数字图像处理第六章
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1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵的转置 交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩阵被称 为原有矩阵的转置，记为AT：
(AT) T
=A (A+B)T = AT + BT (aA)T = a AT (A· B)T = BT · AT 当A为n阶矩阵，且A= AT ，则 A是对称矩阵。
17
6.3 几何变换的变换矩阵
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
其中
可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变
换；
18
是对图形进行平移变换；
是对图形作投影变换； 则是对图形整体进行缩放变换。
6.3 几何变换的变换矩阵
标准齐次坐标(x,y,1)
平移
当d=0时，x
x+by，y’= y，此时，图形的y坐标不变，x坐 标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。
’=x，y’=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标
’=
当b=0时，x
随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。
25
6.3 几何变换的变换矩阵
5. 错切变换 (SHEAR)
(1) 沿x方向产生错切 Y (x,y) θ (x’,y’)
x’ = x + y*tag(θ)
y’ = y (2) 沿y方向产生错切 x’ = x y’ = y +x * tag(θ) Y (x’,y’) θ (x,y) X
X
26
6.3 几何变换的变换矩阵
6. 常用变换实例：
27
6.3 几何变换的变换矩阵
7. 复合变换
复合变换的一般方法：
变换分解
变换合成
第六章
图像的几何变换
1
第六章 图像的几何变换
原则上，所有图像处理都是图像的变换。 图像变换特指数字图像经过某种数学工具的处理，把
原先二维空间域的数据，变换到另外一个“变换域” 形式描述的过程。
如：傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布
描述。
通常“另外一个变换域”
更集中地代表了图像中的有 效信息，或者是更便于达到某种处理目的。
对应位置的元素相加； 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。
6
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵的乘法 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 C=Cm×p = Am ×n · Bn×p cij = ∑aik*bkj
k=1,n
例：设A为2x3的矩阵，B为3x2的矩阵，则两者的乘积为：
23
6.3 几何变换的变换矩阵
4. 对称变换
关于X轴的对称变换
P(x,y) 对称点为 P’(x, -y)
关于Y轴的对称变换
P(x,y)对称点为P’(-x, y)
关于坐标原点的对称变换
P(x,y) 关于原点的对称点为P’(-x,-y)
24
6.3 几何变换的变换矩阵
5. 错切变换 (SHEAR)
30
图像旋转时得到的坐标可能并不是整数，需处理。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
旋转前的图
旋转后保持原图大小
31
旋转后的图转出的部分被裁掉
6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
插值
32
旋转
6.4 图像几何变换中的特殊问题
3.镜象(mirror)：
2
3
第六章 图像的几何变换
几何变换是一种简单的变换。 几何变换仍然在空间域。
几何变换的许多算法与图形学相似。
几何变换包括：
平移，
旋转，
镜象变换， 转置， 放缩等。
几何变换基于矩阵运算。
4
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵：
由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n阶矩 阵。 a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Am×n = ... ... ... am1 am 2 ... amn 其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素。
x’
=x+m y’ = y + n
Y n
m P’(x’y’) P(x,y) X
20
6.3 几何变换的变换矩阵
2. 旋转变换
一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。
x = cos a y = sin a
(x’,y’) ρ θ (x,y) α
x ' = cos( a ) = cos a cos sin a sin = x cos y sin y ' = sin( a ) = sin a cos cosa sin = x sin y cos
图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种。 图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原 图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。 如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列。
K=1/3
36
6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）： 图像的放大
图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要 的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格 填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩 小要难一些。 一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种： 按比例放大：如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素 值添在新图像的k*k的子块中。 任意不成比例放大：这种操作由于x方向和y方向的放大 倍数不同，一定带来图像的几何畸变。 图像放大倍数太大，会出现马赛克效应。
例：关于任意参照点的旋转变换
例：关于任意参照点的缩放变换
28
6.4 图像几何变换中的特殊问题
1. 平移(Translation)：
可能部分图像移出原图： 空白处的处理； 裁剪； 原图是否放大。
29
6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
基点； 可能部分图像转出原图： 空白处的处理； 裁剪； 原图是否放大。
14
6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 3）窗口与窗口坐标
可将当前视口设置成图形窗口，窗 口使用窗口坐标系。 窗口坐标系是将当前视口的坐标系 重新设置形成的。 窗口坐标系可以是实数或双精度实 数，可有任意取值。 通常，窗口坐标系可按人们习惯的 形式设置为： x向右为正， y向上 为正，原点可以在任意位置。 一般地，用户在图形系统中使用窗 口坐标系，图形系统底层在将图形 输出到显示屏幕时将窗口坐标转换 到视口坐标。
视口是图形方式下屏幕上的
0,0 0,0 y y
x x
一个矩形区域，当前图形显 示均在当前视口； 缺省地，视口是整个屏幕； 视口可以同时有多个，可以 重叠； 视口坐标是将原点移至物理 坐标系上某一点形成的； 视口坐标也以象素为单位， 坐标取值总是正整数； 原点0，0在视口左上角； x向右为正； y向下为正； x、 y的最大值取决于视口的 大小（象素数）。
9
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵的逆 对于一个nxn的方阵A，如果存在一个nxn的方阵B，使得 A· B=B· A=In ，则称B是A的逆，记为： B=A-1， A则被称为非奇异矩阵。 矩阵的逆是相互的，A同样也可记为A = B -1 ，B也是一个非奇异矩阵 。 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。
7
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
方阵： nxn阶矩阵称为（n阶）方阵。 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵 。 n阶单位矩阵通常记作In，并有： Am×n = Am×n · In Am×n = Im · Am×n
8
6.1 复习
：
放缩也有基点；
图像放缩时得到的坐标可能并不是整数，即产生新的
35
像素，需要圆整并插值（Interpolation），即利用邻域 的像素来估计新的像素值。 图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可 相应缩小。反之亦然。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）： 图像的缩小
11
6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 屏幕坐标系统在文本方式与图形方式下是不同的：
文本方式下屏幕坐标系统以字符为单位，从1开始；
图形方式下屏幕坐标系统以象素为单位，从0开始。
图形方式下屏幕坐标系统用以确定某一象素在屏幕上
的位置。 屏幕坐标系统的概念有：
物理坐标； 视口坐标； 窗口坐标。
通常都采用规格化的齐次坐标，即取
h =1。(x,y) 的规格化
齐次坐标为 (x,y,1)。 齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常 数的一平面上的二维向量。
16
6.2 齐次坐标
齐次坐标的作用：
将各种变换用阶数统一的矩阵来表示：
提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从 一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 便于表示无穷远点。 例如：（x*h, y*h, h)，令h等于0 实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。 对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， h→0的过程就表示了 在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处 的过程。
12
6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 1） 物理坐标
物理坐标取决于图形硬件系
0,0
x
统，坐标取值总是正整数； 原点0，0在屏幕左上角； x向右为正； y向下为正； x、 y的最大值取决于显示模 式；如VGA模式则为639， 479。
y
13ຫໍສະໝຸດ Baidu
6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 2） 视口与视口坐标
水平镜象为
垂直镜象为
33
对称轴。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
4.转置(transpose) ：
转置是指将x,y坐标对换； 转置后图的宽高对换。 转置的变换矩阵
：
34
6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）：
平移、旋转、镜象、转置一般不涉及像素颜色； 放缩的变换矩阵
5
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵：
A+B =
a11 b11 ... am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn
10
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵运算的基本性质：
交换律与结合律：
A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律： a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) · B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩阵乘法的结合律及分配律： A(B · C) = (A · B)C (A+B) · C=A· C+ B · C C· (A+B) = C · A+C· B 矩阵的乘法不适合交换律。
1 0 dx X’ Y’ = 0 1 d y 0 0 1 1
X Y 1
X Y 1 X Y 1
旋转
X’ cosa -sina 0 Y’ = sina cosa 0 0 0 1 1 X’ Y’ = 1 Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1
缩放
19
6.3 几何变换的变换矩阵
1.平移变换 从点P[x,y]平移到点P’[x’,y’]
21
6.3 几何变换的变换矩阵
3. 比例变换
x’ = x*sx
Y
P’(x’,y’)
y’= y*sy
Sx = Sy： 均匀缩放。
P(x,y) X
Sx = Sy > 1，放大
Sx = Sy < 1，缩小
Sx 不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩
22
6.3 几何变换的变换矩阵
4. 对称变换
对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特
殊效果。例如：
当b=d=0，a=-1，e=1时有x’=
-x，y’=y，与y轴对称； 当b=d=0，a=1，e=-1时有x’=x，y’= -y，与x轴对称； 当b=d=0，a=e=-1时有x’= -x，y’= -y，与原点对称； 当b=d=1，a=e=0时有x’=y，y’=x，与直线y=x对称； 当b=d=-1，a=e=0时有x’= -y，y’= -x，与直线y=-x对称。
0,0 y x
y 0,0 x
15
6.2 齐次坐标
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个
向量来表示。如向量
n+1维 的齐次坐标表示为：
其中h是一个实数。 显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不 同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1] 表示的都是二维点。
矩阵的转置 交换一个矩阵Amxn的所有的行列元素，那么所得到的nxm的矩阵被称 为原有矩阵的转置，记为AT：
(AT) T
=A (A+B)T = AT + BT (aA)T = a AT (A· B)T = BT · AT 当A为n阶矩阵，且A= AT ，则 A是对称矩阵。
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6.3 几何变换的变换矩阵
二维齐次坐标变换的矩阵的形式是：
这个矩阵每一个元素都是有特殊含义的。
其中
可以对图形进行缩放、旋转、对称、错切等变
换；
18
是对图形进行平移变换；
是对图形作投影变换； 则是对图形整体进行缩放变换。
6.3 几何变换的变换矩阵
标准齐次坐标(x,y,1)
平移
当d=0时，x
x+by，y’= y，此时，图形的y坐标不变，x坐 标随初值（x，y）及变换系数b作线性变化。
’=x，y’=dx+y，此时，图形的x坐标不变，y坐标
’=
当b=0时，x
随初值（x，y）及变换系数d作线性变化。
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6.3 几何变换的变换矩阵
5. 错切变换 (SHEAR)
(1) 沿x方向产生错切 Y (x,y) θ (x’,y’)
x’ = x + y*tag(θ)
y’ = y (2) 沿y方向产生错切 x’ = x y’ = y +x * tag(θ) Y (x’,y’) θ (x,y) X
X
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6.3 几何变换的变换矩阵
6. 常用变换实例：
27
6.3 几何变换的变换矩阵
7. 复合变换
复合变换的一般方法：
变换分解
变换合成
第六章
图像的几何变换
1
第六章 图像的几何变换
原则上，所有图像处理都是图像的变换。 图像变换特指数字图像经过某种数学工具的处理，把
原先二维空间域的数据，变换到另外一个“变换域” 形式描述的过程。
如：傅立叶变换将时域或空域信号变换成频域的能量分布
描述。
通常“另外一个变换域”
更集中地代表了图像中的有 效信息，或者是更便于达到某种处理目的。
对应位置的元素相加； 只有在两个矩阵的行数和列数都相同时才能加法。
6
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵的乘法 只有当前一矩阵的列数等于后一矩阵的行数时两个矩阵才能相乘。 C=Cm×p = Am ×n · Bn×p cij = ∑aik*bkj
k=1,n
例：设A为2x3的矩阵，B为3x2的矩阵，则两者的乘积为：
23
6.3 几何变换的变换矩阵
4. 对称变换
关于X轴的对称变换
P(x,y) 对称点为 P’(x, -y)
关于Y轴的对称变换
P(x,y)对称点为P’(-x, y)
关于坐标原点的对称变换
P(x,y) 关于原点的对称点为P’(-x,-y)
24
6.3 几何变换的变换矩阵
5. 错切变换 (SHEAR)
30
图像旋转时得到的坐标可能并不是整数，需处理。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
旋转前的图
旋转后保持原图大小
31
旋转后的图转出的部分被裁掉
6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
插值
32
旋转
6.4 图像几何变换中的特殊问题
3.镜象(mirror)：
2
3
第六章 图像的几何变换
几何变换是一种简单的变换。 几何变换仍然在空间域。
几何变换的许多算法与图形学相似。
几何变换包括：
平移，
旋转，
镜象变换， 转置， 放缩等。
几何变换基于矩阵运算。
4
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵：
由m×n个数按一定位置排列的一个整体，简称m×n阶矩 阵。 a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n Am×n = ... ... ... am1 am 2 ... amn 其中，aij称为矩阵A的第i行第j列元素。
x’
=x+m y’ = y + n
Y n
m P’(x’y’) P(x,y) X
20
6.3 几何变换的变换矩阵
2. 旋转变换
一个点绕原点的旋转，逆时针方向为正。
x = cos a y = sin a
(x’,y’) ρ θ (x,y) α
x ' = cos( a ) = cos a cos sin a sin = x cos y sin y ' = sin( a ) = sin a cos cosa sin = x sin y cos
图像的缩小一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种。 图像按比例缩小：最简单的是减小一半，这样只需取原 图的偶（奇）数行和偶（奇）数列构成新的图像。 如果图像按任意比例缩小，则需要计算选择的行列。
K=1/3
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6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）： 图像的放大
图像的缩小操作中，是在现有的信息里如何挑选 所需要 的有用信息。 图像的放大操作中，则需对尺寸放大后所多出来的空格 填入适当的值，这是信息的估计问题，所以较图像的缩 小要难一些。 一般分为按比例缩小和不按比例缩小两种： 按比例放大：如果需要将原图像放大k倍，则将一个像素 值添在新图像的k*k的子块中。 任意不成比例放大：这种操作由于x方向和y方向的放大 倍数不同，一定带来图像的几何畸变。 图像放大倍数太大，会出现马赛克效应。
例：关于任意参照点的旋转变换
例：关于任意参照点的缩放变换
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6.4 图像几何变换中的特殊问题
1. 平移(Translation)：
可能部分图像移出原图： 空白处的处理； 裁剪； 原图是否放大。
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6.4 图像几何变换中的特殊问题
2. 旋转(Rotation)：
基点； 可能部分图像转出原图： 空白处的处理； 裁剪； 原图是否放大。
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6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 3）窗口与窗口坐标
可将当前视口设置成图形窗口，窗 口使用窗口坐标系。 窗口坐标系是将当前视口的坐标系 重新设置形成的。 窗口坐标系可以是实数或双精度实 数，可有任意取值。 通常，窗口坐标系可按人们习惯的 形式设置为： x向右为正， y向上 为正，原点可以在任意位置。 一般地，用户在图形系统中使用窗 口坐标系，图形系统底层在将图形 输出到显示屏幕时将窗口坐标转换 到视口坐标。
视口是图形方式下屏幕上的
0,0 0,0 y y
x x
一个矩形区域，当前图形显 示均在当前视口； 缺省地，视口是整个屏幕； 视口可以同时有多个，可以 重叠； 视口坐标是将原点移至物理 坐标系上某一点形成的； 视口坐标也以象素为单位， 坐标取值总是正整数； 原点0，0在视口左上角； x向右为正； y向下为正； x、 y的最大值取决于视口的 大小（象素数）。
9
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵的逆 对于一个nxn的方阵A，如果存在一个nxn的方阵B，使得 A· B=B· A=In ，则称B是A的逆，记为： B=A-1， A则被称为非奇异矩阵。 矩阵的逆是相互的，A同样也可记为A = B -1 ，B也是一个非奇异矩阵 。 任何非奇异矩阵有且只有一个逆矩阵。
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6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
方阵： nxn阶矩阵称为（n阶）方阵。 单位矩阵 在一矩阵中，其主对角线各元素aii=1,其余皆为0的矩阵称为单位矩阵 。 n阶单位矩阵通常记作In，并有： Am×n = Am×n · In Am×n = Im · Am×n
8
6.1 复习
：
放缩也有基点；
图像放缩时得到的坐标可能并不是整数，即产生新的
35
像素，需要圆整并插值（Interpolation），即利用邻域 的像素来估计新的像素值。 图像缩小之后，因为承载的信息量小了，所以画布可 相应缩小。反之亦然。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）： 图像的缩小
11
6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 屏幕坐标系统在文本方式与图形方式下是不同的：
文本方式下屏幕坐标系统以字符为单位，从1开始；
图形方式下屏幕坐标系统以象素为单位，从0开始。
图形方式下屏幕坐标系统用以确定某一象素在屏幕上
的位置。 屏幕坐标系统的概念有：
物理坐标； 视口坐标； 窗口坐标。
通常都采用规格化的齐次坐标，即取
h =1。(x,y) 的规格化
齐次坐标为 (x,y,1)。 齐次坐标的几何意义：可理解为在三维空间上第三维为常 数的一平面上的二维向量。
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6.2 齐次坐标
齐次坐标的作用：
将各种变换用阶数统一的矩阵来表示：
提供了用矩阵运算把二维、三维甚至高维空间上的一个点从 一个坐标系变换到另一坐标系的有效方法。 便于表示无穷远点。 例如：（x*h, y*h, h)，令h等于0 实际上就表示了n维空间的一个无穷远点。 对于齐次坐标[a,b,h]，保持a,b不变， h→0的过程就表示了 在二维坐标系中的一个点沿直线 ax+by=0 逐渐走向无穷远处 的过程。
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6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 1） 物理坐标
物理坐标取决于图形硬件系
0,0
x
统，坐标取值总是正整数； 原点0，0在屏幕左上角； x向右为正； y向下为正； x、 y的最大值取决于显示模 式；如VGA模式则为639， 479。
y
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6.1 复习
2. 屏幕坐标系统 2） 视口与视口坐标
水平镜象为
垂直镜象为
33
对称轴。
6.4 图像几何变换中的特殊问题
4.转置(transpose) ：
转置是指将x,y坐标对换； 转置后图的宽高对换。 转置的变换矩阵
：
34
6.4 图像几何变换中的特殊问题
5.缩放（zoom）：
平移、旋转、镜象、转置一般不涉及像素颜色； 放缩的变换矩阵
5
6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵加法 设A，B为两个具有相同行和列元素的矩阵：
A+B =
a11 b11 ... am1 bm1
a12 b12 ... a1n b1n ... ... am 2 bm2 ... amn bmn
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6.1 复习
1. 矩阵及其运算（复习）：
矩阵运算的基本性质：
交换律与结合律：
A+B=B+A; A+(B+C)=(A+B)+C 数乘的分配律及结合律： a(A+B) = aA+aB; a(A · B) = (aA) · B=A · (aB) (a+b)A = aA + bA a(bA) = (ab)A 矩阵乘法的结合律及分配律： A(B · C) = (A · B)C (A+B) · C=A· C+ B · C C· (A+B) = C · A+C· B 矩阵的乘法不适合交换律。
1 0 dx X’ Y’ = 0 1 d y 0 0 1 1
X Y 1
X Y 1 X Y 1
旋转
X’ cosa -sina 0 Y’ = sina cosa 0 0 0 1 1 X’ Y’ = 1 Sx 0 0 0 Sy 0 0 0 1
缩放
19
6.3 几何变换的变换矩阵
1.平移变换 从点P[x,y]平移到点P’[x’,y’]
21
6.3 几何变换的变换矩阵
3. 比例变换
x’ = x*sx
Y
P’(x’,y’)
y’= y*sy
Sx = Sy： 均匀缩放。
P(x,y) X
Sx = Sy > 1，放大
Sx = Sy < 1，缩小
Sx 不等于Sy时，沿坐标轴方向伸展和压缩
22
6.3 几何变换的变换矩阵
4. 对称变换
对称变换其实只是a、b、d、e取0、1等特殊值产生的一些特
殊效果。例如：
当b=d=0，a=-1，e=1时有x’=
-x，y’=y，与y轴对称； 当b=d=0，a=1，e=-1时有x’=x，y’= -y，与x轴对称； 当b=d=0，a=e=-1时有x’= -x，y’= -y，与原点对称； 当b=d=1，a=e=0时有x’=y，y’=x，与直线y=x对称； 当b=d=-1，a=e=0时有x’= -y，y’= -x，与直线y=-x对称。
0,0 y x
y 0,0 x
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6.2 齐次坐标
所谓齐次坐标就是将一个原本是n维的向量用一个
向量来表示。如向量
n+1维 的齐次坐标表示为：
其中h是一个实数。 显然一个向量的齐次表示是不唯一的，齐次坐标的h取不 同的值都表示的是同一个点，比如齐次坐标[8,4,2]、[4,2,1] 表示的都是二维点。