定积分的概念,几何意义及其运算

随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
一、积分的概念： 1.不定积分： ① 若 F / (x) f (x) ,则称 F (x)是 f (x) 的一个原函数 ② f (x) 的全体原函数，称 f (x) 的不定积分
记作： f (x)dx F (x) C
y f1( x)
④
a y f2(x) b x
b
A4 a [ f1(x) f2 (x)]dx
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
y f1( x)
⑤
y f2(x)
xa xb
xc
xd
b
c
d
A5 a [ f1(x) f2(x)]dx b [ f1(x) f2(x)]dx a [ f1(x) f2(x)]dx
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时
过剩近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法
故f(x)在Domain上↗（↘） ②当f(x) 不单调时 当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↗
当x∈Domain时，解 f (x) 0 得f(x)在I1， I2…上↘
极值的求法
一、形法： 顶点即是极值点 谷底极小峰极大
二、数法：
1.一导法求极值：
一求驻点二单调 三写极值靠图象 书写格式要简明 含参反用须验根
a
a
b
b
b
② [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
a
a
a
b
c
b
③ a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
练习3.定积分的运算：
(3)课本P：53 例1 (4)课本P：53 例2 (5)课本P：55 A组 Ex1
① 原式= 2 (16 8x 4x2 2x3)dx 0
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
y y f (x)
①
oa
bx
b
A1 a f ( x)dx
y y f2(x)
②
y f1( x)
oa
bx
b
A2 a [ f2( x) f1( x)]dx
(2)用定积分表示下面阴影图形的面积值:
③a
y bx
o
y f (x)
b
A3 a f ( x)dx
⑧ cos xdx sin x C
⑨ [af (x) bg(x)]dx a f (x)dx b g(x)dx
⑩ [ f (x)dx]/ f (x) ,
f / (x)dx f (x) C
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：
物理学中好多问题： ①状态量的求和：如体积,质量,电量,能量…… ②过程量的累积：如做功,焓变,熵变,电势差…… ③广延量的求和：如质量,电量,能量,转动惯量…… ④强度量的累积：如电场强度,磁感应强度,温度压强……
yb
⑥
x f2(y)
b
A6 a [ f2 ( y) f1( y)]dy
ya
x f1( y)
三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
②基本定理法：
b
f (x)dx F(b) F(a)
a
2.运算性质：
b
b
① kf (x)dx k f (x)dx
既然是“近似代替” 自然就有“过剩”与“不足” 近似之说 随着分割越来越细，即n→＋∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
过剩近似值
不足近似值
随着分割越来越细，即n→＋∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
过剩近似值与不足近似值
左点法 矩形法 中点法 梯形法 右点法 抛物线法
随着分割越来越细，即n→﹢∞或⊿x→0时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
定积分的概念 第一步：分割 第二步：近似代替 第三步：求和 第四步：取极限
过剩近似值与不足近似值
y
O i-1
i
x
左点法 矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 不足近似值会趋于真实值
2.二导法求极值：
一求驻点二筛选 大小小大○为非
一般地，若 f / (x0 ) 0 则
① f // (x0 ) 0
f(x0)是极小值
② f // (x0 ) 0
f(x0)是极大值
③ f // (x0 ) 0
f(x0)是非极值
最值的求法
1.形法
函数图象
必有最值闭且连 最值来源顶端点
线性规划
2.数法
故，原式= 2 2 cos2 tdt
2 (1 cos 2t)dt
0
0
2
作业：
1.课本P：55 A组 Ex2
2.课本P：66 A组 Ex14
3.若
1 f (x)dx 2 ，则
1
[2
f
(x) 3x]dx ［1 2f 0
x
3］dx
______
0
0
4.将图中阴影部分的面积S 用定积分表示出来： (不要求计算)
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
积 被 被积
x
原
积
分 积 积分
的函
分
号 函 表变 数 达量 式
微数 分
常 数
常见的不定积分公式
① 0dx C
② dx x C
③
xndx
x n 1
n1
C(n
1)
⑤ exdx ex C
④
1 x
dx
ln
|
x
|
C
⑥ axdx ax C ln a
⑦ sin xdx cos x C
函数法(单调性法) 最值定理
导数法——单调性法的特例
看图说话是关键 最值来源顶端点 一论单调算顶端 三写最值是格式 能代则代罗比达 是则名为筛选法
§225 定积分的概念、几何意义及其运算
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
(2
x
3 2
3
x2 ) 4 2
1
7 16
⑤ 原式=
(3x2 cos x) 2
3 2
1
2
8
0
⑥ 原式= (ex 2ln x) 2 e2 e 2 ln 2 1
(6)课本P：55 B组 Ex1
①原式= e2x 1 e2 1
2 0
2
2x 3 ③原式= ln 2
1
6 ln 2
② 原式= sin 2x 4 2 3
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
第一步：分割
y
将图中曲边梯形分割成n个小曲边梯形
记他们的面n积分别为：S1, S2, , Sn
显然有S Si
i 1
第二步：近似代替
O
用小矩形的面积近似的代替 小曲边梯形的面积
y= x 2
i-1 i 1 x nn
第三步：求和 求出图中小矩形的面积和 Sn
y0 f (x0 )
二导意义是曲率 大凹小凸○拐点
导数法判定单调性
第一确定定义域 三解不等得结论
②
注1：最终结果要显然
第二求导到显然 ①
书写格式要简明 ③
乘积配方与○比
注2：增大减小○驻点 等号问题待大学 含参反用必须等 其他情况暂忽略
注3：书写格式要简明
①当f(x) 单调时
因 f (x) 0 在Domain上恒成立
§225 定积分的概念、几何意义及其运算
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
三、定积分的运算：
1.运算方法： ①几何意义法： ②基本定理法：
2.运算性质：
导数概述
导
①求切线斜率 ②判定单调性
数 ③求极值 ④求最值
上述各种问题，归结到数学上是：
如何求不规则图形的面积或体积
高中阶段，只研究较简单的不规则图形的面积
上图纵向切割后,可归结成求“二直二曲”图形的面积
“二直二曲”可切割成——“三直一曲”的曲边梯形 如何求曲边梯形的面积呢？
例1.已知图中阴影部分是由抛物线 y x2 ,直线x=1以
及x轴所围成的平面图形,求阴影部分的面积S
y
y x2
x
O
1
析①：曲边梯形的一边是曲线段是难点 析②：先微分══＞以直代曲══＞后积分
第一步：分割
将图中曲边梯形分割成n个小曲边梯形 y
记他们的面n积分别为：S1, S2, , Sn
显然有S Si i 1
第二步：近似代替
O
用小矩形的面积近似的代替 小曲边梯形的面积
y=x 2
i-1 i 1 x nn
2
4
6
法3：(7)s求
4
[(4
y)
1
y2 ]dy
0
2
解：原式
(4 y
1 2
y2
1 6
y3)
|04
4 4 1 42 1 43 40 26 3
(8)求1 1 1 11-xx22ddxx .
1-1
2
析：直接求原函数不易也
利用几何意义
另：实际上可结合对称性，以及换元法求解
设x sin t,则dx costdt
第四步：取极限
当n趋向于无穷大时，S
趋向于S
n
n
,即 S
lim
n
Sn
lim n
i 1
f
一、积分的概念：
1.不定积分： 2.定积分：(四大步 参课本P：39～45)
①分割
②近似代替 分割取近似，求和取极限 ③求和
④取极限
积分上限
lim 记作：
b a
f
(x)dx
n
n ba i1 n
f
(i )
积分下限
矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
y
O i-1
i
x
左点法
矩形法 中点法
过剩近似值与不足近似值： 梯形法 右点法
抛物线法
随着分割越来越细，即⊿x→0时 近似值会趋于真实值
练习1.定积分的概念 (1)课本P：42 探究
随着分割越来越细(n→﹢∞或⊿x→0)时 不足近似值和过剩近似值都会趋于真实值
数 学 概求应
⑤堪根 ⑥解证不等式 ⑦证等式……
念导用
其 他 学
积 ⑧曲边梯形面积 分 ⑨数列求和
科
导数的几何意义
割线极限是切线 必须切点横坐标 知一有二基本功
一导本身是斜率 切点坐标及斜率 在即切点过待定
k
f / (x0 )
y0 x0
y1 x1
y0 kx0 b
P0 (x0 , y0 ) P1 (x1 , y1 )
(16x 4x2
4
x3
1
2
x4)
40
3 2 03
② 原式=
2
3
(x 2 )dx
(1 x2 2x 3ln x) 2
1 3ln 2
1
x
2
12
③ 原式= 3 (x 2 1 )dx
2
x
(1 x2 2x ln x) 3 9 ln 3
2
22
2
④ 原式=
4
(
1
x x)dx
y f前(x)
y f后(x)
xa
xb源自文库
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f后(x)
y f前(x)
xa
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
预习：
定积分的应用
注：一般的，定积分是一个数值；不定积分是一个函数
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
b
a f (x)dx
b
a [ f (x) 0]dx
b
a [ f1(x) f2(x)]dx
b
a [ f前(x) f后(x)]dx
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
y f前(x)
xa
y f后(x)
xb
b
a [ f前(x) f后(x)]dx S1 S2 S3
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积 前上为正下相反 有上有下代数和 同理可得右为前
yb
x f后(y)
x f前(y)
ya
b
a [ f前( y) f后( y)]dy S
练习2.一重积分的几何意义