函数周期性与对称性的函数方程 专题

函数周期性与对称性的函数方程

【问题提出】

问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f +=

；

（2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）)

(1

)(a x f x f +±

=.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -=

+；

（2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】

探究1：设()b a ,为函数)

(x f y =的对称中心，则必有等式

________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________

探究2：已知奇函数

)(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时，

,2)(x x f =

则______)9(=-f

变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则

=+)9()8(f f _____

1

变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1

)2(x f x f -

=+，当

32<

)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[]1,1-上，

⎪⎩⎪

⎨⎧≤≤++<≤-+=,10,1

2

,

11,1)(x x bx x ax x f 其中R b a ∈,，若)2

3

()21(f f =，则b a 3+的值为________. -10 变式4：已知定义在R 上的函数)2

3()(+-=x f x f ，且2)0(,1)1()2(=-=-=-f f f ，

则

.________)2014()2013()3()2()1(=+++++f f f f f Λ

变式5：已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)

(1

)2(x f x f =

+，若5)1(-=f ，则.______))5((=f f

探究3：定义在R 上的函数)(x f 满足⎩⎨⎧>---≤-=0

),2()1(,

0),2(log )(2x x f x f x x x f ，则)

2013(f 的值为_______. -1

变式：定义在

R

上的函数

)

(x f 满足

⎩⎨

⎧>---≤=-.

0),2()1(,0,3)(1x x f x f x x f x ，则

=)2014(f ______.

9

2-

探究4：已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时，f (x )＝|x |，则y ＝f (x )与y ＝log 7x 的交点

个数为_________.

变式1：已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且对任意的R x ∈，都有

)()2(x f x f =+，当10≤≤x 时，2)(x x f =.

若直线a x y +=与函数)(x f y =的图象

在[]2,0内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值为________.

变式2：已知定义在R 上的奇函数()f x ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]

上是增函数若

方程f (x )＝m (m >0)在区间[]8,8-上有四个不同的根

1234

,,,x x x x ,则

1234x x x x +++=

. -8

变式

4：已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，

，

． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]

510-，内公共点的个数为____．15 变式5：已知

)

(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当

)

3,0[∈x 时,|2

12|)(2+-=x x x f .若函数

a x f y -=)(在区间]4,3[-上有

10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是

_________.

【解法探究】作出函数的简图，由图象分析可得10,2a ⎛⎫

∈ ⎪⎝⎭

.

探究5：已知函数

,3

),3(3,31,21)(⎪⎩

⎪⎨⎧>≤≤--=x x

f x x x f 将集合{}10,)(<<==t t x f x A （t 为常数）中的元素由小到大排列，则前6个元素的和为________. 52 变式：已知函数

21,0,

()(1),0.

x x f x f x x -⎧-≤=⎨

->⎩，若方程()f x x a =+有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是_____________

拓展1：设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区

间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1， x 2，x 3，使得31

21

23

()

()()f x f x f x x x x =

=

=t ，则实数t 的取值范围为 ．

解：当x ∈[3,9)时，f (x )=1()3

f x =1ln ln ln33

x x =-．

设直线y =tx 与曲线f (x )=ln ln3x -相切于(x 0，f (x 0))，则 t =0

0ln ln 3

x

x -=0()f x '=0

1x ，解得x 0=3e ，于是t 1=13e

．

另一方面，x ∈[3,9)时，图象的最右端点为(9，ln3)，于是t 2=ln 39

．

作出示意图可知，t 介于t 1与t 2之间．

拓展2：已知*,R y x ∈，函数

)()1(x f x f -=，)2()2

(x f x f -=，若[]2,1∈x 时，)2)(1()(--=x x x f ，则函数4

1

)(+=x f y 在区间[]100,1内的零点个数为_______.

4

探究6：设)(x f 与)(x g 是定义在R 上的两个函数，21,x x 是任意两个实数. （1）若

)()()()(2121x g x g x f x f +≥+恒成立，且)(x f 是奇函数，判断函数)

(x g 的奇偶性并说明理由；

（2）若[][])()()()()(21221221x x x g x g x f x f ≠->-恒成立，且)(x f 是R 上的增函数，判断函数)()()(x g x f x F +=

和)()()(x g x f x G -=的增减性并说明理由；