立体几何之与球有关的高考考试

立体几何之与球有关的高考考试

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：

立体几何分类复习

一、球的相关知识

考试核心：方法主要是“补体”和“找球心”

1.长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径．

2．正方体的内切球其棱长为球的直径．

3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线．4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

5.性质的应用

2

2

2

1

2r

R

OO

d-

=

=，构造直角三角形建立三者之间的关系。

1.（2015高考新课标2，理9）已知A,B是球O的球面上两点，∠AOB=90,C为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )

A．36π B.64π C.144π D.256π

参考答案

2.

3.

4.

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。（两题互换条件形成不同的题） 1．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

2OO =，A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为

23

π

，则1AO B ∠= . 2．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1

2OO =，A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2

π

，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科）

类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径

r C

c

2sin =，从而解决问题。 3. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===, 120BAC ∠=︒，

则此球的表面积等于 。

4.正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 ．

5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S

—ABC 的体积为

A ．33

B ．32

C ．3

D ．1

6.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，

2BC =，

则球O 表面积等于

（A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π

类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。

7.15.设OA 是球O 的半径，M 是OA 的中点，过M 且与OA 成45°角的平面截球O 的表面得到圆

C 。若圆C 的面积等于

74

π

，则球O 的表面积等于 .（2009年文科）

8.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成二面角的平面β截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A)7π (B)9π (C)11π (D)13π

9.（5）如果把地球看成一个球体，则地球上的北纬0

60纬线长和赤道长的比值为

（A ）0.8 （B ）0.75 （C ）0.5 （D ）0.25

类型四：球内接多面体的相关元素之间的联系。

10.圆柱形容器内部盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球（球的半径与圆

柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球（如图所示)，则球的半径是 cm ．（2010年理科） 11.16．长方体1111ABCD A B C D -的顶点均在同一个球面上，11AB AA ==，

2BC =，则A ，B 两点间的球面距离为 .

12.体积为8的一个正方体，其全面积与球O 的表面积相等，则球O 的体积等于 ．

13.已知两个圆锥有公共底面，且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球

面上．若圆锥底面面积是这个球面面积的

3

16

，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为_______．

14.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 .

类型五：平面几何性质在球中的综合应用。

15.已知球O 的半径为4，圆M 与圆N 为该球的两个小圆，AB 为圆M 与圆N 的公共弦，

4AB =．若3OM ON ==，则两圆圆心的距离MN = ．

类型六：性质的简单应用。

16.已知OA 为球O 的半径，过OA 的中点M 且垂直于OA 的平面截球面得到圆M ，若圆M 的面积为3π，则球O 的表面积等于______ _______.

17.（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,23AB BC ==,则棱锥O ABCD -的体积为 。

18.（9）高为2

4

的四棱锥S-ABCD 的底面是边长为1的正方形，点S 、A 、B 、C 、D 均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD 的中心与顶点S 之间的距离为 （2011年理科）

（A ）

24

（B ）

22

(C)1 (D)

2

B

C

D

A

N M O

α

参考答案：3、欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质2

22d r R +=。

∵AA 1=2, ∴12

1121==

==AA OO OO d 。 现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。 由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ，

由正弦定理有

2sin 22sin =∠=⇒=∠BAC

BC

r r BAC BC

∴.5142

2

2

=+=+=d r R ∴ππ2042

==R S 。

4、8

5、C 6 A 7问题的解决根本——求球半径OB R =。 与R 相关的重要性质222d r R +=中，2

r 可求（∵4

72π

π=

r ∴4

72

=

r ）

问题转化到求OC d =上

充分运用题目中未用的条件，2R OM =

，∠OMC=45°，∴2

2R d = 于是8

4722

R R +=求得22

=R ，∴ππ842==R S

8 D 9、 C 10、 4 11、

3

π 12、π34 13、1/3 14、2

2R π 15、析：由OM=ON 知，⊙M 与⊙No 为等圆，根据球中的重要性质∴79162

2

2

=-=-=d R r

又MH ⊥AB 得H 为AB 中点，∴BH=AH=2 ∴322=-==BH r NH MH ∵∠OMH=∠ONH=90°∴∠MON=π－∠MHN

由余弦定理有MN 2=OM 2+ON 2－2OM ·ON ·cos ∠MON MN 2=MH 2+NH 2－2MH ·NH ·cos(π－∠MON) 解得cos ∠MON=

21，即∠MON=3

π ∴三角形OMN 为等边三角形， ∴MN=3. 16、16π 17、24 18、C