大学物理质点动力学习题答案

习 题 二

2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv

(1) 由牛顿第二定律 t v

m

ma f d d == 即 t

v

m kv d d ==-

所以 t m k

v v d d -=

对等式两边积分 ⎰⎰-=t

v v t m k v v 0

d d 0

得 t m

k

v v -=0ln

因此 t m

k

e v v -=0

(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v m

ma f d d d d d d d d ==== 即 x v

mv kv d d =-

所以 v x m

k

d d =-

对上式两边积分 ⎰⎰=-00

0d d v s

v x m k

得到 0v s m

k

-=-

即 k

mv s 0

=

2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为

[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。由牛顿第二定律得

即 t

v m ma kv F mg d d ==--

整理得

m

t

kv F mg v d d =--

对上式两边积分

⎰

⎰=--t v

m

t kv F mg v

00

d d 得 m

kt

F mg kv F mg -=---ln

即 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--=

-m kt

e k

F

mg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2

T kv mg =

即 k

mg

v =

T 有牛顿第二定律 t

v m

kv mg d d 2=- 整理得

m

t

kv mg v d d 2=

- 对上式两边积分

mgk

m t kv mg v t v

21d d 00

2⎰⎰=-

得 m

t

v

k mg v k mg =

+-ln

整理得 T 22221

111v e

e

k mg e

e v kg

m t kg m t

kg

m t kg m t

+-=+-=

2-4 一人造地球卫星质量m =1327kg ，在离地面61085.1⨯=h m 的高空中环绕地球作匀速率圆周运动。求：(1)卫星所受向心力f 的大小；(2)卫星的速率v ；(3)卫星的转动周期T 。

[解] 卫星所受的向心力即是卫星和地球之间的引力 由上面两式得()

()

()

N 1082.710

85.110

63781063788.9132732

63

2

32

e 2

e ⨯=⨯+⨯⨯⨯

⨯=+=h R R mg

f

(2) 由牛顿第二定律 h

R v m f +=e 2

(3) 卫星的运转周期

2-5 试求赤道上方的地球同步卫星距地面的高度。 [解] 设同步卫距地面高度为h ，距地心为R +h ，则

所以 2

gR GM =

代入第一式中 3

12

2

⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=ωgR r 解得 m r 71022.4⨯=

2-6 两个质量都是m 的星球，保持在同一圆形轨道上运行，轨道圆心位置上及轨道附近都没有其它星球。已知轨道半径为R ，求：(1)每个星球所受到的合力；(2)每个星球的运行周期。

[解] 因为两个星球在同一轨道上作圆周运动，因此，他们受到的合力必须指向圆形轨道的圆心，又因星球不受其他星球的作用，因此，只有这两个星球间的万有引力提供向心力。所以两个星球必须分布在直径的两个端点上，且其运行的速度周期均相同

(1)每个星球所受的合力 (2) 设运动周期为T 联立上述三式得 Gm

R R T π4= 所以，每个星球的运行周期

2-7 2-8

2-9 一根线密度为λ的均匀柔软链条，上端被人用手提住，下端恰好碰到桌面。现将手突然松开，链条下落，设每节链环落到桌面上之后就静止在桌面上，求链条下落距离s 时对桌面的瞬时作用力。

[解] 链条对桌面的作用力由两部分构成：一是已下落的s 段对桌面的压力1N ，另一部分是

正在下落的x d 段对桌面的冲力2N ，桌面对x d 段的作用力为2

N '。显然 t 时刻，下落桌面部分长s 。设再经过t d ，有x d 落在桌面上。取下落的x d 段链条为研究对

象，它在t d 时间之内速度由gs v 2=

变为零，根据动量定理

p t N d d 2

=' (1) x v p d 0d λ-= (2) t v x d d = (3)

由(2)、(3)式得 λsg N 22

-=' 故链条对桌面的作用力为

2-10 一半径为R 的半球形碗，内表面光滑，碗口向上固定于桌面上。一质量为m 的小球正以角速度ω沿碗的内面在水平面上作匀速率圆周运动。求小球的运动水平面距离碗底的高度。

[分析] 小钢球沿碗内壁作圆周运动，其向心力是由内壁对它的支承力的分力提供的，而支承力的方向始终与该点内壁相垂直，显然，不同的角速度对应不同大小和方向的支承力。

[解] 设小球的运动水平面距碗底的高度为h ，小球受力如图所示，则