2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
高数_数学极限总结
高数_数学极限总结
数学极限旨在研究一个变量值接近但未达到一个特定数值时整个表达式的行为。
在极
限理论中，经常被称为“触及极限”(tending to limit)。
极限有两种类型：极限和无穷大。
极限是指表达式越来越接近某个特定的数值的状态，而无穷大则表示表达式几乎接近于一个特定的无限大的数值。
求极限的各种方法:
原函数法：根据变量趋向特定值时函数展开时形成的多项式推导其极限值。
变量迭代法：针对变量求值，当自变量变化时，函数值变化相同。
导数法：根据定义对变量取导数，把导数置零，得到方程和变量取值。
分母重置法：当表达式中存在分式且分母可变，则把它变为分母的重置形式，来求极限。
泰勒公式法：利用泰勒公式求函数展开式的极限。
洛必达斯平方和定理法：用变量求和，然后把求和结果代入平方和定理，求解方程，
进而求极限的值。
三角函数法：利用三角函数的展开式，求三角函数的极限值。
极限也可以作为形函数理论的有用工具，比如求最大值和最小值、极限点、局部极小
点和全局极小点。
极限还可以用于分析函数不可导性、曲线不可娶群及曲线是否对称等问题。
极限在数学中运用广泛，它常常可以把复杂的问题变得容易理解；它也可以解决无法
用解析的方法解决的问题。
极限的概念也可以帮助我们更清晰的理解经典数学中的很多概念，比如微分、积分等。
极限概念知识点总结
极限概念知识点总结一、极限的基本概念1.1 极限的引入极限的概念最早是在微积分的发展过程中被引入的。
当人们试图解决一些问题时，发现需要对一些数列、函数、变量等的趋势进行描述和分析。
例如，当我们用一个数列的前几项来逼近某个数时，我们希望能够明确当数列的项数趋于无穷时，该数列是否真的能够逼近这个数；再如，当我们试图分析一个函数在某一点的性质时，我们也会遇到极限的概念。
因此，为了能够更加准确地描述数学对象在某个方面的性质，人们引入了极限的概念。
1.2 极限的定义数列的极限是极限的最基本形式之一。
对于一个数列{an}，当n趋于无穷时，如果an可以无限地地接近某个确定的数a，则称a为数列{an}的极限，记作lim（n→∞）an=a。
这个定义也可以推广到函数的极限、变量的极限等其他情形，如对于函数f(x)，当x趋于某一点c时，如果f(x)可以无限地地接近某个确定的数L，则称L为函数f(x)当x→c时的极限，记作lim（x→c）f(x)=L。
这就是极限的基本定义形式。
1.3 极限的性质极限具有一系列重要的性质，在实际应用中，这些性质被广泛地用于求解各种问题。
以下是一些极限的基本性质：1）唯一性：如果数列an有极限a，则这个极限是唯一的。
也就是说，一个数列只能有一个极限。
类似地，函数f(x)当x→c时的极限也是唯一的。
2）保号性：如果数列an的极限a>0（或a<0），则对于充分大的n，an>0（或an<0）。
3）夹逼准则：如果数列{an}、{bn}和{cn}满足an≤bn≤cn，且lim（n→∞）an=lim（n→∞）cn=a，那么必有lim（n→∞）bn=a。
这个性质在确定一些数列的极限时常常会被用到。
4）四则运算法则：如果lim（n→∞）an=a，lim（n→∞）bn=b，那么有lim（n→∞）（an±bn）=a±b，lim（n→∞）（an×bn）=a×b，lim（n→∞）（an÷bn）=a÷b（b≠0）。
有关极限知识点总结
有关极限知识点总结一、极限的概念1.1 极限的定义在微积分中，我们通常用极限来描述函数在某一点附近的行为。
如果一个函数f(x)在x趋向于a的过程中，当x足够接近a时，f(x)的取值也趋向于一个确定的常数L，那么我们就说f(x)在x趋向于a时的极限存在，记作lim(x→a)f(x)=L。
这个定义还可以用符号ε和δ来表达，即对任意给定的ε>0，都存在一个δ>0，使得当0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε成立。
1.2 极限的几何意义极限可以理解为函数在某一点附近的局部平均值。
当x趋向于a时，函数f(x)在a点的极限就是当x趋近a时，f(x)对应的y值所形成的一个集合，而这个集合的平均值即为该点的极限值。
这也可以理解为函数在某一点附近的近似值，通过这个近似值，我们可以更好地了解函数在该点的行为。
1.3 极限的存在性极限并不是所有函数都存在的，有些函数在某些点处可能不存在极限。
一般来说，函数在某一点处的极限是否存在取决于该点的邻域内函数的性质和变化规律。
我们需要通过一些定理和性质来判断函数在某一点的极限是否存在。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x趋向于a时的极限存在且是唯一的，那么这个极限值是确定的，记作lim(x→a)f(x)=L。
这说明函数在某一点的极限只可能有一个值，如果存在多个值，则说明函数在该点的极限不存在。
2.2 极限的局部性极限具有局部性的特点，即函数在某一点的极限与该点的邻域内的函数值相关。
当x趋向于a时，函数f(x)的极限值只与a点邻域内的函数值有关，与该点的邻域外的函数值无关。
这也说明了极限可以通过邻域内的近似值来确定。
2.3 极限的分段性如果一个函数可以分成若干个区间，每个区间内函数的极限存在且是确定的，那么这个函数在整个定义域内的极限也是存在的。
这说明了极限的存在性与区间的分割是有密切关系的，通过区间的极限可以得到整个函数的极限。
极限的公式总结
极限的公式总结极限是高等数学中的重要概念，它在数学、物理和工程等领域中都有着广泛的应用。
极限的公式可以帮助我们求解一些复杂的问题和优化计算。
在本文中，我们将总结一些常见的极限公式，包括函数极限、无穷极限和级数极限等。
一、函数极限公式1. 一次函数极限：若 f(x) = ax + b（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a+b。
2. 二次函数极限：若 f(x) = ax² + bx + c（a≠0），则当x→a 时，f(x) 的极限为f(a)=a*a²+b*a+c。
3. 幂函数极限：若 f(x) = x^a（a为实数），则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若 a > 0，则极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的正负；- 若 a = 0，则极限为 1；- 若 a < 0，则极限为 0。
4. 指数函数极限：α 为常数，若f(x) = α^x，则当x→∞ 或x→-∞ 时，f(x) 的极限为：- 若α > 1，则极限为∞ 或 0，具体取决于 x 的正负；- 若0 < α < 1，则极限为 0 或∞，具体取决于 x 的正负； - 若α = 1，则极限为 1。
5. 对数函数极限：若f(x) = logₐ(x)（a>0 且a≠1），则当x→0 或x→∞ 时，f(x) 的极限为：- 当 a > 1 时，极限为 -∞ 或∞，具体取决于 x 的趋势；- 当 0 < a < 1 时，极限为∞ 或 -∞，具体取决于 x 的趋势。
6. 三角函数极限：- sin(x) 的极限为 1，当x→0 时；- cos(x) 的极限为 1，当x→0 时；- tan(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(nπ/2)(n为整数) 时；- cot(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时；- sec(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→(2n+1)(π/2)(n为整数) 时； - csc(x) 的极限为∞ 或 -∞，当x→nπ(n为整数) 时。
数学极限公式知识点总结
数学极限公式知识点总结极限的数学定义是非常严格和精确的，它可以在多种情况下应用，比如在求导和积分中。
极限是微积分基本概念之一，也是微积分的核心内容之一。
所以，掌握极限的概念和计算方法对于学习微积分课程非常重要。
下面我将对极限的基本概念、常见的极限计算方法以及一些常见的极限公式进行总结和归纳，希望对大家学习极限有所帮助。
一、极限的基本概念1. 自变量趋于无穷大时的极限当自变量趋于无穷大时，函数的极限情况是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用一些方法来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用夹逼定理来求解自变量趋于无穷大时函数的极限值。
2. 自变量趋于有限数值时的极限当自变量趋于有限数值时，函数的极限情况也是我们经常遇到的一种情况。
在这种情况下，我们可以利用函数的特性来求解函数的极限。
比如，可以利用函数的连续性和可导性来求解函数的极限值。
在计算自变量趋于有限数值时函数的极限值时，我们通常使用洛必达法则，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用泰勒展开式和极坐标系等方法来求解自变量趋于有限数值时函数的极限值。
3. 无穷小量与极限无穷小量是微积分中一个非常重要的概念，它是用来描述函数在某一点附近的行为的。
在数学中，无穷小量是指在某一点附近（通常是无穷小范围内）取得非常小的值的变量。
无穷小量可以用来描述函数在某一点附近的变化情况，也可以用来求解函数的极限值。
在计算函数的极限值时，我们通常使用无穷小量的代换法，可以将函数化简成一个易于求解的形式。
此外，我们还可以利用函数的单调性和有界性来求解函数的极限值。
二、常见的极限计算方法1. 无穷大与无穷小的比较法在计算自变量趋于无穷大时函数的极限值时，我们可以利用无穷大与无穷小的比较法来求解。
高数上极限知识点总结
高数上极限知识点总结
高数上极限是一门比较重要的学科，本文将对极限学科的知识点进行总结。
极限的定义：定义极限的本质是无限，极限的定义为某个函数的值，当函数的变量的值趋
于某一特定的值时，函数的值也趋于一个特定的值，此时称该特定的值为函数的极限。
求极限的方法：
（1）指定极限法：采用指定极限法时，必须先观察函数f（x）在x趋近某一特定值c时，函数f（x）的变化趋势，即当夹着c来看时，函数f（x）是否以c为界限，左易右难或右
易左难，亦或有任何其他的趋势。
（2）量化极限法：在量化极限法中，将函数的表达式改写为形如分母项加1的形式，然
后用幂级数来对其进行展开，再将n无限次方相邻项折叠出，可以把极限证明问题，转换
成求解一系列多项式极限问题，进而求解待证明函数极限。
（3）唯一有理极限法：当等式中存在分子分母中各有两个不同幂次或以上的多项式，而
又这两者有共同的系数幂次时，就可以利用唯一有理极限法来求解该多项式的极限。
以上是极限学科的知识点的总结，其中的概念和方法的应用非常重要，是高数的重要组成
部分。
为高数的学习和理解提供了重要的基础，希望学生们能够仔细学习，把握极限的知识点，加深认识，从而充分发挥函数在高数中的重要作用。
高数数学极限总结资料
高数数学极限总结资料一、定义：极限（limit）是高等数学中一个重要的概念，不管在何时何地，几乎所有的数学定理和实际应用中，都离不开极限的概念，极限的概念的出现，使得很多以前被认为无解的数学问题，得以有效解决。
二、速率极限：速率极限（Rate of Change Limit）是讨论函数变化率（rate of change）时使用的概念。
它指的是一个函数当它处于极限状态时，其变化率（rate of change）会几乎接近于零。
可以说，函数的某个点处的变化率越接近零，则函数处于越接近极限的状态。
速率极限是解决常微分方程的关键，可帮助理解函数的变化率是如何随着自变量的变化而变化的。
三、双边极限：双边极限是在一个定义域中植入一个“小数字”，使得函数趋近某个可观察值。
双边极限定义了曲线就在“极限值”上，即曲线非常接近这一“极限值”。
双边极限可以用来判断函数是否连续，可以用来判断两个函数是否相等、是否存在封闭集等。
双边极限也是解决无穷积分问题的关键。
四、无穷大极限：无穷大极限（infinity limit）是当函数在某一方向上的取值不断增加时，函数的值会几乎趋近于正无穷大或负无穷大，也可以把无穷大极限看做是一个函数在相应方向上的“极限值”。
无穷大极限的发现，使得很多以前无法解决的极大（或极小）量问题得以解决，是极限理论及应用取得巨大成就的基础。
五、极限定理：极限定理(Limit Theorem)是数学分析中，极限理论的更深层次的一个定义。
它是指当一个数序中的每一项都趋近于某个数时，其和也会趋近于这个数。
极限定理的宗旨是使数位的总和趋近于一数值，从而使所有数都趋近于此数值。
在微积分中，极限定理对许多定理，如泰勒公式、极大值定理等初步思想，均有重要作用。
考研数学知识点复习：极限中的“极限”
考研数学知识点复习：极限中的“极限”说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，可以出选择题也可以出填空题，更可以出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极限的形式给出的。
下面，我们就看看极限在基础阶段到底应该掌握到什么程度。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，最好记住其定义。
第二，极限的性质。
唯一性，有界性，保号性和保不等式性要理解，重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在做题目的时候可以看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，可以根据这个数值大于零或小于零，像这样的情况，就可以写出这一点的导数定义，利用极限的保号性，得出相应的结论，切记要根据题目要求来判断是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这一部分是重中之重，这也是三大计算中的第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷形式的，分别抓分子和分母的最高次计算结果即可)，等价无穷小替换中要掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则可以利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
极限中的知识点总结
极限中的知识点总结一、极限的概念1.1 数列的极限数列的极限是极限的最初形式，它描述了当n趋于无穷大时，数列的项趋于的稳定状态。
数列的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正整数N，当n＞N时，|an−a|＜ε。
其中，an表示数列第n个项，a表示数列的极限值。
1.2 函数的极限对于函数f(x)，当自变量x趋于某一点a时，函数值f(x)的稳定状态即称为函数的极限。
函数的极限定义为：对于任意小的正数ε，存在正数δ，当0＜|x−a|＜δ时，|f(x)−L|＜ε。
其中，L表示函数的极限值。
二、极限的性质极限具有一些重要的性质，它们对于求解极限问题有着重要的指导意义。
2.1 极限的唯一性对于同一个数列或函数，它的极限值是唯一的。
即使通过不同的方法计算出的极限值可能不同，但是只要满足极限定义，它们最终得到的极限值将是相同的。
2.2 极限的保序性如果数列或函数f(x)的极限存在且为L，那么对于任意小于L的数K1,必存在常数N1，对于数列的每一项an（n>N1）有an＜K1；对于任意大于L的数K2，必存在常数N2，对于数列的每一项an（n>N2）有an＞K2。
同样，对于函数的定义域中的任意点x，当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＜L+ε，并且当0＜|x−a|＜δ时，有f(x)＞L−ε。
2.3 数列的基本性质如果数列的极限存在，那么数列一定是有界的。
另外，如果数列的两个子数列有相同的极限，那么它们的极限值一定相等。
2.4 函数的基本性质函数的极限有以下一些基本性质：加法性、减法性、乘法性、除法性、乘以常数性、逆序性、夹逼定理。
三、极限的计算方法求解极限的过程需要掌握一些常用的计算方法。
3.1 数列极限的计算方法数列的极限计算方法主要有以下几种：常数法、相加减法、相乘法、相除法、复合法、递推法、对数法、不等式法等。
3.2 函数极限的计算方法函数的极限计算方法主要有以下几种：代入法、夹逼法、等价无穷小代换法、洛必达法则、泰勒展开、变量代换法等。
(完整版)高数一知识点
第一章~~第三章一、极限数列极限lim n n x ->∞函数极限lim ()x f x ->∞，lim ()x f x →+∞，lim ()x f x →-∞lim ()x x f x ->，0lim ()x x f x -->，0lim ()x x f x +->求极限（主要方法）：（１）100sin 1lim1,lim(1),lim(1)x xx x x xe x e x x->->∞->=+=+=（２）等价无穷小替换（P76）。
当()0x ϕ→时，代换时要注意，只有乘积因子才可以代换。
（3）洛必达法则（000,,0,,0,1,0∞∞⋅∞∞-∞∞∞），只有0,0∞∞可以直接用罗比达法则。
幂指函数求极限：()lim ()ln ()lim ()v x v x u x u x e =；或，令()()v x y u x =，两边取对数ln ()ln ()y v x u x =，若lim ()ln ()v x u x a =，则()lim ()v x a u x e =。
结合变上限函数求极限。
二、连续 00lim ()()x x f x f x ->=左、右连续 000lim ()(),lim ()()x x x x f x f x f x f x -+->->==函数连续⇔函数既左连续又右连续闭区间上连续函数性质：最值，有界，零点（结合证明题），介值，推论。
三、导数 0000000()()()()'()limlim x x x f x f x f x x f x f x x x x->->-+-==-V V V 左导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x---->->-+-==-V V V右导数 0000000()()()()'()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x+++->->-+-==-V V V 微分 ()'y A x z dy Adx y dx ο∆=⋅∆+==可导⇒连续 可导⇔可微 可导⇔既左可导又右可导求导数：（１） 复合函数链式法则[]()'[]'()dy dy du y f u u g x f u g x dx du dx====[()]''[()]'()'[()]([()])'y f g x y f g x g x f g x f g x ==≠（２） 隐函数求导法则两边对x 求导，注意y 、y '是x 的函数。
2020考研数学高数必背定理：函数与极限
2020考研数学高数必背定理：函数与极限数学想要获得高分，必要的公式与定理务必记熟，为了方便广大考研学子能够更加系统的复习，以下是小编为大家准备的“2020考研数学高数必背定理：函数与极限”，大家一起来看看吧！2020考研数学高数必背定理：函数与极限以下是2020考研数学高数必背定理：函数与极限的具体内容：►函数与极限1、函数的有界性在定义域内有f（x）≥K1则函数f（x）在定义域上有下界，K1为下界；如果有f（x）≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f（x）在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定理（极限的唯一性）数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理（收敛数列与其子数列的关系）如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，（-1）n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限函数极限的定义中定理（极限的局部保号性）如果lim（x→x0）时f（x）=A，而且A>0（或A0（或f（x）>0），反之也成立。
函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f（x0-0）=f（x0+0），若不相等则limf（x）不存在。
一般的说，如果lim（x→∞）f（x）=c，则直线y=c是函数y=f （x）的图形水平渐近线。
如果lim（x→x0）f（x）=∞，则直线x=x0是函数y=f（x）图形的铅直渐近线。
2020考研数学高等数学基础讲义02极限部分-1
x→+
−
例5 当a
=
____, b
=
____ 时,有lim x→
ax + 2 x bx − x
arctan
x
=
− 2
.
总结 : 需要分别考察左右极限的情形有（即何时使用定理1与定理2）
（1）分段函数的分段点处（包含带有绝对值的情形）；如lim sin x ； x→0 x
（2）e型
1
1
e+ → +, e− → 0；如lim e x和lim e x−1；
x→0
x→1
（3）arctan 型 arctan (+) = , arctan (−) = − ；如lim arctan 1 和lim arctan 1 .
2
2
x→0
x x→1
x −1
例6
当x
→
1时,函数
0）.
注
: 如果 lim x → x0
f
(x)
=
a
（b 或 b）,那么当x
→
x0时,f
(x)
（b b）.
例1 设f
(1)
=
0,
且
lim
x→1
(
f x
(
−
x) 1)3
=
2, 则f
( x)在x
= 1处 ____ .
( A)不取极值
( B)取极大值
(C )取极小值
( D)是否取极值无法确定
xn
=
a
( )C
若 lim n→
xn
=
a, 则 lim n→
x3n
=
lim
n→
极限重要知识点总结
极限重要知识点总结一、极限的定义1.1 函数的极限在数学中，函数的极限描述了当自变量趋于某一特定值时，函数的取值趋于的某一确切值。
数学上用符号“lim”表示函数的极限，具体定义如下：对于函数f(x)，当x趋于a时，如果存在一个确定的常数L，使得对于任意小的正数ε，总存在着另一个正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，就有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)在x趋于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
1.2 数列的极限除了函数的极限，数列的极限也是极限的一种特殊情况。
对于数列{an}，当n趋于无穷大时，如果存在一个确定的常数a，使得对于任意小的正数ε，总存在着自然数N，使得当n>N时，就有|an-a|<ε成立，那么就称数列{an}在n趋于无穷大时的极限为a，记作lim(n→∞)an=a。
1.3 极限的重要性极限对于微积分的发展具有非常重要的意义，它为导数和积分的定义提供了理论基础。
在实际问题中，极限也具有很高的应用价值，它可以帮助我们研究和描述诸如速度、加速度、概率等问题，因此对于学习微积分和实际问题的解决都具有非常重要的意义。
二、极限的性质2.1 极限的唯一性如果函数f(x)在x=a的极限存在，那么这个极限是唯一的。
这意味着在某一点的极限值是确定的，不会有多个不同的极限值。
2.2 极限的有界性如果函数f(x)在x=a的极限存在且有限，那么函数f(x)在x=a的某个邻域内是有界的。
在实际应用中，有界性可以帮助我们判断函数在某个点附近的变化规律。
2.3 极限的保号性如果函数f(x)在x=a的某个邻域内恒大于（或小于）一个有限数L，则函数f(x)在x=a的极限也恒大于（或小于）L。
这个性质在实际问题中也具有很高的应用价值，可以帮助我们快速判断函数在某一点附近的变化规律。
2.4 极限的四则运算法则如果函数f(x)和g(x)在x=a的极限分别存在，那么它们的和、差、积、商的极限也分别存在，并且有如下关系：lim(x→a)(f(x)±g(x))=lim(x→a)f(x)±lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)×g(x))=lim(x→a)f(x)×lim(x→a)g(x)，lim(x→a)(f(x)÷g(x))=lim(x→a)f(x)÷lim(x→a)g(x)（其中lim(x→a)g(x)≠0）。
2020考研数学复习：高数必考的38个知识点
2020考研数学复习：高数必考的38个知识点2020考研数学复习：高数必考的38个知识点一、函数极限连续1、正确理解函数的概念，了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性，理解复合函数、反函数及隐函数的概念。
2、理解极限的概念，理解函数左、右极限的概念以及极限存在与左右极限之间的关系。
掌握利用两个重要极限求极限的方法。
理解无穷小、无穷大以及无穷小阶的概念，会用等价无穷小求极限。
3、理解函数连续性的概念，会判别函数间断点的类型。
了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质（最.大值、最小值定理和介值定理），并会应用这些性质。
重点是数列极限与函数极限的概念，两个重要的极限：lim （sinx/x）=1，lim（1+1/x）=e，连续函数的概念及闭区间上连续函数的性质。
难点是分段函，复合函数，极限的概念及用定义证明极限的等式。
二、一元函数微分学1、理解导数和微分的概念，导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程，理解函数可导性与连续性之间的关系。
2、掌握导数的四则运算法则和一阶微分的形式不变性。
了解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数，分段函数的一阶、二阶导数。
会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数及反函数的导数。
3、理解并会用罗尔中值定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理。
4、理解函数极值的概念，掌握函数最.大值和最小值的求法及简单应用，会用导数判断函数的凹凸性和拐点，会求函数图形水平铅直和斜渐近线。
5、了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径及两曲线的交角。
6、掌握用罗必塔法则求未定式极限的方法，重点是导数和微分的概念，平面曲线的切线和法线方程函数的可导性与连续性之间的关系，一阶微分形式的不变性，分段函数的导数。
罗必塔法则函数的极值和最.大值、最小值的概念及其求法，函数的凹凸性判别和拐点的求法。
难点是复合函数的求导法则隐函数以及参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数的计算。
三、一元函数积分学1、理解原函数和不定积分和定积分的概念。
考研 高数 极限运算法则
0
( x →∞ )
0
那末 lim f ( x )存在, 且等于 A.
x → x0 ( x→∞ )
准则Ⅰ和准则Ⅰ`称为两边夹原理.
杨 树 文
*利用两边夹关键在于构造不等关系式
网 络 高 等 数 学 教 程
例
求 lim (
n→ ∞
1 n +1
2
+
1 n +2
2
+L+
1 n +n
2
).
1 1 n n < +L+ < , 解 Q 2 2 2 2 n +n n +1 n +n n +1
则 lim f ( g ( x)) = lim f (lim g ( x)) = A
x →a u →b x→a x →a u →b
例： limsin(sin x)) = limsin x = 0
x →0 x →0
幂指函数的极限运算
f ( x) → A > 0, g ( x) → B, 则f ( x) g ( x ) → AB
无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分 子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.
杨 树 文
网 络 高 等 数 学 教 程
例5 解
1 2 n 求 lim ( 2 + 2 + L + 2 ). n→ ∞ n n n
n → ∞时, 是无穷小之和． 先变形再求极限.
1 2 n 1+ 2 +L+ n lim ( 2 + 2 + L + 2 ) = lim 2 n→ ∞ n n→ ∞ n n n
高等数学极限知识点
高等数学极限知识点
极限是高等数学中一个重要的概念，极限是某个函数值在某一点趋近某个值时所取得的结果。
比如说，当x在y方向上无限接近z时，f(x)就会趋于某个值，这就是极限。
这个概念有几个重要的组成部分：一、limit point（极限点）：极限点是函数f(x)的极限值的取值范围；二、limit value（极限值）：极限点就是在极限点处函数f(x)取得的值；三、extended sets（极限集）：极限集就是由极限点及其周围函数f(x)取值所组成的集合。
极限的求解通常采用两种方式：第一种是初等的极限法，即利用函数的基本性质，极限的求解转化为求其他函数极限的问题；第二种是进阶的极限法，即采用数学归纳法，通过观察函数的微分性质来求解极限问题。
总而言之，极限是高等数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点趋近某个值时所取得的结果，有初等和进阶两种求解极限的方法，是高等数学研究的重要基础。
极限知识点文字总结
极限知识点文字总结1. 无穷小和无穷大无穷小是指当自变量趋向某个数值时，函数趋于零，但又不等于零的量。
通常用小o来表示。
例如当x趋于0时，f(x)=o(x)表示f(x)是x的一个无穷小。
而无穷大则是指当自变量趋向某个数值时，函数的绝对值趋于无穷大的量。
通常用大O来表示。
例如当x趋于无穷大时，f(x)=O(x)表示f(x)是x的一个无穷大。
2. 极限存在的条件当我们讨论一个函数的极限时，我们需要考虑一些条件，以确定这个极限是否存在。
常见的有两个条件：（1）极限是否有限如果一个函数f(x)使得当x趋于某个数a时，f(x)的值趋于一个有限的值L，即lim(x→a)f(x)=L，那么我们说这个函数在x趋于a时有极限，并且极限存在。
（2）极限是否唯一如果函数f(x)在x趋于某个数a时有极限，那么这个极限必须唯一，即对于同一个函数f(x)，当x趋于a时只能有一个极限值。
3. 基本的极限运算法则在计算极限的过程中，我们经常会用到一些基本的运算法则来简化计算。
这些法则包括：（1）常数函数的极限lim(x→a)c=c，其中c是一个常数。
（2）多项式函数的极限lim(x→a)(x^n)=a^n，其中n是一个正整数。
（3）三角函数的极限lim(x→a)sinx=sin(a)，lim(x→a)cosx=cos(a)。
（4）指数函数和对数函数的极限lim(x→a)e^x=e^a，lim(x→a)lnx=lna。
（5）极限的加法法则lim(x→a)(f(x)+g(x))=lim(x→a)f(x)+lim(x→a)g(x)，同样适用于减法。
（6）极限的乘法法则lim(x→a)(f(x)g(x))=lim(x→a)f(x)·lim(x→a)g(x)，同样适用于除法。
（7）复合函数的极限如果lim(x→a)g(x)=b，而lim(x→b)f(x)=L，那么lim(x→a)f(g(x))=L。
4. 极限的存在性的判断如果一个函数f(x)在x趋于a时极限存在，那么我们需要判断这个极限是否有限，同时还需要判断它在x趋于a时的左右极限是否相等。
2020考研数学高等数学基础讲义02 极限部分-2
考点：无穷小与无穷大1.无穷小的定义()()0000,,f x x x f x x x x x x x x +→→→→→∞如果在时极限为零,那么称为时的无穷小,当然,这里的可以是其他情形如等.定义1 23（1）有限个无穷小的和仍是无穷小；（）有限个无穷小的积仍是无穷小；（）有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小.注:()()lim ,.f x A f x A αα=⇔=+其中是无穷小定理1(无穷小与极限的关系）()323112007lim sin cos ____.2x x x x x x x →+∞+++=⎡⎤⎣⎦+例（数三）2.无穷小的比较lim 0,lim 0,0lim 0,2lim 0,3lim 1,4lim 0,.k o c c k αβαββαβααββααββααβαββαα==≠===≠==≠设且（1）若则称是比的高阶无穷小,记为（）；（）若则称与是同阶无穷小；（）若则称与是等阶无穷小,记为；（）若则称是的阶无穷小12,3,,.αααββααββγαγ等价无穷小具有以下性质（）（自反性）；（）（对称性）若则；（）（传递性）若则注:()()()()()()()()()()()()()222232235235222,.0;2.x o x o x o x o x o x o x x o x o x o x o x o x o x o x →⎡⎤⎣⎦±=±=⋅=⋅==例判断下列等式是否正确并说明理由（）（1）；（2）（3）；（4）；（5）()()()()()()()()()3232,0.x x f x x A f x x B f x x C f x x D f x x =+−→⎡⎤⎣⎦例设则当时,有____与是等价无穷小与同价但非等价无穷小是比高阶的无穷小是比低阶的无穷小3.无穷大的定义()()()00,00,0,,M X x x x X x f x f x M f x x x x δδ>><−<>>→→∞如果对于任意给定的正数（不论它多么大）总存在（或）对适合（或）的一切对应的函数值总满足那么称是（或）时的无穷大.定义2ln !,,0, 1.n n n n n a n n a αβαβ→∞∀>>时,有其中注:()()()()(),,110,.f x f x f x f x f x ≠在自变量的同一变化过程中如果为无穷大那么为无穷小;反之,如果为无穷小,且那么为无穷大定理2(无穷小与无穷小的关系）4.无穷大与无界的关系()00.x x x x f x M x x x x →→∞⇒⎧>∀⎨→→∞⇒⎩要求或的一切这是无穷大对成立要求或的某一这是无界()114sin 0,10x x x+→⎡⎤⎣⎦例证明函数在内无界,但时这函数不是无穷大.()5cos ,y x x x =−∞+∞→+∞⎡⎤⎣⎦例函数在内是否有界？这函数是否为时的无穷大？考点:极限的四则运算法则()()()()()()()()()()()()()()()lim ,lim ,lim lim lim lim lim lim lim lim 0.lim f x A g x B f x g x f x g x A B f x g x f x g x A Bf x f x A Bg x g x B==±=±=±⎡⎤⎣⎦=⋅=⋅⎡⎤⎣⎦==≠如果那么数列对应有以上运算法则.定理1注:()()()()()()()()()()()()()()()()1,,1lim ,lim lim 2lim lim lim 3lim lim lim 4lim lim lim f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x f x g x ⎡⎤⎣⎦±⎡⎤⎣⎦±⎡⎤⎣⎦⋅⎡⎤⎣⎦⋅⎡⎤⎣⎦例下列陈述中哪些是对的哪些是错的？（）如果存在但不存在,那么不存在；（）如果和都不存在,那么不存在；（）如果存在,但不存在,那么不存在；（）如果和都不存在,那么不存在.32212lim .53x x x x →−⎡⎤⎣⎦−+例求)322323310334231lim 2lim .09753133lim 4lim .11x x x x x x x x x x x x x x →→∞→+∞→−∞++⎡⎤⎣⎦−∞+−⎛⎫⋅∞−∞−∞− ⎪−−⎝⎭例求（）（型）；（）（型）（）（0型）；（）（型）()()()()()()()()4:1lim ,lim 0,lim 0,2lim 0,lim 0,lim 0.f x Ag x f x g x f x A f x g x g x ===⎡⎤⎣⎦=≠==例证明（）若且则（）若且则考点:极限存在准则1.夹逼准则{}{}{}{}10,,2lim lim .lim .n n n n n n n n n n n n n x y z N n N x y z x z a y y a →∞→∞→∞∃>>≤≤===如果数列,,满足以下条件:（）从某项起,即当时有；（）则数列有极限,且函数对应有以上夹逼准则.注:01:lim 1.x x x +→⎡⎤=⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦例1证明222111:lim 1.2n n n n n n πππ→∞⎛⎫+++=⎡⎤ ⎪⎣⎦+++⎝⎭例2证明12,,,0.m n a a a ≥⎡⎤⎣⎦例3求其中2.单调有界准则{}{},lim ,lim n n n n n n x x x x →∞→∞若数列单调增加且有上界,则极限存在；若数列单调减少且有下界,则极限存在.函数对应有以上单调有界准则.注:{}11112,1,2,.2n n n n x x x n x x +⎛⎫==+=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭例4设（）,证明数列有极限{}11342,1,2,.1n n n nx x x n x x ++===⎡⎤⎣⎦+例5设（）,证明:数列有极限{}116,sin 1,2,,.n n n x x x n x π+<<==⎡⎤⎣⎦例设0（）证明:数列有极限。
极限相关的知识点总结
极限相关的知识点总结一、极限的定义在介绍极限的定义之前，我们先来看一个简单的实例：考虑函数$f(x) = 2x + 1$，当$x$接近于3时，$f(x)$的取值也会接近于$2 \times 3 + 1 = 7$。
这种“接近于”的性质就是极限的基本特征。
正式地说，如果当$x$趋近于某个数$a$时，函数$f(x)$的取值无限接近于某个常数$L$，我们就说函数$f(x)$在$x$趋近于$a$时的极限为$L$，记作$\lim\limits_{x \to a}f(x) = L$。
这个定义可以用下面的符号形式表达：对于任意正数$\varepsilon$，存在一个正数$\delta$，使得当$0<|x-a|<\delta$时，都有$|f(x)-L|<\varepsilon$成立。
二、极限的运算法则在计算极限的过程中，我们经常需要使用一些基本的运算法则。
这些法则包括极限的四则运算法则、复合函数的极限和反函数的极限等。
这里我们分别来介绍这些基本的运算法则。
1. 极限的四则运算法则设$\lim\limits_{x \to a} f(x) = A$，$\lim\limits_{x \to a} g(x) = B$，则有$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \pm g(x)] = A \pm B$，$\lim\limits_{x \to a} [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B$，$\lim\limits_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B}$，其中$B \neq 0$。
2. 复合函数的极限设$\lim\limits_{x \to a} g(x) = b$，$\lim\limits_{x \to b} f(x) = L$，则有 $\lim\limits_{x\to a} f[g(x)] = L$。
3. 反函数的极限如果函数$f(x)$在点$a$的邻域内有界且单调，且$\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$，则$f^{-1}(b) = a$。
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2020年考研高数知识点：极限中的“极限”
说到极限应该是我们三大计算中的第一大计算，每年考研真题必出，无论是数一数二数三还是经济类数学，能够出选择题也能够出填
空题，更能够出解答题，题目类型不同，分值也不同，4分或者10分，极限的思想也就更是重要之重了，原因就是后来所有的概念都是以极
限的形式给出的。
第一，极限的定义。
理解数列极限和函数极限的定义，记住其定义。
第二，极限的性质。
性，有界性，保号性和保不等式性要理解，
重点理解保号性和保不等式性，在考研真题里面经常考查，而性质的
本身并不难理解，关键是在做题目的时候怎么能想到，所以同学们在
做题目的时候能够看看什么情况下利用了极限的保号性，例如：题目
中有一点的导数大于零或者小于零，或者给定义数值，能够根据这个
数值大于零或小于零，像这样的情况，就能够写出这个点的导数定义，利用极限的保号性，得出相对应的结论，切记要根据题目要求来判断
是否需要，但首先要有这样的思路，希望同学们在做题时多去总结。
第三，极限的计算。
这个部分是重中之重，这也是三大计算中的
第一大计算，每年必考的题目，所以需要同学们能够熟练地掌握并会
计算不同类型的极限计算。
首先要知道基本的极限的计算方法，比如：四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、重要极限、单侧极限、夹
逼定理、单调有界收敛定理，除此之外还要泰勒展开，利用定积分定
义求极限。
其次还要掌握每一种极限计算的注意事项及拓展，比如：
四则运算中掌握“抓大头”思想(两个多项式商的极限，是无穷比无穷
形式的，分别抓分子和分母的次计算结果即可)，等价无穷小替换中要
掌握等价无穷小替换只能在乘除法中直接应用，加减法中不能直接应用，如需应用必须加附加条件，计算中要掌握基本的等价无穷小替换
公式和其推广及凑形式，进一步说就是第一要熟练掌握基本公式，第
二要知道怎么推广，也就是将等价无穷小替换公式中的x用f(x)来替
换，并且要验证在x趋于某一变化过程中f(x)会否趋近于零，满足则
能够利用推广后的等价无穷替换公式，否则不能。
下面给出推广后公式：f(x)→0,f(x)～sinf(x)～arcsinf(x)～
tanf(x)～arctanf(x)～expf(x)-1～ln(f(x)+1),1-cosf(x)～
0.5(f(x))2,(1+f(x))a～af(x)。
第三要能将变形的无穷小替换公式转化为标准形式，比如：公式
中固定出现的“1”和f(x)为无穷小量。
希望同学们在做题目的时候多加注意，熟能生巧。
极限的第三种方法就是洛必达法则。
首先，要想在极限中使用洛
必达法则就必须要满足洛必达法则，说到这里有很多同学会打个问号，什么法则，不就是上下同时求导?其实不尽然。
洛必达有两种，无穷比无穷，零比零，分趋近一点和趋近于无穷
两种情况，以趋近于一点来说明法则条件，
条件一：零比零或者无穷比无穷(0/0，∞/∞);条件二：趋近于这
个点的去心领域内可导，且分母导数不为零;条件三：分子导数比分母
导数的极限存有或者为无穷，则原极限等于导数比的极限。
在这里要注意极限计算中使用洛必达法则必须同时满足这三个条件，缺一不可，特别要注意条件三，导数比的极限一定是存有或者为
无穷，不能把无穷认为是极限不存有，因为极限不存有还包括极限不
存有也不为无穷这种情况，比如：x趋近于零，sin(1/x)的极限不存有也不为无穷。
每次使用都必须验证三条件是否同时满足。
再来看看重要极限，重要极限有两个，一个是x趋近于零时，
sinx/x趋近于零，另一个是x趋近于零时，(1+x)1/x趋近于e，或者
写成x趋近于无穷，(1+1/x)x趋近于e(1∞形式)，总结起来就是(1+
无穷小量)无穷小量的倒数，所以要记住重要极限的特点，并能够将其
推广，即把x换成f(x)，在f(x)趋近零，sinf(x)/f(x)趋近于零，
(1+f(x))1/f(x)趋近于e，或f(x)趋近无穷，(1+1/f(x))f(x)趋近于e，
还要注意当给你幂指函数的极限计算，先要判断他是不是1∞形式，如果是，就能够考虑利用重要极限解决，凑出相对应的形式就能够得出结论。
这里还要特别的提一下几个未定式(∞-∞，0·∞，1∞，00，
∞∞)，这五个未定式需要转化为0/0或∞/∞,其中∞-∞能够通过通分、提取或者代换将其转化，0·∞能够将0或者∞放在分母上，以实现转化，1∞，00，∞∞利用对数恒等变化来实现转化，其中1∞还能够利用重要极限计算。
综上所述，等价无穷小替换和重要极限要掌握基本公式和推广，能够将任意变形公式转化为标准形式，并且给定一个极限首要任务就是利用等价无穷替换公式化简。
洛必达法则处理七种未定式，灵活地将不同形式的极限转化为0/0或∞/∞，计算时注意满足洛必达法则的三个条件，希望同学们能够掌握基础，灵活地解决不同类型的极限。