圆中求弦长的方法

例1（2010•北京）已知：如图，在△ABC中，D是AB边上一点，圆O过D、B、C三点，∠DOC=2∠ACD=90°．

（1）求证：直线AC是圆O的切线；

（2）如果∠ACB=75°，圆O的半径为2，求BD的长．

解斜三角形通常通过作垂线把问题转化为解直角三角形求解．

（2）解：方法1：∵OD=OC=2，∠DOC=90°，

∴CD=22

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，

作DE⊥BC于点E，则∠DEC=90°，

∴DE=DCsin30°=2

∵∠B=45°，

∴DB=2．

圆心角与圆周角的互化

方法2：连接BO

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=30°，∴∠BOD=60°

∵OD=OB=2

∴△BOD是等边三角形

∴BD=OD=2．

把弦长转化到直角三角形中

方法3: 连接DO并延长交圆O于E,连接BE

∴∠DBE=90°

∵∠ACB=75°，∠ACD=45°，

∴∠BCD=∠BCD =30°，

在Rt△DBE中, ∠DBE=90°,∠E=30°,DE=2OD=4

∴BD=1

2

DE =2．

E

O

D

C

B

A

例2（2012•昌平区一模）如图，已知直线PA 交⊙O 于A 、B 两点，AE 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，且AC 平分∠PAE ，过点C 作CD ⊥PA 于D ．

（1）求证：CD 是⊙O 的切线；

（2）若AD ：DC=1：3，AB=8，求⊙O 的半径．

由垂径定理构造半径、半弦、弦心距构成的直角三角形

（2）解：过O 作OM ⊥AB 于M ．

即∠OMA=90°，

∵AB=8，

∴由垂径定理得：AM=4，

∵∠MDC=∠OMA=∠DCO=90°，

∴四边形DMOC 是矩形，

∴OC=DM ，OM=CD ．

∵AD ：DC=1：3，

∴设AD=x ，则DC=OM=3x ，OA=OC=DM=DA+AM=x+4，

∵在Rt △AMO 中，∠AMO=90°，根据勾股定理得：AO 2=42+OM 2．

∴（x+4）2=42+（3x ）2，

解得 x 1=0（不合题意，舍去），x 2=1．

则 OA=MD=x+4=5．

∴⊙O 的半径是5．

例3如图，△ADC 中，∠D=90°，B 是AC 边上一点，以AB 为直径的⊙O 与边CD ，AD 分别交于E 、F 两点，AE 平分∠CAD ．

（1）求证：CD 与⊙O 相切；

（2）若ED=2，AD=4，求BE 的长．

利用相似三角形

（2）∵ED=2，AD=4，

∴22222425AE AD DE =+=+=，

∵AB 是⊙O 的直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠OAE=∠EAD ，

∴△AEB ∽△ADE ，

∴BE EA DE AD

= 即

2524BE = 解得5BE =

练习: （2013•丰台区二模）已知：如图，直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过点C作CD⊥PA，垂足为点D．

（1）求证：CD与⊙O相切；

（2）若tan∠ACD=1

2

，⊙O的直径为10，求AB的长．

2.如图，在△ABC中，D为AB上一点，⊙O经过B、C、D三点，∠COD=90°，

∠ACD=∠BCO+∠BDO．

（1）求证：直线AC是⊙O的切线；

（2）若∠BCO=15°，⊙O的半径为2，求BD的长．

3.（2007•北京）已知：如图，A是⊙O上一点，半径OC的延长线与过点A的直线交于B

点，OC=BC，AC=1

2 OB．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若∠ACD=45°，OC=2，求弦CD的长．