2014天津市高考压轴卷 文科数学 Word版含解析

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(文科)解析版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学试题(文科)解析版

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积,•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. [2014•天津文卷]i 是虚数单位,复数=++ii437( ) A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- 【答案】A 【解析】()()()()()()i i i i i i i i-=+⨯+⨯-+⨯+⨯=-+-+=++14313474137434343743722.2. [2014•天津文卷]设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( )A.2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】可行域如图x当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值31211=⨯+⨯=z .3. [2014•天津文卷]已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:( ) A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有【答案】B【解析】含量词的命题的否定先改变量词的形式再对命题的结论进行否定.4. [2014•天津文卷] 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A .c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >> 【答案】C【解析】∵1log 2>=πa ,0log 21<=πb ,112<=πc ,∴a c b <<.5. [2014•天津文卷]设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比数列,则1a =( )A.2B.-2C.21 D .-21【答案】D【解析】∵()6412344114-=-⨯⨯+=a a S ,又∵,,,421S S S 成等比数列, ∴()()64121121-=-a a a ,解之得211-=a .6. [2014•天津文卷]已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.120522=-y xB.152022=-y xC.1100325322=-y xD.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】∵1020,2+-==c ab,∴5=c ,52=a ,202=b , ∴120522=-y x .7. [2014•天津文卷]如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 【答案】D 【解析】∵31∠=∠,42∠=∠,∴21∠=∠,34∠=∠, ∴BD 平分CBF ∠,∴ABF ∆∽BDF ∆,∴BF BDAF AB =,∴BD AF BF AB ⋅=⋅, ∴DFBF BF AF =, DF AF BF ⋅=2.8. [2014•天津文卷]已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( )A.2πB.23πC.πD.2π 【答案】C【解析】∵()16sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+=πωx x f ,∴216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ,∴Zk k x ∈+=+111,266πππω或Z k k x ∈+=+222,2656πππω,则()()ππω1212232k k x x -+=-,又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2=ω,π=T .二、填空题9. [2014•天津文卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】由分层抽样方法可得一年级抽取人数为6065544300=+++⨯.10. [2014•天津文卷]一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m.俯视图侧视图正视图【答案】320π【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积32022314122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V .11.[2014•天津文卷]阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________.【答案】-4【解析】()()42223-=-+-=S .12. [2014•天津文卷]函数()2lg x x f =的单调递减区间是________.【答案】()0,∞-【解析】()2lg x x f =的单调递减区间需满足02>x 且2x y =递减.13. [2014•天津文卷]已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1=⋅AF AE ,则λ的值为________.【答案】2【解析】建立如图所示坐标系,且()0,1-A 、()3,0-B 、()0,1C 、()3,0D ,设()11,y x E ,()22,y x F ,由3BC BE =得()()3,33,111+=y x ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,31E ,由DC DF λ=得()()3,3,122-=-yx λ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλ33,1F , 又∵13231033,11332,34=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅λλλAF AE , ∴2=λ.14. [2014•天津文卷]已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______.分别作出函数()y f x =与||y a x =的图像,由图知,0a <时,函数()y f x =与||y a x =无交点,0a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点,故0.a >当0x >,2a ≥时,函数()y f x =与||y a x =有一个交点,当0x >,02a <<时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点,当0x <时,若y ax =-与254,(41)y x x x =----<<-相切,则由0∆=得:1a =或9a =(舍),因此当0x <,1a >时,函数()y f x =与||y a x =有两个交点,当0x <,1a =时,函数()y f x =与||y a x =有三个交点,当0x <,01a <<时,函数()y f x =与||y a x =有四个交点,所以学科网当且仅当12a <<时,函数()y f x =与||y a x =恰有4个交点.考点:函数图像ABCD15. [2014•天津文卷]某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选中的可能性相同).(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率.{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M 发生的概率62().155P M == 考点:古典概型概率16.C7、C8[2012•天津文卷]在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 66=-,C B sin 6sin = (1)求A cos 的值; (2)求)62cos(π-A 的值.PFEDCBA17.G4、G11[2014•天津文卷]如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.(Ⅰ)证明 //EF 平面PAB ; (Ⅱ)若二面角P AD B --为60 ,(ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ; (ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.H5、H8[2014•天津文卷]设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知AB =(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ,2MF =,求椭圆的方程.【答案】(1) e = (2) 22163x y += 【解析】试题分析:(1)求椭圆离心率,就是列出关于a,b,c 的一个等量关系. 由12|||AB F F =,可得2223a b c +=,又222b ac =-,则221.2c a =所以椭圆离心率为e =(2) 由(1)知22222,,a cbc ==所以求椭圆方程只需再确定一个独立条件即可.由切线长=可列出所需的等量关系.先确定圆心:设(,)P x y ,由1(,0),(0,).F c B c -,有11(,),(,).F P x c y F B c c =+=由已知,有110F P F B ⋅=即()0x c c cy ++= ,故有19.(本19. B11、B12 [2014•天津文卷] 已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ (1) 求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围20.A1、D3、E7[2014•天津文卷] 已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}12,1,0-=q M ,集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-, (1)当3,2==n q 时,用列举法表示集合A ;(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中 ,,2,1,,n i M b a i i =∈证明:若,n n b a <则t s <.。

2014年高考真题——文科数学(天津卷)解析版 Word版含解析

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课标【2014·天津文卷】一、选择题1. [2014•天津文卷]i 是虚数单位,复数=++i i437( )A. i -1B. i +-1C. i 25312517+D. i 725717+-【答案】A 【解析】()()()()()()i ii i i i i i -=+⨯+⨯-+⨯+⨯=-+-+=++14313474137434343743722.2. [2014•天津文卷]设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为()A.2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】可行域如图当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值31211=⨯+⨯=z .3. [2014•天津文卷]已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:( )A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得B. 1)1(,0000≤+>∃xe x x 使得C.1)1(,0000≤+>∃xe x x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有【答案】B【解析】含量词的命题的否定先改变量词的形式再对命题的结论进行否定.4. [2014•天津文卷] 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A .c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>【答案】C【解析】∵1log 2>=πa ,0log 21<=πb ,112<=πc ,∴a c b <<.5. [2014•天津文卷]设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比数列,则1a =( )A.2B.-2C.21 D .-21 【答案】D 【解析】∵()6412344114-=-⨯⨯+=a a S ,又∵,,,421S S S 成等比数列, ∴()()64121121-=-a a a ,解之得211-=a . 6. [2014•天津文卷] 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( ) A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】∵1020,2+-==c ab ,∴5=c ,52=a ,202=b , ∴120522=-y x . 7. [2014•天津文卷]如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D. ①②④【答案】D【解析】∵31∠=∠,42∠=∠,∴21∠=∠,34∠=∠,∴BD 平分CBF ∠,∴ABF ∆∽BDF ∆, ∴BF BD AF AB =,∴BD AF BF AB ⋅=⋅,∴DFBF BF AF =, DF AF BF ⋅=2. 8. [2014•天津文卷]已知函数()sin cos (0),.f x x x x R ωωω+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( ) A.2π B.23π C.π D.2π 【答案】C【解析】∵()16sin 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πωx x f ,∴216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ,∴Z k k x ∈+=+111,266πππω或Z k k x ∈+=+222,2656πππω,则()()ππω1212232k k x x -+=-,又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2=ω,π=T . 二、填空题9. [2014•天津文卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生.【答案】60 【解析】由分层抽样方法可得一年级抽取人数为6065544300=+++⨯. 10. [2014•天津文卷] 1 234一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m.俯视图侧视图正视图 【答案】320π【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积32022314122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V .11.[2014•天津文卷]阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________.【答案】-4【解析】()()42223-=-+-=S .12. [2014•天津文卷]函数()2lg x x f =的单调递减区间是________.【答案】()0,∞-【解析】()2lg x x f =的单调递减区间需满足02>x 且2x y =递减.13. [2014•天津文卷]已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上, 3BC BE =,DC DF λ=.若1=⋅AF AE ,则λ的值为________.【答案】2【解析】建立如图所示坐标系,且()0,1-A 、()3,0-B 、()0,1C 、()3,0D ,设()11,y x E ,()22,y x F ,由3B C B E =得()()3,33,111+=y x ,解之得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332,31E ,由D C D Fλ=得()()3,3,122-=-y x λ,解之得⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-λλ33,1F , 又∵13231033,11332,34=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅λλλ, ∴2=λ.14. [2014•天津文卷]已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______.【答案】21<<a【解析】AB CD在同一坐标系内分别作出()x f y =与||x a y =的图象,当||x a y =与()x f y =的图象相切时⎩⎨⎧>---=-0452a x x ax ,解之得1=a ,∴||x a y =与()x f y =的图象有四个交点时,21<<a .15. [2014•天津文卷]某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选中的可能性相同).(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率.16.C7、C8[2012•天津文卷]在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 66=-,C B sin 6sin =(1)求A cos 的值;(2)求)62cos(π-A 的值.()0|45|2≤++=x x x y |2|2-=x y||x a y =PFE D CBA 17.G4、G11[2014•天津文卷]如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==,E F 分别是棱AD ,PC 的中点. (Ⅰ)证明 //EF 平面PAB ; (Ⅱ)若二面角P AD B --为60, (ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ; (ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.H5、H8[2014•天津文卷] 设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12AB F =. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M,2MF =,求椭圆的方程.19. B11、B12 [2014•天津文卷] 已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ (1) 求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围20.A1、D3、E7[2014•天津文卷]已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}12,1,0-=q M ,集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-, (1)当3,2==n q 时,用列举法表示集合A ;(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明:若,n n b a <则t s <.。

2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积,•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数734ii+=+( )(A )1i - (B )1i -+ (C )17312525i + (D )172577i -+ 解:()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-,选A .xED CBA (2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 解:作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,选B .(3)已知命题p :0x ">,总有()11x x e +>,则p Ø为( (A )00x $£,使得()0011xx e £+ (B )00x $>,使得0011xx e £+(C )0x ">,总有()11x x e +£ (D )0x "£,总有()11xx e +£解:依题意知p Ø为:00x $>,使得()0011xx e £+,选B .(4)设2log a p =,12log b p =,2c p-=,则( )(A )a b c >> (B )b a c >> (C )a c b >> (D )c b a >> 解:因为1a >,0b <,01c <<,所以a c b >>,选C .(5)设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( )(A )2 (B )-2 (C )12 (D )12- 解:依题意得2214S S S =,所以()()21112146a a a -=-,解得112a =-,选D . (6)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -= 解:依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî,所以25a =,220b =,选A . (7)如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分C B F Ð;②2FB FD FA =?;③AE CEBE DE ??;④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④解:由弦切角定理得FBD EAC BAE ???,又BFD AFB ??, 所以BFD D ∽AFB D ,所以BF BDAF AB=,即AF BD AB BF ??,排除A 、C .又FBDEAC DBC ???,排除B ,选D .(8)已知函数()cos f x x x w w =+()0w >,x R Î,在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3p,则()f x 的最小正周期为( ) (A )2p(B )23p (C )p (D )2p解:因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫,所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫, 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+,k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p,所以233p pw =,2w =,T p =,选C . 第Ⅱ卷注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014年高考文科数学天津卷及答案

2014年高考文科数学天津卷及答案

数学试卷 第1页(共18页) 数学试卷 第2页(共18页) 数学试卷 第3页(共18页)绝密★启用前2014普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟.第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至6页.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码.答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.2.本卷共8小题,每小题5分,共40分. 参考公式:●如果事件A ,B 互斥,那么●圆锥的体积公式13VSh = ()()()P A B P A P B =+.其中S 表示圆锥的底面面积,●圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高.其中S 表示圆柱的底面面积,h 表示圆柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数7i34i+=+( )A .1i -B .1i -+C .1731i 2525+ D .1725i 77-+ 2.设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧⎪⎩-⎪-⎨≥≤≥则目标函数2z x y =+的最小值为( )A .2B .3C .4D .5 3.已知命题p :0x ∀>,总有(1)e 1xx +>,则p ⌝为( )A .00x ∃≤,使得00(1)e 1x x +≤B .00x ∃>,使得00(1)e 1x x +≤C .0x ∀>,总有(1)e 1x x +≤D .0x ∀≤,总有(1)e 1x x +≤ 4.设2log πa =,12log πb =,2πc -=,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .a c b >>D .c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若1S ,2S ,4S 成等比数列,则1a =( )A .2B .2-C .12D .12-6.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .221520x y -=B .221205x y -=C .2233125100x y -= D .2233110025x y -=7.如图,ABC △是圆的内接三角形,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠; ②2FB FD FA =; ③AE CE BE DE =; ④AF BD AB BF =. 则所有正确结论的序号是( )A .①②B .③④C .①②③D .①②④8.已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>,x ∈R .在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则()f x 的最小正周期为 ( )A .π2B .2π3C .πD .2π第Ⅱ卷注意事项:1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共12小题,共110分.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 10.一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .11.阅读下边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为 .12.函数2()lg f x x =的单调递减区间是 .13.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=,点E ,F 分别在边BC ,DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1AE AF =,则λ的值为 .14.已知函数2|54|,0,()2|2|,0,x x x f x x x ⎧++=⎨-⎩≤>若函数()||y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 .三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________俯视图侧视图正视图数学试卷 第4页(共18页) 数学试卷 第5页(共18页) 数学试卷 第6页(共18页)某校夏令营有现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同). (Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.16.(本小题满分13分)在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b,c .已知a c b -=,sin B C .(Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求πcos(2)6A -的值.17.(本小题满分13分)如图,在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.(Ⅰ)证明:EF平面PAB ;(Ⅱ)若二面角P AD B --为60, (ⅰ)证明:平面PBC ⊥平面ABCD ; (ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)设椭圆22221(0)x y a b b+=>>的左、右焦点为1F ,2F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12||||AB F F =.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M ,2||MF =求椭圆的方程.19.(本小题满分14分)已知函数232()(0)3f x x ax a =->,x ∈R . (Ⅰ)求()f x 的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x =.求a 的取值范围.20.(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{0,1,2,1,}M q =-,集合{|A x x ==121,,1,2,,}n n i x x x x q M i n q -+∈=++.(Ⅰ)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ; (Ⅱ)设s ,t A ∈,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中i a ,i b M ∈,1,2,,i n =⋅⋅⋅.证明:若n n a b <,则s t <.2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)答案解析此时z的最小值为1213z=+⨯=,故选:B.14S,即(2aFD FA。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷, 解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(天津卷, 解析版)

x2014年普通高等学校招生全国统一考试(某某卷)数学(文史类)解析本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的某某、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么•圆锥的体积公式13V Sh =. ()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积,•圆柱的体积公式V Sh =.h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数734i i( )(A )1i (B )1i (C )17312525i (D )172577i 解:73472525134343425i i i i i i i i,选(2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 解:作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点1,1时,z 取得最小值3,选B. (3)已知命题p :0x,总有11xx e ,则p 为( )(A )00x ,使得011x x e (B )00x ,使得011x x e(C )0x ,总有11x x e (D )0x,总有11xx e解:依题意知p 为:00x ,使得0011x x e ,选B.(4)设2log a,12log b,2c,则( )(A )a b c (B )b a c (C )ac b (D )c b a解:因为1a,0b ,01c,所以acb ,选C.(5)设n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a ( )(A )2 (B )-2 (C )12 (D )12- 解:依题意得2214S S S ,所以21112146a a a ,解得112a ,选D. (6)已知双曲线22221x y a b 0,0a b 的一条渐近线平行于直线l :210yx,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y (B )221205x y (C )2233125100x y (D )2233110025x y解:依题意得22225ba cc a b ,所以25a,220b ,选A.(7)如图,ABC 是圆的内接三角形,BAC 的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ;②2FB FD FA ;③AE CE BE DE ;④AF BDAB BF .FED CBA 则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ 解:由弦切角定理得FBD EAC BAE ,又BFD AFB ,所以BFD ∽AFB ,所以BF BDAFAB, 即AF BD AB BF ,排除A 、C. 又FBDEACDBC ,排除B ,选D.(8)已知函数3sin cos f x x x0,x R ,在曲线y f x 与直线1y 的交点中,若相邻交点距离的最小值为3,则f x 的最小正周期为( )(A )2(B )23(C ) (D )2 解:因为2sin6f x x,所以1f x得1sin 62x, 所以266xk或5266xk ,k Z .因为相邻交点距离的最小值为3,所以233,2,T,选C.第Ⅱ卷注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

天津市2014高考数学压轴卷 文(含解析)

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天津高考压轴卷数学文word 版有解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.2.设集合{}|24xA x =≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则AB =( ).(A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2] 3. 函数y=sin (2x+φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φBC5.设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为( ).6. 设z=2x+y ,其中变量x ,y 满足条件,若z 的最小值为3,则m 的值为( ).7. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过P点(x,y)引圆C:=1的切线,则此切线长等于().C D①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.9. 已知平面向量=(2,4),=(1,﹣2),若=﹣(•),则||=_____________.10. 已知tanα=,tanβ=﹣,且0<α<,<β<π,则2α﹣β的值________________.11. 记等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=___________ .12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是___________.13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________________.14. 球面上有四个点P、A、B、C,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,则该球的表面积是_______________.15. △ABC中,AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,则AD 的长为____________.16. 在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且A+B=120°,求△ABC 的面积及AB的长.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17. 如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.(1)求证:B1B∥平面D1AC;(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.18. 数列{a n}是递增的等差数列,且a1+a6=﹣6,a3•a4=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值;(3)求数列{|a n|}的前n项和T n.19. 已知椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.20. 已知函数已知函数f(x)=e x+ln(x+1)(Ⅰ)求函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若a≤2,证明:当x≥0时,有f(x)≥ax+1.天津高考压轴卷数学文word 版参考答案 1.【答案】D.【解析】解:根据题意,若集合A={x|x >1},B={x|x <m},且A∪B=R, 必有m >1,分析选项可得,D 符合;故选D . 2. 【答案】D.【解析】解:{}|24{2}xA x x x =≤=≤,由10x ->得1x >,即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤,所以选D. 3. 【答案】B.【解析】解:令y=f (x )=sin (2x+φ), 则f (x+)=sin[2(x+)+φ]=sin (2x++φ),∵f (x+)为偶函数,∴+φ=k π+,∴φ=k π+,k ∈Z ,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B .4. 【答案】A.【解析】解:∵f(x )=log 2(1+x ),g (x )=log 2(1﹣x ), ∴f(x )﹣g (x )的定义域为(﹣1,1) 记F (x )=f (x )﹣g (x )=log 2, 则F (﹣x )=log 2=log 2()﹣1=﹣log 2=﹣F (x )故f (x )﹣g (x )是奇函数. 故选A.5. 【答案】C.【解析】解:'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos y x g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A,B.当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C.6. 【答案】A.【解析】解:作出不等式组对应的平面区域, ∵若z 的最小值为3, ∴2x+y=3, 由,解得,同时(1,1)都在直线x=m 上, ∴m=1. 故选A .7. 【答案】D.【解析】解:∵x+2y=3,2x+4y=2x+22y≥2x+2y=23=8,当且仅当 x=2y=时,等号成立,∴当2x+4y取最小值8时,P 点的坐标为(,),点P 到圆心C 的距离为CP==,大于圆的半径1,故切线长为==2,故选D .8. 【答案】C.【解析】解:求导函数可得f′(x )=3x 2﹣12x+9=3(x ﹣1)(x ﹣3) ∵a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0. ∴a <1<b <3<c设f (x )=(x ﹣a )(x ﹣b )(x ﹣c )=x 3﹣(a+b+c )x 2+(ab+ac+bc )x ﹣abc∵f (x )=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9 ∴b+c=6﹣a ∴bc=9﹣a (6﹣a )<∴a 2﹣4a <0 ∴0<a <4∴0<a <1<b <3<c∴f (0)<0,f (1)>0,f (3)<0∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0故选C.9. 【答案】.【解析】解:∵向量=(2,4),=(1,﹣2),∴=2×1+4×(﹣2)=﹣6.∴=(2,4)﹣(﹣6)(1,﹣2)=(8,﹣8),∴=.故答案为.10. 【答案】﹣.【解析】解:∵0<α<,tanα=<1=tan,y=tanx在(0,)上单调递增,∴0<α<,又<β<π,∴﹣π<2α﹣β<﹣,∵tan2α===,tanβ=﹣,∴ta n(2α﹣β)===1,∴2α﹣β=﹣.11. 【答案】10.【解析】解:等差数列{a n}的前n项和为S n,∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,∴,解得a1=1,d=1,∴a10=1+9=10.故答案为10.12. 【答案】4.【解析】解:由三视图知余下的几何体如图示:∵E、F都是侧棱的中点,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积V=×23=4.13. 【答案】.【解析】解:圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.S ABCD=故答案为.14.【答案】3π.【解析】解:∵PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,∴分别以PA、PB、PC为长、宽、高,作出正方体设所得正方体的外接球为球O,则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面就是正方体的对角线长等于球O的直径即2R==,得R=∴球O的表面积为S=4πR2=4π()2=3π故答案为3π.15. 【答案】2.【解析】解:△ABC中,∵AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,取AC的一个三等分点E,满足AE=AC,作DF平行于AE,则由条件可得四边形AEDF为平行四边形,∴∠AFD=120°,∠FAD=30°,∠FDA=30°,故△AFD为等腰三角形,∴AF=DF=AC,故四边形AEDF为菱形.再由AF=λAB=3λ=DF=AC,可得 AC=9λ,菱形AEDF的边长为3λ.△AFD中,由余弦定理可得AD2=(3λ)2+(3λ)2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2,∴AD=3λ.△ABD中,由余弦定理可得BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9,∴BD=3.△ACD中,由余弦定理可得 CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ.再由三角形的内角平分线性质可得,即=,解得λ=,或λ=(舍去).故AD=3λ=3×=2,故答案为 2.16. 【解析】∵A+B=120°,∴C=60°.∵a、b是方程的两个根,∴a+b=,ab=2,∴S△ABC==,AB=c====.17. 【解析】证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=,∴四边形B1D1EB是平行四边形,所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC,D1E⊂平面D1AC,所以B1B∥平面D1AC(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,∴AC⊥平面B1BDD1∵AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.18. 【解析】(1)由得:,∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根,∴x1=﹣2,x2=﹣4;∵等差数列{a n}是递增数列,∴a3=﹣4,a4=﹣2,∴公差d=2,a1=﹣8.∴a n=2n﹣10;(2)∵S n==n2﹣9n=﹣,∴(S n)min=S4=S5=﹣20;(3)由a n≥0得2n﹣10≥0,解得n≥5,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的.当1≤n≤5且n∈N*时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣(a1+a2+…+a n)=﹣S n=﹣n2+9n;当n≥6且n∈N*时,T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+a n)=S n﹣2S5=n2﹣9n﹣2(25﹣45)=n2﹣9n+40.∴T n=.19. 【解析】(1)由题意,c=1∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:2a=,∴a=∴b2=a2﹣c2=1,∴椭圆C的标准方程为;(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=①当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴∴m=或m=②由①②可得m=.下面证明m=时,恒成立当直线l的斜率为0时,结论成立;当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t(y1+y2)+=+=﹣综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.20. 【解析】(Ⅰ)解:∵f(x)=e x+ln(x+1),∴,则f'(0)=2又f(0)=e0+ln1=1∴函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为:y﹣f(0)=f'(0)x,即函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1;(Ⅱ)证明:当a≤2时,则2﹣a≥0…①令g(x)=f(x)﹣ax﹣1,则令φ(x)=e x﹣x﹣1(x∈R),则φ'(x)=e x﹣1(x∈R),由φ'(x)=0,得x=0当x≤0时,e x≤1,即e x﹣1≤0;当x>0时,e x>1,即e x﹣1>0∴函数φ(x)=e x﹣x﹣1在(﹣∞,0]为减函数,在(0,+∞)为增函数∴φ(x)min=φ(0)=0,即φ(x)≥0∴对∀x∈R,都有e x≥x+1故当x≥0时,x+1>0,∴,∴g'(x)≥0,∴若a≤2,函数y=g(x),在[0,+∞)为增函数,∴当x≥0时,g(x)≥g(0)=0∴当a≤2时,x≥0,有f(x)≥ax+1成立.。

2014年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

2014年高考天津文科数学试题及答案(word解析版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)第Ⅰ卷(共40分)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)【2014年天津,文1,5分】i 是虚数单位,复数7i34i+=+( )(A )1i - (B )1i -+ (C )1731i 2525+ (D )1725i 77-+ 【答案】A【解析】()()()()7i 34i 7i 2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-,故选A . (2)【2014年天津,文2,5分】设变量x ,y 满足约束条件02012x y x y y ≥--≤+≥-⎧⎪⎨⎪⎩,则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 【答案】B【解析】作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,故选B . (3)【2014年天津,文3,5分】已知命题p :0x ∀>,总有()11x x e +>,则p ⌝为( )(A )00x ∃≤,使得()0011x x e +≤ (B )00x ∃>,使得()0011x x e +≤ (C )0x ∀>,总有()11x x e +≤ (D )0x ∀≤,总有()11x x e +≤【答案】B【解析】根据全称命题的否定为特称命题可知,p ⌝为00x ∃>,使得()0011x x e +≤,故选B . (4)【2014年天津,文4,5分】设2log a π=,12log b π=,2c π-=,则( )(A )a b c >> (B )b a c >> (C )a c b >> (D )c a b >> 【答案】C【解析】∵2log 1a π=>,12log 0b π=<,211c π=<,∴b c a <<,故选C .(5)【2014年天津,文5,5分】设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前项和,若124S S S ,,,成等比数列,则1a =( )(A )2 (B )2- (C )12 (D )12- 【答案】D 【解析】∵()4114341462S a a ⨯=+⨯-=-,又∵124S S S ,,,成等比数列,∴()()21112146a a a -=-,解之得112a =-,故选D .(6)【2014年天津,文6,5分】已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -=【答案】A【解析】依题意得22225b a c c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî,所以25a =,220b =,双曲线的方程为221520x y -=,故选A . (7)【2014年天津,文7,5分】如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF Ð;②2FB FD FA =?;③AE CE BE DE ??;④AF BD AB BF ??.则所有正确 结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④ 【答案】D【解析】∵圆周角DBC ∠对应劣弧CD ,圆周角DAC ∠对应劣弧CD ,∴DBC DAC ∠=∠.∵弦切角FBD ∠对应劣弧BD ,圆周角BAD ∠对应劣弧BD ,∴FBD BAF ∠=∠.∵BD 是BAC ∠的平分线,∴BAF DAC ∠=∠. ∴DBC FBD ∠=∠.即BD 平分CBF ∠.即结论①正确.又由FBD FAB ∠=∠,BFD AFB ∠=∠,得FBD FAB ∆∆:.由FB FD FA FB =,2FB FD FA =⋅.即结论②成立.由BF BDAF AB=,得AF BD AB BF ⋅=⋅. 即结论④成立.正确结论有①②④,故选D . (8)【2014年天津,文8,5分】已知函数()3sin cos (0),f x x x x R ωωω=+>∈,在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( ) (A )2π (B )23π (C )π (D )2π【答案】C【解析】∵()2sin 16f x x πω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,∴1sin 62x πω⎛⎫+= ⎪⎝⎭,∴1112,66x k k Z ππωπ+=+∈或2252,66x k ππωπ+=+,2k Z ∈,则()()2121223x x k k πωπ-=+-,又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2ω=,T π=,故选C .第II 卷(共110分)二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.(9)【2014年天津,文9,5分】某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】应从一年级抽取4604556300?+++名.(10)【2014年天津,文10,5分】已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m . 【答案】203p【解析】由三视图知:几何体是圆锥与圆柱的组合体,其中圆柱的高为4,底面直径为2,圆锥的高为2,底面直径为4,∴几何体的体积22182014224333V πππππ=⨯⨯+⨯⨯⨯=+=. (11)【2014年天津,文11,5分】阅读右边的框图,运行相应的程序,输出q 的值为 .【答案】4-【解析】依题由框图知,第一次循环得到:8S =-,2n =;第二次循环得到:4S =-,1n =;退出循环,输出4-.(12)【2014年天津,文12,5分】函数()2lg f x x =的单调递减区间是 . 【答案】(),0-∞【解析】解法一:2lg 2lg y x x ==,∴当0x >时,()2lg f x x =在()0,+∞上是增函数;当0x <时,()()2lg f x x =-在(),0-∞上是减函数.∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞.244242俯视图侧视图正视图否是输出 S n ≤ 1?n = n 1S = S +(2)n结束开始S = 0, n = 3解法二:原函数是由2lg t x y t⎧=⎨=⎩复合而成,∵2t x =在(),0-∞上是减函数,在()0,+∞为增函数;又lg y t =在其定义域上为增函数,∴()2lg f x x =在(),0-∞上是减函数,在()0,+∞为增函数∴函数()2lg f x x =的单调递减区间是(),0-∞.(13)【2014年天津,文13,5分】已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1AE AF ⋅=u u u r u u u r,则λ的值为 .【答案】2【解析】建立如图所示坐标系,且()1,0A -、()0,3B -、()1,0C 、()0,3D ,设()11,E x y ,()22,F x y ,由3BC BE =得()()111,33,3x y =+,解之得123,3E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,由DC DF λ=得()()221,3,3x y λ-=-,解之得13,3F λ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭, 又∵42313102,1,31333AE AF λλ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r ,∴2λ=. (14)【2014年天津,文14,5分】已知函数()2540220x x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨->⎪⎩,若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为 . 【答案】12a <<【解析】由()0y f x a x =-=得()f x a x =,作出函数()y f x =,y a x =的图象,当0a ≤,不满足条件,∴0a >,当2a =时,此时y a x =与()f x 有三个交点, 当1a =时,此时y a x =与()f x 有五个交点,∴要使函数()y f x a x =-恰有4个零点,则12a <<.三、解答题:本大题共6题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (15)【2014年天津,文15,13分】某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其年级情况如下表:一年级 二年级 三年级 男同学 A B C 女同学 X YZ 现从这6(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率. 解:(1)从6名同学中随机选出2人参加竞赛的所有可能结果为{}{}{},,,,,,A B A C A X {}{}{},,,,,,A Y A Z B C{},,B X {}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,B Y B Z C X C Y C Z X Y X Z Y Z 共15种;(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,A Y A Z B X B Z C X C Y 共6种,故所求概率为()62155P M ==.(16)【2014年天津,文16,13分】在ABC ∆中,内角ABC 所对的边分别为,,a b c ,已知6a cb -=,sin 6sin B C =. (1)求cos A 的值;(2)求cos(2)6A π-的值.解:(1)在ABC ∆中,由sin sin b cB C=,及sin 6sin B C =可得6b c =,故2a c =, 从而22222226cos 226b c a A bc c +-===.PFEDCBA(2)由(1)得6cos A =,故10sin A =,因此15sin 22sin cos A A A ==,21cos22cos 14A A =-=-,从 而13151153cos 2642A π-⎛⎫-=-⋅+⋅= ⎪⎝⎭.(17)【2014年天津,文17,13分】如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,2BA BD ==,2AD =,5PA PD ==,,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.(1)证明 //EF 平面PAB ;(2)若二面角P AD B --为60o ,(ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ;(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.解:(1)如图,取PB 的中点M ,连接,MF AM .因F 为PC 中点,故//MF BC 且2BCMF =. 由题//BC AD ,BC AD =,且E 为AD 的中点,故//MF AE ,且MF AE =. 因此四边形AMEF 为平行四边形,有//EF AM .又AM Ì平面PAB ,EF ⊄平面 PAB ,所以//EF 平面PAB . (2)(ⅰ)连接,PE BE ,因PA PD =,BA BD =,而E 为AD 的中点,故PE AD ^,BE AD ^,所以PBE Ð为二面角P AD B --的平面角.在PAD ∆中,由5PA PD ==,2AD =,可解得2PE =.在ABD ∆中,由2BA BD ==,2AD =,可解得1BE =.在PEB ∆中,2PE =,1BE =,060PEB ?,由余弦定理可解得3PB =.从而090PBE ?,即BE PB ^.又//BC AD ,BE AD ^,故BE BC ^. 因此BE ^平面PBC .又BE Ì平面ABCD ,所以平面PBC ⊥平面ABCD . (ⅱ)解法一:连接BF ,由(ⅰ)知BE ^平面PBC ,故EFB Ð为直线EF 与平面PBC 所成的角.由3PB =及已知,可得090ABP ?.而32PB MB ==,可得11AM =.故11EF =.又1BE =,故在Rt EBF D 中,211sin BE EBF EF ?=.所以直线EF 与平面PBC 所成的角的正弦值为211. 解法二:由(ⅰ)知,PB BD ⊥,PB BA ⊥,2BA BD ==Q ,2AD =,BD BA ∴⊥, ∴BD ,BA ,BP 两两垂直,以B 为坐标原点,分别以BD ,BA ,BP 为X ,Y ,Z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系B DAP -,则有()0,2,0A ,()0,0,0B ,()2,2,0C-,()2,0,0D,()0,0,3P ,∴()2,2,0BC =-u u u r ,()0,0,3BP =u u u r,设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r ,∵00n BC n BP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u rr u u u r,∴22030x y z ⎧-=⎪⎨=⎪⎩,令1x =, 则1y =,0z =,故()1,1,0n =r ∵E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点∴22,,0E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,223,,F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,∴30,2,EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,∴2211cos ,1122n EF n EF n EF ⋅-===⋅⨯r u u u rr u u u r r u u u r , 即直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为211.(18)【2014年天津,文18,13分】设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知1232AB F F =.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切FED CBAPM于点M,2MF =,求椭圆的方程.解:(1)设椭圆的右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =,可得2223a b c +=,又222b ac =-,则2212c a =.所以,椭圆的离心率2e =,所以22223a c c -=,解得a =,2e =. (2)由(1)知222a c =,22b c =,故椭圆方程为222212x y c c +=.设()00,P x y ,由()1,0F c -,()0,B c ,有()100,F P x c y u u u r =+,()1,F B c c u u u r=.由已知,有110F P F B u u u r u u u r ?,即()000x c c y c ++=.又0c ¹,故有000x y c ++=.又因为点P 在椭圆上,故22002212x y c c +=.因此可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点,故043c x =-,从而得03c y =,即4,33c c P 骣÷ç-÷ç÷ç桫.设圆的圆心为()11,T x y ,则123x c =-,123y c =, 进而圆的半径r =.由已知有222222||||8TF MF r r =+=+,故可得 22222508339c c c c 骣骣鼢珑++-=+鼢珑鼢珑桫桫,解得23c =.所以所求椭圆方程为22163x y +=. (19)【2014年天津,文19,14分】已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈.(1)求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围.解:(1)由题()()2220f x ax a ¢=->,令()0f x ¢=可得0x =或1x a=.当x 变化时,()f x ¢,()f x 的变化情况如右表.故()f x 的单增区间是10,a 骣÷ç÷ç÷ç桫,单减区间是(),0-∞和 1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.当0x =时()f x 有极小值()00f =,当1x a =时()f x 有极大值2113f a a 骣÷ç=÷ç÷ç桫. (2)由()3002f f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭及(1)知,当302x a <<时()0f x >,当32x a>时()0f x <.设集合(){}|2A f x x =>,集合()()1|1,0B x f x f x ⎧⎫⎪⎪=>≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭.则“任意的()12,x ∈+∞,都存在()21,x ∈+∞,使得()()121f x f x ⋅=”等价于A B Í.显然0B Ï.①当322a >即304a <<时,由302f a 骣÷ç=÷ç÷ç桫知0A Î, 而0B Ï,故A B Í;②当3122a #即3342a ≤≤时,有()20f £.此时()f x 在()2,+?单调递减,故()(),2A f =-∞,因此(),0A ⊆-∞.由()10f ³,有()f x 在()1,+?上的取值范围包含(),0-∞, 即(),0B -∞⊆,故A B Í;③当312a <即32a >时,有()10f <.此时()f x 在()1,+?单调递减, 故()1,01B f ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭,()(),2A f =-∞,因此A B Í.综上,33,42a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. (20)【2014年天津,文20,14分】已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}0,1,21M q =-L ,集合{}112,,1,2,n n i A x x x x q x q x M i n -==++∈=L L . (1)当2,3q n ==时,用列举法表示集合A ;(2)设111212,,,n n n n s t A s a a q a q t b b q b q --∈=+++=++L L ,其中,,1,2,i i a b M i n ∈=L 证明:若n n a b <,则s t <.解:(1)2q =,3n =时,{}0,1M =,{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i ==+?+.故可得{}0,1,2,3,4,5,6,7A =. (2)由,s t A Î,112n n s a a q a q L -=+++,112n n t b b q b q L -=+++,,i i a b M Î,1,2,,n i L =及n n a b <,可得()()()()()2111111111101n n n n n n n n q s t a b a b q a b q a b qq qq L L-------=-+-++-+-?+++=-<-,所以s t <.。

2014年天津高考数学(文科)答案word版

2014年天津高考数学(文科)答案word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)文科数学试题答案与解析1. 解析 ()()()()7i 34i 7i2525i 1i 34i 34i 34i 25+-+-===-++-,故选A.2. 解析 由线性约束条件画出可行域(如图所示).由2z x y =+,得1122y x z =-+,12z 的几何意义是直线1122y x z =-+在y 轴上的截距,要使z 最小,需使12z 最小,易知当直线1122y x z =-+过点()1,1A 时,z 最小,最小值为3,故选B.3. 解析 命题p 为全称命题,所以p ⌝为00x ∃>,使得()001e 1x x +….故选B.4. 解析 因为π3>,所以2log π1a =>,12log π0b =<,2210π1πc -<==<,故a c b >>,选C.5. 解析 由题意知11S a =,2121S a =-,4146S a =-,因为1S ,2S ,4S ,成等比数列,所以2214S S S =⋅,即()()21112146a a a -=-,解得112a =-,故选D. 6. 解析 由题意知,双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐进线为2y x =,所以2ba =,即224b a =,又双曲线的一个焦点是直线l 与x 轴的交点,所以该焦点的坐标为()5,0-,所以5c =,即2225a b +=,联立得2222425b a a b ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,解得25a =,220b =,故双曲线的方程为221520x y -=,故选A. 7. 解析 由题意知F B D B A D ∠=∠,DBC DAC ∠=∠,BAD DAC ∠=∠,所以F B D D B C ∠=∠,故①正确;由切割线定理知②正确;易证ACE BDE △∽△,所以AE BECE DE=,所以③不正确;因为在ABF △和BDF △中,F B D B F A ∠=∠,BFD BFA ∠=∠,所以ABF BDF △∽△,所以AF ABBF BD=,所以AF BD AB BF ⋅=⋅,所以④正确.故选D.8.分析 本题考查三角函数值及图像变换,可利用三角函数图像的变换原理求解.解析 因为()cos f x x x ωω=+π=2sin 6x ω⎛⎫+ ⎪⎝⎭, 所以可以将曲线2sin y x =向左平移π6个单位,再将所有点横坐标变为原来的1ω倍得到. 曲线()y f x =与直线1y =的交点横坐标即为方程π2sin 16x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭的解. 由图像变换原理知,又1sin 2x =相邻实数距离的最小值为5ππ2π663-=,5πππ663ωω-=,即2ω=,所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 评注 本题也可用推理法处理,令1ππ2π66x k ω+=+,k ∈Z ,得12πx k ω=⋅,k ∈Z ,再令2π5π2π66x k ω+=+,k ∈Z ,得22π2π3x k ωω=+⋅,k ∈Z .则12min 2ππ33x x ω-==,解得2ω=,所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.故选C. 9. 解析 413003006045565⨯=⨯=+++(名). 10. 解析 由三视图知该几何体是由一个圆锥与一个圆柱构成的组合体,其体积为22120ππ22π1433⨯⨯+⨯⨯=3m . 11. 解析 3n =,()3028S =+-=-,121n -=>;()2824S =-+-=-,111n -=…,终止循环,故输出4S =-.12. 解析 ()f x 的定义域为()(),00,-∞+∞,lg y u =在()0,+∞上为增函数,2u x =在(),0-∞上递减,在()0,+∞上递增,故()f x 在(),0-∞上单调递减.13. 解析 如图,13AE AB BE AB BC =+=+uu u r uu u r uur uu u r uu u r ,11AF AD DF AD DC BC AB λλ=+=+=+uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uu u r ,所以22111111333AE AF AB BC BC AB AB BC AB BC λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+⋅++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uu u r uuu r uu u r uu u r uu u r144122cos120133λλ⎛⎫+⨯⨯⨯++= ⎪⎝⎭.解得2λ=.14.分析 本题考查函数的图像变换,零点问题,利用导函数秒杀.分段函数的零点问题,通常借助函数图象处理更快捷.解析 首先作函数()y f x =的图像,如图所示.当0x ≤时,函数()y f x =的图像是将抛物线254y x x =++在x 轴下方的部分沿x 轴对称到x 轴的上方,原x 轴上方,以及y 轴左侧的部分不变;当0x >时,只需将直线24y x =-在x 轴下方且y 轴右侧的部分沿着x 轴对称到x 轴的上方,原来x 轴上方的保持不变.其次要将()y f x a x =-恰有4个零点进行转化处理. 等价于方程()f x a x =恰有4个不等实根,又等价于曲线()y f x =与折线y a x =恰有4个公共点.又函数y a x =为偶函数,故需考虑折线y a x =与曲线()y f x =在y 轴两侧的交点个数.最后根据a 的取值,大致可以分成3类.① 当0a =时,0y =与曲线()y f x =有三个公共点,故不符合题意; ② 当0a <时,y a x =与曲线()y f x =无公共点,故不符合题意; ③ 当0a >时,设y a x =与曲线()y f x =相切于点P ,如图所示,易知方程254x x ax ---=-的()25160a ∆=--=,解得1a =或9a =(舍).D当1a =时,1y x =与()y f x =在y 轴左侧有3个公共点,在y 轴右侧有2个公共点;当2a =时,22y x =与()y f x =在y 轴左侧有2在y 轴右侧有1个公共点.结合图像知,实数a 的取值范围为()1,2.15. 解析 (I )从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{},A B ,{},A C ,{},A X ,{},A Y ,{},A Z ,{},B C ,{},B X ,{},B Y ,{},B Z ,{},C X ,{},C Y ,{},C Z ,{},X Y ,{},X Z ,{},Y Z ,共15种.(II )选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{},A Y ,{},A Z ,{},B X ,{},B Y ,{},B Z ,{},C X ,{},C Y ,共6种.因此,事件M 发生的概率()62155P M ==. 评注 本题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 16. 解析 (I )在ABC △中,由sin sin b cB C=,及sin B C =,可得b =.又由a c -=,有2a c =.所以,222222cos 2b c a A ab +-===(II )在ABC △中,由cos 4A =,可得sin 4A =.于是,21cos 22cos 14A A =-=-,sin 22sin cos 4A A A =⋅=. 所以,πππcos 2cos 2cos sin 2sin 6668A A A ⎛⎫-=⋅+= ⎪⎝⎭. 评注 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦公式、两角差的余弦公x式以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力.17. 解析 (I )证明:如图,取PB 中点M ,连接MF ,AM .因为F 为PC 中点,故//MF BC且12MF BC =.由已知有//BC AD ,BC AD =.又由于E 为AD 中点,因而//MF AE 且MF AE =,故四边形AMFE 为平行四边形,所以//EF AM .又AM ⊂平面PAB ,而EF ⊄平面PAB ,所以//EF 平面PAB .(II )(i )证明:连接PE ,BE .因为PA PD =,BA BD =,而E 为AD 中点,故PE AD ⊥,BE AD ⊥,所以PEB ∠为二面角P AD B --的平面角.在PAD △中,由PA=2AD =,可解得2PE =.在ABD △中,由BA=BD ,2AD =,可解得1BE =.在PEB △中,2PE =,1BE =,60PEB =∠,由余弦定理,可解得PB =,从而90PBE =∠,即BE PB ⊥.又//BC AD ,BE AD ⊥,从而BE BC ⊥,因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ,所以,平面PBC ⊥平面ABCD .(ii )连接BF .由(i )知,BE ⊥平面PBC ,所以EFB ∠为直线EF 与平面PBC 所成的角.由PB =及已知,得ABP ∠为直角.而12MB PB ==,可得AM =,故EF =,又1BE =,故在直角三角形EBF中,sin BE EFB EF ∠==.所以,直线EF 与平面PBC所成角的正弦值为11. 评注 本题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.MFECBAP18. 解析 (I )设椭圆右焦点2F 的坐标为(),0c .由12AB F =,可得2223a b c +=,又222b ac =-,则2212c a =.所以,椭圆的离心率2e =.(II )由(I )知222a c =,22b c =.故椭圆方程为222212x y c c+=.设()00,P x y .由()1,0F c -,()0,B c ,有()100,F P x c y =+uuu r ,()1,F B c c =uuu r.由已知,有110F P F B ⋅=uuu r uuu r,即()000x c c y c ++=.又0c ≠,故有000x y c ++=.①因为点P 在椭圆上,故22002212x y c c+=②由①和②可得200340x cx +=.而点P 不是椭圆的顶点,故043x c =-,代入①得03cy =,即点P 的坐标为4,33c c ⎛⎫-⎪⎝⎭. 该圆的圆心为()11,T x y ,则1402323c x c -+==-,12323ccy c +==,进而圆的半径r ==.由已知,有22222TF MF r =+,又2MF =22222508339c c c c ⎛⎫⎛⎫++-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得23c =.所以,所求椭圆的方程为22163x y +=.评注 本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.19.分析 本题考查导数、不等式恒成立与存在性问题.(1)利用导数求解函数的单调性,极值(最值)问题;(2)存在、任意问题与函数零点、单调性,值域之间的关系. 解析 (1)求导()()2'2221f x x ax x ax =-=-,x ∈R . 因为0a >,令()'0f x =,即()210x ax -=,解得10x =,21x a=. x 、()'f x 、()f x 的变化如下表:所以()f x 的单调递减区间为(),0-∞,1,a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭,单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 当0x =时,()f x 取得极小值为()00f =, 当1x a=时,()f x 取得极大值为222112133f a aa a ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭.(2)因为对于任意的()12,x ∈+∞,都存在()21,x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=, 所以任意的()12,x ∈+∞,()1f x 都不能为0, 结合(1)可知,()f x 在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,且()12103f x a =>,故12a ≥且()20f ≤,即16403a -≤,解得34a ≥. 此时()()()211,0f x f x =∈-∞. 对任意的()12,x ∈+∞,都存在()21,x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=, 需使得()(){},0,1y y f x x -∞⊆=>,即()231134f a =-≥,解得32a ≤. 综上,实数a 的取值范围是33,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 评注 对含量词“任意∀”,“存在∃”的问题,关键在于将其等价转化为相关的单调性或极值(最值)问题.20 分析 本题考查数列与不等式.新定义与数列相关的集合问题,要理解集合中元素的性质特征.解析 (1)当2q =,3n =时,由题意{}0,1M =,12324x x x x =++,(),1,2,3i x M i ∈=. 则{}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(2)因为,s t A ∈,所以112+++n n a s a a q q -=()()11+1++n n q q q a q ---≤…()()1111+n n n q q qa q --=-+++… ()111=1+1n n n q q a q q-----11=1n n n q a q ---+()1=11n n a q -+-.1112+++n n n n t b b b q b q q --=≥,又,n n a b M ∈,且n n a b <,所以1n n b a +≥. 所以()()111111n n n n n n q q b a a q ---+>+-≥.即()1111n n n n q q t s b a -->-+≥≥,所以n n a b <,则s t <.。

高考真题——文科数学(天津卷)解析版 Word版含解析[ 高考]

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课标【2014·天津文卷】一、选择题1. [2014•天津文卷]i 是虚数单位,复数=++ii437( ) A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- 【答案】A 【解析】()()()()()()i i i i i i i i-=+⨯+⨯-+⨯+⨯=-+-+=++14313474137434343743722. 2. [2014•天津文卷]设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( )A.2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】可行域如图当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值31211=⨯+⨯=z . 3. [2014•天津文卷]已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:( ) A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有【答案】B【解析】含量词的命题的否定先改变量词的形式再对命题的结论进行否定. 4. [2014•天津文卷] 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A .c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >> 【答案】C【解析】∵1log 2>=πa ,0log 21<=πb ,112<=πc ,∴a c b <<.5. [2014•天津文卷]设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比数列,则1a =( )A.2B.-2C.21 D .-21【答案】D【解析】∵()6412344114-=-⨯⨯+=a a S ,又∵,,,421S S S 成等比数列, ∴()()64121121-=-a a a ,解之得211-=a .6. [2014•天津文卷]已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.120522=-y x B.152022=-y x C.1100325322=-y x D.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】∵1020,2+-==c ab,∴5=c ,52=a ,202=b , ∴120522=-y x . 7. [2014•天津文卷]如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( )A.①②B.③④C.①②③D. ①②④ 【答案】D【解析】∵31∠=∠,42∠=∠,∴21∠=∠,34∠=∠,∴BD 平分CBF ∠,∴ABF ∆∽BDF ∆, ∴BF BD AF AB =,∴BD AF BF AB ⋅=⋅,∴DFBF BF AF =, DF AF BF ⋅=2. 8. [2014•天津文卷]已知函数()sin cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( ) A.2πB.23πC.πD.2π【答案】C【解析】∵()16sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+=πωx x f ,∴216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ,∴Z k k x ∈+=+111,266πππω或Z k k x ∈+=+222,2656πππω,则()()ππω1212232k k x x -+=-,又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2=ω,π=T .二、填空题9. [2014•天津文卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】由分层抽样方法可得一年级抽取人数为6065544300=+++⨯.10. [2014•天津文卷]1 234一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m.俯视图侧视图正视图【答案】320π【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积32022314122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V . 11.[2014•天津文卷]阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________.【答案】-4【解析】()()42223-=-+-=S . 12. [2014•天津文卷]函数()2lg x x f =的单调递减区间是________.【答案】()0,∞-【解析】()2lg x x f =的单调递减区间需满足02>x 且2x y =递减.13. [2014•天津文卷]已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1=⋅,则λ的值为________.【答案】2【解析】建立如图所示坐标系,且()0,1-A 、()3,0-B 、()0,1C 、()3,0D ,设()11,y x E ,()22,y x F ,由3B C B E =得()()3,33,111+=y x ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,31E ,由D C D F λ=得()()3,3,122-=-y x λ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλ33,1F , 又∵13231033,11332,34=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅λλλ, ∴2=λ.14. [2014•天津文卷]已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______.【答案】21<<a 【解析】ABCD在同一坐标系内分别作出()x f y =与||x a y =的图象,当||x a y =与()x f y =的图象相切时⎩⎨⎧>---=-0452a x x ax ,解之得1=a ,∴||x a y =与()x f y =的图象有四个交点时,21<<a .15. [2014•天津文卷]某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其年级情况如下表:现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选中的可能性相同).(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率.16.C7、C8[2012•天津文卷]在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 66=-,C B sin 6sin =(1)求A cos 的值; (2)求)62cos(π-A 的值.()0|45|2≤++=x x x y |2|2-=x y||x a y =PFEDCBA17.G4、G11[2014•天津文卷]如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,BA BD ==,2AD =,PA PD ==,,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.(Ⅰ)证明 //EF 平面PAB ; (Ⅱ)若二面角P AD B --为60,(ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ;(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.H5、H8[2014•天津文卷]设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12AB F =. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M,2MF =,求椭圆的方程.19. B11、B12 [2014•天津文卷]已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈(1) 求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围20.A1、D3、E7[2014•天津文卷]已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}12,1,0-=q M ,集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-,(1)当3,2==n q 时,用列举法表示集合A ;(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明:若,n n b a <则t s <.。

天津市高考数学文科试卷(详解)

天津市高考数学文科试卷(详解)

2014年天津市高考数学试卷(文科)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=()+i +i2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的xe≤e≤4.(5分)(2014•天津)设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则()5.(5分)(2014•天津)设{a n}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若6.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:.﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=17.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()8.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()B二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_________名学生.10.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为_________m3.11.(5分)(2014•天津)阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为_________.12.(5分)(2014•天津)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是_________.13.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF,若•=1,则λ的值为_________.14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为_________.三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2014•天津)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,现从这6名同学中随机选出2人参加知识竞赛(每人被选到的可能性相同)(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.16.(13分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a ﹣c=b,sinB=sinC,(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.17.(13分)(2014•天津)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.19.(14分)(2014•天津)已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a 的取值范围.20.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.2014年天津市高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(5分)(2014•天津)i是虚数单位,复数=()+i +i 解:复数=,2.(5分)(2014•天津)设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+2y的﹣xe≤e≤e4.(5分)(2014•天津)设a=log2π,b=logπ,c=π﹣2,则()log5.(5分)(2014•天津)设{a n}的首项为a1,公差为﹣1的等差数列,S n为其前n项和,若成等比数列,得:,,解得:6.(5分)(2014•天津)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l:.﹣=1 ﹣=1﹣=1 ﹣=1先求出焦点坐标,利用双曲线﹣,可得=2∵双曲线﹣=2∴双曲线的方程为﹣7.(5分)(2014•天津)如图,△ABC是圆的内接三角形,∠BAC的平分线交圆于点D,交BC于E,过点B的圆的切线与AD的延长线交于点F,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD平分∠CBF;②FB2=FD•FA;③AE•CE=BE•DE;④AF•BD=AB•BF.所有正确结论的序号是()8.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()B),正好等于倍,求得函数x+)的交点中,若相邻交点距离的最小值为倍,,则,∴正好等于的周期的倍,二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9.(5分)(2014•天津)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方向,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查,已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取60名学生.解:根据分层抽样的定义和方法,一年级本科生人数所占的比例为=×=6010.(5分)(2014•天津)一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.×π×+=故答案为:11.(5分)(2014•天津)阅读如图的框图,运行相应的程序,输出S的值为﹣4.12.(5分)(2014•天津)函数f(x)=lgx2的单调递减区间是(﹣∞,0).也可以函数看成由方法二:原函数是由13.(5分)(2014•天津)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF,若•=1,则λ的值为2.=,===++,+=+=+||=||=2•=2•++=++1+)=1××1+),14.(5分)(2014•天津)已知函数f(x)=,若函数y=f(x)﹣a|x|恰有4个零点,则实数a的取值范围为(1,2).三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(13分)(2014•天津)某校夏令营有3名男同学,A、B、C和3名女同学X,Y,Z,(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.=.16.(13分)(2014•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a ﹣c=b,sinB=sinC,(Ⅰ)求cosA的值;(Ⅱ)求cos(2A﹣)的值.sinC b=c=cosA==cosA==,,sin2A=2sinAcosA=)=cos2Acos+sin2Asin××=17.(13分)(2014•天津)如图,四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形,BA=BD=,AD=2,PA=PD=,E,F分别是棱AD,PC的中点.(Ⅰ)证明EF∥平面PAB;(Ⅱ)若二面角P﹣AD﹣B为60°,(i)证明平面PBC⊥平面ABCD;(ii)求直线EF与平面PBC所成角的正弦值.BA=BD=,∴PB= BA=BD=,,﹣,,)=,﹣,=,,∴=(,,﹣,=,==﹣所成角的正弦值为18.(13分)(2014•天津)设椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,右顶点为A,上顶点为B,已知|AB|=|F1F2|.(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过点F2的直线l与该圆相切于点M,|MF2|=2,求椭圆的方程.(Ⅰ)依题意可知=•=+点坐标(csin==c c∴圆心坐标为(﹣,r=|OB|==c+8=+=119.(14分)(2014•天津)已知函数f(x)=x2﹣ax3(a>0),x∈R.(Ⅰ)求f(x)的单调区间和极值;(Ⅱ)若对于任意的x1∈(2,+∞),都存在x2∈(1,+∞),使得f(x1)•f(x2)=1,求a 的取值范围.),)时,(B={|x时,,当)和,单调递增区间为时,有极大值(=),)时,(B={|x)当<)≤)当时,有([20.(14分)(2014•天津)已知q和n均为给定的大于1的自然数,设集合M={0,1,2,…,q﹣1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n﹣1,x i∈M,i=1,2,…n}.(Ⅰ)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A;(Ⅱ)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n﹣1,t=b1+b2q+…+b n q n﹣1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.A={x|,≤A={x|+。

2014年高考天津卷数学文试题及答案解析

2014年高考天津卷数学文试题及答案解析

2014年高考天津卷数学文试题及答案解析一、选择题1. [2014•天津文卷] 是虚数单位,复数=++ii437( ) A. i -1 B. i +-1 C. i 25312517+ D. i 725717+- 【答案】A 【解析】()()()()()()i i i i i i i i-=+⨯+⨯-+⨯+⨯=-+-+=++14313474137434343743722. 2. [2014•天津文卷]设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( )A.2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】可行域如图x当目标函数线过可行域内A 点时,目标函数有最小值31211=⨯+⨯=z . 3. [2014•天津文卷]已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:( ) A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有【答案】B【解析】含量词的命题的否定先改变量词的形式再对命题的结论进行否定. 4. [2014•天津文卷] 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A .c b a >> B.c a b >> C.b c a >> D.a b c >>【答案】C【解析】∵1log 2>=πa ,0log 21<=πb ,112<=πc ,∴a c b <<.5. [2014•天津文卷]设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比数列,则1a =( ) A.2 B.-2 C.21 D .-21【答案】D【解析】∵()6412344114-=-⨯⨯+=a a S ,又∵,,,421S S S 成等比数列, ∴()()64121121-=-a a a ,解之得211-=a .6. [2014•天津文卷]已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线上,则双曲线的方程为( )A.120522=-y xB.152022=-y xC.1100325322=-y xD.1253100322=-y x 【答案】A 【解析】∵1020,2+-==c ab,∴5=c ,52=a ,202=b , ∴120522=-y x . 7. [2014•天津文卷]如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( ) A.①② B.③④ C.①②③ D. ①②④ 【答案】D【解析】∵31∠=∠,42∠=∠,∴21∠=∠,34∠=∠,∴BD 平分CBF ∠,∴ABF ∆∽BDF ∆, ∴BF BD AF AB =,∴BD AF BF AB ⋅=⋅,∴DFBF BF AF =, DF AF BF ⋅=2. 8. [2014•天津文卷]已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( ) A.2π B.23π C.π D.2π 【答案】C【解析】∵()16sin 2=⎪⎭⎫⎝⎛+=πωx x f ,∴216sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πωx ,∴Z k k x ∈+=+111,266πππω或Z k k x ∈+=+222,2656πππω,则()()ππω1212232k k x x -+=-,又∵相邻交点距离的最小值为3π,∴2=ω,π=T .二、填空题9. [2014•天津文卷]某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 名学生. 【答案】60【解析】由分层抽样方法可得一年级抽取人数为6065544300=+++⨯.10. [2014•天津文卷]1 23 4一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为3m.俯视图侧视图正视图【答案】320π【解析】由三视图可得该几何体为圆柱与圆锥的组合体,其体积32022314122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V . 11.[2014•天津文卷]阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________.【答案】-4【解析】()()42223-=-+-=S . 12. [2014•天津文卷]函数()2lg x x f =的单调递减区间是________.【答案】()0,∞-【解析】()2lg x x f =的单调递减区间需满足02>x 且2x y =递减.13. [2014•天津文卷]已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上,3BC BE =,DC DF λ=.若1=⋅,则λ的值为________.【答案】2【解析】建立如图所示坐标系,且()0,1-A 、()3,0-B 、()0,1C 、()3,0D ,设()11,y x E ,()22,y x F ,由3BC BE =得()()3,33,111+=y x ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332,31E ,由DC DF λ=得()()3,3,122-=-y x λ,解之得⎪⎪⎭⎫⎝⎛-λλ33,1F , 又∵13231033,11332,34=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⋅λλλAF AE , ∴2=λ.14. [2014•天津文卷]已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a 的取值范围为_______.【答案】21<<a【解析】ABCD在同一坐标系内分别作出()x f y =与||x a y =的图象,当||x a y =与()x f y =的图象相切时⎩⎨⎧>---=-0452a x x ax ,解之得1=a ,∴||x a y =与()x f y =的图象有四个交点时,21<<a .15. [2014•天津文卷]某校夏令营有3名男同学,,A B C 和3名女同学,,X Y Z ,其年级情况如下表:现从这6(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率.16.C7、C8[2012•天津文卷]在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 66=-,C B sin 6sin = (1)求A cos 的值; (2)求)62cos(π-A 的值.()0|45|2≤++=x x x y |2|2-=x y||x a y =2AD =,PA PD ==,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.(Ⅰ)证明 //EF 平面PAB ; (Ⅱ)若二面角P AD B --为60,(ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ;(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.H5、H8[2014•天津文卷]设椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知AB =(Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线与该圆相切于点M ,2MF =,求椭圆的方程.19. B11、B12 [2014•天津文卷]已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈(1) 求()f x 的单调区间和极值;(2)若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围20.A1、D3、E7[2014•天津文卷]已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}12,1,0-=q M ,集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-,(1)当3,2==n q 时,用列举法表示集合A ;(2)设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明:若,n n b a <则t s <.。

2014年高考天津文科数学试题及答案(精校版)

2014年高考天津文科数学试题及答案(精校版)

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么•圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P AB P A P B =+ 其中S 表示圆锥的底面面积,•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积, h 表示棱柱的高.一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. i 是虚数单位,复数=++ii437( ) A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( )A. 2B. 3C. 4D. 53. 已知命题为则总有p e x x p x ⌝>+>∀,1)1(,0:( )A. 00≤∃x ,使得1)1(00≤+x e xB. 00>∃x ,使得1)1(00≤+x e xC. 0>∀x ,总有 1)1(≤+x e xD. 0≤∀x ,总有1)1(≤+x e x 4. 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A. c b a >>B. c a b >>C. b c a >>D. a b c >>5. 设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比 数列,则1a =( )A. 2B. -2C.21 D . 21 6. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.120522=-y x B. 152022=-y x C. 1100325322=-y x D. 1253100322=-y x 7. 如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:① BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅.则所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ③④C.①②③ D. ①②④8. 已知函数()cos (0),.f x x x x R ωωω=+>∈在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3π,则()f x 的最小正周期为( ) A.2πB. 23πC. πD. 2π二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.9. 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取 _________名学生. 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为 3m .11. 阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________. 12. 函数()3lg f x x =的单调递减区间是________.13. 已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ∠=︒,点E ,F 分别在边BC 、DC 上,俯视图侧视图正视图PFECBA3BC BE =,DC DF λ=.若1=⋅AF AE ,则λ的值为________.14. 已知函数()⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0,220,452x x x x x x f 若函数x a x f y -=)(恰有4个零点,则实数a的取值范围为_______三、解答题:本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学C B A ,,和3名女同学Z Y X ,,,其年级情况如下表:现从这6 (1) 用表中字母列举出所有可能的结果(2) 设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.16.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,已知b c a 66=-,C B sin 6sin =(1) 求A cos 的值;(2) 求)62cos(π-A 的值.17.(本小题满分13分)如图,四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是平行四边形,2==BD BA ,AD=2,5==PD PA , E ,F 分别是棱AD ,PC 的中点.(1) 证明: //EF 平面PAB ; (2) 若二面角P-AD-B 为60,① 证明:平面PBC ⊥平面ABCD② 求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.18.(本小题满分13分)设椭圆22221x y b +=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12AB F =.(1)求椭圆的离心率;(2)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F的直线l 与该圆相切于点M ,2MF =,求椭圆的方程.19.(本小题满分14分) 已知函数232()(0),3f x x ax a x R =->∈ (1) 求()f x 的单调区间和极值;(2) 若对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=,求a 的取值范围20(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数,设集合{}12,1,0-=q M ,集合{}n i M x q x q x x x x A i n n ,2,1,,121=∈++==-,(1) 当3,2==n q 时,用列举法表示集合A ;(2) 设,,,,121121--++=+++=∈n n n n q b q b b t q a q a a s A t s 其中,,2,1,,n i M b a i i =∈证明:若,n n b a <则t s <.2014年天津高考数学(文科)试卷参考答案一、选择题A B B C D A D C 1. 解:()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-,选A . 2. 解:作出可行域,如图,结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,选B . 3. 解:依题意知p ⌝为:00>∃x ,使得1)1(00≤+x ex ,选B .4. 解:因为1a >,0b <,01c <<,所以a c b >>,选 C .5. 解:依题意得2214S S S =,所以()()21112146a a a -=-,解得112a =-,选D . 6. 解:依题意得⎪⎩⎪⎨⎧+===22252b a c c a b ,所以25a =,220b =,选A .7. 解: 由弦切角定理得EAC BAE FBD ∠=∠=∠,又A F B B F D ∠=∠,所以BFD ∆∽AFB ∆,所以BF BDAF AB=,即BF AB BD AF ⋅=⋅,故④正确,排除A 、C . 又DBC EAC FBD ∠=∠=∠,故①正确,排除B ,选D .8. 解:因为)6sin(2)(πω+=x x f ,所以()1f x =得21)6sin(=+πωx ,所以626πππω+=+k x 或6526πππω+=+k x ,Z k ∈.因为相邻交点距离的最小值为3π,所以332πωπ=,2w =,π=T ,选C . 二、填空题9. 60 10.320π11.-4 12. )0,(-∞ 13. 2 14. )2,1( 9. 解: 应从一年级抽取6065544300=+++⨯名. 10.解: 该几何体的体积为32041223122πππ=⨯⨯+⨯⨯=V 3m . 11. 解:3n =时,8S =-;2n =时,4S =-,所以输出的S 的值为-4. 12. 解:由复合函数的单调性知,)(x f 的单调递减区间是)0,(-∞.13. 解:因为120BAD ∠=︒,菱形的边长为2,所以2-=⋅. 因为1)1()31(=+⋅+=⋅AB AD AD AB AF AE λ,所以1323442=-++-λλ,解得2=λ. [解2] 建立如图所示的坐标系,则A (-1,0),B (0,-3),C (1,0),D (0,3).设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2),由BC →=3BE →,得(1,3)=3(x 1,y 1+3),可得E ⎝⎛⎭⎫13,-233;由DC →=λDF →,得(1,-3)=λ(x 2,y 2-3),可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ,3-3λ. ∵AE ·AF =⎝⎛⎭⎫43,-233·⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ+1,3-3=103λ-23=1,∴λ=2.14.解: 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x |的图像,如图所示,当y =a |x |与y =f (x )的图像相切时,联立⎩⎪⎨⎪⎧-ax =-x 2-5x -4,a >0,整理得x 2+(5-a )x +4=0,则Δ=(5-a )2-414=0,解得a =1或a =9(舍去),∴当y =a |x |与y =f (x )的图像有四个交点时,有1<a <2.三、解答题15.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{A ,X },{A ,Y },{A ,Z },{B ,C },{B ,X },{B ,Y },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },{C ,Z },{X ,Y },{X ,Z },{Y ,Z },共15种.(2) 选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A ,Y },{A ,Z },{B ,X },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },共6种.因此,事件M 发生的概率P (M )=615=25.16.解:(1)在△ABC 中,由b sin B =c sin C ,及sin B =6sin C ,可得b =6c .又由a -c =66b ,有a =2c .所以cos A =b 2+c 2-a 22bc =6c 2+c 2-4c 226c 2=64.(2) 在△ABC 中,由cos A =64,可得sin A =104.于是cos 2A =2cos 2A -1=-14,sin2A =2sin A ·cos A =154. 所以cos ⎝⎛⎭⎫2A -π6=cos 2A ·cos π6+sin 2A ·sin π6=15-38.17.解:(1)证明:如图所示,取PB 中点M ,连接MF ,AM .因为F 为PC 中点,所以MF ∥BC ,且MF =12BC .由已知有BC ∥AD ,BC =AD ,又由于E 为AD 中点,因而MF ∥AE 且MF =AE ,故四边形AMFE 为平行四边形,所以EF ∥AM .又AM ⊂平面P AB ,而EF ⊄平面P AB ,所以EF ∥平面P AB .(2) (i) 证明:连接PE ,BE .因为P A =PD ,BA =BD ,而E 为AD 中点,所以PE ⊥AD ,BE ⊥AD ,所以∠PEB 为二面角P - AD -B 的平面角.在△P AD 中,由P A =PD =5,AD =2,可解得PE =2.在△ABD 中,由BA =BD =2,AD =2,可解得BE =1.在△PEB 中,PE =2,BE =1,∠PEB =60˚,由余弦定理,可解得PB =3,从而∠PBE =90˚,即BE ⊥PB .又BC ∥AD ,BE ⊥AD ,从而BE ⊥BC ,因此BE ⊥平面PBC .又BE ⊂平面ABCD ,所以平面PBC ⊥平面ABCD .(ii) 连接BF ,由(i)知,BE ⊥平面PBC ,所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角.由PB =3及已知,得∠ABP 为直角,而MB =12PB =32,可得AM =112,故EF =112.又BE =1,故在直角三角形EBF 中,sin ∠EFB =BE EF =21111.所以直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值为21111.18.解:(1)设椭圆右焦点F 2的坐标为(c ,0).由|AB |=32|F 1F 2|,可得a 2+b 2=3c 2.又b 2=a 2-c 2,则c 2a 2=12,所以椭圆的离心率e =22.(2) 由(1)知a 2=2c 2,b 2=c 2,故椭圆方程为x 22c 2+y 2c 2=1.设P (x 0,y 0).由F 1(-c ,0),B (0,c ),有F 1P →=(x 0+c ,y 0),F 1B →=(c ,c ).由已知,有F 1P →·F 1B →=0,即(x 0+c )c +y 0c =0. 又c ≠0,故有x 0+y 0+c =0.①因为点P 在椭圆上,所以x 202c 2+y 20c2=1.②由①和②可得3x 20+4cx 0=0.而点P 不是椭圆的顶点,故x 0=-43c ,代入①得y 0=c 3,即点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫-4c 3,c 3.设圆的圆心为T (x 1,y 1),则x 1=-43c +02=-23c ,y 1=c 3+c 2=23c ,进而圆的半径r =(x 1-0)2+(y 1-c )2=53c .由已知,有|TF 2|2=|MF 2|2+r 2.又|MF 2|=22,故有⎝⎛⎭⎫c +23c 2+⎝⎛⎭⎫0-23c 2=8+59c 2,解得c 2=3,所以所求椭圆的方程为x 26+y 23=1.19.解:(1)由已知,有f ′(x )=2x -2ax 2(a >0).令f ′(x )=0,解得x =0或x =1a.当x 递减 递增 递减所以,f (x )的单调递增区间是⎝⎭⎫0,1a ;单调递减区间是(-∞,0),⎝⎛⎭1a ,+∞. 当x =0时,f (x )有极小值,且极小值f (0)=0;当x =1a时,f (x )有极大值,且极大值f ⎝⎛⎭⎫1a =13a 2. (2)由f (0)=f ⎝⎛⎭⎫32a =0及(1)知,当x ∈⎝⎛⎭⎫0,32a 时,f (x )>0;当x ∈⎝⎛⎭⎫32a ,+∞时,f (x )<0. 设集合A ={f (x )|x ∈(2,+∞)},集合B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f (x )x ∈(1,+∞),f (x )≠0,则“对于任意的x 1∈(2,+∞),都存在x 2∈(1,+∞),使得f (x 1)·f (x 2)=1”等价于A ⊆B ,显然0∉B .下面分三种情况讨论:(i)当32a >2,即0<a <34时,由f ⎝⎛⎭⎫32a =0可知,0∈A ,而0∉B ,所以A 不是B 的子集. (ii)当1≤32a ≤2,即34≤a ≤32时,有f (2)≤0,且此时f (x )在(2,+∞)上单调递减,故A=(-∞,f (2)),因而A ⊆(-∞,0).由f (1)≥0,有f (x )在(1,+∞)上的取值范围包含(-∞,0),则(-∞,0)⊆B ,所以A ⊆B .(iii)当32a <1,即a >32时,有f (1)<0,且此时f (x )在(1,+∞)上单调递减,故B =⎝⎛⎭⎫1f (1),0,A =(-∞,f (2)),所以A 不是B 的子集. 综上,a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤34,32.20.解:(1)当q =2,n =3时,M ={0,1},A ={x |x =x 1+x 2·2+x 3·22,x i ∈M ,i =1,2,3},可得A ={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2) 证明:由s ,t ∈A ,s =a 1+a 2q +…+a n q n -1,t =b 1+b 2q +…+b n q n -1,a i ,b i ∈M ,i =1,2,…,n 及a n <b n ,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0,所以s<t.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学卷(天津.文)含详解

2014天津文第Ⅰ卷本卷共8小题,每小题5分,共40分一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(同理1)i 是虚数单位,复数13i1i-=-( ). 啊.2i - 不.2i + 才.12i -- D .12i -+【解】()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2-+--===---+.故选A . 2.设变量,x y ,满足约束条件1,40,340,x x y x y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-+≤⎩则目标函数3z x y =-的最大值为( ).A .4-B .0C .43的.4 【解】画出可行域为图中的ABC ∆的区域,直线3y x z =-经过()2,2A 时,4z =最大.故选D .3.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,若输入x 的值为4-,则输出y 的值为( ).A .0.5B .1C .2D .4【解】运算过程依次为:输入4x =-43⇒->437x ⇒=--=73⇒>734x =-=43⇒> 431x ⇒=-=13⇒<122y ⇒==⇒输出2. 故选C.4.设集合{}20A x x =∈->R ,{}0B x x =∈<R ,(){}20C x x x =∈->R ,则“x A B ∈ ”是“x C ∈”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件 【解】{}02A B x x x =∈<>R 或,(){}{}2002C x x x x x x =∈->∈<>R R 或所以A B C = .所以“x A B ∈ ”是“x C ∈”的充分必要条件.故选C. 5.已知2log 3.6a =,4log 3.2b =,4log 3.6c =,则 ( ). A .a b c >> B .a c b >> C .b a c >> D .c a b >>【解】因为224log 3.6log 3.6a ==,而23.6 3.6 3.2>>,又函数4log y x =是()0,+∞上的增函数,则2444log 3.6log 3.6log 3.2>>.所以a c b >>.故选B.6.已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则双曲线的焦距为 ( ).A .B .C .D .【解】因为双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为()2,1--,则22p-=-,所以4p =.又因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的左顶点与抛物线()220y px p =>的焦点的距离为4,则42pa +=,所以2a =. 因为点()2,1--在双曲线的一条渐近线上,则()12ba-=-,即2a b =,所以1,b c ==,焦距2c =7.已知函数()()2sin f x x ωϕ=+,x ∈R ,其中0ω>,ππϕ-<≤.若()f x 的最小正周期为6π,且当π2x =时,()f x 取得最大值,则( ). A .()f x 在区间[]2π,0-上是增函数 B .()f x 在区间[]3π,π--上是增函数 C .()f x 在区间[]3π,5π上是减函数D .()f x 在区间[]4π,6π上是减函数【解】由题设得ππ,222π6π,ωϕω⎧⋅+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩解得13ω=,π3ϕ=.所以已知函数为()π2sin 33x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 其增区间满足π222332x k k ππππ-+≤+≤+,k ∈Z . 解得5π6ππ6π2k x k -+≤≤+,k ∈Z . 取0k =得5ππ2x -≤≤,所以5π,π2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦为一个增区间,因为[]5π2π,0,π2⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦, 所以()f x 在区间[]2π,0-上是增函数.故选A.8.对实数a 和b ,定义运算“⊗”:,1,, 1.a a b a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩设函数()()()221f x x x =-⊗-,x ∈R .若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点,则实数c 的取值范围是( ).A .(]()1,12,-+∞B .(](]2,11,2--C .()(],21,2-∞-D .[]2,1--【解】由题设()22,12,1,12x x f x x x x ⎧--≤≤=⎨-<->⎩或画出函数的图象,函数图象的四个端点(如图)为()2,1A ,,()2,B ,()1,1C --,()1,2D --.从图象中可以看出,直线y c =穿过点B ,点A 之间时,直线y c =与图象有且只有两个公共点,同时,直线y c =穿过点C ,点D 时,直线y c =与图象有且只有两个公共点,所以实数c 的取值范围是(](]2,11,2-- .故选B.第Ⅱ卷二、填空题:本答题共6小题,每小题5分,共30分.9.已知集合{}12A x x =∈-<R ,Z 为整数集,则集合A Z 中所有元素的和等于 .【解】3.解集合A 得13x -<<,则{}0,1,2A =Z ,所有元素的和等于0123++=. 10.一个几何体的三视图如右图所示(单位:m ),则该几何体的体积为3m .【解】4.几何体是由两个长方体组合的.体积为 1211124V =⨯⨯+⨯⨯=.11.已知{}n a 是等差数列,n S 为其前n 项和,n +∈N .若316a =,2020S =,则10S 的值为 .【解】110.设公差为d ,由题设31201216,2019020.a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩解得2d =-,120a =.()10110451020452110S a d =+=⨯+⨯-=.12.已知22log log 1a b +≥,则39ab+的最小值为 . 【解】18.因为22log log 1a b +≥,则2log 1ab ≥,2ab ≥,24a b ⋅≥3918a b +≥=≥≥=,当且仅当39,2,a b a b ⎧=⎨=⎩即2a b =时,等号成立,所以39a b+的最小值为18.13.(同理12)如图,已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ,E 是AB 延长线上一点,且DF CF ==,::4:2:1AF FB BE =,若CE 与圆相切,则线段CE 的长为 .【解.因为::4:2:1AF FB BE =,所以设BE a =,2FB a =,4AF a =. 由相交弦定理,242DF CF AF FB a a ⋅=⋅==⋅, 所以12a =,12BE =,772AE a ==.因为CE 与圆相切,由切割线定理,2177224CE AE BE =⋅=⋅=.所以CE =. 14.(同理14) 已知直角梯形ABCD 中,//AD BC ,90ADC ∠=︒,2AD =,1BC =,P 是腰DC 上的动点,则3PA PB +的最小值为 .【解】5.解法1 .以D 为坐标原点,DA 所在直线为x 轴,DC 所在直线为y 轴,建立如图的直角坐标系.由题设,()2,0A ,设()0,C c ,()0,P y ,则()1,B c .()2,PA y =- ,()1,PB c y =-. ()35,34PA PB c y +=-.35PA PB += ,当且仅当34c y =时,等号成立,于是,当34cy =时,3PA PB + 有最小值5.解法2 . 以相互垂直的向量DP ,DA 为基底表示PB PA 3+,得()533332P A P B D A D P P C C B D AP CD P +=-++=+-. 又P 是腰DC 上的动点,即与共线,于是可设λ=,有)13(253-+=+λ. 所以2222553(31)(31)42PA PB DA DP DA DP λλ⎡⎤+=+-+⨯-⋅⎣⎦即[]213(25)13(DP -+=-+=+λλ.由于P 是腰DC 上的动点,显然当31=λ,即DP PC 31=时,所以3PA PB +有最小值5.解法3 .如图,3PB PF =,设E 为AF 的中点,Q 为AB的F中点,则12QE BF PB ==,32PA PB PA PF PE +=+=, ①因为PB PQ PE += ,PB PQ QB -= .则22222222PB PQ PB PQ PB PQ PE QB ++-=+=+ . ②(实际上,就是定理:“平行四边形的对角线的平方和等于各边的平方和”) 设T 为DC 的中点,则TQ 为梯形的中位线,()1322TQ AD BC =+=. 设P 为CT 的中点,且设,CP a PT b ==,则221PB a =+ ,2294PQ b =+ ,()2214QB a b =++ ,代入式②得()()222222912221244PB PQ a b PE a b ⎛⎫+=+++=+++ ⎪⎝⎭ ,于是()22252544PE a b =+-≥ ,于是25PE ≥ ,当且仅当a b =时,等号成立.由式①,325PA PB PE +=≥, 所以3PA PB +有最小值5.三、解答题:本大题共6小题,共80分。

2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】

2014年全国高考天津市数学(文)试卷及答案【精校版】

绝密 ★ 启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。

第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。

答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。

考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利!第Ⅰ卷注意事项:1.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

2本卷共8小题,每小题5分,共40分。

参考公式:•如果事件A ,B 互斥,那么 •圆锥的体积公式13V Sh =.()()()P A B P A P B =+其中S 表示圆锥的底面面积,•圆柱的体积公式V Sh =. h 表示圆锥的高. 其中S 表示棱柱的底面面积,h 表示棱柱的高.一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数734ii+=+( )(A )1i - (B )1i -+ (C )17312525i + (D )172577i -+ 解:()()()()73472525134343425i i ii i i i i +-+-===-++-,选A .xFED CBA (2)设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )5 解:作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,选B .(3)已知命题p :0x ">,总有()11x x e +>,则p Ø为( (A )00x $£,使得()0011xx e £+ (B )00x $>,使得0011xx e £+(C )0x ">,总有()11xx e +£ (D )0x "£,总有()11xx e +£解:依题意知p Ø为:00x $>,使得()0011xx e £+,选B .(4)设2log a p =,12log b p =,2c p -=,则( )(A )a b c >> (B )b a c >> (C )a c b >> (D )c b a >> 解:因为1a >,0b <,01c <<,所以a c b >>,选C .(5)设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( )(A )2 (B )-2 (C )12 (D )12- 解:依题意得2214S S S =,所以()()21112146a a a -=-,解得112a =-,选D . (6)已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )(A )221520x y -= (B )221205x y -= (C )2233125100x y -= (D )2233110025x y -= 解:依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî,所以25a =,220b =,选A . (7)如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分C B F Ð;②2FB FD FA =?;③AE CE BE DE ??;④AF BD AB BF ??.则所有正确结论的序号是( )(A )①② (B )③④ (C )①②③ (D )①②④解:由弦切角定理得FBD EAC BAE ???,又BFD AFB ??, 所以BFD D ∽AFB D ,所以BF BDAF AB=,即AF BD AB BF ??,排除A 、C .又FBDEAC DBC ???,排除B ,选D .(8)已知函数()cos f x x x w w =+()0w >,x R Î,在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为3p,则()f x 的最小正周期为( ) (A )2p(B )23p (C )p (D )2p解:因为()2sin 6f x x p w 骣÷ç=+÷ç÷ç桫,所以()1f x =得1sin 62x p w 骣÷ç+=÷ç÷ç桫, 所以266x k p p w p +=+或5266x k ppw p +=+,k Z Î. 因为相邻交点距离的最小值为3p,所以233p pw =,2w =,T p =,选C . 第Ⅱ卷注意事项: 1.答卷前将密封线内的项目填写清楚。

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—天津卷

2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—天津卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文史类)一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.i 是虚数单位,复数734ii+=+( )A .1i -B .1i -+C .17312525i + D .172577i -+ 2.设变量x ,y 满足约束条件0,20,12,y x y y x +-⎧≥--≤≥⎪⎨⎪⎩则目标函数2z x y =+的最小值为( )A .2B .3C .4D .53.已知命题p :0x ">,总有()11x x e +>,则p Ø为( )A .00x $£,使得()0011xx e £+ B .00x $>,使得()0011xx e £+C .0x ">,总有()11x x e +£D .0x "£,总有()11x x e +£ 4.设2log a p =,12log b p =,2c p-=,则( )A .a b c >>B .b a c >>C .a c b >>D .c b a >>5.设{}n a 是首项为1a ,公差为-1的等差数列,n S 为其前n 项和.若124,,S S S 成等比数列,则1a =( )A .2B .-2C .12 D .12- 6.已知双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>的一条渐近线平行于直线l :210y x =+,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A .221520x y -= B .221205x y -= C .2233125100x y -= D .2233110025x y -= 7.如图,ABC D 是圆的内接三角形,BAC Ð的平分线交圆于点D ,交BC 于点E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F .在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分C B F Ð;②2FB FD FA = ;③AE CE BE DE ? ;④AF BD AB BF ? .则所有正确结论的序号是( )A .①②B .③④C .①②③D .①②④FED CBA8.已知函数()cos f x x x w w =+()0w >,,在曲线()y f x =与直线1y =的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则()f x 的最小正周期为( )A .B .C .D .二、填空题(本大题共6个小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.)9.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6,则应从一年级本科生中抽取_______名学生.10.已知一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积为_______3m.俯视图侧视图正视图11.阅读右边的框图,运行相应的程序,输出S 的值为________.12.函数()2lg f x x =的单调递减区间值是________.13.已知菱形ABCD 的边长为2,120BAD ?,点,E F 分别在边,BC DC 上,3BC BE =,DC DF l =.若1AE AF ?,则l 的值为_______.14.已知函数()254,22,0,0.x x x f x x x ìï++ï=í->£ïïïî若函数()y f x a x =-恰有4个零点,则实数a 的取值范围为__________.三、解答题(本题共6道大题,满分80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)15.(本小题满分13分)某校夏令营有3名男同学和3名女同学,其年级情况如下表:现从这6(Ⅰ)用表中字母列举出所有可能的结果;(Ⅱ)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发表的概率.16.(本小题满分13分)在ABC ∆中,内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知a c b -=,sin B C =. (Ⅰ)求cos A 的值;(Ⅱ)求cos 26A π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.17.(本小题满分13分)如图,四棱锥P ABCD -的底面是平行四边形,BA BD ==2AD =,PA PD ==,E F 分别是棱AD ,PC 的中点.(Ⅰ)证明 //EF 平面PAB ; (Ⅱ)若二面角P AD B --为60,(ⅰ)证明 平面PBC ^平面ABCD ;(ⅱ)求直线EF 与平面PBC 所成角的正弦值.PFEDCBA18.(本小题满分13分)设椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,右顶点为A ,上顶点为B .已知12AB F =. (Ⅰ)求椭圆的离心率;(Ⅱ)设P 为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB 为直径的圆经过点1F ,经过点2F 的直线l 与该圆相切于点M,2MF =,求椭圆的方程. 19.(本小题满分14分)已知函数()2323f x x ax =-()0a >,x R Î. (Ⅰ)求()f x 的单调区间和极值; (Ⅱ)若对于任意的()12,x ?,都存在()21,x ? ,使得()()121f x f x ?.求a 的取值范围. 20.(本小题满分14分)已知q 和n 均为给定的大于1的自然数.设集合{}0,1,2,1,q M =-,集合{}112,,1,2,,n n i A x x x x q x q x M in -+?==++.(Ⅰ)当2q =,3n =时,用列举法表示集合A ; (Ⅱ)设,s t A Î,112n n s a a q a q -=+++,112n n t b b q b q -=+++,其中,i i a b M Î,1,2,,i n =. 证明:若n n a b <,则s t <.参考答案 一、选择题 1.A解:()()()()73472525134343425i i i i i i i i +-+-===-++-,选A . 2.B解:作出可行域,如图结合图象可知,当目标函数通过点()1,1时,z 取得最小值3,选B .x3.B解:依题意知p Ø为:00x $>,使得()0011xx e £+,选B .4.C解:因为1a >,0b <,01c <<,所以a c b >>,选C . 5.D解:依题意得2214S S S =,所以()()21112146a a a -=-,解得112a =-,选D . 6.A解:依题意得22225b ac c a bìï=ïïï=íïïï=+ïî,所以25a =,220b =,选A . 7.D解:由弦切角定理得FBD EAC BAE ?? ,又BFD AFB ? ,所以BFD D ∽AFB D ,所以BF BDAF AB=,即AF BD AB BF ? ,排除A 、C . 又FBD EAC DBC ?? ,排除B ,选D .解:8.C 因为,所以,得= ,所以 = 或=,, 因为相邻交点距离的最小值为 ,所以 ,w=2, T=, 所以选C9.解:应从一年级抽取4604556300?+++名.10.解:该几何体的体积为212042233p p p ?鬃=3m . 11.解:3n =时,8S =-;2n =时,4S =-,所以输出的S 的值为-4. 12.解:由复合函数的单调性知,()f x 的单调递减区间是(),0-¥.13.解:因为120BAD?,菱形的边长为2,所以2AB AD ?-.因为()13AE AF AB AD AD AB l 骣÷ç?+?÷ç÷ç桫,1AE AF ?, 所以1214133l l 骣骣鼢珑-?+?=鼢珑鼢珑桫桫,解得12l =. 14.解:作出()f x 的图象,如图当直线y ax =-与函数254y x x =---相切时,由0D =可得1a =,所以1a >. 15.解:(I )从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,X},{A,Y},{A,Z},{B,C},{B,X},{B,Y},{B,Z},{C,X},{C,Y},{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y ,Z},共15种.(II )选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能接过为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种. 因此,事件M 发生的概率62().155P M == 16.解:(I )在三角形ABC 中,由sin sin b c B C =及C B sin 6sin =,可得b =又b c a 66=-,有2a c=,所以222222cos 2b c a A bc +-=== (II) 在三角形ABC中,由cos A =,可得sin A =,于是21cos 22cos 1,sin 22sin cos 4A A A A A =-=-==,所以cos(2)cos 2cossin 2sin666A A A πππ-=+=17.解:(I ))证明:如图取PB 中点M,连接MF,AM.因为F 为PC 中点,故MF//BC 且MF=12BC.由已知有BC//AD ,BC=AD.又由于E 为AD 中点,因而MF//AE 且MF=AE ,故四边形AMFE 为平行四边形,所以EF//AM,又AM ⊂平面PAB,而EF ⊄平面PAB,所以EF//平面PAB. (II )(i )证明:连接PE,BE.因为PA=PD,BA=BD,而E 为AD 中点,故PE ⊥AD,BE ⊥AD,所以∠PEB 为二面角P-AD-B 的平面角.在三角形PAD 中,由,可解得PE=2. 在三角形ABD 中,由,可解得BE=1. 在三角形PEB 中,PE=2, BE=1, 60PEB ∠=,由余弦定理,可解得90PBE ∠=,即BE ⊥PB,又BC//AD,BE ⊥AD,从而BE ⊥BC,因此BE ⊥平面PBC.又BE ⊂平面ABCD ,所以平面PBC ⊥平面ABCD,(ii )连接BF ,由(i )知BE ⊥平面PBC.所以∠EFB 为直线EF 与平面PBC 所成的角,由∠ABP 为直角,而MB=12,可得,故,又BE=1,故在直角三角形EBF中,sin BE EFB EF ∠==所以,直线EF 与平面PBC18.,所以22223a c c -=,解得a =,2e =. (Ⅱ)解:由(Ⅰ)知椭圆方程可化为22222x y c +=. 因为()0,B c ,所以直线1BF 的斜率11BF k =. 因为11PF BF ^,所以直线1PF 的斜率11PF k =-, 直线1PF 的方程为y x c =--.设()00,P x x c --,则有()2220022x x c c +--=,解得043cx =-或00x =(舍),所以4,33c c P 骣÷ç-÷ç÷ç桫. 因为线段PB 的中点为22,33c c 骣÷ç-÷ç÷ç桫,所以圆的方程为222225339c c c x y 骣骣鼢珑++-=鼢珑鼢珑桫桫. 因为直线l与该圆相切,且2MF =,所以22529899c c +=,解得23c =. 所以椭圆方程为22163x y +=. 19.分析:(1)求函数单调区间及极值,先明确定义域:R ,再求导数2()22(0).f x x ax a '=->在定义域下求导函数的零点:0x =或1x a =,通过列表分析,根据导函数符号变化规律,确定单调区间及极值,即()f x 的单调增区间是1(0,)a ,单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞,当0x = 时,()f x 取极小值0 ,当1x a = 时,()f x 取极大值213a, (2)本题首先要正确转化:“对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=”等价于两个函数值域的包含关系.设集合{()|(2,)},A f x x =∈+∞,集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则A B ⊆,其次挖掘隐含条件,简化讨论情况,明确讨论方向.由于0B ∉,所以0A ∉,因此322a≤,又A B ⊆,所以(1)0f ≥,即33.42a ≤≤ 解(1)由已知有2()22(0).f x x ax a '=->令()0f x '=,解得0x =或1x a=,列表如下:所以()f x 的单调增区间是(0,)a ,单调减区间是(,0)-∞和1(,)a+∞,当0x = 时,()f x 取极小值0 ,当1x a = 时,()f x 取极大值213a ,(2)由3(0)()02f f a ==及(1)知,当3(0,)2x a∈时,()0f x >,当3(,)2x a∈+∞时,()0f x <设集合{()|(2,A f x x =∈+∞,集合1{|(1,),()0},()B x f x f x =∈+∞≠则“对于任意的1(2,)x ∈+∞,都存在2(1,)x ∈+∞,使得12()()1f x f x ⋅=”等价于A B ⊆.显然0B ∉. 下面分三种情况讨论:当322a >即304a <<时,由3()02f a=可知0A ∈而0B ∉,所以A 不是B 的子集 当3122a ≤≤即3342a ≤≤时,有(2)0f ≤且此时()f x 在(2,)+∞上单调递减,故(,(2))A f =-∞,因而(,0)A ⊆-∞由(1)0f ≥有()f x 在(1,)+∞上的取值范围包含(,0)-∞,所以A B ⊆当312a <即32a >时,有(1)0f <且此时()f x 在(1,)+∞上单调递减,故1(,0)(1)B f =,(,(2))A f =-∞,所以A 不是B 的子集综上,a 的取值范围为33[,].42考点:利用导数求单调区间及极值,利用导数求函数值域 20.(Ⅰ)解:当2q =,3n =时,{}0,1M =,{}12324,,1,2,3i A x x x x x M x i==+?+, {}0,1,2,3,4,5,6,7A =.(Ⅱ)证明:因为1q >,所以,i i a b M Î,所以1i a q ?,1,2,,1n i =-,1nn a b ?.所以()()()221111n n n qq q q b q s --?+++++-()()111111n n n q q b q q---=-?--111n n n n t b qb q --=-<£.。

2014天津文科数学试题及答案

2014天津文科数学试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)数学(文科)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1。

i 是虚数单位,复数=++ii437( ) A. i -1 B. i +-1 C.i 25312517+ D. i 725717+- 2. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≥-+.1,02,02y y x y x 则目标函数y x z 2+=的最小值为( )A.2B. 3C. 4 D 。

53. 已知命题为则总有p e x x p x⌝>+>∀,1)1(,0:( )A.1)1(,0000≤+≤∃x e x x 使得 B. 1)1(,0000≤+>∃x e x x 使得 C.1)1(,0000≤+>∃x ex x 总有 D 。

1)1(,0000≤+≤∃x e x x 总有4. 设,,log ,log 2212-===πππc b a 则( )A.c b a >>B.c a b >>C.b c a >> D 。

a b c >>5. 设{}n a 是首项为1a ,公差为1-的等差数列,n S 为其前n 项和,若,,,421S S S 成等比数列,则1a =( )A.2B.-2C.21 D 。

216. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线平行于直线,102:+=x y l 双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为( )A.120522=-y x B.152022=-y x C 。

1100325322=-y x D 。

1253100322=-y x7. 如图,ABC ∆是圆的内接三角行,BAC ∠的平分线交圆于点D ,交BC 于E ,过点B 的圆的切线与AD 的延长线交于点F ,在上述条件下,给出下列四个结论:①BD 平分CBF ∠;②FA FD FB ⋅=2;③DE BE CE AE ⋅=⋅;④BF AB BD AF ⋅=⋅。

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天津高考压轴卷数学文word 版有解析一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合A={x|x >1},B={x|x <m},且A ∪B=R ,那么m 的值可以是( ).2.设集合{}|24x A x =≤,集合B 为函数lg(1)y x =-的定义域,则AB =( ).(A)()1,2 (B)[]1,2 (C)[1,2) (D) (1,2] 3. 函数y=sin (2x+φ)的图象沿x 轴向左平移个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( ).BC4. 函数f (x )=log 2(1+x ),g (x )=log 2(1﹣x ),则f (x )﹣g (x )是( ).5.设曲线sin y x =上任一点(,)x y 处切线斜率为()g x ,则函数2()y x g x =的部分图象可以为( ).6. 设z=2x+y ,其中变量x ,y 满足条件,若z 的最小值为3,则m 的值为( ).7. 已知点P(x,y)在直线x+2y=3上移动,当2x+4y取最小值时,过P点(x,y)引圆C:=1的切线,则此切线长等于().D8. 已知f(x)=x3﹣6x2+9x﹣abc,a<b<c,且f(a)=f(b)=f(c)=0.现给出如下结论:①f(0)f(1)>0;②f(0)f(1)<0;③f(0)f(3)>0;④f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是().9. 已知平面向量=(2,4),=(1,﹣2),若=﹣(•),则||=_____________.10. 已知tanα=,tanβ=﹣,且0<α<,<β<π,则2α﹣β的值________________.11. 记等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a2+a4=6,S4=10.则a10=___________.12. 棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体,其中一个几何体的三视图如图所示,那么该几何体的体积是___________.13.已知圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为________________.14. 球面上有四个点P、A、B、C,若PA,PB,PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,则该球的表面积是_______________.15. △ABC中,AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,则AD的长为____________.16. 在△ABC中,BC=a,AC=b,a、b是方程的两个根,且A+B=120°,求△ABC的面积及AB的长.三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17. 如图,在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中,下底ABCD是边长为2的正方形,上底A1B1C1D1是边长为1的正方形,侧棱DD1⊥平面ABCD,DD1=2.(1)求证:B1B∥平面D1AC;(2)求证:平面D1AC⊥平面B1BDD1.18. 数列{a n}是递增的等差数列,且a1+a6=﹣6,a3•a4=8.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)求数列{a n}的前n项和S n的最小值;(3)求数列{|a n|}的前n项和T n.19. 已知椭圆C:的右焦点为F(1,0),且点(﹣1,)在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程;(2)已知动直线l过点F,且与椭圆C交于A,B两点,试问x轴上是否存在定点Q,使得恒成立?若存在,求出点Q的坐标,若不存在,请说明理由.20. 已知函数已知函数f(x)=e x+ln(x+1)(Ⅰ)求函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)若a≤2,证明:当x≥0时,有f(x)≥ax+1.天津高考压轴卷数学文word 版参考答案1.【答案】D.【解析】解:根据题意,若集合A={x|x >1},B={x|x <m},且A ∪B=R , 必有m >1,分析选项可得,D 符合;故选D . 2. 【答案】D.【解析】解:{}|24{2}x A x x x =≤=≤,由10x ->得1x >,即{1}B x x =>,所以{12}A B x x =<≤,所以选D.3. 【答案】B.【解析】解:令y=f (x )=sin (2x+φ), 则f (x+)=sin[2(x+)+φ]=sin (2x++φ),∵f (x+)为偶函数,∴+φ=k π+,∴φ=k π+,k ∈Z ,∴当k=0时,φ=.故φ的一个可能的值为.故选B . 4. 【答案】A.【解析】解:∵f (x )=log 2(1+x ),g (x )=log 2(1﹣x ), ∴f (x )﹣g (x )的定义域为(﹣1,1) 记F (x )=f (x )﹣g (x )=log 2, 则F (﹣x )=log 2=log 2()﹣1=﹣log 2=﹣F (x )故f (x )﹣g (x )是奇函数. 故选A. 5. 【答案】C.【解析】解:'cos y x =,即()cos g x x =,所以22()cos y x g x x x ==,为偶函数,图象关于y 轴对称,所以排除A,B.当2cos 0y x x ==,得0x =或,2x k k Z ππ=+∈,即函数过原点,所以选C. 6. 【答案】A.【解析】解:作出不等式组对应的平面区域, ∵若z 的最小值为3, ∴2x+y=3, 由,解得,同时(1,1)都在直线x=m 上, ∴m=1. 故选A . 7. 【答案】D.【解析】解:∵x+2y=3,2x +4y =2x +22y ≥2x+2y =23=8,当且仅当 x=2y=时,等号成立, ∴当2x +4y 取最小值8时,P 点的坐标为(,),点P 到圆心C 的距离为CP==,大于圆的半径1,故切线长为==2,故选D . 8. 【答案】C.【解析】解:求导函数可得f ′(x )=3x 2﹣12x+9=3(x ﹣1)(x ﹣3) ∵a <b <c ,且f (a )=f (b )=f (c )=0. ∴a <1<b <3<c设f (x )=(x ﹣a )(x ﹣b )(x ﹣c )=x 3﹣(a+b+c )x 2+(ab+ac+bc )x ﹣abc ∵f (x )=x 3﹣6x 2+9x ﹣abc ∴a+b+c=6,ab+ac+bc=9 ∴b+c=6﹣a∴bc=9﹣a(6﹣a)<∴a2﹣4a<0∴0<a<4∴0<a<1<b<3<c∴f(0)<0,f(1)>0,f(3)<0∴f(0)f(1)<0,f(0)f(3)>0故选C.9.【答案】.【解析】解:∵向量=(2,4),=(1,﹣2),∴=2×1+4×(﹣2)=﹣6.∴=(2,4)﹣(﹣6)(1,﹣2)=(8,﹣8),∴=.故答案为.10. 【答案】﹣.【解析】解:∵0<α<,tanα=<1=tan,y=tanx在(0,)上单调递增,∴0<α<,又<β<π,∴﹣π<2α﹣β<﹣,∵tan2α===,tanβ=﹣,∴tan(2α﹣β)===1,∴2α﹣β=﹣.11. 【答案】10.【解析】解:等差数列{a n}的前n项和为S n,∵a2+a4=6,S4=10,设公差为d,∴,解得a1=1,d=1,∴a10=1+9=10.故答案为10.12. 【答案】4.【解析】解:由三视图知余下的几何体如图示:∵E、F都是侧棱的中点,∴上、下两部分的体积相等,∴几何体的体积V=×23=4.13. 【答案】.【解析】解:圆的方程为x2+y2﹣6x﹣8y=0化为(x﹣3)2+(y﹣4)2=25.圆心坐标(3,4),半径是5.最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E.S ABCD=故答案为.14.【答案】3π.【解析】解:∵PA、PB、PC两两互相垂直,且PA=PB=PC=1,∴分别以PA、PB、PC为长、宽、高,作出正方体设所得正方体的外接球为球O,则P、A、B、C四点所在的球面就是球O表面就是正方体的对角线长等于球O的直径即2R==,得R=∴球O的表面积为S=4πR2=4π()2=3π故答案为3π.15. 【答案】2.【解析】解:△ABC中,∵AB=3,∠A=60°,∠A的平分线AD交边BC于点D,且,取AC的一个三等分点E,满足AE=AC,作DF平行于AE,则由条件可得四边形AEDF 为平行四边形,∴∠AFD=120°,∠FAD=30°,∠FDA=30°,故△AFD为等腰三角形,∴AF=DF=AC,故四边形AEDF为菱形.再由AF=λAB=3λ=DF=AC,可得AC=9λ,菱形AEDF的边长为3λ.△AFD中,由余弦定理可得AD2=(3λ)2+(3λ)2﹣2•3λ•3λ•cos120°=27λ2,∴AD=3λ.△ABD中,由余弦定理可得BD2=32+27λ2﹣2×3×3λ×cos30°=27λ2﹣27λ+9,∴BD=3.△ACD中,由余弦定理可得CD2=81λ2+27λ2﹣2×9λ×3λ×cos30°=27λ2=3λ.再由三角形的内角平分线性质可得,即=,解得λ=,或λ=(舍去).故AD=3λ=3×=2,故答案为2.16. 【解析】∵A+B=120°,∴C=60°.∵a、b是方程的两个根,∴a+b=,ab=2,∴S△ABC==,AB=c====.17. 【解析】证明:(1)设AC∩BD=E,连接D1E,∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1.∴B1D1∥BE,∵B1D1=BE=,∴四边形B1D1EB是平行四边形,所以B1B∥D1E.又因为B1B⊄平面D1AC,D1E⊂平面D1AC,所以B1B∥平面D1AC(2)证明:侧棱DD1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥DD1.∵下底ABCD是正方形,AC⊥BD.∵DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线,∴AC⊥平面B1BDD1∵AC⊂平面D1AC,∴平面D1AC⊥平面B1BDD1.18. 【解析】(1)由得:,∴a3、a4是方程x2+6x+8=0的二个根,∴x1=﹣2,x2=﹣4;∵等差数列{a n}是递增数列,∴a3=﹣4,a4=﹣2,∴公差d=2,a1=﹣8.∴a n=2n﹣10;(2)∵S n==n2﹣9n=﹣,∴(S n)min=S4=S5=﹣20;(3)由a n≥0得2n﹣10≥0,解得n≥5,此数列前四项为负的,第五项为0,从第六项开始为正的.当1≤n≤5且n∈N*时,T n=|a1|+|a2|+…+|a n|=﹣(a1+a2+…+a n)=﹣S n=﹣n2+9n;当n≥6且n∈N*时,T n=|a1|+|a2|+…+|a5|+|a6|+…+|a n|=﹣(a1+a2+…+a5)+(a6+…+a n)=S n﹣2S5=n2﹣9n﹣2(25﹣45)=n2﹣9n+40.∴T n=.19. 【解析】(1)由题意,c=1∵点(﹣1,)在椭圆C上,∴根据椭圆的定义可得:2a=,∴a=∴b2=a2﹣c2=1,∴椭圆C的标准方程为;(2)假设x轴上存在点Q(m,0),使得恒成立当直线l的斜率为0时,A(,0),B(﹣,0),则=﹣,∴,∴m=①当直线l的斜率不存在时,,,则•=﹣,∴∴m=或m=②由①②可得m=.下面证明m=时,恒成立当直线l的斜率为0时,结论成立;当直线l的斜率不为0时,设直线l的方程为x=ty+1,A(x1,y1),B(x2,y2)直线方程代入椭圆方程,整理可得(t2+2)y2+2ty﹣1=0,∴y1+y2=﹣,y1y2=﹣∴=(x1﹣,y1)•(x2﹣,y2)=(ty1﹣)(ty2﹣)+y1y2=(t2+1)y1y2﹣t(y1+y2)+=+=﹣综上,x轴上存在点Q(,0),使得恒成立.20. 【解析】(Ⅰ)解:∵f(x)=e x+ln(x+1),∴,则f'(0)=2又f(0)=e0+ln1=1∴函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为:y﹣f(0)=f'(0)x,即函数y=f(x)图象在点(0,f(0))处的切线方程为y=2x+1;(Ⅱ)证明:当a≤2时,则2﹣a≥0…①令g(x)=f(x)﹣ax﹣1,则令φ(x)=e x﹣x﹣1(x∈R),则φ'(x)=e x﹣1(x∈R),由φ'(x)=0,得x=0当x≤0时,e x≤1,即e x﹣1≤0;当x>0时,e x>1,即e x﹣1>0∴函数φ(x)=e x﹣x﹣1在(﹣∞,0]为减函数,在(0,+∞)为增函数∴φ(x)min=φ(0)=0,即φ(x)≥0∴对∀x∈R,都有e x≥x+1故当x≥0时,x+1>0,∴,∴g'(x)≥0,∴若a≤2,函数y=g(x),在[0,+∞)为增函数,∴当x≥0时,g(x)≥g(0)=0∴当a≤2时,x≥0,有f(x)≥ax+1成立.。

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