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全国学科大联考高考考试试卷数学

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天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含答案)

天域全国名校协作体2024-2025学年高三上学期10月联考数学试题(含答案)

绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科　试题命题审题：石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学主办学校；石家庄市第二中学 厦门市双十中学 长沙市雅礼中学考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知向量．，若，则实数（ ）A ．B ．C ．11D ．43．已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，其图象无限接近直线但又不与该直线相交，则的解集为（）A ．B ．C ．D ．5．已知等差数列的前n 项和为，“”是“”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．已知抛物线的焦点为F ，过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于异于原点O 的A ，B 两点，若12i z =+1z=12i 55-12i 55+12i55--12i 55-+()1,2a = (),3b x =()a ab ⊥+ x =4-11-π()cos 2(0)12f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π()f x 5π24x =5π12x =π6x =π3x =||1()22x f x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1y =1()2f x >(,2)(2,)-∞-+∞ ()2,2-(,1)(1,)-∞-+∞ ()1,1-{}n a n S 20250a =()40494049,n n S S n n *-=<∈N 2:8C y x =在直线上存在点，使得四边形是平行四边形，则（ ）A ．3B ．4C ．5D ．67．某游乐场一段滑水道的示意图如下所示，A 点、B 点分别为这段滑道的起点和终点，它们在竖直方向的高度差为40．两点之间为滑水弯道，相应的曲线可近似看作某三次函数图像的一部分（该三次函数在A ，B 两点处取得极值），考虑安全性与趣味性，在滑道最陡处，滑板与水平面成的夹角，则A ，B 两点在水平方向的距离约为（）A ．B ．C ．D ．8．研究数据表明，某校高中生的数学成绩与物理成绩、物理成绩与化学成绩均有正相关关系．现从该校抽取某班50位同学的数学、物理、化学三科成绩作为样本，设数学、物理、化学成绩分别为变量x ，y ，z 若x ，y的样本相关系数为，y ，z 的样本相关系数为，则x 、z 的样本相关系数的最大值为（ ）附：相关系数A．B ．C ．D ．1二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则（）A ．估计该年级学生成绩的众数为75B ．C ．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85D ．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.5010．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P ，使得6x =()()6,0P t t >OAPB t =45︒30m 40m 60m 120m121345r =4865636564650.05a =:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则11．已知，，…，，为1，2，…，5，6的任意排列，设，．则（ ）A ．任意交换的顺序，不影响X 的取值B ．满足及的排列有20个C ．的概率为D ．的概率为非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，，则______．13．已知正三棱柱的体积与以的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为______．14．定义在上的函数满足：①；②；③，则______，______．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）在中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，的面积为S ，且（1）求角A ；（2）若为锐角三角形，且，求a 的取值范围．16．（15分）已知函数，（1）当时，求在上的最大值；（2）求的零点个数．2y x =2y x =±45QA QB ⋅=1x 2x 5x 6x {}{}{}123456min max ,,,max ,,X x x x x x x ={}{}{}123456max min ,,,min ,,Y x x x x x x =123,,x x x 123x x x <<456x x x <<4X =15X Y >9101sin()2αβ+=tan 5tan αβ=sin()αβ-=111ABC A B C -ABC △[]0,1()f x ()()11f x f x +-=1()32x f f x ⎛⎫=⎪⎝⎭()()12120)1(f x f x x x ≤≤<≤()1f =12025f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ABC △ABC △()22a b c +=+ABC △4b c +=ln ()ln 1xf x a x x=-+a ∈R 1a =()f x 1,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x17．（15分）如图，四棱锥中，，，，，平面平面，且平面，平面平面．（1）求四棱锥的体积；（2）设Q 为上一点，若，求二面角的大小．18．（17分）已知椭圆的右焦点为F ，点在C 上，且轴，过点M 且与椭圆C 有且只有一个公共点的直线与x 轴交于点P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）点R 是椭圆C 上异于M 的一点，且三角形的面积为24，求直线的方程；（3）过点P 的直线交椭圆C 于D ，E 两点（D 在E 的左侧），若N 为线段的中点，直线交直线于点Q ，T 为线段的中点，求线段的最大值．19．（17分）黎曼函数与数论中的素数分布定理和黎曼猜想密切相关．是这样定义的：记为复数s 的实部，当时，有，故对的研究具有重要意义．（1）已知对任意正整数n ，都存在唯一的整数和，使得，其中为奇数，为自然数，求；（2）试判断是否存在正整数k ，使得，并证明你的结论；（3）求证：．绝密★考试结束前2024-2025学年第一学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科参考答案1．B 2．B 3．B 4．A 5．C 6．B 7．C 8．BP ABCD -4AB PA ==2CD CB ==PD =60ABC ∠=︒PAB PCD l =l ∥ABCD PAD ⊥ABCD P ABCD -PC QA QB =Q AB C --22221(0):x y C a b a b +=>>81,3M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MF x ⊥MPR MR FP NE MF DF TQ ζ()s ζ()s ζ()Re s ()11()kk s n s n nψ*==∑∈N ()Re 1s >()lim ()k k s s ζψ→+∞=()k s ψ()s ζn a n b 2n bn n a =⨯n a n b 101()n n n a b =∑+()12024k ψ=332k ψ⎛⎫<⎪⎝⎭【答案】【解析】设，，，，，设与夹角为，与夹角为，则与夹角余弦值最大值为，此时x 与z 样本相关系数最大．由，，从而故选：B 9．ACD10．CD11．ABD11．【详解】对于A ，注意到当被确定后，的取值也被固定，因此满足条件的条件组数即满足条件的的组数，即从1，2，…，5，6中任选3个数的数目，即．注意到任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，任意交换的顺序，不影响X ，Y 的取值，A 正确，B 正确；因此不妨设及．注意到，整体交换和也不影响X ，Y 的取值，因此不妨设，即，将满足以上条件的排列列举如下：X Y X Y 12345634135246521243564313624552125346531452365212634553146235521342564215623442总情况数共10种，除第一种外均满足．因此，12．13．214．1，（第一空2分，第二空3分）14．【解析】()12,,,n X x x x =⋅⋅⋅ ()12,,,n Y y y y =⋅⋅⋅ ()12,,,n Z z z z =⋅⋅⋅12(),,,n X x x x x x x '=--⋅⋅⋅-12(),,,n Y y y y y y y '=--⋅⋅⋅-12(,,n Z z z z z z z '=--⋅⋅⋅-X ' Y ' αY ' Z 'βX ' Z 'cos()αβ-12cos 13α=4cos 5β=1245363cos()cos cos sin sin 13513565αβαβαβ-=+=⨯+⨯=123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 36C 20=123,,x x x 456,,x x x 123x x x <<456x x x <<123,,x x x 456,,x x x 14x x <4Y x ={}36min ,X x x =123,,x x x 456,,x x x 123,,x x x 456,,x x x X Y >19()11010P X Y >=-=3(4)10P X ==131128在①中，令，得，在②中，令，得，在①中，令，得，所以；在①中，令，得，令，则有，所以是奇函数，C 选项正确；在②中，令，得，由③知，在上非严格单调递增，又因为，所以均有．注意到，因此，于是15．【解析】（1），则，，或（舍）（2）由正弦定理得，即，且，，所以12x =1122f ⎛⎫= ⎪⎝⎭0x =()00f =0x =()()011f f +=()11f =12x t =+1111111222222f t f t f t f t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=⇒+-=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1122g x f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()()g x g x =--1122f x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭1x =111(1)322f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭()f x []0,1111322f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11,32x ⎡⎤∀∈⎢⎥⎣⎦1()2f x =6372911,2025202532⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦63120252f ⎛⎫= ⎪⎝⎭22211313113132025320252202523202522025f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯==⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭666131112202522128f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅==⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()22a b c +=+2221sin 22bc A b c a bc =+-+22212b c a A bc +-=+cos 1A A =+π2sin 16A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ππ66A ∴-=5π6π3A ∴=sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin a b c A B C+=+π3A =4b c +=因为为锐角三角形，，，所以，所以，即．可得，即a 的取值范围为．16．【解析】（1），，令，则单调递减，且从而，，单调递增；，，单调递减．（2）令，则由，令，则从而在上单调递减，在上单调递减．若，当时，，若，当时，；若，当时，，当时，．从而当时，与有一个交点时，与有两个交点故时，有一个零点；时有两个零点．17．【解析】（1）因为平面，平面，平面平面，所以．同理，．所以．因为，，，所以．所以底面的面积．在中，，，，所以，所以()sin 2πsin sin sin 6b c A a B CB +=====+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ABC △π02B <<2ππ032C B <=-<ππ62B <<ππ2π,633B ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭πsin 6B ⎤⎛⎫+∈⎥ ⎪⎝⎭⎦a ⎡∈⎢⎣a ⎡∈⎢⎣()ln ln 1x f x x x =-+()21ln x xf x x --'=()1lng x x x =--()g x ()10g =11ex <<()0g x >()f x e 1x >>()0g x <()f x ()()11f x f ≤=()ln ln 10x f x a x x =-+=ln 0x ≠11ln a x x =+()11ln h x x x =+()22110ln h x x x x'=--<()h x ()0,1(1,)+∞0x >0x →()h x →+∞1x <1x →()h x →-∞1x >1x →()h x →+∞x →+∞()0h x →0a ≤()h x y a =0a >()h x y a =(],0a ∈-∞()f x ,()0a ∈+∞()f x l ∥ABCD l ⊂PAB PAB ABCD AB =l AB ∥l CD ∥AB CD ∥4AB =2BC CD ==60ABC ∠=︒2AD =ABCD 1(24)2S =⨯+=PAD △4PA =2AD =PD =222PA AD PD =+PD AD⊥由平面平面，平面平面，，平面，所以平面．因为，所以．所以四棱锥的体积．（2）因为，，，所以，所以，，两两垂直，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．则，，，，．所以，设，所以，因为所以高解得．所以．因此，，设为平面的法向量，则，取，则，即．因为平面所以平面的法向量为PAD ⊥ABCD PAD ABCD AD =PD AD ⊥PD ⊂PAD PD ⊥ABCD 4PA =2AD =PD =P ABCD -11633V S AD ==⋅=⨯=2AD =BD =4AB =BD AD ⊥DB AD DP ()0,0,0D ()2,0,0A ()0,B ()C -(0,0,P (1,CP =(,,)CQ CP λλ==(),)Q λλ--QA QB=222222(3311211)()()(312)λλλλλλ-+-+=-+++12λ=12Q ⎛-⎝12QB ⎛= ⎝ 52AQ ⎛=- ⎝ (),,m x y z = PAQ 050x x ⎧+-=⎪⎨-+=⎪⎩1y =x =2z =)21,m =PD ⊥ABCD ABCD ()0,0,1n =设二面角为，则即二面角的大小为18．【解析】（1）由题意得，，从而，，椭圆C 方程为（2）设，与椭圆联立，得，由椭圆与直线只有一个交点，令，即①又过，则②联立①②可得即点P 为．设原点由，故，从而R 到l 的距离为O 到l 距离的2倍，即R 在l 关于O 对称的直线上，又R 在椭圆上，从而M ，R 关于O 对称故直线方程为（3）设，，，则，即①，又由可得②结合①②可得，，，，，，Q AB C --θcos m n m n θ⋅===Q AB C --45︒283b a =1c =29a =28b =∴22198x y +=:l x my n =+22198x y +=()22289168720m y mny n +++-=0∆=22890m n -+=:l x my n =+81,3⎛⎫⎪⎝⎭83l m n =+39m n =-⎧⎨=⎩()9,0()0,0O 1891223OPM S =⨯⨯=△2RPM OPM S S =△△MR 83y x =()11,D x y ()22,E x y DP PE λ=12129101x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩212199x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩()()22112222289728972x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩1212121289721111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅=+-+-254x λλ-+=()9,0P ()1,0F ()5,0N ()22,E x y则直线的方程为，轴，直线与交于Q ，则，故，故轴，从而．19．【解析】（1）由，，，，，'，，，，知（2）证明：设，为奇数，为自然数，设，设，，则．否则，当时，，与r 的定义矛盾，故，则，其中为奇数，时为偶数，从而分子为奇数，分母为偶数，分式不可能为2024，故不存在这样的k ．（3）证明：对任意正整数n ，当时，，又，故，NE ()22055y y x x -=--MF x ⊥NE MF 1Q x =221245Q y y y yx λ==-=-DQ y ⊥()11222TQ DF a c =≤+=0112=⨯0332=⨯0552=⨯0772=⨯0992=⨯1212=⨯1632=⨯11052=⨯2412=⨯3812=⨯101()44n n n a b =∑+=2n bn n a =⨯n a n b {}max n r b =1,2,,n k=⋅⋅⋅{}max ,n j n b r n k ==≤2j bj j a =⨯1j a =3j a ≥122j j b b j a j +<⨯=2j bj =111111111123232j b j k k +++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+12122jj nb nc c c c a a a ++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅j c i j ≠i c 2n ≥()()321121231022n n n n n n n ⎛⎫-++=--> ⎪⎝⎭()121112n n n <⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()112222111111222n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++>=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212112n n n <==⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2<331222*********k k k k n n n n ψ===⎛⎫=∑=+∑<+∑=+-< ⎪⎝⎭。

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅰ卷)含解析

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷(新课标Ⅰ卷)含解析

2024年普通高等学校招生全国统一考试数学真题试卷（新课标Ⅰ卷）1.已知集合，，则( ).{}355A x x =-<<∣{3,1,0,2,3}B =--A B = A. B. C. D.{1,0}-{2,3}{3,1,0}--{1,0,2}-2.若，则( ).1i 1zz =+-z =A. B. C. D.1i--1i-+1i-1i+3.已知向量，，若，则( ).(0,1)a =(2,)b x = (4)b b a ⊥- x =A.-2B.-1C.1D.24.已知，，则( ).cos()m αβ+=tan tan 2αβ=cos()αβ-=A. B. C.D.3m-3m -3m 3m5.，则圆锥的体积为( ).A. B. C. D.6.已知函数在R 上单调递增，则a 的取值范围是( ).22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩A. B. C. D.(,0]-∞[1,0]-[1,1]-[0,)+∞7.当时，曲线与的交点个数为( ).[0,2π]x ∈sin y x =π2sin 36y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭A.3B.4C.6D.88.已知函数的定义域为R ，，且当时，，则下列()f x ()(1)(2)f x f x f x >-+-3x <()f x x =结论中一定正确的是( ).A. B. C. D.(10)100f >(20)1000f >(10)1000f <(20)10000f <9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入X 服从正态分布2.1X =20.01S =，假设失去出口后的亩收入Y 服从正态分布，则( ).（若随机变量Z 服从()21.8,0.1N ()2,N X S 正态分布，则）()2,N μσ()0.8413P Z μμ<+≈A. B. C. D.(2)0.2P X >>()0.5P X Z ><()0.5P Y Z >>()0.8P Y Z ><10.设函数，则( ).2()(1)(4)f x x x =--A.是的极小值点B.当时，3x =()f x 01x <<()2()f x f x <C.当时， D.当时，12x <<4(21)0f x -<-<110x -<<(2)()f x f x ->11.造型可以看作图中的曲线C 的一部分，已知C 过坐标原点O ，且C 上的点满足横坐标大于-2，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则( ).(2,0)F (0)x a a =<A.2a =-B.点在C上C.C 在第一象限的点的纵坐标的最大值为1D.当点在C 上时，()00,x y 0042y x ≤+12.设双曲线的左右焦点分別为，，过作平行于y 轴的直线交2222:1x y C a b-=0a >0b >1F 2F 2F C 于A ，B 两点，若，，则C 的离心率为_________.113F A =||10AB =13.若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则_________.e xy x =+(0,1)ln(1)y x a =++a =14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片分别标有数字1，3，5，7，乙的卡片上分别标有数字2，4，6，8，两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两个各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片的数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛比赛后，甲的总得分小于2的概率为_________.15.记的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，ABC △sin C B =.222a b c +-=（1）求B ；（2）若的面积为，求c .ABC △3+16.已知和为椭圆上两点.(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭2222:1(0)x y C a b a b +=>>（1）求C 的率心率；（2）若过P 的直线l 交C 于另一点B ，且的面积为9，求l 的方程.ABP △17.如图，四棱锥中，底面，，，.P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA PC ==1BC =AB =（1）若，证明：平面PBC ；AD PB ⊥//AD（2）若，且二面角，求AD .AD DC ⊥A CP D --18.已知函数.3()ln(1)2xf x ax b x x=++--（1）若，且，求a 的最小值；0b =()0f x '≥（2）证明：曲线是中心对称图形；()y f x =（3）若，当且仅当，求b 的取值范围.()2f x >-12x <<19.设m 为正整数，数列，，…，是公差不为0的等差数列，若从中删去两项和1a 2a 42m a +i a 后剩余的4m 项可被平均分为m 组，且每组的4个数都能构成等差数列，则称数列，()j a i j <1a ，…，是——可分数列.2a 42m a +(,)i j （1）写出所有的，，使数列，，…，是——可分数列；(,)i j 16i j ≤<≤1a 2a 6a (,)i j （2）当时，证明：数列，，…，足——可分数列；3m ≥1a 2a 42m a +(2,13)（3）从1，2，…，中一次任取两个数i 和，记数列，，…，足—42m +()j i j <1a 2a 42m a +(,)i j —可分数列的概率为，证明.m P 18m P >答案1.A解析：，选A.{1,0}A B =- 2.C 解析：3.D解析：，，，，，选D.4(2,4)b a x -=-(4)b b a ⊥-(4)0b b a ∴-=4(4)0x x ∴+-=2x ∴=4.A解析：，，cos cos sin sin sin sin 2cos cos mαβαβαβαβ-=⎧⎪⎨=⎪⎩sin sin 2cos cos m m αβαβ=-⎧∴⎨=-⎩，选A.cos()cos cos sin sin 23m m m αβαβαβ-=+=--=-5.B解析：设它们底面半径为r ，圆锥母线l ，，，，2ππrl ∴=l ∴==3r ∴=，选B.1π93V =⋅⋅=6.B解析：在R 上↗，，，选B.()f x 0e ln1a a -≥⎧⎨-≤+⎩10a ∴-≤≤7.C解析：6个交点，选C.8.B解析：，，，，(1)1f =(2)2f =(3)(2)(1)3f f f >+=(4)(3)(2)5f f f >+>，，，(5)(4)(3)8f f f >+>(6)(5)(4)13f f f >+>(7)(6)(5)21f f f >+>，，，(8)(7)(6)34f f f >+>(9)(8)(7)55f f f >+>(10)(9)(8)89f f f >+>，，，(11)(10)(9)144f f f >+>(12)(11)(10)233f f f >+>(13)(12)(11)377f f f >+>，，，(14)(13)(12)610f f f >+>(15)(14)(13)987f f f >+>(16)1000f >(20)1000f ∴>，选B.9.BC解析：，，，()2~ 1.8,0.1X N ()2~ 2.1,0.1Y N 2 1.820.12μσ=+⨯=+，A 错.(2)(2)()10.84130.1587P X P X P X μσμσ>=>+<>+=-=，B 对.(2)( 1.8)0.5P X P X ><>=，，C 对.2 2.10.1μσ=-=-(2)( 2.1)0.5P Y P Y >>>=，D 错，所以选BC.(2)()()0.84130.8P Y P Y P Y μσμσ>=>-=<+=>10.ACD解析：A 对，因为；()3(1)(3)f x x x '=--B 错，因为当时且，所以；01x <<()0f x '>201x x <<<()2()f x f x <C 对，因为，，2(21)4(1)(25)0f x x x -=--<2(21)44(2)(21)0f x x x -+=-->，时，2223(2)()(1)(2)(1)(4)(1)(22)2(1)f x f x x x x x x x x --=------=--+=--11x -<<，，D 对.(2)()0f x f x -->(2)()f x f x ->11.ABD解析：A 对，因为O 在曲线上，所以O 到的距离为，而，x a =a -2OF =所以有，那么曲线的方程为.242a a -⋅=⇒=-(4x +=B 对，因为代入知满足方程；C 错，因为，求导得，那么有2224(2)()2y x f x x ⎛⎫=--= ⎪+⎝⎭332()2(2)(2)f x x x '=---+，，于是在的左侧必存在一小区间上满足，因此(2)1f =1(2)02f '=-<2x =(2,2)ε-()1f x >最大值一定大于1；D 对，因为.()22220000004442222y x y x x x ⎛⎫⎛⎫=--≤⇒≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭12.32解析：由知，即，而，所以，即||10AB =25F A =2225b c a a a-==121F F F A ⊥1212F F =，代回去解得，所以.6c =4a =32e =13.ln 2解析：14.12解析：甲出1一定输，所以最多3分，要得3分，就只有一种组合、、、18-32-54-76-得2分有三类，分别列举如下：（1）出3和出5的赢，其余输：，，，16-32-54-78-（2）出3和出7的赢，其余输：，，，；，，，，14-32-58-76-18-32-56-74-，，，16-32-58-74-（3）出5和出7的赢，其余输：，，，；，，，；12-38-54-76-14-38-52-76-，，，；，，，；，，，；18-34-52-76-16-38-52-74-18-36-52-74-16-，，，；，，，38-54-72-18-36-54-72-共12种组合满足要求，而所有组合为24，所以甲得分不小于2的概率为1215.（1）π3B =（2）c =解析：（1）已知，根据余弦定理，222a b c +-=222cos 2a b c C ab+-=可得.cos C ==因为，所以.(0,π)C ∈π4C =又因为，即，解得.sin C B =πsin4B =B =1cos 2B =因为，所以.(0,π)B ∈π3B =（2）由（1）知，，则.π3B=π4C =ππ5πππ3412A B C =--=--=已知的面积为，ABC △31sin 2ABCS ab C =△则，.1πsin 324ab =132ab =+2(3ab =+又由正弦定理，可得.sin sin sin a b c A B C ==sin sin sin sin a C b Cc A B==则，，同理.π5πsin sin412c a =5πsin12πsin 4c a=πsin 3πsin 4c b =所以2225ππsin sin 421232(3π1sin42c c ab ⎝⎭===+解得c =16.（1）12（2）见解析解析：（1）将、代入椭圆，则(0,3)A 33,2P ⎛⎫⎪⎝⎭22220919941a b a b⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩22129a b ⎧=⎨=⎩.c=12ce a ∴===（2）①当L 的斜率不存在时，，，，A 到PB 距离，:3L x =33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭3PB =3d =此时不满足条件.1933922ABP S =⨯⨯=≠△②当L 的斜率存在时，设，令、，3:(3)2PB y k x -=-()11,P x y ()22,B x y ，消y 可得223(3)21129y k x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()22224324123636270k x k k x k k +--+--=，2122212224124336362743k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩PB =17.（1）证明见解析（2）AD =解析：（1）面，平面，PA ⊥ABCD AD ⊂ABCD PA AD∴⊥又，，平面PABAD PB ⊥ PB PA P = ,PB PA ⊂面，平面，AD ∴⊥PAB AB ∴⊂PAB AD AB∴⊥中，，ABC △222AB BC AC +=AB BC∴⊥，B ，C ，D 四点共面，A //AD BC∴又平面，平面PBCBC ⊂ PBC AD ⊄平面PBC .//AD ∴（2）以DA ，DC 为x ，y 轴过D 作与平面ABCD 垂直的线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系D xyz-令，则，，，，AD t =(,0,0)A t (,0,2)P t (0,0,0)D DC =()C 设平面ACP 的法向量()1111,,n x y z =不妨设，，1x =1y t =10z =)1,0n t =设平面CPD 的法向量为()2222,,n x y z =不妨设，则，，2200n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩222200tx z +=⎧∴=2z t =22x =-20y =2(2,0,)n t =- 二面角A CP D --121212cos ,n n n n n n ⋅===.t ∴=AD ∴=18.（1）-2（2）证明见解析（3）23b ≥-解析：（1）时，，对恒成立0b =()ln2x f x ax x =+-11()02f x a x x '=++≥-02x ∀<<而，11222(2)a a a x x x x ++=+≥+--当且仅当时取“=”，1x =故只需，即a 的最小值为-2.202a a +≥⇒≥-（2）方法一：，(0,2)x ∈(2)()f x f x -+332ln (2)(1)ln (1)22x x a x b x ax b x a x x-=+-+-+++-=-关于中心对称.()f x ∴(1,)a 方法二：将向左平移一个单位关于中心对称平移()f x 31(1)ln(1)1x f x a x bx x+⇒+=+++-(0,)a 回去关于中心对称.()f x ⇒(1,)a （3）当且仅当，()2f x >- 12x <<(1)22f a ∴=-⇒=-对恒成立3()ln 2(1)22x f x x b x x∴=-+->--12x ∀<<222112(1)2()23(1)3(1)(1)32(2)(2)x f x b x b x x b x x x x x x ⎡⎤-'=+-+-=+-=-+⎢⎥---⎣⎦令，必有（必要性）2()3(2)g x b x x =+-∴2(1)2303g b b =+≥⇒≥-当时，对，23b ≥-(1,2)x ∀∈32()ln 2(1)()23x f x x x h x x ≥---=-2222(1)1()2(1)2(1)10(2)(2)x h x x x x x x x ⎡⎤-'=--=-->⎢⎥--⎣⎦对恒成立，符合条件，(1,2)x ∀∈()(1)2h x h ∴>=-综上.23b ≥-19.（1），，(1,2)(1,6)(5,6)（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）以下满足：，，(,)i j (1,2)(1,6)(5,6)（2）易知：，，，等差等差p a q a r a s a ,,,p q r s ⇔故只需证明：1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，14可分分组为，，即可(1,4,7,10)(3,6,9,12)(5,8,11,14)其余，，按连续4个为一组即可k a 1542k m ≤≤+（3）由第（2）问易发现：，，…，是可分的是可分的.1a 2a 42m a +(,)i j 1,2,42m ⇔+ (,)i j 易知：1，2，…，是可分的42m +(41,42)k r ++(0)k r m ≤≤≤因为可分为，…，与(1,2,3,4)(43,42,41,4)k k k k ---，…，(4(1)1,4(1),4(1)1,4(1)2)r r r r +-+++++(41,4,41,42)m m m m -++此时共种211C (1)(1)(2)2m m m m +++=++再证：1，2，…，是可分的42m +(42,41)k r ++(0)k r m ≤<≤易知与是可分的1~4k 42~42r m ++只需考虑，，，…，，，41k +43k +44k +41r -4r 42r +记，只需证：1，3，5，…，，，可分*N p r k =-∈41p -4p 42p +去掉2与1~42p +41p +观察：时，1，3，4，6无法做到；1p =时，1，3，4，5，6，7，8，10，可以做到；2p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，143p =时，1，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16，184p =，，，满足(1,5,9,13)(3,7,11,15)(4,8,12,16)(6,10,14,18)故，可划分为：2p ∀≥，，，(1,1,21,31)p p p +++(3,3,23,33)p p p +++(4,4,24,34)p p p +++，…，，，共p 组(5,5,25,35)p p p +++(,2,3,4)p p p p (2,22,32,42)p p p p ++++事实上，就是，，且把2换成(,,2,3)i p i p i p i +++1,2,3,,i p = 42p +此时，均可行，共组(,)k k p +2p ≥211C (1)2m m m m +-=-，，…，不可行(0,1)(1,2)(1,)m m -综上，可行的与至少组(42,41)k r ++(41,42)k r ++11(1)(1)(2)22m m m m -+++故，得证！()222224212221112C (21)(41)8618m m m m m m m m P m m m m +++++++≥==>++++。

2025届高三10月大联考试题(新高考卷)数学含答案

2025届高三10月大联考试题(新高考卷)数学含答案

2025届高三10月大联考（新课标卷）数学（答案在最后）本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.423.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5- B.5C.52-D.525.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10B.20C.10- D.20-7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π68.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.14.已知不等式()2e2ln e 21x axx xx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.82817.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BC b ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a =，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .2025届高三10月大联考（新课标卷）数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合1|1A x y x ⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，{|1B x x =≤-或}1x >，则A B = （）A.(](),11,∞∞--⋃+B.C.()(),11,∞∞-⋃+ D.∅【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求集合A ，进而根据并集运算求解.【详解】由题意可知：{}1||11A x y x x x ⎧⎫===≠⎨⎬-⎩⎭，且{|1B x x =≤-或}1x >，所以A B = ()(),11,∞∞-⋃+.故选：C.2.数据25，30，32，35，37，39，40，42，43，44的上四分位数为（）A.30B.32C.40D.42【答案】D 【解析】【分析】从小到大排序后，位于75%位置的数值.计算步骤为先确定位置，再根据位置情况确定上四分位数的值.【详解】10n =，计算75%位置的序号100.757.5i =⨯=.由于7.5i =不是整数，向上取整为8，所以上四分位数是第8个数，即42.故选：D.3.已知a ，b 为非零向量，1a b ⋅= ，()3,4b = ，则a 在b上的投影向量为（）A.15br B.125b C.bD.1125b 【答案】B 【解析】【分析】由模长的坐标表示可得b，再结合投影向量的定义分析求解.【详解】由题意可得：5b == ，所以a 在b上的投影向量为2125a b b b b ⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭r rr r r .故选：B.4.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若22a =，7434S a =+，则10S =（）A.5-B.5C.52-D.52【答案】D 【解析】【分析】根据等差数列性质可得41a =，结合等差数列通项公式列式求1,a d ，代入等差数列求和公式即可.【详解】设等差数列的公差为d ，因为744734S a a ==+，可得41a =，且22a =，则4121312a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得15212a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以10510915102222S ⨯⎛⎫=⨯+-= ⎪⎝⎭.故选：D.5.函数()()23ππsin cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x f x x x x x⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+--+图象的对称中心为（）A.π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z B.π,02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z C.()π,0k ，k ∈Z D.()2π,0k ，k ∈Z【答案】A 【解析】【分析】由三角恒等变换化简再结合正切函数的对称中心可得答案；【详解】()()()23ππ1sin cos sin 2cos sin 1222tan 21sin 21sin 2cos 2cos 22sin cos 1sin 2cos 2x x x x x f x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪-⨯-⎝⎭⎝⎭====+--++--+，令π2,Z 2k x k =∈，则π,4k x k Z =∈，所以对称中心为π,04k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ，故选：A.6.()5121x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中2x 项的系数为（）A.10 B.20C.10- D.20-【答案】B 【解析】【分析】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，结合二项展开式的通项公式运算求解.【详解】因为()555111212x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式为()5521551C 1C ,0,1,2,3,4,5rr r r rr r T x x r x --+⎛⎫=⋅⋅-=-⋅= ⎪⎝⎭，令521r -=，解得2r =，可得()22351C 10T x x =-⋅=；令522r -=，解得32r =∉Z ，不合题意；所以2x 项的系数为21020⨯=.故选：B.7.榫卯结构是中国古代建筑文化的瑰宝，通过将连接部分紧密拼接，使整个结构能够承受较大的重量，并具有优异的抗震能力.其中，木楔子的运用极大地增加了榫卯连接的牢固性.木楔子是一种简单的机械工具，用于填充器物的空隙，使其更加稳固.如图为一个木楔子的直观图，其中四边形ABCD 是正方形，//EF AB ，且ADE V ，BCF V 均为正三角形，28EF AB ==，则ED 与BF 所成角的大小为（）A.π2B.π3C.π4D.π6【答案】A 【解析】【分析】作出图形，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，可求出AGC ∠为异面直线ED 与BF 所成的角，再由勾股定理计算即可；【详解】如图，取EF 的中点G ，连接,,AG CG AC ，因为//EF AB ，28EF AB ==，所以四边形ABFG 为平行四边形，所以//BF AG ，同理可得//ED CG ，所以AGC ∠为异面直线ED 与BF所成的角或其补角，AC =4AG CG ==，即222AC AG CG =+，所以π2AGC ∠=，即ED 与BF 所成角的大小为π2，故选：A.公众号：高中试卷君8.已知函数()f x 满足()()2sin tan f x f x x x --=+，若函数()y f x =在[]3π,5π-上的零点为1x ，2x ，…，n x ，则1ni i x ==∑（）A.8πB.9πC.16πD.17π【答案】B 【解析】【分析】先利用方程组法求出()f x 的解析式，结合()f x 的奇偶性将[]3π,5π-上的零点和转化为(]3π,5π上的零点和问题，令()0f x =，转化为sin tan x x =-，结合正弦和正切函数的图象性质得到结果.【详解】由()()2sin tan f x f x x x --=+，可得()()()()2sin tan sin tan f x f x x x x x --=-+-=--，解得()()1sin tan 3f x x x =+，易知()f x 为奇函数，故()f x 的图象关于原点对称，则函数=在[]3π,3π-上的图象关于原点对称，故函数=在[]3π,3π-上的零点也关于原点对称，和为0，在(]3π,5π上的零点和即为[]3π,5π-上的零点和，令()0f x =，得sin tan 0x x +=，sin tan x x =-，(]3π,5πx ∈，作出sin y x =和tan y x =-在同一坐标系中的图象，可知=在(]3π,5π内的零点有4π和5π两个，故14π5π9πni i x ==+=∑.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设1z ，2z 为复数，则下列说法中正确的有（）A.若1i z a b =+，2i z c d =+，其中a ，b ，c ，d ∈R ，且a c >，b d >，则12z z >B.若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2m =C.若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则5p q +=-D.若112i z =-+，234i z =+，则复数12z z -在复平面内对应的点位于第三象限【答案】BD 【解析】【分析】对于A ：根据复数不能比较大小即可判断；对于B ：根据纯虚数的概念列式求解；对于C ：可知另一个虚根为2i 1--，利用韦达定理运算求解；对于D ：可得1242i z z =---，结合复数的几何意义分析判断.【详解】对于选项A ：因为b d >，可知1z ，2z 不可能均为实数，故不能比较大小，故A 错误；对于选项B ：若()22321i m m m -++-（m ∈R ）为纯虚数，则2232010m m m ⎧-+=⎨-≠⎩，解得2m =，故B 正确；对于选项C ：若关于x 的方程20x px q ++=，p ，q ∈R 的一个虚根为2i 1-，则另一个虚根为2i 1--，可得()()()()2i 12i 122i 12i 15p q ⎧-=-+--=-⎪⎨=---=⎪⎩，所以7p q +=，故C 错误；对于选项D ：若112i z =-+，234i z =+，则1242i z z =---，复数12z z -在复平面内对应的点为()4,2--，位于第三象限，故D 正确；故选：BD.10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与C 交于,A B 两点，设1,1，2,2，AB 的中点为()00,M x y ，则下列说法中正确的有（）A.若直线l 过焦点F ，则024AB x =+B.若直线l 过焦点F ，则·AF BF 的最小值为4C.若直线AB 的斜率存在，则其斜率与0x 无关，与0y 有关D.若O 为坐标原点，直线l 的方程为()4y k x =-，则OA OB ⊥【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件，结合抛物线的定义判断A ；对于B ：设直线:1l x my =+，根据抛物线的定义结合韦达定理可得12y y +，12y y ，故244AF BF m =+，求其最值可得结论；对于C ：利用点差法分析判断；对于D ：利用韦达定理可得1216x x =，结合方程可得1216y y =-，再根据向量垂直分析判断.【详解】由题意可知：1,0，且12012022x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，直线l 的斜率可以不存在，但不为0.对于A ，因为()()()1212011222AB AF BF x x x x x =+=+++=++=+，故A 错误；对于选项B ：若直线l 过焦点F ，设直线:1l x my =+，联立方程=B +12=4，消去x 可得2440y mx --=，则216160m ∆=+>，可得12124,4y y m y y +==-，所以()()()()()212121212112224AF BF x x my my m y y m y y =++=++=+++222484444m m m =-++=+≥，当且仅当0m =时，等号成立，所以AF BF 的最小值为4，故B 正确；对于选项C ：因为1,1，2,2在抛物线C 上，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得()()()22121212124y y y y y y x x -=+-=-，若直线AB 的斜率存在，则121212042AB y y k x x y y y -===-+，所以直线AB 的斜率与0x 无关，与0y 有关，故C 正确；对于选项D ：联立方程()244y k x y x⎧=-⎨=⎩，消去y 可得()222284160k x k x k -++=，可得()2242Δ846464160k k k =+-=+>，且1216x x =，由选项C 可知：22121216256y y x x ==，且120y y <，可得1216y y =-，则12120OA OB x x y y ⋅=+=，所以OA OB ⊥，故D 正确；故选：BCD.11.已知函数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，其导函数为′，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，则（）A.()00f = B.′为奇函数C.π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期D.2024ππ202482i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：利用赋值法令0x y ==，代入运算即可；对于B ：令y x =-，可得()()f x f x =--，进而可得()()f x f x '='-，即可判断；对于C ：令π2y =，可得()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，结合周期性分析判断；对于D ：根据周期性运算求解即可.【详解】因为()()()()()()f x y f x f y f x y f x f y +-+=+，π02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，π18f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，对于选项A ：令0x y ==，可得()()()30020f f f -=，即()()20010f f ⎡⎤+=⎣⎦，显然()2010f+≠，所以()00f =，故A 正确；对于选项B ：因为数()f x 的定义域为ππ,42k x x k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，令y x =-，可得()()()()()()00f f x f x f f x f x --=+-，即()()f x f x =--，可得()()f x f x '='-，且()f x 不为常函数，′不恒为0，所以′为偶函数，故B 错误；对于选项C ：令π2y =，可得()()ππππ2222f x f x f f x f x f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()π2f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，可知π2为()f x 的一个周期，所以π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，故C 正确；对于D ：因为π2n （*n ∈N ）是函数()f x 的周期，则*πππ1,828n f f n ⎛⎫⎛⎫+==∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭N ，所以2024ππ202582i i f =⎛⎫+= ⎪⎝⎭∑，故D 错误；故选：AC.【点睛】关键点点睛：对于抽象函数的研究，常常利用赋值法，结合题设条件合理赋值是解题的关键，对于本题关键赋值有：令0x y ==，y x =-和π2y =.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若定义在R 上的函数()f x 满足()21f =，且()()22lim12x f x f x →-=-，则曲线()y f x =在点()()22f ,处的切线方程为_____.【答案】1y x =-【解析】【分析】根据导数的定义，得到切线斜率，运用点斜式计算即可.【详解】2()(2)lim12x f x f x →-=-，所以(2)1f k '==.且(2)1f =，曲线()y f x =在点00(,)x y 处的切线方程为00()y y k x x -=-.已知02x =，0(2)1y f ==.将这些值代入切线方程公式，得到11(2)y x -=⨯-.化简这个方程，得到1y x =-.故答案为:1y x =-.13.已知椭圆22221y x a b +=（0a b >>）的长轴长为4，离心率为2.若A ，B 分别是椭圆的上、下顶点，1F ，2F 分别为椭圆的上、下焦点，P 为椭圆上任意一点，且12PA PB ⋅=- ，则12PF F 的面积为_____.【答案】2【解析】【分析】先根据长轴及离心率列式求出s s 得出椭圆方程，再设点应用数量积得出点P 的坐标，最后计算面积即可.【详解】因为222242a ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,所以2,1,a b c ===,所以椭圆方程为2214y x +=,设()00,P x y ,椭圆的上、下顶点()()0,2,0,2A B -,所以()()0000,2,,2,PA x y PB x y =--=--- 且220014y x +=，所以222200001·44442PA PB x y x x =+-=+--=- ，所以2016x =，即得1212011662222662PF F S F F x c =⨯=⨯⨯==.故答案为：2.14.已知不等式()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<恒成立，则实数a 的取值范围为_____.【答案】()0,∞+【解析】【分析】根据题意整理可得()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，构建()e 2,0x f x x x =+>，结合单调性可得2ln x x x ax +<+，参变分离可得ln 1xx a x-+<，再构建()ln 1x g x x x =-+，利用导数求最值即可.【详解】因为()2e 2ln e 21xaxxxx a x+-+--<，且0x >，则22e 222e 2ln x x axx x x ax x ++--<-，整理可得()()2ln 2e2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，令()e 2,0xf x x x =+>，则()()2ln 2e2ln e2x xx axx x x ax ++++<++，即为()()2ln f x x f x ax +<+，因为e ,2x y y x ==在0,+∞内均为增函数，则()f x 在0,+∞内为增函数，可得2ln x x x ax +<+恒成立，即ln 1xx a x-+<恒成立，令()ln 1x g x x x =-+，则()2221ln ln 11x x x g x x x-+-=-+=-'，令()2ln 1,0h x x x x =+->，因为2,ln 1y x y x ==-在0,+∞内均为增函数，则ℎ在0,+∞内为增函数，且ℎ1=0，当01x <<时，则ℎ<0，即()0g x '>；当1x >时，则ℎ>0，即()0g x '<；可知()g x 在0,1内单调递增，在1,+∞内单调递减，则()()10g x g ≤=，可得0a >，所以实数a 的取值范围为0,+∞.故答案为：0,+∞.【点睛】关键点点睛：对原式同构可得()()2ln 2e 2ln e 2x xxaxx x x ax ++++<++，构建函数结合单调性分析可得ln 1xx a x-+<恒成立.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且1a =，2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭.（1）求B ；（2）若D 是边AC 上一点，且2DC AD =，3BD =，求b .【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）先由正弦定理化简得出2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭再结合两角和正弦公式化简得出2π1cos 32B ⎛⎫-=⎪⎝⎭计算得角即可；（2）先根据边长关系得出向量关系1233BD BC BA =+，再应用向量数量积运算解得2c =，最后余弦定理计算得b .【小问1详解】因为2πcos cos 2cos 3b A a B c B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，由正弦定理得2πsin cos sin cos 2sin cos 3B A A B C B ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，()2πsin sin 2sin cos ,sin 03C B A C B C ⎛⎫=+=-> ⎪⎝⎭，所以()2π1cos ,0,π32B B ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭,所以2ππ33B -=，可得π3B =【小问2详解】因为2DC AD =，所以2DC AD = ，所以1233BD BC BA =+ ，即得32BD BC BA =+，左右两侧平方得222944BD BC BA BC BA =++⋅，又因为π,13B a ==，所以21211442BA BA =++⨯ ，所以22100c c +-=，()()2250c c -+=，解得2c =，由余弦定理得214121232b =+-⨯⨯⨯=，所以b =16.为提高学生的身体素质，某校决定开展一次学生自愿报名参加的体能训练活动.已知该校学生人数为m ，参加体能训练活动的男生人数为13m ，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，参加体能训练活动的女生人数为14m .（1）若该校有1200名学生，根据题意完成如图所示的22⨯列联表，并依据小概率值0.1α=的2χ独立性检验，分析学生参加体能训练活动的意愿与性别是否有关联；参加不参加合计男生女生（2）按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，再从这14人中随机抽取2人，设这2人中参加体能训练活动的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.参考公式：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.α0.10.050.010.001x α2.7063.8416.63510.828公众号：高中试卷君【答案】（1）答案见解析；（2）分布列见解析；数学期望()87E X =【解析】【分析】（1）根据已知数据补全列联表，再由卡方公式计算，由独立性检验得到结论；（2）先由分层抽样确定人数，再计算概率，列出分布列，由期望公式计算即可；【小问1详解】参加体能训练活动的男生人数为13m ，即112004003⨯=人，不参加体能训练活动的男生人数为14m ，即112003004⨯=人，参加体能训练活动的女生人数为14m ，即112003004⨯=人，所以参加不参加合计男生400300700女生300200500()2212004002003003000.980 2.706700500700500x αχ⨯-⨯=≈<=⨯⨯⨯，所以根据小概率0.1α=的独立性检验，没有证据说明学生参加体能训练活动的意愿与性别有关联，【小问2详解】按是否参加体能训练活动，采用按比例分配的分层随机抽样方法从该校男生中抽取14人，则抽取参加体能训练人数为8人，不参加的为6人，由题意可得X 的可能取值为0,1,2()26214C 150C 91P X ===，()1186214C C 481C 91P X ===，()28214C 42C 13P X ===，所以X 的分布列为：X012P15914891413，期望为()1548480129191137E X =⨯+⨯+⨯=，17.如图，在正三棱锥P ABC -中，PA PB PC a ===，AB AC BCb ===，BC 的中点为D ，过点P 作底面ABC 的垂线，垂足为H ，O 是线段PH 上的一个动点.（1）证明：OA BC ⊥；（2）若O 是正三棱锥P ABC -外接球的球心，且a b =，求平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见详解（2）12【解析】【分析】（1）连接,AD PD ，可得PH BC ⊥，AD BC ⊥，可证⊥BC 平面PAD ，结合线面的性质即可得结果；（2）根据外接球的性质可得4OB OA a ==，求相关长度，做辅助线，可得二面角D OB E --的平面角DME ∠，结合余弦定理运算求解.【小问1详解】连接,AD PD ，因为P ABC -为正三棱锥，则H 为等边三角形ABC 的中心，且PH ⊥平面ABC ，由⊂BC 平面ABC ，则PH BC⊥又因为D 为BC 的中点，则,H AD AD BC ∈⊥，且PH AD H ⋂=，,PH AD ⊂平面PAD ，可得⊥BC 平面PAD ，因为OA ⊂平面PAD ，所以OA BC ⊥.【小问2详解】由题意可知：,,236AD a AH HD ===，则3PH a ==，设正三棱锥P ABC -外接球的半径为R ，则22233R a R ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得64R a =，即64OB OA a ==，则12OH AH R =-=，可得4OD ==，因为⊥BC 平面PAD ，OD ⊂平面PAD ，则BC OD ⊥，取AB 的中点E ，连接,,OE EH DE ，则OE AB ⊥，且EB BD =，12ED a =，可知Rt Rt OBE OBD ≅△△，过D 作⊥DM OB ，垂足为M ，连接EM ，则EM OB ⊥，可知二面角D OB E --的平面角DME ∠，由OBD的面积可得1122424a a DM ⨯⨯=⨯，解得6DM a =，可知6DM EM a ==，在DME 中，由余弦定理可得222222*********cos 2266a a a DM EM DE DME DM EM +-+-∠==-⋅，所以平面OAB 与平面OBD 夹角的余弦值为12.18.在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -，()2,0B ，C 是平面内的动点，且ABC V 内切圆的圆心在直线1x =上.（1）求动点C 的轨迹W 的方程；（2）过点B 作三条不同的直线1l ，2l ，3l ，且1l x ⊥轴，2l 与W 交于M ，N 两点，3l 与W 交于P ，Q 两点，M ，P 都在第一象限，直线MP ，NQ 与1l 分别交于点G ，H ，证明：11BG BH-为定值.【答案】（1）()22113y x x -=>（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据内切圆的性质分析可得2CA CB -=，结合双曲线的定义分析求解；（2）设直线方程和交点坐标，利用韦达定理整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再求G ，H 的坐标，代入化简整理即可得结果.【小问1详解】设ABC V 内切圆的圆心为R ，且与三边切于点,,D E F ，则,,CD CF AD AE BE BF ===，可得()()CA CB CD AD CF BF AD BF AE BE -=+-+=-=-，且−2,0，()2,0B ，()1,0E ，即3,1AE BE ==，可得2CA CB AE BE -=-=，可知动点C 的轨迹W 是以,A B 为焦点的双曲线的右半支（顶点E 除外），则221,2,3a c b c a ===-=，所以动点C 的轨迹W 的方程为()22113y x x -=>.【小问2详解】由题意可知：1:2l x =，双曲线2213y x -=的渐近线为3y x =，设21321233:2,:2,,,00,33l x m y l x m y m m ⎛⎫⎛⎫=+=+∈-⋃ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()()11223344,,,,,,,M x y N x y P x y Q x y ，且12m m ≠，联立方程122213x m y y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 可得()2211311290m y m y -++=，则112122211129,3131m y y y y m m +=-=--，可得()1211234y y m y y -+=，整理可得1211143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，同理可得2431143m y y ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则直线()133313:y y PM y x x y x x -=-+-，令2x =，可得()13133113331313222G y y y y x y x y y x y x x x x ---+=-+=--()()()()()13231113121311231123222222y y m y y m y y m m y y m y m y m y m y --+++-==+-+-，则()1123211213121311m y m y m m BG m m y y m m y y -==---，同理可得21122411m m BH m m y y =--，则21211212241213111141433m m m m m m BH m m y y m m y y ⎛⎫⎛⎫=-=-+++ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭12123111m m m m y y BG=-=-，所以110BG BH -=为定值.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、21x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.一般地，n 元有序实数组()12,,,n a a a ⋅⋅⋅称为n 维向量（如用一个实数可表示一维向量，用二元有序实数对可表示二维向量，⋅⋅⋅）.类似我们熟悉的二维向量和三维向量，对于n 维向量，也可以定义两个向量的加法运算、减法运算、数乘运算、两个向量的数量积、向量的长度（模）等，如()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，则a = 若存在不全为零的r 个实数1k ，2k ，⋅⋅⋅，r k ，使得11220r r k a k a k a ++⋅⋅⋅+=u r u u r u u r r ，则称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性相关的，否则，称向量组1a ，2a ，⋅⋅⋅，r a 是线性无关的.（1）判断向量组()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- 是否线性相关.（2）已知函数()e xf x =，()1g x ax =+，且()()0f x g x -≥恒成立.①求a 的值；②设()12,,,n a a a a =⋅⋅⋅r，其中()1n a g n =，若()n b f n =，()n c g n =，数列{}n n b c 的前n 项和为n S ；证明：当*n ∈N 时，217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【答案】（1）a ，b ，c 是线性无关的（2）①1a =；②证明见详解【解析】【分析】（1）假设a ，b ，c 线性相关，根据题意列方程解得0x y z ===，即可得出矛盾；（2）①令()()()F x f x g x =-，分析可知原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，结合定点法求得1a =；②利用放缩法结合裂项相消法可得12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，进而可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，结合数列单调性可得17212n n n n +⋅-≥+.【小问1详解】若a ，b ，c 线性相关，则存在不全为零的3个实数,,x y z ，使得0xa ya zc ++=r r r r ，因为()1,1,1a = ，()1,2,2b =- ，()4,2,1c =- ，则()4,22,2xa ya zc x y z x y z x y z ++=-++++-r r r ，可得4022020x y z x y z x y z -+=⎧⎪++=⎨⎪+-=⎩，解得0x y z ===，故假设不成立，所以a ，b ，c 是线性无关的.【小问2详解】公众号：高中试卷君①令()()()e 1x F x f x g x ax =-=--，则()e x F x a '=-，原题意等价于()0F x ≥对任意x ∈R 恒成立，且()00F =，可得()010F a '=-=，解得1a =；若1a =，则()e 1x F x x =--，()e 1xF x '=-，令()0F x '>，解得0x >；令()0F x '<，解得0x <；可知()F x 在(),0-∞内单调递减，在()0,∞+内单调递增，则()()00F x F ≥=，符合题意；综上所述：1a =；②由①可知：()1g x x =+，则()e nn b f n ==，()1n c g n n ==+，则()()()11e 12212n n n n n n b c n n n n +=+>+=⋅--，可得()()()23211202222122n n n n S n n n ++⎡⎤>-+⨯-+⋅⋅⋅+⋅--=⋅⎣⎦，又因为()()()22211111111n a g n n n n n n ==<=-+++，则22221211111111223111n n a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+=-=+++r ，即12n n S n +>⋅，21n a n <+r ，则21n a n ->-+r ，可得21112211n n n n S a n n n n ++⎛⎫->⋅-=- ⎪++⎝⎭r ，因为*n ∈N ，且1121n n +⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭为递增数列，则12117220122n n +-≥-=>+，可得1121n n n +⎧⎫⎛⎫-⎨⎬ ⎪+⎝⎭⎩⎭为递增数列，则117721122n n n +⎛⎫-≥⨯= ⎪+⎝⎭，综上所述：217212n n n S a n n +->⋅-≥+ .【点睛】关键点点睛：对于②：利用放缩结合裂项相消法可得()()112212n n n n n b c n n n +>+=⋅--，()()221111111n a n n n n n =<=-+++，进而分析证明.。

(全国卷)高三数学第一次大联考试题理

(全国卷)高三数学第一次大联考试题理

（全国卷）2020届高三数学第一次大联考试题 理考生注意：1.本试卷共150分，考试时间120分钟。

2.请将试卷答案填在试卷后面的答题卷上。

3.本试卷主要考试内容：集合与常用逻辑用语、函数与导数。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

{}{}223,,1A x x x N B x x =-<<∈=> ，则集合A∩B＝A.{2}B.{－1，0，1)C.{－2，2}D.{－1，0，1，2}2.命题“∀x>0，x(x ＋1)>(x －1)2”的否定为；A.20,(1)(1)x x x x ∀>+≤-B.20,(1)(1)x x x x ∀≤+≤-C.20,(1)(1)x x x x ∃>+≤-D.20,(1)(1)x x x x ∃≤+≤- 3.21232x dx x -+=+⎰ A.2＋ln2 B.3－ln2 C.6－ln2 D.6－ln44.设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则“A B ⊆”是“U AB φ= ”的2,0()0x x f x x -⎧≤⎪=> ，若f(x 0)<2，则x 0的取值范围是A.(－∞，－1)B.(－1，0]C.(－1，＋∞)D.(－∞，0)01021:1,log ;:,2x p x x q x R e x ∃>>∀∈>，则下列说法中正确的是 A.p∨q 是假命题 B.p∧q 是真命题 C.p∨(⌝q)是真命题 D.p∧(⌝q)是假命题 {}{}12,15A x x B x x =-<≤=≤-≤， 定义集合{},,A B z z x y x A y B *==+∈∈，则()B A B **等于 A.{}61x x -<≤ B.{}112x x <≤ C.{}110x x -<≤ D.{}56x x -<≤8.已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝a x － a －x ＋2(a>0且a≠1)，若g(2)＝a ，则函数f(x 2＋2x)的单调递增区间为A(－1.1) B.(－∞，1) C.(1，＋∞) D.(－1，＋∞)9.如图是二次函数f(x)＝x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g(x)＝alnx ＋ f’(x)的零点所在的区间是 A.(14，12) B.(12，1) C.(1，2) D.(2，3) ∈R ，函数f(x)满足f(2－x)＝－f(x)，且当x≧1时，函数f(x)＝1x -。

【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学

【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共12题）1．设z＝5+i，则i（+z）＝（）A．10i B．2i C．10D．﹣22．集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|∈A}，则∁A（A∩B）＝（）A．{1，4，9}B．{3，4，9}C．{1，2，3}D．{2，3，5}3．若实数x，y满足约束条件则z＝x﹣5y的最小值为（）A．5B．C．﹣2D．4．记S n为等差数列{a n}的前n项和．若S5＝S10，a5＝1，则a1＝（）A．﹣2B．C．1D．25．已知双曲线C：的左、右两个焦点分别为F1（0，-4），F2（0，4），点P （﹣6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A．4B．3C．2D．6．设函数f（x）＝，则曲线y＝f（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（）A．B．C．D．8．已知，则＝（）A．B．C．D．9．已知向量＝（x+1，x），＝（x，2），则（）A．“⊥”的必要条件是“x＝﹣3”B．“∥”的必要条件是“x＝﹣3”C．“⊥”的充分条件是“x＝0”D．“∥”的充分条件是“x＝﹣1+”10．已知α、β是两个平面，m、n是两条直线，α∩β＝m．下列四个命题：①若m∥n，则n∥α或n∥β②若m⊥n，则n⊥α，n⊥β③若n∥α，且n∥β，则m∥n④若n与α和β所成的角相等，则m⊥n其中，所有真命题的编号是（）A．①③B．②③C．①②③D．①③④11．在△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则sin A+sin C＝（）A．B．C．D．12．已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A．2B．3C．4D．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．（共4题）13．二项式的展开式中，各项系数的最大值是．14．已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），则两个圆台的体积之比＝．15．已知a＞1，，则a＝．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球．记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过的概率是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17题～第21题为必考题，每个考题考生必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．必考题：共60分．（共5题）17．某工厂进行生产线智能化升级改造．升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：不合格总计优级品合格品品甲车间2624050乙车间70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p＝0.5．设为升级改造后抽取的n件产品的优级品率．如果，则认为该工厂产品的优级品率提高了．根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（≈12.247）附：，P（K2≥k）0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．已知数列{a n}的前n项和为S n，且4S n＝3a n+4．（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前n项和为T n．19．如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC∥AD，EF∥AD，AD=4，AB=BC=EF=2，，FB=，M为AD的中点.（1）证明：EM∥平面BCF；（2）求二面角A﹣EM﹣B的正弦值．20．已知函数f（x）＝（1﹣ax）ln（1+x）﹣x．（1）当a＝﹣2时，求f（x）的极值；（2）当x≥0时，f（x）≥0，求a的取值范围．21．已知椭圆的右焦点为F，点M（1，）在椭圆C上，且MF⊥x轴．（1）求C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQ⊥y轴．四、选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分．第22题[选修4-4：坐标系与参数方程]；第23题[选修4-5：不等式选讲]（共2题）22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝ρcosθ+1．（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|＝2，求a的值．23．实数a，b满足a+b≥3．（1）证明：2a2+2b2＞a+b；（2）证明：|a﹣2b2|+|b﹣2a2|≥6．【答案区】1．【答案】A【解析】【解答】解：据题意，，则，，所以故答案为：A.【分析】利用已知条件先求出，再求出的值，代入即可求出结果2．【答案】D【解析】【解答】解：根据题意，，而，利用代入法求解集合B，可得，此时，所以故答案为：D.【分析】根据集合A与集合B的运算求出集合B的所有元素，进而求出A∩B，即可求出∁A（A∩B）的结果.3．【答案】D【解析】【解答】解：据题意，先画出的可行域：如下图所示：法一：先把三条直线两两相交的交点求出得：，分别将这三点代入z＝x﹣5y，则在A点时，z有最小值为；法二：由化简成：，此时，为的截距，并且截距有最大值，z有最小值，此时，在可行域内平移直线，在A点时，截距有最大值，此时z有最小值为.故答案为：D.【分析】首先画出可行域，法一：先求交点，直接代入交点比较即可得到结果；法二，对先化简得，利用截距最大，得到z的最小值即可得到结果. 4．【答案】B【解析】【解答】解：由S5＝S10，则，化简得：5a1+35d=0，又a5＝1，即解得故答案为：B.【分析】由S5＝S10，a5＝1，化成基本量a1与的，列方程组求解即可得到结果.5．【答案】C【解析】【解答】解：据题意，由F1（0，-4），F2（0，4），则c=4，又P（﹣6，4）在该双曲线上，根据定义有：，根据两点坐标公式得：，，所以2a=4，则a=2；所以故答案为：C.【分析】根据焦点坐标得c得值，根据定义求得a的值，进而求出离心率.6．【答案】A【解析】【解答】解：由f（x）＝，要求在点（0，1）处的切线，则，此时切线斜率利用点斜式，则切线方程为：，即3x-y+1=0；令，则；令，则；所以切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故答案为：A.【分析】利用求导先求出切线斜率，进而求出切线方程，即可求出与坐标轴的交点，进而求出结果.7．【答案】B【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（e x﹣e﹣x）sin x，则，所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，利用特殊值：当x=1时，，所以B符合.故答案为：B.【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.8．【答案】B【解析】【解答】解：由，利用齐次式分子分母同时除以得：，解得，则故答案为：B.【分析】利用齐次式化简得，再利用两角和的正切公式求解即可得到结果. 9．【答案】C【解析】【解答】解：＝（x+1，x），＝（x，2）当时，，则，解得或，所以A错误，C正确；同理，当，即，即，所以，BD错误.故答案为：C.【分析】利用平行垂直得坐标运算结合充分条件，必要条件的判断即可得到结果. 10．【答案】A【解析】【解答】解：如图，对①，当，因为，，则，当，因为，，则，当既不在也不在内，因为，，则且，故①正确；对②，若，则与不一定垂直，n可以在面内，故②错误；对③，如图，过直线n分别作两平面与、分别相交于直线l1和直线I2，由，得，同理，根据基本事实四，则，所以.，所以，又∩=m，则，根据基本事实四，则，③正确；对于④，若n与α和β所成的角相等，根据同角定理，则，则④错误.故答案为：A.【分析】借助正方体与直线，平面的位置关系进行判断即可得到结果. 11．【答案】C【解析】【解答】解：由，根据正弦定理有：又因为，即，所以；根据余弦定理，所以，根据正弦定理得：，即，结合，因为所以，因为A，B，C是三角形的内角，所以所以故答案为：C.【分析】根据题意，结合正弦定理化简出得，根据余弦定理与正弦定理化简得，结合完全平方公式展开即可得到结果.12．【答案】C【解析】【解答】解：由a，b，c成等差数列，根据等差中项得：，将，代入直线方程，所以有，化简得：，则直线恒过定点；对于圆的方程x2+（y+2）2＝5，圆心为，半径为，直线ax+by+c＝0与圆C：x2+（y+2）2＝5交于A，B两点，要求|AB|的最小值，只需，此时，，利用勾股定理有故答案为：C.【分析】根据题意，先判断出直线的定点坐标，结合圆的几何要素进行判断，当|AB|要取最小值，只需，结合勾股定理即可得到结果.13．【答案】【第1空】5；【解析】【解答】解：根据题意，二项式的通项为：并且假设展开式中第项系数最大，则此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，建立不等式进行求解：，解得：，由因为k为正整数，则；所以.故答案为：5.【分析】先设展开式中第项系数最大，此时第项系数大于第项系数；并且第项系数大于第项系数，则建立不等式有，进而求出k即可求解.14．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：据题意，甲乙两个圆台的轴截面都是等腰梯形，可以利用构造直角三角形，结合勾股定理的计算得到圆台的高，即甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1﹣r2）和3（r1﹣r2），所以甲圆台构造的直角三角形斜边长为：2（r1﹣r2），而其中一条直角边为，则甲圆台的高为：；同理，乙圆台构造的直角三角形斜边长为：3（r1﹣r2），则；此时，故答案为：..【分析】先根据已知条件和圆台结构特征，构造出直角三角形分别求出两圆台的高，再根据圆台的体积公式，直接代入计算即可得解.15．【答案】【第1空】64；【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，即，对式子进行化简得：，即，利用因式分解得，所以或，因为a＞1，所以，所以，即，故答案为：64.【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.16．【答案】【第1空】；【解析】【解答】解：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有种，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，，则，故，，所以，若，则，则为：，故有2种，若，则，则为：，，故有10种，当，则，则为：，，故有16种，当，则，同理有16种，当，则，同理有10种，当，则，同理有2种，共与的差的绝对值不超过时不同的抽取方法总数为，故所求概率为.故答案为：.【分析】利用古典概型的计算公式，先根据题意进行全排列可求基本事件的总数，设前两个球的号码为，第三个球的号码为，则，就的不同取值分类讨论后列出对应事件的数量，进而利用古典概型的计算公式求解即可得到结果.17．【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：优级品非优级品总数甲车间262450乙车间7030100总计9654150将上面的数值代入公式计算得：，又因为，所以有的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异，没有的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异.（2）解：生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品的频率为，所以用频率估计概率可得，根据题意，升级改造前该工厂产品的优级品率，则，可知，所以可以认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【解析】【分析】（1）将列联表进行补充，并将数值代入公式进行计算得，再进行比较即可得到解果；（2）根据题意先计算出，在代入进行计算比较，即可得到结论. 18．【答案】（1）解：当时，，解得．当时，，所以即，而，故，故，∴数列是以4为首项，为公比的等比数列，所以.（2）解：，所以故所以，.【解析】【分析】（1）根据题意，由S n与a n之间的关系，利用分类讨论思想求得与的表达式，结合化简即可得到结果；（2）利用错位相减法求解即可得到结果.19．【答案】（1）证明：根据题意，因为为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；（2）过B作交于，连接，因为四边形为等腰梯形，，所以，由（1）可知为平行四边形，则，又，所以为等边三角形，为中点，根据直角三角形OBA，所以，又因为四边形为等腰梯形，为中点，所以，四边形为平行四边形，，所以为等腰三角形，与底边上中点重合，，，利用勾股定理得，所以，所以两两垂直，所以以方向为轴，方向为轴，方向为轴，如图建立空间直角坐标系，，，，，设平面的法向量为，平面的法向量为，则，即，则，又，即，则，所以，则，故二面角的正弦值为.【解析】【分析】（1）根据题意，由得到四边形为平行四边形，进而证明，结合直线与平面平行的判定定理即可得到结果；（2）作交于，连接，易证三线两两垂直，利用建系法求出二面角夹角余弦公式即可得到结果.20．【答案】（1）解：当时，f(x)的定义域为，所以，故，因为在上为增函数，根据单调性的性质，所以在上为增函数，又因为，故当时，，当时，，故在处取极小值且极小值为，无极大值.（2）解：因为，所以，设，则，当时，，故在上为增函数，又，即，所以在上为增函数，故.当时，当时，，故在上为减函数，故在上，即在上即为减函数，故在上，不合题意，舍去.当，此时在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合题意，舍去；综上，.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性结合零点存在性定理（考察隐零点问题）即可求出函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，根据、、进行分类讨论后可得参数的取值范围.（分离参数，进行求导运算同样也是可以拿分的）21．【答案】（1）解：设，由题设有且，故，解得，，故椭圆方程为.（2）解：直线的斜率必定存在，设，，，由可得，故，故，又根据韦达定理得：，而，故直线，故，所以，故，即轴.【解析】【分析】（1）设，根据的坐标及轴可求基本量，故可求椭圆方程.（2）设，，，联立直线方程和椭圆方程，用的坐标表示，结合韦达定理化简前者可得，故可证轴.22．【答案】（1）解：由，将代入，故可得，两边平方后得：.（2）解：对于直线的参数方程消去参数，得直线的普通方程为.联立，得，，所以，设，根据韦达定理，所以，则，解得【解析】【分析】（1）根据公式即可得到的直角方程.（2）将直线的新的参数方程代入的直角方程，将直线的直角方程与曲线的直角方程联立，结合弦长公式可求的值.23．【答案】（1）证明：因为，当时等号成立，则，因为，所以；（2）证明：【解析】【分析】（1）直接利用，利用放缩法，结合做差法比较两个式子大小，利用基本不等式即可得到结果.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。

2023年全国统一高考数学试卷(上海卷)(含答案与解析)

2023年全国统一高考数学试卷(上海卷)(含答案与解析)

2023年普通高等学校招生全国统一考试上海数学试卷考生注意：1.本试卷共5页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分，3.答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号，并将核对后的条形码贴在指定位置上，在答题纸反面清楚地填写姓名.一、填空题（本大题共有12题，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分，满分54分）1.不等式21x 的解集为.2.若 2,3a r ， 1,2b r ，则a br r .3.已知n S 为等比数列 n a 的前n 项和，且13a ，2q ，则6S .4.已知tan 3 ，则tan 2.5.若函数 2,01,0x x f x x ，则 f x 的值域为.6.已知复数1z i （其中i 为虚数单位），则1iz .7.已知圆2240x y y m 的面积为 ，则m.8.在ABC △中，角A 、B 、C 所对的三边长分别为a 、b 、c ，若4a ，5b ，6c ，则sin A.9.国内生产总值（GDP ）是衡量地区经济状况的最佳指标，根据统计数据显示，某市在2020年间经济高质量增长，GDP 稳步增长，第一季度和第四季度的GDP 分别为231亿元和242亿元，且四个季度GDP 的中位数与平均数相等，则该市2020年GDP 总额为亿元.10.已知1001002100012100120232023x x a a x a x a x ，其中012100,,,,a a a a R L ，若0,100k 且k N ，则当0k a 时，k 的最大值为.11.某公园欲修建一段斜坡，假设斜坡底端在水平地面上且坡面笔直，斜坡顶端距水平地面的高度为4米，斜坡与水平地面的夹角为 .已知游客从坡底沿着斜坡每向上走1米，消耗的体力为1.025cos （），若要使游客从斜坡底端走到斜坡顶端所消耗的体力最少，则.12.已知空间中存在三点A 、B 、C ，且1AB AC BC .若从空间中再任取不同的两点（不计顺序），使得这两点与A 、B 、C 三点恰好能构成一个正四棱锥，则不同的取法共有种.二、选择题（本大题共有4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，满分18分）13.已知集合 1,2P ， 2,3Q ，若M x x P x Q 且，则M （）A. 1；B. 2；C. 1,2；D. 1,2,3.14.如图，是某校随机抽取50名学生的身高与体重的散点图，则下列说法正确的是（）A.身高越高，体重越重；B.身高越高，体重越轻；C.身高与体重成正相关；D.身高与体重成负相关.15.设0a ，函数sin y x 在 ,2a a 上的最小值a S ，在 2,3a a 上的最小值为a t ，当a 变化时，则下列选项不可能的是（）A.0,0a a S t B.0,0a a S t C.0,0a a S t D.0,0a a S t 16.在平面上，若曲线 具有如下性质：存在点M ，使得对于任意点P ，都有Q 使得1PM QM ，则称这条曲线为“自相关曲线”，关于以下两个结论，正确的判断是（）①所有椭圆都为“自相关曲线”；②存在双曲线是“自相关曲线”A.①成立，②成立； B.①成立，②不成立；C.①不成立，②成立；D.①不成立，②不成立.三、解答题（本大题共有5题，满分78分）【解答下列各题必须写出必要的步骤】17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D 中，AB CD ∥,AB AD ,2AB ,3AD ,4DC .（1）求证：111A B DCC D 直线∥；（2）若直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36，求二面角1A BD A 的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数 231x a x cf x x a，其中,a c R .（1）当0a 时，求 f x 的定义域，并判断是否存在实数c ，使得f x （）是奇函数；（2）若函数 f x 的图象过点 1,3，且与x 轴的负半轴有两个焦点，求实数c 的值和实数a 的取值范围.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）第二十届上海国际汽车工业展览会于2023年4月18日在上海国家会展中心举行.某汽车企业准备了25个汽车模型，其外观和内饰的颜色分布如下表所示：（1）若小明从这些模型中随机拿一个模型，记事件A 为小明取到的模型为红色外观，事件B 为小明取到的模型有米色内饰.求P B （）与P B A （），并据此判断事件A 和事件B 是否独立；（2）为了回馈客户，该汽车企业举行了一个抽奖活动，规定在一次抽奖中，每人可以一次性抽取两个汽车模型.根据活动规则，现作出如下假设：该公司举行了一个抽奖活动，并规定在一次抽奖中，每人可以一次性从这25个汽车模型中抽取两个，现有如下假设：假设1：抽取所得的两个模型会出现三种结果，即外观和内饰均为同色、外观和内饰均为异色、只有外观或只有内饰同色；假设2：根据三种结果的可能性大小，概率越小的结果可获得的奖项越高；假设3：奖金额为一等奖600元，二等奖300元，三等奖150元.请你帮该汽车企业分析假设1中的三种结果分别对应什么奖项.设奖金额为X 元，写出X 的分布列，并求出X 的数学期望.20.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知抛物线24y x ：，A 为第一象限内曲线 上的点，设A 的纵坐标是a .（1）若点A 到抛物线 的准线距离为3，求a 的值；（2）若4a ，点B 在x 轴上，且AB 的中点在抛物线 上，求点B 的坐标和坐标原点O 到直线AB 的距离；（3）已知直线:3l x ，P 是第一象限内曲线 上异于点A 的点，直线PA 交l 于点Q ，且P 在直线上的投影为点 H .若对于任意点P ，4HQ 恒成立，求a 的取值范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知函数 ln f x x ，过点11,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于点 20,a ，再过点22,a f a 作曲线 y f x 的切线交y 轴于 30,a ，若30a则停止.以此类推，得到数列 n a .（1）若正整数2m ，证明：1ln 1m m a a ；（2）若正整数2m ，试比较m a 与12m a 大小；（3）若正整数3k ,是否存在k 使得12,,,k a a a L 依次成等差数列？若存在，求出k 的所有取值；若不存在，请说明理由.【参考答案】1.【答案】|13x x 【解析】绝对值不等式的解法由21x 得121x ,即13x ,故不等式21x 的解集是13xx .2.【答案】4【解析】平面向量数量积的坐标运算21324a b .3.【答案】189【解析】等比数列的前n 项和66631232118912S.4.【答案】34【解析】22tan 3tan21tan 4.5.【答案】1, 【解析】当0x 时, 2xf x 单调递增, 1f x ；当0x 时, 1f x .故 f x 的值域为 1, .6.【解析】∵1z i ，∴ 111112i z i i i i ，∴12i z i 7.【答案】-3【解析】由2240x y y m 得22(2)4x y m ,故半径r ∴ 4m ,解得3m .8.【答案】74【解析】由余弦定理得222222564453cos 22562564b c a A bc ，∴sin 4A.9.【答案】946【解析】依题意,将2020年四个季度的GDP 数据分别记为1234,,,a a a a ,则1232a ,4241a ，四个季度GDP 数据的中位数为 2312a a ,平均数为 123414a a a a ,则2312341124a a a a a a ,∴2314473a a a a ，故该市2020年的GDP 总额为 1234142946a a a a a a （亿元）.10.【答案】49【解析】k x 的系数为1001002100100100C 2023C 2023(1)C 202312023(1),0,1,2,,100k k k k k k k k kk a k ,要使0k a ,则k 必为奇数,且100220231k ,∴10020k 即50k ，∴k 的最大值为49.11.【答案】9arctan40（或40arccos 41或9arcsin 41）【解析】解法一：易求斜坡的长度为40sin 2,则从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能41.025cos sin T,即sin 4cos 4.1T4.1 ,其中锐角 满足4tan T,（提示:辅助角公式）4.1,得0.9T ,当且仅当2时取等号,此时,40tan 9，9tan 40 ，9arctan 40 .解法二：仿上得 4.14cos sin T,设tan 2t ,则2sin2sin 1cos 22sin cos 2sin cos 222,结合22sin cos 1 ,可得22sin 1t t ,221cos 1i t,则222411414.14cos 0.18.10.18.10.9sin 2222t t t t T t t t,当且仅当20.18.1t ,即19t时取等号,此时229tan 140t t ，9arctan 40.解法三：仿上得 4.14cos sin T ,则 2224sin 4.14cos cos 441cos sin sin T,令0T ,得40cos 41 ,40arccos 41,当40cos 41 ,即400,arccos 41时,'0T ,当40cos 41,即40arccos ,412时,0T ,故当T 最小时,40arccos41.12.【答案】9【解析】由题意得ABC 为正三角形,根据正四棱雉的定义知,正四棱锥的底面是正方形,顶点在底面的射影是正方形的中心,故所给正ABC 的任意一条边可以为底面正方形的一条边或对角线,将ABC 的一条边作为底面正方形的一条边,若将BC 作为底面正方形的一条边,可在ABC 的左侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCEF ,在ABC 的右侧取不同的两点,E F ,使得这两点与,,A B C 构成正四棱雉A BCE F ,如图1,同样,,AB AC 也可作为底面正方形的一条边,所以方案数为326 ；将ABC 的一条边作为底面正方形的对角线时,若将BC 作为底而正方形的对角线,可构造一个正四棱锥,如图2,同样,AB AC 也可作为底面正方形的对角线,所以方案数为3.故不同的取法有639 （种）.13.【答案】A【解析】由{}M xx P x Q ∣且知, 1M .故选A .14.【答案】C【解析】由题图可知,各数据分布呈线性,且从左向右看,呈现上升趋势,故身高与体重成正相关.故选C.15.【答案】D【解析】取8a ,则sin y x 在区间,84 上的最小值sin 08s ,在区间3,48上的最小值sin04t,选项A 可能成立；取38a ,则sin y x 在区间3384，上的最小值3sin04s ,在区间39,48上的最小值9sinsin 088t,选项C 可能成立；取98a,则sin y x 在区间9984，上的最小值10s ,在区间927,48上的最小值273sinsin 088,选项B 可能成立.故选D.16.【答案】B【解析】对于命题①,设椭圆2222:1(0)x y C a b a b的长轴为AB ,在AB 的延长线上能找到一点M ,使1MA MB .（注:设MB t ,则2MA t a ， 21t t a ，2210t at （*）,2Δ440a 恒成立,且易知方程（*）的两根异号,t 一定存在,即M 存在）不妨设 00,0M x x a ,则0maxPMa x ,0minPMx a即 00,PM x a x a ,易知QM 也在此范围内,不妨让PM 取最大值,QM 取最小值,假设1PM QM 成立,则 001x a x a ,得0x故存在M使假设成立,当0x PM 由0x a 逐渐减小为0x a ,则一定有 00,QM x a x a ,使得1PM QM ,故存在点M ,使得对于任意的点P C ,都有Q C 使得1PM QM ,∴椭圆C 是“自相关曲线”.由椭圆的性质知所有椭圆都是“自相关曲线”,故①为真命题.对于命题②,由题意,点P 的位置不固定且双曲线不封闭,PM 可取无穷大.如果M 在双曲线上,则会存在P 和M 重合的情况,不符合题意,故M 不在双曲线上.假设存在点M ,使得对于任意的ΓP ,都有ΓQ 使得1PM QM ,若PM 取无穷大,则0QM ,∵ΓQ ，ΓM ，∴QM 不会趋近于0,故假设不成立,不存在是“自相关曲线”的双曲线,故②为假命题.故选B.17.【答案】解:（1）解法一∵//AB DC ，11AB DCC D 平面平面，11CD DCC D 平面,∴11//AB DCC D 平面.∵11//AA DD ，111AA DCC D 平面，111DD DCC D 平面,∴111//AA DCC D 平面.又1AB AA A ，∴1111//ABB A DCC D 平面平面.又111A B ABB A 平面，∴111//A B DCC D 平面.解法二：如图a ,取CD 的中点E ,连接BE ,1D E ，则2DE ，∵//AB DC ,2AB ，AB DE P ,四边形ABED 为平行四边形,∴BE AD P.又11AD A D P,∴11BE A D P, 四边形11A D EB 为平行四边形,∴11//A B D E ,又111D E DCC D 平面，111A B DCC D 平面,∴111//A B DCC D 平面.（2）由题, 124392ABCD S梯形,又直四棱柱1111ABCD A B C D 的体积为36,∴1936AA ，∴14AA .（8分）解法一：如图b,过A 作AH BD 于H ,连接1A H .∵1AA ABCD 平面，BD ABCD 平面,∴1AA BD .AH BD ,1AA AH A ，1BD AA H 平面,∴1A H BD .1A HA 为二面角1A BD A 的平面角.在Rt ABD V 中,AB AD 2AB ，3AD ,可得613AH ，在1Rt A AH V 中,114213tan 6313AA A IIA AH ,∴1213arctan 3A HA ，即二面角1A BD A 的大小为213arctan3.（14分）解法二：由题,以D 为坐标原点,分别以1,,DA DC DD u u u r u u u r u u u r 的方向为,,x y z 轴的正方向建立如图c 所示的空间直角坐标系,则 0,0,0D ， 3,2,0B ，13,0,4A ∴ 3,2,0DB u u u r ， 13,0,4DA u u u r .（9分）显然平面ABD 的一个法向量为 0,0,1n .(10分）设平面1A BD 的法向量为 ,,m x y z ,则320340x y x z ,不妨取 4,6,3 m .设 为n与m的夹角, 为二面角1A BD A的平面角,由题意知 为锐角,则cos cos61,因此arccos61,二面角1A BD A的大小为arccos61.18.解：（1）当0a 时,2x x cf xx,（2分）∴ 12f c, 1f c显然11f f,（4分）当0a 时,f x不可能为奇函数,当0a 时,不存在c,使得f x为奇函数.（6分）（2）由题意得131131a cfa,∴3233a c a,1c,（8分）∴2311x a xf xx a.f xQ的图象与x䌷负半轴有两个不同交点,关于x的方程23110x a x有两个不同负实数根12,x x,且1x a,2x a，（10分）∴122122310311010Δ(31)40x x aa a ax xa,（易错警示:转化时应特别注意前后条件的等价性）（12分）得13a 且12a ,实数a的取值范围为111,,322.（14分）19.解:（1）由题意得,231255P B,（2分）822255P A , 225P AB ，则 2125255P AB P B A P A ∣.∵ P AB P A P B ，∴事件A 和事件B 独立.（2）记外观与内饰均同色为事件1A ,外观与内饰都异色为事件2A ,仅外观或仅内饰同色为事件3A ,则 22228122312259849300150C C C C P A C , 1111832122225C C C C 484C 30025P A ,（8分） 1111111182123812233225C C C C C C C C 15477C 300150P A ,(9分）∵ 213P A P A P A ,一等奖为两个汽车模型的外观与内饰都异色,二等奖为两个汽车模型的外观与内饰均同色,三等奖为两个汽车模型仅外观或内饰同色.（10分）X的分布列如表:7749415030060027115015025E X （14分）20.解:（1）由题意,Γ的准线方程为1x ,2,4a A a，则2134a ,得28a .（3分）又0a，∴a （2）由题意知, 4,4A ,设 ,0B b ,则AB 中点的坐标为4,22b,代入24y x ,得 424b ∴2b ,点B 的坐标为 2,0 .（6分）则直线AB 的斜率为 402423, 直线AB 的方程为 223y x ,即2340x y . 坐标原点O 到直线AB13 .（10分）（3）由题意知,2,4a A a,设 2000,04y P y y ,则 03,H y ,直线AP 的斜率02200444AP a y k y a a y 直线AP 的方程为2044a y x a a y,∴204343,a Q a a y（12分）∴222000000001212124a a ay ay y HQ y y a y a y a y 恒成立, 22200000121322444y y a y y y 即 200120,,4a y y a a 恒成立.当2a 吋,由0y a 得02y ,则 201224a y恒成立；当20a ,即2a 时, 201224a y 恒成立.综上,a 的取值范围是 ,2 .（16分）21.解:（1）由题得, 1f x x,当正整数2m 时,曲线 y f x 在点 11,m m a f a 处的切线方程为1111m m m yf a x a a ,即 1111ln m m m y a x a a .又此切线交y 轴于点 0,m a ,∴1ln 1,m m a a ∴1ln 1m m a a .（2）当正整数2m 时, 111112ln 12ln 1m m m m m m a a a a a a .ln 1,g x x x 令则 111xg x x x ,当01x 时, 0g x ， g x 单调递增,当1x 时, 0g x ， g x 单调递减,∴ 10g x g ，则11ln 10m n a a ,即 120m m a a ,∴12m m a a .（3）假设存在正整数3k ,使得12,,,k a a a 依次成等差数列,设其公差为d ,则111ln 12t s t t d a a a a t k 令 ln 1h x x x ,则 11h x x ,当01x 时, 0h x ， h x 单调递增,当1x 吋, 0,h x h x 单调递减,∴ max ()12h x h ，即 2h x ，此时2d ,当0x 时, h x ,当x 时, h x ,因此直线y d 与 h x 的图象最多有两个交点,即最多三项成等差数列,(15分）故存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.下面证明3k 时,123,,a a a 成等在数列,即1322a a a .由（1）知,21ln 1a a ,32ln 1a a ，则211e a a ，∴3122e ln 12a a a （16分）记函数 1e ln 12x H x x x ,则 11e 2x H x x,易知 0H x 在 0, 恒成立,∴ H x 在 0, 单调递增.易得 0.10H , 10H ， H x 在 0.1,1上有唯一零点2a .故假设成立,存在3k ,使得123,,a a a 成等差数列.。

2022年【学科网学易大联考】第一次全国大联考【新课标I卷】理科数学(学生版)

2022年【学科网学易大联考】第一次全国大联考【新课标I卷】理科数学(学生版)

侧视图正视图【学科网学易大联考】2022年第一次全国大联考【新课标I 卷】理科数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合,,则（ ）A. B. C. D. 2. “”是“复数为纯虚数”的（）A ．充分但不必要款件B ．必要但不充分款件C ．充要款件D ．既不充分也不必要款件3.已知函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象,两个图象的零点重合,则不可能的值为（ ）A.B.C.D. 4. 为预防部分学生考试时用搜题软件作弊,命题组指派名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这种题型进行改编,则每种题型至少指派一名教师的不同分派方式种数为（ ）A ．B ．C ．D ．5. 已知函数是定义在区间上的偶函数（）,且,则( )A ．1B ．C ．D ．6. 如图为某几何体的三视图,求该几何体的内切球的表面积为( ) A ．π B ．3π C ． 4π D ．π7. 若不等式组表示的区域Ω,不等式表示的区域为Γ,向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻,则落在区域Γ中芝麻数约为( )A ．114B ．10C ．150D ．502211y 24x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭{}|2A x x =≤{|B x y ==A B = []1,2[]0,2(1,2][)1,0-1m =21z m mi =+-()sin f x x =m ()cos(3f x x π=+m 6π3π76π56π-53150180200280()g x 2[3,]m m m ---0m >()()()()21,0||,0x x f x f x m x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩()2016f =29101443⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+≥+-≤-+.021,01,01y y x y x第11题图8. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为-4时,则款件框内应填写（ ）A ． B ． C ．D ．9. 已知直线：与曲线：恒有公共点,则的取值范围是( )A ．B ．C ．D ．10.直三棱柱中,底面是正三角形,,若是△中心,且三棱柱的体积为,则与平面所成的角大小是（ ）A.B.C.D.11. 如图,已知、为双曲线：的左、右焦点,点在第一象限,且满足 ,,线段与双曲线交于点,若,则双曲线的共轭双曲线的渐近线方程为()A ．B ．C ．D ．12. 已知函数,,在上的最大值为,当时,恒成立,则的取值范围（）A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分,满分20分,将结果填在答题纸上）13. 总体编号为01,02,…19,20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体,选取方式是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为．7816 6572 0802 6314 0214 4319 9714 01983204 9234 4936 8200 3623 4869 6938 718114. 在四边形中,,,,则在上的投影为.3?i >5?i <4?i >4?i <1y kx k =-+C 222x y m +=m 3m ≥3m ≤3m >3m <111ABC A B C -P 111A B C 94PA ABC 6π4π3π23π1F 2F C 22221(0,0)x y a b a b-=>>P 2||F P a = 1122()0F P F F F P +⋅=2PF C Q 225F P F Q =C 'C y =12y x =±y =y =2()ln ()f x x ax a x a R =--∈6225)(23-++-=x x x x g )(x g ]4,1[b [)1,x ∈+∞b x f ≥)(a 2a ≤1a ≤1a ≤-0a ≤ABCD //AB CD 0AB BC ⋅= 222AB BC CD ===AD CA15. 已知数列满足,,,,则 ．16. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为E,延长FE交抛物线于点P,O 为坐标原点,若,则双曲线的离心率为________．三、解答题 （本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. （本小题满分12分）设数列满足,,,（1）求数列的通项公式。

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷含解析

全国大联考2025届高三第五次模拟考试数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若，则（ ） A ． B ． C ． D ．2．双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点为12,F F ，一条渐近线方程为:b l y x a=-，过点1F 且与l 垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q ，满足11122OP OF OQ =+，则该双曲线的离心率为（ ） A ．10 B ．3 C ．5D ．2 3．已知F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 且斜率为1的直线交抛物线于A ，B 两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（ ）A ．82B ．8C ．42D ．44．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 5．一个正三棱柱的正（主）视图如图，则该正三棱柱的侧面积是（ ）A ．16B ．12C ．8D ．6 6．抛物线的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足23AFB π∠=，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则MN AB 的最大值是（ ）A 3B ．33C ．32D 37．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ） A ．c b a << B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c << 8．已知变量的几组取值如下表：若y 与x 线性相关，且ˆ0.8yx a =+，则实数a =（ ） A ．74 B ．114 C ．94 D ．1349．若复数z 满足(1)12i z i +=+，则||z =( )A ．2B ．32C ．2D ．1210．点M 在曲线:3ln G y x =上，过M 作x 轴垂线l ，设l 与曲线1y x =交于点N ，3OM ON OP +=，且P 点的纵坐标始终为0，则称M 点为曲线G 上的“水平黄金点”，则曲线G 上的“水平黄金点”的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．311．已知六棱锥P ABCDEF -各顶点都在同一个球（记为球O ）的球面上，且底面ABCDEF 为正六边形，顶点P 在底面上的射影是正六边形ABCDEF 的中心G ，若PA AB =，则球O 的表面积为（ ） A ．163π B ．94π C ．6πD ．9π 12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，D 是AB 的中点，若1CD =，且1sin 2a b A ⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin sin c b C B =+-，则ABC 面积的最大值是( )A ．5B ．15CD ．5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023年高三4月学科网大联考(全国乙卷)理科数学参考答案

2023年高三4月学科网大联考(全国乙卷)理科数学参考答案

2023年高三4月大联考（全国乙卷） 理科数学·全解全析及评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．B 【解析】由题意，知21i (1i)i i i i 1=1i i i 11z ，则zz =22(1i)(1i)1i 1(1)2 ，故选B ．2．C 【解析】由e 2x ，得ln 2x ，所以{|ln 2}B x x .又{|31}A x x ，0ln 21 ，所以A B {|3ln 2}x x .故选C ．3．D 【解析】易知抛物线22(0)x py p 的焦点为(0,)2F p.因为点(2,)P m 在抛物线C 上，所以2m p .根据抛物线的定义，得2||22pPF p ，即2440p p ，解得2p ，所以(0,1)F .故选D ．4．A 【解析】A 选项，2022年8月同比增长率为负数，说明2022年8月原油产量低于2021年8月，故A 正确； B 选项，2021年9月至2021年12月的原油产量的同比增长率呈逐月下降趋势，但均大于0，则原油产量依然可能会增加，故B 错误；C 选项，虽然2022年4月的同比增长率最高，但如果2021年4月原油产量比2021年3月低较多，那么增加量也不一定最大，故C 错误；D 选项，因为3.94 3.6 3.63(0.2) 1.4 2.5 2.92.79，所以2022年3月至11月的同比增长率的平均数约为2.7%，故D 错误.故选A ．5．A 【解析】由B ，M ，D 三点共线，可设1)0(BM xBD x ,则()AM AB x AD AB， 所以(1)2x AM AC x AB ，所以22(1)AM x AB xAC .又2AM AB AC,所以2(1)1x x，所以12x．故选A ． 6．C 【解析】如图，设H 为底面正方形ABCD 的中心，G 为BC 的中点，连接,,PH HG PG ，则,PH HG ,PG BC 所以PG 13.16 ， 则14422PBCABCDBC PGS PG S AB BC AB△正方形26.32 1.3719.2 ，故选C ．7．D 【解析】令sin cos t ，则22(sin cos )1sin 2t ，所以sin 21sin cos 可化为220t t ，解得1t 或2t ，而sin cos [4，所以sin cos 1 ．故选D ．8．D 【解析】因为函数(1)y f x 的图象关于坐标原点O 中心对称，所以(1)f x 为奇函数，所以()()110f x f x ，令0x ，得2(1)0f ，所以(1)0f .令3x ，得4(20)()f f ，所以()2(4)f f .因为当1x 时3,()1f x x ，所以(4)1f ，所以()12f ，所以(2)(1)101f f ．故选D ．9．B 【解析】易知直线l ：10kx y k 过定点()1,1Q ，且点Q 在圆O 内，当Q 是弦AB 的中点时，弦长AB 最小，此时||AB =()()PA PB PQ QA PQ QB 221||||4PQ AB 2||2PQ .当P 是线段QO 的延长线与圆O 的交点时，|PQ |最大，且最大值是2PA PB的最大值是2(22 4 ．故选B ．10．B 【解析】由正弦定理及1cos 2cos c a C A ，得sin 1cos sin 2cos C C A A， ∴sin sin cos 2sin cos sin A A C C A C ，∴sin sin cos cos sin 2sin A A C A C C ，即sin sin()2sin A A C C ， ∴sin sin 2sin A B C ，∴由正弦定理，得2.a b c 又4a b ，∴ 2.c ∵22222()4cos =12212262ab a b c a b C ab ab ab abab.∵a b ，∴4ab ，当且仅当2a b 时等号成立，∴614o 2c s 1C ，∴03C，∴0sin C.故选B ． 11．D 【解析】将平行四边形ABCD 补成如图1所示的矩形AC CA ，在矩形AC CA 中（如图1所示），设,AB b BD a ，则22244AC a b .如图2，沿对角线BD 折起后的三棱锥A BCD 的外接球也是直三棱柱ABC A DC 的外接球，且在ABC △中，120ABC ，所以30BAC AC B ．设ABC △的外接圆1O 的半径为r ，由正弦定理，得22sin sin 30AB br b AC B，则r b .设三棱锥A BCD 外接球的球心为O ，半径为R ，连接11,,OB OO BO ，则22222222111(24AA R OB O O BO r a b221(4)14a b ，所以1R ，所以所求外接球的表面积为4 ．故选D ．图1 图212．B 【解析】由题意，知0,a 令()e e ,0x a f x x a x ，则()e 10x f x ，所以()f x 在区间(0) ，上单调递增，易知()0f a ，所以当x a 时，()0f x ； 当0x a 时，()0f x .令21()e 2ln 1x x a a g x ，则对任意的(0)x ，，不等式21(e e )(e x a x x a x 2ln 1)0a a 恒成立， 等价于当x a 时，()0g x ；当0x a 时，()0g x . 易知21()e 2ln 1x x a a g x 在区间(0,) 上单调递增，所以x a 是21()e 2ln 1x x a a g x 的零点，即21e 2ln 10a a a a ， 即212ln e 1a a a a ，所以2ln 1e 2ln e 1a a a a . 构造函数()e t h t t ，显然h (t )在R 上单调递增，由2ln 1e 2ln e 1a a a a ，得(2ln )(1)h a h a ，所以2ln 1a a ，即2ln 10a a .令()2ln 1a a a ，显然()a 在区间(0) ，上单调递增，易知(1) =0，故1a ．故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)正式版含答案解析

2024年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ)正式版含答案解析

绝密★启用前2024年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。

3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x|−5<x 3<5}，B ={−3,−1,0,2,3}，则A ∩B =( ) A. {−1,0} B. {2,3} C. {−3,−1,0} D. {−1,0,2}2.若z z−1=1+i ，则z =( )A. −1−iB. −1+iC. 1−iD. 1+i3.已知向量a ⃗=(0,1)，b ⃗⃗=(2,x)，若b ⃗⃗⊥(b ⃗⃗−4a ⃗⃗)，则x =( ) A. −2B. −1C. 1D. 24.已知cos(α+β)=m ，tanαtanβ=2，则cos(α−β)=( ) A. −3mB. −m3C. m3D. 3m5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为√ 3，则圆锥的体积为( ) A. 2√ 3πB. 3√ 3πC. 6√ 3πD. 9√ 3π6.已知函数为f(x)={−x 2−2ax −a,x <0,e x +ln(x +1),x ≥0在R 上单调递增，则a 取值的范围是( )A. (−∞,0]B. [−1,0]C. [−1,1]D. [0,+∞)7.当x ∈[0,2π]时，曲线y =sinx 与y =2sin(3x −π6)的交点个数为( ) A. 3B. 4C. 6D. 88.已知函数为f(x)的定义域为R ，f(x)>f(x −1)+f(x −2)，且当x <3时，f(x)=x ，则下列结论中一定正确的是( ) A. f(10)>100B. f(20)>1000C. f(10)<1000D. f(20)<10000二、多选题：本题共3小题，共18分。

2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案

2024届高三12月大联考(全国乙卷)文科数学及答案

绝密★启用前2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}{}0,1,4,0,3,4M N ==，则()U M N ⋂=ð（ ）A.{}3B.{}0,2,3,4C.{}0,1,2,4D.{}0,1,2,3,42.若复数z 满足216i z z =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）3.已知实数,x y 满足不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩，则3z x y =-的最小值是（ ）A.1B.2C.3D.64.已知α为第二象限角，且终边与单位圆的交点的横坐标为45-，则5cos 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.C.5.已知P 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点，它在抛物线C 的准线l 上的射影为点,Q F 是抛物线C 的焦点，若FPQ 是边长为2的等边三角形，则抛物线C 的准线l 的方程为（ ）A.14x =-B.12x =-C.1x =- D.2x =-6.某班举办趣味数学活动，规则是：某同学从分别写有1至9这9个整数的9张卡片中随机抽取两张，将卡片上较大的数作为十位数字，较小的数作为个位数字组成一个两位数.若这个两位数与将它的个位数字与十位数字调换后得到的两位数的差为45，就视为该同学获奖.若该班同学A 参加这项活动，则他获奖的概率为（ ）A.172 B.136C.118D.197.已知函数()()cos (0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且63f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2，则ϕ=（ ）A.6πB.3πC.4πD.23π8.某校为庆祝建校60周年，有奖征集同学们设计的文创作品.王同学设计的一款文创水杯获奖，其上部分是圆台（多功能盖），下部分是正六棱台（水杯），圆台与棱台的高之比为0.382：0.618，寓意建校60周年，学校发展步入黄金期.这款水杯下部分的三视图如图所示，则这款水杯下部分的容（体）积约为（）A.B.C.D.9.已知函数()()[)2log ,43,4,3x x f x x x ∞⎧∈⎪=⎨∈+⎪-⎩，则满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为（ ）A.][0,24,6⎡⎤⋃⎣⎦B.[]11,4,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.[]11,2,482⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦D.[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦10.在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()sin cos2A Cb B C a ++=，且ABC的面积为，则22a c b+的最小值为（）A.2C.4D.11.已知双曲线2222:1(0,0)y x E a b a b-=>>，过点(),0M b -的两条直线12,l l 分别与双曲线E 的上支､下支相切于点,A B .若MAB 为锐角三角形，则双曲线E 的离心率的取值范围为（）A.⎛ ⎝B.⎛ ⎝C.∞⎫+⎪⎪⎭ D.∞⎫+⎪⎪⎭12.已知323sin ,,ln 232a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）A.b a c >> B.a b c>>C.a c b>> D.b c a>>二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,,2,1a m b ==-.若()2a b + ∥()2a b - ，则实数m 的值为__________.14.在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面,2,ABC AB AC BC PA ====，则三棱锥P ABC -的内切球的表面积等于__________.15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3220,21n n S na n S -+==-，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________.16.设函数()f x 是定义域为R 的奇函数，且x ∀∈R ，都有()()20f x f x --=.当(]0,1x ∈时，()ln 21f x x x =+-，则函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有__________个零点.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）某社区为了解居民生活垃圾分类的投放情况，对本社区10000户居民进行问卷调查（满分：100分），并从这10000份居民的调查问卷中，随机抽取100份进行统计，绘制成如图所示的频率分布直方图.（1）估计该社区10000份调查问卷得分的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数；（2）该社区从调查问卷得分为满分的居民中随机挑选了6户，其中两户为,A B ，并将这6户居民随机分配到社区两个宣传点，每个宣传点3户，且每户居民只能去一个宣传点，帮助社区工作人员开展宣传活动，求,A B 两户居民分在不同宣传点的概率.18.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，4,2,,PA PD AD AB M N ====分别为,PD AB 的中点.（1）求证：AM ⊥平面PCD ；（2）求证：MN ∥平面PBC ；（3）求三棱锥A CMN -的体积.19.（12分）已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，且1328,327a a ==，213n n nn b a -=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T .20.（12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左､右焦点分别为())12,F F ，点P 在椭圆E 上，且满足2PF x ⊥轴，12tan PF F ∠=.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设椭圆E 的右顶点为A ，左顶点为B ，是否存在异于点A 的定点(),0(0)Q m m >，使过定点(),0Q m 的任一条直线l 均与椭圆E 交于()()1122,,,M x y N x y （异于,A B 两点）两点，且使得直线AN 的斜率为直线BM 的斜率的2倍？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.21.（12分）已知函数()eexax f x x +=+，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数.（1）当1a =-时，求函数()f x 的最值；（2）当(]0,e a ∈时，讨论函数()f x 的极值点个数.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知直线l 的参数方程为4334x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+.（1）求直线l 的极坐标方程；（2）设直线l 与曲线M 交于,A B 两点，求AOB 的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()|1|||f x x x m =--+.（1）当1m =时，求不等式()1f x ≥的解集；（2）若()3f x ≤恒成立，求实数m 的取值范围.2024届高三12月大联考（全国乙卷）文科数学·全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 【解析】因为全集{}0,1,2,3,4U =，集合{}0,1,4M =，所以{}U 2,3M =ð.又{}0,3,4N =，所以(){}U3M N ⋂=ð.故选A.2.A 【解析】设()i ,z a b a b =+∈R ，则()i 2i 16i a b a b +=-+-，所以21,26a a b b =+=--，解得1,2a b =-=-，所以z ==，故选A.3.C 【解析】作出不等式组202406120x y x y x y -≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≥⎩所表示的可行域，如图中阴影部分所示.3z x y =-，即3y x z =-.当直线3y x =自左上向右下平移时，z -逐渐减小，z 逐渐增大，所以当直线3y x z =-经过直线20x y -=与直线6120x y --=的交点()3,6C 时，z 取得最小值，最小值为3363⨯-=.故选C .4.D 【解析】由题意，得43cos ,sin 55αα=-=，所以5333cos cos cos cos sin sin 4444ππππαααα⎛⎫⎛⎫-=+=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故选D.5.B 【解析】不妨设点P 的坐标为()()1111,0,0x y x y >>，依题意，得FQ PQ =，即12p x =+①.又2112y px =②，联立①②，解得113,2p x y ==.22p ==，得1p =，所以抛物线C 的准线l 的方程为122p x =-=-，故选B .6.D 【解析】设同学A 随机抽取得到的两位数的十位数字为x ，个位数字为()y x y >.依题意，若2x =，则1y =，有1种情况；若3x =，则1,2y =，有2种情况⋅ 若9x =，则1,2,,8y = ，有8种情况，共计有12836+++= 种情况，其中满足获奖的情况是()()101045x y y x +-+=，即5x y -=，也即获奖情况只有6,1;7,2;8,3;9,4x y x y x y x y ========，这4种情况，所以该班同学A 参加这项活动获奖的概率为41369=.故选D.7.B 【解析】因为()()cos (0)f x x ωϕω=+>在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，且263f f ππ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2,1366T f ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以2,cos 13πωϕ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，所以()23k k πϕπ=+∈Z .又0ϕπ<<，所以3πϕ=，故选B.8.A 【解析】由三视图，知这款水杯的下部分是上底边长为4，下底边长为3，高为6的正六棱台，226364S S ====下底上底，所以这款水杯下部分的容（体）积约为(11633V S S h =++⨯=⨯⨯=下底上底.故选A.9.D 【解析】令()1f x =，则()()2log 10,4xx =∈∣或[)()314,3x x ∞=∈+-，解得12x =或2x =或6x =.令()3f x =，则()()2log 30,4xx =∈∣或[)()334,3x x ∞=∈-，解得18x =或4x =.画出函数()f x 图象的草图（如图），得满足()13f x ≤≤的x 的取值范围为[]11,2,682⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦.故选D.10.B 【解析】由正弦定理和()sin cos 2A Cb B C a ++=，得sin sin sin sin 2B B A A ⋅=⋅.因为sin 0,sin02B A >>，所以1cos 22B =.因为0,22B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以23B π=.又ABC1sin 2ac B =，所以4ac =.由余弦定理，得222222cos 312b a c ac B a c ac ac =+-=++≥=，当且仅当a c =时取等号，所以b ≥，所以22244a cb b b b b+-==-.因为函数4y b b =-在)∞⎡+⎣上单调递增，所以当b =时，22a c b +故选B.11.D 【解析】如图，设过点(),0M b -的直线()1:(0)l y k x b k =+>，联立()22221y k x b y x ab ⎧=+⎪⎨-=⎪⎩，整理，得()()222232222220b k axb k x b b k a -++-=，依题意，得()2642222Δ440b k bb ka=--=，所以2222a k b=.由双曲线的对称性，得201k <=<，所以()2222a c a <-，整理，得双曲线E的离心率c e a =>故选D.12.B 【解析】方法一：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.设()1ln g x x x =--，则()111x g x x x -=-='，当[)1,x ∞∈+时，()10x g x x-=≥'，所以()3111ln102g g ⎛⎫>=--= ⎪⎝⎭，所以331ln 22->，即13ln 22>，所以213ln 322b c =>>=.综上，得a b c >>，故选B .方法二：因为sin y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以32sin sin 233a b π=>=>=.又213ln 322b c =>=>==.综上，得a b c >>，故选B.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.12-【解析】因为()()1,,2,1a m b ==- ，所以()()24,21,23,2a b m a b m +=--=-+ .又()2a b + ∥()2a b - ，所以()()423210m m ++-=，解得12m =-.故填12-.14.1225π【解析】如图，由已知，得ABC 的面积为112⨯=三棱锥P ABC -在底面ABC 上的高为PA =，等腰三角形PBC 底边BC 上的高为2，所以三棱锥P ABC -的表面积1122222S =⨯⨯+⨯⨯=，体积113V ==.又三棱锥P ABC -的体积13V Sr =（其中r 为三棱锥P ABC -内切球的半径），所以r =，所以三棱锥P ABC -的内切球的表面积为212425r ππ=.故填1225π.15.53n -+ 【解析】方法一：当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.又220n n S na n -+=，所以()()1222n n n n a n a a S -+==，所以数列{}n a 为等差数列.又321S =-，所以()313212a a +=-，解得312a =-，所以数列{}n a 的公差3152a a d -==-，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.方法二：*,220n n n S na n ∀∈-+=N 恒成立，当1n =时，11220S a -+=，解得12a =-.当3n =时，332360S a -+=，且321S =-，解得312a =-.当2n ≥时，()()1121210n n S n a n ----+-=①，又220n n S na n -+=②，①-②，得()()12120n n n a n a -----=③，所以()1120n n n a na +---=④.④-③，得()()11120n n n n a a a +---+=.因为2n ≥，所以1120n n n a a a +--+=，即11n n n n a a a a +--=-.又132,12a a =-=-，所以数列{}n a 是首项为-2，公差为-5的等差数列，所以数列{}n a 的通项公式为53n a n =-+.故填53n -+.16.6 【解析】如图，因为函数()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()()f x f x -=-，且()00f =.又()()20f x f x --=，即()()2f x f x =-，所以函数()f x 的图象关于直线1x =对称，且()()()2f x f x f x +=-=-，所以()()()42f x f x f x +=-+=，所以4是函数()f x 的一个周期，所以()()()0240f f f ===.易知函数()ln 21f x x x =+-在(]0,1上单调递增，且()11ln 11ln20,1ln1211022f f ⎛⎫=+-=-<=+-=>⎪⎝⎭，所以函数()f x 在区间()0,1上仅有1个零点，且零点在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭上.由对称性，知函数()f x 在区间()1,2上有且仅有1个零点.因为()f x 是定义域为R 的奇函数且是4是它的一个周期，所以()()40f x f x -+=，所以函数()f x 的图象关于点()2,0中心对称，所以函数()f x 在区间()2,4上有且仅有2个零点.因为函数()f x 在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上没有零点，所以函数()f x 在区间94,2⎛⎫⎪⎝⎭上没有零点.结合()()240f f ==，得函数()f x 在区间19,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有6个零点.故填6.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（12分）【解析】（1）由频率分布直方图，得样本平均数为()550.008650.012750.024850.040950.01610x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯79.4=，所以估计该社区10000份调查问卷得分的平均数为79.4.因为这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的频率为()90850.0400.016100.36-⨯+⨯=，所以估计该社区这10000户居民中调查问卷得分不低于85分的居民户数为100000.363600⨯=.（2）将6户居民分别记为,,,,,A B c d e f ，依题意，6户居民被随机分到两个宣传点的所有情况有(),ABc def ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,ABd cef ABe cdf ABf cde Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd cde ABf ，()()(),,,,,cdf ABe cef ABd def ABc ，共20种，其中,A B 两户居民分在不同宣传点的情况有()()()()(),,,,,,,,,Acd Bef Ace Bdf Acf Bde Ade Bcf Adf Bce ，()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,Aef Bcd Bcd Aef Bce Adf Bcf Ade Bde Acf Bdf Ace Bef Acd ，共12种，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率123205P ==.另解：若采用排列组合解答酌情给分：6户居民均分到两个宣传点共有36C 种情况，其中,A B 两户居民分在相同宣传点有142C 种情况，所以,A B 两户居民分在不同宣传点的概率14362C 31C 5P =-=.18.（12分）【解析】（1）因为底面ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥.又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD CD =⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD .又AM ⊂平面PAD ，所以CD AM ⊥.因为在PAD 中，,PA PD AD M ==为PD 的中点，所以AM PD ⊥.又,CD PD D CD ⋂=⊂平面,PCD PD ⊂平面PCD ，所以AM ⊥平面PCD .（2）如图，取PC 的中点E ，连接,ME BE .因为M 为PD 的中点，所以ME ∥CD ，且12ME CD =.又N 为AB 的中点，底面ABCD 为矩形，所以BN∥CD ，且12BN CD =，所以BN ∥EM ，且BN EM =，所以四边形NBEM 为平行四边形，所以BE ∥NM .又BE ⊂平面,PBC MN ⊄平面PBC ，所以MN∥平面PBC .（3）如图，因为,4,2A CMN M ACN V V PA PD AD AB --=====，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以点P 到平面ABCD 的距离即为等边三角形PAD 的高，所以点P 到平面ABCD 的距离为4=.又M 为PD 的中点，所以点M 到平面ANC 又11422ANC S =⨯⨯= ，所以123M ACN V -=⨯=A CMN -.19.（12分）【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >.由1328,327a a ==，得228327q =，解得249q =.因为{}n a 的各项均为正数，所以23q =，所以数列{}n a 是以23为首项，23为公比的等比数列，所以数列{}n a 的通项公式为1222333n nn a -⎛⎫⎛⎫=⨯= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（2）由（1）得21212132233n nn n n n n n n b a ---===⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，所以1221321222n n n n T b b b -=+++=+++ ，231113212222n n n T +-=+++ ，两式相减，得23111111212222222n n n n T +-⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 1111112142212212n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+⨯--1323,22n n ++=-所以2332n nn T +=-.20.（12分）【解析】（1）因为2PF x ⊥12tan PF F ∠，解得21,2PF =所以172PF ==.根据椭圆的定义，得12712422a PF PF =+=+=，解得2a =.又c =，所以2221b a c =-=，所以椭圆E 的标准方程为2214x y +=.（2）假设存在满足题意的定点(),0Q m .依题意，设直线l 的方程为,0x ty m m =+>，联立2214x ty m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 并整理，得()2224240t y tmy m +++-=，由()()()22222Δ(2)4441640tm t mt m =-+-=-+>，得224m t <+.由根与系数的关系，得212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++.由()()2,2,0,2,0ANBM k k A B =-，得2121222y y x x =⋅-+，所以2121222y y ty m ty m =⋅+-++，即()()1212222m y m y ty y --++=，所以()()()212242224t m m y m y t ---++=+，所以()()()21221224222424t m m y m y t tm y y t ⎧-⎪--++=⎪+⎨⎪+=-⎪+⎩，所以()()()()()21212222222224m y m y tm m m y m y t ⎧⎪--++=⎪⎨+⎪+++=-⎪+⎩②，②-①，得()()()12232324t m m m y t -+--=+，当320m -≠时，解得()()12222424t m y t t m y t ⎧-+=⎪⎪+⎨--⎪=⎪+⎩，所以()()22122244t m y y t-=+.又212244m y y t -=+，所以()()2222224444t m mt t --=++.因为上式在t 变化时恒成立，所以240m -=.又0m >，所以2m =.此时点Q 与点A 重合，不合题意，舍去；所以320m -=，即23m =，此时点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆E 的内部，满足直线l 均与椭圆E 交于,M N 两点，所以存在定点2,03Q ⎛⎫⎪⎝⎭满足题意，23m =.21.（12分）【解析】（1）当1a =-时，()e e x x f x x -+=+，则()e 1e e 11e ex x xx x f x '--+--=+=.令()e e 1xx x ϕ=+--，则()x ϕ在R 上单调递增，且()1e 1e 10ϕ=+--=，所以当(),1x ∞∈-时，()0x ϕ<，即()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0x ϕ>，即()0f x '>，所以()f x 在(),1∞-上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以函数()f x 在1x =处取得极小值()112ef =-，即()f x 有最小值12e-，没有最大值.（2）因为()e e x ax f x x +=+，其中(]0,e a ∈，所以()()()2e e e e e 1e ex x x x x a ax ax a f x -+⋅'-+-=+=.令()e e xg x ax a =-+-，则()e xg x a '=-.因为0a >，令()e 0xg x a =-='，则ln x a =，所以当(),ln x a ∞∈-时，()0g x '<；当()ln ,x a ∞∈+时，()0g x '>，所以()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，在()ln ,a ∞+上单调递增，所以()min ()ln 2ln e g x g a a a a ==--.设()2ln e h a a a a =--，其中(]0,e a ∈，则()1ln h a a =-'.令()1ln 0h a a =-='，解得e a =.当(]0,e a ∈时，()0h a '≥，所以()h a 在(]0,e 上单调递增，所以()max ()e 2e elne e 0h a h ==--=.所以当()0,e a ∈时，min ()2ln e 0g x a a a =--<；当e a =时，min ()0g x =.①当e a =时，min ()0g x =，即()0g x ≥，也即()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，所以()f x 没有极值点.②当()0,e a ∈时，()ln 1,a g x <在(),ln a ∞-上单调递减.设()e e ln ln t a a a a a ⎛⎫=--=+ ⎪⎝⎭，则当()0,e a ∈时，()221e e 0a t a a a a '-=-=<，所以()()e 20t a t >=>，即当()0,e a ∈时，eln a a-<.又()g x 在(),ln a ∞-上单调递减，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上单调递减，且在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以当e ,x a ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()e ee e e e e 0aa g x g a a a --⎛⎫>-=++-=+> ⎪⎝⎭，所以()g x 在e ,a ∞⎛⎫--⎪⎝⎭上没有零点，且()e ln 0g g a a ⎛⎫-⋅< ⎪⎝⎭.又()g x 在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，所以在e ,ln a a ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭内存在唯一0x ，使()00g x =，所以当()0,x x ∞∈-时，()0g x >；当()0,ln x x a ∈时，()0g x <，也即当()0,x x ∞∈-时，()0f x '>；当()0,ln x x a ∈时，()0f x '<，所以0x 为()f x 的一个极大值点.又()()10,g g x =在()ln ,a ∞+上单调递增，ln 1a <，所以当()ln ,1x a ∈时，()0g x <；当()1,x ∞∈+时，()0g x >，即当()ln ,1x a ∈时，()0f x '<；当()1,x ∞∈+时，()0f x '>，所以1为()f x 的一个极小值点，所以当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点.综合①②，当()0,e a ∈时，()f x 有2个极值点；当e a =时，()f x 没有极值点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）直线l 的参数方程为4334x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数t 并整理，得4370x y --=.因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以直线l 的极坐标方程为4cos 3sin 70ρθρθ--=.（2）由（1）知直线l 的普通方程为4370x y --=.曲线M 的极坐标方程为8cos 6sin ρθθ=+，化为直角坐标方程为22(4)(3)25x y -+-=，所以曲线M 是圆心为()4,3，半径为5的圆.又直线l 过圆心()4,3，所以10AB =，所以原点O 到直线l的距离75d ，所以AOB 的面积1710725AOB S =⨯⨯= .23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）当1m =时，()2,1112,11,2,1x f x x x x x x -≥⎧⎪=--+=--<<⎨⎪≤-⎩所以()1f x ≥可化为211x ≥⎧⎨≤-⎩，或2111x x -≥⎧⎨-<<⎩，或211x -≥⎧⎨≥⎩，解得1,2x ≤-所以不等式()1f x ≥的解集为1,2∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.（2）()3f x ≤恒成立，即13x x m --+≤恒成立.因为||1|||||1|x x m m --+≤+恒成立，所以13m +≤，解得42m -≤≤，所以实数m 的取值范围是[]4,2-.。

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3-参考解析)

2022年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3-参考解析)

word 格式-可编辑-感谢下载支持2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国）理科数学一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（）A．3 B．2 C．1 D．0【答案】B【解析】A 表示圆221x y +=上所有点的集合，B 表示直线y x =上所有点的集合，故A B 表示两直线与圆的交点，由图可知交点的个数为2，即A B 元素的个数为2，故选B.2．设复数z 满足(1i)2i z +=，则z =（） A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】由题，()()()2i 1i 2i 2i 2i 11i 1i 1i 2z -+====+++-，则22112z =+=，故选C.3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，采集并整理了2022年1月至2022年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．2022年 2022年 2022年根据该折线图，下列结论错误的是（） A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 【答案】A【解析】由题图可知，2022年8月到9月的月接待游客量在减少，则A选项错误，故选A.4．5()(2)x y x y +-的展开式中33x y 的系数为（）A．-80 B．-40 C．40 D．80 【答案】C【解析】由二项式定理可得，原式展开中含33x y 的项为()()()()2332233355C 2C 240x x y y x y x y ⋅-+⋅-=，则33x y 的系数为40，故选C.5．已知双曲线22221x y C a b -=：（0a >，0b >）的一条渐近线方程为52y x =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点．则C 的方程为（）A．221810x y -= B．22145x y -= C．22154x y -= D．22143x y -= 【答案】B【解析】∵双曲线的一条渐近线方程为52y x =，则52b a =① 又∵椭圆221123x y +=与双曲线有公共焦点，易知3c =，则2229a b c +==② 由①②解得2,5a b ==，则双曲线C 的方程为22145x y -=，故选B.6．设函数π()cos()3f x x =+，则下列结论错误的是（）A．()f x 的一个周期为2π- B．()y f x =的图象关于直线8π3x =对称C．()f x π+的一个零点为π6x = D．()f x 在π(,π)2单调递减【答案】D【解析】函数()πcos 3f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象可由cos y x =向左平移π3个单位得到， 如图可知，()f x 在π,π2⎛⎫ ⎪⎝⎭上先递减后递增，D选项错误，故选D.π23π53-π36πx y O7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N的最小值为（） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D【解析】程序运行过程如下表所示：S Mt 初始状态 0 100 1第1次循环结束 100 10- 2第2次循环结束 90 1 3此时9091S =<首次满足条件，程序需在3t =时跳出循环，即2N =为满足条件的最小值，故选D.8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A．π B．3π4 C．π２D．π4【答案】B【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径2213122r ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，则圆柱体体积23ππ4V r h ==，故选B.9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若2a ，3a ，6a 成等比数列，则{}n a 前6项的和为（）A．24- B．3- C．3 D．8 【答案】A【解析】∵{}n a 为等差数列，且236,,a a a 成等比数列，设公差为d . 则2326a a a =⋅，即()()()211125a d a d a d +=++又∵11a =，代入上式可得220d d +=又∵0d ≠，则2d =-∴()61656561622422S a d ⨯⨯=+=⨯+⨯-=-，故选A.10．已知椭圆2222:1x y C a b +=（0a b >>）的左、右顶点分别为1A ，2A ，且以线段1A 2A 为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（）A．63 B．33 C．2３D．13【答案】A【解析】∵以12A A 为直径为圆与直线20bx ay ab -+=相切，∴圆心到直线距离d 等于半径，∴222abd a a b ==+ 又∵0,0a b >>，则上式可化简为223a b =∵222b a c =-，可得()2223a a c =-，即2223c a = ∴63c e a ==，故选A11．已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有惟一零点，则a =（）A．1-２B．13 C．12D．1【答案】C【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有惟一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．12．在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为（） A．3 B．22 C．5D．2【答案】A【解析】由题意，画出右图．设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴， AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系， 则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．∴22125BD =+=． ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ． ∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．12||||2222||5||||55BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C 的半径为255． ∵P 在C 上．∴P 点的轨迹方程为224(2)(1)5x y -+-=． 设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下：00225cos 5215sin 5x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩而0(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =．∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴0151cos 25x μθ==+，0215sin 5y λθ==+． 两式相加得：()A O DxyBPCE222515sin 1cos 552552()()sin()552sin()3λμθθθϕθϕ+=+++=+++=++≤(其中5sin 5ϕ=，25cos 5ϕ=) 当且仅当π2π2k θϕ=+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3．二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．若x ，y 满足约束条件0,20,0,-⎧⎪+-⎨⎪⎩x y x y y ≥≤≥则34z x y =-的最小值为________．【答案】1-【解析】由题，画出可行域如图：目标函数为34z x y =-，则直线344zy x =-纵截距越大，z 值越小． 由图可知：z 在()1,1A 处取最小值，故min31411z =⨯-⨯=-．A B (1,1)(2,0)x y -=20x y +-=yx14．设等比数列{}n a 满足121a a +=-，133a a -=-，则4a =________．【答案】8-【解析】{}n a 为等比数列，设公比为q ．121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即1121113a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①②， 显然1q ≠，10a ≠，②①得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =，()3341128a a q ∴==⨯-=-．15．设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【答案】1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成30︒角； ②当直线AB 与a 成60︒角时，AB 与b 成60︒角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45︒； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60︒．其中正确的是________（填写所有正确结论的编号） 【答案】②③【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变， B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆．以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为y 轴正方向， CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系． 则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =． B 点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'， 其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．那末'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=．设AB '与a 所成夹角为π[0,]2α∈， 则(cos ,sin ,1)(0,1,0)22cos |sin |[0,]22a AB θθαθ--⋅==∈'． 故ππ[,]42α∈，所以③正确，④错误．设AB '与b 所成夹角为π[0,]2β∈，cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)2|cos |2AB b b AB b AB βθθθ'⋅='-⋅='=. 当AB '与a 夹角为60︒时，即π3α=，12sin 2cos 2cos 2322πθα====． ∵22cos sin 1θθ+=，∴2|cos |2θ=． ∴21cos |cos |22βθ==．∵π[0,]2β∈．∴π=3β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．三、解答题：（共70分．第17-20题为必考题，每一个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答） （一）必考题：共60分． 17．（12分）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知sin 3cos 0A A +=，27a =，2b =． （1）求c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．【解析】（1）由sin 3cos 0A A +=得π2sin 03A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即()ππ3A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈，∴ππ3A +=，得2π3A =.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.又∵127,2,cos 2a b A ===-代入并整理得()2125c +=，故4c =.（2）∵2,27,4AC BC AB ===， 由余弦定理22227cos 27a b c C ab +-==. ∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形， 则cos AC CD C =⋅，得7CD =.由勾股定理223AD CD AC =-=.又2π3A =，则2πππ326DAB ∠=-=， 1πsin 326ABD S AD AB =⋅⋅=△.18．（12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[)2025，，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温 [)1015， [)1520， [)2025， [)2530， [)3035， [)3540， 天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率． （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 【解析】⑴易知需求量x 可取200,300,500()21612003035P X +===⨯()3623003035P X ===⨯()257425003035P X ++===⨯. 则分布列为：X 200 300 500P1525 25 ⑵①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max400Y =，当200n =时取到.②当200300n <≤时：()()4122002200255Y n n =⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣⎦ 880026800555n n n -+=+= 此时max520Y =，当300n =时取到.③当300500n <≤时，()()()()12220022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 320025n -=此时520Y <.④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况.综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520.19．（12分）如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．ABDCBD ，AB BD ．（1）证明：平面ACD 平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分．求二面角D AE C 的余弦值．【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ； ABC ∆为等边三角形DAB C EDABC EO∴BO AC ⊥ ∴AB BC = AB BC BD BDABD DBC =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩ABD CBD ∴∆≅∆. ∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥令AB a =，则AB AC BC BD a ==== 易得：22OD a =，32OB a = ∴222OD OB BD +=由勾股定理的逆定理可得2DOB π∠=即OD OB ⊥ OD AC OD OB AC OB O AC ABC OB ABC⊥⎧⎪⊥⎪⎪=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面⑵由题意可知V V D ACE B ACE--= 即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点以O 为原点，OA 为x 轴正方向，OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫⎪⎝⎭，30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()13,1,3n =220AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，则12127cos 7n nn nθ⋅==⋅20．（12分）已知抛物线2:2C y x ，过点（2，0）的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；（2）设圆M 过点P （4，2），求直线l 与圆M 的方程．DABC EyxOz【解析】⑴显然，当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意．设:2l x my =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立：222y xx my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=，2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=，124y y =-．1212OA OB x x y y ⋅=+12(2)(2)my my =++21212(1)2()4m y y m y y =++++24(1)2(2)4m m m =-+++0=∴OA OB ⊥，即O 在圆M 上． ⑵若圆M 过点P ，则0AP BP ⋅= 1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++= 1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=化简得2210m m --=解得12m =-或者1①当12m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ，120122y y y +==-，0019224x y =-+=， 半径2291||42r OQ ⎛⎫⎛⎫==+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则圆229185:()()4216M x y -++=②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，12012y yy +==，0023x y =+=， 半径22||31r OQ ==+ 则圆22:(3)(1)10M x y -+-=21．（12分）已知函数()1ln f x x a x =--．（1）若()0f x ≥，求a 的值；（2）设m 为整数，且对于任意正整数n ，2111(1)(1)(1)222nm ，求m 的最小值．【解析】⑴ ()1ln f x x a x =--，0x >则()1a x af x x x-'=-=，且(1)0f =当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <，不满足题意；当0a >时，当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减； 当x a >时，()0f x '>，则()f x 在(,)a +∞上单调递增．①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立word 格式-可编辑-感谢下载支持∴11ln(1)22k k+<，*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1)...112222222n n n++++++<+++=-<， 即2111(1)(1)...(1)e 222n+++<． 另一方面：223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264n +++>+++=> 当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222n+++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222nm +++<， ∴m 的最小值为3．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为,,x t y kt =2+⎧⎨=⎩（t 为参数），直线l 2的参数方程为,,x m m y k =-2+⎧⎪⎨=⎪⎩（m 为参数），设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1）写出C 的普通方程：（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设:(cos sin )l ρθθ3+-2=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．【解析】⑴将参数方程转化为普通方程()1:2l y k x =- ……① ()21:2l y x k=+ ……② ①⨯②消k 可得：224x y -=即P 的轨迹方程为224x y -=； ⑵将参数方程转化为普通方程 3:20l x y +-= ……③ 联立曲线C 和3l 22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩ 解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 由cos sinx y ρθρθ=⎧⎨=⎩解得5ρ= 即M 的极半径是5．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数()||||f x x x =+1--2．（1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．【解析】⑴()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得： ①当1-x ≤时显然不满足题意；word 格式-可编辑-感谢下载支持②当12x -<<时，211-x ≥，解得1x ≥；③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥. ⑵不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥， 令()()2g x f x x x =-+，则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥. 而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩x x x g x x x x x x x ≤≥.①当1-x ≤时，()()max13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦；②当12x -<<时，()2max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭；③当2x ≥时，()()2max22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦.综上，()max 54g x =⎡⎤⎣⎦，故54m ≤.。

学科网高三联考数学试卷

学科网高三联考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -1C. 1D. 52. 下列各式中，正确的是（）A. sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβB. cos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβC. tan(α + β) = tanαtanβD. cot(α + β) = cotαcotβ3. 已知复数z = 3 + 4i，则|z|的值为（）A. 5B. 7C. 9D. 124. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 3，S5 = 50，则公差d为（）A. 2B. 3C. 4D. 55. 已知函数y = x^2 - 4x + 4，则该函数的对称轴方程为（）A. x = 2B. y = 2C. x = 0D. y = 06. 在三角形ABC中，已知a = 3，b = 4，c = 5，则cosA的值为（）A. 1/3B. 2/3C. 3/4D. 4/57. 已知数列{an}满足an = 2an-1 + 1，且a1 = 1，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 1B. an = 2^n + 1C. an = 2^n - 2D. an = 2^n + 28. 下列各式中，正确的是（）A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1 - cosx/x^2) = 1/2C. lim(x→0) (tanx/x) = 1D. lim(x→0) (1/cosx - 1) = 09. 已知函数y = log2x，则y'的值为（）A. 1/(xln2)B. 1/(xln2)^2C. 1/(xln2)^3D. 1/(xln2)^410. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 1，an = 2an-1 + 3，则数列{an}的通项公式为（）A. an = 2^n - 2B. an = 2^n + 2C. an = 2^n - 3D. an = 2^n + 3二、填空题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，且a1 + a3 = 12，a1 + a4 = 18，则d =_______。

安徽省天域全国名校协作体2023-2024学年高三联考数学试题(含答案)

安徽省天域全国名校协作体2023-2024学年高三联考数学试题(含答案)

绝密★考试结束前2023-2024学年第二学期天域全国名校协作体联考高三年级数学学科试题考生须知：1．本卷共5页满分150分，考试时间120分钟。

2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。

3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。

4．考试结束后，只需上交答题纸。

选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知,A B 是全集U 的非空子集，且U A B ⊆ð，则（）A ．B A⊆B ．U B A⊆ðC ．U U A B⊆ððD ．A B⊆2.我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图象特征．则函数22()1xf x x =-+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．3.已知复数(,)z a bi a b R =+∈且2(42)40x i x ai -+++=有实数根b ，则2||z =（）A.3B.12C.5D.204．已知等边△ABC 的边长为2，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，若2DE EF=，则EF AF ⋅=（）A ．1B ．45C ．65D ．545．已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=-，则双曲线离心率的最小值为（）A 6B ．5C ．2D 36．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A ．26B ．63C ．57D ．257.已知函数()f x 的定义域为R ，且(2)2f x +-为奇函数，(31)f x +为偶函数，(1)0f =，则20241()k f k ==∑（）A ．4036B ．4040C ．4044D ．40488.已知直线)0(0:22≠+=++B A C By Ax l 与曲线3:W y x x =-有三个交点D 、E 、F ，且2DE EF ==，则以下能作为直线l 的方向向量的坐标是（）.A.()10， B.()11-， C.)(11， D.()01，二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知由样本数据()i i x y ，（12310i = ，，，，）组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ3y x =-+，且4x =．剔除一个偏离直线较大的异常点(51)--，后，得到新的回归直线经过点(64)-，．则下列说法正确的是A ．相关变量x y ，具有正相关关系B ．剔除该异常点后，样本相关系数的绝对值变大C ．剔除该异常点后的回归直线方程经过点(51)-，D ．剔除该异常点后，随x 值增加相关变量y 值减小速度变小10．在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(,)M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A ．ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()()2f f θθ+≥C ．若()()f g θθ=2，则3sin 25θ=D ．()()f g θθ是周期函数11．如图，多面体PS ABCD -由正四棱锥P ABCD -和正四面体S PBC -组合而成，其中PS =1，则下列关于该几何体叙述正确的是A.该几何体的体积为24B.该几何体为七面体C.二面角A-PB-C 的余弦值为13-D.该几何体为三棱柱非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43,45,45,45,49,50,50,51,51,53,57(单位:mm)，现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为_________．13.已知偶函数()()ϕω+=x x f sin ()0>ω的图像关于点⎪⎭⎫ ⎝⎛03，π中心对称，且在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π，上单调，则ω=.14．若实数y x ,满足2522=+y x ，则y x y x 68506850-++++的最大值为_________16.（15分）据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务。

2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案

2024届高三上学期10月大联考(全国乙卷)文科数学试题及答案

绝密★启用前2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}215,1,1,3A x x B =∈+<=-Z∣，则A B ⋃中元素的个数为（）A.3B.4C.5D.62.已知命题200:p x x ∃≥>，则命题p 的否定为（）A.200x x ∃<≤ B.2x x ∀≥<C.2x x ∀<> D.2x x ∀≥≤3.若不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，则a =（）A.12-B.12C.14-D.144.若函数()e ,3ln 2,3x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩，则()()2ef f =（）A.-1B.-2C.1D.ln22-5.已知54:1,:log 2(033a p a q a <<>>且1)a ≠，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.函数()242log 2xf x x x+=-的大致图象是（）A. B.C. D.7.白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT ）逐渐被应用于超市购物袋､外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT 最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（100%=⨯已分解质量分解率总质量）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为100g 的PBAT 的已分解质量y （单位：g ）与时间x （单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT 的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量y 与时间x 的函数关系式为 4.60.1100e x y -=-.据此研究结果可以推测，总质量为100g 的PBAT 被分解为对环境无害的物质的时间至少为（）（参考数据：ln40 3.7≈）A.8个月B.9个月C.10个月D.11个月8.已知,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，且()()17cos cos cos sin sin sin ,sin cos 510ααβααβαβ-+-==，则()sin αβ+=（）A.45B.35 C.25D.3109.已知O 是ABC 所在平面内一点，若0,,,,,OA OB OC AM xAB AN y AC MO ON x y λ++====均为正数，则xy 的最小值为（）A.12B.49C.1D.4310.若函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭∣的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数为（）①2ω=；②6πϕ=-；③()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；④32f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.A.1B.2C.3D.411.已知函数()f x 是偶函数，当0x >时，()2log 1f x x =-，则不等式()()102x f x f x -≥--的解集是（）A.11,00,22⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B.][()2,11,2--⋃C.112,0,22⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.()[)11,2,00,1,222∞⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12.已知函数()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>，则11e 2,e ,ff fππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的大小关系为（）A.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.B.11e 2e ff f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.11e2e f ff ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D.11e e 2f f f ππ⎛⎫⎛⎫-<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()()1,2,2,a b x =-= ，若a b ⊥ ，则实数x =__________.14.请写出一个满足对任意的()12,0,x x ∞∈+；都有()()()1212f x x f x f x =的函数__________.15.《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测量某建筑物上面一座信号塔的高度.如图，把塔底与塔顶分别看作点C ，D ，CD 与地面垂直，小李先在地面上选取点A ，B （点,A B 在建筑物的同一侧，且点,,,A B C D 位于同一个平面内），测得AB =，在点A 处测得点,C D 的仰角分别为30,67 ，在点B 处测得点D 的仰角为33.5 ，则塔高CD 为__________m .（参考数据：3sin375≈）16.已知函数()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，则实数a 的取值范围为__________.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）已知向量()()sin cos ,1,2cos ,1a x x b x =+=- ，函数()f x a b =⋅，将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象.（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）解方程()0g x =.18.（12分）如图，在平行四边形ABCD 中，13AM AD = ，令,AB a AC b ==.（1）用,a b表示,,AM BM CM ；（2）若2AB AM ==，且10AC BM ⋅= ，求cos ,a b.19.（12分）某公园池塘里浮萍的面积y （单位：2m ）与时间t （单位：月）的关系如下表所示：时间/t 月1234浮萍的面积2/m y 35917现有以下三种函数模型可供选择：①y kt b =+，②t y p a q =⋅+，③log a y m t n =⋅+，其中,,,,,,k b p q m n a 均为常数，0a >且1a ≠.（1）直接选出你认为最符合题意的函数模型，并求出y 关于t 的函数解析式；（2）若该公园池塘里浮萍的面积蔓延到22215m ,31m ,211m 所经过的时间分别为123,,t t t ，写出一种123,,t t t 满足的等量关系式，并说明理由.20.（12分）在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且__________.1cossin C A -=；②sin sin sin sin A C A Bbc ab ac --=两个条件中任选一个，填入上面横线处，并解决下列问题.（1）求C ；（2）若ABC 外接圆的半径为ABC 的面积为ABC 的周长.注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分.21.（12分）已知函数()2e 1xf x ax x =-+-.（1）当1a =时，求曲线()y f x =在1x =处的切线方程；（2）若()0f x =有两个不等的实根，求实数a 的取值范围.22.（12分）已知函数()ln 4,f x x a x a =--∈R .（1）讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =时，令()()()2e xF x x f x =--，若0x x =为()F x 的极大值点，证明：()001F x <<.2024届高三10月大联考（全国乙卷）文科数学•全解全析及评分标准一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.B 【解析】因为{}{}221541,0,1,1,1,3A x x x x B =∈+<=∈<=-=-ZZ ∣∣，所以{}1,0,1,3A B ⋃=-，有4个元素，故选B.2.D 【解析】根据特称命题的否定为全称命题，知命题“200x x ∃≥>”的否定是“2x x ∀≥”，故选D.3.A 【解析】因为不等式2510x ax -+<的解集为1,a a ⎛⎫⎪⎝⎭，所以15a a a +=，解得12a =±.又1a a >，所以1a >或0a <，所以12a =-（12a =不满足题意，舍去），当12a =-时，2(5)40a -->，故选A.4.C 【解析】因为2e 3>，所以()22e lne20f =-=，所以()()()2e 0e01f f f ==-=，故选C.5.B 【解析】对于q ，若4log 23a>，则24log log 3a a a >.当01a <<时，243a >，无解.当1a >时，243a <，得2313a <<，即不等式4log 23a >的解集为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.因为1,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⫋51,3⎛⎫⎪⎝⎭，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B.6.D【解析】方法一：由题意，知函数()242log 2xf x x x+=-的定义域为()2,2-，关于原点对称，且()()242()log 2xf x x f x x --=-=-+，所以函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；当()0,2x ∈时，212x x +>-，即42log 02xx +>-，因此()0f x >，故排除A.故选D.方法二：由方法一，知函数()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，故排除B,C ；又()211log 302f =>，所以排除A.故选D.7.C 【解析】令 4.60.1100e 60x y -=->，得0.1 4.6ln400.9x >-≈，解得9x >，故至少需要10个月，总质量为100g 的PBAT 才会被分解为对环境无害的物质.故选C.8.A【解析】因为()()1cos cos cos sin sin sin 5ααβααβ-+-=，所以()11cos 5αβ--=，所以()4cos 5αβ-=.因为,0,,2παβαβ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭，所以02παβ<-<，所以()3sin 5αβ-=，所以3sin cos cos sin 5αβαβ-=.又7sin cos 10αβ=，所以1cos sin 10αβ=，所以()714sin sin cos cos sin 10105αβαβαβ+=+=+=.故选A.9.B 【解析】因为0OA OB OC ++=，所以点O 是ABC 的重心，所以()()211323AO AB AC AB AC =⨯+=+ .因为,AM xAB AN y AC ==，所以11,AB AM AC AN x y == ，所以1133AO AM AN x y=+ .因为MO ON λ=，所以,,M O N 三点共线，所以11133x y +=，即113x y+=.因为,x y 均为正数，所以11x y +≥32≤，所以49xy ≥1132x y ==，即23x y ==时取等号），所以xy 的最小值为49.故选B.10.C 【解析】由题图，得2A =，最小正周期54126T πππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭.又2T ππω==，所以2ω=，故①正确；()()2sin 2f x x ϕ=+，又()f x 的图象过点5,212π⎛⎫⎪⎝⎭，所以522122k k ππϕπ⨯+=+∈Z ，所以2,3k k πϕπ=-∈Z .又2πϕ<，所以3πϕ=-，故②错误；()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令23t x π=-，当526x ππ<<时，2433t ππ<<，函数sin y t =在24,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故③正确；2sin23f πππ⎛⎫⎛⎫-=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选C.11.D【解析】根据题意，作出函数()y f x =的图象，如图所示.因为函数()y f x =是偶函数，所以()()f x f x -=.由()()102x f x f x -≥--，得()10x f x -≥-，所以()10x f x -≤，所以()()()100f x x f x ⎧-≤⎪⎨≠⎪⎩，所以()100x f x -≥⎧⎨<⎩或()100x f x -≤⎧⎨>⎩，观察图象，得12x ≤<或102x <<或102x -<<或2x <-，故选D.12.B 【解析】易知()2cos (1)xxf x a ax x a -=+++>是偶函数，()()ln 2sin x x f x a a a x x -=-+-'，当0x >时，因为1a >，所以ln 0,0x x a a a ->->.令()2sin ,0x x x x ϕ=->，则()2cos 0x x ϕ=->'，所以()x ϕ单调递增，所以()()00x ϕϕ>=，所以()()0,f x f x '>在()0,∞+上单调递增.构造函数()ln xg x x=，则()21ln xg x x-='.令()0g x '>，得0e x <<，令()0g x '<，得e x >，所以()g x 在区间()0,e 上单调递增，在区间()e,∞+上单调递减.又ln2ln424=，所以()()()4e g g g π<<，所以ln2ln4ln lne24e ππ=<<，所以111e22e ππ<<，所以111e ee e ff f f ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即11ee f f f ππ⎛⎫⎛⎫<<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选B .二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.1【解析】因为a b ⊥ ，所以()1220x ⨯+-=，解得1x =.故填1.14.()12f x x-=（答案不唯一）【解析】任意定义域为()0,∞+的幂函数均可，例如()12f x x-=，()()()()()111122221212121212,f x x x x f x f x x x x x ----==⋅=，即()()()1212f x x f x f x =成立.故可填()12f x x-=.15.24【解析】如图，延长DC 与BA 的延长线交于点E ，则67,30,33.5DAE CAE DBA ∠∠∠=== ，所以33.5ADB ∠= ，所以AD AB ==在ACD 中，37,120CAD ACD ∠∠==，由正弦定理，得3sin37524sin120AD CD =≈=.故填24.16.[)1,∞+【解析】()()ln 2f x x a x x =+-的定义域为()0,∞+，由()()ln 2f x x a x x =+-在定义域上单调递增，得()ln 10af x x x=+-≥'在()0,∞+上恒成立，即ln a x x x ≥-在()0,∞+上恒成立.设()ln (0)g x x x x x =->，所以只需()max (),ln a g x g x x -'≥=，当01x <<时，()0g x '>，当1x >时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减，所以()max ()11g x g ==，所以1a ≥，所以实数a 的取值范围为[)1,∞+.故填[)1,∞+.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（10分）【解析】（1）由已知，得()f x a b =⋅()2cos sin cos 1x x x =+-sin 2cos 2x x=+24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以函数()f x 的最小正周期222T πππω===.由222242k x k k πππππ-≤+≤+∈Z ，解得3,88k x k k ππππ-≤≤+∈Z ，所以函数()f x 的单调递增区间为3,,88k k k ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()226412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象.令()2012g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得2,12x k k ππ-=∈Z ，解得,224k x k ππ=+∈Z ，所以方程()0g x =的解集为,224k x x k ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣.18.（12分）【解析】（1）因为,AB a AC b ==，所以BC AC AB b a =-=-，所以()11,33AM BC b a ==-所以()114333BM AM AB b a a b a =-=--=- ，所以()14123333CM BM BC b b a a b =-=---=-- .（2）方法一：由（1）知()114,333AM b a BM =-=-.又,10,2AC b AC BM AB AM =⋅===，所以()14110,2,2333b b a b a a ⎛⎫⋅-=-== ⎪⎝⎭，即222430,236b a b b a a b -⋅=+-⋅=，解得1,a b b ⋅==所以34cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.方法二：因为1,23AM AD AM ==，所以6AD =，所以6BC =.因为()22121333AC BM BC BA BA BC BA BA BC BC ⎛⎫⋅=-⋅+=-+⋅+ ⎪⎝⎭，且10AC BM ⋅= ，所以2221262cos 61033ABC ∠-+⨯⨯⨯+=，解得1cos 4ABC ∠=，所以()()22126214a b BA BC BA BA BC BA ⋅=-⋅-=-⋅+=-⨯⨯= .又2,a b ===，所以cos ,68a b a b a b⋅〈〉==.19.（12分）【解析】（1）应选择函数模型②t y p a q =⋅+.依题意，得12335,9p a q p a q p a q ⎧⨯+=⎪⨯+=⎨⎪⨯+=⎩解得12,1p a q =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以y 关于t 的函数解析式为21t y =+.（2）1231t t t +=+.理由：依题意，得3122115,2131,21211t t t +=+=+=，所以312214,230,2210t t t ===，所以1222420,t t ⋅=所以3312121222420222t t t t t t ++⋅===⨯=，所以1231t t t +=+.20.（12分）【解析】（11cossin C A -=及正弦定理，得()sin sin 1cos C A A C =-.sin 0,sin A C C ≠∴+= ，sin 32C π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭.又40,333C C ππππ<<∴<+<，2,333C C πππ∴+=∴=.若选②：由sin sin sin sin A C A B bc ab ac --=，得sin sin sin sin a A c C b A b B -=-.由正弦定理，得222a b c ab +-=.由余弦定理，得2221cos 222a b c ab C ab ab +-===.因为()0,C π∈，所以3C π=.（2）设ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理，得2sin 2sin63c R C π==⨯=.又113sin 222ABC S ab C ab ==⨯= ，所以4ab =.由222212cos ()222c a b ab C a b ab ab =+-=+--⨯，可得236()12a b =+-，解得a b +=，所以ABC 的周长为6a b c ++=.21.（12分）【解析】（1）当1a =时，()()2e 1,e 21x xf x x x f x x =-+-'=-+，()()1e 1,1e 1,f f =-=-'所以曲线()y f x =在1x =处的切线方程为()()()e 1e 11y x --=--，即()e 10x y --=.（2）显然()00f =，要使方程()0f x =有两个不等的实根，只需当0x ≠时，()0f x =有且仅有一个实根，当0x ≠时，由方程()0f x =，得2e 1x x a x+-=.令()()2e 10x x g x x x +-=≠，则直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点.()()()()()243e 12e 12e1x x x x x x x g x x x +-+---=='.又当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当02x <<时，()()0,g x g x '<单调递减，当2x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以当2x =时，()g x 取得极小值()2e 124g +=，又当0x <时，e 1x <，所以e 10x x +-<，即()0g x <，当0x >时，e 1,e 10x x x >+->，即()0g x >，所以作出()g x 的大致图象如图所示.由图象，知要使直线y a =与()()2e 10x x g x x x +-=≠的图象有且仅有一个交点，只需0a <或2e 14a +=.综上，若()0f x =有两个不等的实根，则a 的取值范围为()2e 1,04∞⎧⎫+-⋃⎨⎬⎩⎭.22.（12分）【解析】（1）函数()f x 的定义域为()()0,,1a x a f x x x∞-+=-='，①当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；②当0a >时，由()0f x '>，得x a >，由()0f x '<，得0x a <<，所以，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.综上，当0a ≤时，函数()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，函数()f x 在(),a ∞+上单调递增，在()0,a 上单调递减.（2）当1a =时，()()()()()112e ln 4,1e 11e x x x F x x x x F x x x x x ⎛⎫=--++=--+=-- ⎪⎝⎭'，设()1e x g x x =-，则()21e x g x x =+'，当0x >时，()0g x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，又()120,1e 102g g ⎛⎫=-<=-> ⎪⎝⎭，所以存在01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x =，所以当00x x <<时，()0F x '>，当01x x <<时，()0F x '<，当1x >时，()0F x '>，所以()F x 在()00,x 上单调递增，在()0,1x 上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以当0x x =时，()F x 取得极大值，且001e 0xx -=，所以00001e ,ln x x x x ==-，()()00000000000212e ln 4452x x F x x x x x x x x x ⎛⎫-=--++=--+=-+ ⎪⎝⎭.因为01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()001F x <<.。

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保密★启用前 试卷类型：A
全国学科大联考高考考试试卷
数学 科试 题 命题人：
注意事项：
1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、考场座位号、考试科目涂写在答题卡上。

2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

共150分。

考试时间120分钟。

考试时间：120分 总分：150 共计22题
第Ⅰ卷（选择题 共12题，总计60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．奇函数y =f （x ）（x ≠0），当x ∈（0，+∞）时，f （x ）=x －1，则函数f （x －1）的图象为（ ）
2. 设a >b >c ，且
c
a n
c b b a -≥-+-11，则n 的最大值为 （ ） A.2
B.3
C.4
D.5
3．命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件； B.甲是乙的必要非充分条件；
C. 甲是乙的充要条件；
D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件.
4．函数1)4
2(sin )42(
cos )(22
-++-=π
πx x x f 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
C.周期为2π的奇函数 D 。

周期为2π的偶函数
5．双曲线的焦点在y 轴上，且它的一个焦点在直线5x -2y +20=0上，两焦点关于原点对称，3
5
=a c ，
则此双曲线的方程是（ ）
A.
136642
2-=-y x B.
136
642
2=-y x C.
164
362
2-=-y
x D.
164
362
2=-y x 6. 函数x x x f +=3)(，R x ∈，当2
0π
θ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m
的取值范围是 （ ）
A. )1,0(
B. )0,(-∞
C. )2
1
,(-∞ D 。

)1,(-∞ 7. 已知函数)(x f y =的定义域为R ，它的反函数为)(1
x f
y -=，如果)(1a x f y +=-与
)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(。

（a 为非零常数）则)2(a f 的值为 （ ） A ．a - B 。

0 C 。

a D 。

a 2
8．数列}{n a 满足12
1,1221
0,2{1<≤-<
≤=+n n n n n a a a a a ，若761=a ，则2004
a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D 。

7
1 9．设直线0543=-+y x 的倾斜角为θ ，则该直线关于直线a x =（R a ∈）对称的直线的倾
斜角为 （ ） A.
θπ
-2
B. 2
π
θ-
C. θπ-2 D 。

θπ-
10. 若对于任意的],[b a x ∈，函数)(x f ，)(x g 满足10
1
|)()()(|
≤-x f x g x f ，则称在],[b a 上)
(x g 可以替代)(x f 。

若x x f =)(，则下列函数中可以在[4，16]替代)(x f 是 （ ）
A.2-x
B.
4x C. 5
6
+x D 。

62-x 11．已知x ，y 满足不等式组22224222+-++=⎪⎩
⎪⎨⎧-≥≤+≤y x y x t y y x x
y 则的最小值为 （ ）
A ．
5
9 B ．2 C ．3
D ．2
12．ABCD-A 1B 1C 1D 1单位正方体，黑白两个蚂蚁从点A 出发沿棱向前爬行，每走完一条棱称为“走完一段”。

白蚂蚁爬地的路线是AA 1→A 1D 1→……，黑蚂蚁爬行的路线是AB →BB 1→……，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2与第i 段所在直线必须是异面直线(其中i 是自然数)。

设白，黑蚂
蚁都走完2005段后各停止在正方体的某个顶点处，这时黑，白两蚂蚁的距离是 （ ）
A 、1
B 、2
C 、3
D 、0
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、 填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题目中的横线上。

） 13．不等式043)4(2≥---x x x 的解集是 。

14. 把函数y=2x 2-4x+5的图象按向量a 平移,得到y=2x 2的图象,且a ⊥b ,c =(1,-1),b •c =4,则b =___________
15．已知函数)(x f 满足：)()()(q f p f q p f ⋅=+，3)1(=f ，则
)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)
9()
10()5(2f f f += 。

16．在等比数列}{n a 中，若19=a ，则有等式n n a a a a a a -=172121 ，),17(*
∈<N n n 。

类比上述性质，相应的在等差数列}{n b 中，若09=b ，则有等式 成立。

三、 解答题：本大题共6小题，共74分，要求写出必要的解答过程，否者不能得分。

17. （本题满分12分）已知集合{}{}
222
2|190,|log (58)1A x x ax a B x x x =-+-==-+=，
集合{
}
2
28
|1,0,1x
x C x m
m m +-==≠≠满足Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，求实数a 的值。

18.(本小题12分) 已知2)11(
)(+-=x x x f )1(>x ，（1）若2)
(1
)(1++=-x x f x g ，求)(x g 的
最小值；（2）若不等式)()()1(1x m m x f x -⋅>⋅-
-对于一切]2
1
,41[∈x 恒成立，求实数m
的取值范围。

19.（本题满分12分）已知向量 a =(1,1),b =(1,0),c 满足a ∙c=0且|a|=|b|,b ∙c >0. 1).求向量c ；2）若映射=→),(),(:''y x y x f x a +y c ,
①求映射f 下（1，2）的原象；
②若将（y x ,）看作点的坐标，问是否存在直线l 使得直线上的任一点在映射f 的作用下点仍在直线上，若存在求出直线l 的方程，否则说明理由。

20．（本小题12分）学校餐厅每天供应1000名学生用餐，每星期一有A 、B 两样特色菜可供选
择（每个学生都将从二者中选一），调查资料表明，凡是在本周星期一选A 菜的，下周星期一会有20％改选B ，而选B 菜的，下周星期一则有30％改选A ，若用A n 、B n 分别表示在第n 个星期一选A 、B 菜的人数。

（1）试以A n 表示A 1+n ；（2）若A 1=200，求{A n }的通项公式； （3）问第n 个星期一时，选A 与选B 的人数相等？
21．（本小题满分12分）设1p ，2p 分别是直线3x y -
=和3
x
y =上的动点，（1p ，2p 两点的纵坐标符号相同），O 是坐标原点，且△21Op p 的面积为9。

①求线段21p p 的最小值；②求线段21p p 的中点M 的轨迹方程；③设点p 是直线21p p 上的点，且点p 分有向线段21p p 所成的比是λ（1-≠λ），求点p 的轨迹方程。

22．（本题满分14分）对于函数)(x f ，若存在R x ∈0 ，使00)(x x f =成立，则称点),(00y x 为函数的不动点。

（1）已知函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 有不动点（1，1）和（-3，-3）求a 与
b 的值；（2）若对于任意实数b ，函数)0()(2≠-+=a b bx ax x f 总有两个相异的不动点，求a
的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数)(x g 存在（有限的）n 个不动点，求证：n 必为奇数。

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