数学分析8-5隐函数求导

∂ 2z . ∂x 2
解1 则
令
F ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 − 4 z, ∂z F x =− x = , ∂x Fz 2 − z
′ = 2 x , Fz′ = 2 z − 4, Fx
( e x − y′ ) (cos y − x ) − (e x − y ) ( − sin y ⋅ y′ − 1) x = 0 ( cos y − x ) 2 y=0 y′ = −1 = −3 =−
一、一个方程，一元函数的情形
F ( x , y) = 0 定理1. 设函数 F ( x , y ) 在点 P ( x0 , y0 )的某一邻域内满足 ① 具有连续的偏导数;
② F ( x0 , y0 ) = 0 ; ③ Fy′( x0 , y0 ) ≠ 0 则方程 F ( x , y ) = 0 在点 x0 的某邻域内可唯一确定一个 单值连续函数 y = f(x) , 满足条件 y0 = f ( x0 ) , 并有连续 导数 dy F′ =− x dx Fy′ (隐函数求导公式)
解出
∂z F ′ ( x, y) =− x ∂x Fz′( x , y )
∂F ∂ F ∂z + ⋅ =0 ∂x ∂z ∂x
两边对 y求偏导数 , 得到
解出 F ′ ( x, y ) ∂z =− y ∂y Fz′( x , y )
∂F ∂ F ∂z + ⋅ =0 ∂y ∂ z ∂ y
sin y + e x − x y − 1 = 0
2 2 2 例3. 设 x + y + z − 4 z = 0 , 求
解2
利用隐函数求导 ∂z ∂z 2 x + 2z −4 =0 ∂x ∂x 再对 x 求导
∂2z . ∂x2 ∂z x = ∂ x 2− z
2 + 2(
∂ 2z ∂ 2z ∂z 2 ) + 2z 2 − 4 2 = 0 ∂x ∂x ∂x ∂z 1 + ( )2 2 2 ∂2z ∂ x = (2 − z ) + x = 2 3 ∂x 2− z (2 − z)
x y F ( , ) = 0, 例7. 设F( x , y)具有连续偏导数已知方程 , z z 求 dz .
解 利用偏导数公式. 设 z = f ( x , y ) 是由方程 x y F ( , ) = 0 确定的隐函数,则 z z F1′⋅ 1 z z F1′ ∂z = =− x x F1′ + y F2′ ∂x F1′ ⋅ ( − z )+ F2′ ⋅ ( − zy )
2 2
在(0,1)附近时, 能唯一确定隐函数 ; 在(1,0) 附近时 , 不能唯一确定隐函数 ; 问题 :
Fy′ ( 0,1) = 2 ≠ 0,
满足什麽条件 , 方程 F ( x , y ) = 0 能确定 y是 x的函数呢？隐函数的可 导性？
依定理知方程 x + y − 1 = 0 在点(0,1)的某邻域 内能唯一确定一个可导、且 x = 0时 y = 1的函数 y = f ( x )．
(1)式两边再对 x求偏导数 , 得
′ z ′ 2 z ′′ (−y)2e−xy − 2z′ xx + e ⋅ (zx ) + e ⋅ zxx = 0 (2)
′ =− 解出 z′ xx y 2e− xy[e − xy ⋅ e z + (e z − 2)2 ] (e z − 2)3
(e z − 2 ≠ 0)
[ 例5 ] 设 F ( x − y , y − z ) = 0 , 求
∂z ∂z , . ∂x ∂ y
[ 公式的证明 ]
第 五节 隐函数求导
设F ( x , y ) = 0 确定隐函数 y = f ( x ),
F ( x , f ( x )) = 0
两边对 x求导数 , 得到
∂F ∂F dy + ⋅ =0 ∂x ∂y dx F ′ ( x, y ) dy 解出 =− x dx F y′ ( x , y )
设 z = f ( x , y ) 是方程 F ( x , y , z ) = 0 所确定的隐函数 , F ( x, y , f ( x , y ) ) ≡ 0
两边对 x 求偏导数 , 得到
① Fx′ = e x − y , Fy′ = cos y − x 连续 , ② F (0,0) = 0 , ③ Fy′(0,0) = 1 ≠ 0 由 定理1 可知 , 在 x = 0 的某邻域内方程存在单值可 导的隐函数 y = f ( x ) , 且
函数的一阶和二阶导数为
x dy F′ =− x =− , y dx Fy′ dy = 0, dx x = 0
d2y y − xy′ =− 2 = − dx y2
d2y = −1. dx 2 x = 0
y − x − y2
x y
=−
1 , y3
定理证明从略，仅就求导公式推导如下：
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ex − y dy F′ =− =− x cos y − x x = 0, y = 0 = −1 Fy′ x = 0 dx x = 0
d2 y dx2 x = 0 =− d ex − y ( ) d x cos y − x x = 0, y = 0, y′ = −1
例3
设 x 2 + y 2 + z 2 − 4 z = 0 ，求
[ 公式的证明 ]
例2. 验证方程 sin y + e − x y − 1 = 0 在点 (0,0)某邻域
x
可确定一个单值可导隐函数 y = f ( x) , 并求
dy d2 y , dx x = 0 dx2 x = 0
x 解: 令 F ( x , y ) = sin y + e − x y − 1 , 则
例1, 方程
x2 +
y +C = 0
当 C < 0 时, 能唯一确定隐函数 ; 当 C > 0 时, 不能确定隐函数 ; 例2, 方程 x2 + y2 = 1
例１ 验证方程 x 2 + y 2 − 1 = 0在点 (0,1)的某邻 域内能唯一确定一个可导、且 x = 0时 y = 1的隐 函数 y = f ( x )，并求这函数的一阶和二阶导 数在 x = 0的值 . 解 令 F ( x, y) = x 2 + y 2 − 1 ′ = 2 x , F y′ = 2 y , 则 Fx F (0,1) = 0,
[注意 ] : 在解法一中 ,当我们在方程两边对 x 或对 y求偏导数时 , 要将 z看成是 ( x , y ) 的二元函数 ; 在解法二中 ,当我们求三个偏导数 F x′ ( x , y , z ), F y′ ( x , y , z ), F z′( x , y , z )时 , 是 将 x , y , z 看成独立的自变量 .
x ∂z ∂ 2 z ( 2 − z ) + x ∂x ( 2 − z ) + x ⋅ 2 − z = = ∂x 2 ( 2 − z )2 (2 − z )2
= (2 − z )2 + x 2 . ( 2 − z )3
导数的另一求法 — 利用隐函数求导 sin y + e x − x y − 1 = 0, y = y( x ) y′ x=0 两边对 x 求导 ex − y =− cos y ⋅ y′ + e x − y − x y′ = 0 cos y − x ( 0,0) 两边再对 x 求导 = −1 − sin y ⋅ ( y′ )2 + cos y ⋅ y′′ + e x − y′ − y′ − x y′′ = 0 令 x = 0 , 注意此时 y = 0 , y′ = −1 d2 y = −3 dx2 x = 0
证套注 明用意 公公 式式 的；做 方也题 法可时 隐 以， 函 利可 数 求 用以 导 这直 种接
[ ]
回忆：在一元函数微分
2 2
学中 , 我们是 呢？
注记 (1) 此定理的条件是充分条 件不是必要条件 例如： y 3 − x = 0 ( 2) 若第三个条件改动为 则可确定函数 x = ϕ ( y ) ∂F ( x0 , y0 ) ≠ 0 ∂x
∂z ∂z ′′ ⋅ x ] + ) + F13 ∂y ∂y
′ = z′xx
∂ ye − xy ( ) ∂x e z − 2
∂z ∂z ∂z ′′ ⋅ x + F32 ′′ (1 + ) + F33 ′′ ⋅ x ] + F3′ + z[ F31 ∂y y ∂ y ∂ ∂2z + ( F2′ + xF3′) ∂x∂y ∂z ∂z ′′ ⋅ x + F22 ′′ (1 + ) + F23 ′′ ⋅ x [ F21 ∂y ∂y ∂z ∂z ∂z ′′ ⋅ x + F32 ′′ (1 + ) + F33 ′′ ⋅ x ] = 0 + x F31 y y ∂x ∂ ∂
二、一个方程，二元 = 0
隐函数存在定理 2 设函数F ( x, y, z) 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内满足： (1) 有连续的偏导数， (2) F ( x0 , y0 , z0 ) = 0 ， (3) Fz′( x0 , y0 , z0 ) ≠ 0 ， 则方程 F ( x, y, z) = 0 在点 P( x0 , y0 , z0 ) 的某一邻域内恒 能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f ( x, y) ，它满足条件 z0 = f ( x0 , y0 ) ， F′ ∂z F′ ∂z = − x， = − y. 并有 ′ ∂x Fz ∂y Fz′