2012积分变换与场论试题B

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湖南大学课程考试试卷

考试中心填写：

三、（10分）证明Parseval 恒等式，并求42

sin x

dx x

+∞

-∞

⎰的值

四、（10分）求广义积分12

t e t dt +∞

--⎰

，由此计算3t L

五、（10分）1）若()(),L f t F s =⎡⎤⎣⎦，证明：()()L tf t F s '=-⎡⎤⎣⎦，

2）计算30sin 2t

t L t e tdt -⎡⎤⎢⎥⎣⎦

⎰

六、（10分）求解积分方程()()()0sin t

y t at t y d τττ=+-⎰的解

七、（10分）已知()A t 和一非零常矢B 恒满足(),A t B t = 又()A t '和B 的夹角为常数，证明：()()A t A t '''⊥

八（10分）证明：矢量场2222

2(cos )2A xyz i x z y j x yz k =+++ 为有势场，并求其

势函数.

九、已知矢量场()()()A x z y i y x z j z y x k =-+-+-

，

(1) （4分）写出矢量场A

穿过曲面S 的通量Φ的表达式；

(2) （8分）求A 的散度,divA 并判断A

为哪一种矢量场：有势场、管形场、调和场；

(3) （8分）求A 在点(1,2,3)M 处沿方向22n i j k =++

的环量面密度n

μ .

湖南大学教务处考试中

心