高中椭圆讲义

椭圆

1．椭圆的概念

平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．

集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c<2a，其中a>0，c>0，且a，c为常数．

2．椭圆的标准方程和几何性质

－a≤x≤a－b≤x≤b

概念方法微思考

1．在椭圆的定义中，若2a＝|F1F2|或2a<|F1F2|，动点P的轨迹如何？

提示当2a＝|F1F2|时动点P的轨迹是线段F1F2；当2a<|F1F2|时动点P的轨迹是不存在的．2．椭圆的离心率的大小与椭圆的扁平程度有怎样的关系？

提示 由e ＝c

a ＝

1－⎝⎛⎭⎫b a 2知，当a 不变时，e 越大，b 越小，椭圆越扁；e 越小，b 越大，

椭圆越圆．

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．( )

(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)．( )

(3)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆．( ) (4)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2

b 2＝1(a >b >0)的焦距相等．( ) 题组二 教材改编

2．椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m 等于( )

A ．4

B ．8

C ．4或8

D ．12

3．过点A (3，－2)且与椭圆x 29＋y 2

4＝1有相同焦点的椭圆的方程为( )

A.x 215＋y 2

10＝1 B.x 225＋y 2

20＝1 C.x 210＋y 2

15＝1 D.x 220＋y 2

15

＝1

4．已知点P 是椭圆x 25＋y 2

4＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形

的面积等于1，则点P 的坐标为__________________．

题组三 易错自纠

5．若方程x 25－m ＋y 2

m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )

A ．(－3,5)

B ．(－5,3)

C ．(－3,1)∪(1,5)

D ．(－5,1)∪(1,3)

6．已知椭圆x 25＋y 2m ＝1(m >0)的离心率e ＝10

5

，则m 的值为________．

7．设点P (x ，y )在椭圆4x 2＋y 2＝4上，则5x 2＋y 2－6x 的最大值为________，最小值为________．

第1课时 椭圆及其性质

椭圆的定义及其应用

1．(2019·保定模拟)与圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1外切，且与圆C 2：(x －3)2＋y 2＝81内切的动圆圆心P 的轨迹方程为________．

2.如图，△ABC 的顶点B ，C 在椭圆x 23＋y 2

＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另

外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是________．

3．设点P 为椭圆C ：x 2a 2＋y 2

4＝1(a >2)上一点，F 1，F 2分别为C 的左、右焦点，且∠F 1PF 2＝

60°，则△PF 1F 2的面积为________．

4．已知F 是椭圆5x 2＋9y 2＝45的左焦点，P 是此椭圆上的动点，A (1,1)是一定点，则|P A |＋|PF |的最大值为________，最小值为________．

椭圆的标准方程

命题点1 定义法

例1 (1)(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、

右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1

2，过F 2的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，若△F 1AB 的周

长为8，则椭圆方程为( ) A.x 24＋y 2

3

＝1 B.x 216＋y 2

12

＝1 C.x 22＋y 2＝1 D .x 24＋y 22＝1

(2)(2019·全国Ⅰ)已知椭圆C 的焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若|AF 2|＝2|F 2B |，|AB |＝|BF 1|，则C 的方程为( ) A.x 22

＋y 2

＝1 B.x 23＋y 2

2

＝1 C.x 24＋y 23＝1 D.x 25＋y 2

4＝1

命题点2 待定系数法

例2 (1)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝⎛⎭⎫－32，5

2，(3，5)，则椭圆方程为__________．

(2)过点(3，－5)，且与椭圆y 225＋x 2

9＝1有相同焦点的椭圆的标准方程为________．

跟踪训练1 (1)(2019·福建泉州模拟)已知椭圆的两个焦点为F 1(－5，0)，F 2(5，0)，M 是

椭圆上一点，若MF 1⊥MF 2，|MF 1|·|MF 2|＝8，则该椭圆的方程是( ) A.x 27＋y 2

2

＝1 B.x 22＋y 2

7

＝1 C.x 29＋y 24＝1 D .x 24＋y 29＝1

(2)与椭圆x 24＋y 2

3＝1有相同离心率且经过点(2，－3)的椭圆标准方程为________．

椭圆的几何性质

命题点1 离心率

例3 (1)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在

过A 且斜率为

3

6

的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23 B.12 C.13 D.14

(2)若椭圆上存在三点，使得这三点与椭圆中心恰好是一个正方形的四个顶点，则该椭圆的离心率为( ) A.5－12 B.33 C.22 D.6

3

(3)已知F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，

则椭圆的离心率的取值范围是________．

命题点2 与椭圆有关的范围(最值)