2012积分变换与场论试题B

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2012年级电磁场理论期末试题_带答案及解析

课程编号:INF05005 北京理工大学2013-2014学年第一学期2011级电子类电磁场理论基础期末试题B 卷班级________ 学号________ 姓名________ 成绩________一、简答题（12分）1．请写出无源媒质中瞬时麦克斯韦方程组积分形式的限定形式。

（4分）答：媒质中无源，则0su J =，0ρ=()l s E H dl E ds t ∂εσ∂⎡⎤⋅=+⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰⎰()lsH E dl ds t∂μ∂⋅=-⋅⎰⎰=0sE ds ε⋅⎰=0sH ds μ⋅⎰（评分标准：每式各1分）2．请写出理想导体表面外侧时变电磁场的边界条件。

（4分）答：⎩⎨⎧==⨯00ˆt E E n,⎩⎨⎧==⋅s nsD D n ρρˆ, ⎩⎨⎧==⋅00ˆnB B n, ⎩⎨⎧==⨯s t sJ H J H nˆ3．请利用动态矢量磁位A 和动态电位U 分别表示磁感应强度B 和电场E ；并简要叙述引入A 和U 的依据条件。

（4分）答：B A =∇⨯，AE U t∂=-∇-∂；引入A 的依据为：0B ∇⋅=，也就是对无散场可以引入上述磁矢位；引入U 的依据为：0A E t ⎛⎫∂∇⨯+= ⎪∂⎝⎭，也就是对无旋场，可以引入势函数。

二、选择题（共20分）（4题）1. 以ˆz为正方向传播的电磁波为例，将其电场分解为x ，y 两个方向的分量：(,)cos()x xm x E z t E t kz ωφ=-+和(,)sin()y ym y E z t E t kz ωφ=-+。

判断以下各项中电磁波的极化形式：线极化波为（ B ）；右旋圆极化波为（ C ）。

（4分）A. x y φφπ-=,3ym xmE E = B. 2x y πφφ-=，3ym xmE E =C. 0x y φφ-=， xm ym E E =D. x y φφπ-=-， xm ym E E =2. 以下关于导电媒质中的均匀平面电磁波论述正确的是（ BC ）。

积分变换习题解答

π −∞
∫ ∫ ∫ ∫ 证 f (t) = 1
( ) +∞
+∞
f
τ
e− jωτ dτ ejωt dω =
1
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) cosωtdτ dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −∞
∫ ∫ ∫ ∫ + 1
2π
+∞ +∞ f (τ ) (cosωτ − jsin ωτ ) jsin ωtdτ dω =
−∞
1+i 1−ω
+
e⎡⎣1−i(1+ω )⎤⎦t 0
−∞
1−i 1+ω
+
e⎡⎣−1+i(1−ω)⎤⎦t +∞
0
−1+ i 1− ω
+
e⎡⎣−1−i(1+ω )⎤⎦t +∞
0
−1− i 1+ ω
⎫ ⎪ ⎬ ⎪
⎩
⎭
=
1 2
⎡
⎢ ⎣
1+
1
i (1−ω
)
+
1−
1
i (1+ ω )
+
1−
1
i (1− ω )
+∞ +∞
f
t
e−iωt dteiωt dω = 1
+∞ 1 1− t 2 e−iωt dteiωt dω
2π −∞ −∞
2π −∞ −1
∫ ∫ ( ) ∫ = 1
π
+∞ −∞
1 1−t2
0
cosωtdteiωtdω = 1 π
+∞ −∞

14-15-1复变、积变与场论A答案

河北科技大学理工学院2014—2015学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷）学院理工学院年级 13级 _考试班级电气类L13一、填空题。

（本题共10个空，每空2分，共20分；将正确答案填在题中的横线上）1、2，π43-2、2sin 2cos ππi +， 2πi e 3、k z xz j y zy i x xy ρρρ)2()2()2(222-+-+-4、15、i k i ππ2)34arctan (5ln +-+，)34arctan (5ln -+πi 6、绝对收敛 7、0二、（本题共5小题，每小题2分，共10分） 1、B 2、D 3、B 4、B 5、C三、判断下列命题的对错，对的在其后面的括号内打“√”，错误的在其后的括号内打“╳”（本题共5小题，每小题2分，共10分）。

1 ╳2 ╳3 ╳4 ╳5 ╳ 四、（本题共2小题，每小题10分，共20分） 1. 将221(1)z +展开成z 的幂级数. 解：由211(1),11n n z z z z z=-+++-+<+L L …………………3分 12112(1),1(1)n n z n z z z --=-++-+<+L L …………………4分 212(1)222112(1)(1)(1),1(1)n n n n nn z nz n z z z =∞--==-++-+=-+<+∑L L ………3分 2. 把函数()21()f z z z i =-在以i 为中心的圆环域内展开为洛朗级数。

解：（1）在01z i <-<内 …………………1分A 卷标准答案共（ 4 ）页，第（ 1 ）页()21()f z z z i =-11z i z '⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭…………………2分211i z z i z i i i '⎛⎫--⎛⎫=⋅-++ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭L ()2111(1)n n n n nz i i∞--+==--∑ …………………2分（2）在1z i <-<+∞内 …………………1分()21()f z z z i =-11z i z '⎛⎫=-⋅ ⎪-⎝⎭…………………2分2341123()()()i z i z i z i z i ⎛⎫--=⋅+-+ ⎪----⎝⎭L 3(1)(1)()nnn n n i z i ∞+=+=--∑ ………………2分五、（本题10分）用两种方法计算积分421z zdz z =-⎰Ñ。

场论基础试题及答案

场论基础试题及答案一、单项选择题（每题2分，共10分）1. 场论中，场的强度定义为：A. 场源的密度B. 场源的分布C. 场对单位测试电荷的作用力D. 场源的总电荷量答案：C2. 电场强度的方向是：A. 从正电荷指向负电荷B. 从负电荷指向正电荷C. 垂直于等势面D. 与电场线平行答案：B3. 根据麦克斯韦方程组，变化的磁场可以产生：A. 恒定电场B. 变化的电场C. 恒定磁场D. 变化的磁场答案：B4. 电磁波在真空中的传播速度是：A. 光速B. 声速C. 光速的一半D. 声速的两倍答案：A5. 洛伦兹力的方向与电荷运动方向的关系是：A. 垂直B. 平行C. 相反D. 相同答案：A二、填空题（每题2分，共10分）1. 电场强度的单位是________。

答案：牛顿/库仑2. 磁场强度的单位是________。

答案：特斯拉3. 电磁波的频率与波长的关系是________。

答案：频率与波长成反比4. 根据法拉第电磁感应定律，变化的磁场可以产生________。

答案：电场5. 电磁波的传播不需要________。

答案：介质三、简答题（每题5分，共20分）1. 简述电场和磁场的关系。

答案：电场和磁场是电磁场的两个方面，它们相互关联，可以相互转换。

变化的磁场可以产生电场，而变化的电场也可以产生磁场。

2. 什么是电磁波？请简述其特性。

答案：电磁波是由电场和磁场交替变化产生的波动现象。

电磁波的传播不需要介质，可以在真空中传播，具有波长和频率，且波速在真空中是一个常数。

3. 麦克斯韦方程组包含哪四个方程？请简述它们的意义。

答案：麦克斯韦方程组包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁感应定律和安培环路定律。

高斯定律描述了电荷分布与电场的关系；高斯磁定律表明磁场是由电流产生的；法拉第电磁感应定律描述了变化的磁场产生电场的现象；安培环路定律则描述了电流和磁场之间的关系。

4. 洛伦兹力是如何定义的？请简述其作用。

答案：洛伦兹力是运动电荷在电磁场中受到的力，其大小和方向由电荷量、电荷速度、电场强度和磁场强度共同决定。

2015-2016复变、积变、场论A答案 (1)

河北科技大学2015—2016学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷标准答案（A 卷）学院电气学院年级 14级考试班级电气141、142、143、144、SY14 一、选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分） 1. D ； 2. C ； 3.D ； 4.A ； 5.D 。

二、填空题(本题共7小题，每小题3分,共21分) 1. -arctan 34； 2．0； 3.2sin 2; 44422sin )0,1,233k k i k ππππ-+-++=;5．-u ; 67．[(5)(5)]j πδωδω+--。

三、计算下列积分(本题共4小题，每小题5分,共20分) 1.()3321,1Cz z dz z -+-⎰Ñ，其中C 为正向圆周3||=z .解：()33211Cz z dz z -+-⎰Ñ312=(21)2!Z iz z π=''-+ ………………………………2分=12.i π ………………………………3分2. sin (1)zCz dz z e -⎰Ñ，其中C 为正向圆周1||2z =. 解： 0z =sin (1)zzz e -是的一级极点，利用留数定理，………………………………1分 Re [(),0]1s f z =-， ………………………………2分 sin (1)z C z dz z e -⎰Ñ=2Re [(),0]i s f z π=-2i π . ………………………………2分3.24.1x dx x +∞-∞+⎰ 解：241x dx x +∞-∞+⎰2i π=3442244Re [,]Re [,]11i i z z s e s e z z ππ⎧⎫+⎨⎬++⎩⎭…………………2分 2i π=344224411z i z i z z z z ππ==⎧⎫⎪⎪+⎨⎬''++⎪⎪⎩⎭（）（） 2i π=344223344z iz i z z z z ππ==⎧⎫⎪⎪+⎨⎬⎪⎪⎩⎭=2. …………………3分 4. 20.t te e dt t--+∞-⎰解：利用公式00()[()]f t dt L f t ds t+∞+∞=⎰⎰，20t t e e dt t--+∞-⎰20=L t te e ds +∞--⎡⎤-⎣⎦⎰ …………………3分 011=12ds s s +∞---⎰01=ln 2s s +∞+⎛⎫⎪+⎝⎭=ln2. …………………2分四、(6分)利用卷积定理，证明()-1222L sin 2+s t at a s a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦. 证：由()-122L cos +s at s a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，()-12211L sin +at a s a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦， …………………2分及卷积定理得()-12221L cos sin +s at at a s a ⎡⎤⎢⎥=*⎢⎥⎣⎦…………………2分 01sin cos ()ta a t d a τττ=-⎰01sin sin(2)2tat a at d a ττ=+-⎰ sin 2tat a = …………………2分五、计算题 (6分)求函数1()()()()()222a a f t t a t a t t δδδδ⎡⎤=-++-+++-⎣⎦的Fourier 变换. 解：[]221L ()2a aj j j a j a f t e e e e ωωωω--⎡⎤=-+++⎣⎦ …………………4分2222aaj j j a j a e e ee j jωωωω--++=-+sin cos2aj a ωω=-+ …………………2分六、解下列各题 (每小题8分,共32分)1.利用Laplace 变换求方程222cos t y y y e t '''-+=满足(0)(0)1y y '==的解. 解：方程两边取拉氏变换，并记[()]()L y t Y s =，得222(1)()2()2()(1)1s s Y s sY s Y s s --+=-+ …………………2分即2222(1)1()(22)(1)1s Y s s s s -'==--+-+（） …………………2分再取拉氏逆变换，并利用公式11[()][()]L F s tL F s --'=-（微分性质）， …………2分得其解为1112211()[()][()][]sin (1)1(1)1ty t L Y s L tL te t s s ---'==-==-+-+. …………………2分 2. 求矢量场222A yz i zx j xy k =++u v v v v的散度和旋度.解：222022020z zy D A zx x y xy ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦u v0divA = …………………4分222(2)(2)(2)rotA xy x i zy y j xz z k =-+-+-v v v …………………4分3. 把函数()()1()12=--f z z z 分别在011<-<z 和12<-<+∞z 内展开为洛朗级数.解：在011<-<z 内，()()1()12=--f z z z ()()11111z z -=---g ()01(1)1n n z z +∞=-=--∑g …………………2分-101-(1)-(1)n n n n z z +∞+∞===-=-∑∑ …………………2分在12<-<+∞z 内，()()1()12=--f z z z ()()1121+2z z =--g ()()211121+2z z =--g …………………2分 ()21(1)(2)2nnn z z +∞-==---∑g 2(1)(2)nn n z +∞+=-=-∑ …………………2分4.设矢量场cos cos sin ,A y xy i x xy j z k →→→→=++ (1)证明矢量场→A 为有势场； (2)求矢量场→A 的势函数.解：(1)22sin cos sin 0cos sin sin 000cos y xy xy xy xy D A xy xy xy x xy z ⎡⎤--⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦u v0rotA =，因此，矢量场→A 为有势场。

大学物理B2考试题及答案v

1 一个半径为R 的均匀带点球面，电量为Q ，若规定该球面上电势值为零，则无限远处电势多少？解：带电球面在外部产生的场强为204Q Er πε=，由于 d d RRRU U E r ∞∞∞-=⋅=⎰⎰E l200d 44RRQQr r r πεπε∞∞-==⎰ 04Q Rπε=当U R = 0时，04Q U Rπε∞=-2 均匀带点球壳内半径为6cm ，外半径为10cm ，电荷体密度为2×10-5，求距球心为5cm ，8cm 及12cm 各点的场强。

解: 高斯定理0d ε∑⎰=⋅q S E s,02π4ε∑=qrE当5=r cm 时，0=∑q ,0=E8=r cm 时，∑q 3π4p=3(r )3内r - ∴ ()2023π43π4r r r E ερ内-=41048.3⨯≈1C N -⋅，方向沿半径向外．12=r cm 时,3π4∑=ρq -3(外r ）内3r ∴ ()420331010.4π43π4⨯≈-=r r r E ερ内外 1CN -⋅沿半径向外.3两条长直载流导线与一长方形线圈共面，如图，已知a=b=c=10，I=10m，I1=I2=100A，求通过线圈的磁通量。

4把折射率n=1.632的玻璃片，放入到麦克斯韦干涉仪的一臂上，可观察到150条干涉条纹向一方移动，若所用的单色光波长为=5000A，求玻璃片的厚度。

5使一束自然光通过两个偏振化方向成60°角的偏振片后，透射光的强度为I1，今在两个偏振之间再插入另一个偏振片，使它的偏振化方向与原来两个偏振片的偏振化方向的夹角均成30°，求此时透射光的强度为多大？6某单色光垂直入射到每厘米刻有6000多条刻线的光栅上，如果第一级谱线的偏角为20°，试问入射光的波长如何？它的第二级谱线在何处？（sin20°=0.342）7三块平行金属板A、B和C，面积都是S，A、B相距d1，A、C相距d2，d1:d2=1:2，B、C接地，A带正电荷q，忽略边缘效应，求（1）B、C板上的电荷多少？1（2）A板电势为多少？（素材和资料部分来自网络，供参考。

复变函数与积分变换试题及答案12

∵f(0)=0 ∴ f ( z ) = xy − c=0 （3 分）（2 分）
i 2 i i ( x − y 2 ) = − ( x 2 − y 2 + 2 xyi ) = − z 2 2 2 2
2
三、解：原式=（2 分） 2πi ∑ Re s ⎢
k =1
4
⎡
⎤ 1 , zk ⎥ ⎣ z ( z − 1)( z − 3) ⎦
n
7
= ∑i
n=0
∞
n −1
( z − i) n −1 = ∑ i ( z − i ) n （2 分）
n = −1
∞
n
1分） = 2．解： f ( z ) （
1 1 1 ⋅ = （ 1分） ⋅ ( z − i) i + ( z − i) ( z − i) 2
1 ⎛ i ⎞ 1+ ⎜ ⎟ ⎝ z −i⎠
S（2）-（1）： ∴ Y (s) =
(1) ( 2) (3)
（3 分）
s 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 1 ⋅⎜− ⎟ = − 2 = − ⎜ + ⎟ s −1 ⎝ s ⎠ s s −1 s 2 ⎝ s −1 s + 1⎠
2
（3 分）
∴ Y (t ) = 1 −
1 t 1 −t e − e = 1 − cht 2 2
解 y( t ) 。
5
八、（10 分）就书中内容，函数在某区域内解析的具体判别方法有哪几种。
参考答案
一、1． 3.
4 ln 2 2 + π 2 9
2 − π ， arctg 3 + 2kπ ln 2
4. 空集
6
2. 2z 6． 0
3 -i

16-17-1复积场试题a卷(2)

河北科技大学理工学院2016—2017学年第一学期《复变函数、积分变换与场论》期末考试试卷（A 卷）一、选择题（本题共7小题,每小题3分,共21分.请将答案写在答题纸指定位置）1. 设z 为复数，则方程2z z i +=+的解是( ).（A ）34i -+ （B ）34i + （C ）34i - （D ）34i -- 2. 下列函数中,为解析函数的是( ).（A ）222x y xyi -- （B ）2x xyi + （C ）222(1)(2)x y i y x x -+-+ （D ）33x iy +3．若幂级数0n n n c z ∞=∑在12z i =+处收敛,那么该级数在2z =处的敛散性为( ).（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）不能确定4．幂级数10(1)1nn n z n ∞+=-+∑在1z <内的和函数为( ). （A ）ln(1)z + （B ）ln(1)z - （C ）1ln 1z + (D)1ln 1z- 5.设i z t t=+（t 为参数），则其表示（）图形。

（A ）直线（B ）双曲线（C ）圆（D ）抛物线6．0z =是函数3232z z z ++的( ). （A ）可去奇点（B ）一级极点（C ）二级极点（D ）本性奇点7. 设()()1at m f t e t m =>-,则[]f (t )=L ( ).（A ）()1!+-m m s a （B ）()1!++m m s a （C ）()()1!m m s a +- （D ）()()1!m m s a ++ 二、填空题(本题共7小题,每小题3分,共21分.请将答案写在答题纸指定位置)1. i i 的主值为 .2. 调和函数u(x,y )xy =的共轭调和函数为 .3. 数量场232(,,)=+u x y z x yz y z 在点M(1,1,0)处的梯度为．4．幂级数()01nn n i z ∞=+∑的收敛半径为 .5．设51cos ()z f z z-=,则[]Re (),0=s f z ． 6. 设()()()00F ωπδωωδωω=++-⎡⎤⎣⎦,则()1F ω-=⎡⎤⎣⎦F . 7. 若矢量场()()()32A x y i y z j x az k =++-++u v v v v 为管形场，则常数a = ．三、计算题 (本题共7小题,每小题6分,共42分.请将解答写在答题纸指定位置)1. 计算积分 4312C dz z z i ⎛⎫+ ⎪++⎝⎭⎰Ñ,其中C 为正向圆周:4=z . 2. 计算积分 ()21z C e dz z z -⎰Ñ,其中C 为正向圆周:2z =.3. 设()()2211F s s s =+,求()F s 的Laplace 逆变换（象原函数）. 4. 讨论下列级数的敛散性。

天津工业大学积分变换2012期末考试题

1.利用象函数的微分性质，求的Fourier变换。
2.利用微分性质求函数的Laplace变换。
3.利用Fourier变换求解 ,其中
4.利用Laplace变换求常系数微分方程：，满足
条件下的解
五.证明题（每小题10分）
1.若ℐ ，证明：ℐ 。
2.利用卷积定理证明ℒ-1[ ]= 。
天津工业大学（2012—2013学年第一学期）
《积分变换》试卷（2012.10）
特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有五道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。
满分
16
16
16
32
20
总分
复核
题目
一
二
三
四
五
得分
评阅人
一.计算题（每小题8分）
1.求正弦函数的Fourier变换。
2.求指数函数的Laplace变换。
二.计算题（每小题8分）
1.求函数的Fourier积分表达式。
2.若函数，其中，求ℐ 。
三.计算题（每小题8分）
1.设是以为周期的函数，且在一个周期内的表达式为
，求ℒ 。
2.求解：ℒ-1[ ]。
四.应用题（每小题8ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ）

华工2012《积分变换》B1

,考试作弊将带来严重后果！华南理工大学考试2012《积分变换-B 》试卷1. 考前请将密封线内填写清楚；所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)；．考试形式：闭卷；，填空题。

(每题6分，合计30分)（1）函数()cos t f t e t =的拉普拉斯变换是 _____________________ （2）若函数()f t 的傅立叶变换为ˆ()fω，且lim ()0t f t →∞=，则函数()()u t f t '=的傅立叶变换为： _____________________ （3）若函数()f t 的拉普拉斯变换为()F s ，则1()F s s 的拉普拉斯逆变换为_____________________ （4）函数()()cos f t H t at =的傅立叶变换为___________________________（5）设221()ln 4s F s s -=+，则()F s 的拉普拉斯逆变换为_____________________ ，计算题，(每题6分，合计30分)。

（1）计算 221()(1)(2)s F s s s +=+- 的拉普拉斯逆变换2）计算函数 ()()c o s atf t H t e t -= 的傅立叶变换，其中 0a >（3）计算函数 3s i n 2()t e t f t t-= 的拉普拉斯变换（4）求解方程 ()2()3()(1)(0)(0)0,(0)1t u t u t u t e H t t u u -'''⎧+-=+->⎨'==⎩，（5）求微分积分方程的一个特解：2()()()tu t a u d f t ττ-∞''-=⎰，其中0a >，f 是已知函数。

3，(本题7分) 利用拉普拉斯变换的方法计算积分201cos tt e dt t∞--⎰4，(本题8分) 解微分积分方程40()4()(0)00tty t e e y t d y t τττ'=--=≥⎰，，5，(本题7分) 计算函数的拉普拉斯卷积，其中()()cos f t g t kt ==，0k >6，(本题8分)设0()00t e t f t t -⎧>=⎨<⎩， cos 0()00t t g t t >⎧=⎨<⎩，，，求傅立叶卷积f (t )*g (t )。

积分变换(下)带标准答案

k 0 k 0

e sk F ( s) F ( s)
k 0
t

1 1 e s
F (s) . s
19．设 L [ f (t )] F ( s), 利用卷积定理，证明 L [ f (t )dt ]
0
证：因为 f (t )dt f (t ) u(t ). 所以
0
t
L [ f (t )dt ] L [ f (t ) u (t )]
0
t
L [ f (t )] L [u (t )] 1 F ( s) F ( s) . s s
注：1、教师命题时题目之间不留空白； 2、考生不得在试题纸上答题，教师只批阅答题册正面部分，若考生须在试题图上作解答，请另附该试题图。3、请在试卷类型、考试方式后打勾注明。（第 4 页）
三、计算题（每小题 8 分，共 40 分）
11．设 f (t ) e t ( 0) ，求其傅立叶积分公式。解：
f (t ) 1 f ( )e j d e jt d 2 1 2 e cos d cos td 2 0 2 cos td 0 2 2
(D). 有限多个第二类间断点 .

(t ) 为单位脉冲函数， 3．设 f (t ) 是一个无穷次可微函数，那么 (t t0 ) f (t )dt ( C
(A) 不确定； (B). f (t ) ; (C)
)
f (t0 ) ;
(D)
f (0) (t ) .
4．设 F1 () F [ f1(t)], F2( ) F [ f 2( t)] ，则 F ( f1 (t ) f 2 (t )) ( A ) F1 () F2 () ； ( B ) F1 () F2 () ； (C )

积分变换与场论复习重点

t 0
求拉普拉斯逆变换的方法主要有留数法、部分分式法、查表法等.
六. 拉氏变换的卷积与卷积定理 (1).定义： f1 (t ) f2 (t ) 0 f1 ( ) f2 (t )d
t
(2)拉氏变换的卷积定理若 ℒ f1 (t ) F1 (s), ℒ f 2 (t ) F2 (s), 则
f2 (t )
则
1 F f1 (t ) f 2 (tBiblioteka ) F1 ( ) F2 ( ) 2
六、微分、积分方程的Fourier变换解法象原函数 (方程的解)
象函数
取Fourier逆变换
解代数方程微分积分方程象函数的代数方程
取Fourier变换
第二章拉普拉斯变换
一. 定义式
2）. 位移性质:
（1）象原函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), t 0 为实常数,则
F
f (t t0 ) ei t0 F ()
（2）象函数的位移性质
若F ( ) =F
f (t ), 0 为实常数,则
1
F
F ( 0 ) f (t )ei0t
n (n)
t
设F [ f (t )] F ( )，若 tlim f (t )dt 0, 则
F [
t
1 f (t )dt ] F ( ) . i
五.卷积的概念 1.定义：若函数 f1 (t ),
f 2 (t ) 定义在 , 上,

函数 f1 (t ), f 2 (t ) 的卷积, f1 (t ) f2 (t ) f1 ( ) f 2 (t )d
(n)

积分变换复习题解答

积分变换复习题解答一、求下列函数的付氏变换1、设(),0,00,⎩⎨⎧<≥=-t t e t f t β求()[]()[]()[]t f F t f F t f F -+'',1,解：()()()2117152F f t j F f t j ωωβω---''==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()11415(1)11j j F f t eF f t ej ωωβω---⋅-+==⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦+()()1212151F f t F j ωβω----=-=⎡⎤⎣⎦-2、()()()()1151141722111122{[]}{}itj j F e u t F u t eF u t e j ωωωωωωωωπδωω-----⋅-⋅=+=+=+⎡⎤⎡⎤-=-==+⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()2(1)11(1)j e j ωπδωω-+⎡⎤=++⎢⎥+⎣⎦3、[]()()112000sin F t j ωωδωωδωω-=+--⎡⎤⎣⎦4、()()()55114173351353j j F u t F u t e F u t e j ωωπδωω----⎡⎤⎡⎤⎛⎫-=-==+⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦5、()()()()()1181721122d d d F tu t j F u t j F u t j j d d d j πδωπδωωωωωω--⎡⎤'===+=-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、()()()()()114118111j j j j F t eF t e j F t e j j e ωωωωδδωδωω---⋅---''-===⋅=⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦7、()()()()1111111[11]cos F t t F t t t δδπδδππ-++-=++-=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦8、()110323itF e πδω-⎡⎤=-⎣⎦二、计算：1、()127sin sin 0332t t dt ππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰2、128sin sin 42242t t dt ππππδ-+∞-∞⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰三、求卷积：1、设()(),0,00,,0,00,221⎩⎨⎧<≥=⎩⎨⎧<≥=--t t e t f t t e t f t t 求：()()t f t f 21*解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()22212120()()tttt tt t f t f t f f t d e ed ee d e e ττττττττ------*=-===-⎰⎰⎰212,0()()0,0t te e tf t f t t --⎧-≥∴*=⎨<⎩2、设()()212,0,0,0,00,0t t t t f t f t t t ≥⎧≥⎧==⎨⎨<<⎩⎩，求：()()t f t f 21* 解：0t <时：12()()0f t f t *=0t ≥时：()()()24121201()()12ttf t f t f f t d t d t ττττττ*=-=-=⎰⎰ 412,0()()120,0t t f t f t t ⎧≥⎪∴*=⎨⎪<⎩四、求下列函数的拉氏变换： 1、219126333222255[sin5][sin5]5(3)5ts s s s L e t L t s s ---=-=-===+-+ 2、()(1)1221[cos2][cos2]12t ts L et e L e t e s ---+=⋅=⋅++同上题3、()()()(){}22221521812422222222231442[2]1[2][]ss s d d d L t u t L u t e L u t e e ds ds ds s s s s -------⎧⎫⎛⎫-=--==⋅=++⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭4、()222511[521]2ts L e t t e s s sδ-+-++=+++- 5、[]272822211sin sin cos cos sin sin cos 444221121s s L t L t t L t t s s s πππ--⎡⎤-⎛⎫⎡⎤⎡⎤-=-=-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦6、(){}21312191271122[cos2]1[cos2]{[cos2]}2tts s s s d d d sL te t L e t L t ds dsds s -----=-=-⎧⎫=-=-=-⎨⎬+⎩⎭()22222123(1)225d s s s ds s s s ⎧⎫---=-=⎨⎬-+⎩⎭-+ 7、⎥⎦⎤⎢⎣⎡t t L 2sin []21712822sin 2arctan arctan 2222ss s s sL t ds ds s π---+∞+∞+∞====-+⎰⎰ 8、⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰-tt tdt e L 023sin []()21621912622221113sin3sin323t s s L e t L t s ss s -----=+⎡⎤==⋅=⋅⎣⎦++9、20t t e e dt t --+∞-⎰21722000111ln ln 2122t ts L e e ds ds s s s --+∞+∞--+∞+⎛⎫⎡⎤=-=-== ⎪⎣⎦+++⎝⎭⎰⎰10、设()5,122,24,0,4t f t t t ≤<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示()t f ，并求[])(t f L 。