剪力弯矩与分布荷载集间的关系

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巧绘连续梁的剪力图——基于分布荷载、剪力、弯矩微分关系

作者：张春玲
作者机构：大连海洋大学职业技术学院
出版物刊名：焦作大学学报
页码： 88-89页
年卷期： 2014年第1期
主题词：连续梁;剪力图;弯矩图;微分关系
摘要：在结构力学中,用位移法和力矩分配法作内力图的顺序,是先作弯矩图、后作剪力图、再作轴力图。

弯矩图是根据杆端弯矩和已知荷载分布情况叠加而成,但剪力图和轴力图是先通过繁琐的平衡条件求出杆端内力值,再由内力值与已知荷载分布情况叠加而成。

分布荷载、剪力、弯矩微分关系是:剪力图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的分布载荷集度;弯矩图上某点切线的斜率等于该点相应截面上的剪力;弯矩对截面位置坐标x的二阶导数等于梁在该截面的分布载荷集度。

实践证明,利用作图规律和分布荷载、剪力、弯矩微分关系能快速绘出连续梁和刚架的剪力图。

不用或少用平衡方程,避免解题麻烦,能获得事半功倍效果,由此也能培养学生全面观察问题、深刻分析问题、果断解决问题的综合素质。

材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_

dFS( x) q( x) dx
If:在 x=x1 和 x= x2 两个横截面处无集中力作用
x2 x1
dFS
Байду номын сангаас
(
x)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
115
1265
23.6
+
1.7
27
（3）弯矩图每段弯矩图均为斜直线。
MA0
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
M C FRA0.2 4.72kN m
M D FRB0.115 3.11kN m
MB 0
200
115
1265
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4.72kN m
+
（4）校核
FRA 1 F 2
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
M(x)
FS(x)
O
x
2.梁上无荷载段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线.
FS(x)
弯矩图为斜线.
O
x
dFS( x) q( x) dx
A
C
F 3 FRB
DB
1）集中力作用的C,D 两点：剪力图发生突变,突变值F=25.3kN。
200

材料学剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系

二、适用条件 (Application condition)
所求参数（内力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系. 即在弹性限度内满足胡克定律.
三、步骤 (Procedure)
（1）分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图; （2）将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图形的简单拼凑）
例16 悬臂梁受集中荷载 F 和均布荷载 q 共同作用,试按叠加原
在CD和DB段，剪力为负值，弯矩图为向下倾斜的直线.
FRA F
1
2
A
C
200 1265
23.6
+
1.7
F FRB
3
D
B
115
最大弯矩发生在剪力改变正、负号的 C截面处.说明剪力图和弯矩图是正确的.
27
+
例题11 一简支梁受均布荷载作用，其集度 q=100kN/m ,如图所
示.试用简易法作此梁的剪力图和弯矩图.
40kN·m
+
a 2m
b
cd
2m 2m
a
b
c
d
CD段剪力图为水平直线且FS(x) = 0
20kN
(2)作荷载图 AB段无荷载在A处有集中力偶
Me= 40kN·m ( ) B 处有集中力.
集中力 F = 20kN () BC段无荷载 C处有集中力
集中力 F = 20kN ( ) CD段无荷载
FS(x)
M(x)
M(x)
x
O
x
O
O
x
3. 在集中力作用处剪力图有突变,其突变值等于集中力的值.弯矩图有转折.
4. 在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.

剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系

FRA F1=2kN M=10kN·m FRB F2=2kN q=1kN/m
FRB 5kN
A
将梁分为AC、CD、
DB、BE 四段.
C
4m
4m
D 4m
BE 3m
（2）剪力图
AC段向下斜的直线()
FSA右 FRA 7kN FSC左 FRA 4q 3kN
CD段向下斜的直线 ( )
FSC右 FRA 4q F1 1kN FSD F2 FRB 3kN
(1) 剪力图
F=50kN MA
q=20kN/m M=5kN·m
AE段水平直线
A EC D
FSA右 = FSE左 = FRA = 81kFNRA
ED 段水平直线
1 0.5 1
3
K
B
FRB
1
FSE右 = FRA - F = 31kN
81kN
DK 段向右下方倾斜的直线
FSK= -FRB = - 29kN KB 段水平直线
1
2
A
C
200 1265
F FRB
3
D
B
115
M D FRB 0.115 3.11kN m
MB 0
+
最大弯矩发生在 C 截面
Mmax 4.72kN m
FRA F
（4）对图形进行校核
1
2
在集中力作用的C, D 两点剪力 A
C
图发生突变, 突变值 F=25.3kN.而弯矩图有尖角.
在AC 段剪力为正值，弯矩图
96.5
F=50kN DK段向上凸的二次抛物线MA
q=20kN/m M=5kN·m
M K FRB 1 M

剪力弯矩与分布荷载集度间的关系讲解

向下的均布荷载
q<0
无荷载
集中力
F C
集中力偶 m C
剪力图的特征向下倾斜的直线
水平直线
在C处有突变
在C处无变化 C
弯矩图的特征上凸的二次抛物线
最大弯矩所在
截面的可能位置
在Fs=0的截面
一般斜直线或
在C处有突变在C处有转折
m
在剪力突变在紧靠C的某
的截面
一侧截面
三、分布荷载集度，剪力和弯矩之间的积分关系 (integral relationships between load, shear force, and bending moment)
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。
二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment diagrams)
1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) < 0 Fs(x)图为一向右下方倾斜的直线 M(x)图为一向上凸的二次抛物线
§4–5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (relationships between load,shear force,and bending moment)
一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(differential relationships between load, shear force, and bending moment)
Fs(x)
M(x)
o
x
dFs(x) = q(x)
dx
dM(x) = Fs(x)

弯矩、剪力和均布荷载之间的关系

弯矩、剪力和均布荷载之间的关系下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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大工21秋《工程力学(一)》在线作业2-辅导资料-答案

大工21秋《工程力学（一）》在线作业2试卷总分:100 得分:1001.脆性材料拉伸时不会出现（）。

<-A.->伸长<-B.->断裂<-C.->屈服现象<-D.->弹性变形【-参考.选择-】：C2.由横截面的对称轴与梁轴线所构成的平面称为梁的（）。

<-A.->横对称面<-B.->纵对称面<-C.->斜对称面<-D.->不对称面【-参考.选择-】：B3.在线弹性范围内，材料的应力与应变（）。

<-A.->成正比<-B.->成反比<-C.->不成比例<-D.->无任何关系【-参考.选择-】：A4.材料破坏时的应力称为（）。

<-A.->比例极限<-B.->极限应力<-C.->屈服极限<-D.->强度极限【-参考.选择-】：D5.以弯曲变形为主要特征的杆件称为（）。

<-A.->梁<-B.->柱<-C.->桁架<-D.->以上都不对【-参考.选择-】：A6.在截面弯矩一定的情况下，梁的抗弯刚度越大，其弯曲程度（）。

<-A.->越小<-B.->越大<-C.->不能确定<-D.->以上都不对【-参考.选择-】：A7.求解梁的挠曲线方程时需利用支座处的约束条件，固定铰支座处截面的（）。

<-A.->转角为零，挠度不为零<-B.->挠度为零，转角不为零<-C.->转角和挠度均为零<-D.->转角和挠度均不为零【-参考.选择-】：B8.梁在集中力偶作用的截面处，其内力图（）。

<-A.->剪力图有突变，弯矩图光滑连续<-B.->剪力图有突变，弯矩图有转折<-C.->弯矩图有突变，剪力图光滑连续<-D.->弯矩图有突变，剪力图有转折【-参考.选择-】：C9.根据约束的特点，常见的静定梁的形式有（）。

剪力图弯矩图快速绘制中的口诀法

口诀法在梁内力图绘制中的应用（苏科大土木学院2020.5）弯矩与剪力有这样的关系：弯矩方程比剪力方程高一阶，弯矩方程的一阶导数是剪力方程，弯矩图的在某个截面的斜率值恰恰就是该截面的剪力。

弯矩与剪力、分布荷载之间的微分积分关系，可作为弯矩图绘制的理论依据。

本文以画梁的内力图为例，淡淡形象教学法在力学教学中的应用。

利用形象的口诀同时将弯矩、剪力与荷载集度问的微分关系及梁的内力图的一些特点，文献中的作者们做了大量工作，这里作汇总如下（部分略有改动）。

（1）黄氏口诀[3]：剪力图口诀：剪力跟随载荷走；均布载荷顺着斜；集中力处随着跳；上下看力的方向，遇到力偶剪力不会变。

（要求从左至右画）。

弯矩图口诀：差值等于Q与轴围图的面积；突变朝着同向矢；曲线突向顺着q；顶点正好对零剪。

特征：分段、突变、直线、曲线。

（2）高氏口诀[4]：均布荷载负，剪力下（右下）斜路．弯矩下（下凸）抛物；均布荷载零，剪力直线平，弯矩斜向行；集中力在梁上现．剪力要突变（顺F方向），弯矩定折转（F作用截面出现折角）；力偶作用面，剪力照常现（左右相同），弯矩要突变（顺时针力偶向下突变）。

最大弯矩可能发生在F，零（剪力为零）、F。

变（剪力变号）和紧靠力偶一侧面。

（3）钱氏口诀[5]：剪力图口诀：没有外力，水平线；均布外力，斜直线；集中外力，有突变；集中力偶，不用变。

剪力、弯矩图的相对应口诀：①你无我平，你平我斜，你斜我弯，弯线顶点你为0；②顺流而下，逆流而上，集中力偶来管上；③上尖角、下尖角，外力指向要看好。

（4）网络口诀（作者不详）。

剪力图口诀:外伸端，自由端，没有集中力取零点。

无力梁段Q水平线，集中力偶同样看，均布荷载Q应为斜线，小q正负定增减，集中力处有突变，左顺右逆画竖线，增多少？降多少？集中横力作参考。

弯矩图口诀:弯矩图，较复杂，对照剪图来画它；自由端，铰支端，没有力偶作零点。

剪图水平弯图斜，剪力正负定增减；天上下雨池水满，向上射出弓上箭。

理论力学中剪力、弯矩、载荷集度之间的微分关系

Ｄ：０３６／．ｓ．０３０７．０００．１ＯＩ１．９９ｊｉｎ１０－９２２１．３０４ｓ
理论力学中剪力、弯矩、载荷集度之间的微分关系
韩瑞功
（潍坊科技学院，山东寿光２２０）６７０摘要：剪力的一阶导数等于梁上的载荷集度（载荷向下时为负值）弯矩的一阶导数等于剪力．，承载剪力
段曲线的凸凹性由该段上分布载荷的方向所决定．关键词：力；剪弯矩；荷载中图分类号：４Ｏ１文献标志码：Ａ文章编号：１０－９２２１）３３４００３０７（０００－７－０４
ＴｈｆｅｅｔａｌｔｏｈｐａｏｈａｉｇＦｏｃＢｅｄｎｇＭｏｅｔｅＤｉｆｒｎｉｌＲｅａｉｎｓｉｍｎｇＳｅｒｎｒｅ，ｎｉｍｎ
信阳师范学院学报：自然科学版
第２３卷第３期２１７月００年
ＪｕｎｌｏｎａｇＮｏｍａＵｎｖｒｉｏｒａｆＸｉｙｎｒｌｉｅｓｔｙ
ＮｔｒｌｃｅｃｄｔｎＶｏ．３Ｎ．ｕ．０１ａｕａｉｎｅＥｉｏ１２ｏ３Ｊ１２０Ｓｉ
ｔｅｍｏｎｉｇａｉｄｔｒｎｄｂｈｉｔｂｔｄｌａｉｃｉｎｏｈｓｃｒｅｈｍｅｔａｒｍｓｅｅｍｉｅｙｔｅｄｓｒｕｅｏｄｄｒｔｆｔｉｕｖ．ｄｉｅｏ
Ｋｅｒｓ：ｈａｎｇｆｒｅ；ｎｉｍｅ；ｏｄｙｗｏｄｓｅｆｏｃｂｅｄｎｇｍｏｎｔｌａｉ

剪力图和弯矩图(史上全面)剪刀图弯矩图特征

2
2
右端点D： Q
1 2
qa
;M
0
23
1、练习直接画内力图 P129 4、4－d、j（对称载荷）、m(反对称载荷)
同时可以提前讲内力图的对称关系 2、改错
见下页PPT 3、由Q图作M图和载荷图P135 4.16(b)
由M图作Q图和载荷图P135 4.17(a) 4、讲解组合梁的内力图P130 4.6(a)
P q
Pa 2
qa2 2
A
BM
x x
+ P
=
=+
A
B M1
Pa 2
+
+
q
qa2
A
B M2
2 +
x
29
三、对称性与反对称性的应用：对称结构在对称载荷作用下，Q图反对称，M图对称；对称
结构在反对称载荷作用下，Q图对称，M图反对称。
30
[例8] 作下列图示梁的内力图。
P
PL
Q
x
0L 0.5P L 0.5P L
Q
特
征
x
x
x
C
x
Q2
x
C x
Q>0 Q<0 增函数降函数 Q1–
M
斜直线
曲线
自左Q2向=P右折角自左向右突变
图
x
x
x
x
x 与 M1 x
特
m
征M
M
M
M
M
反 M M2
增函数降函数碗状馒头状折向与P反向 M1 M220 m
简易作图法: 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作图的方法。
[例4] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。

剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用

控制点:端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。
[例] 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。
1、确定支座反力
FAy FDy F
2、剪力图将梁分为AB，BC，CD三段，梁上无分布载荷，各梁段为水平直线。利用截面法知：
FSA F, FSB 0, FSC F
剪力图中以此画出a，b，c三点。过三点分别画出水平直线，得剪力图（图b）。 3、弯矩图利用截面法，知：
dFs (x) q q(x) dx
q(x)
O
x
dx
q
M
M+dM
FS FS+dFS dx
对dx 段进行平衡分析，有：
x Y 0
Fs (x) q(x)dx Fs (x) dFs (x) 0
q(x)dx dFs (x)
dFs ( x) q( x) dx
剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。
M A 0, M B M B Fl1 MC MC Fl1, M D 0
做出弯矩图中对应e,d,f,g四点，连接 de，ef，fg得剪力图（图c）。
F
FAy
B
F C
FBy
A
D
x1
x2
l
(a)
Fs a
F
x
b
c
F
(b)
M
Fl1
x
d
g (c)
在BC段内，剪力为零，弯矩为常数。梁段的各横截面的弯矩为常数，剪力为零的受力状态，称为纯弯曲。
工程力学
剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用
一、剪力、弯矩与分布荷载间的关系
q
1、支反力：FAY
FBY
ql 2

静定梁的内力—荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系(建筑力学)

§ 8.4 荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系
1.荷载集度、剪力、弯矩之间的微分关系
[例] 绘制简支梁在均布荷载作用下的剪力图和弯矩图。
解：(1)求支座约束力
q
FA
FB
ql 2
()
A
x
(2)列剪力方程和弯矩方程 FA
C l
设q向上为正，M向下为正，则：
B
FB
dFQ (x) q(x) dx
FQ对x的一阶导数等于梁（1）上相应位置分布荷载的集度。
MA 0， FBy 8 8 244 41 0 FBy 3.5kN
x
（2）绘制剪力图
设剪力为零的位置离4点位置为x，则：
FQ(x)=8.5-4-2·x=0 ， x =2.25m
FQ
（3）绘制弯矩图
M 2 M3 8.5kN m
M4 8.5 2 41 13kN m
M max
8.5 (2 2.25) 4 (1 2.25)
应用举例
[例1] 利用内力图特征绘制如图所示外伸梁的剪力图、弯矩图。
解:（1）计算支座反力
M 0 , B
4 2 1 20 2 FDy 4 0
FDy
(4 21 4
20 2)
8kN
M 0 , 4 2 5+20 2 FBy 4 0 D
(4 25 20 2)
FBy
4
20kN
（2）确定分段点，判断各段梁内力图的形状
知识回顾
FS图、M图特征表
1.控制截面的选取
（1）梁的两端取左端偏右、右端偏左两个边缘控制截面。
1
2
1
2
1
2
（2）梁中集中力、集中力偶作用处，取偏左、偏右两控制截面。

静定结构的内力—利用微分关系画剪力图和弯矩图(建筑力学)

C FS(x) FS (x) +dFS (x)
dx
一、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
微分关系
d Fs ( x ) q( x ) dx
d
M d
( x
x
)
Fs
(
x
)
几何意义
剪力图上某点处切线的斜率等于梁上该点处的分布载荷集度
弯矩图上某点处切线的斜率等于梁上该点处截面上的剪力
d
2 M( d x2
例题1：画出图中所示梁的剪力图和弯矩图。
解：（1）求支座反力。由平衡方程解得：
FAy
FBy
Me l
（2）以集中力偶的作用点C为界，将AB梁分为两段： AC段和CB段。两段的各截面剪力相等，即：
FSA
FSB
Me l
所以梁的剪力图为一条水平线，如图所示。
横截面C左侧弯矩为
MC左
FAy
a
a l
Me ( 使梁上侧受拉）
其中剪力必为常数，弯矩可能是常数或一次函数
二、分布载荷、剪力图和弯矩图之间的规律
2.梁段上的分布载荷为不等于零的常数
常数
剪力为一次函数剪力图为斜直线
剪力为增函数，上斜直线
剪力为减函数，下斜直线
一次函数
为二次函数，弯矩图为二次曲线
应有极小值弯矩图为上凸曲线应有极大值弯矩图为下凸曲线
三、画剪力图和弯矩图的简便方法
一、剪力、弯矩与荷载集度间的微分关系
dFS(x)=q(x)dx
得
dFS(x)
dx
=q(x)
∑MC=0
M(x)+FS(x)dx-[M(x)+dM(x)]+q(x)dx
dx 2

(土建施工)教学设计8-4-1分布荷载集剪力与弯矩之间的分关系

8-4-1 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系
一、教学目标
知识目标：
1.明白分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系及其几何意义；
2.掌握由分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系推出的剪力图和弯矩图的特征规律。

能力目标：
1.会利用静力平衡条件推导分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系；
2.能由分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系推出的剪力图和弯矩图的特征规律。

二、教学重难点
重点：分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系的几何意义。

难点：梁上不同荷载情况下剪力图和弯矩图的特征规律。

三、教学方法
采纳线上线下混合式教学法、小组讨论法、案例分析等方法。

四、教学实施
课前：教师利用云课堂APP安排任务，学生在课前复习剪力和弯矩的正负号规定及代数和法求内力。

课中：首先，通过设疑(有无简便方法绘制梁的内力图？〕，引入新课。

接着，通过分析简支梁在均布荷载作用下的剪力方程和弯矩方程，分别对其求一阶导数，推出分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系，并引导学生理解其几何意义。

最后，通过小组合作、讨论，教师引导总结由分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系推出的剪力图和弯矩图的特征规律。

课后：教师通过云课堂APP安排本节课作业，并公布下节课的预习任务，教师对作业进行批改，并及时进行反应。

五、教学小结
学生通过云课堂APP进行本次课程学习效果的评价；教师总结课程内容，并进行下次课程任务安排。

弯矩和荷载的关系

弯矩和荷载的关系主要体现在以下几个方面：
1. 弯矩是受力构件截面上的内力矩的一种，它是由受力构件上的荷载产生的。

弯矩是一种力矩，它的计算公式为：ME = F * L，其中ME表示弯矩，F表示荷载，L表示受力构件的有效计算长度。

2. 弯矩与荷载的关系可以通过二阶微分来描述。

弯矩对于受力构件的位置求导，得到的是受力构件上的剪力。

剪力对于受力构件的位置求导，得到的是受力构件上的荷载集度。

因此，弯矩的二阶微分等于荷载。

3. 荷载的大小会影响弯矩的大小。

一般来说，荷载越大，弯矩越大。

但这种关系并非绝对，例如轴心拉压荷载只会产生轴力，而不产生弯矩。

4. 横向荷载会产生弯矩。

当横向荷载作用在受力构件上时，受力构件会发生弯曲，从而产生弯矩。

荷载越大，弯矩越大。

5. 弯矩和荷载的关系还受到材料性能、构件尺寸和形状等因素的影响。

在实际工程中，需要根据具体情况分析荷载和弯矩之间的关系。

总之，弯矩和荷载之间存在密切的关系。

荷载是导致受力构件产生弯矩的原因，而弯矩的大小受荷载大小、构件尺寸和材料性能等因素的影响。

在工程设计和分析中，了解弯矩和荷载的关系至关重要，有助于确保结构的安全和稳定性。