最新三次参数样条曲线
三次样条插值算法详解
S(x0)M0 S(xn)Mn
M0 Mn 0时，称为自然边界条件
故得：
S(x0)h602 (y1y0)h40 m 0
2 h0
m1
M0
S(xn)h6n21(ynyn1)
2 hn 1
mn 1
4 hn 1
mn
Mn
19
稍加整理得
2m0m13y1h0y0h20M0 g0 m n12m n3ynh n y 1n1hn 21M n gn
4
（1）因为s(x)在每个小区间上是一个次小于三次的多 项式，故有四个未知系数； （2）因为s(x)有n分段，从而共有4n个未知系数！ （3）但插值条件与样条条件仅给出4n-2个条件，无法 定出4n个未知系数，还差2个条件！这2个条件我们用 边界条件给出！
5
通常我们对插值多项式在两端点的状态加以要求也就是 所谓的边界条件:
i0,1,2,....n..1,
称为三次样条插 值问题三转角公
式！
23
例1. 对于给定的节点及函数值
xk 1 2 4 5 f (xk ) 1 3 4 2
求满足自然 S(x0边 )S界 (xn)条 0的件 三次样 插值S函 (x)并 ,数f求 (3)的近似值
解: 这是自然边界条件下的样条问题。
k
hk
x l im x iS (x ) S (x i 0 ) h 6 i2(y i 1 y i) h 4 im i h 2 im i 1 x l im x i S (x ) S (x i 0 ) h i2 6 1 (y i y i 1 ) h 2 i 1 m i 1 h 4 i 1 m i
14
由于在内部节点处二阶导数连续条件：
三次样条插值函数的求法
一种参数三次样条曲线光顺优化算法
满意 ，这样 ，对 曲线或 曲面 进行 光顺 ，就 显得 至
关重要。就 曲线而言，光顺法可以分为优化法和
点” 然后生成光顺曲线； ， 但是， 这种光顺法也有
收稿 日期 ：２０ — １１ ０９ １—０
基 金项 目：陕 西省 教育 厅基 金资助 项 目 （８Ｋ ３ ；０Ｊ ７ ８ ０ Ｊ ４ ５ ９Ｋ ２ ）
一
偏差尽量小，此算法简单易行，计算量较小。
的ｃｆ， （ 在本文中， ） 采用自 端点条 由 件，即
＝ ＝
１ 参数 三次样条 曲线及其求解
令ｃｆ是插值点（， ） ： ，…，） （ ） ｔｅ （ ０ ， 的参三 ｉｉ ｉ ｌ
次数样 条 曲线 ，这 里采 用弦 长参 数化
，
０，相应的曲线ｃ（ 称为自然样条曲 ｆ ）
％
（ ） ６
１
Ｃｎ ／
一
１
２ ２ ｈ １ ｎ
一
ｂ ｌ
—
Ｍ ＂１
一
３
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一
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一
Ｍｎ
２
有皇， 式 的 ，… ２ 点 的 别 唯 解墨嘉到 ， 坏 ，判 一 求 （把 解 ６得 ） ， ，
有唯
、 日． ｕ力 Ｉ Ｊ Ｊ
，
代 入式 （） 可求出ｃｔ。 ２， （ ）
对曲 进行 线 光顺， 必须 具体的 顺 首先 给出 光
第３ 期
章虎冬 ：一种参数三次样条 曲线光．优化算 法 １ ｌ ｌ 页
来找 出坏 点 。
３ 算法原理
（ ） Ｋ ｅｌ ｄ ｒ １ ｊｌ ｎ ｅ 方法 ａ 设 Ｐ（） ｔ 是插 值 于 型值 点 列 （ ０１… ，） ，， ／ ／ ／
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义嘿，咱们今天来聊聊三次样条曲线这个有趣的玩意儿！先给您说个事儿哈，就前几天，我去商场买东西，路过一家珠宝店。
那店里的橱窗展示着一串珍珠项链，那珍珠的排列可不一般，仔细一瞧，居然有点像三次样条曲线的形状！一颗颗珍珠错落有致，顺滑又自然，仿佛是按照某种神秘的规律排列着。
要说这三次样条曲线啊，它其实就是一种数学上特别有用的曲线表示方法。
简单来讲，就是通过一系列给定的点，构建出一条既平滑又连续的曲线。
您想想，假如您要画一条曲线来表示一辆汽车在一段时间内的速度变化。
如果只是随便画，那曲线可能会歪歪扭扭，看起来乱糟糟的。
但如果用三次样条曲线，就能把这个速度变化表现得特别流畅和自然。
三次样条曲线有几个重要的特点。
首先，它在每个小段内都是一个三次多项式。
这意味着它有一定的灵活性，可以很好地适应各种复杂的形状。
其次，它在连接点处不仅函数值相等，一阶导数和二阶导数也相等。
这就保证了曲线的平滑过渡，没有突然的拐弯或者抖动。
比如说，在设计桥梁的时候，工程师们就会用到三次样条曲线。
桥梁的形状得既要美观，又要能承受各种力的作用。
通过使用三次样条曲线来设计桥梁的轮廓，就能让桥梁看起来线条优美，而且受力均匀，更加稳固可靠。
再比如，在计算机图形学中，绘制各种曲线图形的时候，三次样条曲线就大显身手啦。
它能让画面中的曲线更加逼真、自然，给人一种赏心悦目的感觉。
回到开始说的那串珍珠项链，其实它的排列就近似于三次样条曲线。
每个珍珠的位置就像是给定的点，而串起来的整体就形成了一条优美的曲线。
总之，三次样条曲线在我们的生活和各种领域中都有着广泛的应用。
它就像是一位神奇的“曲线魔法师”，能够把那些看似杂乱无章的点变成一条优美、流畅的曲线。
怎么样，这下您对三次样条曲线是不是有了更清晰的认识啦？希望今天的讲解能让您有所收获！。
三次参数样条曲线
目 录
• 参数样条曲线简介 • 三次参数样条曲线的数学模型 • 三次参数样条曲线的构建过程 • 三次参数样条曲线的应用实例 • 三次参数样条曲线的优缺点分析 • 三次参数样条曲线与其他插值方法的比较
01
CATALOGUE
参数样条曲线简介
定义与特性
定义
三次参数样条曲线是一种数学函 数，通过给定的数据点，使用参 数化方法拟合出一条光滑的曲线 。
与多项式插值的比较
1
多项式插值适用于已知数据点之间存在某种特定 关系的情况，而三次参数样条曲线则不需要事先 知道这种关系。
2
多项式插值在处理高阶数据时可能会遇到计算量 大和稳定性差的问题，而三次参数样条曲线则相 对较稳定。
3
多项式插值在处理非线性数据时可能会产生较大 的误差，而三次参数样条曲线能够更好地适应非 线性数据的处理。
算法实现
可以使用数值计算方法和编程语言来实现三次参数 样条曲线的计算，例如Python、MATLAB等。
优化方法
为了提高计算效率和精度，可以采用一些优 化方法，如共轭梯度法、牛顿法等。
03
CATALOGUE
三次参数样条曲线的构建过程
数据准备
数据收集
01
收集用于拟合曲线的离散数据点，确保数据具有代表性且分布
易于理解和实现
三次参数样条曲线具有直观的几 何意义，易于理解和实现，不需 要复杂的数学背景。
缺点分析
01
对异常值敏感
三次参数样条曲线对异常值比较 敏感，如果数据中存在异常值， 可能会导致拟合结果偏差。
02
对初始程可 能会陷入局部最优解，影响拟合 效果，需要合理设置初始值。
合理。
数据清洗
Opencv三次样条曲线（CubicSpline）插值
Opencv 三次样条曲线（CubicSpline ）插值本系列⽂章由 @YhL_Leo 出品，转载请注明出处。
⽂章链接：1.样条曲线简介样条曲线()本质是分段多项式实函数，在实数范围内有：，在区间上包含个⼦区间，且有：对应每⼀段区间的存在多项式： ，且满⾜于：其中，多项式中最⾼次项的幂，视为样条的阶数或次数（Order of spline ），根据⼦区间的区间长度是否⼀致分为均匀（Uniform ）样条和⾮均匀（Non-uniform ）样条。
满⾜了公式的多项式有很多，为了保证曲线在区间内具有据够的平滑度，⼀条次样条，同时应具备处处连续且可微的性质：其中 。
2.三次样条曲线2.1曲线条件按照上述的定义，给定节点：三次样条曲线满⾜三个条件：1. 在每段分段区间上，都是⼀个三次多项式；2. 满⾜;3. 的⼀阶导函数和⼆阶导函数在区间上都是连续的，从⽽曲线具有光滑性。
则三次样条的⽅程可以写为：其中，分别代表个未知系数。
曲线的连续性表⽰为：其中。
曲线微分连续性：其中。
曲线的导函数表达式：令区间长度，则有：S:[a,b]→R [a,b]k [,]t i−1t i a =<<⋯<<=bt 0t 1t k−1t k (1)i :[,]→R P it i−1t i S(t)=(t) , ≤t <,P 1t 0t 1S(t)=(t) , ≤t <,P 2t 1t 2⋮S(t)=(t) , ≤t ≤.P k t k−1t k (2)(t)P i [,]t i−1t i (2)S n ()=();P (j)i t i P (j)i+1t i (3)i =1,…,k −1;j =0,…,n −1t :z :a =t 0z 0<t 1z 1<⋯⋯<t k−1z k−1<t k z k=b(4)[,],i =0,1,…,k −1t i t i+1S(t)=(t)S i S()=,i =1,…,k −1t i z i S(t)(t)S ′(t)S ′′[a,b](t)=+(t −)+(t −+(t −,S i a i b i t i c i t i )2d i t i )3(5),,,a i b i c i d i n ()=,S i t i z i (6)()=,S i t i+1z i+1(7)i =0,1,…,k −1()=(),S ′i t i+1S ′i+1t i+1(8)()=(),S ′′i t i+1S ′′i+1t i+1(9)i =0,1,…,k −2=+2(t −)+3(t −,S ′i b i c i t i d i t i )2(10)(x)=2+6(t −),S ′′i c i d i t i (11)=−h it i+1t i(6)1. 由公式，可得：；2. 由公式，可得：；3. 由公式，可得：;； ；4. 由公式，可得：； ； ；设，则：A.；B.将代⼊；C.将代⼊2.2端点条件在上述分析中，曲线段的两个端点和是不适⽤的，有⼀些常⽤的端点限制条件，这⾥只讲解⾃然边界。
三次B样条曲线
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
三次B 三次 样条曲线示例
数字图像处理
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例 四次
数字图像处理
B 样条曲线示例
五次B 五次 样条曲线示例
数字图像处理
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
1 n−i G i ,n (t ) = ( − 1 ) j C nj+ 1 ( t + n − i − j ) n ∑ n! j = 0 t ∈ [ 0 ,1 ], i = 0 ,1 ,..., n
如左图所示，六个 控制顶点控制的三 次B样条曲线由三 段B样条曲线段组 成。其中，每一条 曲线段由四个顶点 控制。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
2.几何不变性
由于定义式所表示的B样条曲线是参数形式，因此，和 Bezier曲线一样，B样条曲线的形状和位置与坐标系选 择无关。
3. 连续性
当给定的m+n+1个控制顶点Pi (i=0，1，…，m+n)互不 相重，则所控制的整条B样条曲线具有n-1阶几何连续 (G n-1)。当给定的控制顶点相邻最大重顶点数为h（即h 个控制顶点重合在一起），则整条B样条曲线具有n-h1阶几何连续(G n-h-1)。
数字图像处理
B 样条曲线的性质
4. 对称性
根据B样条曲线的基函数的对称性可推导
Pk , n (1 − t ) = =
∑
n
n
i=0
Pi + k G i , n (1 − t ) Pi + k G n − i , n ( t ) ( t ∈ [ 0 ,1 ])
计算机图形学 抛物及三次样条曲线
第六章 曲线
一为什么要学习曲线? (用曲线能作什么?) 应用很广泛: 汽车制造,多媒体应用,飞机外形设计, 计算机辅助设计等方面被大量使用. 如: 用B样条曲线绘制汽车. 用抛物样条曲线绘制鱼(靠型值点来画)
二 汽车的传统设计方法和计算机辅助设计方法的比较: 汽车的制造过程: 1 素描车身草图，挑选其中的最佳方案。
6.2 曲线表示的基础知识:
一 曲线的表示方法:
1．显示方式：
一条平面曲线的一般式：
y=f (x)
如正弦曲线:f=sin(x)
一条直线的一般式：
y=m*x+b
特点：一个x表示一个y.
2．隐式方式：
一条平面曲线的一般式：
f (x, y)=0
一条直线的一般式:
ax+by+c=0
一个圆心在原点的圆：
x2+y2+1 =0
特点：与坐标轴无关，仅与参数有关，易于编程。
例如：圆的参数方程：x=cosθ, y=sinθ 绘制的1/4圆的各点弧长相等，见下图a。 以显示方式绘制的1/4圆的各点弧长不等，见下图b。
a
b
用参数方程可以非常均匀地画出来 即:参数方程控制形状的能力强
X等分取,y值不均匀
分析： 参数方程与非参数方程的比较：
和Δc（弧长变化量）， 通常使用|Δφ/Δc来衡量弯曲程度。 曲线P(c)在r点的曲率为：k=lim|Δφ/Δc| 曲率半径：ρ= 1/ k
曲率大，则曲率半径小，曲线弯曲得厉害，如A点； 曲率小，则曲率半径大，曲线弯曲得不厉害，如B点。 圆的曲率半径等于它的半径。
B
A
(四) 型值点和控制点:
型值点: 通过测量或计算得到的曲线上少量描述曲线几何形状 的数据(如:鱼)
三次H-Cardinal样条曲线及曲面
ｐ ａ ｔｒ ． ｒ ａ ｍｅｅ ｓ
ａ ｄ ｔｅ ｌ ｔ ｇ ｃ ｓ ｏ ｎ ｈ ｉ ｉ ａｅ ｆ ｍｉ ｎ
０ ｓ Ｃａｄｎ ｌｓ ｌ ｅ ｕｖ ｓ ｕ ｆｃ ｓ ｒｅ ｉ ｒ ｉａ ｐｉ ｃ ｒ ｅ ．Ｓ ｒａ ｅ ａ ｎ
ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｄ ｗｉ ｅ ｏ ｒ ｄ ｃ ｔ ｏ ｎ ｔ ｒ ｐ ｒｉ ｓａｅ ａ ｌ ｇ ｔ ｈ ｕ ｅ ． ｎ ｅ ｔ ｅ ｏ ｓｒ ｃｅ ｔ ｔｎｓ ｒｐ ｏ ｕ ｔｍｅ ｄ ａ ｄ ｉｓｐ ｏ ｅ ｔｅ ｎａｏ ｙ ｗｉ ｔｅ ｃ ｒ ｓ Ｈｅ ｃ ， ｈ ｈ ｈ ｒ ｈ ｖ
２０ ｏ ８年
工 程 图 学 学 报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦＥＮＧＩ ＮＥＥＲＩ ＮＧ ＧＲＡＰ ＣＳ ＨＩ
２０ ０ ８
ＮＯ． ５
第 ５期
三 次 Ｈ． ａｄｎ ｌ 条 曲线及 曲面 Ｃ ｒ ｉａ 样
吴晓勤 ， 韩旭里２ 罗善 明 一 ，
（． １ 湖南科技大学数学与计算科学学院，湖南 湘潭 ４ １０ ；２ 中南大学数学科学与计算技术学院，湖南 长沙 ４０ ８ １２ １ ． １０ ３ ３ ．湖南科技大学机 电工程学院，湖南 湘潭 ４ １０ ） １２ １
ｄ ｓｒ ｄ ｃ ｒ ｅ ｎ ｉ ｈｔ ｅ ｓ ｓｅ ｆＨ— ｕ ｖ ｓ ｅ ｉｅ ｕ ｖ ｓｅ ｒｃ ｈ ｙ ｔｍ ｏ ｃ ｒ ｅ ．
Ｋｅ ｒ ： ｏ ｕ ｅ ｐ ｌｃ ｔ ｎ； － ｒ ｔ ｏ ｙ ｏ ａｓ Ｈ－ ｒｄｉａ ｐ ｉｅ ｉ ｔｒ ｏ ａｉ ｎ ｙｗｏ ｄｓ ｃ ｍｐ ｔｒａ ｐ ｉ ａｉ Ｈ・ ｍｉｅｐ ｌ ｎ ｍｉｌ； － ｏ Ｈｅ Ｃａ ｎ ｌ ｌ ； ｎ ｅｐ ｌ ｔ ｓ ｎ ｏ
三次 Ｃ 曲线是用 ｛ｉ ｔ Ｏ ｔ ， 为基底构 一 ｓ ， Ｓ， １ ｎ ｃ ｆ）
三次样条曲线生成算法研究摘要
三次样条曲线的生成算法本文由天空乐园河南自考网整理分享摘要三次样条函数曲线具有的最高多项式插值精度是三次多项式函数，对其进行推广构造的三次参数样条曲线应至少具有同样的插值精度。
本文讨论了构造三次参数样条曲线中节点选取问题，相邻两节点之间的跨度规范化为1，提出了构造2GC 三次参数样条曲线的新方法。
文中首先讨论了2GC 三次参数样条曲线需满足的连续性方程，然后讨论了平面有序五点确定一组三次多项式函数曲线和平面有序六点唯一确定一条三次多项式函数曲线。
在此基础上，提出了为给定数据点选取节点值的新方法。
新方法构造的2GC 三次参数样条曲线具有三次多项式函数的插值精度。
最后以具体数据点对新方法和已有的四种节点选取方法构造的插值曲线的精度做了比较。
关键词：三次样条曲线；曲线拟合；计算机图形学自1946年美国数学家I. J. Schoenberg 提出样条函数[1]以来，样条函数以其构造简单、易于计算又有很好的力学背景等特点而被广泛用于科学计算、工程设计和计算机辅助设计等领域，成为最重要的曲线和曲面构造方法之一。
在样条函数的应用中，三次样条函数由于具有极小模性质、最佳逼近性质和很强的收敛性[2,3,4]等而成为最主要的方法应用于构造插值曲线和曲面。
用样条函数方法构造三次插值曲线，曲线的连续性基本可满足实际应用的要求。
当曲线的端点条件确定之后，曲线的精度和形状是由曲线需满足的连续性方程唯一决定的。
在小挠度的情况下，插值曲线的精度和形状都是非常理想的。
对大挠度曲线和任意平面数据点，则需推广三次样条函数方法构造三次参数样条曲线，此时需知道每个数据点处的参数值（节点值）。
在实际应用中，这些参数值一般是无法预先给定的，所以构造三次参数样条曲线的第一步是对给定数据点参数化，即为每个数据点指定节点值。
如果指定的节点值是精确的，给定适当的端点条件，可使构造的插值曲线的代数精度达到三次参数多项式。
构造三次参数样条曲线，当曲线的端点条件确定之后，能够决定曲线插值精度的量只有节点。
3.三次样条曲线
y*
y1
y0 •
• •
x0 x1 x*
• •
xn
几种常用插值方法
分段线性插值：
收敛性良好 只用两个节点，且线性，简单实用 曲线不光滑
三次样条插值:(*)
曲线2阶光滑，收敛性有保证 实际中应用广泛 误差估计较难
B样条插值：
曲线光滑随B样条的次数增加而增加，收敛性有保证 实际中应用广泛 理论知识比较复杂，编程实现比较繁琐
如何求解：（n-1）个线性方程，内节点的m1、m2、 …、mn-1未知
三切矢方程的边界条件
① 已知m0和mn
② 已知两端点处 的二阶导数。
③ 未知①、 ② 相邻三个节点拟合抛物 线，并数值微分求端点 的一阶导数。
三切矢方程的求解
追赶法求解
m0
λ1
2 λ2
μ1 2
λn-1
μn-2 2
y
yi-1 yi
a
xi-1 xi
bx
2. 三次样条的理论基础
2.1 Hermite 基 函 数 2.2 三切矢方程 2.3 三次样条插值的局限性
• Charles Hermite（1822－1901）
• 法国洛林（Lorraine ）
• 巴黎综合工科技术学院
• 曾任法兰西学院、巴黎高等师 范学校、巴黎大学教授。法兰 西科学院院士。
μn-1
m1
m2
mmnn-1
c1
c2
cn-1
两个边界条件
二阶连续的条件
y
yi-1 yi yi+1
a
xi-1 xi xi+1
bx
yi1(xi ) yi(xi )
2.3 三次样条插值的局限性
三次样条曲线表达式
三次样条曲线表达式三次样条曲线是一种常用的插值方法，用于在给定的数据点之间进行平滑插值。
三次样条曲线由一组三次多项式组成，在每个相邻数据点之间使用不同的三次多项式来实现平滑曲线的连接。
这些三次多项式在相邻数据点处具有连续的一阶和二阶导数，以确保曲线的平滑性和连续性。
要表示三次样条曲线的表达式，首先需要确定数据点的坐标和插值方法。
假设我们有n个数据点 (x_0, y_0), (x_1, y_1), ..., (x_n, y_n)，我们可以使用三次样条插值方法来计算出每个相邻数据点之间的三次多项式表达式。
具体而言，三次样条曲线由n-1个三次多项式组成，每个三次多项式在相邻数据点之间定义。
假设第i个三次多项式在区间[x_{i-1}, x_i] 上的表达式为 S_i(x)，其中 i = 1, 2, ..., n-1。
在每个区间 [x_{i-1}, x_i] 上，三次样条曲线的表达式为：S_i(x) = a_i(x x_i)^3 + b_i(x x_i)^2 + c_i(x x_i) + d_i.其中 a_i, b_i, c_i, d_i 是待定系数。
为了确定这些系数，我们需要满足一些插值条件，例如在每个数据点处函数值相等，以及相邻区间的三次多项式在相邻数据点处的一阶和二阶导数相等。
通过解这些条件，可以得到每个区间上的三次多项式的系数，从而得到整个三次样条曲线的表达式。
最终的三次样条曲线表达式将是所有区间上三次多项式的组合。
总之，三次样条曲线的表达式包括了每个相邻数据点之间的三次多项式表达式，通过满足插值条件来确定每个区间上的系数，从而得到整个曲线的表达式。
这样的表达式能够实现对给定数据点之间的平滑插值，从而得到连续且平滑的曲线。
三次C—Cardinal样条曲线及曲面
个参数 可调 整曲线 的形状 ： 一 Ｏ时极限 曲线 为通常 当 的 Ｆ ｒｕｏ ｅｇ ｓｎ曲线、Ｂ ｚ ｒ ｆｉ 曲线 、 ｅ Ｂ样条曲线。
近年来 ， ＿￣ｉ ｃ Ｂ ｚ ｒ曲线的研究有 了进一步 的发展 ， ｅ 已从
三次推广到 四次 、 五次及 一般 的 ”次 曲线［ ； ２ 曲线 可方便 ］ 地表示圆弧［ ， ５ 也可用于构造工程 曲面 。 ］ ｊ ２ （ Ｂ样条曲线／ 曲面也有进一步 的研究 、 推广［ 及一 ７ ］
文献标识码 ： Ａ
函数 ， 经适 当变换 ， 得到一组基 函数 。以此构 造的 曲线 ， 除
１ 引言
Ｃ 曲线是用 ｛ｉ ，Ｏ ，， ｝ ． ｓ ｔＣＳｔｔ １ 为基底构 造 的一 系列 曲 ｎ 线［ 包括 ＣＦ ｒｕｏ ”， － ｅｇ ｓ ｎ曲线 、 － ｉ 曲线 、 Ｃｌ ｅ ￣ｚ ｒ Ｃ Ｂ样条 曲线
维普资讯
Ｃ ３１ ５ ／ Ｐ Ｎ４－２ ８ Ｔ
Ｉ Ｓ １ ０ — ３ Ｘ Ｓ Ｎ ０ ７ １ ０
计算机工程与科学
Ｃ Ｍ Ｐ Ｅ ＮＧ ＮＥ Ｒ ＮＧ ８ Ｃ Ｅ Ｅ Ｏ ＵＴ Ｒ Ｅ Ｉ Ｅ Ｉ Ｌ Ｉ ＮＣ Ｓ
２０ ０ ６年第 ２ 卷第 ２期 ８
了首末两个型 值点外 ， 插值所 有 其它 型值 点 ； 可 曲线 达到 Ｃ 连续 ， 们称之 为 Ｃ Ｃ ｒ ｉ ｌ 条 曲线 。与 以往 Ｃ 插 我 － ａｄｎ 样 ａ １ 值 的曲线 不同的是 ， 曲线 的每一 端有两 个可调参数 与 ， 可对 曲线进行局部调整 而不影响 曲线 的连续性 ， 有更好 具
ｍｅｈ ｄ ｔ ｐ ｏ ｅｔ ｎ ｌｇ ｕ ｉ ｅｃ ｒ ｅ ｘ ｍｐｅ ｈ ｗ ｔａ ｈ ｕ ｖ ｓ ｒ ｃ ａ ｅＵ ｅ Ｏｆｅ－ ｒ ｃ ｒｅ ｔｏ ．Ｉ ｒｐ ｒ ｉ ａ ａｏ ｏ ｓｗ ｔ ｔ ｕ ｖ ．Ｅ ａ ｌｓｓ ｏ ｈ ｔ ｅｃ ｒ ｅ／ ｕ ｆ ｅｃ ｎ ｂ Ｓ ｄ ｔ ｅｆ ｍ ｕ ｓ ｓ ｙｓ ｈｈ ｔ ａ ｒ ｏ ｖ
三次样条曲线的定义
三次样条曲线的定义《说说三次样条曲线那些事儿》嘿，大家好呀！今天咱来唠唠三次样条曲线的定义。
啥是三次样条曲线呢？简单来说，就是一条超级光滑、超级厉害的曲线！它就像是一个有着完美身材的模特，曲线玲珑有致，每一处都过渡得那么自然。
想象一下哈，你在画一条曲线，要是随随便便画，那可能就歪歪扭扭跟蚯蚓似的。
但三次样条曲线可不一样，它那是精益求精，绝不允许自己有一点不和谐的地方。
它就像是一条神奇的魔法线，把一个个点巧妙地连接起来。
这些点就好像是散落在地上的珍珠，而三次样条曲线就是那根线，把珍珠串成了一条美丽的项链。
为啥咱要这么在意这条曲线呢？那是因为在好多实际情况里，咱都需要它呀！比如说汽车设计，那车身的线条得漂亮吧，得流畅吧，不然开出去多没面子。
这时候三次样条曲线就派上用场了，设计师们用它勾勒出最帅气的车身形状。
再比如，咱手机上的那些漂亮图标、界面，说不定背后就有三次样条曲线的功劳呢！它能让那些图案看起来特别舒服，特别自然，一点儿也不生硬。
我记得我第一次了解到三次样条曲线的时候，就觉得好神奇啊！怎么可以有这么厉害的东西，能把零散的点变成如此美妙的曲线。
当时我就想，这玩意儿就像是一个隐藏的高手，默默发挥着巨大的作用。
而且哈，它还特别靠谱。
你给它一些条件，它就能乖乖地按照你的要求来生成曲线。
就像一个听话的小朋友，你让它干啥它就干啥。
总之，三次样条曲线这东西，真的是让我又爱又佩服。
它那流畅的线条，就像生活中那些美好的瞬间，顺顺利利，没有一点儿波折。
每次想到它，我都忍不住感叹，数学的世界真是奇妙无穷啊！说不定哪天又会冒出一个像三次样条曲线这样厉害的东西，让我们大开眼界呢！我已经迫不及待地想要继续探索这个神奇的领域啦！。
参数三次样条曲线的局部优化光顺算法
司的李 （ ｅ１８ ） ］ 给 出 了反 例 。 Ｉ ，９９ Ｅ 就 ｅ 改进 后 的算 法
有 了理论 上 的依据 ， 因为沿 着什 么方 向移 动 ， 以及移 动 多长 的距 离 都 是 由修 改 因子 和修 改 角 度 ０决
定的。
关 于这 些关 顺 准 则 都 有 自己适 合 的用 途 ， 的 有
适 用 于整 体光顺 ， 的适用 于局部 光顺 ， 有 我们 这 里采 用计算 量 小且 用 于局 部光 顺 的光顺 准 则 ２５。 ［ ］
２ 算 法 原 理
获得 需要 光顺 的“ 点 ” ， 可 以对 其 进行 光 坏 后 就 顺 了 。 ｅｌｎ ｅＥ 方法 是 经典 的选 点 修 改 法 ， Ｋｊｌ ｄ ｒ ］ ａ 。 在此 基础 上 提 出了基 于 修 改 因子 和修 改角 度 光 顺 法 ， 具
基本思路是 ： 运用 Ｅ ［ ］ｄ 近似的作为参数 一』 ）。ｕ （
三次 样条 曲线 的能量 ， 然后 插 值 “ 点 ” 坏 两边 的点 和 切矢 生成 三 次 Ｈｅｍｉ曲 线 ， “ 好 ” ｒ ｔ 用 更 的点 来 代替
“ 坏点 ” 然后 生成光 顺 曲线 ； ， 但是 这种 光顺法 也有偶
２ ２ 改 进后 的方 法 ．
（） 顺前 曲线及 曲率 图 ａ光
Ｓ ｅ １ 由光顺 准 则计 算 出需 要光 顺 的型 值点 ； ｔｐ ．
Ｓｅ２ 以 １ 圆点 ， 产１ 为横 坐标 建 立 局 ｔｐ ． 为 Ｐ Ｐ
部坐 标 系 ， 设 Ｐ 修 改 为 Ｐ 并 Ｊ ｊ一 ＋ （ ｊ Ｐ — Ｐ ）ｅ００＜ ＜ １ ０ ０ ７ ， 中的 和 ０ 们 ｓｃ（ ，≤ ≤ ｒ 其 ） 我 分别 称 为修 改 因子 和修 改角 度 ； Ｓｅ３ 下 面 解 一 个 带 约 束 的 优 化 问 题 ｔ ． ｐ
三次B样条曲线
1. 样条函数的概念
1.1: 一般样条函数的定义 1.2: 三次样条函数
1.3: 二次样条函数
2. B 样条曲线
2.1: B样条曲线的定义
2.5: 三次B样条曲线
2.2: B样条曲线基函数性 2.6: 二、三次B样条曲线的 质 应用 2.3: B样条曲线的性质
2.7: 非均匀B样条曲线
具有如下性质： 1）有界正性：当 t [0,1] 时， Gi,n (t ) 1, 0
(i 0,1,...,n)
(i 0,1,...,n)
2）权性： 即
G
i 0
n
i ,n
(t ) 1,
t [0,1]
3）对称性：当 t [0,1] 时， i,n (t ) Gni,n (1 t ), G
数字图像处理
，则称S(x)为插Байду номын сангаас样条函
1.2 三次样条函数
假设在区间〔a，b〕上给定一个分割 Δ： a=x0<x1<…<xn-1<xn=b, 在〔a,b〕上的一个函数S(x)称为插值三次样条函数， 如果满足下列条件: (1)在每一小区间〔xi-1,xi〕(i=1，2，…，n)内S(x)分别 是三次多项式函数； (2)在节点xi(i＝1，2，…，n-1)处成立 :
5.递推性
n次B样条曲线段的递推曲线表示形式： l 0 Pi k i Pk ,l (t ) i ,l (t ) Pki,l 1 (t ) i ,l (t ) Pki,11 (t ), l 1,2,...,n, l
k 0,1,...,m 其中： 1 i ,l (t ) (i 1 t ); n l 1 1 i ,l (t ) ( n l i t ); n l 1 t [0,1]; i 0,1,...,n l ;
三次B样条曲线
所以，根据式：
P(t )
PB
i 0 i
n
i ,n
(t )
二次 Bezier 曲线的表达形式为：
P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t 2 P2 （０≤t ≤ 1)
根据 Bezier 曲线的总体性质，可讨 论二次 Bezier 曲线的性质： P(t)=(1-t)2P0+2t(1-t)P1+t2 P2 P’(t)=2(t-1)P0+2(1-2t)P1+2tP2 P(1/2)=1/2[P1+1/2(P0+P2)] P(0)=2(P1-P0) P(1)=2(P2-P1) P(1/2)=P2-P0
' '
同理可得，当 t=1 时
P (1) n( Pn明：Bezier曲线在两端 点处的切矢方向与特征多边形的第一 条边和最后一条边相一致。
２.二次和三次Bezier曲线 (1) 三个顶点：P0,P1,P2 可定义一条 二次(n=2) Bezier曲线： 其相应的混合函数为：
B (t ) n[Bi 1,n1 (t ) Bi,n1 (t )]
' i ,n
得：
P ' (t ) n P i [ Bi 1, n 1 (t ) Bi , n 1 (t )]
i 0 n 1
讨论：
(n 1)! Bi 1, n 1 (t ) t i 1 (1 t ) n 1i (i 1)! ( n i )! (n 1)! Bi , n 1 (t ) t i (1 t ) n 1i i!( n 1 i )!
法国的 Bezier 为此提出了一种新的 参数曲线表示方法，因此称为Bezier 曲线。后来又经过 Gordon、Forrest 和 Riesenfeld等人的拓广、发展， 提出了Ｂ样条曲线。 这两种曲线都因能较好地适用于 外形设计的特殊要求而获得了广泛的 应用。
三次样条函数
§8 三次样条插值问题的提出:上面讨论的分段低次插值函数都有一致收敛性，但光滑性较差，对于像高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即有二阶连续导数，早期工程师制图时，把富有弹性的细长木条（所谓样条）用压铁固定在样点上，在其他地方让它自由弯曲，然后画下长条的曲线，称为样条曲线。
它实际上是由分段三次曲线并接而成，在连接点即样点上要求二阶导数连续，从数学上加以概括就得到数学样条这一概念。
下面我们讨论最常用的三次样条函数。
三次样条函数:定义:函数],[)(2b a C x S ∈，且在每个小区间],[1+j j x x 上是三次多项式，其中b x x x a n =<<<=L 10是给定节点，则称)(x S 是节点n x x x ,,,10L 上的三次样条函数。
若在节点j x 上给定函数值),,1,0)((n j x f y j j L ==，并成立 ),,1,0()(n j y x S j j L ==，则称)(x S 为三次样条插值函数。
从定义知要求出)(x S ，在每个小区间],[1+j j x x 上要确定4个待定系数，共有n 个小区间，故应确定n 4个参数。
根据)(x S 在],[b a 上二阶导数连续，在节点)1,,2,1(−=n j x j L 处应满足连续性条件)0()0(+=−j j x S x S ，''(0)(0).j j S x S x −=+,).0()0(+′′=−′′j j x S x S 共有33−n 个条件，再加上)(x S 满足插值条件),,1,0()(n j y x S j j L ==，共有24−n 个条件，因此还需要2个条件才能确定)(x S 。
通常可在区间],[b a 端点n x b x a ==,0上各加一个条件（称为边界条件），可根据实际问题的要求给定。
常见的有以下三种：1° 已知两端的一阶导数值，即 n n f x S f x S ′=′′=′)(,)(00.2° 两端的二阶导数已知，即 ''00(),()n n S x f S x f ′′′′′′==， 其特殊情况 0)()(0=′′=′′n x S x S ， 称为自然边界条件。
三次参数样条曲线
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
三次样函数的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6) 2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
=>Mn-1= Mn 得方程组：
M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
Mn-1 - Mn=0;
三次样条曲线-程序
程序演示
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
(1)由于y =S (x ), S (x )= S (x )= y ， λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
(2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2
Mn-1 - Mn=0;
i i i i i+1 i+1 i+1 i+1
M1 - M2=0;
Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6) Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为：
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1; Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1;
三次样条曲线表达式
三次样条曲线表达式：灵活优美的曲线绘制方式在计算机图形学、数值计算和信号处理等领域中，数字化的连续函数是非常重要的一种形式。
而曲线是这种函数形式中的一个最基本的形式，可以被广泛地应用在计算机图形学、几何建模、视觉处理等方面。
而三次样条曲线就是其中一种非常灵活优美的曲线绘制方式。
三次样条曲线是将一段数据区间上的数据点插值得到的平滑曲线，其中“三次样条”的名称来自于插值函数的阶数和一种类似于自然样条函数的方式。
插值函数在每个插值点上都有一个有限的导数，因此在这些点之间不能出现任何角或拐点。
而且，由于样条插值函数比全局多项式插值函数具有更低的阶数，因此这种方法能够防止烦人的振荡现象。
三次样条曲线曲线绘制的基本思想是利用一个三次多项式来连接相邻的数据点。
该多项式的系数由这些点的值和导数决定，且利用相邻点间的差分来解出这些系数。
这样，曲线就可以平滑地穿过数据点，同时保持足够的灵活性，以便能够在不同的数据点之间呈现出各种优美的曲线。
一个三次样条曲线可以写成如下形式：S(x) = Si(x), xi ≤ x ≤ xi+1其中，i表示插值点之间的段数，xi是第i个插值点的x坐标，Si是第i个样条段的函数。
在插值点处，三次样条曲线具有相同的函数值和导数，即：Si(xi) = y[i]，即第i个段的起点函数值等于第i个插值点的函数值Si(xi+1) = y[i+1]，即第i个段的终点函数值等于第i+1个插值点的函数值Si'(xi) = d[i]，即第i个段的起点导数等于第i个插值点的导数Si'(xi+1) = d[i+1]，即第i个段的终点导数等于第i+1个插值点的导数而在插值点之间的点处，三次样条曲线的函数值和导数是由相邻两个插值点之间的三次多项式决定的。
也就是说，插值点之间的段数越多，函数值和导数的变化就越平滑，曲线就越优美。
利用三次样条曲线的灵活性，我们可以将其应用于如下场景中：1.计算机图形学：三次样条曲线在计算机图形学方面的应用非常广泛，它可以被用于绘制三维曲面的边缘、建立多边形曲线、创建复杂的动画效果等。
三次B样条曲线ppt课件
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
10
B 样条曲线示例
三次B 样条曲线示例
数字图像处理
11
B 样条曲线示例
四次B 样条曲线示例
数字图像处理
12
B 样条曲线示例
五次B 样条曲线示例
数字图像处理
13
2.2 B 样条曲线基函数的性质
B样条函数基函数为：
Gi,n (t)
1 n!
ni j 0
P
0,3(0)
P
0,3(1)
P"0,
3
(0)
1 2 ( P2 P0 ),
1 2
( P3
P1 ),
P2 2P1 P0
,
P"0,3 (1) P3 2P2 P1,
数字图像处理
29
三次B样条曲线
三次B样条曲线的顶点位置和顶点切矢
P1
P2
P0
P3
数字图像处理
三次B 样条曲线的基函数
四次B 样条曲线的基函数
数字图像处理
16
2.3 B 样条曲线的性质
1. 局部性
根据定义式可知，第 k 段n次B样条曲线只与 n+1 个 顶点Pi(i=0，1，…，n)有关，因此，当改动其中一个 控制顶点时，只会对相邻的n+1段产生影响，不会对
整条曲线(当 m＞＞ n)产生影响。这就为设计曲线时修
28
三次B样条曲线
性质1：端点位置
P0,3
(0)
1 6
( P0 4 P1 P2 )
1 3
P0
2
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解决问题的思路
插值 三次样条曲线 三次参数样条曲线
________________________________ __________________
三次样条曲线-定义
对于给定的n个型值点Pi(xi,yi),且hi=xi+1-xi>0, i=1,2,…,n， 若y=S(x)满足下列条件： (1) 在Pi(xi,yi)点上有yi=S(xi)； (2) S(x)在[x1 , xn]上二阶连续可导； (3)在每个子区间[xi , xi+1]上，S(x)是x的三次多项式； 则称S(x)为过型值点的三次样条函数，由三次样条函数 构成的曲线称为三次样条曲线。
M - M =0; n-1
n
________________________________
__________________
三次样条曲线-程序
程序演示
________________________________ __________________
三次参数样条曲线
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条三次参数样条曲线插值
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1;
λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M + 2M =6[ y -( y - y )/ h ]/ h ; '
n-1
n__________n_________n______n__-_1____ n-1
y1" =y2" ，yn-1" =yn" S1" (x1)=2c1= S2" (x2)= 2c2
=>M1= M2 Sn-2" (xn-1)=2cn-2+6dn-2hn-2= Sn-1" (xn)= 2cn-1+6dn-1hn-1
=>Mn-1= Mn 得方程组：
M1 - M2=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
M1=0; λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，i=2,3,…,n-1;
Mn=0;
________________________________ __________________
三次样函数的端点条件
(3)抛物端：
曲首线尾的两首段尾曲两即曲线在
三次参数样条曲线
________________________________ __________________
问题提出
有空间的n个点,p1,p2, p3，……,pn 要用一条曲线光滑连接
p2
pn
p3 p1
p4
________________________________ __________________
p2
pn
p3 p1
p4
________________________________ __________________
n-1
__________________
三次样函数的端点条件
(2)自由端：
端点处曲线二阶导数为零
即S1" (x1)=y1"=0 , Sn-1" (xn)=yn"=0 亦即 S1" (x1)= 2c1=0；=>M1=0
Sn-1" (xn)=2cn-1+6dn-1hn-1=0；=> Mn=0 得方程组：
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
从而有：
ai-1 = yi-1 ci-1=Mi-1/2 di-1=( Mi- Mi-1)/6 hi-1 bi-1 =( yi- yi-1)/ hi-1- hi-1(Mi-1/3+ Mi/6) (5)由 Si-1' (xi)= Si' (xi) 有bi-1+2ci-1hi-1+3di-1 hi-12= bi 令：λi= hi-1/(hi-1+hi),μi= hi/(hi-1+hi) Di=6/(hi-1+hi)*[( yi+1-yi)/ hi-( yi-yi-1)/ hi-1]
(3)要求曲线在二阶连续可导，则有
Si' (xi+1)= Si+1' (xi+1) Si" (xi+1)= Si+1" (xi+1) 从而有 bi+2cihi+3di hi2= bi+1
2ci+6di hi=2ci+1 (求di) (4)令Mi=2ci; 则有：
ai = yi ci=Mi/2 di=( Mi+1- Mi)/6 hi bi =( yi+1- yi)/ hi- hi(Mi/3+ Mi+1/6)
2 M1+ M2=6[( y2- y1)/ h1- y1']/ h1
Sn-1' (xn)=yn' 亦即yn-1'= bn-1= ( yn- yn-1)/ hn-1- hn-1(Mn-1/3+ Mn/6)
Mn-1+ 2Mn=6[ yn' -( yn- yn-1)/ hn-1]/ hn-1 得方程组为：
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
由定义可知在[xi , xi+1]上，Si(x)可写成： Si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)2+di(x-xi)3
ai, bi, ci, di为待定系数
(1)由于yi=Si(xi), Si(xi+1)= Si+1(xi+1)= yi+1， 有 yi = ai ai+bihi+cihi2+dihi3= yi+1（用于求bi）
(2)由Si' (x)= bi+2ci(x-xi)+3di(x-xi)2 有 Si' (xi)= bi
由Si" (x)= 2ci+6di(x-xi) 有 Si" (xi)= 2ci
________________________________ __________________
三次样函数的形式推导
可得：λi Mi-1+2 Mi+μi Mi+1= Di，
其中：λi+μi=1，i=2,3,…,n-1
________________________________ __________________
三次样函数的端点条件
(1)夹持端： 端点处一阶导数已知，即
S1' (x1)=y1' 亦即y1'= b1= ( y2- y1)/ h1- h1(M1/3+ M2/6)