10数列 (学生版)

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求数列通项公式方法(学生版)

求数列通项公式方法（1）．公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项例：1已知等差数列}{n a 满足：26,7753=+=a a a ，求n a ；2.已知数列}{n a 满足)1(1,211≥=-=-n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；3.数列{}n a 满足1a =8，022124=+-=++n n n a a a a ，且（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；4.等比数列}{n a 的各项均为正数，且13221=+a a ，62239a a a =，求数列}{n a 的通项公式5.已知数列}{n a 满足)1(3,211≥===n a a a n n ，求数列}{n a 的通项公式；6.已知数列}{n a 满足2122142++=⋅==n n n a a a a a 且，（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；7.已知数列}{n a 满足，21=a 且1152(5)n nn n a a ++-=-（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；8.已知数列}{n a 满足，21=a 且115223(522)n n n n a a +++⨯+=+⨯+（*∈N n ），求数列{}n a 的通项公式；9.数列已知数列{}n a 满足111,41(1).2n n a a a n -==+>则数列{}n a 的通项公式= （2）累加法1、累加法适用于：1()n n a a f n +=+21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111()nn k a a f n +=-=∑例：1.已知数列{}n a 满足141,21211-+==+n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式。

2. 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。

2.数列计算-学生版

第2讲数列计算第一部分：知识介绍1、等差数列三个重要的公式：① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1 ③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷22、中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．3、公式综合：1）连续自然数求和(1)1232n n n ⨯+++++=L2） ()()()213572112311321n n n n n +++++-=++++-++-++++=L L L 3） N 个连续自然数的平方和 2222(1)(21)1236n n n n ⨯+⨯+++++=L4） N 个连续自然数的立方和 ()2223333(1)1231234n n n n ⨯+++++=++++=L L 5）平方差公式：()()22a b a b a b -=+- 完全平方公式()2222a b a ab b ±=±+ 6） 122334...(1)n n ⨯+⨯+⨯++-⨯1(1)(1)3n n n =-⨯⨯+7） 1123234345...(2)(1)(2)(1)(1)4n n n n n n n ⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯++-⨯-⨯=--+4、等比数列：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用q 表示()0q ≠。

（或者从第二数开始每一个数都和前面数的倍数都是相同的，这个数列就叫做等比数列。

）一般地，等比数列求和采用“错位相减法”。

（公比不为1）其它复合型数列整数与数列本讲数表应用题找规律计算等差数列应用题求和方法初步认识等比数列第二部分：例题精讲【例 1】（试题汇编）计算11、14、17、20、……、95、98这个等差数列的项数是（）【例 1】在等差数列6，13，20，27，…中，从左向右数，第_______个数是1994．【巩固】5、8、11、14、17、20、L，这个数列有多少项？它的第201项是多少？65是其中的第几项？已知数列0、4、8、12、16、20、…… ，它的第43项是多少？【例 1】用等差数列的求和公式会计算下面各题吗？⑴3456767778L+++++++=⑵13578799L++++++=⑶471013404346L+++++++=【例 2】已知一个等差数列第8项等于50，第15项等于71.请问这个数列的第1项是（）【例 3】把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【例 4】（试题汇编）有一本50页的书，再把这本书的各页的页码累加起来时，有一张纸的页码错误的多加了一次，得到的和为1302，那么中间多加的页码为（）。

三年级奥数.杂题.找规律(C级).学生版

一、数列的定义按一定次序排列的一列数就叫做数列；数列中每个数都叫做这个数列的项，其中的第一个数称为这个数列的第1项，第2个数称为第2项，第n 个数称为第n 项。

根据数列中项的个数分类，把项数有限的数列（即有有穷多个项的数列）称为有穷数列；把项数无限的数列（即有无穷多个数的数列）称为无穷数列。

研究数列的目的是为了发现其中的内在规律，以作为解决问题的依据。

【诀窍】1，比较简单的数列，一般从相邻两数的和差积商中找规律，稍复杂的数列，要全方位入手，把数列合理地拆分成为几部分，分别考察，还要把每个数与项数之间联系起来考虑。

2，图形中的数在图形中所处的位置，往往与它们之间的变化规律有关，需要仔细进行分析，才能找到规律；3，由若干数组组成的数列，要分别找出数组中各位商数的规律，然后再按题目要求求解。

【注意】通过观察数表中的已知数据，发现规律并进行补填与计算的问题．这里要注意数表结构的差异，它们通常是按行、按列、沿斜线或螺旋线逐步形成的．涉及小数的，或与其他方面知识相综合的数列问题．二、等差数列的定义⑴ 先介绍一下一些定义和表示方法定义：从第二项起，每一项都比前一项大(或小)一个常数(固定不变的数)，这样的数列我们称它为等差数列．譬如：2、5、8、11、14、17、20、从第二项起，每一项比前一项大3 ，递增数列100、95、90、85、80、从第二项起，每一项比前一项小5 ，递减数列⑵ 首项：一个数列的第一项，通常用1a 表示末项：一个数列的最后一项，通常用n a 表示，它也可表示数列的第n 项。

项数：一个数列全部项的个数，通常用n 来表示；公差：等差数列每两项之间固定不变的差，通常用d 来表示；知识框架找规律和：一个数列的前n 项的和，常用n S 来表示．三、等差数列的相关公式(1)三个重要的公式① 通项公式：递增数列：末项=首项+(项数1-)⨯公差，11n a a n d =+-⨯（）递减数列：末项=首项-(项数1-)⨯公差，11n a a n d =--⨯（）回忆讲解这个公式的时候可以结合具体数列或者原来学的植树问题的思想，让学生明白末项其实就是首项加上(末项与首项的)间隔个公差个数，或者从找规律的情况入手．同时还可延伸出来这样一个有用的公式：n m a a n m d -=-⨯（），n m >（）② 项数公式：项数=(末项-首项)÷公差+1由通项公式可以得到：11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)；11n n a a d =-÷+（） (若1n a a >)．找项数还有一种配组的方法，其中运用的思想我们是常常用到的．譬如：找找下面数列的项数：4、7、10、13、、40、43、46 ，分析：配组：(4、5、6)、(7、8、9)、(10、11、12)、(13、14、15)、、(46、47、48)，注意等差是3 ，那么每组有3个数，我们数列中的数都在每组的第1位，所以46应在最后一组第1位，4到48有484145-+=项，每组3个数，所以共45315÷=组，原数列有15组．当然还可以有其他的配组方法．③ 求和公式：和=(首项+末项)⨯项数÷2 对于这个公式的得到可以从两个方面入手： (思路1) 1239899100++++++11002993985051=++++++++共50个101（）（）（）（）101505050=⨯=(思路2)这道题目，还可以这样理解： 23498991001009998973212101101101101101101101+++++++=+++++++=+++++++和=1+和倍和即，和(1001=+⨯÷=⨯=(2) 中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，中间一项的值等于所有项的平均数，也等于首项与末项和的一半；或者换句话说，各项和等于中间项乘以项数．譬如：① 48123236436922091800+++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有9项，中间一项即第5项的值是20，而和恰等于209⨯； ② 65636153116533233331089++++++=+⨯÷=⨯=（），题中的等差数列有33项，中间一项即第17项的值是33，而和恰等于3333⨯．四、图形规律找规律是解决数学问题的一种重要的手段，而规律的找寻既需要敏锐的观察力，又需要严密的逻辑推理能力.一般地说，在观察图形变化规律时，应抓住一下几点来考虑问题：⑴ 图形数量的变化； ⑵ 图形形状的变化； ⑶ 图形大小的变化； ⑷ 图形颜色的变化； ⑸ 图形位置的变化； ⑹ 图形繁简的变化.对于较复杂的图形，也可分为几部分来分别考虑，总而言之，只要全面观察，勤于思考就一定能抓住规律，解决问题.注：找规律问题，答案并不唯一，只要言之成理即可！一、图形规律【例 1】请你认真仔细观察，按照下面图形的变化规律，在“?”处画出合适的图形。

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结(学生版+解析版)

2024新高考新试卷结构数列的通项公式的9种题型总结题型解密考点一：已知S n =f n ，求a n利用S n =a 1,n =1S n−Sn −1,n ≥2，注意一定要验证当n =1时是否成立【精选例题】1已知S n 为数列a n 的前n 项和，且S n =2n +1-1，则数列a n 的通项公式为()A.a n =2nB.a n =3,n =12n,n ≥2C.a n =2n -1D.a n =2n +1【答案】B【详解】当n ≥2时，S n -1=2n -1，a n =S n -S n -1=2n +1-1-2n +1=2n ；当n =1时，a 1=S 1=21+1-1=3，不符合a n =2n ，则a n =3,n =12n,n ≥2.故选：B .2定义np 1+p 2+p 3+⋅⋅⋅+p n为n 个正数p 1,p 2,p 3,⋅⋅⋅,p n 的“均倒数”，若已知数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n，则a 10等于()A.85B.90C.95D.100【答案】C【详解】因为数列a n 的前n 项的“均倒数”为15n ，所以n a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =15n⇒a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =5n 2，于是有a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 10=5×102，a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a 9=5×92，两式相减，得a 10=5×(100-81)=95，故选：C3(多选题)定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn为数列a n 的“优值”．已知某数列a n 的“优值”H n =2n ，前n 项和为S n ，下列关于数列a n 的描述正确的有()A.数列a n 为等差数列B.数列a n 为递增数列C.S 20222022=20252 D.S 2，S 4，S 6成等差数列【答案】ABC【详解】由已知可得H n =a 1+2a 2+⋯+2n -1a nn=2n ，所以a 1+2a 2+⋯+2n -1a n =n ⋅2n ，①所以n ≥2时，a 1+2a 2+⋯+2n -2a n -1=n -1 ⋅2n -1，②得n ≥2时，2n -1a n =n ⋅2n -n -1 ⋅2n -1=n +1 ⋅2n -1，即n ≥2时，a n =n +1，当n =1时，由①知a 1=2，满足a n =n +1．所以数列a n 是首项为2，公差为1的等差数列，故A 正确，B 正确，所以S n =n n +3 2，所以S n n =n +32，故S 20222022=20252，故C 正确．S 2=5，S 4=14，S 6=27，S 2，S 4，S 6不是等差数列，故D 错误，故选：ABC ．4设数列a n 满足a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -1a n =n +1，则a n 的前n 项和()A.2n -1B.2n +1C.2nD.2n +1-1【答案】C【详解】解：当n =1时，a 1=2，当n ≥2时，由a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1+12n -1a n =n +1得a 1+12a 2+122a 3+⋅⋅⋅+12n -2a n -1=n ，两式相减得，12n -1a n =1，即a n =2n -1，综上，a n =2,n =12n -1,n ≥2 所以a n 的前n 项和为2+2+4+8+⋯+2n -1=2+21-2n -1 1-2=2n ，故选：C .【跟踪训练】1无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ，则下列结论中正确的有()A.a n 为等比数列B.a n 为递增数列C.a n 中存在三项成等差数列D.a n 中偶数项成等比数列【答案】D【详解】解：无穷数列a n 的前n 项和为S n ，满足S n =2n ∴n ≥2，a n =S n -S n -1=2n -2n -1=2n -1，当n =1时，a 1=S 1=21=2，不符合上式，∴a n =2,n =1,2n -1,n ≥2,所以a n 不是等比数列，故A 错误；又a 1=a 2=2，所以a n 不是递增数列，故B 错误；假设数列a n 中存在三项a r ,a m ,a s 成等差数列，由于a 1=a 2=2，则r ,m ,s ∈N *,2≤r <m <s ，所以得：2a m =a r +a s ⇒2×2m -1=2r -1+2s -1∴2m =2r -1+2s -1，则∴1=2r -m -1+2s -m -1，又s -m -1≥0⇒2s -m -1≥1且2r -m -1>0恒成立，故式子1=2r -m -1+2s -m -1无解，a n 中找不到三项成等差数列，故C 错误；∴a 2n =22n -1(n ∈N *)，∴a 2(n +1)a n =22n +122n -1=4∴a 2n 是等比数列，即a n 中偶数项成等比数列，故D 正确.故选：D ．2对于数列a n ，定义H n =a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn为a n 的“伴生数列”，已知某数列a n 的“伴生数列”为H n =(n +1)2，则a n =；记数列a n -kn 的前n 项和为S n ，若对任意n ∈N *,S n ≤S 6恒成立，则实数k 的取值范围为．【答案】 3n +1；227≤k ≤196.【详解】因为H n =(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na nn，所以n ⋅(n +1)2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+na n ①，所以当n =1时，a 1=4，当n ≥2时，(n -1)⋅n 2=a 1+2a 2+3a 3+⋯+(n -1)a n -1②，①-②：3n 2+n =na n ，所以a n =3n +1，综上：a n =3n +1，n ∈N *，令b n =a n -kn =(3-k )n +1，则b n +1-b n =3-k ，可知{b n }为等差数列，又因为对任意n ∈N *，S n ≤S 6恒成立，所以S 6-S 5=b 6≥0，S 7-S 6=b 7≤0，则有b 6=3-k ×6+1=19-6k ≥0，b 7=3-k ×7+1=22-7k ≤0，解得227≤k ≤196．故答案为：3n +1；227≤k ≤196考点二：叠加法(累加法)求通项若数列a n 满足a n +1−a n =f (n )(n ∈N *)，则称数列a n 为“变差数列”，求变差数列a n 的通项时，利用恒等式a n =a 1+(a 2−a 1)+(a 3−a 2)+⋅⋅⋅+(a n −a n −1)=a 1+f (1)+f (2)+f (3)+⋅⋅⋅+f (n −1)(n ≥2)求通项公式的方法称为累加法。

数列求和的典型方法 (学生版)

数列求和的典型方法（学生版）※ 典型例题考点1．分组求和法求数列的前n 项和一、分组求和◎题型1：求数列{}n n a b ±的前n 项和n S思路1：1122()()()n n n S a b a b a b =±+±++±…1212()()n n a a a b b b =++⋅⋅⋅+±++⋅⋅⋅+◎题型2：求通项为()()n f n n a g n n ⎧=⎨⎩，是奇，是偶数数或(1)()n n a f n =-的数列的前n 项和n S 思路2：相邻项组合（1）当n 为偶数时，12341()()()n n n S a a a a a a -=+++++…；（2）当n 为奇数时，123421()()()n n n n S a a a a a a a --=++++++…．思路3：奇偶项组合（1）当n 为偶数时，n S =13124()()n n a a a a a a -++++++……；（2）当n 为奇数时，n S 13241()()n n a a a a a a -=++++++……．思路4：公式优化（1）当n 为偶数时，利用套路2、3其中之一；（2）当n 为奇数时，S S a =-．例3、数列{}n a 的通项公式为2cos 3n a n =⋅，其前n 项和为n S ．（Ⅰ）求32313n n n a a a --++及n S 3；（Ⅱ）若312n n n S b n -=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．考点2．倒序相加法【例2】设()442xx f x =+，求122012201320132013f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值．变式1．求222289sin 1sin 2sin 3....sin 89S =︒+︒+︒++︒变式2．已知函数()f x 对任意的x R ∈，都有()+(1)=1f x f x -，求1231(0)()()()....()(1)n n S f f f f f f n n n n-=++++++.考点4．裂项相消法求数列的前n 项和变式2（Ⅰ）已知数列{}n a 满足：1(21)(21)n a n n =-+，求数列{}n a 的n 项和n S ．（Ⅱ）已知数列{}n a 满足：4(1)(21)(21)n n n a n n =--+，求数列{}n a 的n 项和n S ．．考点5．数列的综合应用【例5】各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，n S 满足()223n n S n n S -+--()230n n +=，n N *∈. （1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）证明：对任意n N *∈，有1223111114n n a a a a a a ++++<. 变式1．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n －1，n ∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．。

高中数学数列中档题复习(学生版)

数列一、考点分析：本章的知识结构图：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位.高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏.解答题多为中等以上难度的试题，突出考查考生的思维能力，解决问题的能力，试题大多有较好的区分度.有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法.应用问题考查的重点是现实客观事物的数学化，常需构造数列模型，将现实问题转化为数学问题来解决.复习建议:在进行数列二轮复习时，建议可以具体从以下几个方面着手:1．运用基本量思想(方程思想)解决有关问题；2．注意等差、等比数列的性质的灵活运用；3．注意等差、等比数列的前n项和的特征在解题中的应用；4．注意深刻理解等差数列与等比数列的定义及其等价形式；5．根据递推公式，通过寻找规律，运用归纳思想，写出数列中的某一项或通项，主要需注意从等差、等比、周期等方面进行归纳；6．掌握数列通项an与前n项和Sn 之间的关系；7．根据递推关系，运用化归思想，将其转化为常见数列；8．掌握一些数列求和的方法(1)分组求和(2)裂项相消(3)错位相减（4）倒序相加（5）公式法。

9．以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式、数列与几何等的综合应用．一、等差与等比数列的概念和性质1. 已知公差大于零的等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足：.22,1175243=+=⋅a a a a （1）求通项n a ；（2）若数列}{n b 是等差数列，且cn S b nn +=，求非零常数c ；解：（1）34-=n a n（2）n n n n S n -=-+=222)341(， ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===2102c b a 21-=c 2.设数列{a n }和{b n }满足a 1=b 1=6, a 2=b 2=4, a 3=b 3=3, 且数列{a n +1－a n }（n ∈N *）是等差数列，数列{b n －2}(n ∈N *)是等比数列. （1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）是否存在k ∈N *，使a k －b k ∈（0，21）？若存在，求出k ；若不存在，说明理由. 解：（1）927212+-=n n a n ，3)21(2-+=n n b（2）不存在3. （2008年海南宁夏卷）已知数列{}n a 是一个等差数列，且21a =，55a =-。

等差数列-学生版

等差数列㈠求等差数列的通项公式1、已知数列{a n }为等差数列，且a 5=11，a 8=5，则a n =__________．2、已知{a n }是等差数列，a 5=10，d =3，求a 10.3、已知{a n }是等差数列，a 5=10，a 12=31，求a 20，a n .4、等差数列2，5，8，…，107共有多少项？5、在-1与7之间顺次插入三个数a 、b 、c 使这五个数成等差数列，试求出这个数列.6、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数．7、设数列{a n }是等差数列,a p =q,a q =p(p ≠q),求a p+q .8、两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，问它们有多少个共同的项？㈡等差数列的判断1、已知数列{a n }的通项公式为a n =pn+q,其中p 、q 为常数,且p≠0,问这个数列一定是等差数列吗？2、数列{a n }的通项公式a n =2n+5,则此数列( )A.是公差为2的等差数列B.是公差为5的等差数列C.是首项为5的等差数列D.是公差为n 的等差数列 3、在数列{a n }中,a 1=2,2a n+1=2a n +1则a 101的值为( ) A.49 B.50 C.51 D.52㈢等差数列的性质1、等差数列{a n }中,若a 1+a 2+a 3=3,a 4+a 5+a 6=9,则a 10+a 11+a 12=______________.2、等差数列{a n }中,已知a 2+a 3+a 10+a 11=36,则a 5+a 8=___________________.3、已知等差数列{a n }中,a 5+a 6+a 7=15,a 5·a 6·a 7=45,求数列{a n }的通项公式.4、设数列{a n }、{b n }都是等差数列,且a 1=25,b 1=75,a 2+b 2=100,则a 37+b 37等于( ) A.0 B.37 C.100 D.-375、已知方程(x 2-2x+m)(x 2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为41的等差数列,则|m-n|的值为 A.1B.43C.21D.83㈣等差数列的前n 项和1、求下列数列的和(1)1+2+3+…+n ； (2)1+3+5+…+(2n -1)；(3)2+4+6+…+2n ； (4)1-2+3-4+5-6+…+(2n -1)-2n .2、已知一个等差数列{}n a 前10项的和是310，前20项的和是1220．由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？3、已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式．这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？4、在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +的值等于（）Ａ．90 Ｂ．100 Ｃ．180 Ｄ．2005、如果一个等差数列中，S 10=100，S 100=10，则S 110=（） A .90 B.－90 C.110 .D －1106、在等差数列{a n }中,S 4=1,S 8=4,则a 17+a 18+a 19+a 20的值是（）A.7B.8C.9D.10 7、若一个等差数列前3项和为34，最后3项和为146，且所有项和为390，则这个数列的项数是（） A ．13 B ．12 C ．11 D ．10 8、在等差数列{}n a 中，a 2+a 5=19,S 5=40,则a 10为（）A ．27 B.28 C.29 D.309、已知一个等差数列的前四项和为21,末四项之和为67,前n 项和为286,则项数n 为( ) A.24 B.26 C.27 D.2810、已知等差数列{a n }的通项公式为a n =2n+1,其前n 项和为S n ,则该数列{nS n }的前10项的和为（）A.120B.70C.75D.100 11、在等差数列中，154567405S S =-=，，则30S =（）Ａ．68 Ｂ．189 Ｃ．78 Ｄ．12912、等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为 A ．130 B ．170 C ．210 D ．26013、等差数列的前m 项和是25，前2m 项和是100，则前3m 项和是。

新高考新结构数列新定义(学生版)--2024年新高考数学压轴题

新高考新结构大题压轴--数列新定义一、解答题1(2024·浙江·模拟预测)已知实数q ≠0，定义数列a n 如下：如果n =x 0+2x 1+22x 2+⋯+2k x k ,x i ∈0,1 ，i =0,1,2,⋯,k ，则a n =x 0+x 1q +x 2q 2+⋯+x k q k．(1)求a 7和a 8(用q 表示)；(2)令b n =a 2n -1，证明：ni =1b i =a 2n-1；(3)若1<q <2，证明：对于任意正整数n ，存在正整数m ，使得a n <a m ≤a n +1．2(2024·浙江温州·二模)数列a n ,b n 满足：b n 是等比数列，b 1=2,a 2=5，且a 1b 1+a 2b 2+⋅⋅⋅+a n b n =2a n -3 b n +8n ∈N * ．(1)求a n ,b n ；(2)求集合A =x x -a i x -b i =0 ,i ≤2n ,i ∈N * 中所有元素的和；(3)对数列c n ，若存在互不相等的正整数k 1,k 2,⋅⋅⋅,k j j ≥2 ，使得c k 1+c k 2+⋅⋅⋅+c k j也是数列c n 中的项，则称数列c n 是“和稳定数列”．试分别判断数列a n ,b n 是否是“和稳定数列”．若是，求出所有j 的值；若不是，说明理由．3(2024·安徽池州·模拟预测)定义：若对∀k∈N*,k≥2,a k-1+a k+1≤2a k恒成立，则称数列a n为“上凸数列”．(1)若a n=n2-1，判断a n是否为“上凸数列”，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由．(2)若a n为“上凸数列”，则当m≥n+2m,n∈N*时，a m+a n≤a m-1+a n+1．(ⅰ)若数列S n为a n的前n项和，证明：S n≥n2a1+a n；(ⅱ)对于任意正整数序列x1,x2,x3,⋯,x i,⋯,x n(n为常数且n≥2,n∈N*)，若ni=1x2i-1≥ni=1x i-λ 2-1恒成立，求λ的最小值．4(23-24高三下·浙江·阶段练习)在平面直角坐标系xOy中，我们把点(x,y),x,y∈N*称为自然点.按如图所示的规则，将每个自然点(x,y)进行赋值记为P(x,y)，例如P(2,3)=8，P(4,2)=14,P(2,5)=17.(1)求P(x,1);(2)求证:2P(x,y)=P(x-1,y)+P(x,y+1);(3)如果P(x,y)满足方程P(x+1,y-1)+P(x,y+1)+P(x+1,y)+P(x+1,y+1)=2024，求P(x,y)的值.5(2024·全国·模拟预测)设满足以下两个条件的有穷数列a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 为n n =2,3,4,⋅⋅⋅ 阶“曼德拉数列”：①a 1+a 2+a 3+⋅⋅⋅+a n =0；②a 1 +a 2 +a 3 +⋅⋅⋅+a n =1.(1)若某2k k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等比数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k ，用k ,n 表示)；(2)若某2k +1k ∈N * 阶“曼德拉数列”是等差数列，求该数列的通项a n (1≤n ≤2k +1，用k ,n 表示)；(3)记n 阶“曼德拉数列”a n 的前k 项和为S k k =1,2,3,⋅⋅⋅,n ，若存在m ∈1,2,3,⋅⋅⋅,n ，使S m =12，试问：数列S i i =1,2,3,⋅⋅⋅,n 能否为n 阶“曼德拉数列”？若能，求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.6(2024高三·全国·专题练习)设数列a n 的各项为互不相等的正整数，前n 项和为S n ，称满足条件“对任意的m ，n ∈N *，均有n -m S n +m =n +m S n -S m ”的数列a n 为“好”数列.(1)试分别判断数列a n ，b n 是否为“好”数列，其中a n =2n -1，b n =2n -1，n ∈N *并给出证明；(2)已知数列c n 为“好”数列，其前n 项和为T n .①若c 2024=2025，求数列c n 的通项公式；②若c 1=p ，且对任意给定的正整数p ，s s >1 ，有c 1，c s ，c t 成等比数列，求证：t ≥s 2.7(2024·湖南岳阳·二模)已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，⋯，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．设该数列的前n项和为S n，规定：若∃m∈N*，使得S m=2p p∈N，则称m为该数列的“佳幂数”．(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；(3)(ⅰ)求满足m>1000的最小的“佳幂数”m；(ⅱ)证明：该数列的“佳幂数”有无数个．8(2024·辽宁大连·一模)对于数列A:a1,a2,a3a1∈N,i=1,2,3，定义“T变换”：T将数列A变换成数列B:b1,b2,b3，其中b i=a i+1-a i．这种“T变换”记作B=T A ，继续对数列B进行 (i=1，2)，且b3=a3-a1“T变换”，得到数列C:c1,c2,c3，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．(1)写出数列A：3，6，5经过5次“T变换”后得到的数列：(2)若a1,a2,a3不全相等，判断数列A:a1,a2,a3不断的“T变换”是否会结束，并说明理由；(3)设数列A：2020，2，2024经过k次“T变换”得到的数列各项之和最小，求k的最小值．9(23-24高三下·江苏南通·模拟预测)设正整数n≥3，有穷数列a n满足a i>0(i=1,2,⋯,n)，且a1 +a2+⋯+a n=n，定义积值S=a1⋅a2⋅⋯⋅a n.(1)若n=3时，数列12,1,32与数列16,23,136的S的值分别为S1，S2.①试比较S1与S2的大小关系；②若数列a n的S满足min S1,S2<S<max S1,S2，请写出一个满足条件的a n;(2)若n=4时，数列a1,a2,a3,a4存在i,j∈1,2,3,4,使得a i<1<a j，将a i，a j分别调整为a i =a i+a j-1，a j =1，其它2个a k(k≠i,j)，令a k =a k.数列a1,a2,a3,a4调整前后的积值分别为S,S ，写出S,S 的大小关系并给出证明；(3)求S=a1⋅a2⋅⋯⋅a n的最大值，并确定S取最大值时a1,a2,⋯,a n所满足的条件，并进行证明.10(23-24高三下·海南省直辖县级单位·模拟预测)由n ×n 个数排列成n 行n 列的数表称为n 行n 列的矩阵，简称n ×n 矩阵，也称为n 阶方阵，记作：A (n ,n )=a 11a 12a 13⋯a 1n a 21a 22a 23⋯a 2n a 31a 32a 33⋯a 3n ⋮⋮⋮⋮a n 1a n 2a n 3⋯a nn其中a iji ∈N *,j ∈N *,i ,j ≤n 表示矩阵A 中第i 行第j 列的数．已知三个n 阶方阵分别为A (n ,n )=a 11a 12a 13⋯a 1n a 21a 22a 23⋯a 2n a 31a 32a 33⋯a 3n ⋮⋮⋮⋮a n 1a n 2a n 3⋯a nn,B (n ,n )=b 11b 12b 13⋯b 1n b 21b 22b 23⋯b 2n b 31b 32b 33⋯b 3n ⋮⋮⋮⋮b n 1b n 2b n 3⋯b nn，C (n ,n )=c 11c 12c 13⋯c 1n c 21c 22c 23⋯c 2n c 31c 32c 33⋯c 3n ⋮⋮⋮⋮c n 1c n 2c n 3⋯c nn，其中a ij ，b ij ，c ij i ,j ∈N *,i ,j ≤n 分别表示A (n ,n ),B (n ,n ),C (n ,n )中第i 行第j 列的数．若c ij =(1-μ)a ij +μb ij (μ∈R )，则称C (n ,n )是A (n ,n ),B (n ,n )生成的线性矩阵．(1)已知A (2,2)=2411,B (2,2)=34-112，若C (2,2)是A (2,2),B (2,2)生成的线性矩阵，且c 11=3，求C (2,2)；(2)已知∀n ∈N *,n ≥3，矩阵A (n ,n )=a 11a 12⋯a 1n 332⋯3n ⋮⋮⋮a 1n a 2n ⋯a nn,B (n ,n )=b 11b 12⋯b 1n 12⋯n ⋮⋮⋮b 1n b 2n ⋯b nn ，矩阵C (n ,n )是A (n ,n ),B (n ,n )生成的线性矩阵，且c 21=2．(i )求c 23,c 2k k ∈N *,k ≤n ；(ii )已知数列b n 满足b n =n ，数列d n 满足d n =n2c 2n -n，数列d n 的前n 项和记为T n ，是否存在正整数m ,n ，使T n =b m +12b m成立？若存在，求出所有的正整数对(m ,n )；若不存在，请说明理由．11(23-24高三下·安徽·模拟预测)基本不等式可以推广到一般的情形：对于n 个正数a 1,a 2,⋯,a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1+a 2+⋯+a nn≥n a 1a 2⋯a n ，当且仅当a 1=a 2=⋯=a n 时，等号成立．若无穷正项数列a n 同时满足下列两个性质：①∃M >0,a n <M ；②a n 为单调数列，则称数列a n 具有性质P ．(1)若a n =n +4n 2，求数列a n 的最小项；(2)若b n =12n -1，记S n =ni =1b n ，判断数列S n 是否具有性质P ，并说明理由；(3)若c n =1+1nn，求证：数列c n 具有性质P ．12(2024·山东泰安·一模)已知各项均不为0的递增数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=2,a 2=4,a n a n +1=2S n S n +1+S n -1-2S n (n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列1S n的前n 项和T n ；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“G -数列”．证明：①对任意k ≤5且k ∈N *，存在“G -数列”b n ，使得b k ≤a k ≤b k +1成立；②当k ≥6且k ∈N *时，不存在“G -数列”c n ，使得c m ≤a m ≤c m +1对任意正整数m ≤k 成立．13(2024·河南信阳·一模)定义：max a,b=a,a≥b,b,a<b,min a,b=b,a≥b,a,a<b,已知数列{an}满足a n+min{a n+1,a n+2}=max{a n+1,a n+2}．(1)若a2=2，a3=3，求a1，a4的值；(2)若∀n∈N*，∃k∈N*，使得a n≤a k恒成立．探究：是否存在正整数p，使得a p=0，若存在，求出p的可能取值构成的集合；若不存在，请说明理由；(3)若数列{a n}为正项数列，证明：不存在实数A，使得∀n∈N*,a n≤A．14(2024·广东·模拟预测)已知数列a n与b n为等差数列，a2=b3，a1=2b1，a n前n项和为19n+n22．(1)求出a n与b n的通项公式；(2)是否存在每一项都是整数的等差数列c n，使得对于任意n∈N+，c n都能满足a n+b n-a n-b n2≤c n≤a n+b n+a n-b n2．若存在，求出所有上述的c n；若不存在，请说明理由．15(2024·吉林白山·二模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，若数列a n 满足：①数列a n 项数有限为N ；②S N =0；③∑Ni =1a i =1，则称数列a n 为“N 阶可控摇摆数列”.(1)若等比数列a n 1≤n ≤10 为“10阶可控摇摆数列”，求a n 的通项公式；(2)若等差数列a n 1≤n ≤2m ,m ∈N * 为“2m 阶可控摇摆数列”，且a m >a m +1，求数列a n 的通项公式；(3)已知数列a n 为“N 阶可控摇摆数列”，且存在1≤m ≤N ，使得∑Ni =1a i =2S m ，探究：数列S n 能否为“N阶可控摇摆数列”，若能，请给出证明过程；若不能，请说明理由.16(2024·安徽合肥·一模)“q -数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设q 是非零实数，对任意n ∈N *，定义“q -数”(n )q =1+q +⋯+q n -1利用“q -数”可定义“q -阶乘”n !q =(1)q (2)q ⋯(n )q ,且0 !q =1.和“q -组合数”，即对任意k ∈N ,n ∈N *,k ≤n ，n kq =n !qk !q n -k !q(1)计算：532；(2)证明：对于任意k ,n ∈N *,k +1≤n ，n k q =n -1k -1q +q k n -1kq(3)证明：对于任意k ,m ∈N ,n ∈N *,k +1≤n ，n +m +1k +1 q-n k +1 q =∑m i =0q n -k +i n +ikq .17(2024·福建泉州·模拟预测)a ,b 表示正整数a ，b 的最大公约数，若x 1,x 2,⋯,x k ⊆1,2,⋯,m k ,m ∈N * ，且∀x ∈x 1,x 2,⋯,x k ，x ,m =1，则将k 的最大值记为φm ，例如：φ1 =1，φ5 =4.(1)求φ2 ，φ3 ，φ6 ；(2)已知m ,n =1时，φmn =φm φn .(i )求φ6n ；(ii )设b n =13φ6n -1，数列b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <625.18(2024·河南开封·二模)在密码学领域，欧拉函数是非常重要的，其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用．设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互素．对于任意正整数n，欧拉函数是不超过n且与n互素的正整数的个数，记为φn．(1)试求φ3 ，φ9 ，φ7 ，φ21的值；(2)设n是一个正整数，p，q是两个不同的素数．试求φ3n与φ(p)和φ(q)的关系；，φpq(3)RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥：公钥和私钥．具体而言：①准备两个不同的、足够大的素数p，q；②计算n=pq，欧拉函数φn；③求正整数k，使得kq除以φn的余数是1；④其中n,q称为私钥．称为公钥，n,k已知计算机工程师在某RSA加密算法中公布的公钥是(187,17)．若满足题意的正整数k从小到大排列得到一列数记为数列b n的前n项和T n．，数列c n满足80c n=b n+47，求数列tan c n⋅tan c n+119(2024·全国·二模)已知由m m ≥3 个数构成的有序数组A :a 1,a 2,⋯,a m ，如果a 1-a i ≤a 1-a i +1 i =2,3,⋯,m -1 恒成立，则称有序数组A 为“非严格差增数组”.(1)设有序数组P :2,3,0,4 ,Q :1,2,3,0,4 ，试判断P ,Q 是否为“非严格差增数组”？并说明理由；(2)若有序数组R :1,t ,t 2,⋯,t 11 t ≠0 为“非严格差增数组”，求实数t 的取值范围.20(2024·海南省直辖县级单位·一模)若有穷数列a 1,a 2,⋯,a n (n 是正整数)，满足a i =a n -i +1(i ∈N ，且1≤i ≤n ，就称该数列为“S 数列”.(1)已知数列b n 是项数为7的S 数列，且b 1,b 2,b 3,b 4成等比数列，b 1=2,b 3=8，试写出b n 的每一项；(2)已知c n 是项数为2k +1k ≥1 的S 数列，且c k +1,c k +2,⋯,c 2k +1构成首项为100，公差为-4的等差数列，数列c n 的前2k +1项和为S 2k +1，则当k 为何值时，S 2k +1取到最大值？最大值为多少？(3)对于给定的正整数m >1，试写出所有项数不超过2m 的S 数列，使得1,2,22,⋯,2m -1成为数列中的连续项；当m >1500时，试求这些S 数列的前2024项和S 2024.21(2024·江苏徐州·一模)对于每项均是正整数的数列P：a1,a2,⋯,a n，定义变换T1，T1将数列P变换成数列T1P ：n,a1-1,a2-1,⋯,a n-1．对于每项均是非负整数的数列Q:b1,b2,⋯,b m，定义S(Q)=2(b1+2b2+⋯+mb m)+b21+b22+⋯+b2m，定义变换T2，T2将数列Q各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2Q ．(1)若数列P0为2，4，3，7，求S T1P0的值；(2)对于每项均是正整数的有穷数列P0，令P k+1=T2T1P k，k∈N．(i)探究S T1P0与S P0的关系；(ii)证明：S P k+1≤S P k．22(2024·湖南·二模)已知数列a n的前n项和为S n，满足2S n+a n=3；数列b n满足b n+b n+1=2n+ 1，其中b1=1.(1)求数列a n,b n的通项公式；(2)对于给定的正整数i i=1,2,⋯,n，在a i和a i+1之间插入i个数c i1,c i2,⋯,c ii，使a i,c i1，c i2,⋯,c ii,a i+1成等差数列.(i)求T n=c11+c21+c22+⋯+c n1+c n2+⋯+c nn；(ii)是否存在正整数m，使得b m-1+1a m+2b m-1-2m+32T m-3恰好是数列a n或b n中的项？若存在，求出所有满足条件的m的值；若不存在，说明理由.23(2024·广西南宁·一模)若无穷数列a n 满足a 1=0,a n +1-a n =f n ，则称数列a n 为β数列，若β数列a n 同时满足a n ≤n -12，则称数列a n 为γ数列．(1)若数列a n 为β数列，f n =1,n ∈N ∗，证明：当n ≤2025时，数列a n 为递增数列的充要条件是a 2025=2024；(2)若数列b n 为γ数列，f n =n ，记c n =b 2n ，且对任意的n ∈N ∗，都有c n <c n +1，求数列c n 的通项公式．24(2024·山东青岛·一模)记集合S =a n |无穷数列a n 中存在有限项不为零，n ∈N * ，对任意a n ∈S ，设变换f a n =a 1+a 2x +⋯+a n x n -1+⋯，x ∈R ．定义运算⊗：若a n ,b n ∈S ，则a n ⊗b n ∈S ，f a n ⊗b n =f a n ⋅f b n ．(1)若a n ⊗b n =m n ，用a 1,a 2,a 3,a 4,b 1,b 2,b 3,b 4表示m 4；(2)证明：a n ⊗b n ⊗c n =a n ⊗b n ⊗c n ；(3)若a n =n +1 2+1n n +1 ,1≤n ≤1000,n >100 ，b n =12 203-n ,1≤n ≤5000,n >500 ，d n =a n ⊗b n ，证明：d 200<12．25(2024·河南·一模)在正项无穷数列a n 中，若对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得a n a n +2m =a n +m 2，则称a n 为m 阶等比数列．在无穷数列b n 中，若对任意的n ∈N *，都存在m ∈N *，使得b n+b n +2m =2b n +m ，则称b n 为m 阶等差数列．(1)若a n 为1阶等比数列，a 1+a 2+a 3=74,a 3+a 4+a 5=716，求a n 的通项公式及前n 项和；(2)若a n 为m 阶等比数列，求证：ln a n 为m 阶等差数列；(3)若a n 既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：a n 是等比数列．。

六年级奥数-数列与数表(学生版)

第二讲数列与数表1.等差数列：2.斐波那契数列：3.周期数列与周期：4.寻找数列的规律，通常有以下几种办法：1.逐步了解首项、末项、项数、公差与和之间的关系。

2.在解题中应用数列相关知识。

例1：有一个数列：4、7、10、13、…、25，这个数列共有多少项?例2：有一等差数列：2，7,12,17，…，这个等差数列的第100项是多少？例3：计算2+4+6+8+…+1990的和。

例4：计算（1+3+5+...+l99l)-（2+4+6+ (1990)例5：已知一列数：2,5,8,11,14，…，80，…，求80是这列数中第几个数。

例6：小王看一本书第一天看了20页，以后每天都比前一天多看2页，第30天看了78页正好看完。

这本书共有多少页？例7：建筑工地上堆着一些钢管(如图所示),求这堆钢管一共有多少根。

例8：四（1）班45位同学举行一次同学联欢会，同学们在一起一一握手，且每两个人只能握一次手，同学们共握了多少次手？A1.有一个数列:2,6,10,14,…,106,这个数列共有多少项?。

2.求1,5,9,13,…,这个等差数列的第3O项。

3.计算1+2+3+4+…+53+54+55的和。

4.计算(1+3+5+7+...+2003)-(2+4+6+8+ (2002)5.有一列数是这样排列的:3,11,19,27,35,43,51,…,求第12个数是多少。

B6.一等差数列,首项=7,公差=3,项数=15,它的末项是多少?7.计算(2OO1+1999+1997+1995)-(2OOO+1998+1996+1994)。

8.文丽学英语单词,第一天学会了3个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了21个。

文丽在这些天中共学会了多少个英语单词？9.李师傅做一批零件，第一天做了25 个，以后每天都比前一天多做2个，第20天做了63个正好做完。

这批零件共有多少个？10.有60把锁的钥匙搞乱了,为了使每把锁都配上自己的钥匙,至多试多少次?C11.一些同样粗细的圆木,像如图所示一样均匀地堆放在一起,已知最下面一层有70根。

数列题型(学生版)

=
1 , 则数列{an} 2
). B.an= 2�� D.an=
1 ��2 1
设{an}是首项为 1 的正项数列，且(n＋1)a2 n＋1－
* na2 n＋an＋1an＝0(n∈N )，求通项公式 an.
题型六判断数列的单调性
方法归纳数列单调性的判断方法 (1)作差法：若 an＋1－an>0，则{an}是递增数列；若 an＋1－an<0，则{an}是递减数列； an＋1 an＋1 * (2)作商法：若 a >1(an>0，n∈N )或 a <1(an<0，n∈N*)， n n an＋1 an＋1 * 则{an}是递增数列；若 a <1(an>0， n∈N )或 a >1(an<0， n∈N*)， n n 则{an}是递减数列．
[点睛] (1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式． (2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数 n 的恒等式，用符合要求的正整数依次去替换 n，就可以求出数列的各项． (3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．
由数列的前几项求通项公式的解题策略 (1)分式形式的数列，分子、分母分别求通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若 n 和 n＋1 项正负交错，那么符号用(－1)n 或(－1)n 1 或
＋
(－1)n－1 来调控． (3)熟悉一些常见数列的通项公式． (4)对于复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，要将数列各项的结构形式加以变形，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳．

人教版小学四年级数学第6讲：数列(学生版)教学内容

第6讲数列1、数列：按一定顺序排成的一列数叫做数列。

数列中的每一个数都叫做项，第一项称为首项，最后一项称为末项。

数列中共有的项的个数叫做项数。

2、等差数列与公差：一个数列，从第二项起，每一项与与它前一项的差都相等，这样的数列的叫做等差数列，其中相邻两项的差叫做公差。

3、常用公式等差数列的总和=（首项+末项）⨯项数÷2项数=（末项-首项）÷公差+1末项=首项+公差⨯（项数-1）首项=末项-公差⨯（项数-1）公差=（末项-首项）÷（项数-1）等差数列（奇数个数）的总和=中间项⨯项数1、重点是对数列常用公式的理解掌握2、难点是对题目的把握以及对公式的灵活运用例1、在数列3、6、9……，201中，共有多少数？如果继续写下去，第201个数是多少？例2、全部三位数的和是多少？例3、求自然数中被10除余1的所有两位数的和。

例4、求下列方阵中所有各数的和：1、2、3、4、……49、50；2、3、4、5、……50、51；3、4、5、6、……51、52；……49、50、51、52、……97、98；50、51、52、53、……98、99。

例5、班级男生进行扳手腕比赛，每个参赛男生都要和其他参赛选手扳一次。

若一共扳了105次，那么共有多少男生参加了这项比赛?例6、若干人围成16圈，一圈套一圈，从外向内圈人数依次少6人，如果共有912人，问最外圈有多少人？最内圈有多少人？A1、有一串数，已知第一个数是6，而后面的每一个数都比它前面的数大4，这串数中第2003个数是。

2、等差数列0、3、6、9、12、……、45是这个数列的第项。

从2开始的连续100个偶数的和是。

3、一个剧院共有25排座位，从第一排起，以后每排都比前一排多2个座位，第25排有70个座位，这个剧院共有个座位。

4、一个五层书架共放了600本书，已知下面一层都比上面一层多10本书。

最上面一层放本书，最下面一层放本书。

5、除以4余1的三位数的和是。

五年级奥数专题数列找规律(学生版)

数列找规律学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位知识梳理例题讲解【试题来源】【题目】下面每列数都有什么规律呢？你能找到并继续往下填吗？⑴ 1,3,5,7,( ),()。

⑴ 2,4,6,8,(),()。

⑴ 1,4,7,10,(),()。

⑴ 35,30,25,20,(),( )。

【试题来源】【题目】你知道下面数列的规律吗？请继续往下写。

⑴1,3,9,(),()。

⑵1,10,100,1000,(),()。

⑶64,32,16,8,(),()。

【试题来源】【题目】有一个人养了一对刚出生的小兔子,一般而言,一对兔子如果第一个月出生,第二个月长大,第三个月就能生一对小兔子,以后每个月都能生出一对小兔子。

而新生的一对小兔子经过一个月可以长成大兔子,以后也是每月生一对小兔子。

假如所有兔子都不死,问：从一对小兔子出生经过一年的时间一共有多少对兔子？【试题来源】【题目】数列的变化非常多,下面的数列要我们多动脑筋才能找出来。

快来试一试吧！⑴5,7,10,14,( ),25,( )。

⑵100,81,64,49,36,25,( ),9,4,1 。

⑶1,2,6,24 , ( )。

⑷6,9,15,24,39,( ),( )。

【试题来源】【题目】下图的数是按一定规律排列的,请按规律填上所缺数。

习题演练【试题来源】【题目】根据下面这列数的规律,正确填出( )内的数。

正确的选项是( )2、6、10、14、18、22、( )A．25B．28C．26D．21【试题来源】【题目】根据下面这列数的规律,正确填出( )内的数。

正确的选项是( )1、2、4、8、16、( )A．30B．32C．15D．28【试题来源】【题目】有这样一列数：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,,你知道这个数列第13项是( )？A．198B．213C．250D．233【试题来源】【题目】根据下面这列数的规律,正确填出( )内的数。

正确的选项是( )2、3、5、8、12、17、( )A．23B．22C．19D．25【试题来源】【题目】根据下面这列数的规律,正确填出( )内的数。

数列与推理证明——学生版

第1讲等差数列、等比数列【高考考情解读】高考对本讲知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式及其性质解决与项、和有关的计算问题，属于基础题；2.以解答题的形式考查，主要是等差、等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式及其性质等知识交汇综合命题，考查用数列知识分析问题、解决问题的能力，属低、中档题．1． a n 与S n 的关系S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1， n ＝1，S n －S n －1， n ≥2.2．等差数列和等比数列等差数列等比数列定义 a n －a n －1＝常数(n ≥2) a na n －1＝常数(n ≥2) 通项公式a n ＝a 1＋(n －1)da n ＝a 1q n －1(q ≠0)判定方法(1)定义法(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ≥1)⇔{a n }为等差数列(3)通项公式法：a n ＝pn ＋q (p 、q 为常数)⇔{a n }为等差数列(4)前n 项和公式法：S n ＝An 2＋Bn (A 、B 为常数)⇔{a n }为等差数列(5){a n }为等比数列，a n >0⇔{log a a n }为等差数列 (1)定义法(2)中项公式法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2 (n ≥1)(a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列(3)通项公式法：a n ＝c ·q n (c 、q 均是不为0的常数，n ∈N *)⇔{a n }为等比数列(4){a n }为等差数列⇔{aa n }为等比数列(a >0且a ≠1)性质(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (2)a n ＝a m ＋(n －m )d(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍成等差数列(1)若m 、n 、p 、q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q (2)a n ＝a m q n－m(3)等比数列依次每n 项和(S n ≠0)仍成等比数列前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d(1)q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q(2)q ＝1，S n ＝na 1考点一与等差数列有关的问题例1 在等差数列{a n }中，满足3a 5＝5a 8，S n 是数列{a n }的前n 项和．(1)若a 1>0，当S n 取得最大值时，求n 的值；(2)若a 1＝－46，记b n ＝S n －a nn ，求b n 的最小值．(1)(2012·浙江改编)设S n 是公差为d (d ≠0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误．．的是________．(填序号)①若d <0，则数列{S n }有最大项；②若数列{S n }有最大项，则d <0；③若数列{S n }是递增数列，则对任意n ∈N *，均有S n >0；④若对任意n ∈N *，均有S n >0，则数列{S n }是递增数列．(2)(2013·课标全国Ⅰ改编)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________.考点二与等比数列有关的问题例2 (1)(2012·课标全国改编)已知{a n }为等比数列，a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8，则a 1＋a 10＝________.(2)(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.(2013·湖北)已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．考点三等差数列、等比数列的综合应用例3 已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1－3a n ＝3n (n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝3－n a n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)设S n ＝a 13＋a 24＋a 35＋…＋a n n ＋2，求满足不等式1128<S n S 2n <14的所有正整数n 的值．1．在等差(比)数列中，a 1，d (q )，n ，a n ，S n 五个量中知道其中任意三个，就可以求出其他两个．解这类问题时，一般是转化为首项a 1和公差d (公比q )这两个基本量的有关运算．2．等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形． 3．等差、等比数列的单调性(1)等差数列的单调性d >0⇔{a n }为递增数列，S n 有最小值．d <0⇔{a n }为递减数列，S n 有最大值．d ＝0⇔{a n }为常数列．(2)等比数列的单调性当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，q >1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1<0，0<q <1时，{a n }为递增数列，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 1>0，0<q <1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1<0，q >1时，{a n }为递减数列． 4．常用结论(1)若{a n }，{b n }均是等差数列，S n 是{a n }的前n 项和，则{ma n ＋kb n }，{S nn }仍为等差数列，其中m ，k 为常数．(2)若{a n }，{b n }均是等比数列，则{ca n }(c ≠0)，{|a n |}，{a n ·b n }，{ma n b n }(m 为常数)，{a 2n }，{1a n }等也是等比数列．(3)公比不为1的等比数列，其相邻两项的差也依次成等比数列，且公比不变，即a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3，…成等比数列，且公比为a 3－a 2a 2－a 1＝(a 2－a 1)qa 2－a 1＝q .(4)等比数列(q ≠－1)中连续k 项的和成等比数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其公差为q k . 等差数列中连续k 项的和成等差数列，即S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，公差为k 2d . 5．易错提醒(1)应用关系式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2时，一定要注意分n ＝1，n ≥2两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起．(2)三个数a ，b ，c 成等差数列的充要条件是b ＝a ＋c2，但三个数a ，b ，c 成等比数列的必要条件是b 2＝ac .1．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3，2a 2成等差数列，则a 8＋a 9a 6＋a 7＝________.2．已知正项等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，若存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．3．已知等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，等比数列{b n }的各项均为正数，公比是q ，且满足：a 1＝3，b 1＝1，b 2＋S 2＝12，S 2＝b 2q .(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝3b n －λ·2a n3，若数列{c n }是递增数列，求λ的取值范围．(推荐时间：60分钟)一、填空题1． (2013·江西改编)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．2． (2013·课标全国Ⅱ改编)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝________. 3．等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 4＋a k ＝0，则k ＝________.4．已知等比数列{a n }为递增数列．若a 1>0，且2(a n ＋a n ＋2)＝5a n ＋1，则数列{a n }的公比q ＝________.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 21＝S 4 000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，Q (2 011，a 2 011)，则OP →·OQ →＝________.6．数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *)．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8等于________． 7．各项均为正数的等比数列{a n }的公比q ≠1，a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a 3a 4＋a 2a 6a 2a 6＋a 4a 5＝________.8．在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，则a 5·a 6的最大值等于________．9．已知数列{a n }的首项为a 1＝2，且a n ＋1＝12(a 1＋a 2＋…＋a n ) (n ∈N *)，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则S n ＝________，a n ＝________. 二、解答题10．已知{a n }是以a 为首项，q 为公比的等比数列，S n 为它的前n 项和．(1)当S 1，S 3，S 4成等差数列时，求q 的值；(2)当S m ，S n ，S l 成等差数列时，求证：对任意自然数k ，a m ＋k ，a n ＋k ，a l ＋k 也成等差数列．11．设数列{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n .12．(2013·湖北)已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m ≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．第2讲数列求和及数列的综合应用【高考考情解读】高考对本节知识主要以解答题的形式考查以下两个问题：1.以递推公式或图、表形式给出条件，求通项公式，考查学生用等差、等比数列知识分析问题和探究创新的能力，属中档题.2.通过分组、错位相减等转化为等差或等比数列的求和问题，考查等差、等比数列求和公式及转化与化归思想的应用，属中档题．1．数列求和的方法技巧(1)分组转化法：有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．(2)错位相减法：这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n·b n}的前n项和，其中{a n}，{b n}分别是等差数列和等比数列．(3)倒序相加法：这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．(4)裂项相消法：利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和．这种方法，适用于求通项为1a n a n＋1的数列的前n项和，其中{a n}若为等差数列，则1a n a n＋1＝1d⎝⎛⎭⎫1a n－1a n＋1.常见的拆项公式：①1n(n＋1)＝1n－1n＋1；②1n(n＋k)＝1k(1n－1n＋k)；③1(2n－1)(2n＋1)＝12(12n－1－12n＋1)；④1n＋n＋k＝1k(n＋k－n)．2．数列应用题的模型(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等比数列的模型．(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型．如分期付款问题，树木的生长与砍伐问题等．(5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项a n与它的前一项a n－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以用递推数列的知识来解决问题.考点一分组转化求和法例1等比数列{a n}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行 3 2 10 第二行 6 4 14 第三行9818(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(2013·安徽)设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n ∈N *，函数f (x )＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f ′⎝⎛⎭⎫π2＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎫a n ＋12a n，求数列{b n }的前n 项和S n .考点二错位相减求和法例2 (2013·山东)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n ∈N *，求{b n }的前n 项和T n .设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)令b n＝na n，求数列{b n}的前n项和S n.考点三裂项相消求和法例3(2013·广东)设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，满足4S n＝a2n＋1－4n－1，n∈N*, 且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1a n a n＋1<12.已知x，f(x)2，3(x≥0)成等差数列．又数列{a n}(a n>0)中，a1＝3，此数列的前n项和为S n，对于所有大于1的正整数n都有S n＝f(S n－1)．(1)求数列{a n}的第n＋1项；(2)若b n是1a n＋1，1a n的等比中项，且T n为{b n}的前n项和，求T n.考点四数列的实际应用例4 (2012·湖南)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%，预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．某产品在不做广告宣传且每千克获利a 元的前提下，可卖出b 千克．若做广告宣传，广告费为n (n ∈N *)千元时比广告费为(n －1)千元时多卖出b2n 千克．(1)当广告费分别为1千元和2千元时，用b 表示销售量S ；(2)试写出销售量S 与n 的函数关系式；(3)当a ＝50，b ＝200时，要使厂家获利最大，销售量S 和广告费n 分别应为多少？1．数列综合问题一般先求数列的通项公式，这是做好该类题型的关键．若是等差数列或等比数列，则直接运用公式求解，否则常用下列方法求解：(1)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)S n －S n －1(n ≥2).(2)递推关系形如a n ＋1－a n ＝f (n )，常用累加法求通项．(3)递推关系形如a n ＋1a n＝f (n )，常用累乘法求通项．(4)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q (p 、q 是常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类通项问题，常用待定系数法．可设a n ＋1＋λ＝p (a n ＋λ)，经过比较，求得λ，则数列{a n ＋λ}是一个等比数列．(5)递推关系形如“a n ＋1＝pa n ＋q n (q ，p 为常数，且p ≠1，q ≠0)”的数列求通项，此类型可以将关系式两边同除以q n 转化为类型(4)，或同除以p n＋1转为用迭加法求解．2．数列求和中应用转化与化归思想的常见类型：(1)错位相减法求和时将问题转化为等比数列的求和问题求解．(2)并项求和时，将问题转化为等差数列求和． (3)分组求和时，将问题转化为能用公式法或错位相减法或裂项相消法或并项法求和的几个数列的和求解．提醒：运用错位相减法求和时，相减后，要注意右边的n ＋1项中的前n 项，哪些项构成等比数列，以及两边需除以代数式时注意要讨论代数式是否为零．3．数列应用题主要考查应用所学知识分析和解析问题的能力．其中，建立数列模型是解决这类问题的核心，在试题中主要有：一是，构造等差数列或等比数列模型，然后用相应的通项公式与求和公式求解；二是，通过归纳得到结论，再用数列知识求解.1．在一个数列中，如果∀n ∈N *，都有a n a n ＋1a n ＋2＝k (k 为常数)，那么称这个数列为等积数列，称k 为这个数列的公积．已知数列{a n }是等积数列，且a 1＝1，a 2＝2，公积为8，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝________.2．秋末冬初，流感盛行，特别是甲型H1N1流感．某医院近30天每天入院治疗甲流的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院治疗甲流的人数为________．3．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和S n ，且满足：a 2·a 4＝65，a 1＋a 5＝18. (1)若1<i <21，a 1，a i ，a 21是某等比数列的连续三项，求i 的值；(2)设b n ＝n(2n ＋1)S n ，是否存在一个最小的常数m 使得b 1＋b 2＋…＋b n <m 对于任意的正整数n 均成立，若存在，求出常数m ；若不存在，请说明理由．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．已知数列112，314，518，7116，…，则其前n 项和S n ＝________.2．在等差数列{a n }中，a 1＝－2 013，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2 013的值等于________．3．对于数列{a n }，a 1＝4，a n ＋1＝f (a n )，n ＝1,2，…，则a 2 013＝________.x 1 2 3 4 5 f (x )543124．设{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，记M n ＝ab 1＋ab 2＋…＋ab n ，则数列{M n }中不超过2 013的项的个数为________．5．在等差数列{a n }中，其前n 项和是S n ，若S 15>0，S 16<0，则在S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的是________．6．数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的m ，n ∈N *都有a m ＋n ＝a m ＋a n ＋mn ，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 012＝________.7．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2(n 为奇数)，－n 2(n 为偶数)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 012＝________.8．数列{a n }中，已知对任意n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝4(n ≥1)且a 1＝9，其前n 项之和为S n ，则满足不等式|S n －n －6|<1125的最小整数n 是________．10．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910(n ∈N *)元，使用它直至报废最合算(所谓报废最合算是指使用这台仪器的平均耗资最少)，一共使用了________天．二、解答题11．已知等差数列{a n}满足：a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝a n＋qa n(q>0)，求数列{b n}的前n项和S n.12．将函数f(x)＝sin 14x·sin14(x＋2π)·sin12(x＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n}(n∈N*)．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝2n a n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n的表达式．13．在等比数列{a n}中，a2＝14，a3·a6＝1512.设b n＝log2a2n2·log2a2n＋12，T n为数列{b n}的前n项和．(1)求a n和T n；(2)若对任意的n∈N*，不等式λT n<n－2(－1)n恒成立，求实数λ的取值范围．第3讲推理与证明【高考考情解读】 1.高考主要考查对合情推理和演绎推理的理解及应用；直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推理数学命题的方法，常与函数、数列、不等式、解析几何等综合命题．考查“归纳—猜想—证明”的模式，常与数列结合考查.2.归纳推理和类比推理等主要是和数列、不等式等内容联合考查，多以填空题的形式出现，难度中等；而考查证明问题的知识面广，涉及知识点多，题目难度较大，主要考查逻辑推理能力、归纳能力和综合能力，难度较大．1．合情推理(1)归纳推理①归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．②归纳推理的思维过程如下：实验、观察→概括、推广→猜测一般性结论 (2)类比推理①类比推理是由特殊到特殊的推理②类比推理的思维过程如下：观察、比较→联想、类推→猜测新的结论 2．演绎推理(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般性原理．②小前提——所研究的特殊情况．③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(2)合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理．从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确． 3．直接证明(1)综合法：用P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→…→Q n ⇒Q(2)分析法：用Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为 Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 2⇐P 3→…→ 得到一个明显成立的条件4．间接证明：反证法的证明过程可以概括为“否定——推理——否定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．用反证法证明命题“若p 则q ”的过程可以用如图所示的框图表示．考点一归纳推理例1 (2013·湖北)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n 个三角形数为n (n ＋1)2＝12n 2＋12n ，记第n 个k 边形数为N (n ，k )(k ≥3)，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数 N (n,3)＝12n 2＋12n ，正方形数 N (n,4)＝n 2，五边形数 N (n,5)＝32n 2－12n ，六边形数N (n,6)＝2n 2－n………………………………………可以推测N (n ，k )的表达式，由此计算N (10,24)＝____________.(1)在数列{a n }中，若a 1＝2，a 2＝6，且当n ∈N *时，a n ＋2是a n ·a n ＋1的个位数字，则a 2 014＝________.(2)(2012·江西改编)观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝________.考点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：若正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14.推广到空间几何可以得到类似结论：若正四面体ABCD 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝________.(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如下命题：AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝－b 2a 2.那么对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，则k OM ·k AB ＝________.(1)现有一个关于平面图形的命题，如图，同一个平面内有两个边长都是a 的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a 24.类比到空间，有两个棱长均为a 的正方体，其中一个的某顶点在另一个中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________． (2)命题p ：已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值．类比此命题，在双曲线中也有命题q ：已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2是双曲线的两个焦点，P 为双曲线上的一个动点，过F 2作∠F 1PF 2的________的垂线，垂足为M ，则OM 的长为定值________．考点三直接证明与间接证明例3 已知数列{a n }满足：a 1＝12，3(1＋a n ＋1)1－a n ＝2(1＋a n )1－a n ＋1，a n a n ＋1<0 (n ≥1)；数列{b n }满足：b n ＝a 2n ＋1－a 2n (n ≥1)． (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)证明：数列{b n }中的任意三项不可能成等差数列．已知数列{a n }和{b n }满足：a 1＝λ，a n ＋1＝23a n ＋n －4，b n ＝(－1)n (a n －3n ＋21)，其中λ为实数，n 为正整数．(1)对任意实数λ，证明：数列{a n }不是等比数列；(2)试判断数列{b n }是否为等比数列．1．合情推理的精髓是“合情”，即得到的结论符合“情理”，其中主要是归纳推理与类比推理．归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式．类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式．2．直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式．在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题过程．1．将全体正奇数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第45行从左向右的第17个数为________．2．在计算“1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)”时，某同学学到了如下一种方法：先改写第k 项，k (k ＋1)＝13[k (k ＋1)(k＋2)－(k －1)k (k ＋1)]，由此得1×2＝13(1×2×3－0×1×2)，2×3＝13(2×3×4－1×2×3)，…n (n ＋1)＝13[n (n ＋1)(n ＋2)－(n －1)n (n ＋1)]．相加，得1×2＋2×3＋…＋n (n ＋1)＝13n (n ＋1)(n ＋2)．类比上述方法，计算“1×2×3＋2×3×4＋…＋n (n ＋1)(n ＋2)”的结果为________．(推荐时间：60分钟)一、填空题1．下列关于五角星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是________．2．已知结论：在正三角形ABC 中，若D 是边BC 的中点，G 是三角形ABC 的重心，则AGGD＝2.若把该结论推广到空间中，则有结论：在棱长都相等的四面体ABCD 中，若△BCD 的中心为M ，四面体内部一点O 到四面体各面的距离都相等，则AOOM等于________． 3．已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，则第60个数对是________．4．已知正三角形内切圆的半径是其高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是________________________________________________________________________．5．把非零自然数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表(每行比上一行多一个数)．设a ij (i 、j ∈N *)是位于这个三角形数表中从上往下数第i 行、从左往右数第j 个数，如a 42＝8，若a ij ＝2 014，则i ，j 的值的和为________．6．有一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}，第二组含两个数{3,5}，第三组含三个数{7,9,11}，第四组含四个数{13,15,17,19}，…，现观察猜想每组内各数之和为a n 与其组的编号数n 的关系为________．7． (2013·陕西)观察下列等式：(1＋1)＝2×1(2＋1)(2＋2)＝22×1×3(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5 …照此规律，第n 个等式可为______________．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数，且两端的数均为1n ，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则第10行第3个数(从左往右数)为________．9．对大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23⎩⎨⎧35，33⎩⎪⎨⎪⎧7911，43⎩⎪⎨⎪⎧13151719，….仿此，若m 3的“分裂数”中有一个是59，则m 的值为________．二、解答题10．已知a >0且a ≠1，f (x )＝1a x ＋a.(1)求值：f (0)＋f (1)，f (－1)＋f (2)；(2)由(1)的结果归纳概括对所有实数x 都成立的一个等式，并加以证明； (3)若n ∈N *，求和：f (－(n －1))＋f (－(n －2))＋…＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋…＋f (n )．11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1＋2，S 3＝9＋3 2.(1)求数列{a n }的通项a n 与前n 项和S n ；(2)设b n ＝S nn (n ∈N *)，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成为等比数列．12．已知数列{a n }有a 1＝a ，a 2＝p (常数p >0)，对任意的正整数n ，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，并有S n 满足S n ＝n (a n －a 1)2.(1)求a 的值并证明数列{a n }为等差数列；(2)令p n ＝S n ＋2S n ＋1＋S n ＋1S n ＋2，是否存在正整数M ，使不等式p 1＋p 2＋…＋p n －2n ≤M 恒成立，若存在，求出M 的最小值；若不存在，说明理由．。

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义(学生版)

2019-2020年高中数学数列版块二等差数列等差数列的通项公式与求和完整讲义（学生版）典例分析【例1】等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（）A． B． C． D．【例2】数列的前项和，求它的通项公式．【例3】数列的前项和，，则数列的前项和_______.【例4】数列的前项和，则_______.【例5】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例6】设等差数列的前项的和为，且，，求.【例7】有两个等差数列，，其前项和分别为，，若对有成立，求．【例8】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例9】等差数列的前项和为，前项和为，则它的前项和为_______．【例10】等差数列中，，，问数列的多少项之和最大，并求此最大值．【例11】已知二次函数()()222103961100f x x n x n n =+-+-+，其中．⑴ 设函数的图象的顶点的横坐标构成数列，求证：数列为等差数列；⑵ 设函数的图象的顶点到轴的距离构成数列，求数列的前项和．【例12】等差数列前项的和为，其中，项数为奇数的各项的和为，求其第项及公差．【例13】设等差数列的公差为,，且，求当取得最大值时的值．【例14】已知等差数列中，，，，则（）A ．B ．C ．D ．【例15】已知是等差数列，且，，求数列的通项公式及的前项和．【例16】在各项均不为0的等差数列中，若，则等于（）A．B．C．D．【例17】设数列满足，，，且数列是等差数列，求数列的通项公式．【例18】已知22=-+++-，f x x n x n n()2(1)57⑴设的图象的顶点的纵坐标构成数列，求证为等差数列．⑵设的图象的顶点到轴的距离构成，求的前项和．【例19】已知数列是等差数列，其前项和为，．⑴求数列的通项公式；⑵设是正整数，且，证明．【例20】在等差数列中，，，为前项和，⑴求使的最小的正整数；⑵求的表达式.【例21】有固定项的数列的前项和，现从中抽取某一项（不包括首相、末项）后，余下的项的平均值是．⑴求数列的通项；⑵求这个数列的项数，抽取的是第几项．【例22】已知23123()n n f x a x a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，成等差数列(为正偶数)．又，，⑴求数列的通项；⑵试比较与的大小，并说明理由．【例23】设，为实数，首项为，公差为的等差数列的前项和为，满足则的取值范围是．【例24】设等差数列的前项和为，若，，则当取最小值时，等于（）A ．B ．C ．D ．【例25】在等比数列中，若公比，且前项之和等于，则该数列的通项公式．【例26】已知是公差不为零的等差数列，，且，，成等比数列．⑴求数列的通项；⑵求数列的前项和．【例27】已知数列满足，，且对任意，都有22121122()m n m n a a a m n +-+-+=+-⑴求，；⑵设证明：是等差数列；⑶设，求数列的前项和．【例28】设等差数列的前项和为，，则等于（）A．10 B．12 C．15 D．30【例29】已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（）A． B． C． D．【例30】若为等差数列，是其前项和，且，则的值为（）A．B．C．D．【例31】已知等差数列，等比数列，则该等差数列的公差为（）A．或 B．或 C． D．【例32】已知数列的通项公式，设其前项和为，则使成立的最小自然数等于（）A． B． C． D．【例33】等差数列中，，，此数列的通项公式为，设是数列的前项和，则等于．【例34】设集合由满足下列两个条件的数列构成：①②存在实数，使．（为正整数）⑴在只有项的有限数列，中，其中，，，，，，，，，；试判断数列，是否为集合的元素；⑵设是等差数列，是其前项和，，证明数列；并写出的取值范围；⑶设数列，且对满足条件的常数，存在正整数，使．求证：．【例35】已知数列满足：，21221,12,2n n n n a n n a a -+⎧⎪⎪=⎨++⎪⎪⎩为偶数为奇数，．⑴求的值；⑵设，，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；⑶对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由．2019-2020年高中数学数列的概念与简单表示”课堂实录一、教学目标：知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。

中学数学数列.版块一.数列的概念.学生版

【例1】请写出下面数列的一个通项公式．⑴2，0，2，0，2，…⑵12-，16，112-，120，…⑶请写出下面数列的一个通项公式：0.9,0.99,0.999,0.9999,【例2】 ⑴ 请写出下面数列的一个通项公式：12，2，92，8，252…，⑵ 请写出下面数列的一个通项公式：1，2，3，4，5，8，7，16，9…，【例3】观察下列等式：2111,22n i i n n ==+∑ 2321111,326n i i n n n ==++∑ 34321111,424n i i n n n ==++∑ 454311111,52330n i i n n n n ==++-∑ 5654211151,621212n i i n n n n ==++-∑ 67653111111,722642n i i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………212112101,nk k k k k k k k k i i a n a n a n a n a n a +--+--==++++⋅⋅⋅++∑ 可以推测，当2n ≥时，1111,,12k k k a a a k +-===+ 2k a -= .典例分析数列的概念【例4】 ⑴根据下面的图形及相应的点数，在空格及括号中分别填上适当的图形和数，写出点数的通项公式.⑵将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n 行(3)n ≥从左向右的第3个数为．【例5】如下图，第⑴个多边形是由正三角形“扩展“而来，第⑵个多边形是由正方形“扩展”而来，……，如此类推.设由正n 边形“扩展”而来的多边形的边数为n a ，则6a【例6】观察下列各图，并阅读下面的文字，像这样，10条直线相交，交点的个数最多是（），其通项公式为 .A ．40个B ．45个C ．50个D ．55个【例7】将正ABC ∆分割成2n （2≥n ，n *∈N ）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了2n =，3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于ABC ∆的三边及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别依次成等差数列．若顶点A ，B ，C 处的三个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则有(2)2f =，(3)f =_________，，()f n =_____________．图3图2【例8】已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-.⑴ 问60-是否是这个数列中的项？ ⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值.【例9】一个数列的通项公式是2813n a n n =-+，写出此数列的前五项，并求此数列的最小项的值？【例10】数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．【例11】已知整数以按如下规律排成一列：()1,1、()1,2、()2,1、()1,3、()2,2，()3,1，()1,4，()2,3，()3,2，()4,1，……，则第60个数对是（）A ．()10,1B ．()2,10C ．()5,7D ．()7,5【例12】已知数列()1212:,,,0,3nn A a a a a a a n <<<≤≥具有性质P ：对任意(),1i j i j n ≤≤≤，j i a a +与j i a a -两数中至少有一个是该数列中的一项．现给出以下四个命题：① 数列0,1,3具有性质P ；② 数列0,2,4,6具有性质P ； ③ 若数列A 具有性质P ，则10a =；④ 若数列()123123,,0a a a a a a <<≤具有性质P ，则1322a a a +=．其中真命题有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【例13】在数列{}n a 中，若221n n a a p --=，（2,n n *∈N ≥，p 为常数），则称{}n a 为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的判断：①若{}n a 是等方差数列，则{}2n a 是等差数列；②{}(1)n -是等方差数列；③若{}n a 是等方差数列，则{}kn a （k *∈N ，k 为常数）也是等方差数列； ④若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列．其中正确命题序号为．（将所有正确的命题序号填在横线上）【例14】数列{}n a 满足11a =，23a =，()12n n a n a λ+=-（1,2,n =），则3a 等于（）A ．15B ．10C ．9D ．5【例15】在一个数列中，若每一项与它的后一项的乘积都同为一个常数（有限数列最后一项除外），则称该数列为等积数列，其中常数称公积．若数列{}n a 是等积数列，且62a =，公积为6，则159********a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅的值是（）A ．5022B ．5023C ．5032D ．5033。

等差数列求和公式及应用学生版

等差数列求和公式及应用知识大集合1、如果一个数列，从第2项起，每一项与前一项的差是一个固定数，这样的数列叫做等差数列。

这个差叫做这个数列的公差。

例如：1 ，3 ，5 ，7 ，9 ， (99)2 ，4 ，6 ，8 ，10 ， (100)1 ，4 ，7 ，10 ，13 ， (100)都是等差数列。

公差分别是2 ,2 ,3。

2、数列的第一项叫首项，最后一项叫末项。

由于等差数列中，从第二项起，每一项等于前一项加上公差，所以：等差数列求和公式：和 = （首项 +末项）×项数÷2；末项 = 首项 + （项数– 1）×公差；项数 = （末项–首项）÷公差 + 1。

例题、练习相结合例1 计算：1＋2＋3＋4＋…＋78＋79＋80练习1 计算：3＋5＋7＋9＋…＋97＋98＋99例2 有一个数列4，10，16，22，…，58，这个数列一共有多少项？练习2 有一个数列5，10，15，20，…，105，这个数列一共有多少项？例3 写出数列1，3，5，7，9，…中的第40个数。

练习3 写出数列1，5，9，13，17，…中的第60个数。

例4 某影视城的一个放映厅设置了20排座位，第一排有30个座位，往后每排都比前一排多2个座位。

问这个放映厅一共有多少个座位？练习4 在一个室外运动场看台上共有18排座位，第一排有29个座位，往后每排都比前一排多3个座位。

问这个看台上一共有多少个座位？例5 求从1到1990的自然数中，所有偶数之和与所有奇数之和的差。

练习5 求从2到2012的自然数中，所有偶数之和与奇数之和的差。

例6 四（2）班共有45名同学举行一次联欢晚会，同学们在一起一一握手，且每两个人只握一次，问同学们一共握了多少次手？练习6 某学校举行乒乓球比赛，一共有56名选手，每个选手都要与其他选手各赛一场，且每两个人只赛一场，问这次比赛共进行了多少场？作业一1、计算：3＋6＋9＋…＋20012、求（1＋3＋5＋7＋...＋2003）－（2＋4＋6＋8＋ (2002)3、计算：8×2＋8×5＋8×8＋…＋8×20034、下面一列数是按一定规律排列的：3，12，21，30，39，48，57，66，…求：（1）第12个数是多少？（2）912是第几个数？5、在等差数列9,19,29,39，…中，109是第几项？前10项的和是多少？6、求和：1＋2＋3＋4＋…＋2001＋2002＋2001＋…＋4＋3＋2＋17、前25个自然数的和是325，即1＋2＋3＋4＋…＋25＝325。

数学-《MST突破140精培》系列专题39之10 数列求和方法之错位相减法

共39732599440562298495 专题10 数列求和方法之错位相减法一、单选题1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=7，S 6=63，则数列{na n }的前n 项和为（）A ．-3+(n +1)×2nB ．3+(n +1)×2nC ．1+(n +1)×2nD ．1+(n -1)×2n二、解答题2．在公差不为零的等差数列中，前五项和，且，，依次成等比数列，数列的前项和满足（）.（1）求及；（2）设数列的前项和为，求. 3．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ﹣1. (1)求数列{a n }的通项公式， (2)设函数f (x )＝()x ，数列{b n }满足条件b 1＝f (﹣1)，f (b n +1)． ①求数列{b n }的通项公式，②设c n ，求数列{c n }的前n 项和T n ． 4．数列的前项和，数列的前项和，满足.{}n a 5n S =3a 4a 7a {}n b n n T 210n n T b +-=n *∈N n a n b {}n n a b ⋅n n A n A 1212()13n f b =--n nb a ={}n a n ()2*4N n S n n n =-∈{}n b n n T ()*210N n n T b n +-=∈共39732599440562298495 （1）求及；（2）设数列的前项和为，求并证明：.5．已知数列是公差不为零的等差数列，若，且、、成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和. 6．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2S n ＝3a n －3，其中n ∈N *．（1）证明：数列{a n }为等比数列；（2）设b n ＝2n －1，c n ＝，求数列{c n }的前n 项和T n ． 7．已知等比数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.8．已知数列的前项和. （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和.（3）若存在正整数，使得成立，求实数的取值范围.n a n b {}n n a b ⋅n n A n A 1n A ≤-{}n a 12a =1a 5a 17a {}n a 2n an b ={}n n a b n n S n nb a {}n a 314610,80a a a a +=+={}n a 2log =n n n b a a {}n b n n T {}n a n 1(2n n S =-{}n a (21)n n b n a =-{}n b n n T n 1()()0n n m a m a +--<m共39732599440562298495 9．已知数列满足，.设. （1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的前项和为.10．已知等比数列满足，.（1）定义：首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”，证明：数列是“数列”；（2）记等差数列的前项和记为，已知，，求数列的前项的和.11．已知等比数列的公比，且满足，，数列的前项和，. （1）求数列和的通项公式；（2）设，求数列的前项和.12．已知各项都大于1的数列{a n }的前n 项和为S n ，4S n －4n ＋1＝a n 2：数列{b n }的前n 项和为T n ，b n ＋T n ＝1.（1）分别求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）设数列{c n }满足c n ＝a n b n ，若对任意的n ∈N *.不等式5(λn ＋3b n )－2b n S n >λn (c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n )恒成立，试求实数λ的取值范围.13．已知等差数列的前n 项的和为，且，.{}n a 12a =()121n n n a a n ++=n n a b n={}n b {}n a n n S {}()n a n N *∈234a a a =13223a a a +=M -{}n a M -{}n b n n S 59b =864S ={}21n n b a -n n T {}n a 0q >1236a a a +=2434a a ={}n b n (1)2n n n S +=*n N ∈{}n a {}n b 2238,,n n n n n n nb a n b bc a b n +++⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数{}n c 2n 2n T {}n a n S 33a =1055S =共39732599440562298495 （1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和. 14．记等比数列的前n 项和为，已知.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n 项和.15．已知数列的前n 项的和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n 项和. 16．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式；（2）数列满足，数列的前n 项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.17．已知数列{a n }的首项为0，且2a n a n +1+a n +3a n +1+2＝0.（1）证明数列是等差数列，并求{a n }的通项公式；（2）已知数列{b n }的前n 项和为S n ，且，若不等式(-1)n λ＜S n +3×2n +1对一切n ∈N *恒成立，求λ{}n a 2n n n a b ={}n b n T {}n a n S ()*121n n a S n N+=+∈{}n a 3log n n n b a a ={}n b n T {}n a n S 21n n S a =-{}n a n nn b a ={}n b n T {}n a 11a =13n n n a a a +=+112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭{}n a {}n b ()312n n n n n b a =-⋅{}n b n T 1(1)2n n n n T λ--<+*n ∈N λ1{}1n a +21nn n b a =+共39732599440562298495 的取值范围.18．已知等比数列{a n }的公比大于1，且满足a 3+a 5＝90，a 4＝27．（1）求{a n }的通项公式；（2）记b n ＝log 3a n ，求数列{a n (b n +1)}的前n 项和T n.19．已知在等差数列中，，其前8项和.（1）求数列的通项公式﹔（2）设数列满足，求的前项和. 20．已知等差数列的前项和为，，和的等差中项为.（1）求及；（2）设，求数列的前项和. 21．甲､乙两名同学在复习时发现他们曾经做过的一道数列题目因纸张被破坏导致一个条件看不清，具体如下等比数列的前n 项和为，已知____________，（1）判断的关系并给出证明.（2）若，设，的前n 项和为，证明. 甲同学记得缺少的条件是首项的值，乙同学记得缺少的条件是公比q 的值，并且他俩都记得第（1）问的答案是成等差数列.如果甲､乙两名同学记得的答案是正确的，请通过推理把条件补充完整并解答此题.{}n a 2513a a +=860S ={}n a {}n b ()33nn n b a =-⋅{}n b n n T {}n a n n S 525S =5a 7a 11n a n S 1(1)2n n n n a b a n-+⋅=⋅{}n b n n T {}n a n S 123,,S S S 133a a -=12n n n b a ={}n b n T 43n T <1a 132,,S S S共39732599440562298495 22．已知数列中，且满足．（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式; （2）求证：对于数列，的充要条件是. 23．数列的前n 项和为，若，点在直上. （1）求证：数列是等差数列，并求的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和； 24．已知数列，，满足，. （1）令，证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）若，证明：. 25．已知是递增的等差数列，、是方程的根（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．三、填空题 50．求和____________. (用数字作答) {}n a 12,a =()1122n n n a a n N +*+-=∈2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a {}n b 122n n b b nb a +++= 1(1)2n n n b n-+={}n a n S 13a =1(,)n n S S +11()n y x n n N n*+=++∈n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a {}n b 2n a n n b a =g{}n b n n T {}n a {}()*0,n n b b n N ≠∈112a b =112n n n n na b b a b ++⋅=+n n na cb ={}nc {}n c 13n n b =12332n a a a a ++++< {}n a 2a 4a 212320x x -+={}n a {}3n n a ⋅n nT 238135152222++++=本套《MST突破140精培》系列专题共39讲word版（学生版及教师版）见QQ群：高考高中资料无水印无广告word群559164877；新高考资料全科总群732599440；高考数学高中数学探究群562298495数学-《MST突破140精培》系列专题39之01 圆锥曲线中的弦长问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之02 圆锥曲线中的面积问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之03 圆锥曲线中的中点弦问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之04 圆锥曲线中的范围问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之05 圆锥曲线中的定点问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之06 圆锥曲线中的定值问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之07 圆锥曲线中的向量共线问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之08 公式法求等差等比数列和(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之09 数列求和方法之裂项相消法(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之10 数列求和方法之错位相减法(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之11 数列求和方法之分组并项求和法(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之12 数列求和方法之倒序相加法(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之13 利用导数证明或求函数的单调区间(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之14 分类讨论证明或求函数的单调区间(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之15 已知函数的单调区间求参数的范围(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之16 构造函数用函数单调性判断函数值的大小(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之17 利用导数求函数的极值(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之18 利用函数的极值求参数值(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之19 利用导数求函数的最值(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之20 利用导数解决函数的极值点问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之21 利用导数解决函数的恒成立问题(学生版及教师版)共39732599440562298495数学-《MST突破140精培》系列专题39之22 导数解决函数零点交点和方程根的问题(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之23 利用导数证明不等式(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之24 利用导数解决双变量问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之25 参变分离法解决导数问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之26 构造函数法解决导数问题(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之27 向量法求空间角(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之28 体积法求点面距离(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之29 定义法或几何法求空间角(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之30 根据步骤列出离散型随机变量的分布列(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之31 利用均值和方差的性质求解新的均值和方差(学生版教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之32 利用均值和方差解决风险评估和决策型问题(学生版教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之33 利用条件概率公式求解条件概率(学生版及教师版)数学-《MST突破140精培》系列专题39之34 利用二项分布概率公式求二项分布的分布列(学生版教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之35 利用二项分布期望方差公式求解期望方差(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之36 利用正态分布的对称性求概率或参数值(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之37 利用正态分布三段区间的概率值估计人数(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之38 利用正态分布三段区间的概率值求概率(学生版及教师版) 数学-《MST突破140精培》系列专题39之39 利用项的系数求参数(学生版及教师版)共39732599440562298495。

春-四年级-第10讲-等差数列(三)(学生版)

等差数列（三）知识纵横求和公式：和=（首项+末项）×项数÷2等差数列中项定理：对于任意一个项数为奇数的等差数列，和=中间项×项数。

项数公式：项数=（末项-首项）÷公差+1公差公式：公差=（末项-首项）÷（项数-1）末项公式：末项=首项+（项数-1）×公差例 1编号为 1~7 的七个盒子中共放有 91 个珠子，已知从 2 号盒子开始，每个盒子都比前一号盒子多放同样数量的珠子。

如果 1 号盒子放 4 个珠子，那么后面的盒子比它前一号盒子多放几个珠子？试一试 1小杜读一本故事书，共 153 页。

第一天读了 5 页，九天刚好把书读完，已知每天读的页数恰好构成一个等差数列。

那么小杜第二天比第一天多读几页？例 2木木练习口算，她将从 1 开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是 444，但她重复计算了其中一个数。

那么木木重复计算了哪个数？试一试 2乐乐将从 1 开始的连续自然数求和，当计算到某个数时，和是 220，但他少计算了其中的一个数。

乐乐少计算的那个数是多少？例 3图 1 是一个水平摆放的小正方体木块，图 2、图 3 是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律叠放下去，第 17 个叠放的图形一共有多少个木块？试一试 3电影院一共有13 排座位，第 1 排有42 个座位，以后每排比前一排多一定数量的座位，第6 排有62 个座位，那么这个电影院共有多少个座位？例 4有 15 个数构成等差数列，从小到大排成一行，中间的数是 13。

前 12 个数的和比后 3 个数的和多 45。

那么最后一个数是多少？试一试 4有 9 个数构成等差数列，从小到大排成一行，中间的数是 9。

前 6 个数的和比后 3 个数的和少 9。

那么第 9 个数是多少？小练习1、在一次考试中前 9 名同学的分数恰好构成了等差数列，排名第一的小红分数为 88 分，前 9 名同学的分数之和为 720 分，那么排名第一的同学比排名第二的同学多了多少分？2、小明进行加法珠算练习，用 1+2+3+4+……，当加到某个数时，和是 225。