“费马点”说明及例举
三角形费马点的证明及应用
三角形费马点的证明及应用费马点是指在平面上的任意三个不共线的点A、B、C中，使得∠ABC、∠ACB 和∠BAC的三个角的和最小的点。
费马点也称为斯纳尔·费马点，他是17世纪法国数学家斯纳尔·费马所研究的最小角三个角的位置问题。
为了证明费马点的存在，我们可以利用极限的思想进行推导。
首先假设在AB上存在一个点X使得∠CAX为等腰三角形CAX的顶角。
那么我们可以构造一个角为∠XAC的等腰三角形XAC。
显然，∠BAX=∠XAC，那么由三角形外角和定理可知∠ABC+∠AXC=180度。
由于AX是由三角形外一点引出的两条射线，所以AXC>180度，所以∠ABC<∠BAC。
同理，我们可以得到两个不等式：∠BAC<∠BCA，∠BCA<∠CAB。
将这三个不等式相加得到：∠ABC+∠BAC+∠BCA<∠ABC+∠BAC+∠CAB。
即∠ABC+∠BAC+∠BCA的和是最小的三个角的和。
我们可以进一步构造一个点P，在平面上使得∠BAP=∠BCP=∠CAP，即三角形ABP、BCP和CAP是等腰三角形。
由于三个等腰三角形所形成的角APB、BPC 和CPA的和一定是最小的，所以∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定是∠APB+∠BPC+∠CPA的和的一个下界。
我们可以发现，当P点与三角形ABC的内角A,B,C重合时，三角形ABP、BCP 和CAP都是等边三角形，此时∠APB+∠BPC+∠CPA=360度。
所以，∠ABC+∠BAC+∠BCA的和一定小于等于360度，在平面上一定存在一个点使得∠ABC+∠BAC+∠BCA的和为最小。
这个点就是费马点。
费马点的应用非常广泛，尤其是在物理学和工程学中。
例如，在导弹的航空导航中，费马点可以确定导弹的最短飞行路径，从而最大限度地节省燃料。
在通信网络中，费马点可以确定网络中的最佳传输路径，提高信息传输的效率。
此外，费马点还可以应用于地理学领域，确定地理坐标系统的最佳布局。
专题 几何最值之费马点问题【热点专题】
专题训练几何最值之费马点问题【热点专题】问题分析“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点.主要分为两种情况：（1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60度，从而将“不等三爪图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题.（2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点.费马点问题解题的核心技巧：旋转60°构造等边三角形将“不等三爪图”中三条线段转化至同一直线上利用两点之间线段最短求解问题模型展示：如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小.当点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120º，则PA＋PB＋PC的值最小，P点称为三角形的费马点.特别地，△ABC中，最大的角要小于120º，若最大的角大于或等于120º，此时费马点就是最大角的顶点A（这种情况一般不考，通常三角形的最大顶角都小于120°）费马点的性质：1.费马点到三角形三个顶点距离之和最小.2.费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°.最值解法：以△ABC任意一边为边向外作等边三角形，这条边所对两顶点的距离即为最小值.证明过程：将△APC边以A为顶点逆时针旋转60°，得到AQE，连接PQ，则△APQ为等边三角形，PA=PQ.即PA+PB+PC=PQ+PB+PC，当B、P、Q、E四点共线时取得最小值BE【例1】1．如图，四边形ABCD是菱形，AB=6，且∠ABC=60°，M是菱形内任一点，连接AM，BM，CM，则AM+BM+CM 的最小值为________．【例2】2．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM．(1)求证：△AMB≌△ENB；(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小；②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小，并说明理由；(3)当AM＋BM＋CM的最小值为3+1时，求正方形的边长．3．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME 的最小值为______．4．如图，四边形ABCD是菱形，AB=4，且∠ABC=∠ABE=60°，G为对角线BD（不含B点）上任意一点，将△ABG绕点B逆时针旋转60°得到△EBF，当AG+BG+CG取最小值时EF的长（）A B C D5．如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME 的最小值为______．6．已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最小值为2+6，求正方形的边长．小．8．若P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．(1)若点P为锐角△ABC的费马点，且∠ABC=60°，PA=3，PC=4，则PB的值为________；(2)如图，在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．9．在正方形ABCD中，点E为对角线AC（不含点A）上任意一点，AB=22；（1）如图1，将△ADE绕点D逆时针旋转90°得到△DCF，连接EF；①把图形补充完整（无需写画法）；②求EF2的取值范围；(2)如图2，求BE+AE+DE的最小值．10．已知，如图，二次函数y=ax2+2ax−3a a≠0图象的顶点为H，与x轴交于A、B两点(B点在A点右侧)，点H、B关于直线l：y=+3对称.(1)求A、B两点的坐标，并证明点A在直线l上；(2)求二次函数解析式；(3)过点B作直线BK//AH交直线l于K点，M、N分别为直线AH和直线l上的两个动点，连结HN、NM、MK，求HN+NM+MK的最小值.。
费马点结论及其详细证明过程
费马点结论及其详细证明过程
费马点定理（Fermat's Point Theorem）是指，当一个三角形的边都是整数时，它的内切圆必然有一个圆心位于三角形的三个顶点上。
证明过程：
假设ABC是一个边长都为整数的三角形，O是内切圆的圆心，令AB=a, AC=b, BC=c，
（1）由三角形外接圆的性质可知，三条边的中点到圆心的距离之和等于三条边的长度的一半，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=R$$
（2）根据勾股定理，三条边的中点到圆心的距离之和也等于圆心到三个顶点的距离之和，即：
$$\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}=OA+OB+OC$ $
将（1）、（2）式代入得：
$$R=OA+OB+OC$$
又有 $OA^2+OB^2=a^2$ 、$OB^2+OC^2=b^2$ 、
$OC^2+OA^2=c^2$
将此三式相加得：
$$OA^2+OB^2+OC^2=a^2+b^2+c^2$$
将此式与（3）式相减得：
$$OA+OB+OC=\sqrt{a^2+b^2+c^2-
2(a^2+b^2+c^2)}=0$$
可知OA=OB=OC=0，即圆心O位于三角形ABC的三个顶点上。
证毕。
费马点及经典例题与解析
费马点及经典例题与解析费马点，这是一个与数学息息相关的话题，它是由法国数学家费马提出的一种几何概念，即在一个凸多边形中，哪个边的长度最长，使得任意两边之和大于第三边。
这个概念在现实生活中有着广泛的应用，比如在计算机图形学、工程设计等领域都有所涉及。
本文将围绕费马点展开，介绍其基本概念、经典例题及其解析，帮助读者更好地理解和应用这一数学知识。
一、费马点的基本概念费马点是在凸多边形内的一点，使得多边形的任意两边之和大于第三边的长度。
根据费马的基本定理，任意一个凸多边形中都存在一个费马点。
它与几何中的重心不同，费马点是在一个特定区域内寻找一个点，使得该区域的任何两边之和最短。
二、经典例题及其解析例题1：求三角形中的费马点已知一个三角形ABC，求其费马点P的坐标。
解析：在三角形ABC中，费马点P的坐标可以通过以下方法求解：1.将三角形ABC分成三个区域：A区、B区和C区。
2.在每个区域内分别找到最短边的中点，并将这些中点连接起来。
3.连接形成的线段与三角形的边相交，交点即为费马点P。
在上述方法中，最短边的长度可以通过海伦公式求解，也可以通过三角形的性质直接得到。
具体来说，对于三角形ABC，其最短边为AB，则AC和BC的长度之和为AB的两倍。
因此，可以得出结论：在三角形ABC中，费马点P的坐标为((x,y))，其中：x=(A+C)/2+AB/2y=(B+C)/2-AB/2例题2：求五边形中的费马点已知一个五边形ABCDE，求其费马点P的坐标。
解析：在五边形ABCDE中，可以先将其分成五个区域，再按照上述方法求解费马点P的坐标。
由于五边形中有五条边，因此需要将每条边的中点连接起来形成新的线段。
这些线段与五边形的边相交，交点即为费马点P。
同样地，也可以通过海伦公式求解最短边的长度。
三、应用场景费马点在计算机图形学和工程设计中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，可以通过费马点来确定一个图像区域的最佳缩放比例，以达到最佳的视觉效果。
初二费马点例题
初二费马点例题费马点是数学中的一个重要概念，指的是在一个图形的内部某点到这个图形上的所有点的距离之和最小的点。
费马点在几何学、物理学以及工程领域都有广泛的应用。
下面，我们将通过几个初二水平的费马点例题来深入了解这一概念。
例题一：给定一个直角三角形ABC，其中∠ACB为直角，AC =5cm，BC = 12cm。
求斜边AB上的费马点及最小距离。
解答：首先，我们绘制出直角三角形ABC并标记出已知边长。
然后，我们将点D作为斜边AB上的费马点。
接下来，连接点C和D，得到线段CD。
根据费马定理，线段CD是边长AC和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。
为了找到这个线段，我们需要寻找线段CD的特点。
根据几何知识，可以得出线段CD垂直于斜边AB。
因此，我们可以通过构造垂直平分线，将线段CD分为两个相等的线段。
将线段CD的中点标记为E，连接点E和A，得到线段AE。
由于线段AE是线段AC的垂直平分线，所以AE与AC垂直，并且AE = AC / 2 = 2.5cm。
同理，将线段CE的中点标记为F，连接点F和B，得到线段BF。
由于线段BF是线段BC的垂直平分线，所以BF与BC垂直，并且BF = BC / 2 = 6cm。
综上所述，点D即为斜边AB上的费马点，最小距离为2.5cm。
例题二：在一个矩形ABCD中，AB = 6cm，BC = 8cm。
求矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点及最小距离。
解答：首先，我们绘制出矩形ABCD并标记出已知边长。
然后，我们将点P作为矩形内部使得到四个顶点的距离和最小的点。
接下来，我们连接点A和P，得到线段AP。
同时，连接点B和P，得到线段BP。
根据费马定理，线段AP和BP分别是线段AB和BC的连线中到两个端点距离和最短的线段。
为了找到这两个线段，我们需要构造两个垂直平分线。
将线段AP的中点标记为Q，连接点Q和B，得到线段BQ。
由于线段BQ是线段BC的垂直平分线，所以BQ与BC垂直，并且BQ = BC / 2 = 4cm。
费马点整理文档
1图1PCBAB`图2B探究费马点1．来历：费马在阅读“将军饮马”问题时，联想到“如何确定平面内到三个已知点距离和最小的点？” 写信给托里拆利，托里拆利解决了这个难题，后来斯坦纳进行了完善和推广。
2．结论：三角形的费马点：平面上，到一个已知三角形三个顶点的距离和最小的点叫做这个三角形的费马点． （1）当已知三角形最大内角小于120°时，费马点在该三角形内，且与任两个顶点的连线的夹角均为120°；（2）当已知三角形最大内角大于或等于120°时，费马点就是这个最大内角的顶点．3．证明．求三条发散的线段和的最小值，一般通过图形变换，形成确定两端点的折线，运用“两点之间线段最短”解决．1）当三角形的最大内角小于120°的情形．已知：如图1，P 为△ABC 内一点，∠APB=∠BPC=∠CPA=120°．设平面内有一点'P ．求证：PA+PB+PC ≤C P B P A P '''++．证明：如图2，分别以AP 、AC 为边作正三角形，连结E B ''，得△APC ≌△'AEB ，易知',,,B E P B 在同一直线上，PA+PB+PC='EB PE BP ++≤C P B P A P '''++．2B'B2）当三角形的最大内角不小于120°的情形．4．如何确定费马点的位置（最大内角小于120°的情形）．分别以BC 、AC 为边向外作正三角形，连结'',AA BB ，交点即为所求费马点P 。
（连结PC ，先证明△'ACA ≌△CB B '，得∠PAC=∠C PB '，所以',,,B C P A 四点共圆，得∠APC=120°，同理∠BPC=120°）可以看作两个等边△ACB ’和△BCA ’绕C 点旋转而成。
初中数学微专题——费马点
初中数学·几何综合几何模型·专题复习——费马点一、费马点及结论费马点：就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点。
费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点；对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点。
二、费马点结论的证明例：P为△ABC内任一点，请找点P使它到ABC△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？（1）当△ABC各角不超过120°时，如下图。
解析：如图，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°因此，当ABC△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点。
（2）当△ABC有一个内角超过120°时，如下图。
解析：如图，延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠C'AP'=180°-∠BAP-∠CAP=180°-∠BAC≤60°∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴PA+PB+PC≥PP'+PB+PC'>BC'=AB+AC所以A是费马点因此，当ABC△有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．三、费马点的求法当△ABC是三个内角皆小于120°三角形时，分别以 AB、BC、CA为边，向三角形外侧做正三角形△ABD、△ACE，然后连接DC、BE，则二线交于一点，记作点P，则点P就是所求的费马点。
费马点问题
费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝60°，BCP 是△ABC 内一动点，将△ACP 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，连接PE 、BD ，则PA ＋PB ＋PC 的最小值为___________．【例题2】如图，等边△ABC 中，AB ＝2，若点P 是△ABC 内部一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题3】如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝2，BC ＝P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题4】如图，正方形ABCD 内一动点E ，到顶点A 、B 、C 的距离之和AE ＋BE ＋CE，则这个正方形边长为____________．PEDCBAABCPAB CPE DCBA【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCAGNABCD P类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【例题12】如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，∠BAC＝90°，点P为△ABC内一点，则12P A＋PBPC的最小值为___________．AB CDEMAB CDEFPC BAAB CP【例题13】如图，点P是边长为2的等边△ABCP A＋PB＋12PC的最小值为_________．AB CP费马点问题1．费马点在三角形内部，到三角形三个顶点的距离之和最小的点叫做费马点．2．基本模型如图，在锐角△ABC 内有一点O ，分别连接OA 、OB 、OC ，求证：当∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°时，OA ＋OB ＋OC 最小．证明：将△APC 绕点C 旋转60°至△A ′P ′C ，则△PP ′C 是等边三角形，∴OA ＋OB ＋OC ＝BP ＋PP ′＋P ′A ≥BA ′，此时∠BPC ＝180°－∠CPP ′＝120°，∠A ′P ′C ＝180°－∠CP ′P ＝120°，∴∠APC ＝∠A ′P ′C ＝120°，∴∠AOB ＝∠AOC ＝∠BOC ＝120°．3．基本结论（1）对于一个各角都不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点．（2）对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．（不作研究）4．基本题型（1）两点之间线段最短（2）垂线段最短（3）加权问题加权费马点，旋转加缩放，系数先化一，必为勾股数．A BCPABP PCP′P′A′APBC类型1：经典费马点问题：两点之间线段最短【例题1】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BCP是△ABC内一动点，将△ACP绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接PE、BD，则PA＋PB＋PC的最小值为___________．【答案】7．【例题2】如图，等边△ABC中，AB＝2，若点P是△ABC内部一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题3】如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝P是△ABC内一个动点，则P A＋PB＋PC的最小值为__________．【答案】．（提示：将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AB′P′）【例题4】如图，正方形ABCD内一动点E，到顶点A、B、C的距离之和AE＋BE＋CE，则这个正方形边长为____________．【答案】2．（提示：将△ABE绕点A顺时针旋转60°得到△AB′E′，∠B′BP＝90°－60°＝30°，设B′P＝x，则PB，B′B＝BC＝2x，在Rt△B′PC中，x2＋＋2x)2＝2，解得x＝1，∴BC＝PEDCBAABCP P′A′MPCBAAB CPP′B′NMPCBAEDCBAABCDEPB′E′2）【例题5】如图，△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，∠ABC ＝60°，若点P 是△ABC 内一个动点，则P A ＋PB ＋PC 的最小值为__________．【答案】7．（提示：将△ABP 绕点A 顺时针旋转60°得到△AB ′P ′）【例题6】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠CAB ＝30°，AD ⊥BC ，垂足为D ，P 为线段AD 上的一动点，连接PB 、PC ，则P A ＋2PB 的最小值为_____________．【答案】．（提示：费马点）【例题7】如图，在△MNG 中，MN ＝6，∠M ＝75°，MG ＝O 为△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离之和的最小值为____________．【答案】（提示：将△MOG 绕点M 顺时针旋转60°得到△MO ′G ′）【例题8】如图，锐角三角形ABC 中，∠ACB ＝60°，AB ＝7，BC ＝5，AC ＝8，D 为△ABC 内一点，BD ＝1，△ABC 内有动点P ，则P A ＋PC ＋PD 的最小值为_________．PCB AABCPP′B′E FP′B′PD CBAGNG′O′HNMOGABCD PC′P′PFE D CBA1．（提示：将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP′C′）类型2：动态费马点问题：垂线段最短【例题9】如图，已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝6，点M为矩形内一点，点E为BC边上任意一点，则MA＋MD＋ME的最小值为___________．【答案】4＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）【例题10】如图，四个村庄坐落在矩形ABCD的四个顶点上，AB＝10公里，BC＝15公里，现在要设立两个车站E、F，则EA＋EB＋EF＋FC＋FD的最小值为__________公里．【答案】15＋（提示：将△AMD绕点D顺时针旋转60°得到△A′M′D）类型3：加权费马点——缩放法，旋转系数大的线段【例题11】如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠ABC＝30°，P是△ABC内一动点，则P APB＋PC的最小值为___________．【答案】（提示：将△ABP绕点B逆时针旋转90°得到△A′BP′）AB CDEMAB CDEFE′B′C′F′NMFEDCBAPCBA ABCEPP′A′【例题12】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠BAC ＝90°，点P 为△ABC 内一点，则12P A ＋PBPC 的最小值为___________．【答案】（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点C 顺时针旋转90°得到△AP ′C ′；方法2，原式＝12(P A ＋2PBPC )，将△APC 扩大到原来的2倍，并绕点C 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）【例题13】如图，点P 是边长为2的等边△ABCP A ＋PB ＋12PC 的最小值为___________．．（提示：方法1，将△APC 缩小到原来的12，并绕点A 逆时针旋转60°得到△AP ′C ′；方法2，将△APC，并绕点C 逆时针旋转30°得到△A ′P ′C ；方法3，原式＝12A ＋2PB＋PC )，将△APCC 顺时针旋转90°得到△A ′P ′C ）A BCPP′A′PEC B AABCPABCE PC′P′ABCPA′P′。
正方形中的费马点
正方形中的费马点一、费马点的定义费马点，又称费马中心，指的是一个平面图形中到图形上所有顶点的距离之和最小的点。
在一个正方形中，费马点就是到四个顶点距离之和最小的点。
二、费马点的求解方法1. 穷举法首先，我们可以采用穷举法来求解正方形中的费马点。
穷举法的思路是，先确定一个点，然后计算该点到四个顶点的距离之和，不断移动这个点，直到找到到距离之和最小的点为止。
具体步骤如下： 1. 在正方形内随机选取一个点作为初始点； 2. 计算该点到四个顶点的距离之和； 3. 在正方形内随机选取一个相邻的点，计算该点到四个顶点的距离之和； 4. 比较两个点的距离之和，保留距离之和较小的点作为新的当前点；5. 重复步骤3和4，直到找到距离之和最小的点。
这种方法虽然直观，但由于考虑了所有可能的点，计算量较大，时间复杂度为O(n^2)，在实际应用中可能效率较低。
2. 几何法除了穷举法外，我们还可以通过几何方法来求解正方形中的费马点。
几何法的思路是利用正方形的对称性，寻找费马点的位置。
具体步骤如下： 1. 连接正方形的对角线，得到两个交点，分别为A和B； 2. 连接正方形的两条相邻边的中点，分别为C和D； 3. 连接AC、BC、AD和BD，得到四条线段； 4. 这四条线段两两相交的点即为正方形中的费马点。
几何法的时间复杂度较低，仅为O(1)，且不需要考虑所有可能的点，因此在实际应用中更为常用和有效。
三、费马点的性质费马点具有一些特殊的性质，我们可以通过这些性质来进一步理解和应用费马点。
1. 最短路径性质费马点是指到正方形上所有顶点的距离之和最小的点，因此从费马点到任意一个顶点的路径也是最短路径。
利用这个性质，我们可以在无线通信中优化信号传输路径，或者在运输领域规划货物的最佳路径等。
2. 最大面积性质费马点还具有一个有趣的性质，即费马点到正方形上所有顶点的线段所围成的区域面积最大。
这个性质在图形和几何领域中有着广泛的应用，例如寻找最大面积的矩形或三角形等。
中考数学压轴题 《费马点》
中考数学压轴题《费马点》根据费马点的定义，它是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离。
如果三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；如果三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点。
一、如果三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点。
例如，在△ABC中，如果∠BAC≥120°，则点A为△XXX的费马点。
证明过程如下：在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP ＝∠CAP，并且使得AP＝AP，连结PP，则△APC≌△APC，PC＝PC。
因为∠BAC≥120°，所以∠PAP＝∠CAC≤60，所以在等腰△PAP中，AP≥PP，所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC，所以点A为△XXX的费马点。
二、如果三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点。
例如，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，则点O为△ABC的费马点。
证明过程如下：在△ABC内部任意取一点O，连接OA、OB、OC，将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D，连接OO′则O′D＝OC，所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO，所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D，则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小。
此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O。
如果在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心。
初二费马点的典型例题
初二费马点的典型例题费马点（Fermat's point），又称费马最短路径点或费马中心，是指平面上一个点，到三个不在同一条直线上的点的距离之和最短的点。
费马点是一个有趣而重要的几何概念，其求解方法可以用到很多实际问题中。
本文将介绍费马点的定义、性质以及典型例题，帮助读者更好地理解和应用费马点的概念。
一、费马点的定义与性质费马点的定义很简单，即平面上一个点，到三个不在同一条直线上的点的距离之和最短。
费马点的性质也很有意思，我们来看一下。
1.费马点是一个最短路径点。
具体来说，对于平面上的任意一点P，到已知的三个点A、B、C的距离PA、PB、PC之和是一个常数，即PA+PB+PC是一个定值（记为d）。
而费马点F是使得PA+PB+PC取得最小值的点，即F是最短路径点。
2.费马点与角度相关。
费马点是使得∠AFB、∠BFC、∠CFA角度之和取得最小值的点。
在费马点F处，∠AFB = ∠BFC = ∠CFA = 120°。
3.费马点存在性。
无论三角形ABC是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形，费马点一定存在。
但是如果ABC为等边三角形，那么费马点就是三角形的重心。
二、费马点的求解方法现在我们来看一下如何求解费马点。
1.图形法求解。
假设已知三个点A、B、C在平面上，我们可以用细线或橡皮筋将它们固定在平面上，然后找一支最短的铅笔或针，将其一头固定在点A上，然后另一头固定在点B上，然后再以这只铅笔作为定直尺，在点C上找到一点F。
这个点F就是费马点。
2.三角形法求解。
设ABC为一个三角形，我们可以用工具绘制这个三角形，然后利用三角形的角平分线相交的点，即三角形的内心，作为费马点。
3.代数法求解。
我们可以利用向量、坐标等代数方法来表示点和距离，通过求解最短距离之和的最小值，得到费马点的坐标。
三、费马点的典型例题下面我们通过一个具体的实例来进一步讨论费马点的应用。
例题：已知三个点A(1, 2)、B(3, 6)、C(5, 4)，求费马点的坐标。
费马点例题
费马点例题
费马点问题是数学中的一个经典问题，它最初由法国数学家费马在17世纪提出。
费马点指的是平面内的一个点，该点到平面内任意三角形的三个顶点的距离之和最小。
这个问题在许多领域都有应用，例如机器人路径规划、网络优化等。
在本文中，我们将介绍一个例题，帮助读者更好地理解费马点问题。
例题：已知平面内三角形ABC，求其费马点P的坐标。
解法：我们可以使用以下方法求解。
1. 假设费马点P在三角形内部，而不在三角形上。
2. 将三角形ABC分别以边AB、AC为直线，分别作垂线。
设垂足分别为D、E。
连接DE。
3. 连接BP、CP。
4. 由于BP、CP分别是三角形ABC的角平分线，所以∠PBC=∠PCA。
5. 又因为BP、CP分别与AD、AE垂直，所以∠ABC=∠ACB=90°-∠PBC=90°-∠PCA。
6. 因此，∠BAP=∠CAP，所以AP是角BAC的平分线。
7. 由于BP、CP分别是角BAC的平分线，所以BP、CP与AP相交于同一点P。
8. 因此，点P就是费马点。
9. 求出P点的坐标，可以使用向量运算或坐标运算等方法。
以上就是求解费马点问题的一个例题。
需要注意的是，如果费马
点在三角形外部，则需要另外的方法求解。
总结：费马点问题是一个经典问题，虽然它已经有了几百年的历史，但在现代科学技术中依然有着广泛的应用。
通过学习费马点问题，我们可以更好地理解数学中的优化问题，并且可以应用到实际问题中去。
初二费马点的典型例题
初二费马点的典型例题费马点，又称费马点定理，是数学中关于三角形的一个有趣性质。
它的内容是：在三角形ABC中，任取一点O（不在三角形ABC的边上），连接AO、BO、CO，那么AO、BO、CO三条线段的乘积最小值出现在O点恰好位于三角形ABC的角平分线上的情况下。
换句话说，当O点在三角形ABC的角平分线上时，AO、BO、CO的乘积达到最小值。
求解费马点的方法有多种，其中较为常见的方法有以下两种：1.利用三角形的角平分线性质：在三角形ABC中，角平分线上的点到三角形三个顶点的距离之积最小。
通过这一性质，可以轻松求得费马点。
2.利用解析几何方法：设三角形ABC的三个顶点分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，费马点为O(x0, y0)。
根据角平分线性质，有x0 = (x1 + x2 + x3)/3，y0 = (y1 + y2 + y3)/3。
然后利用解析几何方法，可以求得O点的坐标。
接下来，我们分析一个典型的费马点例题：已知三角形ABC的三个顶点分别为A(2, 3)，B(5, 7)，C(3, 1)。
求三角形ABC的费马点。
解题步骤如下：1.求三角形ABC的角平分线方程。
首先求出AB边的中点M，坐标为(3.5, 5)。
然后求出MC的斜率，得到角平分线方程为y - 5 = -1/2(x - 3.5)。
2.求出三角形ABC的费马点。
将角平分线方程与BC边联立，解得交点坐标为O(1.5, 4)。
因此，费马点O的坐标为(1.5, 4)。
在解题过程中，需要注意以下几点：1.掌握三角形的角平分线性质，灵活运用到求解费马点问题中。
2.根据题意，正确求解角平分线方程。
3.通过解析几何方法，求解费马点的坐标。
费马点问题不仅有趣，而且具有一定的实用性。
掌握求解费马点的方法，能够帮助我们更快地解决相关问题。
费马点做法依据
费马点做法依据
皮埃尔·德·费马，法国律师和业余数学家。
他在数学上的成就不比职业数学家差，他似乎对数论最有兴趣，亦对现代微积分的建立有所贡献。
被誉为“业余数学家之王”。
费马，是当今常见译法，也翻译作费尔马。
80年代的书籍文章也多见译为“费尔玛”的情况，但“费玛”则少见。
费尔马点：
如果存在一个点到三角形三个顶点的距离之和为最小,则这个点称为费尔马点。
证明：
情况一：当△ABC最大内角小于120°时
以C点为旋转中心，将△CDB逆时针旋转60度到△CEF 位置。
易知DB=EF，DC=CE=DE,DA+DB+DC=DA+DE+EF，显然当A、D、E、F四点共线时，距离之和最短。
当A、D、E共线时，
∠CDA=120°，当D、E、F共线时，∠FEC=∠BDC=120°，所以D点应该对三个顶点的张角都为120°，这就是费尔马点的位置。
情况二：当△ABC有一内角不小于120°时：
很显然此时点C就是费马点，由此可知如果三角形有一个内角大于等于120°时，费马点就是该内角顶点。
综上所得：我们知道,当△ABC最大内角小于120°时,F 在△ABC内部,且满足∠BFC=∠CFA=∠AFB=120°;当△ABC有一内角不小于120°时,F点与最大角的顶点重合。
“费马点”说明及例举
费马点费马（Pierre de Fermat，1601-—1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。
其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。
本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年.他的一系列重要科学研究成果,都是利用业余时间完成的.他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。
他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。
他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿,在其所著<平面及空间位置理论的导言>中，最早提出了一次方程代表直线,二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式,也进行了研究。
费马还研究了对方程221yax=+整数解的问题。
得出了求导数所有约数的系统方法.所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题:“在三角形所在平面上,求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。
这是费马通信的一贯作风。
当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。
人们称这个点为“费马点”。
还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。
可到死也没告诉人家这个所谓证明。
结果困扰世界数学界一百多年。
直到去年才解决。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。
1637年费马提出:“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和,一般地,不可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。
” 即:)3(,2≥=+nzyx nn无整数解。
1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果.费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理,命名为费马原理。
这一原理是几何光学的最重要基本理论之一,对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段.几何光学已有悠久的发展历史，由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。
费马点问题
费马点问题若三角形内有一点，满足到三角形三顶点连线最短，则该点被称为“费马点”。
三角形中费马点分为两类：1、三角形三个顶角均小于120°，则费马点与各定点连线夹角均为120°；2、三角形有一角大于或等于120°，则费马点为这个角顶点。
一般情况下中学研究费马点情况属于第一种，证明方式如下：例：如图，△ABC中，∠BAC=30°，AB=3，AC=4，P为三角形内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
证明方式如下：如图，将△APB绕A逆时针转60°至△AP’B’，则PB=P’B’，△APP’为等边三角形，AP=PP’，即AP+BP+CP=CP+PP’+P’B’，其中C和B’为定点，通过化折为直，最小值为线段CB’的长。
当取最小值时，∠APC=∠AP’B’=120°，可反推得∠APB=∠BPC=∠APC=120°。
最后∠CAB’=90°，利用勾股定理可解得CB’=5这就是费马点问题的一般解法，利用构造旋转全等将线段转移，且旋转角度一定是60°。
例1.如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°，P为△ABC内部一点，P A+PB+PC 最小值为24，求2BC。
例2.如图，△ABC中，AB=5，AC=3，∠BAC=60°，P为△ABC内一点，求（P A+PB+PC）最小值。
在上述问题中，P 与各点连线系数均为1，那如果系数不为1时，是否还能用同样方式求解呢。
如图，△ABC 中，AB =3，AC =2，∠BAC =30°，P 为平面内一点，求CP AP BP 23++最小值对于这题，一般解题思路可以为结合常见费马点解题方法，同时构造出AP 3和2CP ，由此可以考虑到结合含30°角直角三角形，因此有了如下辅助线构造：将△APC 绕A 逆时针旋转60°然后放大2倍，则可构造出2CP ，同时△APP ’为30°角直角三角形，有PP ’=AP 3，则CP AP BP 23++=BP +PP ’+P ’C ’，其中B 和C ’为定点，则四点共线时最短，接下来就是勾股运算了。
费马点 的两证明方法
精心整理费马点的两证明方法费马点，就是平面上到三角形三顶点距离之和最小的点。
当三角形有一个内角大于或等于一百二十度的时候，费马点就是这个内角的顶点；如果三个内角都在120度以内，那么，费马点就是使得费马点与三角形三顶点的连线两两夹角为120度的点。
1、费马点不在三角形外，这个就不用证了，很显然。
但为了严谨，还是说一下2、当有一个内角大于等于120度时候对三角形内任一点P延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP是把三角形APC以A为中心做了个旋转）则△APC≌△AP'C'∵∠BAC≥120°∴∠PAP'=180°-∠BAP-∠∴等腰三角形PAP'中，AP≥PP'∴所以A3做出△ABC内一点P，使得∠APC=∠BPC=∠CPA=120°，分别作PA,PB,PC的垂线，交于D,E,F三点，如图，再作任一异于P的点P'，连结P'A,P'B,P'C，过P'作P'H垂直EF于H易知∠D=∠E=∠F=60°，即△DEF为等边三角形，计边长为d，面积为S则有2S=d(PA+PB+PC)∵P'A≥P'H所以2S△EP'F≤P'A*d同理有2S△DP'F≤P'B*d2S△EP'D≤P'C*d相加得2S≤d(P'A+P'B+P'C)即PA+PB+PC≤P'A+P'B+P'C，当且仅当P,P'重合时取到等号所以P是费马点虽然不知道费马点在那里，我们先假设他在某个位置，做出来，证明他不可能具有某些性质，最后确定他的位置，这个证明仅限于三个内角都小于以A,C为焦点，AP+PC为长轴长，做椭圆，以B为圆心，BP为半径，做圆我们先假定椭圆与原是相交的，并取他们公共部分内部一点P'则P'在圆内也在椭圆内所以P'A+P'B+P'C>PA+PC+PC，与假设矛盾，所以圆与椭圆必相切（不可能没有公共点吧，因为都过P）BP与公切线垂直APC，所以∠APB=∠CPB同理有∠APC=∠CPB所以∠APC=∠APB=∠CPB=120°即为费马点。
著名的三角形费马点！
著名的三角形费马点！
已知三角形ABC，在其内部找一点P，使得PA+PB+PC为最小。
（注：这里有简化，一般情况是去掉在其内部，因而要先证明最小点P 不在三角形ABC的外面）
如图，将三角形ABP逆时针旋转60度至三角形A'BP'，连接PP'，CA'。
根据旋转变换，三角形P'BP为等边三角形，所以有PA+PB+PC=P'A'+PP'+PC。
利用两点之间线段最短，当点P，P'在直线CA'上时，所求为最短！于是，转化为下图：
则有：
事实上，所求的点即为三角形的费马点（Fermat点）。
下面，我们从另外一个角度给予证明，为什么费马点是到三角形三个顶点的距离之和最小的点。
作辅助线如下：
具体证明如下：
清楚了没，要记住这个结论哦（）有时候，可作为证明题的桥梁哦！值得指出的是，并不是所有三角形都能找到费马点的，前提是三角形的每个内角都必须小于120度，那么问题来了：倘若三角形ABC中角A大于或等于120度，那么符合题意的点P在哪里呢？
具体证明如下：
可见，对于三角形中某个角大于或等于120度的情况，符合题意的点P即为三角形该钝角的顶点。
（这个结论也可以记住哦！）当然，该问题也可从物理学的角度进行证明，考虑到学生理解能力，以后再说吧！欢迎大家指正！。
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费马点
费马（Pierre de Fermat,1601--1665）法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号,生于博蒙德罗曼。
其父曾任法国图卢兹地方法院的法律顾问。
本人身为律师，曾任图卢兹议会的顾问30多年。
他的一系列重要科学研究成果，都是利用业余时间完成的。
他是解析几何的发明者之一．在数学方面作出了卓越的贡献，早年主要研究概率论，对于数论和解析几何都有深入研究。
他对微分思想的运用比牛顿和莱布尼兹还要早，在他所著《求最大值和最小值的方法》一书中，已对微分理论进行了比较系统的探讨。
他把直线平面坐标应用于几何学也早于笛卡儿，在其所著〈平面及空间位置理论的导言〉中，最早提出了一次方程代表直线，二次方程代表截线，对一次与二次方程的一般形式，也进行了研究。
费
马还研究了对方程
2
21y
ax=
+整数解的问题。
得出了求导数所有约数的系统方法。
所谓的“费马点”就是法国著名数学家费马在给数学朋友的一封信中提出关于三角形的一个有趣问题：“在三角形所在平面上，求一点，使该点到三角形三个顶点距离之和最小．”让人家想,并自称已经证明了。
这是费马通信的一贯作风。
当时欧洲所有数学家对他都十分头疼的。
人们称这个点为“费马点”。
还有象著名的费马大定理也是这样，给欧拉的信中提出的，自称已经“有了非常巧妙的证明”。
可到死也没告诉人家这个所谓证明。
结果困扰世界数学界一百多年。
直到去年才解决。
著名的费马大定理是费马提出的至今尚未解决的问题。
1637年费马提出：“不可能把一个整数的立方表示成两个立方的和，把一个四次方幂表示成两个四次方幂的和，一般地，不
可能把任一个次数大于2的方幂表示成两个同方幂的和。
” 即：
)3
(,2≥
=
+n
z
y
x n
n
无整
数解。
1665年这一定理提出后，引起了许多著名数学家的关注，至今尚在研究如何证明它的成立，但始终毫无结果。
费马在光学方面，确立了几何光学的重要原理，命名为费马原理。
这一原理是几何光学的最重要基本理论之一，对于笛卡儿的“光在密媒质中比在疏媒质中传播要快”的观点给予了有力的反驳，把几何光学的发展推向了新的阶段。
几何光学已有悠久的发展历史,由于费马原理的确立，几何光学发展到了较为完善的程度。
1621年斯涅尔总结出了光的折射定律。
费马则是用数学方法证明了折射定律的主要学者之一。
费马原理是根据经济原则提出的，它指出：光沿着所需时间为极值的路径传播。
可以理
解为，光在空间沿着光程为极值的路传播，即沿光程为最小、最大或常量路径传播。
费马定理不但是正确的，同时它与光的反射定律和折射定律具有同等的意义。
一、费马点——就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
1、费马点一定不在三角形外（证明略）
2、当有一个内角大于或等于120°时
对三角形内任一点P
延长BA至C'使得AC=AC'，做∠C'AP'=∠CAP，并且使得AP'=AP, PC'=PC，（说了这么多，其实就是把三角形APC以A为中心做了个旋转）
则△APC ≌ △AP'C'
∵∠BAC ≥ 120°
∴∠PAP' = 180°-∠BAP-∠C'AP' = 180°-∠BAP-∠CAP = 180°-∠BAC ≤ 60°
∴等腰三角形PAP'中，AP ≥ PP'
∴PA + PB + PC ≥ PP' +PB + PC' > BC' = AB + AC
∴点A即费马点
3、当三个内角都小于120°时
△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？
下面简单说明如何找点P使它到ABC
解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，
所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．
点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．
这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，
∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，
∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°
△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都因此，当ABC
是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有
C
B A A
B E
一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．
费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．
费马点作法
（1）平面内一点P到△ABC三顶点的之和为PA+PB+PC，当点P为费马点时，距离之和最小。
特殊三角形中：
(2).三内角皆小于120°的三角形，分别以AB,BC,CA，为边，向三角形外侧做正三角形ABF,ACE,BCD,然后连接AD,BE,CF,则三线交于一点P,则点P就是所求的费马点.
(3).若三角形有一内角大于或等于120度,则此钝角的顶点就是所求的费马点.
(4)当△ABC为等边三角形时,此时内心与费马点重合
费马点应用例举
例1 （2008年广东中考题）已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之和的最26
F
A
C
B
C
x
y O
A
M
B
例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，
()6,0B ， )36,0(M ， 设P 为y 轴上一点，点M 先沿y 轴到达P 点，再沿PA 到达A 点，
若M 点在y 轴上运动的速度是它在直线PA 上运动速度的2倍，试确定P 点的位置，使M 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．
例3 （2009年湖州中考题）若点P 为△ABC 所在平面上一点，且∠APB =∠BPC =∠
CPA =120°, 则点P 叫做△ABC 的费马点．
（1） 若P 为锐角△ABC 的费马点，且∠ABC =60°，PA =3，PC =4, 则PB 的值为 ； （2）如图8，在锐角△ABC 的外侧作等边△ACF ，连结BF ．求证：BF 过△ABC 的费马点
P ，且BF =PA +PB +PC ．
例4 ：在ABC中，分别以AB,BC,CA，为边向三角形外侧做正三角形ABD、ACF、BCE，∠ABC= 60°，证明：S△ABC+ S△ACF= S△ABD+ S△BCE
注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础，即存在相等的线段，一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决．F
D A
B C。