RLC的电路世界与其微分方程模型

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C、RLC電路之實際作用-------濾波
“諧振”電路的應用
C、RLC電路之實際作用-------”濾波”
諧振電路的應用
諧振電路的應用
1.帶通濾波電路
圖11-33
帶通濾波電路
帶通濾波電路之對響應曲線
諧振電路的應用
2.帶通濾波電路
帶拒濾波電路
帶拒濾波電路之對響應曲線
29
電路學中微分方程之解法應用
1 ������
j 1
+ ⋯+
������ ������ ������!
+ ⋯ = ������−1 =
1
= ������ (1 + ������ + ������2 + ⋯ + ������������ + ⋯ ), ������! ������ ������+1
1
ℒ sin������������ = ������2+������ 2
(C)電流又如何 “作功”? (D)何謂 “元件” ?
被動元件,如:電阻 (R)、電容 (C)、電感 (L)
主動元件,如:電池
在電路中,“一”個元件的電壓、電流、電阻之關係?
在電路中, “多”個元件的電壓、電流、電阻之關係?
在電路中, “多”個元件的電壓、電流、電阻之關係?
A Typical RLC Circuit
那何謂“瞬間變化率”?
在不同的 “應用層面” 有不同的 “名稱” 但,所使用的 “物理意義”全一致
瞬間變化率
在 數學系 = 斜率 (幾何學) 物理系 = 速度 (運動學) 電機系 = 電流 (電路學)
The History of Electricity
The Units of current are called amperes (A =coulomb/s)
數學建模在產學的應用:整合性教學
RLC的電路世界與其微分方程模型
電機系 苗新元 副教授
應數系 黃皇男 教授
2013-11-26
摘 要
RLC電路為目前使用電機、電器、通訊等設 備的基本元件,架構出目前多采多姿的網路世界。 本次演講先由苗新元副教授從RLC元件談起, 說明其基本功能與作用原理,進一步講解克希荷 夫電流與電壓定律(Kirchhoff's Current Law and Kirchhoff's Voltage Law),建立電路系統的數學 模型-微分方程。 接下來將由黃皇男教授針對不同類型的RLC 電路,分別推導一階或二階微分方程,藉由計算 這些方程的解,分析電路系統內的電流、電壓的 暫態與穩態反應,以及對應元件的狀態。
ห้องสมุดไป่ตู้
������ ������ + Δ������ − ������ ������ ������ ������ = lim Δ������→0 Δ������ Δ������ = ������ ������ + Δ������ − ������(������) ������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������ ������ ������ = lim = lim Δ������→0 Δ������→0 Δ������ Δ������ ������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������ ������ ������������ ������ ′ ������ = lim = lim = Δ������→0 Δ������→0 Δ������ Δ������ ������������ ������ ′
其符號又可表成
������ ′ ������ = lim
差分之定義 導函數改成 微分之定義
Δ������ = ������ ������ + Δ������ − ������(������)
������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������ ������ = lim Δ������→0 Δ������→0 Δ������ Δ������ ������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������ ������ ������������ ′ ������ ������ = lim = lim = Δ������→0 Δ������→0 Δ������ Δ������ ������������
1 dv c (t ) 1 Vc ( s) 0 v c (t ) 0 sVc ( s) vc (0) RC dt RC V0 1 V ( s ) Vc ( s) s V0 0 c 1 1 RC −1 s ℒ RC ������ − ������ 取反拉式轉換: t V0 1 1 Vc ( s) 1 V0e RC vc (t ) s RC 又
Inductor電感
Capacitor電容
Resister電阻
積體電路(Integrated Circuit)
• 第一個積體電路雛形是由Jack Kilby(傑克·基爾比)於1958年完成的, 其中包括一個雙極性電晶體,三個電阻和一個電容器。 • 積體電路所有的元件由這些層的特定組合構成:
– 在一個自排列(CMOS)過程中,所有門層(多晶矽或金屬)穿過擴散層的地方形 成電晶體。 – 電阻結構,電阻結構的長寬比,結合表面電阻係數,決定電阻。 – 電容結構,由於尺寸限制,在IC上只能產生很小的電容。 – 電感結構,更為少見,可以製作晶片載電感或由迴旋器類比
1 1
������
⟹ ℒ ������ ������ =
ℒ ������′ ������ =
∞ ������′ 0
������ ������ −������������ ������������ = ������ ′ ������ ������ −������������
∞ 0
+ ������
∞ ������ 0
������ ′ ������ = lim
令 ℎ = Δ������ ,代入導數定義式 ������ ′ ������ = lim ������ ′ ������ = lim

������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������→0 Δ������
������ ������ + ℎ − ������ ������ ℎ→0 ℎ
得導數之第二種形式
在將式中 ������ 以 ������ 取代得
導函數定義式
������ ′ ������ = lim
������ ������ + ℎ − ������ ������ ℎ→0 ℎ
������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������→0 Δ������
常見用途
• 振盪電路(oscillator circuit)-sine or cosine waves • 調諧電路(tuning circuit) – radio, television • 濾波器(filter)-band-pass, band-stop, low-pass, high-pass filters
������ ������ −������������ ������������ = ������������(������) − ������(0)
RC電路
◆ 無源RC電路與自然響應:無外接獨立電源,但含有 始值。 範例:RC串聯電路,無電源且假設 vc (0 ) V0 ,欲求解 t 0 時,此電路中之 i(t ), v(t ) [解]:
Figure 2.15, 2.20
(A) 但,何種力量 “推動電子”電子運動?
電壓源 = 利用增加電路中電子的相對 “電位能差”而使電子運動 (漂移電流) 電流源 = 利用增加電路中電子的相對 “電子濃度差”而使電子運動 (擴散電流)
(B) 但,電路中為何要 “電流”? 有了 “電流”才能利用 “電子” 對 “電路”中之 “元件” ----”作功”
������ 2 2!
1 ������ ������−������ 1 ������+������������ = , ������−������������ ������ 2 +������ 2 1 1 ������ 1−1
������
= ������ ������������ ⟹ ℒ cos ������������ = ������2 +������ 2
A、RC與RL電路-一階微分方程 B、RLC電路-二階微分方程
解法 • 一般的常微的解法 • Laplace(拉氏)變換
30
Laplace(拉氏)變換
Def. Let ������ be a function defined on ������ ≥ 0. Then the integral

������ ������ = ℒ ������ ������ ≜
Examples: ℒ ������ ������������ ������ =
∞ ������������ −������������ ������ ������ ������������ 0
= ������−������, ⟹ ℒ −1
1
ℒ ������ ������������������ = ℒ cos ������������ + ������ℒ sin ������������ = ℒ 1 + ������ +
目錄
• • • • • • • 摘要 微分的意義 The History of Electricity Kirchholf 定律與RLC元件 一階與二階定律 微分方程的解 暫態與穩態響應
微分的物理意義
微分������′(������) 可視為������ = ������(������)對������在������ = ������處之瞬間變化率。
t dvc (t ) V0 RC ic (t ) C e dt R
t vc (t ) V0 RC iR (t ) e R R
������ = ������ ������������
解相同
34
ㄧ階RL電路
◆無源RL電路與自然響應:無外接獨立電源,但含有初 始值得情況。 範例: RL串聯電路,無電源且假設 i(0 ) I 0,欲求解 t 0 時,此電路中之 i(t ), v(t ) [解]: 由KVL可得: vL vR 0
vc (0) ce0 c V0
t RC
故通解為 又
vc (t ) V0 e

t RC
t dvc (t ) V0 RC ic (t ) C e dt R t vc (t ) V0 RC iR (t ) e R R
33
RC電路(續)
◆ 拉式轉換求解:
ℒ ������������ ������ = ������������ ������ ℒ ������������ ′ ������ = ������������ ������ (������) − ������������ (0)
由KCL可得:
ic i R 0
dvc (t ) vc (t ) C 0 dt R dvc (t ) 1 vc (t ) 0 dt CR
vc (0 ) V0
32
RC電路(續)
dv c (t ) 1 ◆ 微分方程求解: v c (t ) 0 dt CR
則由分離係數法得 vc (t ) ce 已知 vc (0 ) V,代入上式可得: 0
0
������ ������ ������ −������������ ������������
is said to be the Laplace transform of ������, provided the integral converges. 其逆變換記為: ℒ −1 ������ ������ ������ = ������ ������
函數������ 在������之微分記為 ������′(������), 定義如下: ������ ������ + ℎ − ������ ������ ′ ������ ������ = lim ℎ→0 ℎ
將導數定義式變數變換
令 ℎ = Δ������ ,代入導數定義式 ������ ′ ������ = lim ������ ������ + Δ������ − ������ ������ Δ������→0 Δ������
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