《等差数列前n项和公式》教学设计53171
等差数列前n项和公式教学设计
等差数列前n项和公式教学设计一、引言等差数列是数学中常见的数列类型之一，它的前n项和公式是数学教学中的重要内容。
本文将针对等差数列前n项和公式的教学设计进行讨论，旨在帮助学生理解和应用该公式。
二、教学目标通过本次教学，学生将能够：1. 掌握等差数列的定义和性质；2. 推导等差数列前n项和公式；3. 熟练应用前n项和公式解决实际问题。
三、教学内容1. 等差数列的定义和性质在开始介绍前n项和公式之前，首先向学生介绍等差数列的定义和性质。
教师可以通过提供具体的数列示例，并引导学生观察数列中的规律，以加深他们对等差数列的理解。
2. 推导等差数列前n项和公式为了引导学生主动参与教学过程，并提高他们对公式的理解程度，教师可以采用探究性学习的方法来推导等差数列前n项和公式。
以下是一种教学策略：（1）教师先给出一个等差数列，例如：2, 5, 8, 11, 14, ...（2）教师引导学生观察数列中的规律，如何由前一项得到后一项。
（3）学生通过观察和思考，可以发现每一项与前一项的差是相同的，即公差（d）。
（4）接下来，教师可以引导学生通过等差数列的通项公式（an =a1 + (n-1)d）来表示数列中的各项。
（5）通过代入相应的值，教师指导学生推导出等差数列前n项和的公式（Sn = (n/2)(a1 + an)）。
3. 应用前n项和公式解决实际问题为了提高学生的应用能力，教师可以设计一些实际问题，要求学生运用前n项和公式解决。
例如：（1）小明连续10天每天跑步，第一天跑了2公里，每天比前一天多跑3公里，问小明共跑了多少公里？（2）某商店连续7天的销售额分别是100元、110元、120元、...，每天比前一天增加10元，求7天的总销售额。
四、教学步骤1. 引导学生回顾等差数列的定义和性质；2. 通过探究性学习的方法，引导学生推导等差数列前n项和的公式；3. 提供实际问题，要求学生运用前n项和公式进行计算；4. 指导学生总结等差数列前n项和的公式；5. 练习巩固：提供更多练习题，让学生进行接触和熟练应用。
等差数列前n项和公式教学设计
等差数列前n项和公式教学设计一、引言等差数列是数学中常见的一种数列，对于学生来说，了解等差数列的基本概念和求和公式是非常重要的。
本文旨在设计一堂教学课程，帮助学生理解等差数列前n项和公式，并加深他们对该概念的理解。
二、教学目标本节课的主要教学目标如下：1. 学习等差数列的定义和基本概念；2. 学会推导和运用等差数列的前n项和公式；3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
三、教学过程1. 导入为了激发学生的学习兴趣，我会以一个有趣的例子开始课程，例如让学生想象他们正在参加一个奖励活动，每天奖励的数目以等差数列递增。
引导学生思考如何计算他们在活动结束时累计获得的奖励数目。
2. 探究在导入后，我将引导学生自主探究等差数列的定义和基本概念。
通过给出一些数列示例和观察数列的特点，学生将逐渐理解等差数列的概念。
我会鼓励学生提出问题并进行讨论，以促进他们的思维发展。
3. 归纳当学生们了解等差数列的基本概念后，我会引导他们发现等差数列的前n项和公式的规律，并与他们分享推导公式的思路。
然后，我会帮助学生将这个过程总结成一般的等差数列前n项和公式。
通过引导学生自主发现规律，他们将更好地理解公式的来源和应用。
4. 实践在学习归纳出的等差数列前n项和公式后，我会给学生一些实际问题进行练习。
这些问题既能考察学生对公式的运用，也能培养他们的问题解决能力。
我会鼓励学生积极参与解答问题，并提供必要的指导和反馈。
5. 总结在课程结束前，我会与学生一起回顾所学内容，并对他们的学习进行总结。
我会强调等差数列前n项和公式的重要性，并和学生一起讨论如何将这个概念应用到更复杂的问题中。
我还会鼓励学生继续探索和学习数学的其他概念，培养他们对数学的兴趣和自信心。
四、教学评估为了评估学生的学习情况和理解程度，我将设计一些形式多样的评估活动，如课堂练习、小组合作探究和个人作业等。
通过这些评估活动，我能够及时发现学生的问题并及时给予指导和帮助。
五、教学资源为了支持教学过程，我将准备以下教学资源：1. 幻灯片：用于引入、讲解和总结课程内容；2. 笔记板：用于记录学生的思考和解答过程，并引导他们进行讨论；3. 实例练习题：用于巩固学生对等差数列前n项和公式的理解；4. 参考书籍和网上资源：用于进一步学习和拓展。
《等差数列前n项和公式》教学设计
《等差数列的前n项和公式》教学设计大理州实验中学赵高锦一．课标分析：高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。
本节课的教学内容是等差数列前n项和公式的推导及其简单应用。
二．教材分析：数列在生产实际中的应用范围很广，而且是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要题材，同时也是学生进一步学习高等数学的必备的基础知识。
三．学生分析：数列在整个高中阶段对于学生来说是难点，因为学生对于这部分仅有初中学的简单函数作为基础，所以新课的引入非常重要。
四．教学目标：知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
过程与方法目标：培养学生观察、归纳能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程的思想。
情感、态度与价值观目标：体验从特殊到一般，又到特殊的认识事物的规律，培养学生勇于创新的科学精神。
五．教学重点与难点：等差数列前n项和公式是重点。
获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
六．教学用具：ppt七：教学过程整节课分为三个阶段：问题呈现阶段探究发现阶段公式应用阶段问题呈现1：首先讲述世界七大奇迹之一泰姬陵的传说（泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝，成为世界七大奇迹之一。
）传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？也就是计算1+2+3+ (100)紧接着讲述高斯算法：高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子”。
200多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：1＋2＋3＋…+100＝？据说，当其他同学忙于把100个数逐项相加时，10岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1＋100）＋（2＋99）＋……＋（50＋51）＝101×50＝5050（首尾配对相加）【设计说明】了解历史，激发兴趣，提出问题，紧扣核心。
《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）
《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）第一篇：《等差数列的前n项和》教学设计:等差数列的前n项和是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。
学情分析：学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。
但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。
教学目标：1、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。
2、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。
3、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。
教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。
2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
教学资源：现代教育多媒体技术教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。
高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。
高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。
高斯的方法：首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=50502.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
《等差数列的前n项和公式》教学设计
《等差数列的前n项和公式》教学设计一、教学设计思想在以往的教学中，课堂教学实施往往过于注重知识传授倾向，学生被动地接受，很难从多方面培养学生的综合素质。
而本堂课的设计是以个性化教学思想为指导进行设计的。
本堂课的教学设计对教材部分内容进行了有意识的选择和改组，个性化地处理教材使学生更便于接受和理解。
为了体现个性化教学的教学理念，在教法上，采用了以学生为主体，以问题为中心，以老师为引导，以小组的合作为主要学习方式。
在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。
二、学生情况与教材分析1、学生情况分析：学生思维较活跃，有一定的分析问题、探究问题进而解决问题的能力，并且学生已经学习了等差数列的定义和通项公式，而且具有一些生活中的实际经验和掌握了高斯数的推导方法．2、几何能直观地启迪思路，帮助理解，因此，借助几何直观学习和理解数学，是数学学习中的重要方面。
只有做到了直观上的理解，才是真正的理解。
因此在教学中，要鼓励学生借助几何直观进行思考，揭示研究对象的性质和关系，从而渗透了数形结合的数学思想。
三、教学目标1、知识与技能目标（1）理解等差数列前n项和公式的推导过程；（2）会运用等差数列前n项和公式进行相关计算。
2、过程与方法目标：通过等差数列求和公式的探索及推导过程，培养学生的“科学猜想能力和合情推理能力”，掌握“倒序相加”的数学方法，渗透数形结合的数学思想，培养创新意识。
3、情感态度与价值观目标：（1）、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功的喜悦。
（2）、通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作意识，培养主动与他人合作交流的能力.四、教学重点、难点等差数列前n项和公式的推导过程及公式应用是重点等差数列前n项和公式的发现过程及推导方法是难点。
《等差数列前n项和的公式》教案
《等差数列前n项和的公式》教案一、教学目标1、知识与技能目标学生能够理解并掌握等差数列前 n 项和的公式。
能够熟练运用公式解决与等差数列前 n 项和相关的问题。
2、过程与方法目标通过推导等差数列前 n 项和公式的过程，培养学生的逻辑推理能力和数学思维能力。
让学生经历从特殊到一般，再从一般到特殊的研究过程，体会数学中的转化思想。
3、情感态度与价值观目标激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神。
让学生在解决问题的过程中，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。
二、教学重难点1、教学重点等差数列前 n 项和公式的推导和理解。
公式的熟练运用。
2、教学难点等差数列前 n 项和公式的推导过程中数学思想的渗透。
三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课回顾等差数列的定义和通项公式。
提出问题：如何求等差数列的前 n 项和？2、公式推导以等差数列：1，2，3，4，5，，n 为例，引导学生思考求和的方法。
方法一：依次相加。
方法二：倒序相加。
设等差数列\（a_n\）的首项为\（a_1\），公差为\（d\），前\（n\）项和为\（S_n\）。
＼（S_n ＝ a_1 ＋ a_2 ＋ a_3 ＋＋ a_{n-1} ＋ a_n\）①＼（S_n ＝ a_n ＋ a_{n-1} ＋ a_{n-2} ＋＋ a_2 ＋ a_1\）②①＋②得：＼＼begin{align}2S_n&＝（a_1 ＋ a_n) ＋（a_2 ＋ a_{n-1}）＋＋（a_{n-1} ＋ a_2) ＋（a_n ＋ a_1)＼＼2S_n&＝n(a_1 ＋ a_n)＼＼S_n&＝＼frac{n(a_1 ＋ a_n)｝｛2}＼end{align}＼又因为\（a_n ＝ a_1 ＋（n 1)d\），所以\（S_n ＝＼frac{n(a_1 ＋a_1 ＋（n 1)d)｝｛2} ＝ na_1 ＋＼frac{n(n 1)d}｛2}＼）3、公式理解分析公式中各项的含义。
等差数列前n项和公式教学设计
等差数列前n项和公式教学设计
教学目标：
1. 理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式和前n项和公式。
2. 通过对等差数列前n项和公式的推导，培养学生的推理能力和数学运算能力。
3. 通过对等差数列前n项和公式的应用，培养学生的实际应用意识和解决问题的能力。
教学重点：
1. 等差数列的概念和通项公式。
2. 等差数列的前n项和公式及其推导。
3. 等差数列前n项和公式的应用。
教学难点：
1. 等差数列前n项和公式的推导。
2. 等差数列前n项和公式的应用。
教学方法：
1. 讲授法：通过讲授等差数列的概念和通项公式，为学生理解等差数列的前n项和公式打下基础。
2. 讨论法：通过组织学生讨论等差数列前n项和公式的推导和应用，培养学生的合作学习和解决问题的能力。
教学过程：
一、引入课题
通过举例和归纳，引出等差数列的概念，并引导学生探究等差数列的特点和通项公式。
二、讲解新课
1. 等差数列的概念和通项公式。
2. 等差数列的前n项和公式及其推导。
通过实例引导学生探究等差数列前n 项和公式的推导方法，并总结公式。
3. 等差数列前n项和公式的应用。
通过实例引导学生探究等差数列前n项和公式的应用，并总结应用方法。
三、巩固练习
1. 通过举例引导学生运用等差数列前n项和公式解决实际问题。
2. 通过练习题巩固等差数列前n项和公式的应用。
四、归纳小结
引导学生总结等差数列前n项和公式的推导和应用方法，并强调注意事项。
等差数列前n项和公式(优质课)教案
等差数列的前n 项和 （优质课）教案教学目标：教学重点： 掌握等差数列前n 项和通项公式及性质，数列最值的求解，与函数的关系 教学难点： 数列最值的求解及与函数的关系教学过程：1. 数列的前n 项和一般地，我们称312...n a a a a ++++为数列{}n a 的前n 项和，用n S 表示；记法：123...n n S a a a a =++++ 显然，当2n ≥时，有1n n n a S S −=− 所以n a 与n S 的关系为n a = ①1S ()1n =②()12n n S S n −−≥2. 等差数列的前n 项和公式()()11122n n n a a n n S na d +−==+ 3. 等差数列前n 项和公式性质（1） 等差数列中，依次()2,k k k N +≥∈项之和仍然是等差数列，即23243,,,,...k k k k k k k S S S S S S S −−− 成等差数列，且公差为2k d（2） n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 （3） 等差数列{}n a 中，若(),n m a m a n m n ==≠，则0m n a +=；若(),,n m S m S n m n ==≠则()m n S m n +=−+（4） 若{}n a 和{}n b 均为等差数列，前n 项和分别是n S 和n T ，则有2121n n n n a S b T −−=（5） 项数为2n 的等差数列{}n a ，有()1,n n n S n a a +=+有S 偶 -S 奇 =nd ，S S 奇 /偶 =1nn a a + 4. 等差数列前n 项和公式与函数的关系等差数列前n 项和公式()112n n n S na d −=+可以写成2122n d d S n a n ⎛⎫=+− ⎪⎝⎭ 若令1,,22d dA aB =−=类型一： 数列及等差数列的求和公式例1.已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+ 求{}n a解析：当1n =时，113a S ==；当2n ≥时，121n n n a S S n −=−=+当1n =时，上式成立所以21n a n =+答案：21n a n =+练习1. 已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求2a 答案：25a =练习2：已知数列{}n a 的前n 项和22,n S n n =+求10a 答案：1021a =例2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，131,,15,22m a d S ==−=−求m 及m a 解析：()131..15222m m m S m −⎛⎫=+−=− ⎪⎝⎭，整理得27600,m m −−= 解得12m =或5m =−（舍去）()12311211522m a a ⎛⎫∴==+−⨯−=− ⎪⎝⎭答案：1212,4m a ==−练习3. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，11,512,1022n n a a S ==−=−，求d答案：171d =−练习4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，524,S =求24a a + 答案：24485a a +=例3.在等差数列{}n a 中，前n 项和为n S (1) 若81248,168,S S ==求1a 和公差d(2) 若499,6,a a ==−求满足54n S =的所有n 的值解析：（1）由等差数列前n 项和公式有11182848,1266168,8,4a d a d a d +=+=∴=−=（2）由4919,6,18,3a a a d ==−∴==−所以()()11813542n S n n n =+−−=即213360n n −+= 解得4n =或9n = 答案：（1）18,4a d =−= （2）4n =或9n =练习5.设n S 是等差数列{}n a 的前项和，1532,3,a a a ==则9S =___________ 答案：54−练习6.在等差数列{}n a 中，241,5,a a ==则{}n a 的前5项和 5S = ______________ 答案：15类型二： 等差数列前n 项和公式的性质 例4.在等差数列{}n a 中， （1） 若41720a a +=，求20S（2） 若共有n 项，且前四项之和为21，后四项之和为67，前n 项和286n S = ，求n （3） 若10100100,10S S ==求110S解析：（1）由等差数列的性质，知()1204172012020202002a a a a S a a +=+=∴=+= （2）由题意得，知123412321,67,n n n n a a a a a a a a −−−+++=+++= 由等差数列的性质知()121324311488,22n n n n n n a a a a a a a a a a a a −−−+=+=+=+∴+=∴+=又()12n n nS a a =+ ，即 222862n ⨯=26n ∴= （4） 因为数列{}n a 是等差数列，所以10,2010302010090110100,,...,,S S S S S S S S S −−−−成等差数列，首项为10100S =，设其公差为d ，则100S 为该数列的前10项和，()()10010201010090109 (10100102)S S S S S S d ⨯∴=+−++−=⨯+=解得22d =−，又110S 为该数列的前11项和，故()110111011100221102S ⨯=⨯+⨯−=− 答案：（1）20200S = （2）26n = （3）110110S =−练习7.（2014山东淄博一中期中）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若4813S S =，则816S S 等于（）A.19 B.13 C.310 D.18答案：C练习8.（2014山东青岛期中）已知等差数列{}n a 的公差0d >，()122013...2013t a a a a t N ++++=∈ 则t = （）A.2014B.2013C.1007D.1006 答案：C例5.已知等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且21n n S nT n =+则33a b =（） A.32 B.43 C.53 D. 127解析：当n 为奇数时，等差数列{}n a 的前n 项和()1122n n n n a a S na ++== 同理12n n T nb +=令5n =得33533552555513a a Sb b T ⨯====+ 答案：C练习9.已知是{}n a 等差数列，n S 为其前n 项和，n N +∈若32016,20a S ==则10S 的值为______ 答案：110练习10.已知等差数列{}n a 的公差为2，项数是偶数，所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为35，则这个数列的项数为______________ 答案：20类型三：等差数列前n 项和公式的最值及与函数的关系 例6.已知数列{}n a 的前项和为2230n S n n =− （1） 这个数列是等差数列吗？求出它的通项公式 （2） 求使得n S 最小的n 值解析：（1）因为()14322n n n a S S n n −=−=−≥当1n =时1123028a S ==−=−也适合上式，所以这个数列的通项公式为432n a n =−又因为()()()1432413242n n a a n n n −−=−−−−=≥⎡⎤⎣⎦ 所以{}n a 是等差数列（2）2215225230222n S n n n ⎛⎫=−=−− ⎪⎝⎭因为n 是正整数，所以当7n =或8时n S 最小，最小值为-112答案：（1）是；432n a n =−（2）当7n =或8时n S 最小，最小值为-112练习11.已知等差数列{}n a 的前n 项和为715,7,75n S S S ==，n T 为数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求数列{}n T 的通项公式答案：2944n n T n =− 练习12.等差数列{}n a 中，若61024,120S S ==，求15S =_____________ 答案：15330S =例7.已知等差数列{}n a 中，19120,,a S S <=求使该数列前n 项和n S 取得最小值的n 的值 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则由题意得111199812121122a d a d +⨯⨯⨯=+⨯⨯⨯ 即21112121330,10,00228n d a d a d a d S n d ⎛⎫=−∴=−<∴>∴=−− ⎪⎝⎭ 0n d S >∴有最小值；又,10n N n +∈∴=或11n =时，n S 取最小值答案：10n =或11n =时，n S 取最小值练习13.已知等差数列{}n a 中，128,4a d =−=则使前n 项和n S 取得最小值的n 值为（） A.7 B.8 C.7或8 D.6或7 答案：C练习14.数列{}n a 满足211n a n =−+，则使得其前n 项和取得最大值的n 等于（） A.4 B.5 C.6 D.7 答案：B1. 四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0 答案：A2. 设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0 C ．S 9>S 5 D ．S 6与S 7均为S n 的最大值． 答案：C3. 已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 答案：B4. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A.100101B.99101C.99100D.101100 答案：A5. 在等差数列{a n }中，若S 12＝8S 4，且d ≠0，则a 1d等于( )A.910B.109 C ．2 D.23 答案：A6. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S k ＋2－S k ＝24，则k ＝( ) A ．8 B ．7 C ．6 D ．5 答案：D7. (2014·福建理，3)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14 答案：C_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固 1. 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 答案：C2.数列{a n }是等差数列，a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则此数列的前20项和等于( ) A ．160 B ．180 C ．200 D ．220 答案：B3.等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，当首项a 1和d 变化时，a 2＋a 8＋a 11是一个定值，则下列各数中也为定值的是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15 答案：C4. 已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 答案：C5. 在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＝12，a n ＝3，S n ＝152，则a 1＝________，n ＝________.答案：2 ，36. 设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________.答案：257. 设{a n }是公差为－2的等差数列，若a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97＝50，则a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值为________． 答案：－828.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案：89. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5.(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和．答案：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝05a 1＋10d ＝－5，解得a 1＝1，d ＝－1.由{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1(3－2n )(1－2n )＝12(12n －3－12n －1)， 从而数列{1a 2n －1a 2n ＋1}的前n 项和为12(1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1)＝n 1－2n. 10. 设{a n }是等差数列，前n 项和记为S n ，已知a 10＝30，a 20＝50.(1)求通项a n ；(2)若S n ＝242，求n 的值． 答案：(1)设公差为d ，则a 20－a 10＝10d ＝20， ∴d ＝2.∴a 10＝a 1＋9d ＝a 1＋18＝30， ∴a 1＝12.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋2(n －1)＝2n ＋10. (2)S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (2n ＋22)2＝n 2＋11n ＝242， ∴n 2＋11n －242＝0， ∴n ＝11.能力提升11. 在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4 475C ．8 950D ．10 000 答案：C12. 等差数列{a n }中，a 1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )A ．a 8B ．a 9C ．a 10D ．a 11 答案：D13. 一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n 等于( )A ．12B ．16C ．9D ．16或9答案：C14. 已知一个等差数列的前四项之和为21，末四项之和为67，前n 项和为286，则项数n 为( ) A ．24 B ．26 C ．27 D ．28 答案：B15. 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 3＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( )A ．－6B ．－4C ．－2D ．2 答案：A16. 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12等于( )A.310B.13C.18D.19 答案：A17. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 200OC →，且A 、B 、C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200＝( )A ．100B ．101C ．200D ．201 答案：A18. 已知等差数列{a n }的前n 项和为18，若S 3＝1，a n ＋a n －1＋a n －2＝3，则n ＝________. 答案：2719. 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－8，则通项公式a n ＝________.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－7 (n ＝1)2n －1 (n ≥2)20. 设{a n }是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n 项和最大时，n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7 答案： A21. 等差数列{a n }中，d <0，若|a 3|＝|a 9|，则数列{a n }的前n 项和取最大值时，n 的值为______________． 答案：5或622. 设等差数列的前n 项和为S n .已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0.(1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．答案：(1)依题意⎩⎨⎧S 12＝12a 1＋12×112d >0S13＝13a 1＋13×122d <0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d >0， ①a 1＋6d <0. ②由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12. ③将③分别代入②①，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d >03＋d <0，解得－247<d <－3.(2)由d <0可知{a n }是递减数列，因此若在1≤n ≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得 a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 23. 已知等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝－3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }的前k 项和S k ＝－35，求k 的值． 答案：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d .由a 1＝1，a 3＝－3可得1＋2d ＝－3.解得d ＝－2. 从而，a n ＝1＋(n －1)×(－2)＝3－2n . (2)由(1)可知a n ＝3－2n . 所以S n ＝n [1＋(3－2n )]2＝2n －n 2.进而由S k ＝－35，可得2k －k 2＝－35. 又k ∈N *，故k ＝7为所求． 24. 在等差数列{a n }中：(1)已知a 5＋a 10＝58，a 4＋a 9＝50，求S 10； (2)已知S 7＝42，S n ＝510，a n －3＝45，求n . 答案：(1)解法一：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝2a 1＋13d ＝58a 4＋a 9＝2a 1＋11d ＝50， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3d ＝4.∴S 10＝10a 1＋10×(10－1)2×d ＝10×3＋10×92×4＝210. 解法二：由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 5＋a 10＝(a 1＋a 10)＋4d ＝58a 4＋a 9＝(a 1＋a 10)＋2d ＝50， ∴a 1＋a 10＝42，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝5×42＝210. 解法三：由(a 5＋a 10)－(a 4＋a 9)＝2d ＝58－50，得d ＝4由a 4＋a 9＝50，得2a 1＋11d ＝50，∴a 1＝3.故S 10＝10×3＋10×9×42＝210. (2)S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7a 4＝42，∴a 4＝6. ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 4＋a n －3)2＝n (6＋45)2＝510. ∴n ＝20.25.已知等差数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n . 答案：a 1＝S 1＝101，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(－32n 2＋2052n )－[－32(n －1)2＋2052(n －1)] ＝－3n ＋104.又n ＝1也适合上式．∴数列通项公式a n ＝－3n ＋104.由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤1043， 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a 34－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝32n 2－2052n ＋3 502.故T n ＝⎩⎨⎧ －32n 2＋2052n (n ≤34)32n 2－2052n ＋3 502 (n ≥35).。
《等差数列前n项和公式》省优质课比赛教学设计
《等差数列前n项和公式》省优质课⽐赛教学设计《等差数列前n项和公式》教学设计⼀、教材分析“等差数列前n项和公式”这节课是⼈教版⾼中数学（必修）第⼀册（上）中的第三章第三节第⼀课时的内容，是上⼀节“等差数列”的后继内容。
主要内容：等差数列前n项和公式的推导及运⽤。
（⼀）地位及作⽤数列是⾼中代数的主要内容，它与数学课程的其它内容（函数、三⾓、不等式等）有着密切的联系，⼜是今后学习⾼等数学的基础，所以在⾼考中占有重要地位。
数列是培养学⽣数学能⼒的良好题材。
学习数列，要经常观察、分析、归纳、猜想，还要综合运⽤前⾯的知识解决数列中的⼀些问题，这些都有助于学⽣数学能⼒的提⾼。
（⼆）教学⽬标根据“等差数列前n项和公式”这⼀节的教学⼤纲及它在⾼中数学中的地位和作⽤，确定了如下教学⽬标：1、知识与技能：①掌握等差数列前n项和公式的推导⽅法和公式的简单运⽤。
②通过对公式从不同⾓度、不同侧⾯的剖析，培养学⽣思维的灵活性，提⾼学⽣分析问题和解决问题的能⼒。
2、过程与⽅法：经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到⼀般的研究⽅法，学会观察、归纳、反思，进⼀步培养学⽣灵活运⽤公式的能⼒。
3、情感、态度价值观：①公式的发现反映了普遍性寓于特殊性之中，从⽽使学⽣受到辩证唯物主义思想的熏陶。
②通过⽣动具体的现实问题，令⼈着迷的历史素材和数学史，激发学⽣探究的兴趣和欲望，树⽴学⽣求真的勇⽓和⾃信⼼，增强学⽣学好数学的⼼理体验，产⽣热爱数学的情感。
（三）教学重点与难点：重点：等差数列前n项和的公式；依据：公式是解题的⼯具。
难点：获得推导等差数列前n项和公式的思路及公式的灵活运⽤。
依据：公式探究过程中蕴含着重要的数学思想⽅法，由于学⽣认识⽔平的限制，第⼀次接触到这些公式，往往意识不到其作⽤，即使教师给予揭⽰，学⽣也多半拿着公式⽽⽆⽤武之地，因此我把它作为这⼀节的难点。
⼆、学⽣情况本届学⽣是实⾏课程改⾰后升⼊⾼⼀年，课堂⽐较活跃，乐于表现⾃已，表达能⼒强。
等差数列前n项和教案（共5篇）
等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。
【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。
等差数列前n项和公式教案
等差数列前n项和公式教案一、教学目标1.理解等差数列的概念和性质；2.掌握等差数列的通项公式和前n项和公式；3.能够应用前n项和公式解决实际问题。
二、教学重点1.等差数列的通项公式；2.等差数列前n项和公式。
三、教学难点1.等差数列前n项和公式的推导；2.应用前n项和公式解决实际问题。
四、教学内容1. 等差数列的概念和性质等差数列是指一个数列中每一项与它的前一项之差相等的数列。
这个公差可以是正数、负数或零。
例如，1，3，5，7，9就是一个公差为2的等差数列。
等差数列的性质包括：•任意两项之和等于它们的中间项的两倍；•任意三项的和等于它们的平均数乘以3；•等差数列的前n项和可以用公式求出。
2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指一个等差数列中第n项的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项的公式为：an = a1 + (n - 1) * d例如，公差为2，首项为1的等差数列的通项公式为：an = 1 + (n - 1) * 2 = 2n - 13. 等差数列前n项和公式等差数列前n项和公式是指一个等差数列前n项的和的公式。
设等差数列的首项为a1，公差为d，则前n项和的公式为：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，an为等差数列的第n项。
例如，公差为2，首项为1的等差数列的前n项和公式为：Sn = n * (1 + 2n - 1) / 2 = n^24. 应用前n项和公式解决实际问题等差数列前n项和公式可以应用于很多实际问题中，例如：例1一个等差数列的首项为3，公差为4，求前10项的和。
解：根据前n项和公式，可得：Sn = n * (a1 + an) / 2其中，n = 10，a1 = 3，an = a1 + (n - 1) * d = 3 + 9 * 4 = 39。
代入公式，可得：S10 = 10 * (3 + 39) / 2 = 210因此，该等差数列前10项的和为210。
(完整word版)《等差数列前n项和》教案
《等差数列前n项和》教案（高一年级第一册·第三章第三节）一、教材分析●教学内容《等差数列前n项和》人教版高中教材第三章第三节“等差数列前n项和"的第一课时，主要内容是等差数列前n项和的推导过程和简单应用●地位与作用高中数列研究的主要对象是等差、等比两个基本数列。
本节课的教学内容是等差数列前n 项和公式的推导及其简单应用。
在推导等差数列前n项和公式的过程中，采用了：1。
从特殊到一般的研究方法；2。
逆序相加求和。
不仅得出了等差数列前n项和公式，而且对以后推导等比数列前n项和公式有一定的启发，也是一种常用的数学思想方法。
等差数列前n项和是学习极限、微积分的基础,与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系.二、学情分析●知识基础:高一年级学生已掌握了函数，数列等有关基础知识，并且在初中已了解特殊的数列求和.●认知水平与能力：高一学生已初步具有抽象逻辑思维能力，能在教师的引导下独立地解决问题。
●任教班级学生特点：我所任教的班级是普通班级,学生基础知识不是很扎实，处理抽象问题的能力还有待进一步提高.三、目标分析1、教学目标依据教学大纲的教学要求，渗透新课标理念,并结合以上学情分析，我制定了如下教学目标．●知识与技能目标掌握等差数列前n项和公式，能较熟练应用等差数列前n项和公式求和.●过程与方法目标经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法,学会观察、归纳、反思。
●情感、态度与价值观目标获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。
2、教学重点、难点根据教学内容和本校学生特点，我确定本节课的教学重点为:●重点等差数列前n项和公式的推导和应用。
●难点等差数列前n项和公式的推导过程中渗透倒序相加的思想方法。
●重、难点解决的方法策略本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略．利用数形结合、类比归纳的思想,层层深入，通过学生自主探究,分析、整理出推导公式的不同思路，同时,借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，并通过范例后的变式训练和教师的点拨引导，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点．四、过程设计结合教材知识内容和教学目标,本课的教学环节及时间分配如下：五、教学过程教学环节活动说明创设情境：首先让学生欣赏一幅美丽的图片-—泰姬陵。
等差数列的前n项和(教学设计).doc
等差数列的前n项和(教学设计).doc教学设计一、教学目标1. 理解等差数列和公式的概念和性质。
2. 掌握等差数列前n项和公式的推导和应用。
3. 发现等差数列和公式在日常生活和工作中的应用，从而增强应用能力。
二、教学内容三、教学方法1. 讲授法：通过讲解、演示、阐述等方式，让学生了解等差数列的概念、性质和前n 项和公式的推导过程和应用方法。
2. 提问法：通过提问、听其发言等方式，让学生参与进来，从而提高其参与热情和学习主动性。
4. 组合法：通过组合不同的教学方法，将知识点相互融合，提高课程实效性。
四、教学过程1. 引入（5分钟）老师首先利用一些生活中的例子，如排队、增长等情境，引入等差数列的概念和性质，让学生大致了解等差数列的概念和性质，为后续学习作铺垫。
2. 讲解（20分钟）老师讲解等差数列的概念、通项公式和公差的概念和性质，并通过具体的例子和图形介绍等差数列的特点和规律，让学生理解等差数列的基本性质和规律。
1) 让学生自己分析已知公式是哪些数的和；2) 给出等差数列的前n项和公式的推导过程，并对公式的每一部分进行解析和举例说明；3）让学生思考如何应用公式进行实际计算，结合例题进行练习。
给出一些简单的选择题或填空题让学生进行思考和解答，检验学生对等差数列概念、性质和前n项和公式的理解和掌握程度。
老师给出一些实际应用场景的例子，如汽车行驶速度、月收入增长等，在分析实际问题的基础上，让学生运用等差数列和公式进行计算，从而加深对等差数列和公式的理解，同时提高应用能力。
五、教学检查老师可以通过提问、小组讨论、课堂作业等方式对学生进行检查和评估，以提高课程实效性。
六、教学反思等差数列的前n项和公式作为数列的一个重要概念，是高中数学中的重要内容之一，也是其它工科、理科专业的基础知识之一，在生活中应用广泛。
既要让学生了解等差数列和前n项和公式，又要加强其应用能力，需要注重在教学中加入实例分析和应用训练。
《等差数列前n项和公式》教学设计
《等差数列前n 项和公式》教学设计成都市第十二中学 高俊兰一、设计指导思想与理论依据在讲授式的教学中，课堂实施过于注重知识的机械传授，忽略了学生学习的主体性，也抑制了学生综合能力的提高和综合素质的发展。
当代学生观重视学生的自主发展，认为教育就应看到学生的未完成性，给学生创造发展的环境和机会。
第斯多惠有一句名言：“一个坏的教师奉送真理，一个好的教师则教人发现真理”。
这充分体现了数学学习中的启发性原则。
基于数学学科自身抽象和严谨的特点，教师在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学生的动手、动脑能力。
本堂课以个性化的教学思想为指导进行设计。
采用探究活动为主的教学方法，借助教材或教师提供的相关资料让学生亲自去探索得出结论或规律性的知识，培养学生的探究思维能力。
因此，我在此堂课的教学中借助图形拼接演示等差数列的前n 项和公式，帮助理解，启迪思路，更加形象地揭示研究对象的性质和关系，也在教学中展示了数学的对称美。
二、教材分析1、教学内容：《等差数列前n 项和》是现行教材高一上册第三章第三节“等差数列前n 项和”的第一课时，主要内容是等差数列前n 项和的推导过程和简单应用。
2、地位与作用：（1）教材知识编排角度：本节对“等差数列前n 项和”的推导，是在学生学习了等差数列通项公式的基础上进行，其学习平台是学生已掌握等差数列的通项性质以及高斯算法等相关知识。
对本节的研究，为以后学习数列求和提供了一种重要的思想方法——倒序相加法，也为高三运用数学归纳法证明数列型的不等式奠定良好的基础，具有承上启下的重要作用。
（2）解决问题方法角度：数列是特殊的函数，其前n 项和公式()n S f n 是数列的前n 项和n S 与n 之间的函数解析式。
从这个角度出发，寻求等差数列的前n 项和公式的本质就是寻求n S 与n 之间的函数关系式。
这一概念将有助于学生自主探求等差数列前n 项和公式。
因此，问题的被动解决过程有效的转化成了学生的主动探求过程。
《等差数列的前n项和》教学设计
《等差数列的前n项和》教学设计【篇一】教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的性质，并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学重难点掌握等差数列与等比数列的性质，并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学过程【示范举例】基准1：数列就是首项为23，公差为整数，且前6项为正，从第7项开始为负的等差数列(1)谋此数列的公差d;(2)设前n项和为sn，求sn的值;(3)当sn为正数时，谋n的值.【篇二】教学准备工作教学目标数列议和的综合应用领域教学重难点数列议和的综合应用领域教学过程典例分析3.数列{an}的前n项和sn=n2-7n-8,(1)谋{an}的通项公式(2)求{|an|}的前n项和tn4.等差数列{an}的公差为,s=，则a1+a3+a5+…+a99=5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m-n|=6.数列{an}就是等差数列，且a1=2,a1+a2+a3=12(1)求{an}的通项公式(2)令bn=anxn,谋数列{bn}前n项和公式7.四数中前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项之和为21，中间两项之和为18，求此四个数8.在等差数列{an}中，a1=20，前n项和为sn，且s10=s15，求当n为何值时，sn有值，并算出它的值.已知数列{an}，an∈n，sn=(an+2)2(1)澄清{an}就是等差数列(2)若bn=an-30,求数列{bn}前n项的最小值0.未知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈n)(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an}，求证数列{an}是等差数列(2设f(x)的图象的顶点至x轴的距离形成数列{dn}，谋数列{dn}的前n项和sn.11.购买一件售价为元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后1个月第1次付款，再过1个月第2次付款，如此下去，共付款5次后还清，如果按月利率0.8%，每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金)，那么每期应付款多少?(精确到1元)12.某商品在最近天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是f(t)=销售量g(t)与时间t的函数关系就是g(t)=-t/3+/3(0≤t≤)谋这种商品的日销售额的值注：对于分段函数型的应用题，应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的值，应分别求出函数在各段中的值，通过比较，确定值。
等差数列的前n项和公式教案
等差数列的前n项和公式（教案）一．教学目标：1.知识与技能目标：掌握等差数列前n项和公式，并且能能够灵活运用其求和。
2.过程与方法目标：让学生经历公式的推导过程，体会数形结合的思想，体验从特特殊到一般的研究方法。
3.情感态度与价值观目标：使学生获得发现的成就感，优化思维品质，提高代数的推导能力。
二．教学重难点：1.重点：等差数列前n项和公式的推导，掌握及灵活运用。
2.难点：诱导学生用“倒序相加法”求等差数列前n项和。
三．教法与学法分析：1.教法分析：采用“诱导启发，自主探究式”学法为主，讲练结合为辅的教学方法。
2.学法分析：采用“自主探究式学习法”和“主动学习法”。
四．课时安排：1个课时五．教学过程导入：我们已经学过等差数列的定义an+1-an=d(n属于正整数)，等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，等差数列的等差中项2an=an-1+an+1，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.我们应该怎样求a1+a2+……..+an,其中{an}为等差数列，记sn=a1+a2+…….an我们知道200多年前高斯的老师给他们出了一道目，让他们计算1+2+……+100=？当时10岁的高斯花了大概10s钟的时间就算出来了。
高斯是怎样做出来的呢？他使用了什么高明的方法？1+2+……..+100=(1+100)+（2+99）+……(50+51)=50*101,所以1+2+….+100=5050，这就是著名的高斯算法，到后来，人们就从高斯算法中得到启发，求出了等差数列1+2+…….+n的前n项和的算法（二）探究新知，发现规律从高斯算法中，人们怎样求出等差数列1,2,3，…….,，n的前n项和的首先 sn=1+ 2+ ….+n (1)Sn=n+ (n-1)+……+ 1 （2）2sn=(n+1)+(n+1)…….+(n+1) (n个（n+1）)所以sn=n*(n+1)/2 即为sn的前n项和我们把上面的方法称为“倒序相加法”，也就是说高斯当时用的就是“倒序相加法”算出了1+2+…….+100的和然而这个方法可以推广到等差数列的前n项和（1）定义：一般说来，我们把a1+a2+……+an叫做等差数列的前n 项和，用Sn表示即Sn=a1+a2+…..+an从高斯算法中得到的启示，对于一般的等差数列我们可以用两种方法来表示，其中a1是首项，d是公差1.Sn=a1+ a2+…..+ an= a1+(a1+d)+......+a1+[a1+(n-1)d]Sn=an+ an-1+......+ a1= an+ [a1-(n-1)d]+......+a1两式相加得2 Sn=(a1+an)+(a1+an)+......+(a1+an) 有n个(a1+an）所以Sn=n(a1+an)/22. Sn=a1+ a2+…..+ an= a1+(a1+d)+......+a1+[a1+(n-1)d]=na1+[1+2+.....+(n-1)d]=na1+n(n-1)d/2然而1和2是可以相互转化将an=a1+(n-1)d带入Sn=n(a1+an)/2中即可得到Sn=na1+n(n-1)d/2这两个方法的区别：第一个公式反映了等差数列的首项与末项之和跟第k项与倒数第k项之和是相等的；第二个公式反映了等差数列的前n项和公式与它首项与公差d之间的关系，而且是关于n的“二次函数”，可以与二次函数作比较。
等差数列的前n项和公式教学设计
高等教育出版社数学(基础模块)下册《等差数列的前 n 项和公式》教学设计《等差数列的前 n 项和公式》教学设计【教材分析】 等差数列前 n 项和是中职教育课程改革国家规划新教材基础模块下册第六章第二节内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。
数列在生产实际 中的应用范围很广，是培养学生发现、认识、分析、综合等能力的重要内容，同时也是学生进 一步学习数学的必备的基础知识。
【教学目标】 知识目标：理解并掌握等差数列前 n 项和公式，并会应用公式解决简单的问题。
能力目标：熟练等差数列前 n 项和公式的综合应用，培养学生的数学应用能力。
情感目标：感知数学与生活的关系，激发学习积极性，体验探究过程的乐趣。
【教学重点和难点】 重点: 等差数列前 n 项和公式的应用。
难点: 等差数列前 n 项和公式的推导。
【设计理念】 中职数学课堂教学应根据职业教育特点、专业需要、学生实际，尊重学生原有认知，突出数学能力培养，渗透数学思想方法，重视数学知识的应用，努力使每个学生在原有认知水平的 基础上得到提高，以促进学生的发展为本。
【教学方法】 本节课有着丰富的实际背景，以问题为出发点，演示实验引导学生动手实践（做一做、观察等）自主探究和小组合作学习，经历知识的形成过程，做中学、做中教，学生积极思考应用 所学新知去解决实际问题，提高能力. 本节课合理利用信息技术创设情境、实验演示等方式帮 助学生学习和理解，突破难点,优化教学过程。
教法: 情境教学法 问题驱动法 实验演示法 学法: 观察讨论法 合作探究法 类比归纳法 【教学过程】1高等教育出版社数学(基础模块)下册《等差数列的前 n 项和公式》教学设计环节教学内容师生互动设计意图思维自疑问和惊奇开始——亚里士多德我们来了解生活中的这类问题： 问题 1 泰姬陵坐落于印 度古都阿格，是十七世纪莫 卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪播放图片信息呈 数 学 源 于 生现情境活，寓于生活， 用于生活，创设贴近和学生实际生活相关的问题念其爱妃所建，她宏伟壮 观，是世界七大奇迹之一。
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《等差数列的前n项和》教学设计一、设计理念让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构，因为建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程．在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前n项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．二、背景分析本节课教学内容是高中课程标准实验教科书必修5（北师大）中第二章的第三节内容．本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前n项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前n项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法．三、学情分析1、学生已掌握的理论知识角度：学生已经学习了等差数列的定义及通项公式，掌握了等差数列的基本性质，有了一定的知识准备。
2、学生了解数列求和历史角度：大部分学生对高斯算法有比较清晰的认识，并且知道此算法原理，但在高斯算法中数列1，2，3，……，100只是一个特殊的等差数列，对于一般的等差数列的求和方法和公式学生还是一无所知。
3、学生的认知规律角度：本节课采取了循序渐进、层层深入的教学方式，以问题解答的形式，通过探索、讨论、分析、归纳而获得知识，为学生积极思考、自主探究搭建了理想的平台，让学生去感悟倒序相加法的和谐对称以及使用范围。
四、教学目标1、类比高斯算法，探求等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；2、能较熟练地应用等差数列前n项和公式解决相关问题；3、经历公式的推导过程，体会层层深入的探索方式，体验从特殊到一般、具体到抽象的研究方法，学会观察、归纳、反思与逻辑推理的能力；4、通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功；五、教学重点与难点1、教学重点：等差数列前n项和公式的推导和应用2、教学难点：公式推导的思路3、重难点解决的方法策略：本课在设计上采用了从特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。
利用分类讨论、类比归纳的思想，层层深入。
通过学生自主探究，分析、整理出推导公式的不同思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，通过教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。
六、教学过程设计（一）创设情景，提出问题欣赏图片——泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是17世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建。
它宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。
陵寝以宝石镶嵌，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。
问题1：你能计算出这个图案一共花了多少颗宝石吗教师活动：利用多媒体，展示泰姬陵的图片，并截取出三角形宝石图案，引导学生观察宝石数目变化情况。
学生活动：欣赏之余观察三角形中宝石变化情况并尝试解决问题1.活动预设：（1）能得到的信息：从上到下，宝石数目以1为公差依次递增，构成等差数列。
（2）需要解决的问题：100层中究竟共有多少颗宝石【设计意图】（1）教师先用多媒体展示彩图呈现的问题，使学生进入问题情境，激发学生的兴趣，并使学生体会数学来源于生产生活。
（2）以问题的提出作为引入方式，使学生带着问题学习新课，更有目的性。
（二）探究等差数列前n项和公式教师活动：指出此数列的求和方法在1787年已被高斯解决，让学生讲高斯故事。
学生活动：学生根据课前的搜集简介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小学四年级时，一次数学老师布置了一道数学习题：把从1到100的自然数加起来，和是多少年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案：5050，这使老师非常吃惊。
问题1：高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出答案的呢教师活动：指导学生快速找出规律。
学生活动：高斯算法解决：1 + 2 + 3 + … + 50 + 51 + … + 98 + 99 + 100=活动预设：高斯算法：1+100=101,2+99=101，……，50+51=101，所以原式=50×（1+101）=5050问题2：在高斯算法中实际上利用了等差数列通项的哪种性质教师活动：引导学生思考高斯算法的技巧性及理论依据。
学生活动：利用高斯算法计算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隐藏的等差数列项的何种性质。
活动预设：构造数列：12991001,2,99,100a a a a ====L ，则有性质：等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+。
【设计意图】高斯算法首尾组合的思想揭示了等差数列“角标和相等，对应的项和相等”的特征，为等差数列前n 项和公式的推导的“倒序相加法”做好铺垫，开启了更深入、更细致的研究大门。
问题3：你能否利用高斯算法解决一般等差数列的求和问题方法：倒序相加法 （借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形，由此引入倒序相加法）教师活动：：12321n n n nS a a a a a a --=++++++L 12321n n n n S a a a a a a --=++++++L12132231212()()()()()()n n n n n n n S a a a a a a a a a a a a ----=++++++++++++L 由性质“若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+”可得：11()2()2n n n n n a a S n a a S +=+⇒=（等差数列前n 项和公式） 【设计意图】（1）数学问题的解决讲究最优化原则，因此引导让学生体会到数学方法的多样性，但需要寻求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是数列求和常用方法之一，方法比公式本身更为重要，也为以后数列求和的学习做好铺垫；（三）公式理解和深化 公式一、1()2n n n S a a =+ 问题1：此公式中有哪些变量，已知哪些量可求另外量教师活动：引导学生找出变量学生活动：观察公式，找出变量。
活动预设：此公式中，共有四个变量：1,,,n n S n a a ，可知三求一。
【设计意图】让学生从变量上理解公式，从形式上初步了解如何由已知探求未知，在头脑中初步建构公式的适用情况。
问题2：此公式还可进行怎样的变形教师活动：引导学生从n a 下手对公式进行变形，投影学生的变形过程。
学生活动：尝试对公式进行变形。
活动预设：公式二、1(1)2n n n S na d -=+【设计意图】（1）让学生学会在旧知与新知之间搭建桥梁，运用旧知巩固新知，利用旧知得出新知；（2）体会知识之间的整体性和关联性，感受运用旧知推导新知的成功和喜悦。
问题3：观察、对比公式一、二，你能得出什么结论有利于你解题时对公式进行筛选 教师活动：引导学生从两个公式中的变量进行总结。
学生活动：总结出两公式的区别及适用情况。
活动预设：（1）在两个公式，五个变量中：1,,,,n n a n d a S ，可知三求二（2）若已知n a ，优先选用公式一，若已知d ，优先选用公式二。
【设计意图】通过两公式的对比研究，可进一步加深学生对公式的记忆，公式一、二的区别可提高学生的做题速度和质量，再一次体现了数学的简洁美和精准性。
（四）公式应用、反馈评价课堂练习之“争分夺秒”：五个元素 a 1, a n , n, d, S n ，知 三 求 二你能自己构造一个类似的题目并自己解决吗 变式训练：例2.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54解：∵a 1=-10,d=-6－(-10)=4∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54解得n=9，n=-3(舍)∴前9项的和是54变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和例3已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n 项和的公式吗教师活动：分析解决问题，组织学生交流、讨论，再进行公式的应用。
【设计意图】透过此题，培养学生 熟练地选取恰当的公式进行求解。
1n n n 1(1)a 14.5d 0.7a 32;(2)d 3a 20S 65a 1n ======n 已知，，，求S 已例、在等差数知，，，求列中：和 ；nd s a a n n ,,999,54,20)1(1求===2(1)4632n n S n n n n -∴=+⨯=+1020310,1220S S ==又1(1)2n n n S na d -=+Q 111045310201901220a d a d +=⎧∴⎨+=⎩146a d =⎧⇒⎨=⎩六、布置作业1.课本P习题，第1题（1）（3）46八、教学反思“等差数列前n项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和．该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路．本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路．为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题．在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加法”思路的获得就水到渠成了．。