的半径为( )
(A)6 cm
(B)12 cm
(C)2 3 cm (D) 6 cm
【解析】选A.由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,
180
因此所要求的展直长度
L=2×700+1 570=2 970(mm)
答：管道的展直长度为2 970 mm.
扇形面积的计算 【例2】(8分)(2012·宜宾中考)如图， △ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形， 圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交 于E，F两点，点C为 AD的中点. (1)求证:OF∥BD； (2)若 EF 1 ，且⊙O的半径R=6 cm.
180
解 得nn1=，60.
3 180
2.(2012·黄石中考)如图所示，扇形 AOB的圆心角为120°，半径为2，则 图中阴影部分的面积为( )
(A) 4 3
3
(C) 4 3
32
E源自文库 2
①求证:点F为线段OC的中点;②求圆中阴影部分(弓形)的面积.
【规范解答】(1)∵OC为半径,点C为 AD的中点, ∴OC⊥AD.……………………………………………………1分 ∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD， ∴OF∥BD.……………………………………………………2分 (2)①∵O为AB的中点，OF∥BD, ∴F为AD的中点, ∴FO=1 BD.………………………………3分
360 2 2
【规律总结】
利用扇形面积公式的两点注意
1.公式中的n与180不带单位；
2.已知半径和圆心角求扇形面积时,通常选用公式
S扇形
nr2 360
；
已知半径和弧长时,一般采用公式S扇形= 1lr．
2
【跟踪训练】
4.(2012·天门中考)如图，直径AB为6的
半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到
360
△AOB的面积为1 AB OE 1 12 3 6 36 3(cm2 )．
2
2
则阴影部分的面积为 (48 36 3) cm2.
1.(2012·珠海中考)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么
3
此扇形的圆心角的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
【解析】选C.根据弧长公式 l n可r得，
即n=60，l=2π，
根据弧长公式 l nR ，得2 60R ,即R 6 cm.
180
180
2.(2011·淮安中考)在半径为6 cm的圆中,60°的圆心角所对的
弧长等于______.
【解析】方法一：直接利用弧长计算公式：
l nr 60 6 2(cm).
180 180
方法二：圆心角为60°,所以圆心角所夹的扇形为圆的 ,因1 此
了点B′，则图中阴影部分的面积是( )
(A)3π
(B)6π
(C)5π
(D)4π
【解析】选B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形BAB′的面 积，所以图中阴影部分的面积是 60 62 6.
360
5.如图,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12 cm,其中水面 高度为6 cm,求截面上有水的弓形面积.
【解析】连结OA,OB.
∵OE=OC-CE=12-6=6 (cm),在直角△AOE中,
OA=12 cm,OE=6 cm,∴∠OAE=30°,
AE=OA·cos 30°=6 3 (cm).
∴∠AOB=2∠AOE=120°,AB=2A12E=3 cm.
∴扇形AOB的面积为120 1=2248π(cm2)．
6
弧长为圆周长的 1,即 1 2r 1 2 6 2 (cm)
66
6
答案：2πcm
3.制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试 计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm,精确到1 mm)．
【解析】由弧长公式,可得弧AB的长 l 100 =590000π≈1 570(mm)
1.弧长和扇形的面积
1.弧长：圆的周长可以看作_3_6_0_度的圆心角所对的弧.设圆的半
r
径为r,则1°的圆心角所对的弧长l是__1_8_0__,2°的圆心角所对
2r
4r
的弧长l是__1_8_0_,4°的圆心角所对的弧长l是__1_80__，…，n°的
nr
圆心角所对的弧长l是__1_8_0_.
2.什么叫扇形？
2
∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE.
∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD…………………………4分
CF EF 1,FC 1 BD, …………………………………5分
BD ED 2
2
∴FC=FO，即点F为CO的中点.………………………………6分
②∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO.
又∵AO=CO,∴△AOC为等边三角形.…………………………7分 ∴S阴= 60 62 1 3 6…6 …6……9 …3(8cm分2 ).
答：由组成圆心角的两条_半__径__和圆心角所对的_弧__所围成的图
形叫做扇形.
3.扇形的面积：圆的面积可以看作_3_6_0_度圆心角所对的扇形的
面积.设圆的半径为r,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形
r 2
__3_6_0_
,
2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
2r 2
__3_6_0_
,5°的圆心角所对的扇
弧长公式的应用 【例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠B=15°,以C为圆心,CA为半径的圆交 AB于D点,若AC=6,求弧AD的长.
【解题探究】 ①试比较∠CAD与∠CDA的大小． 答：连结CD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA. ②∠ACD为多少度？ 答：∵∠ACB=90°,∠B=15°,∴∠CAD=75°, ∴∠ACD=30°． ③ AD的长度为多少？ 答：∵AC=6,∴ AD 的长度= 30 6 .
形面积S扇形=
5r2
_3_6_0_
,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
nr 2
_3_6_0_
.
【点拨】半径一定时,圆心角越大，弧长和扇形的面积也越大； 圆心角一定时,半径越大，弧长和扇形的面积也越大. 【预习思考】弧长、扇形面积与什么有关？ 提示：弧长、扇形的面积与所在圆的半径和所对的圆心角有 关．
【规律总结】 求弧长“三步法”
1.求弧所对圆心角的度数； 2.求弧所在圆的半径； 3.依据弧长公式求出弧长．
【跟踪训练】
1.(2012·湛江中考)一个扇形的圆心角为60°，它所对的弧长
为2π cm，则这个扇形的半径为( )
(A)6 cm
(B)12 cm
(C)2 3 cm (D) 6 cm
【解析】选A.由扇形的圆心角为60°，它所对的弧长为2πcm,
180
因此所要求的展直长度
L=2×700+1 570=2 970(mm)
答：管道的展直长度为2 970 mm.
扇形面积的计算 【例2】(8分)(2012·宜宾中考)如图， △ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形， 圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交 于E，F两点，点C为 AD的中点. (1)求证:OF∥BD； (2)若 EF 1 ，且⊙O的半径R=6 cm.
180
解 得nn1=，60.
3 180
2.(2012·黄石中考)如图所示，扇形 AOB的圆心角为120°，半径为2，则 图中阴影部分的面积为( )
(A) 4 3
3
(C) 4 3
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E源自文库 2
①求证:点F为线段OC的中点;②求圆中阴影部分(弓形)的面积.
【规范解答】(1)∵OC为半径,点C为 AD的中点, ∴OC⊥AD.……………………………………………………1分 ∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD， ∴OF∥BD.……………………………………………………2分 (2)①∵O为AB的中点，OF∥BD, ∴F为AD的中点, ∴FO=1 BD.………………………………3分
360 2 2
【规律总结】
利用扇形面积公式的两点注意
1.公式中的n与180不带单位；
2.已知半径和圆心角求扇形面积时,通常选用公式
S扇形
nr2 360
；
已知半径和弧长时,一般采用公式S扇形= 1lr．
2
【跟踪训练】
4.(2012·天门中考)如图，直径AB为6的
半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到
360
△AOB的面积为1 AB OE 1 12 3 6 36 3(cm2 )．
2
2
则阴影部分的面积为 (48 36 3) cm2.
1.(2012·珠海中考)如果一个扇形的半径是1，弧长是 ，那么
3
此扇形的圆心角的大小为( )
(A)30° (B)45° (C)60° (D)90°
【解析】选C.根据弧长公式 l n可r得，
即n=60，l=2π，
根据弧长公式 l nR ，得2 60R ,即R 6 cm.
180
180
2.(2011·淮安中考)在半径为6 cm的圆中,60°的圆心角所对的
弧长等于______.
【解析】方法一：直接利用弧长计算公式：
l nr 60 6 2(cm).
180 180
方法二：圆心角为60°,所以圆心角所夹的扇形为圆的 ,因1 此
了点B′，则图中阴影部分的面积是( )
(A)3π
(B)6π
(C)5π
(D)4π
【解析】选B.由图可得，阴影部分的面积即为扇形BAB′的面 积，所以图中阴影部分的面积是 60 62 6.
360
5.如图,水平放着的圆柱形排水管的截面半径是12 cm,其中水面 高度为6 cm,求截面上有水的弓形面积.
【解析】连结OA,OB.
∵OE=OC-CE=12-6=6 (cm),在直角△AOE中,
OA=12 cm,OE=6 cm,∴∠OAE=30°,
AE=OA·cos 30°=6 3 (cm).
∴∠AOB=2∠AOE=120°,AB=2A12E=3 cm.
∴扇形AOB的面积为120 1=2248π(cm2)．
6
弧长为圆周长的 1,即 1 2r 1 2 6 2 (cm)
66
6
答案：2πcm
3.制造弯形管道时,要先按中心线计算“展直长度”,再下料,试 计算如图所示管道的展直长度L(单位：mm,精确到1 mm)．
【解析】由弧长公式,可得弧AB的长 l 100 =590000π≈1 570(mm)
1.弧长和扇形的面积
1.弧长：圆的周长可以看作_3_6_0_度的圆心角所对的弧.设圆的半
r
径为r,则1°的圆心角所对的弧长l是__1_8_0__,2°的圆心角所对
2r
4r
的弧长l是__1_8_0_,4°的圆心角所对的弧长l是__1_80__，…，n°的
nr
圆心角所对的弧长l是__1_8_0_.
2.什么叫扇形？
2
∵FC∥BD,∴∠FCE=∠DBE.
∵∠FEC=∠DEB,∴△ECF∽△EBD…………………………4分
CF EF 1,FC 1 BD, …………………………………5分
BD ED 2
2
∴FC=FO，即点F为CO的中点.………………………………6分
②∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO.
又∵AO=CO,∴△AOC为等边三角形.…………………………7分 ∴S阴= 60 62 1 3 6…6 …6……9 …3(8cm分2 ).
答：由组成圆心角的两条_半__径__和圆心角所对的_弧__所围成的图
形叫做扇形.
3.扇形的面积：圆的面积可以看作_3_6_0_度圆心角所对的扇形的
面积.设圆的半径为r,1°的圆心角所对的扇形面积S扇形
r 2
__3_6_0_
,
2°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
2r 2
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,5°的圆心角所对的扇
弧长公式的应用 【例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°, ∠B=15°,以C为圆心,CA为半径的圆交 AB于D点,若AC=6,求弧AD的长.
【解题探究】 ①试比较∠CAD与∠CDA的大小． 答：连结CD,∵AC=CD,∴∠CAD=∠CDA. ②∠ACD为多少度？ 答：∵∠ACB=90°,∠B=15°,∴∠CAD=75°, ∴∠ACD=30°． ③ AD的长度为多少？ 答：∵AC=6,∴ AD 的长度= 30 6 .
形面积S扇形=
5r2
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,n°的圆心角所对的扇形面积S扇形=
nr 2
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【点拨】半径一定时,圆心角越大，弧长和扇形的面积也越大； 圆心角一定时,半径越大，弧长和扇形的面积也越大. 【预习思考】弧长、扇形面积与什么有关？ 提示：弧长、扇形的面积与所在圆的半径和所对的圆心角有 关．