2.2 圆内接四边形的性质与判定定理

求证： 在同一圆周上（ 求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）. 在同一圆周上 简称四点共圆） 证明： 如果点 如果点D在 外部。 证明：(1)如果点 在⊙O外部。则 外部 ∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° ∠ ° ∠ ° D=∠AEC与 得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意
A F G C D B E
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三. 圆的切线的性质及判定定理
圆与直线的位置关系: 圆与直线的位置关系
A O E D C
B
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如图. 的直径,C为 上一点,AD和 例2 如图 AB为⊙O的直径 为⊙O上一点 为 的直径 上一点 和 点的切线互相垂直,垂足为 过C点的切线互相垂直 垂足为 点的切线互相垂直 垂足为D. 求证:AC平分∠DAB. 平分∠ 求证 平分 的切线, 证明:连接 证明 连接OC, ∵CD是⊙O的切线 连接 是 的切线 ∴OC⊥CD. ⊥ 又∵AD⊥CD, ⊥ ∴OC//AD.由此得 由此得 ∠ACO=∠CAD. ∠ ∵OC=OA. ∴ ∠CAO=∠ACO. ∠ ∴ ∠CAD=∠CAO. ∠ 平分∠ 故AC平分∠DAB. 平分
Q
A F B
也互余. 而∠A与∠QFA也互余 与 也互余 ∴∠A=∠ ∴∠ ∠QFC. ∴∠A=∠ ∴∠ ∠QPC. ∴A,B,P,Q四点共圆 四点共圆
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习题2.2 习题 1.AD,BE是△ABC的两条高， 的两条高， 是 的两条高 求证： 求证：∠CED=∠ABC. ∠
A
C E D
o
B
2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同 求证：对角线互相垂直的四边形中， 求证 一个圆周上。 一个圆周上。 3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长 和DC相 如图，已知四边形 内接于圆， 如图 内接于圆 延长AB和 相 交于E,EG平分∠E,且与 平分∠ 且与 且与BC,AD分别相交于 分别相交于F,G. 交于 平分 分别相交于 求证： 求证： ∠CFG=∠DGF. ∠
如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆. 那么它的四个顶点共圆.
性质定理的逆命题成立吗？ 性质定理的逆命题成立吗？
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假设：四边形 假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 中 ∠ °
D C
A
B
E
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⊙ 如图， 都经过A,B两点。经过点 的 两点。 例1 如图， O1与 ⊙ O2 都经过 两点 经过点A的 直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直 直线 与 ⊙O1交于点 与 ⊙O2交与点经过点 的直 交于点E,与 交与点F. 线EF与 ⊙O1交于点 与⊙O2交与点 与
D C
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O
B
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习题2.3 习题 1.如图 △ABC为等腰三角形 是底边 的中点 如图,△ 为等腰三角形,O是底边 的中点, 如图 为等腰三角形 是底边BC的中点 与腰AB相切于点 ⊙O与腰 相切于点 与腰 相切于点D. 求证:AC与⊙O相切 与 相切. 求证 相切
l
A
M
证 法
作OM⊥ l ⊥ 垂线段最短” 因“垂线段最短”,
O
故OA>OM, 即圆心到直线距离小于半径. 即圆心到直线距离小于半径. 这与线圆相切矛盾. 这与线圆相切矛盾
推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 推论 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 思考: 思考 切线的性质定理逆命题是否成立 切线的性质定理逆命题是否成立? 逆命题是否成立
求证： 求证：CE//DF. 证明：连接AB 证明：连接 ∵四边形ABEC是⊙O1 的内 四边形 是 接四边形。 接四边形。 ∴∠BAD=∠E. ∴∠ ∠ 四边形ADFB是 O2 的内 ∵四边形 是⊙ 接四边形。 接四边形。 ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠ ∠ ° ∴∠E+∠ ∴∠ ∠F=180° ° ∴CE//DF .
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切线的判定定理: 切线的判定定理 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 在直线上任取异于A的点B.
l
A
B
连OB. 则在Rt△ABO中 OB>OA=r
0
A
（2） ）
B
E
性质定理2 性质定理
圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。
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性质定理1 性质定理
圆内接四边形的对角互补
如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆 如果一个四边形的对角互补 那么它的四个顶点共圆. 那么它的四个顶点共圆 性质定理2 性质定理 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。
相交-----有两个公共点 有两个公共点 相交 相切-----只有一个公共点 只有一个公共点 相切 相离-----没有公共点 没有公共点 相离
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切线的性质定理: 切线的性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径 假设不垂直, 反 假设不垂直
∵α + β = 360 1 ∴ ∠B + ∠D = × 3600 = 1800 2
0
2
2
D
C
α
0
A
同理可得 : ∠A + ∠C = 180
β
B
性质定理1 性质定理
圆内接多边形的对角互补
D
（1） ）
将线段AB延长到点 得到图 将线段 延长到点E,得到图（2） 延长到点 得到图（ ）
C
由于∠ABC + ∠EBC = 180 . 0 而∠ABC + ∠D = 180 . ∴ ∠EBC = ∠D.
O
故B在圆外 .直线与圆只有一个公共点, 是切线.
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如图,AB是⊙O的直径 ⊙O过BC的中点 的直径, 的中点D, 例1 如图 是 的直径 过 的中点 DE⊥AC.求证 求证:DE是⊙O是切线 是切线. ⊥ 求证 是 是切线 证明:连接 证明 连接OD. ∵BD=CD,OA=OB, 连接 的中位线, ∴OD是△ABC的中位线 是 的中位线 ∴OD//AC. 又∵∠DEC=90º ∵∠ ∴∠ODE=90º ∴∠ 在圆周上, 又∵D在圆周上 在圆周上 是切线.. ∴DE是⊙O是切线 是 是切线
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【温故知新】 温故知新】
圆上一条弧所对的圆周角 圆周角等于它所对的 圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 圆心角的一半。 圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等; 推论 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也相等. 相等的圆周角所对的弧也相等 推论2 半 圆(或直径 所对的圆周角是直角 或直径)所对的圆周角是直角 推论 或直径 所对的圆周角是直角; 90º的圆周角所对的弦是直径. 的圆周角所对的弦是直径
证明：连接 。 证明：连接PQ。 在四边形QFPC中， 在四边形 中 ∵FP⊥BC FQ⊥AC. ⊥ ⊥ ∴∠FQA=∠FPC=90º. ∠ ∴∠ 四点共圆。 ∴Q,F,P,C四点共圆。 四点共圆 ∴∠QFC=∠QPC. ∴∠ ∠ 又∵CF⊥AB ⊥ ∴∠QFC与∠QFA互余 互余. ∴∠ 与 互余
B A E D
O
不相邻的内角”矛盾。故点 不可能在圆外 不可能在圆外。 不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。
（1） ）
C
(2)如果点 在⊙O内部。则∠B+∠E=180° A 如果点D在 内部。 如果点 内部 ∠ ° ∵∠B+∠ ∵∠ ∠ADC=180°∴∠ ∠ADC °∴∠E=∠ 同样矛盾。 不可能在⊙ 内 同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。 不可能在
A D A D A D A D
O B C B C
B
C B C
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如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征 如果一个四边形内接于圆 那么它有何特征? 那么它有何特征 1 1 如图（ ） 如图（1）连接OA,OC.则∠B= α . ∠D= β
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圆内接四边形的性质与判定定理 二.圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接四边形
圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形 所有顶点都在一个圆上的多边形. 圆内接多边形 所有顶点都在一个圆上的多边形 这个圆称多边形的外接圆 多边形的外接圆. 这个圆称多边形的外接圆 思考: 任意三角形都有外接圆 那么 任意三角形都有外接圆.那么 思考 任意正方形有外接圆吗?为什么 任意正方形有外接圆吗 为什么? 为什么 任意矩形有外接圆吗? 任意矩形有外接圆吗 等腰梯形呢? 等腰梯形呢 一般地, 任意四边形都有外接圆吗? 一般地 任意四边形都有外接圆吗
D A C
O1
E B
O2
F
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如图， 是 边上的高， ⊥ 例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC, 的 边上的高 FQ⊥AC. ⊥ 求证： 求证：A,B,P,Q四点共圆 四点共圆
P C
D A E
B
O
C
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2.已知 已知:OA和OB是⊙O的半径 并且 的半径,并且 ⊥ 已知 和 是 的半径 并且OA⊥OB,P是OA 是 上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切 的延长线交⊙ 于 过 作 上任意一点 的延长线交 的切 线交OA的延长线于 的延长线于R,. 线交 的延长线于 求证:RP=RQ 求证
B O
D E
C
（2） ）
综上所述， 只能在圆周上， 综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 只能在圆周上 四点共圆。
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圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆 那么它的四个顶点共圆. 如果一个四边形的对角互补 那么它的四个顶点共圆 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种 当问题的结论存在多种情形时 通过对每一种 情形分别论证,最后获证结论的方法 最后获证结论的方法---------穷举法 情形分别论证 最后获证结论的方法 穷举法 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角， 那么它的四个顶点共圆. 那么它的四个顶点共圆