微分方程组求解方法

由特征根的不同情况分为四种情况来讨论:
1. 特征根为不相等的同号实根
此时对应的标准型为
dx
dt dy
dt
x y
容易求出其通解为
( 0, q 0)
(5.3.12)
x(t) c1et , y(t) c2et . （5.3.13）
c , c 其中 是1 任意2常数，
c c 对应于1零解，2 0
我们可知：
当 时
lim c 2 e( )t 0 t c1
X 即切线切 轴趋于 点。 (0, 0)
当 时
lim c 2 e()t t c1
Y 即切线切 轴趋于 点。 (0, 0)
(0, 0) 且由于(5.3.14)知此时原点
是渐近稳定的，
所以系统在原点及附近的相图如下图所示：
考虑到一般的平面线性系统
其中系数矩阵
dx dt
ax
by
dy
dt
cx
dy
a b A为常数c矩阵d。
（5.3.5）
如果 det A a，d则 bc 是系0统
的惟一的奇点，这个奇点称为孤立奇点.
O(0, 0) 而 det A 0
则称 O非(0为,0孤)立奇点,而非孤立奇点充满一条直线，
这时的奇点称为系统的高阶奇点。
Maple画轨线图时候先要调入微分方程的软 件包，接着定义方程，给出变量及其范围，指定
初值，再给出步长、颜色等。看几个具体的例子。
例5.3.1 用Maple描出系统
dx dt
x
dy
dt
2 y
在奇点附近轨线的相图。
(5.3.6)
解 用Maple解得相图5.7。
5.3.2 平面线性系统的初等奇点
Y c1 0, c2 0 对应的 轴正负半轴都是轨线；
X c1 0, c2 0 对应的 轴正负半轴是轨线；
c , c 0 当
时候，再分两种情况讨论：
12
, （1），
同号且均为负数
( p 0)
t 这时消去 得
y cx
所以轨线均为以 顶点(的0抛,物0)线，且
（5.3.14）
当 t 时由 dy c 2 e( )t dx c1
必须弄清其奇点及其邻域内的轨线分布。比如
上节我们已知系统的任何出发于常点的轨线，
不可能在任一有限时刻到达奇点。反过来如果系
统的某一解
x， x(t满)足：y y(t)
lim
t
x(t)
x0
,
lim
t
y(t)
y0 ,
则点 ( x0一,定y是0 )系统的奇点。
一般来说，奇点及其附近轨线的性态是比较
图5.11(a)
图5.11(b)
我们把这样的奇点称为稳定结点。
, （2），
同号均为正数
( p 0)
这时关于(1)的讨论在此适用只需将
t 改为
所以此时的奇点称为不稳定结点，
轨线分布如图5.11类似，仅是图上的箭头反向。
t
, 2.
为异号实根
( 0, q 0)
这时仍有(5.3.13)和(5.3.14)，所以两个坐标轴的
3 . 为重根 ( 0, q 0)
这时由Jordan块的不同分为两种：
(1) 标准型为
dx dt
x
dy
dt
y
(5.3.15)
且当 时，0
lim x(t) lim y(t) 0
t
t
即 (0是, 0渐)近稳定的；
0 反之，当 时 为不稳定(0的,。0此) 时的
§5.3平面线性系统的奇点及相图
5.3.1 几个线性系统的计算机相图 5.3.2 平面线性系统的初始奇点
本节我们仍考虑被称为平面系统的二维自治系统
dx dt
f (x, y)
dy
g ( x,
y)
(5.3.1)
dt
其中 f (，x, y)在上g(x连, 续y且) 满足解的R2
存在唯一性条件。
为了研究系统（5.3.1）的轨线的定性性态，
如果 f (x, y)均, 是g(x,的y线)形函
数。我们称之为线性系统，即
dx
dt dy
dt
ax by cx dy
(5.3.4)
x, y
(5.3.5)
5.3.1 几个线性系统的计算机相图
一个自治系统在奇点邻域的相图对奇点邻 域轨线的性态有很大的帮助。Maple可以方便地 画出其图形，给我们一个直观的形象。
下边讨论系统（5.3.5）的初等奇点。 根据线性代数的理论，必定存在非奇异
T 实矩阵 ，使得
成为T 的1若A当T
A
（Jordan）标准型，且若当标准型的形式由
A 的特征根的不同情况而具有以下几种形式：
0
0
0
1
因而对系统（5.3.5）作变换
X TY
即 Y ，T其中1X
X
x
y
复杂的。又因为对于系统的任何奇点
均
可用变换
x
x x x0
y
y
y0
把（5.3.1）变为：
P0 (x0 , y0 )
(5.3.2)
dx dt
f (x x0 , y
y0 )
P(x, y)
(5.3.3)
dy dt
g(x
x0 ,
y
y0
)
Q( x,
y)
且(5.3.3)的奇点
即对O应(于0(5,.03.1))的
由于变换
X TY 不改变奇点的位置与类
型 ，因此我们只对线性系统的标准方程组给出
讨论。
A 设 的特征方程为：
a b 2 (a d) ad bc 0 c d
记 p (a d ), q ad bc, p2 4q
则特征方程为
2 p，特征根q为 0
p
2
(5.3.11)
Y
是上边所说的实可逆矩阵，则系统 (5.3.5)变为:
T
t11 t12
t21
t22
dY T 1ATY dt
T AT 从
1而变换的几种形式就能容易的得出
(5.3.10)
( , ) 平面系统（5.3.10）的轨线结构，至于
原方程组(5.3.5)的奇点及附近的轨线结构只须
X TY 用变换
返回到就行了。
奇点 P0 (。x0又,因y为0 )变换(5.3.2)只是一个平
移变换，所以不改变奇点及邻域轨线的性态。
因此，我们可假设
是(5O.3.1()的0,奇0点)，且
只须讨论(5.3.1)的奇点
及其邻域O的(轨0线, 0)
性态即可。所以设(5.3.1)中的右端函数满足：
f (0, 0) g(0, 0) 0
正负半轴仍为轨线，但是由于
，奇点附近 0
的轨线成为双曲线的且
若 0，则当 时， t
x(t) 0, y(t)
ຫໍສະໝຸດ Baidu
若 0，则当
时， t
x(t) , y(t) 0
X Y 轨线均以 轴 轴为渐近线，系统在原点及
附近的轨线分布如:
图5.12(a)
图5.12(b)
这种奇点成为鞍点，它是不稳定奇点。