任务8.2 用矩阵表示图

0 0
0
2
0，A3 0
0 2
2 0
0 0
0 0，A4
0 2
4 0
0 2
0 0
0 0.
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 0 0 0 1
v1到v3的长度为1的路有0条 v1到v3的长度为2的路有1条 v1到v3的长度为3的路有0条 v1到v3的长度为4的路有2条
A(G
)
v2
a21
a22
a1n
a2
n
vn
an1
an 2
ann
a 称为无向图 G 的邻接矩阵,其中 表示顶点 ij
vi
与 相邻的次数．
vj
v1 v2
v4
v3
0 1 1 1
A(G
)
1 1 1
0 1 0
1 0 0
0
0 0
无向图的邻接矩阵是对称的．
无向图的邻接矩阵中，行元素之和等于相应点的度．
练习4 求下图的可达矩阵．
小结
b21
b22
vn
b
n
bn 2
b1m
b2m
bnm
称为无向图 G 的关联矩阵，其中 bij 表示顶点 vi 与边 ej 的关联 次数．
例2 求出无向图8.18的关联矩阵及邻接矩阵．
解
关联矩阵为
例2 求出无向图8.18的关联矩阵及邻接矩阵．
解
邻接矩阵为
练习2 求下图的关联矩阵．
无向图关联矩阵的性质
(2) G中有长度为2的路 vivkvj 存在 到结点vj的长度为2的路的数目等于
aik=akj=1，所以从结点vi
ai1 a1 j ai2 a2 j
n
ain anj
aik akj
a (2) ij
k 1
其中ai(j2)是( A(G))2中第i行、第j列的元素．
从 vi 到 vj 的长度为 l 的路，可以看成是由vi 到 vk
由于矩阵的行列有固定的顺序，因此在用矩阵表示图之前， 必须将图的结点和边编号，才能写出有关矩阵．
任务8.2 用矩阵表示图 8.2.1 求图的邻接矩阵
定义１（无向图的邻接矩阵）设无向图 G = <V, E> 的结点集 V ={v1, v2, …, vn}． n 阶方阵
v1 v2
vn
v1 a11 a12
由例３可以看出，在有向图的关联矩阵中，非0元的值可以是1或1．因为每列对应一条有向边，所以每列恰有两个非零元1和-1．每 行对应一个点，所以每行元素的绝对值之和为对应点的度数，1的 个数为出度，-1的个数为入度．矩阵的所有元素的代数和为0. 1的 个数等于-1的个数等于有向图的边数．
练习3 求下图的关联矩阵．
1 0 0 1 0
0 2 1 0 A(D) 0 0 1 0
0 0 0 1 0 0 1 1
利用邻接矩阵计算路的数目
设有向图 G 的结点集合 V={v1, v2, …, vn}, 它的邻接矩阵 为 A(G)=(aij)n×n ．下面讨论某一长度的路的数目．这里不同起点的 路都看成不同的．
(1) A(G) 中所有元素之和为 G 中长度为 1 的路的数目．
解 注意到 v3 v4 v3 ，v4 v3 v4 ．
得有向图8.20的可达矩阵为：
说明
(1) 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任意结点是 否有通过它的回路．
(2) 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵P，方法如下：
Bn=A+A2+…An，
再把Bn中的非零元均改为1，零元保持 P．
不变，得到可达性矩阵
例1 给定图 G=<V,E>，求 v1 到 v3 的长度为1,2,3,4的路的数目． 经过v2的回路共有多少条？
解
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
1 0 1 0 0
0 2 0 0 0 2 0 2 0 0
0 A2 1
2 0
0 1
<V, E> ， V ={v1, v2, …, vn}，E ={e1, 矩阵
nm
e1 e2
v1 b11 b12
M
(D)
v2
b21
b22
vn
b
n
bn 2
称为有向图 D的关联矩阵,其中
em
b1m
b2 m
bnm
1，
bij 1，
vi为l
的起点
j
vi为l
的终点．
j
0，
vi与l
不关联
j
例3 求出有向图8.19的关联矩阵． 解
有向图 D 的邻接矩阵 A(D) 中每一行元素之和，表示相应点的 出度，每一列元素的和表示相应点的入度．只有当第 i 行、第 i 列 元素全为 0时，所对应点 vi 才不与任何边关联，即为孤立点．
练习2 求下列图的邻接矩阵
解
0 1 1 1 1
1 0 1 0 0
A(G) 1 1 0 1 0
1 0 1 0 1
练习1 已知无向图的邻接矩阵为
0 1 0 1 1 0
1 0 1 0 1 1
A(G
)
0
1
0
0
0
1 ，试画出相应的无向图．
1 0 0 0 1 0
1 0
1 1
0 1
1 0
0 1
1 0
解
先确定结点再用行确定边．
v1
Байду номын сангаас
v2
v3
无向图如右图
v4
v5
v6
定义２（有向图的邻接矩阵）设有向图 D = <V, E> 的结点集 V ={v1, v2, …, vn}． n 阶方阵
(1) M(G)中每一列只有两个非零元; (2) 每一行中所有元素的和是对应结点的度数； (3) 若一行中元素全为0，则其对应结点为孤立结点； (4) 同一个图当结点或边的编序不同时，其对应的M(G)仅有行序、
列序的差别．
定义4（有向图的关联矩阵）(仅限有向图无环)
设简单有向图 D = e2, …, em}，
的一条长度为 1 的路和 vk 到 vj 的一条长度为 l -1的路合 成，所以 vi 到 vj 的长度为 l的路的数目为：
ai1
a(l-1 ) 1j
ai 2
a(l-1 ) 2j
n
ain
a(l-1) nj
aik
a(l-1) kj
a(l) ij
k 1
长度为l的路的数目的求法
定理１ 设 A(G) 是图 G 的邻接矩阵，则 (A(G))l中的第 i 行，第 j 列元素 aij(l) 等于 G 中联结vi 与 vj 的长度为 l 的路的数目．
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8.2.3 求图的可达矩阵
定义５（可达矩阵）设有向图 D = <V, E> ， V ={v1, v2, …, vn}，
j)，
令
pij pii=101,,,v否i可则达vji = 1, 2, … , n．
(i
称 P(D) = ( pij )n n 为有向图 D 的可达矩阵．
例4 求图 8.20 的可达矩阵．
经过v2的回路共有 a22(2)+ a22(3)+ a22(4) =2+0+4=6
8.2.2 求图的关联矩阵
定义３（无向图的关联矩阵）设无向图 G = <V, E>，V ={v1, v2, …, vn}，E ={e1, e2, …, em}．
矩阵
nm
e1 e2
em
v1 b11 b12
M
(G)
v2
v1 v2
vn
v1 a11 a12
A(
D)
v2
a21
a22
a1n
a2
n
vn
an1
an 2
ann
a 称为有向图 D 的邻接矩阵,其中 表示顶点 ij与
vi
相邻的次数．
vj
v1
v2
v4
v3
0 0 0 1
A(D)
1
0
0
0
1 1 0 1
0
1
1
0
有向图的邻接矩阵不一定是对称阵，只有两点间的边均成对出 现，矩阵才是对称的．