热统作业
热统答案(全)
（2）
或
V T , p V T0 , p0 e
T T0 T p p0
.
（3）
考虑到 和 T 的数值很小，将指数函数展开，准确到 和 T 的线性项，有
V T , p V T0 , p0 1 T T0 T p p0 .
lnV dT T dp .
（3）
若 1 , T 1 ，式（3）可表为
T p
1 1 lnV dT dp . p T
（4）
选择图示的积分路线，从 (T0 , p0 ) 积分到 T , p0 ，再积分到（T , p ） ，相应地体
U CV , T n
（4）
（c）根据题给的数据， J , Y , 对
L L0
的曲线分别如图 1-2 （a） ， （b） ， （c）
所示。
7
1.7 抽成真空的小匣带有活门，打开活门让气体冲入，当压强达到外界 压强 p0 时将活门关上，试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前， 它的内能 U 与原来在大气中的内能 U 0 之差为 U U 0 p0V0 ，其中 V0 是它原来在 大气中的体积，若气体是理想气体，求它的温度与体积。 解：将冲入小匣的气体看作系统。系统冲入小匣后的内能U 与其原来在 大气中的内能 U 0 由式（1.5.3）
J YA T2 T1
解：由物态方程
f J , L, T 0
（1）
知偏导数间存在以下关系：
L T J 1. T J J L L T
（2）
所以，有
热统试题及重要答案
一、简答题（23分）1. 简述能量均分定理。
（4分）答：对于处在温度为T的平衡状态的经典系统，粒子能量中每一个平方项的平均值的平均值等于。
根据能量均分定理，单原子分子的平均能量为，双原子分子的平均能量2. 热力学方法和统计物理方法是研究关于热运动规律性的两种方法，试评论这两种方法各自的优缺点。
（5分）答：热力学：较普遍、可靠，但不能求特殊性质。
以大量实验总结出来的几条定律为基础，应用严密逻辑推理和严格数学运算来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。
统计物理：可求特殊性质，但可靠性依赖于微观结构的假设，计算较麻烦。
从物质的微观结构出发，考虑微观粒子的热运动，通过求统计平均来研究宏观物体热性质与热现象有关的一切规律。
两者体现了归纳与演绎不同之处，可互为补充，取长补短。
3. 解释热力学特性函数。
（4分）答：如果适当选择独立变量（称为自然变量），只要知道一个热力学函数，就可以通过求偏导数而求得均匀系统的全部热力学函数，从而把均匀系统的平衡性质完全确定，这个热力学函数即称为特性函数，表明它是表征均匀系统的特性的。
4.简述推导最概然分布的主要思路。
（5分）①写出给定分布下的微观状态函数表达式② 两边同时取对数，并求一阶微分③ 利用约束条件N ，E 进行简化④ 令一阶微分为0，求极大值⑤ 由于自变量不完全独立，引入拉格朗日未定乘子⑥ 最后得出粒子的最概然分布5. 试述克劳修斯和开尔文关于热力学第二定律的两种表述，并简要说明这两种表述是等效的。
(5分)答：克：不可能把热量从低温物体传到高温物体而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）；开：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其他变化（表明功变热的过程是不可逆的）；联系：反证法 P31二．填空题（27分）1. （3分）熵的性质主要有① 熵是态函数 ； ② 熵是广延量 ； ③ 熵可以判断反应方向 ；④熵可以判断过程的可逆性 ；⑤ S=k ln 熵是系统微观粒子无规则运动混乱程度的度量 。
热统习的题目解答(全)
第一章 热力学的基本规律1.1 试求理想气体的体胀系数α，压强系数β和等温压缩系数κ。
解： 理想气体的物态方程为RT pV =,由此可算得： PP V V k T T P P T T V V T V P 1)(1;1)(1,1)(1=∂∂-==∂∂==∂∂=βα1.2 证明任何一种具有两个独立参量T ，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κ ，根据下述积分求得： ⎰-=)(ln kdP adT V ，如果Pk T a 1,1==，试求物态方程。
证明：dp p VdT T V p T dV T P )()(),(∂∂+∂∂= 两边除以V,得dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1积分后得 ⎰-=)(ln kdP adT V 如果,1,1p T ==κα代入上式，得C P T PdP T dT V ln ln ln )(ln +-=-=⎰所以物态方程为：CT PV =与1mol 理想气体得物态方程PV=RT 相比较，可知所要求的物态方程即为理想气体物态方程。
1.3在00C 和1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为a=4.185×10-5K -1，k=7.8×10-7atm -1。
a 和k 可以近似看作常数。
今使铜加热至100C ，问（1）压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变？（2）若压力增加100atm ，铜块的体积改变多少？解：（a ）由上题dp dT dp p VV dT T V V V dV T P κα-=∂∂+∂∂=)(1)(1体积不变，即0=dV所以dT kadP = 即atm T k a P 62210108.71085.475=⨯⨯⨯=∆=∆-- (b)475121211211007.4100108.7101085.4)()(---⨯=⨯⨯-⨯⨯=---=-=∆p p T T V V V V V κα可见，体积增加万分之4.07。
热统期末试卷及答案 北师大
热统期末试卷及答案北师大一、选择题（每小题3分，满分24分）1、下列现象中，由于光的反射形成的是（）A.月光下的人影B.池塘的水底看起来比实际的浅C.拱桥在平静湖水中的倒影D.玻璃三棱镜分解了的太阳光2、下列物态变化中属于放热现象的是哪一组（）①初春，冰封的湖面解冻②盛夏，旷野里雾的形成③深秋，路边的小草上结了一层霜④严冬，冰冻的衣服逐渐变干、A.①②B.②③C.③④D.①④3、下列说法中，正确的是（）A.验电器的工作原理是同种电荷相互排斥B.宇航员在月球上无法用电磁波来通信C.只有镜面反射遵循光的反射定律D.只有凸透镜能成等大的像4、下列说法错误的是（）A.并联电路的干路电流等于各支路电流之和B.使用精密仪器和改进实验方法可以避免误差C.用安培定则可判断通电螺线管的极性D.1kWh=3。
6×106J5、潜水员逐渐从水里浮出水面的过程中，他受到的浮力（）A.逐渐增大B.逐渐减小C.始终不变D.先增大后不变6、能说明将电能转化为机械能的是（）A.钻木取火B.水蒸气将塞子冲出C.通电导体在磁场中受力D.焦耳定律实验7、相向而行的甲、乙两物体的s﹣t图像，下列说法正确的是（）A.相遇时两物体通过的路程均为100mB.0﹣30s内甲、乙均做匀速直线运动C.甲的运动速度为10m/sD.甲、乙是同时出发的8、小雅同学在做电学实验时，不小心将电压表和电流表的位置互换了，如果此时将开关闭合，则（）A.两表都可能被烧坏B.两表都不会被烧坏C.电流表不会被烧坏D.电压表不会被烧坏，电流表可能被烧坏二、填空题（每小题2分，满分20分）9、人的眼睛像一架照相机，物体经晶状体成像与视网膜上，对于近视眼患者而言，远处物体成的像位于视网膜（），可佩戴（）透镜矫正。
10、滑冰运动员在训练中通过弯道时的情景，这一过程中她们的运动状态（）（选填“改变”或“不变”）；运动员穿的速滑冰鞋的冰刀表面要光滑、平整是为了（）。
11、弹奏前调整琴弦的松紧程度，可以改变琴声的（）；根据乐器发声的（），可以听出是什么乐器在演奏（选填“响度”、“音调”或“音色”）12、某工人用装置，将重150N的木块在10s内竖直向上匀速提升4m，此装置是（）滑轮（选填“定”或“动”），该工人拉力的功率为（）W（滑轮和绳的重力、摩擦均不计）13、可以直接从自然界获得的能源叫一次性能源，必须通过消耗一次能源才能获得的能源叫二次能源，石油、风能、天然气、煤、电能等能源中，属于可再生能源的两种是（），属于二次能源的是（）14、“六一”儿童节期间，小朋友在锦江山公园里荡秋千，当秋千从高处落下时，重力势能（）（选填“变大”、“变小”或“不变”），不再用力推时，秋千最后会停下来，在此过程中机械能转化为（）能、15、过桥米线是云南人爱吃的食物，路过米线馆可以闻见汤的香味，这是（）现象；“汤钵烫手”是汤钵和手之间发生了（）。
热统-试题
一. 填空题1. 设一多元复相系有个ϕ相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。
此系统平衡时必同时满足条件： T T T αβϕ=== 、 P P P αβϕ=== 、 (,)i i i1,2i k αβϕμμμ====2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做： 能特斯定律 和 绝对零度不能达到定律 。
3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。
则系统可能的微观态数为：10 。
4.均匀系的平衡条件是T T = 且P P = ；平衡稳定性条件是V C > 且()0TPV∂<∂ 。
5玻色分布表为1aeαβεω+=- ；费米分布表为1aeαβεω+=+ ；玻耳兹曼分布表为a e αβεω--= 。
当满足条件 e 1α-<< 时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。
6 热力学系统的四个状态量V P T S 、、、所满足的麦克斯韦关系为()()TVSP V T ∂∂∂∂=,()()PSV TSP ∂∂∂∂=,()()TPSVPT ∂∂∂∂=-, ()()VSP TSV ∂∂∂∂=-。
7. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用1Z 表示，内能统计表达式为1ln Z U Nβ∂=-∂ 广义力统计表达式为1ln Z N Y yβ∂=-∂，熵的统计表达式为11ln (ln )Z S Nk Z ββ∂=-∂ ，自由能的统计表达式为1ln F NkT Z =- 。
8.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分是： ， ， ， 。
9. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方程：dU TdS pdV dn μ=-+ ，dH TdS Vdp dn μ=++ ， dG SdT Vdp dn μ=-++ ，dF SdT pdV dn μ=--+10. 等温等容条件下系统中发生的自发过程，总是朝着自由能减小方向进行，当自由能减小到极小值时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着吉布斯函数减小的方向进行，当吉布斯函数减小到极小值时，系统达到平衡态。
热统习题集
统计物理部分
第六章
1、分别在以下几种情况，证明在 到 d 的能量范围内粒子的量子态数。 (1) 在体积 V 内的三维自由粒子
D d
(2) 在面积 S 内的二维自由粒子
2V 3/ 2 2m 1/ 2d 3 h 2 S md h2
1/ 2
D d
F YA T2 T1
6、实验发现，对一橡皮带有如下关系：
3 L0 F AT 1 2 L L T
L0 3 F T AL 1 L L
CO2 -C-O2 =0 1 CO2 -CO- O2 =0 2
H 3.9518 105 J H 2.8288 105 J
试根据赫斯定律计算碳燃烧为一氧化碳的燃烧热。 5、绝热容器中有隔板隔开，一边装有 n1 mol 理想气体，温度为 T ，压强为 p1 ； 另一边装有 n2 mol 的理想气体，温度亦为 T ，压强为 p2 。今将隔板抽去， (1) 试求气体混合后的压强； (2) 如果两种气体是不同的，计算混合后的熵变； (3) 如果两种气体是相同的，计算混合后的熵变。 6、试根据第三定律证明，在 T 0K 时，表面张力系数与温度无关，即
(1) 若维持体积不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (2) 若维持压强不变，将空气由 0 C 加热至 20 C 所需的热量； (3) 若容器有裂缝，外界压强为 1 pn ，使空气由 0 C 缓慢地加热至 20 C 所需的 热量。 8、满足 pV n C 的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理 想气体在多方过程中的热容量为
2、求证：
U n T T T ,V V ,n
热统期末考试题及答案
热统期末考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 热力学第一定律的表达式是：A. ΔU = Q - WB. ΔU = Q + WC. ΔH = Q - WD. ΔH = Q + W答案：B2. 以下哪个选项是热力学第二定律的表述？A. 能量守恒定律B. 熵增原理C. 热能自发地由高温物体传递到低温物体D. 热能自发地由低温物体传递到高温物体答案：B3. 理想气体的内能只取决于：A. 体积B. 温度C. 压力D. 物质的量答案：B4. 根据热力学第三定律，绝对零度是：A. 无法达到的B. 可以无限接近的C. 可以实际达到的D. 与温度无关答案：A5. 熵是表示系统无序程度的物理量，其单位是：A. JB. J/KC. KD. J/mol答案：B二、填空题（每空2分，共20分）1. 热力学系统可以分为__________和__________。
答案：孤立系统；开放系统2. 根据卡诺定理，热机的效率与__________有关。
答案：热源温度3. 理想气体的压强由分子的__________和__________决定。
答案：碰撞频率；平均动能4. 热力学温度T与理想气体的体积V和压强P的关系是__________。
答案：T ∝ (PV)^(1/2)5. 热力学第二定律的克劳修斯表述是：不可能从单一热源__________能量，而不产生其他影响。
答案：提取三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述热力学第一定律和第二定律的区别和联系。
答案：热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的体现，表明能量既不能被创造也不能被消灭，只能从一种形式转换为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体。
而热力学第二定律则描述了能量转换的方向性，即自发过程总是向着熵增的方向进行，表明了热能转换过程中的不可逆性。
2. 解释什么是熵，以及熵增原理的意义。
答案：熵是热力学中描述系统无序程度的物理量，通常用来衡量系统状态的不确定性。
热统第一章作业答案
1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。
解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = （1）由此易得11,p V nR V T pV Tα∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （2） 11,V p nR p T pV Tβ∂⎛⎫=== ⎪∂⎝⎭ （3） 2111.T T V nRT V p V p pκ⎛⎫⎛⎫∂⎛⎫=-=--= ⎪ ⎪ ⎪∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （4）1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V =αdT κdp -⎰如果11,T T pακ==，试求物态方程。
解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p =其全微分为.p TV V dV dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ （1） 全式除以V ，有11.p TdV V V dT dp V V T V p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为.T dVdT dp Vακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ=-⎰ （3）若11,T T pακ==，式（3）可表为11ln .V dT dp Tp ⎛⎫=- ⎪⎝⎭⎰ （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000ln=ln ln ,V T pV T p - 即000p V pV C T T ==（常量）， 或.pV CT = （5）式（5）就是由所给11,T Tpακ==求得的物态方程。
确定常量C 需要进一步的实验数据。
1.8 满足n pV C =的过程称为多方过程，其中常数n 名为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容量n C 为1n V n C C n γ-=- 解：根据式（1.6.1），多方过程中的热容量0lim .n T n nnQ U V C p T T T ∆→∆∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪ ⎪∆∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （1） 对于理想气体，内能U 只是温度T 的函数，,V nU C T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 所以.n V nV C C p T ∂⎛⎫=+ ⎪∂⎝⎭ （2）将多方过程的过程方程式n pV C =与理想气体的物态方程联立，消去压强p 可得11n TV C -=（常量）。
热统习题答案精简版
1.3 解：（a ）根据1.2题式（2），有.T dVdT dp Vακ=- .T dp dT ακ= ()2121.T p p T T ακ-=- 52174.851010622.7.810n p p p --⨯-=⨯=⨯（b ）()()21211.T VT T p p V ακ∆=--- （4） 57144.8510107.8101004.0710.VV ---∆=⨯⨯-⨯⨯=⨯1.16 解： 0ln ln .p S C T nR p S =-+ （1） 在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为21ln.p p T S C T ∆= 0ln ln .V S C T nR V S =++ （2） 在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为21ln .V V T S C T ∆=.p p V V S C S C γ∆==∆ （4） 1.19解： 122.T TT T l L -=+ （1） 这小段由初温T 变到终温()1212T T +后的熵增加值为121221222ln ,T T l p p TT T dT dS c dl c dl T T T T l L++==-+⎰（2）根据熵的可加性，整个均匀杆的熵增加值为()12122012121212222120121122121212112212ln ln 2ln ln 2ln ln ln 2ln ln ln 12lL p Lp p p p p S dS T T T T c T l dlL c T T T T T T T T c L T l T l T l T T L L L L c L T T c L T T T T T T T T T T T T T T C T T ∆=⎡+-⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦+⎡---⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦+=---+-+-=-+-⎰⎰.⎛⎫⎪⎝⎭式中p p C c L =是杆的定压热容量。
热统试题及答案
热统试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 热力学第一定律的数学表达式是：A. \(\Delta U = Q + W\)B. \(\Delta U = Q - W\)C. \(\Delta H = Q + W\)D. \(\Delta H = Q - W\)答案：A2. 理想气体的内能仅与温度有关，其原因是：A. 理想气体分子间无相互作用力B. 理想气体分子动能与势能之和仅与温度有关C. 理想气体分子间有相互作用力D. 理想气体分子动能与势能之和与体积有关答案：B3. 熵的微观意义是：A. 系统混乱度的量度B. 系统有序度的量度C. 系统能量的量度D. 系统温度的量度答案：A4. 绝对零度是：A. 温度的最低极限B. 温度的最高极限C. 温度的零点D. 温度的任意值答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 热力学第二定律的开尔文表述是：不可能从单一热源吸热使之完全转化为______而不产生其他效果。
答案：功2. 卡诺循环的效率由两个热源的温度决定，其效率公式为 \(1 -\frac{T_c}{T_h}\)，其中 \(T_c\) 和 \(T_h\) 分别代表冷热热源的绝对温度，单位为______。
答案：开尔文3. 热力学第三定律指出，当温度趋近于绝对零度时，所有纯物质的完美晶体的熵趋向于一个常数值，这个常数值为______。
答案：04. 根据玻尔兹曼关系，熵 \(S\) 与系统微观状态数 \(W\) 的关系为\(S = k_B \ln W\)，其中 \(k_B\) 是______。
答案：玻尔兹曼常数三、简答题（每题10分，共20分）1. 简述热力学第一定律和热力学第二定律的区别。
答案：热力学第一定律是能量守恒定律在热力学过程中的表现形式，它表明能量不能被创造或消灭，只能从一种形式转换为另一种形式，或者从一个物体转移到另一个物体。
热力学第二定律则描述了能量转换的方向性，即能量转换过程中存在不可逆损失，并且指出了热能转化为其他形式能量的效率不是100%。
热统第七八章作业
7.1 试根据公式lllp a Vε∂=-∂∑证明，对于非相对论粒子 ()222221222x y z p n n n m m L πε⎛⎫==++ ⎪⎝⎭h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L 有2.3Up V=上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立. 解: 处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为()2222122x y zn n n x y z n n n m L πε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L （1） 为书写简便起见，我们将上式简记为23,l aV ε-= （2）其中3V L =是系统的体积，常量()()222222xy z a nn n mπ=++h ，并以单一指标l代表,,x y z n n n 三个量子数. 由式（2）可得511322.33aV V Vεε-∂=-=-∂ （3） 代入压强公式，有22,33l ll l llUp a a V VVεε∂=-==∂∑∑ （4） 式中l l lU a ε=∑是系统的内能.上述证明示涉及分布{}l a 的具体表达式，因此式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.前面我们利用粒子能量本征值对体积V 的依赖关系直接求得了系统的压强与内能的关系. 式（4）也可以用其他方法证明. 例如，按照统计物理的一般程序，在求得玻耳兹曼系统的配分函数或玻色（费米）系统的巨配分函数后，根据热力学量的统计表达式可以求得系统的压强和内能，比较二者也可证明式（4）.见式（7.2.5）和式（7.5.5）及王竹溪《统计物理学导论》§6.2式（8）和§6.5式（8）. 将位力定理用于理想气体也可直接证明式（4），见第九章补充题2式（6）. 需要强调，式（4）只适用于粒子仅有平衡运动的情形. 如果粒子还有其他的自由度，式（4）中的U 仅指平动内能.7.2 试根据公式lllp a Vε∂=-∂∑证明，对于相对论粒子 ()122222x y z cp c n n n Lπε==++h , (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L有1.3Up V=上述结论对于玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立.解: 处在边长为L 的立方体中，极端相对论粒子的能量本征值为()122222x y zn n nx y z c n n n Lπε=++h (),,0,1,2,,x y z n n n =±±L （1）用指标l 表示量子数,,,x y z n n n V 表示系统的体积，3V L =，可将上式简记为13,l aV ε-= （2）其中()122222.xyza c n n nπ=++h由此可得4311.33l l aV V Vεε-∂=-=-∂ （3） 代入压强公式，得1.33l ll l llUp a a V V V εε∂=-==∂∑∑ （4） 本题与7.1题结果的差异来自能量本征值与体积V 函数关系的不同. 式（4）对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都适用. 7.11 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作二维气体. 试写出二维气体中分子的速度分布和速率分布，并求平均速率υ，最概然速率m υ和方均根速率s .υ解: 参照式（7.3.7）—（7.3.9），可以直接写出在液面上作二维运动的表面活性物质分子的速度分布和速率分布. 速度分布为()222e d d .2x y m υυkT x y m υυkTπ-+ （1） 速率分布为222e d .2m υkTm υυkTππ- （2） 平均速率为2220ed m υkTmυυυkT-+∞=⎰=（3）速率平方的平均值为22320e d 2.m υkTm υυυkT kT m -+∞==⎰因此方均根速率为s υ==（4） 最概然速率m υ条件22d e 0d m υkT υυ-⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭确定. 由此可得m υ=（5） 值得注意，上述,,s m υυυ三种速率均小于三维气体相应的速率，这是由于二维和三维气体中速率在υ到d υυ+中的分子数分别与速度空间的体积元2d υυπ和24d υυπ成正比，因而二维气体中大速率分子的相对比例低于三维气体的缘故.7.16 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为()22221,2x y z p p p ax bx mε=++++ 其中,a b 是常量，求粒子的平均能量.解: 应用能量均分定理求粒子的平均能量时，需要注意所难能量表达式ε中2ax 和bx 两面三刀项都是x 的函数，不能直接将能量均分定理用于2ax 项而得出212ax kT =的结论. 要通过配方将ε表达为()222221.224x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ （1） 在式（1）中，仅第四项是x 的函数，又是平方项. 由能量均分定理知()22222124x y z b b p p p a x m a a ε⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭22.4b kT a=- （2）7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵.解: 将双原子分子中原子的相对振动近似看作简谐振动. 以ω表示振动的圆频率，振动能级为1,0,1,2,2n n n εω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭h L （1）振动配分函数为()1v 21012v1e,1e 1ln Z ln 1.2n n Z ee βωβωβωβωβω⎛⎫∞-+ ⎪⎝⎭=---==-=---∑h h h h h （2）双原子理想气体的熵为()v v v 11ln ln Z ln 1e e 1S Nk Z Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦h h hv v vln 1e ,e 1TT T Nk θθθ-⎡⎤⎢⎛⎫⎥=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦（3） 其中v kωθ=h 是振动的特征温度. 7.20 试求爱因斯坦固体的熵.解: 根据式（7.7.2）求得的配分函数，容易求得爱因斯坦固体的熵为()113lnZ lnZ 3ln 1e .e 1S Nk Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦h h h8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚.解: 如§8.3所述，令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）确定.将二维自由粒子的状态密度（习题6.3式（4））()222πd d L D m hεεε=代入式（1），得2202πd .e 1c kT L m n hεε+∞=-⎰ （2） 二维理想玻色气体的凝聚温度c T 由式（2）确定. 令cx kT ε=，上式可改写为2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3） 在计算式（3）的积分时可将被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x----==+++--L 则d 111e 123xx +∞=+++-⎰L 11.n n∞==∑ （4） 式（4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝聚.8.7 计算温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均总光子数，并据此估算（a ）温度为1000K 的平衡辐射.（b ）温度为3K 的宇宙背景辐射中光子的数密度.解: 式（8.4.5）和（8.4.6）已给出在体积V 内，在ω到d ωω+的圆频率范围内光子的量子态数为()223d d .πV D c ωωωω=（1） 温度为T 时平均光子数为()()d ,d .e1kTD N T ωωωωω=-h （2） 因此温度为T 时，在体积V 内光子气体的平均光子数为()223d .πe1kTVN T cωωω+∞=-⎰h （3） 引入变量x kTω=h ，上式可表示为()3223033233d πe 12.404.πx V kT x xN T c kVT c +∞⎛⎫= ⎪-⎝⎭=⎰h h或()332332.404.πk n T T c =h（3）在1000K 下，有163210.n m -≈⨯在3K 下，有835.510.n m -≈⨯8.11 试计算平衡辐射中单位时间碰到单位面积器壁上的光子所携带的能量，由此即得平衡辐射的通量密度.u J 计算6000K 和1000K 时u J 的值.解: 根据式（8.4.3）和（6.2.15），在单位体积内，动量大小在p 到d p p +，动量方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围内，平衡辐射的光子数为232sin d d d ,e 1cpp p h βθθϕ- （1） 其中已利用式（8.4.2）将动量为p 的光子能量表示为cp ，因子2是计及光子自旋在动量方向的两个可能投影而引入的.以d A 表示法线方向沿z 轴的器壁的面积元. 以d d d ΓA t 表示在d t 时间内碰到d A 面积上，动量大小在p 到d p p +，方向在θ到d ,θθϕ+到d ϕϕ+范围的光子数. 它等于以d A 为底，以cos d c t θ为高，动量在d d d p θϕ范围内的光子数. 因此单位时间（d 1t =）内，碰到单位面积()d 1A =的器壁上（或穿过单位面积），动量在d d d p θϕ范围内的光子所携带的能量为232sin d d d cos .e 1cp p p c cp h βθθϕθ⋅⋅- （2）对式（2）积分，p 从0到,θ+∞从0到π,2ϕ从0到2π，即得到辐射动量密度u J 为π232π2300023302d sin cos d d e 12πd .e 1u cp cp c p p J h c p p h ββθθθϕ+∞+∞=⋅⋅-=-⎰⎰⎰⎰ 令x cp β=，上式可表示为4233042432π1d e 12ππ6,90u x c x x J h c c kT h c β+∞⎛⎫=⋅ ⎪-⎝⎭⎛⎫=⋅⋅ ⎪⎝⎭⎰或24423π.60u k J T c =h （3）在6000K ，有727.1410J m ;u J -=⨯⋅在1000K ，有520.5510J m .u J -=⨯⋅8.14 试求绝对零度下自由电子气体中电子的平均速率.解: 根据式（8.5.4），绝对零度下自由电子气体中电子动量（大小）的分布为F 1,,f p p =≤F 0,,f p p => （1）其中F p 是费米动量，即0 K 时电子的最大动量. 据此，电子的平均动量为FF34F30F 23F38π1d 34.8π14d 3p p Vp pp hp p V p p p h ===⎰⎰（2） 因此电子的平均速率为F F 33.44p p υυm m === （3） 8.18 试求在极端相对论条件下自由电子气体在0K 时的费米能量、内能和简并压.解: 极端相对论条件下，粒子的能量动量关系为.cp ε=根据习题6.4式（2），在体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，极端相对论粒子的量子态数为()()238πd d .VD ch εεεε=（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将习题 6.4式（2）的结果乘以因子2. 0 K 下自由电子气体的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()()()023338π8π1d 0,3VV N ch ch μεεμ==⋅⎰ 故()1330.8n ch μπ⎛⎫=⎪⎝⎭（3） 0 K 下电子气体的内能为()()()()()()0003343d 8πd 8π104U D Vch V ch μμεεεεεμ===⋅⎰⎰()30.4N μ=（4） 根据习题7.2式（4），电子气体的压强为()110.34U p n V μ== （5）8.19 假设自由电子在二维平面上运动，面密度为.n 试求0 K 时二维电子气体的费米能量、内能和简并压.解: 根据6.3题式（4），在面积A 内，在ε到d εε+的能量范围内，二维自由电子的量子态数为()24d d .AD m h πεεε=（1） 式中已考虑到电子自旋在动量方向的两个可能投影而将6.3题式（4）的结果乘以2.0 K 下自由电子的分布为()()()1,0;0,0.f μμεμμ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩ （2）费米能量()0μ由下式确定：()()02204π4πd 0,A A N m m h h μεμ==⎰ 即()220.4π4πh N h m A mμ== （3）0 K 下二维自由电子气体的内能为()()()022204π4πd 00.22A A m N U m h h μεεμμ===⎰ （4） 仿照习题7.1可以证明，对于二维的非相对论粒子，气体压强与内能的关系为.Up A=（5） 因此0 K 下二维自由电子气体的压强为()10.2p n μ=（6）。
热统答案
2.6 试证明在相同的压强降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在节流过程中的温度降落. 解：气体在准静态绝热膨胀过程和节流过程中的温度降落分别由偏导数ST p ⎛⎫∂⎪∂⎝⎭和HT p ⎛⎫∂ ⎪∂⎝⎭描述. 熵函数(,)S T p 的全微分为.P TS S dS dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 在可逆绝热过程中0dS =，故有.TP pS PS V T p T T S p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-=⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ 焓(,)H T p 的全微分为.P TH H dH dT dp T p ⎛⎫∂∂⎛⎫=+ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 0dH =，故有 .T Pp HPH V T V p T T H p C T ⎛⎫∂∂⎛⎫- ⎪ ⎪∂⎛⎫∂∂⎝⎭⎝⎭=-= ⎪∂∂⎛⎫⎝⎭ ⎪∂⎝⎭ 得0.pS H T T V p p C ⎛⎫⎛⎫∂∂-=> ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 所以在相同的压强降落下，气体在绝热膨胀中的温度降落大于节流过程中的温度降落.3.1 证明下列平衡判据（假设S >0）； （a ）在,S V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小.（b ）在,S p 不变的情形下，稳定平衡态的H 最小.（c ）在,H p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最小.（d ）在,F V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小.（e ）在,G p 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小.（f ）在,U S 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.（g ）在,F T 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小.4.10 物质的量为01n v 的气体A 1和物质的量为02n v 的气体A 2的混合物在温度T 和压强p 下体积为0V ，当发生化学变化334411220,v A v A v A v A +--=并在同样的温度和压强下达到平衡时，其体积为.e V 证明反应度ε为01203412.e V V v v εV v v v v -+=⋅+-- 解：初始状态下混合理想气体的物态方程为()0012.pV n v v RT =+（1）以ε表示发生化学变化达到平衡后的反应度，则达到平衡后各组元物质的为:L ()()010203041,1,,.n v εn v εn v εn v ε--总的物质的量为:()0123412+++--,n v v εv v v v ⎡⎤⎣⎦其物态方程为:()0123412.e pV n v v v v v v RT ε=+++--⎡⎤⎣⎦ 2） 两式联立，有:01203412.e V V v v V v v v v ε-+=⋅+-- 3） 因此，测量混合气体反应前后的体积即可测得气体反应的反应度.7.18 试求双原子分子理想气体的振动熵. 解: 以ω表示振动的圆频率，振动能级为1,0,1,2,2n n n εω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭振动配分函数为()1v 2112v1e,1e 1ln Z ln 1.2n n Z ee βωβωβωβωβω⎛⎫∞-+ ⎪⎝⎭=---==-=---∑ 双原子理想气体的熵为 ()v v v 11ln ln Z ln 1e e 1S Nk Z Nk βωβωβββω-⎛⎫∂=- ⎪∂⎝⎭⎡⎤=--⎢⎥-⎣⎦v v v ln 1e ,e 1T T T Nk θθθ-⎡⎤⎢⎛⎫⎥=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥-⎣⎦其中v kωθ= 是振动的特征温度.8.4 试证明，在热力学极限下均匀的二维理想玻色气体不会发生玻色-受因斯坦凝聚. 解:令玻色气体降温到某有限温度c T ，气体的化学势将趋于-0. 在c T T <时将有宏观量级的粒子凝聚在0ε=的基态，称为玻色-爱因斯坦凝聚. 临界温度c T 由条件()0d e 1c kT D n εεε+∞=-⎰（1）()222πd d LD m hεεε=将其代入（1），得2202πd .e 1c kT L m n h εε+∞=-⎰ （2）令cx kT ε=，上式可改写为：2202πd .e 1c x L x mkT n h +∞=-⎰ （3）将（3）被积函数展开，有()()211e 1e e ,e 1e 1e x x xx x x----==+++-- 则：d 111e 123x x +∞=+++-⎰11.n n∞==∑ （4） （4）的级数是发散的，这意味着在有限温度下二维理想玻色气体的化学势不可能趋于零. 换句话说，在有限温度下二维理想玻色气体不会发生玻色-爱因斯坦凝。
《热统》计算题汇总
三、证明、推算题：(9分)1、满足C PV n =的过程为多方过程，其中常熟n 称为多方指数。
试证明：理想气体在多方过程中的热容n C 为V n C n n C 1--=γ2、(8分)设有1 mol 的理想气体，其状态参量由P 1、V 1、T 1变化到P 2、V 2、T 2，假设：（1）此过程为一等温膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS ； （2）此过程为一绝热膨胀过程，求理想气体内能的改变ΔU ，外界对理想气体所作的功W ，理想气体从外界吸收的热量Q ，以及理想气体的熵变ΔS 。
解：（1）等温膨胀过程：由于温度T1=T2=T 不变，理想气体内能仅是温度的函数，所以0=∆U ，12ln 21V V RT V dVRT pdV W V VBA -=-=-=⎰⎰ 根据热力学第一定律，12ln V V RT W Q =-=等温膨胀过程引起的系统的熵变：12ln V V R T QS ==∆（2）绝热膨胀过程：210,()v Q W U C T T ==∆=-2211lnln V T VS C R T V ∆=+3、(9分)试根据热动平衡的熵判据，通过简单推导给出由一个单元两相系（α，β）构成的孤立系统，当系统达到平衡时所要满足的平衡条件。
解：由一个单元两相系构成的孤立系统，其总内能、总体积和总物质的量恒定，即U U U =+βα；VV V =+βα；n n n=+βα；设想系统发生一个虚变动，在变动中α相和β相的内能、总体积和总物质的量分别发生虚变动，由于整个系统是孤立的，所以有0=+βαδδU U ；0=+βαδδV V ；0=+βαδδn n ；在稳定的平衡条件下，整个孤立系统的熵应取极大值，即0=+=βαδδδS S S根据热力学基本方程，ααααααδμδδδT n dV P U S -+=，ββββββδμδδT n pdV U S -+=代入整个孤立系统的熵变，得)()()11(=---+-=+=ββαααββαααβααβαμμδδδδδδTT n T P T P V T T U S S S在虚变动中，U δ、V δ、n δ可以独立地改变，0=S δ则要求βαT T =（热平衡条件）， βαP P =（力学平衡条件），βαμμ=（相变平衡条件）4. (7分)用热力学理论证明气体节流的焦耳——汤姆逊系数μ=HP T)(∂∂=P C V (T α-1)证明：根据焦汤系数定义H P T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=μ(1分)又1-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂PT H T H H P P T (2分)则()PP P PT HC T V C V T V T T H P H P T 1--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂α(4分) 5、(8分)实验发现，一气体的压强P 与体积V 的乘积以及内能U 都只是温度的函数，即()()T U U T f PV ==试根据热力学理论，讨论该气体的物态方程可能具有什么形式6、(7分)根据热力学理论证明：理想气体的内能只是温度的函数，与体积无关。
热统练习题
76. 证明 VV V p T C p U ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂77. 证明p V T C V U pp p -⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 78. )1(αT V p H T-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 其中，α为定压膨胀系数。
79. 证明在以T 、V 为自变量时，内能的全微分表达式为dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80. VT V T p T V C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22 81. 理想气体在节流过程中有 0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂Hp T 82.][1p T p T C V T V V U-⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛∂∂ 83． VV ST p C T -V T ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂84. Tp p V p -T V T p U ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂T 85. 对于节流过程，证明][1V T V T C p T p pH -⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂ 86. 证明 0>⎪⎭⎫⎝⎛∂∂UV S 87．证明 p V V pp V C C T T T ∂∂⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 88．证明 T VU p T pV T ∂∂⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 89．证明 22p p TC V T p T ∂⎛⎫⎛⎫∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭答案：（76－89）76．证 d U =T d S -p d VV V V V V VU S S T T T p p T p T C p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫== ⎪ ⎪⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭ 77．证 d U =T d S -p d Vp p p p p pU S S T T p T p V V T V T C pV ∂∂∂∂⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∂⎛⎫=- ⎪∂⎝⎭ 78．证：Vdp TdS dH +=V p S T p H TT +⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂；利用麦氏关系，即可得证79．证 d U =T d S -p d V , 设S=S(T,V),d VTS S S dT dV T V ∂∂⎛⎫⎛⎫=+ ⎪⎪∂∂⎝⎭⎝⎭dV p T p T dT C U d V V ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+=80．证 因为V VS C T T ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭所以，2V TC S TV T V ∂∂⎛⎫= ⎪∂∂∂⎝⎭， 又，由麦氏关系 T VS p V T ∂∂⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭，原题得证。
热统
解： γ 是常数， Cp，Cv也是常数，
S p
S V
T2 T1
dQ T2 C p dT T2 C p ln T1 T T T1
dQ T2 C V dT T2 C V ln T1 T T T1
T2
T1
S p Sv
Cp CV
练 一 练 ：
(一)某些不可逆过程中熵变的计算 [例5.4〕一容器被一隔板分隔为体积相等的 两部分，左半中充有 摩尔理想气体，右半 是真空，试问将隔板抽除，经自由膨胀后， 系统的熵变是多少?
L
等压过程，设cp为单位长度的热容量。
T1 T2 2 T
dS l c p dl
T1 T2 dT 2 c p dlln T2 T1 T T1 l L
S dSl
cp
L 0
T1 T2 2 dlln T2 T1 T1 l L
cp
L
0
T1 T2 T2 T1 dl ln ln T1 l 2 L
p
p1
p2
i
f
V1 2V1 V
dQ Sb S a a可逆 T
b
dU dQ pdV
S 2 S1 R
2V V 2
因为理想气体等温过程 dU = 0, dQ = pdV，利用
1
dQ 2 p dV 1 T T
dV R ln 2 >0 V
例一：热量Q从高温热源 T1 传到低温热源T2 ，求熵变。
1 n Cn C V CV CV n 1 n 1
练 一 练 ：
例：设有一理想气体，在初始状态下温度为T,体积 为 V A。经准静态等温过程体积膨胀为 V B 。求过程 前后的熵变。 解：气体在初态(T，VA )的熵为：
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第一章习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。
解：由得：nRT PV = V n R TP P n R T V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==∂∂=α T PV RnT P P V /1)(1==∂∂=β P Pn R T V P V V T T /111)(12=--=∂∂-=κ习题 1.3在00C 和1n p 下，测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为514.8510K α--=⨯和717.810T n p κ--=⨯，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至010C 。
问（1）压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2）若压强增加100n p ，铜块的体积改多少。
解：根据固体和液体的物态方程：000(,)(,0)[1()]T V T P V T T T k p α=+-- 两边微分：T dVdT k dp Vα=- 如果系统的体积不变，上式为 Td p d Tk α=因为T κα,可近似看作常量，上式积分可得2121()Tp p T T k α-=-代入数据：52174.8510106227.810n n p p p p --⨯-=⨯=⨯ （2）根据物态方程有：2121174()()107.810100 4.0710-5 =4.8510T VT T k p p V α--∆=---⨯⨯-⨯⨯=⨯因此，铜块的体积将增加原体积的44.0710-⨯倍。
习题1.8习题1.16解：理想气体的熵函数可以表示为0ln ln p S C T nR p S =-+ 在等压过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值p S ∆为21lnp p T S C T ∆= 理想气体的熵函数也可表示为0ln ln V S C T nR p S =++ 在等容过程中温度由1T 升到2T 时，熵增加值V S ∆为 21lnV V T S C T ∆= 因此p p VVS C S C γ∆==∆习题1.17解：（1）为求水的熵变，设想有一系列彼此温差为无穷小的热源，其温度分布在00C 和0100C 。
在这可逆等压过程中，水的熵变为31373ln27337310 4.18ln 1304.6273373p p 273mc =mc dQ dHS ds T TdT T J K -∆=====⨯⨯=⎰⎰⎰⎰ 水 水从00C 升温至0100C 所吸收的总热量为3510 4.18100 4.1810p mc Q T J =∆=⨯⨯=⨯为求热源的熵变，可令热源向温度为0100C 的另一热源放出热量Q ，在这可逆过程中，热源的熵变为514.18101120.6373S J K -⨯∆=-=- 源系统总熵变为1184S S S J K -∆=∆+∆= 水源（2）为使整个系统的熵保持不变，令水与温度分布在00C 与0100C 之间的一系列热源吸热，水的熵变仍由上面已求出，这一系列热源的熵变为11304.6373p 273mc dT S J K T-∆=-=-⎰源因此系统总熵变为0第二章2．3求证:(ⅰ) HP S )(∂∂ <0 (ⅱ) U VS )(∂∂ >0 解证: 由式(2.1.2) VdP TdS dH +=等H 过程:H H VdP TdS )()(-=⇒（P S ∂∂）H =-TV<0 (V >0; T >0) 由基本方程 P d V T d S dU -=dV TpdU T dS +=⇒1;⇒ （VS∂∂）U =T p >0.习题2.8证明：T VV C )(∂∂ = ,)(22V T p T ∂∂T p pC )(∂∂=- ,)(22p T V T ∂∂并由此导出：)(220dV T p T C C V VV V V ∂∂+=⎰； )(220dp T V T C C p pp p p ∂∂-=⎰ 根据以上两式证明,理想气体的定容热容量和定压热容量只是温度的函数。
证： =V C V T U ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=T VT S ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂T V V C ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂VT S 2=T VT p ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22 （1） 对于理想气体，pV nRT =因此220Vp T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭，即0V T C V ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 理想气体的定容热容量只是温度的函数。
再对（1）式积分，得到 )(220dV TpT C C V VV VV ∂∂+=⎰类似可证： TppC ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂= -T ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂22T V （2） 对于理想气体，pV nRT =因此220V V T ⎛⎫∂= ⎪∂⎝⎭，即0p TC p ∂⎛⎫= ⎪∂⎝⎭ 因此理想气体定压热容量只是温度的函数。
对（2）式积分，得到 )(2200dp TVT C C p pp pp ∂∂-=⎰习题2.14习题3.5习题3.8解：固态氨的蒸汽压方程是固相和气相的亮相平衡曲线，液态氨的蒸汽压方程是液相和气相的两相平衡曲线。
三相点的温度t T 可由两条相平衡曲线的交点确定3754306327.9224.38t tT T -=-解得195.2t T K =将195.2t T K =带入已知的蒸汽压方程，可得 5934t p Pa = 将所给的蒸汽压方程与式ln Lp A RT=-+ 比较，可以求得 43.1210L J =⨯升42.54710L J =⨯汽 氨在三相点的熔解热为4.10L L L J =⨯升熔汽－＝0573习题3.16证明爱伦费斯公式：()()()()1212k k dT dp --=αα；()()()())(1212αα--=Tv c c dT dpp p 证：对二级相变 0)(=∆dS ；即()2dS -()1dS =0 （1）0)(=∆dV ；即()2dv -()1dv =0 (2)（i ）()()p T v vdv dT dp vdT kvdpT pα∂∂=+=-∂∂ 由（2）式给出 (1)(1)(1)(1)(2)(2)(2 v dT k v dp v dT k v dp αα-=- 由于相变点(1)(2)v v =， (1)(1)(2)(2)dT k dp dT k dp αα-=- 即： ()()()()1212k k dT dp --=αα （ii ）()()()p p p T p c c s s vds dT dp dT dp dT vdp T p T T Tα∂∂∂=+=-=-∂∂∂由（1）式给出 (1)(2)(1)(1)(2)(2)p p c c dT v dp dT v dp T T αα-=- 由于相变点(1)(2)v v =， (1)(2)(1)(2)p p c c dT vdp dT v dp T Tαα-=- 即： ()()()())(1212αα--=Tv c c dT dpp p 第四章习题4.2证明),,,(1k i n n p T μ是k n n ,1的零次齐函数，0=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∑jij j n n μ。
证：),,,(),,,(11k m k n n p T n n p T μλλλμ=，化学势是强度量，必有m =0,0==⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∑i ji j j m n n μμ第六章习题6.2 试证明，对子一维自由粒子，再长度L 内，在ε到εεd +的能量范围内，量 子态数为：εεεεd m h L d D 2122)(⎪⎭⎫ ⎝⎛=证：一维自由粒子，x P 附近的量子态为x dP h L dn =；x x x x x dP m dP m m m dP P d m P εεεε21222+=⋅+==⇒=于是。
()εεεεd mh L d D 2+=而 ±P x 对应同一能量ε，于是：()m h L m h L D εεε2222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=习题6.3试证明，对于二维自由粒子，在长度L 2内，在ε到εεd +的能量范围内，量子态数为()επεεmd hL d D 222=证：二维；在P x ,P y 附近dP x dP y 区间上内的量子态数。
2221x y x y L dxdydP dP dP dP h h= （1） 用二维动量空间的极坐标系描述动量： c o s ; s ix y p p p p θθ==用极坐标系描述二维动量空间的体积元：pdpd θ则（1）变形为 22L p d p d hθ对θ积分，则在面积2L 内，动量大小在p 到p+dp 范围内，二维自由粒子可能的状态数为222L pdp hπ 将mP 22=ε带入上式，既有()επεεmd hL d D 222=第七章习题7.1根据公式∑∂∂-=lllVa P ε证明，对于非相对论粒子： )()2(21222222z y x n n n Lm m p s ++== π，z y x n n n ,,=0，±1，±2，有V U p 32=上述结论对玻耳兹曼分布、玻色分布和费米分布都成立。
证：处在边长为L 的立方体中，非相对论粒子的能量本征值为)()2(21222222z y x n n n Lm m p s ++== π（z y x n n n ,,=0，±1，±2，….）为书写方便，上式简记为23l aVε-=其中3V L =，2222(2)()2x y z a n n n mπ=++ 532233l l aV V Vεε-∂=-=-∂ 带入压强公式，有22 33l ll lll UP a a V V Vεε∂=-==∂∑∑ 其中l l lU a ε=∑是系统的内能。
习题7.16气柱的高度为H ，截面为S ，在重力场中。
试求解此气柱的内能和热容量。
解： 配分函数⎰-++-=z y x mgz p p p mdp dp dxdydzdp e hZ z y x ββ)(232221dz e dp e h S Hmgz x p m x ⎰⎰--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=03232ββ[]mgHe mg m h S ββπ---⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11)2(2/52/33 设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=mg m hS A 1)2(2/33π；[]mgH e A Z ββ--+-=1ln ln )2/5(ln ln 1)2/5(11)2/5(ln /-+-=-+-=∂∂--kTmgH mgH mgH e mgH kT e mgHe Z ββββ )()(;1)2/5(ln /0略V v Tk mgH T UC e NmgH NkT Z NU U ∂∂=-+=∂∂-=-β习题7.18解：将双原子分子中的原子的相对振动近似看成简谐振动，振动能级为1(), n=0,1,22n n εω=+振动配分函数 112()21021n n eZ eeβωβωβω-∞-+-===-∑1ln ln(1)2Z e βωβω-=---双原子理想气体的熵为(ln ln ) [ln(1)][ln(1)]11T T s Nk Z Z T Nk eNk e e e θβωβωββθβω--∂=-∂=--=----其中 kωθ=是振动的特征温度 习题7.19解：在kT 远大于转动能级间距的情形下，可以用经典经典近似求转动配分函数Z 。