2014年高考一轮复习数学教案：1.2 逻辑联结词与四种命题

1.2 逻辑联结词与四种命题

●知识梳理

1.逻辑联结词

（1）命题：可以判断真假的语句叫做命题.

（2）逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.

（3）简单命题与复合命题：不含逻辑联结词的命题叫简单命题；由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题.

（4）真值表：表示命题真假的表叫真值表.

2.四种命题

（1）四种命题

原命题：如果p ，那么q （或若p 则q ）；逆命题：若q 则p ；

否命题：若⌝p 则⌝q ；逆否命题：若⌝q 则⌝p .

（2）四种命题之间的相互关系

这里，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题.

●点击双基

1.由“p :8+7=16，q :π＞3”构成的复合命题，下列判断正确的是

A.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真

B.p 或q 为假，p 且q 为假，非p 为真

C.p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为假

D.p 或q 为假，p 且q 为真，非p 为真

解析：因为p 假，q 真，由复合命题的真值表可以判断，p 或q 为真，p 且q 为假，非p 为真.

答案：A

2.（2004年福建，3）命题p :若a 、b ∈R ，则|a |+|b |＞1是|a +b |＞1的充分而不必要条件； 命题q :函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1］∪［3，+∞），则

A.“p 或q ”为假

B.“p 且q ”为真

C. p 真q 假

D. p 假q 真

解析：∵|a +b |≤|a |+|b |，

若|a |+|b |＞1，不能推出|a +b |＞1，而|a +b |＞1，一定有|a |+|b |＞1，故命题p 为假.

又由函数y=2

x的定义域为|x－1|－2≥0，即|x－1|≥2，即x－1≥2或x－1≤－2.

-

|-

|1

故有x∈（－∞，－1］∪［3，+∞）.

∴q为真命题.

答案：D

3.（2005年春季上海，15）设函数f（x）的定义域为R，有下列三个命题：

①若存在常数M，使得对任意x∈R，有f（x）≤M，则M是函数f（x）的最大值；

②若存在x0∈R，使得对任意x∈R，且x≠x0，有f（x）＜f（x0），则f（x0）是函数f （x）的最大值；

③若存在x0∈R，使得对任意x∈R，有f（x）≤f（x0），则f（x0）是函数f（x）的最大值.

这些命题中，真命题的个数是

A.0

B.1

C.2

D.3

解析：①错.原因：可能“=”不能取到.②③都正确.

答案：C

4.命题“若m＞0，则关于x的方程x2+x－m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为___________________.

解析：先写出其命题的逆命题、否命题、逆否命题，逐一判断.

答案：2

5.（2005年北京西城区抽样测试题）已知命题p:函数y=log a（ax+2a）（a＞0且a≠1）的图象必过定点（－1，1）；

命题q:如果函数y=f（x－3）的图象关于原点对称，那么函数y=f（x）的图象关于点（3，0）对称.则

A.“p且q”为真

B.“p或q”为假

C. p真q假

D. p假q真

解析：解决本题的关键是判定p、q的真假.由于p真，q假（可举反例y=x+3），因此正确答案为C.

答案：C

●典例剖析

【例1】给出命题“已知a、b、c、d是实数，若a=b，c=d，则a+c=b+d”，对其原命题、逆命题、否命题、逆否命题而言，真命题有

A.0个

B.2个

C.3个

D.4个

剖析：原命题和逆否命题为真.

答案：B

深化拓展

若a、b、c∈R，写出命题“若ac＜0，则ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这三个命题的真假.

思路：认清命题的条件p和结论q，然后按定义写出逆命题、否命题、逆否命题，最后判断真假.

解：逆命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）有两个不相等的实数根，则ac＜0”是假命题，如当a=1，b=－3，c=2时，方程x2－3x+2=0有两个不等实根x1=1，x2=2，但ac=2＞0.

否命题“若ac≥0，则方程ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根”是假命题.这是因为它和逆命题互为逆否命题，而逆命题是假命题.

逆否命题“若ax2+bx+c=0（a、b、c∈R）没有两个不相等的实数根，则ac≥0”是真命

题.因为原命题是真命题，它与原命题等价.

评述：解答命题问题，识别命题的条件p与结论q的构成是关键.

【例2】指出下列复合命题的形式及其构成.

（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；

（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；

（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形.

解：（1）是非p形式的复合命题，其中p:若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°.

（2）是p且q形式的复合命题，其中p:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q:一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形.

（3）是p或q形式的复合命题，其中p:有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形.

【例3】写出命题“当abc=0时，a=0或b=0或c=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假.

剖析：把原命题改造成“若p则q”形式，再分别写出其相应的逆命题、否命题、逆否命题.在判断真假时要注意利用等价命题的原理和规律.

解：原命题：若abc=0，则a=0或b=0或c=0，是真命题.

逆命题：若a=0或b=0或c=0，则abc=0，是真命题.

否命题：若abc≠0，则a≠0且b≠0且c≠0，是真命题.

逆否命题：若a≠0且b≠0且c≠0，则abc≠0，是真命题.

●闯关训练

夯实基础

1.如果原命题的结论是“p且q”形式，那么否命题的结论形式为

A.⌝p且⌝q

B.⌝p或⌝q

C.⌝p或⌝q

D.⌝q或⌝p

解析：p且q的否定为⌝p或⌝q.

答案：B

2.下列四个命题中真命题是

①“若xy=1，则x、y互为倒数”的逆命题②“面积相等的三角形全等”的否命题③“若m≤1，则方程x2－2x+m=0有实根”的逆否命题④“若A∩B=B，则A⊆B”的逆否命题

A.①②

B.②③

C.①②③

D.③④

解析：写出满足条件的命题再进行判断.

答案：C

3.分别用“p或q”“p且q”“非p”填空.

（1）命题“15能被3和5整除”是___________________形式；

（2）命题“16的平方根是4或－4”是______________形式；

（3）命题“李强是高一学生，也是共青团员”是___________________形式.

答案：（1）p且q（2）p或q（3）p且q

4.命题“若ab=0，则a、b中至少有一个为零”的逆否命题是_______________.

答案：若a≠0且b≠0，则ab≠0

5.在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p1“第一次射击击中飞机”，命题p2“第二次射击击中飞机”，试用p1、p2及联结词“或”“且”“非”表示下列命题：（1）两次都击中飞机；

（2）两次都没击中飞机；

（3）恰有一次击中飞机；