高数期末考试试题及答案[1]

北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2）

1．极限2

221lim 1x x y

x y x +→∞→⎛⎫+= ⎪

⎝

⎭2e ．

2．设()2y z x y x ϕ=++，其中ϕ具有连续二阶偏导数，

则2z x y

∂∂∂=2x ()''21()ln 1y x y x y x ϕ-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4

P π处的法线方程为

4112

2

1

1

1

z x y π

---=

=

-．

4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0

）处的方向导数的最大值为

5．设2x u v z y u vz ⎧=-++⎨=+⎩

确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ∂=∂12z

zu -+． 6．幂函数21

(1)9n

n

n x ∞

=-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2

,10

()1,01x x f x x x --<≤⎧=⎨-<≤⎩，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于

12

． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2

()xdydz ydzdx zdxdy

x y z ++=++∑

⎰⎰4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ⨯

=3224x y z x z ---．

10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分

2

(22)(4)L

xy y dx x x dy -+-⎰= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2

12565x

x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域．

解：若用泰勒级数

2()

0000

000''()()()()()()'()()2!

!

n n f x x x f

x x x f x f x

f x x x n --=+-++++

=2()1''(2)(2)(2)(2)'(2)(2)42!!

n n

f x f x f x n ---+-+

+++ ，不易。 而由16131

()2161(2)418

f x x x x x =+=+

--++-+，利用01,11n n t t t ∞

==-∑〈 易得03()(1)[1](2),(1,3)48

n n

n

n f x x x ∞

==--+

-∈⋅∑ 三（8分）．设3

(,)y z x f xy x =，其中f(u,v)具有连续二阶偏导数，求22,z y ∂∂ 2.z

x y

∂∂∂

解：

42

12''z x f x f y ∂=+∂ 25311221222z x f x f xf y

+∂''''''∴=+∂ 24311

221242z

x f yf x f xf x y

y ∂''''''∴=-++∂∂ 四（10分）．设V 是由曲面积分221x y az +=∑：

和22z a =∑：(0)a > 所围成的空间封闭图形。求（1）V 的体积；（2）V 的表面积． 解：

V 的体积22222

23

0(2)56a

a

a

x y az

x y a z dz

dxdy dz

dxdy a π+≤+≤-=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰

利用dS =， V

的表面积2222222x y a x y a

a π+≤+≤=

+=⎰⎰⎰⎰

五（8分）．确定参数λ的值，使得在不经过直线y =0的区域上，曲面积分

222222()()L x x y x x y I dx dy y y λλ++=-⎰与路径无关，并求当L 为从A （1,1）到B (0,2)时I 的值．

解：因为曲面积分222222

()()L x x y x x y I dx dy y y λλ++=-⎰与路径无关，

则

P Q

y x

∂∂=∂∂ 解得12λ=-，

1122

222

2

2

(0,2)

2

(1,1)

()

()

x x y x x y I dy dy y

y -

-

++=-

⎰

取路径1,1（）→

0,1?（）→0,2（），10

2

2

2

1

1

(1)0I x x dx dy -=+-⎰

⎰1=

六（10分）．求函数z=f (x,y )=x 2y (4-x-y )在由直线x+y =6、x 轴和y 轴所围成的闭区域D

上的最大值和最小值． 解：由 0,0x y f f ==，得区域D 内的驻点（2,1）。

比较区域D 边界的驻点，

得：最大值为驻点（2,1）上的值4，最小值为区域边界x+y =6上的驻点值f (4,2)= -64

七（8分）．计算222y dydz z dzdx x dxdy ∑

++⎰⎰，其中∑为旋转抛物面z=x 2+y 2被平面z=1

所截得部分的外侧．

解：加辅助面，用高斯公式

1

1

1

222222222204

xy

D y dydz z dzdx x dxdy y dydz z dzdx x dxdy

dV y dydz z dzdx x dxdy

x dxdy π

+∑∑Ω

∑∑++-++=-++=-=-

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰

八（8分）．已知函数y=y(x)满足微分方程'y x y =+，且y (0)=1，证明111()1n y n n ∞

=⎡⎤

--⎢⎥⎢⎥⎣⎦

∑绝

对收敛．

解：由2

2''(0)(0)()(0)'(0)(0)()2!

y x y x y y x x -=+-+

+ ， 2222

11''(0)11111()(0)'(0)()1()2!y y y y n n n n n n n =+++=+++ ， 再由取绝对值后，与收敛级数2

01

n n

∞

=∑

比较，用比较判敛法得证。