勾股数的规律

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所谓勾股数，就是当组成一个直角三角形的三边长都 为正整数时，我们就称这一组数为勾股数

那么，组成一组勾股数的三个正整数之间， 是否具有一定的规律 可寻呢？下面我们一起来观察几组勾股数：

规律一：在勾股数(3, 4, 5)、( 5，12，13)、( 7,

24, 25)( 9, 40，41)中，我们发现

由(3, 4, 5)有：

3 2=9=4+5 由(5, 12, 13)有：

5 =25=12+13 由(7, 24, 25)有：

7 =49=24+25 由(9, 40, 41)有： 92=81=40+41.

即在一组勾股数中，当最小边为奇数时，它的平方刚好 等于

另外两个连续的正整数之和。 因此，我们把它推广到一般，从而 可得出以下公式：

2 2 2 2

•••(2n+1) =4n+4n+仁(2n +2n ) + (2n+2n+1)

2 2 2 2 2

•••(2n+1) + (2n+2n ) = (2n+2n+1)

(n 为正整数) 勾股数公式一：(2n+1, 2n 2+2n , 2n 2+2n+1)(n 为正整数) 等于两个连续整数之和的二倍，推广到一般，从而可得出另一公式：

2 2 2 2

•••(2n ) =4n =2[ (n-1 ) + (n+1)]

•••(2n ) + (n-1 ) = (n +1) (n 》2 且 n 为正整数)

勾股数公式二：(2n , n 2-1 , n 2+1)( n 》2且n 为正整 数)

禾U 用以上两个公式，我们可以快速写出各组勾股数。

规律二：在勾股数(6, 8, 26)中，我们发现 由(6, 8, 10)有： 由(8, 15, 17)有： 由(10, 24, 26)有： 即在

一组勾股数中, 10)、( 8, 15, 17)、( 10, 24,

2 6 =36=2X( 8+10)

82=64=2X( 15+17)

2 10 =100=2X( 24+26) 当最小边为偶数时，它的平方刚好