一元二次不等式及解法(一)

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高三数学一元二次不等式及其解法(一)

① －x2+x+1≥0；② x 2 2 5 x 5 ； 0 ③ x2+6x+10>0； ④ 2x2－3x+4<1，
其中解集为R的是（ B ）
（A）④ （C）② （B）③ （D）①
7．不等式2x2－3x－35>0的解集是（ A ） 7 （A）{x | x 或x 5} 2 7 （B）{x | x 0或x 5} （C）{x | 5 x 5或x 7} （D）{x| x>5或x<－5}
14．若不等式(1－a)x2－4x+6>0的解集是 {x| －3<x<1}，求a的值。
a=3
3.3一元二次不等式及其解法（一）
1．不等式x2>3x的解集是（ B ）（A）{x| x>3} （B）{x| x<0或x>3}
（C）{x| 0<x<3} （D）R
2．不等式2x+3－x2>0的解集是（ A ）
（A）{x| －1<x<3}
（B）{x| －3<x<1} （C）{x| x<－1或x>3}
2
2
m 8．不等式 x mx 0 恒成立的条件是 2
2
（ D ）（A）m>2 （B）m<2
（C）m<0或m>2 （D）0<m<2
9．方程x2+(m－3)x+m=0有两个实根，则 m的取值范围是 m≥9或m≤1 。
10．已知不等式x2+mx+n>0的解集是{x| x<
－1或x>2}，则m= －1
； n= － 2 .
11．已知集合A={x∈R| x2－x－2≤0}，

一元二次不等式及其解法(优秀教案1)

一元二次不等式及其解法（第一课时）一、课标要求1、使学生深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式地关系；2、使学生熟练掌握一元二次不等式地解法，掌握数形结合地思想；3、提高学生地运算能力和逻辑思维能力，培养学生分析、解决问题地能力. 教学重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式地解法展开，突出体现数形结合地思想.教学难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集地关系. 三、教学方法：自主探究法四、教学过程（一）导入新课：教材P76页地问题（二）预学案导学1、解一元二次方程250x x -=，并作出25y x x =-地图象2、填表：二次函数2(0)y ax bx c a =++>与二次方程20(0)ax bx c a ++=>地关系（完成“四、合作展示”中表格地第一、二行）3、一元一次不等式是如何定义地？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是1地不等式称为一元二次不等式.其数学表达形式为4、画出函数27y x =-地图象，并由图象观察，填空：当x=3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x<3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0当x>3.5时，y______0, 即2x-7_____ 0可知，2x-7> 0地解集为_______________2x-7< 0地解集为_______________思考：一元一次方程、一元一次不等式与一次函数之间有怎样地联系？小结：函数图象与X 轴交点地横坐标为方程地根，不等式地解集为函数图象落在X 轴上方（或下方）部分对应地横坐标.（三）合作展示0(000)(0)ax b a +>≥<≤≠或或1、自主探究：（1）类比一元一次不等式地定义，你能给出一元二次不等式地定义吗？其数学表达形式是什么？定义：只含有一个未知数，并且未知数地最高次数是2地不等式，称为一元二次不等式.其数学表达形式为（2） ①利用预学案第1题，观察图象填空：当x___________________，y=0，即25x x -_____0当x__________________，y>0，即25x x -_____0当x___________________，y<0，即25x x -_____0②不等式25x x ->0地解集是_________________不等式25x x -<0地解集是_________________2、合作探究：（1）类比三个“一次”地关系，探究一元二次不等式地解法，并完成下表：小结：一元二次不等式解集地端点就是对应函数地零点，对应方程地根.（2）当0a <时，如何解不等式20(0)(0)ax bx c a ++><>或结论：利用不等式地性质，在不等式地两边同时乘以-1，使二次项系数变为正数.（3）如果不等式为20(0)(0)ax bx c a ++≥≤>或，其解集又是什么？（四）应用探究：例：解不等式22320x x -->变式：若不等式改为22320x x --<，则解集为_______________小结：利用二次函数解一元二次不等式地方法步骤？变式练习：1、解不等式24410x x -+>2、解不等式2230x x -+->五、知识整理：本节课我们学习了哪些知识？运用了哪些数学思想方法？六、训练评估1、解下列不等式222(1)40(2)4321x x x x -<+->+2、求函数y =课后作业：教材P80 A 组第1、2、3、4题版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. Copyright is personal ownership.DXDiT。

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法基础知识1．一元二次不等式的解法步骤 (1)将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0). 在不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)中，如果二次项系数a <0，可根据不等式的性质，将其转化为正数. (2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表二、常用结论1．一元二次不等式恒成立问题(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a >0且Δ<0； (2)不等式ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)，x ∈R 恒成立⇔a <0且Δ<0； (3)若a 可以为0，需要分类讨论，一般优先考虑a ＝0的情形． 2．简单分式不等式(1)f (x )g (x )≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0，g (x )≠0；(2)f (x )g (x )>0⇔f (x )g (x )>0. 考点一一元二次不等式的解法考法(一) 不含参数的一元二次不等式[典例] 解下列不等式：(1)－3x 2－2x ＋8≥0；(2)0＜x 2－x －2≤4；[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0，解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为}342|{≤≤-x x .(2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. 考法(二) 含参数的一元二次不等式[典例] 解不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)． [解] 原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0，因为a ＞0，所以a )1(ax -(x －1)＜0. 所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a.综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为}11|{ax x <<；当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为}11|{<<x ax . [题组训练]1．不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是( )A.}291|{≥-≤x x x 或 B.}291|{≤≤-x x C.}129|{≥-≤x x x 或D.}129|{≤≤-x x 解析：选D 不等式(x ＋5)(3－2x )≥6可化为2x 2＋7x －9≤0，所以(2x ＋9)(x －1)≤0，解得－92≤x ≤1.所以不等式(x ＋5)(3－2x )≥6的解集是}129|{≤≤-x x .故选D. 2．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是]31,21[--，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞) C.)21,31( D.)31,(-∞∪),21(+∞ 解析：选A 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的两根，所以由根与系数的关系得⎩⎨⎧－12＋⎝⎛⎭⎫－13＝b a，－12×⎝⎛⎭⎫－13＝－1a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．3．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．解：原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.当a >0时，不等式的解集为)4,(a--∞∪),3(+∞a ；当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；当a <0时，不等式的解集为)3,(a --∞∪),4(+∞-a. 考点二一元二次不等式恒成立问题考法(一) 在R 上的恒成立问题[典例] 若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0对一切x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．[)2,2(-C ．(－2,2]D ．(－∞，－2) [解析] 当a －2＝0，即a ＝2时，不等式为－4<0，对一切x ∈R 恒成立．当a ≠2时，则⎩⎪⎨⎪⎧ a －2<0，Δ＝4(a －2)2＋16(a －2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，a 2<4，解得－2<a <2. ∴实数a 的取值范围是(－2,2]． [答案] C解题技法] 一元二次不等式恒成立的条件(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a >0，b 2－4ac <0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，b 2－4ac <0.考法(二) 在给定区间上的恒成立问题[典例] 若对任意的x ∈[)2,1(-，都有x 2－2x ＋a ≤0(a 为常数)，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3] B ．(－∞，0] C ．),1[+∞[ D DD D ．]1,(-∞(解析] 法一：令f (x )＝x 2－2x ＋a ，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝(－1)2－2×(－1)＋a ≤0，f (2)＝22－2×2＋a ≤0，解得a ≤－3，故选A.法二：当x ∈[)2,1(-]时，不等式x 2－2x ＋a ≤0恒成立等价于a ≤－x 2＋2x 恒成立，则由题意，得a ≤(－x 2＋2x )min (x ∈[)2,1(-])．而－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1，则当x ＝－1时，(－x 2＋2x )min ＝－3，所以a ≤－3，故选A. 答案] A [解题技法]一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法(1)若f (x )>0在集合A 中恒成立，即集合A 是不等式f (x )>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)． (2)转化为函数值域问题，即已知函数f (x )的值域为[m ，n ]，则f (x )≥a 恒成立⇒f (x )min ≥a ，即m ≥a ；f (x )≤a 恒成立⇒f (x )max ≤a ，即n ≤a . 考法(三) 给定参数范围求x 范围的恒成立问题[典例] 求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0(|a |≤1)恒成立的x 的取值范围．解] 将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9，因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，舍去．(2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4，综上可知，使原不等式恒成立的x 的取值范围是(－∞，2)∪(4，＋∞)． [解题技法]给定参数范围求x 范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解． [题组训练]1．(2018·忻州第一中学模拟)已知关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则实数m 的取值范围为( )A ．(－∞，－3]B ．[－3，＋∞)C ．[－3,0)D ．[－4，＋∞)解析：选A x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，令f (x )＝x 2－4x ，∵f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，∴f (x )在(0,1]上单调递减，∴当x ＝1时，f (x )取到最小值，为－3，∴实数m 的取值范围是(－∞，－3]，故选A. 2．若不等式x 2＋mx －1<0对于任意x ∈[m ，m ＋1]都成立，则实数m 的取值范围是________．解析：由题意，得函数f (x )＝x 2＋mx －1在[m ，m ＋1]上的最大值小于0，又抛物线f (x )＝x 2＋mx －1开口向上，所以只需⎩⎪⎨⎪⎧ f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－1<0，2m 2＋3m <0，解得－22<m <0. 答案：)0,22(-3．不等式(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立，则x 的取值范围是________．解析：由题意知(a －3)x 2＜(4a －2)x 对a ∈(0,1)恒成立等价于(x 2－4x )a －3x 2＋2x ＜0对a ∈(0,1)恒成立．令g (a )＝(x 2－4x )a －3x 2＋2x ，当x ＝0时，g (a )＝0，不满足题意．当x ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧g (0)＝－3x 2＋2x ≤0，g (1)＝(x 2－4x )－3x 2＋2x ≤0，得x ≤－1或x ≥23.答案：(－∞，－1]∪),32[+∞ [课时跟踪检测]1．(2019·石家庄模拟)若集合A ＝{x |x 2－2x <0}，B ＝{x ||x |≤1}，则A ∩B ＝( )A ．[－1,0)B ．[－1,2)C ．(0,1]D ．[1,2)解析：选C 由x 2－2x <0得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}，由|x |≤1得－1≤x ≤1，所以集合B ＝{x |－1≤x ≤1}，所以A ∩B ＝{x |0<x ≤1}，故选C. 2．不等式3x －1x －2≤0的解集为( )A.}231|{≤≤x x B.}312|{≤>x x x 或 C.}231|{<≤x x D ．{x |x <2} 解析：选C 不等式3x －1x －2≤0等价于(3x －1)(x －2)≤0，且x －2≠0，解得13≤x <2.故选C.3．不等式－3<4x －4x 2≤0的解集是( ) A.}231021|{<≤≤<-x x x 或 B ．{x |x ≤0或x ≥1} C.}2321|{<<-x x D.}2321|{≥-≤x x x 或解析：选A 不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧4x (x －1)≥0，4x 2－4x －3<0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0或x ≥1，－12<x <32，所以－12<x ≤0或1≤x <32.4．(2019·广州模拟)已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <－2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集为( ) A.}3121|{-<<-x x B.}2131|{-<->x x x 或 C ．{x |－3<x <2} D ．{x |x <－3或x >2} 解析：选A 由题意得⎩⎨⎧5a＝－3－2，ba ＝－3×(－2)，解得a ＝－1，b ＝－6，所以不等式bx 2－5x ＋a >0为－6x 2－5x－1>0，即(3x ＋1)(2x ＋1)<0，所以解集为}3121|{-<<-x x ，故选A. 5．若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,(-∞)B B ． (－∞，－6]]C ． ]2,6[-D ．(－∞，－6]∪[2，＋∞)解析：选D 由关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，得对应方程x 2－ax －a ＋3＝0有实数根，即Δ＝a 2＋4(a －3)≥0，解得a ≥2或a ≤－6，所以a 的取值范围是 (－∞，－6]∪[2，＋∞)．故选D.6．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析：选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320，即x 2－28x ＋192＜0，解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．7．存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m 的最大值为( )A ．1 B.14 C.12D ．－1解析：选C 若对于任意x ∈[－1,1]，不等式x 2＋mx －3m <0恒成立，则由函数f (x )＝x 2＋mx －3m 的图象可知⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝1－m －3m <0，f (1)＝1＋m －3m <0，解得m >12.所以若存在x ∈[－1,1]，使得x 2＋mx －3m ≥0，则m ≤12，所以m的最大值为12.故选C.8．(2018·北京东城区期末)设不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，若A ⊆]3,1[，则a 的取值范围为( )A.]511,1(- B.)511,1( C.)511,2( D ．[)3,1( 解析：选A 设f (x )＝x 2－2ax ＋a ＋2，因为不等式x 2－2ax ＋a ＋2≤0的解集为A ，且A ⊆[]3,1[]，所以对于方程x 2－2ax ＋a ＋2＝0，若A ＝∅，则Δ＝4a 2－4(a ＋2)<0，即a 2－a －2<0，解得－1<a <2；若A ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4a 2－4(a ＋2)≥0，f (1)≥0，f (3)≥0，1≤a ≤3，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2或a ≤－1，a ≤3，a ≤115，1≤a ≤3，所以2≤a ≤115.综上，a 的取值范围为]511,1(-，故选A. 9．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．解析：不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2，故不等式的解集为{x |0<x <2}．答案：{x |0<x <2}10．若a <0，则关于x 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ax －a 2<0，x 2－ax －2a 2<0的解集为________．解析：因为a <0，所以由ax －a 2＝a (x －a )<0，得x >a ，由x 2－ax －2a 2＝(x －2a )(x ＋a )<0，得2a <x <－a .所以原不等式组的解集为(a ，－a )．答案：(a ，－a )11．若关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，则实数a 的取值范围是________．解析：关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3，所以a >0，解不等式得x 2≤a5，所以－a5≤x ≤ a5，所以3≤ a 5<4，所以9≤a5<16，即45≤a <80，所以实数a 的取值范围是[45,80)．答案：[45,80)12．不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________．解析：因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0，所以(λ＋8)(λ－4)≤0，解得－8≤λ≤4. 答案：[－8,4]13．已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R . (1)求a 的取值范围； (2)若函数f (x )的最小值为22，解关于x 的不等式x 2－x －a 2－a <0. 解：(1)因为函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋1≥0恒成立，当a ＝0时，1≥0恒成立．当a ≠0时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(2a )2－4a ≤0，解得0<a ≤1，综上可知，a 的取值范围是[0,1]． (2)因为f (x )＝ax 2＋2ax ＋1＝a (x ＋1)2＋1－a ，因为a >0，所以当x ＝－1时，f (x )min ＝1－a ，由题意得，1－a ＝22，所以a ＝12，所以不等式x 2－x －a 2－a <0可化为x 2－x －34<0.解得－12<x <32，所以不等式的解集为)23,21(-。

一元二次不等式的解法(1)

y y y
△=0
△<0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根的根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集的解集
ax2+bx+c<0 (a>0)的解集的解集
x1
x2
x x x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2) {x|x<x1,或x>x2} 或
有两相等实根 b x1=x2= − 2a
例2：)不等式x 2 + bx + c > 0的解集为{x | x > 3, 或x < −1}, (1 求b与c
1 1 (2)不等式ax + bx + 2 > 0的解集是 x | − < x < , 求a, b 2 3
2
例3：（）一元二次不等式x 2 + 2 x + a > 0恒成立， 1 求a的取值范围 ? (2)一元二次不等式ax + 3x − 2 > 0的解集为Φ，
2
求a的取值范围？
小结：
• 1.解一元二次不等式的基本步骤转化解一元二次不等式的基本步骤:转化解一元二次不等式的基本步骤转化—— 定根——画图画图——找解。找解。定根画图找解 • 2.已知一个含参的一元二次不等式的解集，已知一个含参的一元二次不等式的解集，已知一个含参的一元二次不等式的解集求其中的参数。（构建方程或不等式(组。（构建方程或不等式求其中的参数。（构建方程或不等式组））
作业
• 教材P80A组1,2,4B组1
谢谢
2
或ax + bx + c < （a > 0) 0

一元二次不等式及其解法1

例2.解不等式－3x2＋6x > 2
解: ∵－3x2＋6x >2
3x2－6x＋2 < 0
∵方程的解3x2－6x+2 =0的解是
3 3 x1 1 , x2 1 . 3 3
3 3 x 1 所以,原不等式的解集是 x | 1 3 3
例3.解不等式 4x2－4x＋1 > 0
练习:课本练习1,2
x R
小结:1.利用一元二次函数图象解一元二次不等式
其方法步骤是:
(1)先求出Δ和相应方程的解， (2)再画出函数图象，根据图象写出不等式的解。注:若a<0时,先变形! 2. 二次函数
图象
一元二次方程的根一元二次不等式的解三个二次问题都可以通过图形实现转换
问：y= ax2＋bx＋c（a>0）的图象与x轴的交点情况有哪几种？
Δ>0
Δ=0
Δ<0
请同学们完成下表:
方程或不等式（a>0） Δ >0 解集 Δ =0 Δ <0
b ax2＋bx＋c=0、｛x|x=x1 或 x=x2｝｛x| x=－ 2a ｝

ax2＋bx＋c >0 ax2＋bx＋c <0
解:因为△ =0,方程4x2－4x＋1 =0的解是 1 x1 x 2 2，所以,原不等式的解集是
1 x | x 2
注:4x2－4x＋1 <0

无解
例4.解不等式－x2 ＋2x－3 > 0 略解: －x2 ＋2x－3 > 0
x2 -2x+3 < 0
无解
注:x2 -2x+3 >0
如何解关于 x 的不等式

一元二次不等式及其解法练习及同步练习题(含答案)

一元二次不等式及其解法练习（一）、一元二次不等式的解法1、求解下列不等式（1）、23710x x -≤ （2）、2250x x -+-< （3）、2440x x -+-< （4）205x x -<+2、求下列函数的定义域（1）、y =（2）y =3、已知集合{}{}22|160,|430A x x B x x x =-<=-+>，求A B ⋃含参数的一元二次不等式的解法含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，这类不等式可从分析两个根的大小及二次系数的正负入手去解答，但遗憾的是这类问题始终成为绝大多数学生学习的难点，此现象出现的根本原因是不清楚该如何对参数进行讨论，而参数的讨论实际上就是参数的分类，而参数该如何进行分类？下面我们通过几个例子体会一下。

一．二次项系数为常数例1、解关于x 的不等式：0)1(2>--+m x m x 解：原不等式可化为：（x-1）（x+m ）>0 (两根是1和-m ，谁大？)（1）当1<-m 即m<-1时,解得：x<1或x>-m（2）当1=-m 即m=-1时,不等式化为：0122>+-x x ∴x ≠1（3）当1>-m 即m>-1时,解得：x<-m 或x>1综上，不等式的解集为： (){}m x x x m -><-<或时当1|,11(){}1|,12≠-=x x m 时当 (){}1-|,13><->x m x x m 或时当例2:解关于x 的不等式：.0)2(2>+-+a x a x （不能因式分解）解：()a a 422--=∆ （方程有没有根，取决于谁？） ()()R a a a 时，解集为即当32432404212+<<-<--=∆()()32432404222+=-==--=∆a a a a 或时当（i ）13324-≠-=x a 时，解得：当（ii ）13-324-≠+=x a 时，解得：当()()时或即当32432404232+>-<>--=∆a a a a 两根为()242)2(21aa a x --+-=，()242)2(22aa a x ----=.()()242)2(242)2(22aa a x aa a x --+->----<或此时解得：综上，不等式的解集为：（1）当324324+<<-a 时，解集为R ；（2）当324-=a 时，解集为(13,-∞-)⋃(+∞-,13)；（3）当324+=a 时，解集为(13,--∞-)⋃(+∞--,13)；（4）当324-<a 或324+>a 时，解集为(248)2(,2+---∞-a a a )⋃(+∞+-+-,248)2(2a a a )；二．二次项系数含参数例3、解关于x 的不等式：.01)1(2<++-x a ax解：若0=a ，原不等式.101>⇔<+-⇔x x 若0<a ，原不等式ax x a x 10)1)(1(<⇔>--⇔或.1>x 若0>a ，原不等式.0)1)(1(<--⇔x ax )(* 其解的情况应由a 1与1的大小关系决定，故（1）当1=a 时，式)(*的解集为φ；（2）当1>a 时，式)(*11<<⇔x a；（3）当10<<a 时，式)(*a x 11<<⇔. 综上所述，不等式的解集为： ①当0<a 时，{11><x ax x 或}； ②当0=a 时，{1>x x }；③当10<<a 时，{a x x 11<<}；④当1=a 时，φ；⑤当1>a 时，{11<<x ax}.例4、解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax（1）当0=a 时，.01R x ∈∴<-原式可化为（2）当0>a 时，此时 a a 42+=∆>0 两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. 解得：a a a a 242+--aa a a x 242++-<< （3）当a<0时, 原式可化为：012>-+ax x aa 4+=∆此时 ①当0<∆即04<<-a 时，解集为R ； ②当0=∆即4-=a 时，解得：21-≠x ; ③当0>∆即4-<a 时解得：或a a a a x 242+-->aa a a x 242++-< 综上，（1）当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)；（2）当04≤<-a 时，解集为R ；（3）当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); （4）当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ). 上面四个例子，尽管分别代表了四种不同的类型，但它们对参数a 都进行了讨论，看起来比较复杂，特别是对参数a 的分类，对于初学者确实是一个难点，但通过对它们解题过程的分析，我们可以发现一个规律：参数a 的分类是根据不等式中二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的a 的值为数轴的分点进行分类，如：解关于x 的不等式：033)1(22>++-ax x a解：033)1(22>++-ax x a )(* 1012=⇒=-a a 或1-=a ；203)1(4922=⇒=⨯-⨯-=∆a a a 或2-=a ；∴当2-<a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R ；当2-=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，)(*1033<⇔>+-⇔x x ，)(*解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，012<-a 且0>∆，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*1033->⇔>+⇔x x ，)(*解集为(+∞-,1)；当21<<a 时，012>-a 且0>∆，)(*解集为(223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当2=a 时，012>-a 且0=∆，)(*解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1)；当2>a 时，012>-a 且0<∆，)(*解集为R .综上，可知当2-<a 或2>a 时，解集为R ；当2-=a 时，(1,∞-)⋃(+∞,1)；当12-<<-a 或21<<a 时，解集为 (223123,22----∞-a a a )⋃(+∞--+-,22312322a a a )；当1-=a 时，解集为(1,∞-)；当11<<-a 时，)(*解集为(22312322----a a a ,22312322--+-a a a )；当1=a 时，)(*解集为(+∞-,1)；当2=a 时，解集为(1,-∞-)⋃(+∞-,1).通过此例我们知道原来解任意含参数的一元二次不等式对参数进行分类讨论时只需求出二次项系数等于零和判别式0=∆时所得到的参数的值，然后依此进行分类即可，这样这类问题便有了“通法”，都可迎刃而解了。

一元二次不等式解法

提高题：
3．若a＜0 ，则关于x的不等式x2－4ax－5a2＞0的
｛x︳x＞－a或x＜5a 解是____________________ ｝
将a＜0改成a∈R,则不等式的解集是 ______________
变式题： x2－4ax－4＜0的解集是_______; x∈
x∈R (1)若 a＜0 ，则关于x的不等式 x2－4ax－4＞0的解是_____；
△>0 y x1 O
y>0
△=0
y
y>0
△<0
y
y>0
x2 x
y<0
(a>0)
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
O x1
x
O
没有实根
x
有两相异实根 x1, x2 (x1<x2)
有两相等实根 b x1=x2= 2a
ax2+bx+c>0 {x|x<x1或 x>x2} (y>0)的解集 ax2+bx+c<0 {x|x < x <x } 1 2 (y<0)的解集
解关于x的不等式变式1: 变式2:
2a 1) 0(a 0)
ax (2a 1)x 2 0(a 0)
2
变式3: 已知不等式 ax2 bx c 0(a 0)的解是求不等式 bx2 ax c 0 的解． x 2, 或 x 3
一元二次不等式的解法（一）
一元二次不等式 1、定义：
含有一个未知数且未知数的最高次数为2次的不等式叫做一元二次不等式; 它的一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0 (a≠0),(其中ax2+bx+c实数域上的二次三项式 )

一元二次不等式及其解法(一)

12
课后作业
作业本习题 3 . 2 练习册完成《步步高学案》一预习作业《步步高学案》一元二次不等式的解法元二次不等式的解法 A 组 1， , 4 2
13
达标检测
14
达标检测
15
16
理论迁移

17
理论迁移
18
理论迁移
19
理论迁移
20
21
5
问题探究(二)
问题判别式 Δ＝b2－4ac 二次函数 y＝ax2 ＋bx ＋c (a>0)的图象
一元二次不等式的解集
Δ>0 Δ＝0 Δ<0
下表是二次函数图象、一元二次方程、一元二次不等式解集之间的联系，
有两相异实根 x1,2＝有两相等实根一元二次方程 ax2 ＋－b± b2－4ac (x1<x2 b 2a x1＝x2＝－ bx＋c＝0 (a>0)的根 2a ) 一元 ax2 ＋ bx ＋
n
n
(乘方法则)
a
b ( n N , n 2 ).
(开方法则)
2
自主学习
自主学习课本
76 ~ 78 页内容
1 . 完成 77 页表格 2 . 完成 78 页框图
3
问题探究(一) 三个“二次”之间的关系问题下图是函数 y＝x2－x－6 的图，对应值表：
x －3 －2 －1 0 y 6
解一元二次不等式的步骤
当 a>0 时，解形如 ax2＋bx＋c>0 (或 ax2＋bx＋c<0)的一般步骤是： ①确定对应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的解； ②画出对应函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的简图； ③由图象写出不等式的解集．

一元二次不等式的解法(1)

x 2 3，或x 2 3 时， y 0.
(2) 由 y 0,即x2 4 x 1 0 得 x 2 3，或x 2 3 x 2 3，或x 2 3 时，y 0.
(3) 由 y 0,即x 4 x 1 0 得 2 3 x 2 3
从上面可知，直线与x轴交点的横坐标，就是图1-9 对应的一元一次方程的根，进一步结合直线的位置，就可以确定对应的一元一次不等式的解集.
.
当x>3.5时, y>0, 即2x-7>0.
一般地,设直线 y=ax+b与x轴的交点是(x0, 0),有如下结果: b. 1．一元一次方程ax+b=0的解是 x0 a
2
2 3 x 2 3 时，y 0.
3、x 是什么实数时， x x 12 有意义？
2
解：据题意有， x 2 x 12 0
0，方程x x 12 0的解是
2
x1 4，x2 3.
不等式的解是 x 4或x 3. x 4或x 3 时， x x 12 有意义.
2
答案: (1) {x | 1 x 2} 3
(2){x | x 2 ，或x 1} 3 2
(3) φ
(4) R
2、x 是什么实数时，函数y x 2 4 x 1的值；（ 1 ）等于 0 ？（2）是正数？（3）是负数？
解： (1) 由 y 0,即x2 4 x 1 0 得 x 2 3，或x 2 3
(2) 如果△ =0 ，此时抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有一个交点，即方程 ax2+bx+c=0 有两个相等的实数根 x1=x2=-b/2a .那么，不等式ax2+bx+c>0的解集是

一元二次不等式及其解法(一)

2
1
2
(-2) × -

=- ,
1
2
即
= ,
5
= ,
2
= 1.
1
所以不等式 ax2-bx+c>0 即 2x2-5x+2<0,解得 <x<2.
2
1
故不等式 ax -bx+c>0 的解集为 | < x < 2 .
2
2
课堂导学
课前预学
【当堂检测】
1
1
3
2
1.若不等式 ax2+5x+c>0 的解集为 | < x <
(3)由图象得出不等式的解集.
课堂导学
课前预学
解下列不等式:
(1)2x2-3x-2>0;(2)-3x2+6x-2>0;
(3)4x2-4x+1≤0;(4)x2-2x+2>0.
方法指导
先求出对应一元二次方程的解,再结合对应的二次函数的图象写出不等式的
解集.
解析
1
(1)方程 2x -3x-2=0 的解是 x1=- ,x2=2.
不等式 x(2-x)>3 的解集为⌀.
课前预学
课堂导学
3.解关于 x 的不等式 x2+(1-a)x-a<0.
解析
方程 x2+(1-a)x-a=0 的解为 x1=-1,x2=a,函数 y=x2+(1-a)x-a 的图象开口向上.
当 a<-1 时,原不等式的解集为{x|a<x<-1};
当 a=-1 时,原不等式的解集为⌀;

知识讲解一元二次不等式及其解法基础 (1)

一元二次不等式及其解法编稿：张林娟审稿：孙永钊【学习目标】1. 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式及一些简单的高次不等式；2. 对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图；3. 应用一元二次不等式解简单的分式不等式. 【要点梳理】要点一：一元二次不等式的概念一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x 的值.一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合.一般写为集合或区间形式. 一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x函数()y f x = 的图象方程()=0f x的解有两相异实根有两相等实根无实根不等式()0f x >的解集不等式()0f x <的解集要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三：解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数；（2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解（3）根据不等式，写出解集.2. 一元二次不等式2ax +bx+c >0的求解框图要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 要点四：高次不等式1. 一元高次不等式概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式. 常用的解法有化为不等式组法、列表法和穿针引线（根轴法）来求解.2. 一元高次不等式的解法列表法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><形式（各项x 的符号为正）； ② 找分界点：令()()()120=n a x x x x x x --⋯-，求出根()1212,,,n n x x x x x x <<<，不妨称之为分开始结束将原不等式化成一般形式20ax bx c ++>求20=ax bx c ++的两根x 1、x 2 方程ax 2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为{|}2b x x a ≠-原不等式解集为{x|x<x 1，或x>x 2}Δ≥0?x 1=x 2?否是是否界点. 一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成1n +部分；② 列出表格：按各根把实数分成的1n +部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③ 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集.在下列空白处填上因式的符号，完成下表：区间…- + + … + - - + … +- - - … + … - - - … +---…+各因式积要点诠释：一般地，表格中最后一行各因式积为正的，即为()()()120n x x x x x x --⋯->的解集，反之亦然.穿针引线法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><的形式（各因式x 的系数化“+ ”）； ② 求根，比方设12n x x x <<<，并在数轴上将i x 表示出来；③ 由数轴最右端n x 的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点；④ 若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x 轴下方的区间.要点诠释：（1）如果出现某个因式的高次形式（次数≥2），注意一个原则：奇穿偶不穿；（2）不等式()()00f x ≥≤中，注意等于号 “=”. 不等式组法利用符号法则，转化为一元一次不等式与一元二次不等式的形式求解. 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法.要点五：分式不等式 1. 分式不等式的概念形如0()()f x x ϕ>或0()()f x x ϕ<（其中(),()f x x ϕ为整式，且()0x ϕ≠），分子分母还未知数的不等式叫分式不等式，2. 分式不等式的解法对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价转化：转化为整式不等式；（3）穿针引线法：借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；（4）看不等号：大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域；（5）注意关键点. 一般形式：要点诠释：分式不等式一定要注意转化的等价性. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<；（2）2440x x -+>；（3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】（1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或5x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一：因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为：所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=）所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解，函数245y x x =-+的简图为：所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.【答案】由题意知20,23x x x ≥⎧⎨+>⎩或20,23,x x x <⎧⎨-+>⎩解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}．【变式2】解不等式2230x x -+-> 【答案】整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解，所以不等式2230x x -+<的解集是∅. 从而，原不等式的解集是∅.类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解下列关于x 的不等式（1）x 2-2ax≤-a 2+1；（2）x 2-ax+1>0；（3）x 2-(a+1)x+a<0；【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2ax x ≠. 当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x 【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a=1或a=-1时，解集为∅；②当0<a<1 或a<-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1<a<0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.【变式2】解关于x 的不等式：223()0x a a x a -++>（a R ∈）【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒-->当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或；当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或；当a=1时，解集为{|1}x x ≠；例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1；若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x a a a-++<⇔--<，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；（2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<；（3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<<综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或；当a=0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<；当a=1时，解集为∅；当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121==x ax ①当a>0时，若210>>a a ，，即210<<a 时，),1[]2,(+∞-∞∈ax ；若210＝，a a >，即21=a 时，x ∈R ；若210<>aa ，，即21>a 时，),2[]1,(+∞-∞∈ a x .②当a<0时，则有：21<a ， ∴ ]21[，ax ∈.【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0；【答案】当a=0时，)21,(-∞∈x . 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a<0时，若a<0，△<0，即a<-1时，x ∈R ；若a<0，△=0，即a=-1时，x ∈R 且x≠1；若a<0，△>0，即 -1<a<0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x . 【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159 题型二含参数的一元二次不等式的解法】【变式3】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集．【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43a ax x x <>或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或. 类型三：一元二次不等式的应用例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集. 【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________. 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-3，2.由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a12123ab解得a=-2, b=-2.【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>，即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<，故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >. ∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞.【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三不等式恒成立的问题】例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。

一元二次不等式及其解法 (1)

百度文库 - 让每个人平等地提升自我！1一元二次不等式及其解法（一）某木匠要用长7.2m 的木料做成“日”字形的窗户框，要使窗户面积不超过1.8m 2，且木料无剩余。

通过学习本学时的内容，同学们能否帮他计算出窗户宽的取值范围？如何运用一元二次不等式的有关知识解决实际问题？解决实际问题时应注意什么？学习目标：1.一元二次不等式的解法；2.通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；3.理解二次函数图象、一元二次不等式及一元二次方程三者之间关系.学习重点：会求解一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 76—P 78，完成下列任务1.说出一元二次不等式的定义，写出其一般形式，并举例.2.一元二次不等式05x 2≤-x ，写出二次函数,52x x y -=及一元二次方程052=-x x 的关系.3.推广：一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或与二次函数)0(2>++=a c bx ax y 及一元二次方程)0(02>=++a c bx ax 的关系，完成课本P 77表. 4.完成课本P 78图.5.完成例1，写出一元二次不等式)0(0022><++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤. 6.完成例2,写出一元二次不等式)0(0022<<++>++a c bx ax c bx ax 或的求解步骤.7.必做题：P 80练习1，2；习题3.2 A 组 1,2,3,4；B 组 1一元二次不等式及其解法（二）学习目标：一元二次不等式的简单应用.学习重点：从实际问题中抽象出一元二次不等式，并求解相应的一元二次不等式. 学习任务：阅读课本P 791. 完成例3，例4，体会一元二次不等式在实际问题中的应用.2. 必做题：(1)习题3.2 A 组 6；(2)某旅店有200张床位,若每床一晚上租金为27元,则可全部出租;若将出租收费标准每晚提高10的整数倍,则出租的床位会减少10的相应倍数张,若要该旅店某晚的收入超过10000元,则每个床位的出租价格应定在什么范围内?技能提升：1. 已知全集R u =，集合{}02|2>-=x x x A ,则CuA =_____________. 2. 若关于X 的不等式02212>++-mx x x 的解集是{}20|<<x x ，求m 的值. 3. 当R x ∈时，不等式022>++mmx x 恒成立的条件_________________. 4. 设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0664)(2x x x x x x f ，求不等式)1()(f x f >的解集. 5. ①043>+-x x ②043≥+-x x。

《一元二次不等式及其解法》教案

3.2.1一元二次不等式及其解法教学设计第一课时一元二次不等式及其解法（1）教材及学情分析:这节课是普通高中标准实验教科书必修5第三章《不等式》第二节，一元二次不等式及其解法，主要内容是从实际问题中建立一元二次不等式模型，解不等式。

这节共3个课时，这节课属于第一课时，不仅要让学生学会并且熟练地解一元二次不等式，更重要的是渗透数形结合的思想及等价转化思想。

由于学生在高一上学期学习必修1第一章《集合与函数》的时候已经在计算集合交并补时见过一元二次不等式，所以学生对此并不陌生，又由于我上课的班级属于普通班，学生的层次比中加班要稍微好点，故而我想到上课大胆采用解一元二次不等式的题目引入，先由学生互相讨论解一个比较简单的不等式，我相信学生中应该有同学可以解出来，进而带着学生一起总结，在图形引领下使得解不等式更快捷。

一、教学目标1.知识与技能:模仿一元二次方程得出一元二次不等式的概念，了解一元二次不等式的模型，理解三个二次间的关系，掌握一元二次不等式的解法；提高运算(变形)能力，渗透由具体到抽象思想 2.过程与方法:选取两个一次因式乘积的一元二次不等式先让学生讨论解决，由学生先互相自己交流解决方法，通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想，；3.情感与价值：培养学生独立思考、合作交流的良好品质，同时使学生体会数学来源于实际生活，进而在实际生活问题中数形结合的应用以及培养学生的探索精神。

二、教学重、难点重点：一元二次不等式的解法。

难点：理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式解集之间的关系，数形结合思想渗透.研究结论（三）如何解一元二次不等式？（举例）例1 求下列不等式的解集（1）2560x x-+-≥（2）40142>+-xx学生自主通过数形结合去解决（四）总结归纳解题方法1.解一元二次不等式的步骤：①把二次项系数化为正数(化简)；②解对应的一元二次方程（解方程）；③根据方程的根，结合不等号方向及二次函数图象（看图像）；④得出不等式的解集（写解集）．2.一元二次不等式的解集求法2121200,,ax bx c a x x x x++=><（）有两根（）20ax bx c++>则的解集可记忆为“大于在两边”20?ax bx c++<的解集可记忆为小于在中间通过以上的例题及练习的讲解，指导学生归纳解一元二次不等式的步骤。

一元二次不等式及其解法(1-3)

探究（一）：上网费用问题
【背景材料】某同学要把自己的计算机接入因特网，现有甲、乙两家公司可供选择.甲公司每小时收费1.5元(不足1小时按1小时计算)；乙公司的收费原则为:上网的第一小时内(含1小时，下同)收费1.7元，第二小时内收费1.6元，以后每小时减少 0.1元(若用户一次上网超过17小时，按 17小时计算).
思考1：该省每年征收的耕地占用税为多少万元？
(20 - 2.5t ) 创10
4
2.4
t 100
思考2：为了既减少耕地损失，又保证该项税收一年不少于9000万元，实数t应满足的不等式是什么？
(20 - 2.5t ) 创10
4
t 2.4 闯 100
9000
思考3：为达到上述目的，应怎样确定t 的范围？ [3，5]
2 a x0 x , bx x2 )c y1 ax 2 ( x1
0
0
0
二次函数
y ax 2 bx c
(a 0)
的图象一元二次方程
ax 2 bx c 0
(a 0) 的根
有两相异实根有两相等实根 b x1 , x2 ( x1 x2 ) x1 x2 2a
一般形式：
ax 2 + bx + c > 0
一般式:
ax bx c 0 或 2 ax bx c<0(a>0)
2
ax 2 + bx + c < 0
2.解一元二次不等式的基本思路如何？将原不等式化为一般式→分解因式→结合图象写出解集.
3.一元二次不等式是一类基本不等式，解一元二次不等式在许多实际问题中有着广泛的应用，对此，我们将进行一些实例分析.

一元二次不等式及其解法

一元二次不等式及其解法（1）<基础知识><基本训练>1、不等式（x+2）(1+x)>0的解集是。

2、若关于X 的不等式x-ax+1>0的解集为（-∞，-1）∪（4，+∞），则实数a = .3、已知不等式ax 2+2x+c>0的解集为－13<x<12，则a+c= . 4、若关于x 的方程2k x 2－2x －9k=0两实根有一个大于2，而另一个根小于2，则实数k 的取值范围是。

<典型例题讲练>例1、解下列不等式：(1) -x 2+3x+18<0 (2) 4≤x 2-3x<18(3) 2x-1x+2<1 (4) (x-3)(x-2)(x-1)2(x-4)≥0<课堂检测>1、不等式 2x-13x+1>0的解集是。

2不等式组⎩⎪⎨⎪⎧︱x-2︱<2log 2(x 2-1)>1的解集是。

3、x(x-5)2>6(x-5)2解集是。

4、函数f(x)=3ax+1－2a在（-1，1）上存在X0，使f(X0)=0，则a的取值范围是5、解下列不等式：(1) 4x2+4x+1>0 (2) x2-3x+5>0(3) (x+3)(x+2)(x-1)2(x-4)<0 (4) 2x2－5x-1x2-3x+2>1一元二次不等式及其解法<典型例题讲练>例1．当a为何值时，不等式（a2-1）x2-(a-1)x-1<0的解是全体实数。

练习：已知常数a∈R,解关于x的不等式ax2-2x+a<0.<课后作业>1、解不等式：(1) –x2+2x-23>0 (2) 9x2-6x+1≤0(3) (2x2-3x+1)(3x2-7x+2)>0 (4)3x-52x-3≤22、已知不等式（m2+4m-5）x2-4(m-1)x+3>0对一切实数X恒成立，求实数m的取值范围。

一元二次不等式及其解法第一课时

(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之间的关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例 x 应在什么范围内？
某单位在对一个长 800 m、宽 600 m 的草坪进行绿化时，是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图 3 －2－1 所示，若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一，试确定花坛宽度的取值范围．
小结 1. 解一元二次不等式的步骤（1）化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) （2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根; （3）根据图象写出不等式的解集. 注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意数形结合
2.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系。思想方法: 1.数形结合 2.分类讨论
(2)x2>2x－1；
(3)x2<2x－2.
变式：
(1)x2－x－6>0；
(2)25x2－10x＋1≤0； (3)－x2＋x<4； (4)－2x2＋x＋1<0
运用二：转化为一元二次不等式
[例 2] 解下列不等式． 2x－1 2－x (1) ≥0；(2) >0. 3x＋1 x＋3
变式：
2－x 若将(2)变为 >1 则应如何解呢？ x＋3
运用三：一元二次不等式与二次函数、二次方程的关系
例题 3 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解集
2
1 1 2 为{x|－ <x< }，求 2x ＋bx＋a<0 的解集． 2 3

一元二次不等式及解法(一)

一元二次不等式及其解法
重点难点
1、理解一元二次不等式、二次函数及一元二次方程的关系，能借助二次函数的图象及一元二次方程解一元二次不等式。（重点）
2、对给定的一元二次不等式，能设计求解的方法，并给出解答。（重点）
3、能利用一元二次不等式解决有关问题。（难点）
讲授新课
1.一元二次不等式的定义：
学点二含参数的不等式的解法
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0.
【分析】由于涉及参数字母，要分类讨论. 【解析】原不等式整理得(x-a)(x-1)>0.
学点三一元二次不等式解集的逆向思维
已知关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集是
x x或 2
,求x a， 12b的值.
我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式.
2.一元二次不等式的一般形式
ax2+bx+c>0 （a0）a、b、c为常
数
3.一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关系：
判别式 △=b2- 4ac
y=ax2+bx+c (a>0)的图象
ax2+bx+c=0 (a>0)的根
R Φ
4.口诀：当 a 0时
若ax2+bx+c=0的根是 x1， x2 (x1<x2)
1.ax2+bx+c>0的解集是 x< x1或 x>x2;
口诀：大于在两边，大于大根或小于小根
2. ax2+bx+c<0的解集是 x1<x<x2 。
口诀：小于在中间，大于小根小于大根

一元二次不等式及其解法

3.2
一元二次不等式及其解法(1)
一、创设情景，引入新课.
问题：某同学想上网查资料，现有两家网吧可供选
择。A网吧每小时收费1.5元（不足1小时的按1小时计算）; B网吧的收费原则为，在用户上网的第1个小时内（含恰好1个小时）收费1.7元，第2个小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元。（每天上网最多 17小时）问：设该同学上网时间为x小时， (1)若该同学去A网吧，试写出所需费用的表达式？ (2)若该同学去B网吧，试写出所需费用的表达式？ (3)一次上网在多长时间以内，去A网吧合算？
(2){ x x 2 }; (3){ x 1 x 4且x 0 };
2 x2 4x 4 0;
3 log2 x 2 log2 (3 x 4)
4 求函数y
x 2 4的定义域
(4){ x x 2或 x 2 };
一、一元二次方程、一元二次不等式和二次函数的关系 (1)二次方程的根是函数的零点，即二次函数图象与x轴交点的横坐标 (2) 结合方程的解与函数图象可以得出二次不等式的解二、解一元二次不等式的基本步骤（1）转化为不等式的“标准”型（2）算△,解相应一元二次方程的根；（3）最后根据对应的二次函数的大致图象以及不等号的方向，写出不等式的解集.
某同学要把自己的计算机接入因特网.现有两家ISP公司可供选择.公司A每小时收费1.5元；公司B的收费原则如图所示:
y/元
1.7 1.6 1.5
0.2 0.1
0
1
2
3
15
16
17
x/小时
方程ax2＋bx＋c=0
不等式ax2＋bx＋c <0、或ax2＋bx＋c >0
函数y= ax2＋bx＋c三者的联系 1、方程ax2＋bx＋c=0的根是函数y= ax2＋bx＋c的零点，即二次函数图象与x轴交点的横坐标 2、结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ方程ax2＋bx＋c=0的根和函数y= ax2＋bx ＋c的图象就可以得到不等式ax2＋bx＋c <0、或 ax2＋bx＋c >0 的解

一元二次不等式及其解法(一)

东平高级中学高二数学◆必修5◆导学案018 主备人：杨建华审核人：井立海 2014年10月一元二次不等式及其解法（一）教学目标：（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生的数形结合的数学思想；课前预习案一、１、一元二次不等式的的概念 2、一元二次不等式的解集？3、一元二次不等式与相应函数、方程之间的关系4、一元二次不等式的解法①先把一元二次不等式的二次项系数化成a>0的形式 ②解相应方程 ③画出相应函数图像 ④写出解集5、解形如ax 2+ b x + c>0(a>0)的一元二次不等式的步骤：6、问题：①解方程023=+x ②作函数23+=x y 的图像③解不等式023>+x ④解不等式062>--x x 。

，课上探究案如果相应的一元二次方程02=++c bx ax 分别有两实根、惟一实根，无实根的话，其对应的二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图像与x 轴的位置关系如何？典型例题：解下列不等式：（1） 02732<+-x x （2）01442<++x x【强化训练】 .1、解不等式：(1 ) -3x 2+3x+2＜0 (2) >5-2x x(2x+6)2、设M={x ︱x 2+2x-15＜0}, N={x ︱(1+x)(3-x) ＜0}。

求M ∪N ，M ∩N课下巩固案（每题8分，共80分）1．下列结论正确的是 . ①不等式x 2≥4的解集为{x|x ≥±2} ②不等式x 2-9＜0的解集为{x|x ＜3} ③不等式(x-1)2＜2的解集为{x|1-2＜x ＜1+2}④设x 1,x 2为ax 2+bx+c=0的两个实根，且x 1＜x 2,则不等式ax 2+bx+c ＜0的解集为{x|x 1＜x ＜x 2}2、（x+8）(5 - x ) ＜03、02532≤-+x x4、20542>++x x 5. 01682<+-x x6、091242≤+-x x7、1)3()2(+-<+x x x x8、若集合M={}032>-x x x ，N={}0342>+-x x x ，求M ∩N , M ∪N班级：姓名：学号：得分：批改日期：东平高级中学高二数学◆必修5◆导学案019 主备人：杨建华审核人：井立海 2014年10月一元二次不等式及其解法（二）课前预习案1、一元二次不等式的解法①先把一元二次不等式的二次项系数化成a>0的形式 ②解相应方程 ③画出相应函数图像 ④写出解集2、分式不等式的解法呢：课上探究案一分式型例1 解不等式：3115≤++x x变式训练：解不等式：二含有参数不等式例2、解关于x 不等式x 2-ax-6a 2＜0变式训练解关于x 的不等式①2 x 2+(m-2)x-m ＞0 ②(x-2)(ax-2)>0.三一元二次不等式不等式解集的逆应用例3、已知一元二次不等式ax 2+bx+1＞0的解集为{x ︱-2＜x ＜1},求ax 2-bx+1＞0解集变式训练已知不等式ax 2+bx-1＜0的解集是{x ︱3 ＜x ＜4},求实数a,b 的值。

一元二次不等式及解法(一)

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知识讲解一元二次不等式及其解法基础 (1)

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一元二次不等式及其解法第一课时

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