质数的个数公式
质数的性质
当 n+1 为合数时，π(n+1)＝π(n) 当 n+1 为素数时，π(n+1)﹥π(n) 故无论 n+1 为合数或是素数，总有π(n+1)≥π(n) 所以π(n)是不减函数，所以π(n+1)－π(n) ≥0 引理 2：
已知质数 p 是不超过 n ( n ≥ 4 ) 的最大质数。 求证 n <p 2
故1− 2
k=
⎛ 1⎞ ⎜ 1 − ⎟ < 0 ，所以 pi ⎠ x1 < i < x2 ⎝
∏
x2 − x1 x2 − x1 = x <0 x2 1 ⎛ ⎛ 1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ 1 ⎞⎡ 1 ⎞⎤ ⎜1 − ⎟ − 2∏ ⎜ 1 − ⎟ ∏ ⎜1 − ⎟ ⎢1 − 2 ∏ ⎜1 − ⎟ ⎥ ∏ pi ⎠ pi ⎠ i =1 ⎝ pi ⎠ ⎣ pi ⎠ ⎦ i =1 ⎝ i =1 ⎝ x1 < i ≤ x2 ⎝
证明：当 n ≥ 152 = 225 时， n ≥ 15 > 8 + 4 3 ，所以
(
n −8
)
2
= 48 ，展开可以得到 3n 。 4
n n − 16 n + 16 > 0 ，所以 − 4 n + 4 > 0 ，也即是， 4
又因为 n − 2 < ⎡ n − 1⎤ < ⎡ n ⎤ ≤
(
n −2
)
2
证明：当 n = 2k 时，即 k < p 假设结论不成立， ∃k , 使得p ≤ k ，那么 π ( p ) ≤ π ( k ) 。又因为 p 是不超过 2k 的最大质数， 所以 π ( p ) = π ( 2k ) ， 所以可以得到 π ( 2k ) ≤ π ( k ) 。 又因为 2k > k ， 根据质数的个数公式是不减函数，所以 π ( 2k ) ≥ π ( k ) 再根据假设可以得到
小学数学公式大全：质数与合数
小学数学公式大全：质数与合数
质数与合数：
质数：
一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：
一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：
如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：
把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：
N= ，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a 2<a3<……<an。
求约数个数的公式：
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：
如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
质数
质数五（四）薛雅元质数又称素数。
指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。
换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。
比1大但不是素数的数称为合数。
1和0既非素数也非合数。
合数是由若干个质数相乘而得到的。
所以，质数是合数的基础，没有质数就没有合数。
这也说明了前面所提到的质数在数论中有着重要地位。
历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外，而从高等代数的角度来看，1是乘法单位元，也不能算在质数之内，并且，所有的合数都可由若干个质数相乘而得到。
F5=4294967297=641×6700417，它并非质数，而是一个合数！更加有趣的是，以后的Fn值，数学家再也没有找到哪个Fn值是质数，全部都是合数。
目前由于平方开得较大，因而能够证明的也很少。
现在数学家们取得Fn的最大值为：n=1495。
这可是个超级天文数字，其位数多达10^10584位，当然它尽管非常之大，但也不是个质数。
质数和费马开了个大玩笑！这又是一个合情推理失败的案例！梅森素数17世纪还有位法国数学家叫梅森，他曾经做过一个猜想：2^p-1 ，当p是质数时，2^p-1是质数。
他验算出了：当p=2、3、5、7、17、19时，所得代数式的值都是质数，后来，欧拉证明p=31时，2^p-1是质数。
p=2，3，5，7时，2^p-1都是素数，但p=11时，所得2047=23×89却不是素数。
还剩下p=67、127、257三个梅森数，由于太大，长期没有人去验证。
梅森去世250年后，美国数学家科勒证明，2^67-1=193707721×761838257287，是一个合数。
这是第九个梅森数。
20世纪，人们先后证明：第10个梅森数是质数，第11个梅森数是合数。
质数排列得这样杂乱无章，也给人们寻找质数规律造成了困难。
现在，数学家找到的最大的梅森数是一个有9808357位的数：2^32582657-1。
判断质数的函数公式
判断质数的函数公式
质数的定义：
1.质数又称素数，是大于1的自然数，它有两个特点：第一，除了1和
它本身以外不再有其他因数；第二，它无法被任何数整除。
2.定义可判断是否质数的函数：
（1）利用逐一判断法：
设定一整数n，首先判断n是否为1或者2，若是，则直接判断n
是质数，否则令k=3，然后依次判断k<n/2的所有整数条件，若存在整
数i使得n/i小于i，且n mod i=0，则n不是质数，否则 n为质数。
（2）利用埃氏筛法：
设定一整数n，从2开始遍历小于n的正整数（假设n=X），将序
列中不能被2整除的数构成新的序列，将新序列中不能被3整除的数
构成新的序列，依次类推，最终剩下的数就是n以内的质数。
（3）利用lagrange定理：
令p为质数，当 lacgrange 恒等式 2^(p-1)=1 mod p 成立的情况下，
质数p满足定理。
因此，利用lagrange定理来判断某一整数是否是质数，无需遍历它的因数，只要求出2^(p-1) mod p值，然后判定它是否等于1。
质数个数公式
质数个数公式
质数个数公式，也称欧拉公式，是用来计算小于等于某个数的质数个数的公式。
它的表达式如下：
π(x) = Li(x) - ∑p ≤x ln(p) + O(√x log(x))
其中，π(x)表示小于等于x的质数个数；Li(x)表示x的自然对数的积分；ln(p)表示p的自然对数；∑p ≤x表示p从2到x的所有质数的和；O(√x log(x))表示x趋近于无穷大时的误差项，通常被称为“大O符号”。
这个公式的意义是，我们可以用数学方法计算出小于等于某个数x的所有质数的个数π(x)，而无需逐个遍历判断每个数是否为质数。
虽然这个公式包含了一定的误差项，但随着x的增大误差会逐渐变小，因此可以用来快速估算质数的个数。
数字的质数和合数
数字的质数和合数数字是数学中最基本的概念之一，人类在日常生活和各个领域中都会用到数字。
数字可以分为很多种类，其中最重要的两类是质数和合数。
质数和合数在数学中有着重要的地位和性质，下面将详细介绍这两类数字的概念和特点。
一、质数的定义和性质1. 质数的定义质数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
换句话说，质数是只有1和它本身两个因数的数。
例如，2、3、5、7、11等都是质数。
2. 质数的性质（1）质数只有两个因数，即1和它本身。
这是质数的最重要的性质，也是质数与其他数字最显著的区别。
（2）质数不能被其他数字整除，也就是说，质数除了能被1和自身整除外，不能被其他数字整除。
这使得质数在数学中有着独特的地位。
（3）质数的个数是无穷的。
我们可以找到无穷多个质数，这一结论是由欧几里得在公元前300年提出的。
二、合数的定义和性质1. 合数的定义合数是指除了1和自身外，还有其他因数的正整数。
简单地说，合数是不是质数就是合数。
例如，4、6、8、9、10等都是合数。
2. 合数的性质（1）合数有多于两个的因数，至少包括1、自身和其他因数。
（2）合数可以被其他数字整除，也就是说，合数除了能被1和自身整除外，还可以被其他数字整除。
（3）合数的个数是无穷的。
三、质数与合数的关系质数与合数是数字集合中两个不同的子集。
简单地说，一个数要么是质数，要么是合数。
这是由数字的定义所决定的。
质数和合数在数学中有着各自的性质和特点。
质数是数学中的基本单元，没有质数就没有合数。
质数的个数是无穷的，而且无法通过一般的公式或规律来计算出质数的个数。
而合数则包含了众多的数字，它们可以被其他数字整除，有规律可循。
对于一个给定的数字，我们可以通过判断它是否能被其他小于它的数字整除，来确定它是质数还是合数。
因此，质数和合数在实际问题中经常被用来解决因子分解、数据加密等相关的数学问题。
总结起来，质数是只有1和自身两个因数的数字，而合数是除了1和自身外还有其他因数的数字。
质数计算公式
计算质数的公式有很多种，以下是一些常见的方法：
1.试除法：对于一个大于等于2的正整数n，从2开始到根号n为止依次试除n，若都不能整除，则n是质数。
2.埃氏筛法：先将2~n之间的数全部写出来，然后将其中最小的质数2的倍数（除了2自己）标记成合数，再找到下一个未被标记的数p（p>2），把它的倍数都标记成合数。
重复以上步骤直到p^2>n时才停止，那么此时所有未被标记为合数的数就是质数。
3.欧拉筛法：先按埃氏筛法筛选出质数，但在标记合数时不仅仅只用当前素数的倍数，而是将每个合数都标记了且只标记一次。
相比埃氏筛法，其时间复杂度更低。
ler-Rabin素性检验：该方法不是一种准确求解质数的算法，而是用随机算法对数进行检测是否可能为质数。
简单来说，如果一个大数n是质数，那么在模n意义下，a^(n-1) ≡1 (mod n)，其中a为小于n的任意一个正整数。
该方法的时间复杂度接近O(k log^3 n)，其中k为检验次数，通常要求k≥10。
注：以上算法均有优化方式，可进一步提高效率。
质数的一系列知识很全
最小的素数是2， 他也是唯一的偶素数。 最前面的素数依次排列为：2，3，5，7，11，13，17，...... 不是质数且大于1的正整数称为合数。 质数表上的质数请见素数表。 依据定义得公式： 设A=n2+b=(n-x)(n+y),除n-x=1以外无正整数。故有： y=（b+nx)/(n-x) (x<N-1)无正整数，则A为素数。 因为x<N-1,而且N-X必为奇数，所以计算量比常规少很多。 100以内的质数（素数）：2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97 （共25个）
编辑本段基本定理
算术基本定理： 任何大于1的正整数n可以唯一表示成有限个素数的乘积: n=p_1p_2...p_s, 这里p_1≦p_2 ≦...≦p_s是素数。 这一表达式也称为n的标准分解式。 算术基本定理是初等数论中最基本的定理。由此定理， 我们可以重新定义两个整数的最大公因子和最小公倍数等等概念。 1不能称作素数，是因为要确保算术基本定理所要求的唯一性成立。这一解释可参看华罗庚《数论导引》
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质数又称素数。指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数。换句话说，只有两个正因数（1和自己）的自然数即为素数。比1大但不是素数的数称为合数。1和0既非素数也非合数。素数在数论中有着很重要的地位。
1000” |168 |16.8% “10000” |1229 |12.29% “100000” |9592 |9.592% “1000000” |78498 |7.8498% “2000000” |148933 |7.44665% “10000000” |664579 |6.64579% “100000000” |5761455 |5.761455% “200000000” |11078937 |5.5394685% “300000000” |16252325 |5.41744167% “400000000” |21336336 |5.334084% “500000000” |26355877 |5.2711754% “600000000” |31324713 |5.2207855 % “700000000” |36252941 |5.17899157% “800000000” |41146189 |5.143273625% “900000000” |46009225 |5.1121361% “1000000000” |50847544 |5.0847544% 可以看出，越往后质数比例愈小，但总数却是增多， 可以看出素数的个数是无限的，这一结论已经被古希腊数学家欧几里得在其著作《几何原本》中用反证法证明。
素数的个数公式
( n ) 时，π ( n, r ) = j + 1 。这个结论很好理解，从自然数列 1、2、3……
又因为
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ j = n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎥ ⎦
m
⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎣ ⎢ pi p j ⎦ ⎥ i< j<k ⎣ ⎢ pi p j pk ⎦ ⎥
倍数的个数也就是还剩有质数，合数和 1。故
⎡n⎤ m ⎡ n ⎤ m ⎡ n ⎤ n−∑⎢ ⎥+∑⎢ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ i j⎦ ⎣ i j k⎦
m
当 m = 0 时，有容斥原理可以知道这个公式表示 n 减去 n 以内 0 个质数倍数的个 数也就是没有减去一个数。故
pm 为 n 的前部素数， m = π
( n ) 是前部质数的个
数，那么所有不大于 n 的素数的个数
π ( n) = m + n − ∑ ⎢
⎡ n ⎤ ⎡ n ⎤ ⎡n⎤ ⎥− ∑ ⎢ ⎥+ ⎥ +∑⎢ p p p p p < < i =1 ⎣ pi ⎦ i< j ⎢ i j k ⎥ ⎢ ⎥ i j i j k ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
素数的个数公式
作者姓名：弯国强
作者地址：漯河市舞阳县莲花镇第二初级中学 E-mail：632158@
小升初奥数知识点：质数与合数
质数与合数
质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1
求约数个数的公式：P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
质数的判定方法
质数的判定方法质数是指只能被1和本身整除的正整数，如2、3、5、7等都是质数。
判定一个数是否为质数一直以来是算术领域的一个重要问题。
本文将会介绍几种判定质数的方法，以供参考。
一、试除法试除法是一种最简单有效的判断质数的方法。
所谓试除法就是将待判定的数n除以2到(n-1)中的每一个数，如果都除不尽，则n为质数；否则n为合数。
试除法出自欧几里得，是最早的找质数的方法。
代码实现如下：```pythondef is_prime(n):if n < 2:return Falsefor i in range(2, n):if n % i == 0:return Falsereturn True```虽然试除法简单易懂，但其时间复杂度较高，特别是当n为极大数时，时间复杂度将达到O(n)。
二、埃氏筛法埃氏筛法又称素数筛法，是一种较为常用的素数判定算法。
其基本思想是，从2开始，将每个质数的倍数都标记成合数，以达到筛选素数的目的。
时间复杂度为O(n log log n)。
代码实现如下：```pythondef primes(n):is_prime = [True] * nis_prime[0] = is_prime[1] = Falsefor i in range(2, int(n ** 0.5) + 1):if is_prime[i]:for j in range(i ** 2, n, i):is_prime[j] = Falsereturn [x for x in range(n) if is_prime[x]]print(primes(20))```三、Miller-Rabin素性测试Miller-Rabin素性测试是一种常见的高效素数判定算法。
其基本原理是根据费马小定理进行推导。
费马小定理指出，若p为质数，a为正整数，且a不是p的倍数，则a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
根据费马小定理，若对于一组给定的a和n，a^(n-1) ≢ 1 (mod n)，那么n一定不是质数。
自然数学之素数公式
自然数学之素数公式一．素数的判别：素数也称为质数，它是只能被1和自身整除的自然数。
所以人们在判断一个数是不是素数素数就需要将这个数逐一除以这个数开平方内的所有素数。
即我们常用的筛法。
但这方法有一缺点，需要相当多的素数储备。
当一个数相当大，我们储备的素数不够多时,我们就无法判别。
那么有没有其他方法能判别和获得素数呢？有！就是要在此发表的素数公式。
这个公式不是凭空想象出来的，是根据自然数学的基础理论和定律获得。
二．自然数学的简单介绍：物体，时间，数量是自然数学的三个要素。
它们的的定义是：1，物体：具有质量为物，占有空间为体，统称为物体。
2，时间：物体的变化过程为时间。
3，数量：在物体不变的情况下，对指定范围内的同一概念物体的计量。
这样自然数学和应用数学的数字在数轴的表现方式就会产生了明显的不同。
现在的应用数学的数值在数轴的表现方式是这样的：每个数都是数轴上的一个点。
自然数学的数值在数轴的表现方式这样的：每个数都是数轴上的一个线段。
从上可以看到0和负数在自然数学中都是自然数。
为什么将0和负数归入自然数和自然数的基础理论等以后有机会再作详细介绍。
三，素数公式：这个公式非常简单，如果用自然数学表达，可能会让人产生误会。
用应用数学有两个表达方式。
它们的计算方法是一样的。
同余式：函数式：获得素数公式的原理和定律等讲解自然数学基础理论时再公布。
四：为什么命名为素数公式：将以上公式作为组合公式：把2，3，4，……n/2分别代人a，如果公式全部成立，那么n必定是素数。
否则必定是合数。
将以上公式单独应用：1：a为2，3，4，……n/2中的任意一个数，n代人素数等式必然成立。
2：等式不成立，代人n的数必定不是素数。
3：有极少量的合数也能使得公式成立，但比例很小。
且当数字越大，能使公式成立的合数越少，准确率越高。
五：公式的计算和与筛法的对照：我们知道a的n次方是一个相当大的数，但公式的余数必定小于n。
我们可以用因式分解方法解决。
质因数与约数个数关系公式
质因数与约数个数关系公式
质因数与约数个数关系公式是数学中的一个重要公式，它描述了一个数的质因数和约数之间的关系。
这个公式是基于数学中的“唯一分解定理”而得出的。
唯一分解定理指出，任何一个大于1的整数都可以被唯一地分解成质数的乘积，而且这些质数的指数可以是0或正整数。
例如，6可以分解成2×3，而12可以分解成2×3。
根据唯一分解定理，我们可以得出一个数的因数个数和质因数个数之间的关系公式：
设n=p^a × p^a × ... × p^a，其中p, p, ..., p为质数，则n的因数个数为：
(1+a) × (1+a) × ... × (1+a)
而n的质因数个数则为k，即k=质因数的个数。
例如，对于数36，它可以分解成2×3，因此它的因数个数为(2+1)×(2+1)=9，而它的质因数个数为2。
这个公式在数论和代数学中都有广泛的应用。
在解题时，我们可以根据它来计算一个数的因数个数或质因数个数，从而简化解题的过程。
- 1 -。
质数有无穷多个证明-概述说明以及解释
质数有无穷多个证明-概述说明以及解释1.引言概述部分应该简要介绍本文的主题和内容，以及其在数学领域中的重要性。
以下是对1.1部分的一个概述示例：1.1 概述质数是自然数中的一个重要概念，它只能被1和自身整除的数。
质数的研究自古以来一直是数学领域的热门话题之一。
质数有无穷多个的问题，已经成为数论中的一个著名问题。
本文将深入探讨质数有无穷多个的证明方法，旨在为读者展示不同数学家们提出的证明思路和技巧。
本文的结构如下：首先，我们将从质数的定义与性质入手，回顾并理解质数的基本概念。
然后，我们将概述质数的历史发展，介绍一些重要的数学家对质数问题的贡献和思考。
接下来，我们将详细探讨质数无穷多个的证明方法，包括不同证明思路的比较和分析。
最后，我们将总结这些证明方法，讨论质数无穷多个的证明在数学领域中的意义与影响，并展望质数研究的未来发展方向。
通过阅读本文，读者将可以更全面地了解质数的定义、性质和历史发展，深入理解质数无穷多个的证明方法，并思考质数研究在数学领域中的重要性和未来的研究方向。
本文旨在为读者提供有关质数的基础知识和研究进展，激发他们对数学的兴趣和探索欲望。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行讨论和论证：（1）引言：在本部分中，将对质数的概念进行简要的概述，并介绍质数在数学中的重要性。
同时，也会介绍本文的结构和目的，为接下来的内容做出铺垫。
（2）正文：本部分将分为三个小节来进行讨论和论证。
- 2.1 质数的定义与性质：本小节将详细介绍质数的定义以及其基本性质，包括不能被其他数整除、只能被1和自身整除等。
这一部分将为后续的证明铺垫基础。
- 2.2 质数的历史发展：在本小节中，我们将回顾过去数学家们对质数无穷多个的讨论和证明。
从古希腊数学家欧几里得的证明方法到现代数学的发展，将展示质数无穷多个的证明在数学历史中的重要性。
- 2.3 质数无穷多个的证明方法：本小节将重点探讨现代数学家对质数无穷多个的不同证明方法。
如何判断大质数原理
如何判断大质数原理如何判断大质数原理质数，即只能被1和它本身整除的自然数，是数学中非常重要的一个概念，也是现代密码学中的核心概念之一。
因此，判断一个数是否为质数一直是一个重要的数学问题。
对于小于10^8的数，判断其是否为质数并不困难，但随着数的规模增加，判断其是否为质数就变得愈发困难。
本文将介绍大质数原理，即判断大质数的原理和方法。
一、质数筛选法质数筛选法是判断小于n的所有数是否为质数的一种方法。
具体方法是，首先列出2到n的所有数，将2的倍数删去，然后再将3的倍数删去，以此类推，直到只剩下质数。
这个方法的时间复杂度为O(n log log n)，其中log log n为一个常数。
但是，当n非常大时，这个方法的计算时间也非常长，因此需要其他更快、更有效的方法去判断是否为质数。
二、费马小定理费马小定理是一种判断质数的方法。
其基础公式为a^(p-1) ≡ 1 (mod p)，如果a^(p-1) % p = 1，则p有可能是质数。
但该方法的不足之处在于当p为合数时，有可能也满足这个公式，即伪素数。
三、Miller-Rabin素性检验算法Miller-Rabin素性检验算法是一种比费马小定理更能判断质数的方法。
它基于数学上的一个结论——如果p为质数，则如果a^(p-1) % p = 1，则要么a为p的一个质因数，要么a^(p-1) ≡ 1 (mod p)。
该算法大体思路是，随机选择一个a作为底数，判断其是否满足上述条件，重复k次（k自行设定），如果每次都满足条件，则可认为p是质数。
但该算法存在一定概率会误判合数为质数，因此需要选择合适的底数和重复次数，以保证判断准确性。
四、随机性素性检验算法随机性素性检验算法是一种更加复杂的判断质数的方法。
其基本思路是使用概率的思想，通过加大随机性来提高素性检验的正确率。
该算法的时间复杂度为O(k(log n)^3)。
总结：判断大质数的原理和方法有许多种，其中包括质数筛选法、费马小定理、Miller-Rabin素性检验算法和随机性素性检验算法等方法。
质因数个数定理和求和定理
质因数个数定理和求和定理
质因数个数定理（Fundamental Theorem of Arithmetic）是指任何一个大于1的自然数都可以唯一地分解成质数的乘积。
换句话说，自然数的质因数个数是唯一的。
求和定理（Summation Formula）是指求解一系列连续自然数的和的公式。
常见的求和定理包括：
1. 等差数列求和公式：
若有等差数列的首项为a，公差为d，项数为n，则该等差数列的和可以表示为：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)
2. 等比数列求和公式：
若有等比数列的首项为a，公比为r，项数为n，则该等比数列的和可以表示为：Sn = a * (1 - r^n) / (1 - r)
3. 平方和公式：
平方数的和可以表示为：Sn = n * (n + 1) * (2n + 1) / 6
4. 立方和公式：
立方数的和可以表示为：Sn = (n * (n + 1) / 2) ^ 2 这些求和定理可以简化对一系列连续数的求和运算。
质数
质数质数(又称为素数）1.只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。
还可以说成质数只有1和它本身两个约数。
2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任何其它两个整数的乘积。
例如，15＝3×5，所以15不是素数；又如，12 ＝6×2＝4×3，所以12也不是素数。
另一方面，13除了等于13×1以外，不能表示为其它任何两个整数的乘积，所以13是一个素数。
质数的概念一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫做质数，又称素数。
例如（1 0以内）2，3，5，7 是质数，而4，6，8，9 则不是，后者称为合成数或合数。
特别声明一点，1既不是质数也不是合数。
为什么1不是质数呢?因为如果把1也算作质数的话,那么在分解质因数时,就可以随便添上几个1了。
比如30，分解质因数是2*3*5，因为分解质因数是要把一个数写成质数的连乘积，如果把1算作质数的话，那么在这个算式中，就可以随便添上几个1了，分解质因数也就没法分解了。
从这个观点可将整数分为两种，一种叫质数，一种叫合成数。
（1不是质数，也不是合数）著名的高斯「唯一分解定理」说，任何一个整数。
可以写成一串质数相乘的积。
质数中除2是偶数外，其他都是奇数。
2000年前，欧几里德证明了素数有无穷多个。
既然有无穷个，那么是否有一个通项公式？两千年来，数论学的一个重要任务，就是寻找一个可以表示全体素数的素数普遍公式和孪生素数普遍公式，为此，人类耗费了巨大的心血。
希尔伯特认为，如果有了素数统一的素数普遍公式，那么这些哥德巴赫猜想和孪生素数猜想都可以得到解决。
质数的奥秘质数的分布是没有规律的，往往让人莫名其妙。
如：101、401、601、701都是质数，但上下面的301（7*43）和901（17*53）却是合数。
有人做过这样的验算：1^2+1+41=43,2^2+2+41=47,3^2+3+41=53……于是就可以有这样一个公式：设一正数为n，则n^2+n+41的值一定是一个质数。
质数的个数公式
质数的个数公式定理 定 理
m
：
所
m
有
不
大
于
Ｎ
的
后
部
质
m
数
的
i
个
数
j(N)
＝
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
A =n
在公式的推导中
A1 ∩ A2∩
m m
∩ Am简记∩ Ai
i =1
m
m
A1 ∪ A2 ∪
；
m
∪ Am简记∪ Ai
i =1
m
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
i〈 j〈k
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
∪A
i =1
m
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i ∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
−1
即：
π ( N ) = m + N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦− ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j pk ⎤ ⎦
i =1 i〈 j i〈 j〈k
m
m
m
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A =n
在公式的推导中
A1 ∩ A2∩
m m
∩ Am简记∩ Ai
i =1
m
m
A1 ∪ A2 ∪
；
m
∪ Am简记∪ Ai
i =1
m
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
i〈 j〈k
∑
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
∪A
i =1
m
i
= N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 m i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
∩A
i =1
m
i
记 A1 ={不大于Ｎ能被质数 P1 整除的数}，A2={不大于Ｎ能被质数 P2 整除的数}……Am ={不大于Ｎ能被质数 Pm 整除的数}, P1、P2、……Pm 表示Ｎ的前部质数，且 P1、P2、…… Pm 为连续质数。｜Ai｜=[N/ Pi]表示 Ai 中能 Pi 整除的个数。 ｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
i =1 i〈 j m m
∩A
i =1
m
i
m ⎡ ⎤ = ⎢ N / ∏ Pi ⎥ i =1 ⎣ ⎦ 即：
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
所以不大于Ｎ的所有质数的个数 π (N) ＝ m+j＝ m+
∪ Ai = ∑ Ai − ∑ Ai ∩ Aj +
i =1 i =1 i〈 j m
m
m
m
i〈 j〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak
+
+ ( −1)
m −1
∩A
i =1
i
其中
∪A
i =1
m
i
表 示正整数 Ｎ中能被 P1 或
P2 或……或 Pm 整除的所有整数的个数，即不大于Ｎ的所有合数和前部质数之和的个数。
m ⎡ ⎤ A = N / Pi ⎥ ∩ ∏ i ⎢ ⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ i =1 Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ i =1 ⎣ N / PP ⎣ N / PP ⎣ ⎦ ， ， m
质数的个数公式定理 定 理
m
：
所
m
有
不
大
于
Ｎ
的
后
部
质
m
数
的
i
个
数
j(N)
＝
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
j≦ N
时，Ｑ1，Ｑ２……Ｑj 表示正整数 N 的后部质数，j 为后部质数的个数。所以 π (N) ＝ 连续质数：由小到大不间断的质数称作连续质数。例如：２、3、5、7、11……还可以
m+j 。 表示为：P1、P2、P3、……Pi……其中 Pi 为质数 i=1、2、3、……表示质数由小到大的次序。 “集合”是一种数学语言，关于集合的详细概念，我就不多说了，我们只定义一下我们 要用的概念：集合元素的个数。若集合 A 中有 n 个元素，记作： 还要用到一个集合的原理，容斥原理：
i
m
j
pk ⎤ ⎦
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
，所有不大于Ｎ的质数的个
数 π (N) ＝ m+j ＝ m+
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j m
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
m m
+ ( −1)
m
∩A
N − ∑ Ai + ∑ Ai ∩ Aj −
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
m
∩A
i =1
m
i
−1
即：
π ( N ) = m + N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦− ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j pk ⎤ ⎦
-4-
当 N=8 时，[ 8 ] =2，m=1，j=8-[8/2]-1=3(｜A1｜=[8/ 2] ) π (8) ＝ m+j =4 当 N=9 时，[ 9 ] =3，m=2， (｜A1｜=[9/ 2], ｜A2｜=[9/ 3] J=9-[9/ 2]- [9/ 3]+ [9/2* 3]-1=9-4-3+1-1=2 π (9) ＝ m+j =4 当 N=10 时，[ 10 ] =3，m=2， (｜A1｜=[10/ 2], ｜A2｜=[10/ 3] J=10-[10/ 2]- [10/ 3]+ [10/2* 3]-1=10-5-3+1-1=2 π (10) ＝ m+j=4 当 N=11 时，[ 11 ] =3，m=2， (｜A1｜=[11/ 2], ｜A2｜=[11/ 3] J=11-[11/ 2]- [11/ 3]+ [11/2* 3]-1=11-5-3+1-1=3 π (11) ＝ m+j=5 当 N=12 时，[ 12 ] =3，m=2， (｜A1｜=[12/ 2], ｜A2｜=[12/ 3] J=12-[12/ 2]- [12/ 3]+ [12/2* 3]-1=12-6-4+2-1=3 π (12) ＝ m+j=5 当 N=13 时，[ 13 ] =3，m=2， (｜A1｜=[13/ 2], ｜A2｜=[13/ 3] J=13-[13/ 2]- [13/ 3]+ [13/2* 3]-1=13-6-4+2-1=4 π (13) ＝ m+j=6 当 N=14 时，[ 14 ] =3，m=2， (｜A1｜=[14/ 2], ｜A2｜=[14/ 3] J=14-[14/ 2]- [14/ 3]+ [14/2* 3]-1=14-7-4+2-1=4 π (14) ＝ m+j=6 当 N=15 时，[ 15 ] =3，m=2， (｜A1｜=[15/ 2], ｜A2｜=[15/ 3] J=15-[15/ 2]- [15/ 3]+ [15/2* 3]-1=15-7-5+2-1=4 π (15) ＝ m+j=6 当 N=25 时，[ 25 ] =5，m=3， (｜A1｜=[25/ 2], ｜A2｜=[25/ 3] , ｜A3｜=[25/ 5] ) J=25-[25/2]-[25/3]-[25/5]+[25/2*3]+[25/2*5] + [25/3*5]- [25/2* 3*5]-1=25-12-8-5+4+2+1-0-1=6 π (25) ＝ m+j=9 ) ) ) ) ) ) )
i =1 i〈 j i〈 j〈k
m
m
m
+
m ⎡ ⎤ + (−1) m ⎢ N / ∏ pi ⎥ − 1 i =1 ⎣ ⎦
命题证毕。
例子： 当 N=2 时，[ 2 ]=1，m=0，j=1 由定义可以知道 π (2) ＝ m+j =1 当 N=3 时，[ 3 ] =1，m=0，j=2 由定义可以知道 π (3) ＝ m+j =2 当 N=4 时，[ 4 ] =2，m=1，j=4-[4/2]-1=1(｜A1｜=[4/ 2] ) π (4) ＝ m+j =2 当 N=5 时，[ 5 ] =2，m=1，j=5-[5/2]-1=2(｜A1｜=[5/ 2] ) π (5) ＝ m+j =3 当 N=6 时，[ 6 ] =2，m=1，j=6-[6/2]-1=2(｜A1｜=[6/ 2] ) π (6) ＝ m+j =3 当 N=7 时，[ 7 ] =2，m=1，j=7-[7/2]-1=3(｜A1｜=[7/ 2] ) π (7) ＝ m+j =4
i =1 i〈 j
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)
∩A
i =1
m
−1
即：
-2-
j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j〈k
∑⎡ ⎣N / p p
-1-
以及怎么判断一个数是不是质数的问题。 对于正整数 N ，定义 π (N) 为不大于 N 的素数总个数。 N 表示 N 的算术平方根， m 为整数， 当 2≦ P1 ， P2 ……Pm≦[√N]时， P1 ， P2 …… [ N ]表示不超过 N 的最大整数。 Pm 表示正整数Ｎ的前部质数，m 为前部质数的个数；j 为整数，当[ N ]﹤Ｑ1，Ｑ２……Ｑ
i =1 i〈 j
m
m
i〈 j 〈k
∑
m
Ai ∩ Aj ∩ Ak +
+ ( −1)Biblioteka m∩Ai =1
m
i
−1
又因为
｜A1｜=[N/ P1], ｜A2｜=[N/ P2],……,｜Ai｜=[N/ Pi]，
-3-
⎤ Ai ∩ Aj ∩ Ak = ⎡ ⎤ Ai ∩ Aj = ⎡ i j⎦ i jP k⎦ ⎣ N / PP ⎣ N / PP ， ， j ( N ) = N − ∑ [ N / pi ] + ∑ ⎡ ⎣ N / pi p j ⎤ ⎦−