常见立体图形外接球题型总结

目录

【题型1】球的性质的应用 (3)

【题型2】“双直角”型 (5)

【题型3】“墙角”型 (6)

【题型4】“四面全等”型 (8)

【题型5】“固化”型 (9)

【题型6】“大小圆垂直”型 (11)

【题型7】“直棱柱”型 (13)

【题型8】“正棱锥”型 (14)

【题型9】“两面”型 (15)

【题型10】“最值”问题 (17)

前言

“三视图问题”、“球的问题”、“立体几何证明题”是数学高考立体几何门派的“三大剑客”，曾秒杀无数考生，特别是“球的问题”始终是高考的热点问题，题型为选择或填空。题目难度跨度大，其中有简单题，中等题有时也会有难题。它直接或间接的以球为载体综合考查空间几何体的体积、表面积计算，解题过程中又蕴含几何体线面关系的识别与论证。所以很少有哪个知识点能像球那样微观上把“数”与“形”数学中两大基本元素完美契合，宏观上实现代数与几何平滑过渡.可是这类问题缺乏几何直观，具有高度抽象性，区分度高，得分率低，属于学生畏惧，老师头疼的难点问题。不过这类问题有很强的规律性，若在平时解题中探索反思，注意总结，能找到通法，是我们学生潜在的得分点；同时研究它为处理空间几何体的证明问题锻炼能力，为解决三视图问题开拓思路。

知识准备

（1）等边三角形相关：面积、外接圆半径，内切圆半径；（2）直角三角形、等腰三角形、矩形圆心位置；（3）球的性质：

【性质1】球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.已知球O 的半径为R .（1）若截面经过球心O .

如图1，设A 是截面与球面的任意一个交点，连接OA .由球的定义可知，OA R =，所以点A 的轨迹是以O 为圆心，R 为半径的圆，即该截面是圆.（2）若截面不经过球心O .

如图1，设球心O 在截面上的射影为1O ，B 是截面与球面的任意一个交点，连接1OO ，OB 和1O B ，则OB R =为定值，且1OO 也为定值，所以2211O B R OO =-为定值，因此，点B 的轨迹是以1O 为圆心，1O B 为半径的圆，即

该截面也是圆.

【性质2】球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.

如图2所示，若圆1O 是球O 的小圆，则11OO O ⊥圆面.

证明：如图，设AB ，CD 分别是圆1O 的两条直径，连接OA ，OB ，OC ，OD ，1OO .依题意可得OA OB =，所以1OO AB ⊥.

同理可得1OO CD ⊥，又因为1AB CD O = ，所以11OO O ⊥圆面.

【性质3】如图2，设球O 的半径为R ，球O 的小圆的圆心为1O ，半径为r ，球心O 到小圆1O 的距离1OO d =，则由性质2得22d R r =

-，或22r R d =-.

【性质4】球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.

如图3，设球O 的两个平行截面的圆心分别为1O ，2O ，连接1OO ，2OO ，由性质3可知，11OO O ⊥圆面，又因为12//O O 圆面圆面，

所以12OO O ⊥圆面.同理可得，21OO O ⊥圆面，且22OO O ⊥圆面，

所以O ，1O ，2O 三点共线，因此，12O O 垂直于1O 圆面和2O 圆面，且12O O O ∈.【性质5】球的直径等于球的内接长方体的对角线长.

【性质6】若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点.

【例1】已知球O 的半径为2，圆M 和圆N 是球的互相垂直的两个截面，圆M 和圆N 的面积分别为2π和π，则||MN =（）A．1

B．3

C．2

D．5

【变式1.1】已知三棱锥ABC S -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2=SC ，则此棱锥的体积为（

）

A．

26

B．

36

C．

23

D．

22

【变式1.2】已知三棱锥ABC S -的各顶点都在一个半径为R 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，

r AC 2=，则球的体积与三棱锥体积的比值是

.

【变式1.3】已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为

.

【变式1.4】已知A ，B 是球O 的球面上两点，90AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点.若三棱锥O ABC -体积的最大值为36，则球O 的表面积为()

A.36π

B.64π

B.144π

D.256π

【变式1.5】设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆C，若圆C 的面积等于

4

7

，则球O 的表面积等于________．【例2】已知球的直径SC=4，A、B 是该球球面上的两点，AB=3，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S-ABC 的体积为（）

A.3

3 B.3

2 C.3

D.1

【变式2.1】高为

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D 均在半径为1的同一个球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为（）

A.

4

2 B.

2

2 C.1

D.2