§ 3.1 解的存在唯一性定理和逐步逼近法

L n ( ) n1 ( ) d
x0 x
MLn n!
n ML n n 1 ( x ) d ( x x ) 0 0 x0 (n 1)! x
于是，由数学归纳法得到：对于所有的正整数 k，有如下的估计:
MLk 1 k ( x) k 1 ( x) ( x x0 ) k k!
使得不等式
f ( x, y1 ) f ( x, y2 ) L y1 y2
对所有 ( x, y1 ), ( x, y2 ) R 都成立。
L 称为利普希兹常数。
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
二 、存在唯一性定理 定理1
现在取 0 ( x) y0 ，构造皮卡逐步逼近函数序列如下:
0 ( x) y 0 x n ( x) y 0 f ( , n 1 ( ))d x0 (3.1.9)
x0 h x x0 h
0 ( x) y0
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
x
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设对于正整数 n , 不等式
MLn1 n ( x) n1 ( x) ( x x0 ) n 成立， n!
x x0
n1 ( x) n ( x) f ( , n ( )) f ( , n1 ( ))d
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在 x0 x x0 h 上有定义，连续。
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即命题２在 n=k＋１时也成立。 由数学归纳法得知命题２对于所有 n 均成立。 命题２证毕
n ( x) 在 x0 x x0 h上是一致收敛的。 命题３ 函数序列
x0 x x0 h 上有定义、连续，即满足不等式:
n ( x) y0 b
当 n =1 时,
(3.1.10)
x
证 明: （只在正半区间来证明，另半区间的证明类似）
1 ( x) y0 f ( , y0 )d
x0
1 ( x) y0
x x0

x
x0
f ( , y 0 )d
f ( , y0 ) d M ( x x0 ) Mh b
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1 ( x) 在 x0 x x0 h 上有定义,连续
即命题2 当 n=1 时成立。 现在用数学归纳法证明对于任何正整数 n ，命题2都成立。 即 当 n=k 时， k ( x)在 x0 x x0 h 上有定义，连续， 也就是满足不等式
k 1
(3.1.14)
hk 的一般项， k!
k 1 ML
由维尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法(简称维氏判别法), 级数(3.1.11) 在 x0 x x0 h 上一致收敛,
n ( x) 也在 x0 x x0 h 上一致收敛。 因而序列
命题3证毕
考虑级数:
0 ( x) [ k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1

(3.1.11)
0 ( x) 它的部分和为：
[
k 1
n
k
( x) k 1 ( x)] n ( x)
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命题 3 证明此逐步逼近序列一致收敛
命题 4 证明此收敛的极限函数为所求 初值问题的解 命题 5 证明唯一性
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定理1的证明
dy f ( x, y)......... (3.1.1) 命题1 设 y ( x) 是初值问题 dx ...(3.1.2) ( x0 ) y 0 ..........
1 ( x) 0 ( x) f ( , 0 ( )) d M ( x x0 )
2 ( x) 1 ( x) f ( ,1 ( )) f ( , 0 ( )) d
x0 x
L 1 ( ) 0 ( ) d
x0
x
ML ( x x0 ) 2 L M ( x0 )d x0 2!
的解的充要条件是 y ( x) 是积分方程
y y0 f ( x, y)dx
x0
x
x0 x x0 h ……(3.1.6)
的定义于 x0 x x0 h 上的连续解。
证明: •微分方程的初值问题的解满足积分方程（3.1.6）。 •积分方程（3.1.6）的连续解是微分方程的初值问题的解。
0 ( x) [k ( x) k 1 ( x)] x0 x x0 h
k 1

为此，进行如下的估计，由逐步逼近序列(3.1.9)有:
n ( x) y0 f ( ,n1 ( ))d
x0
x x0
x
x0 h x x0 h
(3.1.12)
一阶方程的初值问题 •概念和定义 利普希兹条件
1 定理 1 命题 命题2 定理 1 的证明 命题3 命题4 命题5 附注 逐步逼近法的思想 定理2
•存在唯一性定理
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这里 h min( a,
b ) M
M max f ( x, y )
( x , yR )
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定理1的证明需要证明五个命题：


命题 1 求解微分方程的初值问题等价于 求解一个积分方程 命题 2 构造一个连续的逐步逼近序列
k ( x) y0 b
k 1 ( x) y0 f ( , k ( ))d
x0 x
而当 n=k&1 ( x) y0 f ( , k ( )) d M ( x x0 ) Mh b
k 1 ( x)
•本节要求/Requirements/ 深刻理解解的存在唯一性定理的条件与结论 掌握逐步逼近方法的本思想
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一 、概念与定义/Concept and Definition/
1. 一阶方程的初值问题(Cauchy problem)表示
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证明 因为 y ( x) 是方程(3.1.1)的解，故有:
d ( x ) f ( x, ( x)) dx
x x0
两边从x0 到 x 积分得到:
( x) ( x0 ) f ( x, ( x))dx
把(3.1.2)代入上式,即有:
x0 x x0 h
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
x
x0 x x0 h
因此, y ( x) 是积分方程在 x0 x x0 h 上的连续解.
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反之，如果 y ( x) 是 (3.1.6) 的连续解，则有：
( x) y0 f ( x, ( x))dx
x0
x
x0 x x0 h ………(3.1.8)
微分之，得到: 又把
d ( x ) f ( x, ( x)) dx
x x0 代入(3.1.8)，得到: ( x0 ) y0
y
1 ( x) y0 f ( ,0 ( ))d
x0
x
y0+b
1 ( x)
y0
y0-b
1 ( x)
o x0-a x0-h x0 x0+h x0+a x
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0 ( x) y 0 x n ( x) y 0 f ( , n 1 ( ))d x0 x x0 h x0 命题2 对于所有的 (3.1.9) 中函数 n ( x) 在
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/Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method/
§ 3.1 Existence & Uniqueness Theorem & Progressive Method
内容提要/Constant Abstract/
dy f ( x, y ).................(3.1.1) dx ( x0 ) y0 .....................(3.1.2)