一函数定义域定义域高考试题汇编[1]
函数与导数例高考题汇编(含答案)
函数与导数高考题1.(安徽理3)设f(x)是定义在R 上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2x'-x,则f()=(A)-3 (B)- 1 (C)1 (D)3【答案】A【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查函数值的求法 .属容易题.【解析】f()= - f( - 1)= - 42( - 1)²- ( - 1)]= - 3 .故选A.2 . (安徽理10)函数f (x )=ax ”g 1- x )“在区 间〔0,1〕上的图像如图所示，则m ,n 的值可 能 是(A)m=1,n=1(B) m=1,n=2(C) m=2,n=1(D) m=3,n=1【答案】B 【命题意图】本题考查导数在研究 函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【 解 析 】 代 入 验 证 ， 当m = 1 , n = 2 , f ( x ) = a x g ( 1 - x ) ² = n ( x ³ - 2 x ² + x ) ,则f ' ( x ) = a ( 3 x ² - 4 x + 1 ) , 由 ,结合图像可知函数应在递增，在 递减，即在, 知 a 存 在 . 故 选 B .3.(安徽文5)若点(a,b)在y=lgx 图像上，a≠1,则下列点也在此图像上的是(A)(,b) (B)(10a,1 b) (C)(,b+1) (D)(a2,2b)【答案】D 【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系 .【 解 析 】 由 题 意b = 1 g a , 2 b = 2 1 l g a = 1 g a ² , 即( a ² , 2 b )也 在 函 数 y = l g x 图 像 上 .4 . (安徽文10) 函数f(x )=ax ”g (1 - . x )² 在区间(0,1)上的 图像如图所示，则n 可能是 (A)1 (B) 2取得最大值，由f'(x)=a(3x²-4x+1)=0可知，(C) 3 (D)4【答案】A【命题意图】本题考查导数在研究函数单调性中的应用，考查函数图像，考查思维的综合能力.难度大.【解析】代入验证，当7=1时，f(x)=axg(1-x)²=a(x³-2x²+x),则f(x)=a(3r²-4x+1)由f ( x ) = a ( 3 x ² 4 x + 1 ) = 0 可知，,结合图像可知函数应在递增，在递减，即在取得最大值，由, 知a 存在. 故选A .7 . (福建理5) 等于A.1B.e- 1C. CD.e+1【答案】C8 . (福建理9 )对于函数f ( x ) = a s i n x + b x + c (其中，a , b ∈R , c ∈Z ) ,选取a , b , C 的一组值计算f ( )和f ( - 1 )所得出的正确结果一定不可能是A . 4和6B . 3和1C . 2和4D . 1和2【答案】D9 . ( 福建理1 0 ) 已知函数f ( x ) = e⁴+ x , 对于曲线y = f ( x ) 上横坐标成等差数列的三个点A , B , c , 给出以下判断：①△ABC 一定是钝角三角形②△ABC可能是直角三角形③△ABC可能是等腰三角形④△ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是A.①③B.①④C.②③D.②④【答案】B10.(福建文6)若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是A.(- 1,1)B.(-2,2)C.(-o,-2)U(2,+o)D.(-o,- 1)U(1,+c)【答案】C11. (福建文8)已知函数 ,若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于A. 3B. 1C. 1D. 3【答案】A12.(福建文10)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值，则ab的最大值等于A.2B.3C. 6D. 9【答案】D13.(广东理4)设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是A . f(x)+1g(x)是偶函数B . f(x) - 1g(x)是奇函数c.if(x)\+g(x)是偶函数 D . i f ( x ) - g ( x )是奇函数【答案】A【解析】因为g(x)是R 上的奇函数，所以lg(x)是R 上的偶函数，从而f(x)+1g(x)是偶函数，故选A.14 . (广东文4)函 的定义域是 ( )A.(-~,- 1)B.(1,+~) c.(- 1,1)U(1,+oo) D.(-0,+oo)【答案】C16.(湖北理6)已知定义在R 上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=a¹-a ⁴+2(a>0,且a≠1),若g(2)=a,则f(2)=A.2B.C.D. a² 【答案】B【解析】由条件f(2)+g(2)=a²-a²+2,f(-2)+g(-2)=a²-a²+2, 即-f(2)+g(2)=a²-a²+2, 由此解得g(2)=2,f(2)=a²-a-所 以 a = 2 ,, 所 以 选 B18 . (湖南文7)曲线主点处的切线的斜率为( )A. B. 2 C. D. 【答案】B【解析】19.(湖南文8)已知函数f(x)=e¹-1,g(x)=-x²+4x -3.若有f(a)=g(b),则b 的取值范围为A.[2-√2,2+√2]B.(2-√2.2+√2)c.[1,3] p.(1,3)【答案】B【解析】由题可知f(x)=e ⁴- 1>- 1,g(x)=-x²+4x-3=-(x-2)²+1≤1,若有f(a)=g(b),则g(b) ∈(- 1,1), 即-b²+4b-3>- 1,解得2-√Z<b<2+√2., 所 以,y=020 . (湖南理6)由直线 与曲线y=COSX 所围成的封闭图形的面积为( )A.2B.1C.D.√3 【答案】D【解析】由定积分知识可得, 故 选 D 。
2024全国高考真题数学汇编：导数在研究函数中的应用
2024全国高考真题数学汇编导数在研究函数中的应用一、单选题1．（2024上海高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，定义集合 0000,,,M x x x x f x f x R ，在使得 1,1M 的所有 f x 中，下列成立的是（）A ．存在 f x 是偶函数B ．存在 f x 在2x 处取最大值C ．存在 f x 是严格增函数D ．存在 f x 在=1x 处取到极小值二、多选题2．（2024全国高考真题）设函数2()(1)(4)f x x x ，则（）A ．3x 是()f x 的极小值点B ．当01x 时， 2()f x f xC ．当12x 时，4(21)0f xD ．当10x 时，(2)()f x f x 3．（2024全国高考真题）设函数32()231f x x ax ，则（）A ．当1a 时，()f x 有三个零点B ．当0a 时，0x 是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b 为曲线()y f x 的对称轴D ．存在a ，使得点 1,1f 为曲线()y f x 的对称中心三、填空题4．（2024全国高考真题）曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，则a 的取值范围为．四、解答题5．（2024全国高考真题）已知函数3()e x f x ax a ．(1)当1a 时，求曲线()y f x 在点 1,(1)f 处的切线方程；(2)若()f x 有极小值，且极小值小于0，求a 的取值范围．6．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x ax x x ．(1)当2a 时，求 f x 的极值；(2)当0x 时， 0f x ，求a 的取值范围．7．（2024全国高考真题）已知函数 1ln 1f x a x x ．(1)求 f x 的单调区间；(2)当2a 时，证明：当1x 时， 1e x f x 恒成立．8．（2024上海高考真题）对于一个函数 f x 和一个点 ,M a b ，令 22()()s x x a f x b ，若 00,P x f x 是 s x 取到最小值的点，则称P 是M 在 f x 的“最近点”．(1)对于1()(0)f x x x，求证：对于点 0,0M ，存在点P ，使得点P 是M 在 f x 的“最近点”；(2)对于 e ,1,0x f x M ，请判断是否存在一个点P ，它是M 在 f x 的“最近点”，且直线MP 与()y f x 在点P 处的切线垂直；(3)已知()y f x 在定义域R 上存在导函数()f x ，且函数()g x 在定义域R 上恒正，设点11,M t f t g t ， 21,M t f t g t ．若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，试判断 f x 的单调性．9．（2024北京高考真题）设函数 ln 10f x x k x k ，直线l 是曲线 y f x 在点 ,0t f t t 处的切线．(1)当1k 时，求 f x 的单调区间.(2)求证：l 不经过点 0,0.(3)当1k 时，设点 ,0A t f t t ， 0,C f t ， 0,0O ，B 为l 与y 轴的交点，ACO S 与ABO S 分别表示ACO △与ABO 的面积．是否存在点A 使得215ACO ABO S S △△成立？若存在，这样的点A 有几个？（参考数据：1.09ln31.10 ，1.60ln51.61 ，1.94ln71.95 ）10．（2024天津高考真题）设函数 ln f x x x ．(1)求 f x 图象上点 1,1f 处的切线方程；(2)若 f x a x 在 0,x 时恒成立，求a 的值；(3)若 12,0,1x x ，证明 121212f x f x x x ．11．（2024全国高考真题）已知函数3()ln (1)2x f x ax b x x (1)若0b ，且()0f x ，求a 的最小值；(2)证明：曲线()y f x 是中心对称图形；(3)若()2f x 当且仅当12x ，求b 的取值范围．参考答案1．B【分析】对于ACD 利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B ，构造函数2,1,111,1x f x x x x即可判断.【详解】对于A ，若存在()y f x 是偶函数,取01[1,1]x ,则对于任意(,1),()(1)x f x f ,而(1)(1)f f ,矛盾,故A 错误；对于B ，可构造函数 2,1,,11,1,1,x f x x x x满足集合 1,1M ，当1x 时，则 2f x ，当11x 时， 1,1f x ，当1x 时， 1f x ，则该函数 f x 的最大值是 2f ，则B 正确；对C ，假设存在 f x ，使得 f x 严格递增，则M R ，与已知 1,1M 矛盾，则C 错误；对D ，假设存在 f x ，使得 f x 在=1x 处取极小值，则在1 的左侧附近存在n ，使得 1f n f ，这与已知集合M 的定义矛盾，故D 错误；故选：B.2．ACD【分析】求出函数 f x 的导数，得到极值点，即可判断A ；利用函数的单调性可判断B ；根据函数 f x 在 1,3上的值域即可判断C ；直接作差可判断D.【详解】对A ，因为函数 f x 的定义域为R ，而 22141313f x x x x x x ，易知当 1,3x 时， 0f x ，当 ,1x 或 3,x 时， 0f x 函数 f x 在 ,1 上单调递增，在 1,3上单调递减，在 3, 上单调递增，故3x 是函数 f x 的极小值点，正确；对B ，当01x 时， 210x x x x ，所以210x x ，而由上可知，函数 f x 在 0,1上单调递增，所以 2f x f x ，错误；对C ，当12x 时，1213x ，而由上可知，函数 f x 在 1,3上单调递减，所以 1213f f x f ，即 4210f x ，正确；对D ，当10x 时， 222(2)()12141220f x f x x x x x x x ，所以(2)()f x f x ，正确；故选：ACD.3．AD【分析】A 选项，先分析出函数的极值点为0,x x a ，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a 上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x 为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a ，由于1a ，故 ,0,x a 时()0f x ，故()f x 在 ,0,,a 上单调递增，(0,)x a 时，()0f x ，()f x 单调递减，则()f x 在0x 处取到极大值，在x a 处取到极小值，由(0)10 f ，3()10f a a ，则(0)()0f f a ，根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a ，3(2)410f a a ，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a ，则()f x 在(1,0),(,2)a a 上各有一个零点，于是1a 时，()f x 有三个零点，A 选项正确；B 选项，()6()f x x x a ，a<0时，(,0),()0x a f x ，()f x 单调递减，,()0x 时()0f x ，()f x 单调递增，此时()f x 在0x 处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x ，即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x ，根据二项式定理，等式右边3(2)b x 展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x ，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，于是不存在这样的,a b ，使得x b 为()f x 的对称轴，C 选项错误；D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a ，若存在这样的a ，使得(1,33)a 为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a ，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a ，于是266(126)(1224)1812a a x a x a即126012240181266a a a a，解得2a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax ，2()66f x x ax ，()126f x x a ，由()02a f x x ，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ，由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122a a ，即存在2a 使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确.故选：AD【点睛】结论点睛：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x ；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d 都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x 的解，即,33b b f aa是三次函数的对称中心4． 2,1 【分析】将函数转化为方程，令 2331x x x a ，分离参数a ，构造新函数 3251,g x x x x 结合导数求得 g x 单调区间，画出大致图形数形结合即可求解.【详解】令 2331x x x a ，即3251a x x x ，令 32510,g x x x x x 则 2325351g x x x x x ，令 00g x x 得1x ，当 0,1x 时， 0g x ， g x 单调递减，当 1,x 时， 0g x ， g x 单调递增， 01,12g g ，因为曲线33y x x 与 21y x a 在 0, 上有两个不同的交点，所以等价于y a 与 g x 有两个交点，所以 2,1a .故答案为：2,1 5．(1) e 110x y (2)1, 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；（2）解法一：求导，分析0a 和0a 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知()e x f x a 有零点，可得0a ，进而利用导数求 f x 的单调性和极值，分析可得2ln 10a a ，构建函数解不等式即可.【详解】（1）当1a 时，则()e 1x f x x ，()e 1x f x ，可得(1)e 2f ，(1)e 1f ，即切点坐标为 1,e 2 ，切线斜率e 1k ，所以切线方程为 e 2e 11y x ，即 e 110x y .（2）解法一：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若0a ，则()0f x 对任意x R 恒成立，可知()f x 在R 上单调递增，无极值，不合题意；若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，则 120g a a a，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, ；解法二：因为()f x 的定义域为R ，且()e x f x a ，若()f x 有极小值，则()e x f x a 有零点，令()e 0x f x a ，可得e x a ，可知e x y 与y a 有交点，则a ，若0a ，令()0f x ，解得ln x a ；令()0f x ，解得ln x a ；可知()f x 在 ,ln a 内单调递减，在 ln ,a 内单调递增，则()f x 有极小值 3ln ln f a a a a a ，无极大值，符合题意，由题意可得： 3ln ln 0f a a a a a ，即2ln 10a a ，构建 2ln 1,0g a a a a ，因为则2,ln 1y a y a 在 0, 内单调递增，可知 g a 在 0, 内单调递增，且 10g ，不等式2ln 10a a 等价于 1g a g ，解得1a ，所以a 的取值范围为 1, .6．(1)极小值为0，无极大值.(2)12a 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.（2）求出函数的二阶导数，就12a 、102a 、0a 分类讨论后可得参数的取值范围.【详解】（1）当2a 时，()(12)ln(1)f x x x x ，故121()2ln(1)12ln(1)111x f x x x x x，因为12ln(1),11y x y x在 1, 上为增函数，故()f x 在 1, 上为增函数，而(0)0f ，故当10x 时，()0f x ，当0x 时，()0f x ，故 f x 在0x 处取极小值且极小值为 00f ，无极大值.（2） 11ln 11ln 1,011a x ax f x a x a x x x x，设 1ln 1,01a x s x a x x x，则222111211111a a x a a ax a s x x x x x ，当12a 时， 0s x ，故 s x 在 0, 上为增函数，故 00s x s ，即 0f x ，所以 f x 在 0, 上为增函数，故 00f x f .当102a 时，当0x 0s x ，故 s x 在210,a a 上为减函数，故在210,a a上 0s x s ，即在210,a a上 0f x 即 f x 为减函数，故在210,a a上 00f x f ，不合题意，舍.当0a ，此时 0s x 在 0, 上恒成立，同理可得在 0, 上 00f x f 恒成立，不合题意，舍；综上，12a .【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.7．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性；（2）先根据题设条件将问题可转化成证明当1x 时，1e 21ln 0x x x 即可.【详解】（1）()f x 定义域为(0,) ，11()ax f x a x x当0a 时，1()0ax f x x，故()f x 在(0,) 上单调递减；当0a 时，1,x a时，()0f x ，()f x 单调递增，当10,x a时，()0f x ，()f x 单调递减.综上所述，当0a 时，()f x 的单调递减区间为(0,) ；0a 时，()f x 的单调递增区间为1,a ，单调递减区间为10,a.（2）2a ，且1x 时，111e ()e (1)ln 1e 21ln x x x f x a x x x x ，令1()e 21ln (1)x g x x x x ，下证()0g x 即可.11()e 2x g x x ，再令()()h x g x ，则121()e x h x x，显然()h x 在(1,) 上递增，则0()(1)e 10h x h ，即()()g x h x 在(1,) 上递增，故0()(1)e 210g x g ，即()g x 在(1,) 上单调递增，故0()(1)e 21ln10g x g ，问题得证8．(1)证明见解析(2)存在，0,1P (3)严格单调递减【分析】（1）代入(0,0)M ，利用基本不等式即可；（2）由题得 22(1)e x s x x ，利用导函数得到其最小值，则得到P ，再证明直线MP 与切线垂直即可；（3）根据题意得到 10200s x s x ，对两等式化简得 01()f xg t ，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明0x t ，最后得到函数单调性.【详解】（1）当(0,0)M 时， 222211(0)02s x x x x x ，当且仅当221x x 即1x 时取等号，故对于点 0,0M ，存在点 1,1P ，使得该点是 0,0M 在 f x 的“最近点”．（2）由题设可得 2222(1)e 0(1)e x x s x x x ，则 2212e x s x x ，因为 221,2e x y x y 均为R 上单调递增函数，则 2212e xs x x 在R 上为严格增函数，而 00s ，故当0x 时， 0s x ，当0x 时， 0s x ，故 min 02s x s ，此时 0,1P ，而 e ,01x f x k f ，故 f x 在点P 处的切线方程为1y x .而01110MP k ，故1MP k k ，故直线MP 与 y f x 在点P 处的切线垂直．（3）设 221(1)()s x x t f x f t g t ，222(1)()s x x t f x f t g t ，而 12(1)2()s x x t f x f t g t f x ， 22(1)2()s x x t f x f t g t f x ，若对任意的t R ，存在点P 同时是12,M M 在 f x 的“最近点”，设 00,P x y ，则0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，因为两函数的定义域均为R ，则0x 也是两函数的极小值点，则存在0x ,使得 10200s x s x ，即 10000212()()0s x x t f x f x f t g t ① 20000212()()0s x x t f x f x f t g t ②由①②相等得 044()0g t f x ，即 01()0f x g t ，即 01()f x g t，又因为函数()g x 在定义域R 上恒正，则 010()f xg t 恒成立，接下来证明0x t ，因为0x 既是 1s x 的最小值点，也是 2s x 的最小值点，则 1020(),()s x s t s x s t ，即 2220011x t f x f t g t g t ，③ 2220011x t f x f t g t g t ，④③ ④得 222200222()2()22()x t f x f t g t g t 即 22000x t f x f t ，因为 2200,00x t f x f t 则 0000x t f x f t，解得0x t ，则 10()f tg t 恒成立，因为t 的任意性，则 f x 严格单调递减.【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到 01()f x g t，再利用最值点定义得到0x t 即可.9．(1)单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .(2)证明见解析(3)2【分析】（1）直接代入1k ，再利用导数研究其单调性即可；（2）写出切线方程()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入再设新函数()ln(1)1t F t t t ，利用导数研究其零点即可；（3）分别写出面积表达式，代入215ACO ABO S S 得到13ln(1)21501t t t t ，再设新函数15()13ln(1)2(0)1t h t t t t t研究其零点即可.【详解】（1）1()ln(1),()1(1)11x f x x x f x x x x，当 1,0x 时， 0f x ；当 0,x ，()0f x ¢>；()f x 在(1,0) 上单调递减，在(0,) 上单调递增.则()f x 的单调递减区间为(1,0) ，单调递增区间为(0,) .（2）()11k f x x ，切线l 的斜率为11k t，则切线方程为()1()(0)1k y f t x t t t，将(0,0)代入则()1,()111k k f t t f t t t t，即ln(1)1k t k t t tt ，则ln(1)1t t t ，ln(1)01t t t ，令()ln(1)1t F t t t，假设l 过(0,0)，则()F t 在(0,)t 存在零点.2211()01(1)(1)t t t F t t t t ，()F t 在(0,) 上单调递增，()(0)0F t F ，()F t 在(0,) 无零点， 与假设矛盾，故直线l 不过(0,0).（3）1k 时，12()ln(1),()1011x f x x x f x x x.1()2ACO S tf t ，设l 与y 轴交点B 为(0,)q ，0t 时，若0q ，则此时l 与()f x 必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知0q .所以0q ，则切线l 的方程为 111ln 1x t y t t t，令0x ，则ln(1)1t y q y t t.215ACO ABO S S ，则2()15ln(1)1t tf t t t t，13ln(1)21501t t t t ，记15()13ln(1)2(0)1th t t t t t， 满足条件的A 有几个即()h t 有几个零点.2222221313221151315294(21)(4)()21(1)(1)(1)(1)t t t t t t t h t t t t t t ，当10,2t时， 0h t ，此时 h t 单调递减；当1,42t时， 0h t ，此时 h t 单调递增；当 4,t 时， 0h t ，此时 h t 单调递减；因为1(0)0,0,(4)13ln 520131.6200.802h h h，15247272(24)13ln 254826ln 548261.614820.5402555h，所以由零点存在性定理及()h t 的单调性，()h t 在1,42上必有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，()h t 有两个零点，即满足215ACO ABO S S 的A 有两个.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题.10．(1)1y x (2)2(3)证明过程见解析【分析】（1）直接使用导数的几何意义；（2）先由题设条件得到2a ，再证明2a 时条件满足；（3）先确定 f x 的单调性，再对12,x x 分类讨论.【详解】（1）由于 ln f x x x ，故 ln 1f x x .所以 10f ， 11f ，所以所求的切线经过 1,0，且斜率为1，故其方程为1y x .（2）设 1ln h t t t ，则 111t h t t t，从而当01t 时 0h t ，当1t 时 0h t .所以 h t 在 0,1上递减，在 1, 上递增，这就说明 1h t h ，即1ln t t ，且等号成立当且仅当1t .设 12ln g t a t t ，则ln 1f x a x x x a x x a x g .当 0,x0, ，所以命题等价于对任意 0,t ，都有 0g t .一方面，若对任意 0,t ，都有 0g t ，则对 0,t 有112012ln 12ln 1212g t a t t a t a t at a t t t，取2t ，得01a ，故10a .再取t，得2022a a a，所以2a .另一方面，若2a ，则对任意 0,t 都有 212ln 20g t t t h t ，满足条件.综合以上两个方面，知a 的值是2.（3）先证明一个结论：对0a b ，有 ln 1ln 1f b f a a b b a.证明：前面已经证明不等式1ln t t ，故lnln ln ln ln ln ln 1ln 1bb b a a a b a aa b b b b b a b a a，且1lnln ln ln ln ln ln ln 1ln 11a a b b a a b b b a b b a a a a a a b a b a b b，所以ln ln ln 1ln 1b b a a a b b a，即 ln 1ln 1f b f a a b b a.由 ln 1f x x ，可知当10e x 时 0f x ，当1ex 时()0f x ¢>.所以 f x 在10,e上递减，在1,e上递增.不妨设12x x ，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论.情况一：当1211ex x 时，有122122121ln 1f x f x f x f x x x x x x ，结论成立；情况二：当1210e x x 时，有 12121122ln ln f x f x f x f x x x x x .对任意的10,e c，设ln ln x x x c cln 1x x 由于 x单调递增，且有1111111ln 1ln11102e2e ec c，且当2124ln 1x c c，2cx2ln 1c 可知2ln 1ln 1ln 102c x x c.所以 x 在 0,c 上存在零点0x ，再结合 x 单调递增，即知00x x 时 0x ，0x x c 时 0x .故 x 在 00,x 上递减，在 0,x c 上递增.①当0x x c 时，有 0x c ；②当00x x112221e e f f c，故我们可以取1,1q c .从而当201cx q1ln ln ln ln 0x x x c c c c c c q c.再根据 x 在 00,x 上递减，即知对00x x 都有 0x ；综合①②可知对任意0x c ，都有 0x ，即ln ln 0x x x c c .根据10,e c和0x c 的任意性，取2c x ，1x x，就得到1122ln ln 0x x x x .所以12121122ln ln f x f x f x f x x x x x 情况三：当12101e x x时，根据情况一和情况二的讨论，可得11e f x f21e f f x而根据 f x 的单调性，知 1211e f x f x f x f或 1221e f x f x f f x .故一定有12f x f x 成立.综上，结论成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合 f x 的单调性进行分类讨论.11．(1)2 (2)证明见解析(3)23b【分析】（1）求出 min 2f x a 后根据()0f x 可求a 的最小值；（2）设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，可证 ,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n 也在函数的图像上，从而可证对称性；（3）根据题设可判断 12f 即2a ，再根据()2f x 在 1,2上恒成立可求得23b .【详解】（1）0b 时， ln 2xf x ax x，其中 0,2x ，则112,0,222f x a a x x x x x，因为 22212x x x x，当且仅当1x 时等号成立，故 min 2f x a ，而 0f x 成立，故20a 即2a ，所以a 的最小值为2 .，（2） 3ln12x f x ax b x x的定义域为 0,2，设 ,P m n 为 y f x 图象上任意一点，,P m n 关于 1,a 的对称点为 2,2Q m a n ，因为 ,P m n 在 y f x 图象上，故 3ln 12m n am b m m，而 3322ln221ln 122m m f m a m b m am b m a m m，2n a ，所以 2,2Q m a n 也在 y f x 图象上，由P 的任意性可得 y f x 图象为中心对称图形，且对称中心为 1,a .（3）因为 2f x 当且仅当12x ，故1x 为 2f x 的一个解，所以 12f 即2a ，先考虑12x 时， 2f x 恒成立.此时 2f x 即为 3ln21102x x b x x在 1,2上恒成立，设 10,1t x ，则31ln201t t bt t在 0,1上恒成立，设 31ln2,0,11t g t t bt t t，则2222232322311t bt b g t bt t t，当0b ，232332320bt b b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当203b 时，2323230bt b b ，故 0g t 恒成立，故 g t 在 0,1上为增函数，故 00g t g 即 2f x 在 1,2上恒成立.当23b ，则当01t 时， 0g t故在 上 g t 为减函数，故 00g t g ，不合题意，舍；综上， 2f x 在 1,2上恒成立时23b .而当23b 时，而23b 时，由上述过程可得 g t 在 0,1递增，故 0g t 的解为 0,1，即 2f x 的解为 1,2.综上，23b .【点睛】思路点睛：一个函数不等式成立的充分必要条件就是函数不等式对应的解，而解的端点为函数对一个方程的根或定义域的端点，另外，根据函数不等式的解确定参数范围时，可先由恒成立得到参数的范围，再根据得到的参数的范围重新考虑不等式的解的情况.。
高考数学试题分类汇编：函数 选择题 试题
智才艺州攀枝花市创界学校高考数学试题分类汇编：函数选择题1、(2021年高三综合测试一)函数f(x)在定义域R 上不是常数函数，且f(x)满足条件，对任意x ∈R ，都有f(4+x)=f(4-x),f(x+1)=f(x-1),那么f(x)是〔〕 A 、奇函数但非偶函数B 、偶函数但非奇函数 C 、奇函数又是偶函数D 、非奇非偶函数 答案：B2、(高三综合测试二)函数f (x )满足：f (p +q )=f (p )f (q )，f (1)=3，那么)1()2()1(2f f f ++)3()4()2(2f f f ++)5()6()3(2f f f ++)7()8()4(2f f f ++)9()10()5(2f f f +的值是A.15B.30 C 答案：B3、(高三综合测试三)假设函数f(x)的反函数1-f(x)=1+x 2(x<0)，那么f(2)=A ．1B ．－1C ．1或者－1D ．5答案：B4、(高三综合测试四))(x f 是定义在R 上的函数，且)2()(+=x f x f 恒成立，当)0,2(-∈x 时，2)(x x f =，那么当[]3,2∈x 时，函数)(x f 的解析式为〔〕A ．42-xB ．42+xC ．2)4(+xD ．2)4(-x答案：D5、(皖南八校2021届高三第一次联考)将函数12)(1-=+x x f 的反函数的图象的图象按向量)1,1(平移后得到)(x g 的图象，那么)(x g 表达式为〔〕 A ．)2(log )(+=x x g a ；B ．x x g a log )(=；C ．2log )(-=x x g a ；D ．2log )(+=x x g a ；答案：B6、(五校2021届高三开学联考)假设函数2(2)()m x f x x m-=+的图象如下列图，那么m 的范围为A ．〔－∞，－1〕B ．〔－1，2〕C ．〔1，2〕D ．〔0，2〕 答案：C7、(五校2021届高三开学联考)设定义域为R 的函数()()x g x f ,都有反函数，且函数1-x f 和()13g x --图象关于直线x y =对称，假设()52005g =，那么f(4)为A ．2021B ．2004C ．2021D ．2021 答案：D8、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=3x〔x≤2〕的反函数的定义域是A ．(,9]-∞B ．[9,)+∞C ．(0,9]D ．(0,)+∞答案：C9、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)设偶函数f 〔x 〕对任意x∈R，都有f 〔x 〕+f 〔x+1〕=4，当x∈[-3,-2]时，f 〔x 〕=4x+12，那么f 〔11〕的值是A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A10、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=ax 2+bx+6满足条件f 〔-1〕=f 〔3〕，那么f 〔2〕的值是A ．5B ．6C ．8D ．与a ，b 值有关答案：B11、(巴蜀联盟2021届高三年级第二次联考)函数f 〔x 〕=log a 〔x 3–ax 〕〔a>0且a≠1〕在(2,+∞〕上单调递增，那么a 的取值范围是A ．a>1B ．1<a<12C ．1<a≤12D ．1<a≤4答案：D12、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在[-1，0]上单调递增，设)3(f a=，)2(f b =，)2(f c =，那么c b a ,,大小关系是A ．c b a>>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．a b c>>答案：D13、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11231+⎪⎭⎫ ⎝⎛=xy 值域为A ．〔-∞，1〕B ．〔31，1〕C ．[31，1〕D ．[31，+∞〕 答案：C14、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，那么函数[])()(22x f x f y +=的最大值为A ．6B ．13C ．22D ．33 答案：B15、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)01(312<≤-=-x y x 的反函数是A ．)31(log 13≥+=x x y B ．)31(log 13≥+-=x x yC ．)131(log 13≤<+=x x yD ．)131(log 13≤<+-=x x y答案：D16、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数11-+-=x x y 是()答案：D17、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)设f(x)是定义在R 上的函数，且在(-∞，+∞)上是增函数，又F(x)=f(x)-f(-x)，那么F(x)一定是()A.奇函数，且在(-∞，+∞)上是增函数B.奇函数，且在(-∞，+∞)上是减函数C.偶函数，且在(-∞，+∞)上是增函数D.偶函数，且在(-∞，+∞)上是减函数答案：A18、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)函数)6(log )(231x x x f --=的单调递增区间是()A.［-21，+∞)B.［-21，2) C.(-∞，-21)D.(-3，-21)答案：B19、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)假设把函数)(x f y =的图像作平移，可以使图像上的点P(1，0)变换成点Q(2，2)，那么函数)(x f y =的图像经此变换后所得图像对应的函数为()A.2)1(+-=x f y B.2)1(--=x f yC.2)1(++=x f y D.2)1(-+=x f y答案：A20、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考))13(log -a a 恒为正数，那么实数a 的取值范围是()A.a ＜31B.31＜a ≤32 C.a ＞1D.31＜a ＜32或者a ＞1 答案：D21、(长安二中2021届高三第一学期第二次月考)定义在R 上的奇函数)(x f 满足)3()3(x f x f -=+，假设当x ∈(0，3)时，x x f 2)(=，那么当x ∈(-6，-3)时，)(x f =()A.62+x 62+xC.62-x62-x答案：B22、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数f (x )=l og a x (a >0,a ≠1)，假设f (x 1)－f (x 2)=1，那么)()(2221x f x f -等于〔〕A ．2B ．1C ．12D ．l og a 2 答案：A23、(新都一中高2021级一诊适应性测试)奇函数f x ()的反函数是fx -1()，假设f a a ()=-，那么f a fa ()()-+-1的值是〔〕A ．0B ．-2aC ．2aD ．无法确定答案：A24、(新都一中高2021级一诊适应性测试)假设二次方程x 2-px -q =0(p ,q ∈N *)的正根小于3,那么这样的二次方程有〔〕A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个答案：C25、(新都一中高2021级一诊适应性测试)函数,,y kx b k b =+其中〔0k ≠〕是常数，其图象是一条直线，称这个函数为线性函数．对于非线性可导．．．．．函数()x f ，在点0x 附近一点x 的函数值()x f ，可以用如下方法求其近似代替值：()()()()000'≈+-f x f x f x x x ．利用这一方法，9983.m =的近似代替值〔〕A ．大于mB ．小于mC ．等于mD ．与m 的大小关系无法确定答案：A26、(一诊)假设函数4y x x=+在(0,)x a ∈上存在反函数，那么实数a 的取值范围为 A ．〔1，4〕B ．〔0，2]C ．〔2，4]D ．[2，+∞〕答案：By ＝x ＋在x ∈(0，a)上为单调函数，利用图象可知a ∈(0,2].选B27、(一诊)对任意的实数a 、b ，记{}()max,()a a b a b b a b ≥⎧=⎨<⎩．假设{}()max (),()()F x f x g x x R =∈，其中奇函数y=f(x)在x=l 时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数()(0)y f x x =≥与函数y=g(x)的图象如下列图．那么以下关于函数()y F x =的说法中，正确的选项是A ．()y F x =为奇函数B ．()y F x =有极大值F 〔-1〕且有极小值F 〔0〕 C ．()y F x =的最小值为-2且最大值为2 D ．()y F x =在〔-3，0〕上为增函数答案：B 在图形种勾画出y ＝F(x)的图象，易知选B28、(2021届六校第二次联考)假设函数()y f x =的定义域为[0,1],那么以下函数中可能是偶函数的是().A.()y f x =- B.(3)y f x = C.()y f x =- D.2()y f x =答案：D29、(一中2021届高三上期期末考试)假设函数cbx x x f ++=2)(对任意的实数x ，都有)()1(x f x f -=+，那么〔〕A ．)2()0()2(f f f <<- B ．)2()2()0(f f f <-< C ．)2()0()2(-<<f f fD ．)2()2()0(-<<f f f答案：D30、(2021届第一次调研考试)假设函数()()1(01)x x f x k a a a a -=-->≠且在R 上既是奇函数，又是减函数，那么()()log x k a g x +=的图象是〔〕答案：A31、(2021届第一次调研考试)函数()235()f x x x x R =--∈，o yx o yxoyx2-1-2111233DCBoy x 1-2-A那么()f x 的反函数1()f x -的解析式为〔〕A.131(),22f x x x R -=-∈ B.171(),44f x x x R -=-∈；C.131,122()71,144x x f x x x --≤-⎧⎪=⎨->-⎪⎩；D.131,122()71,144x x f x x x ---⎧⎪=⎨--<⎪⎩≥； 答案：C32、(新都一中高2021级12月月考)在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开场交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开场交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的选项是()ABCD解析：刚开场交易时，即时价格和平均价格应该相等，A 错误；开场交易后，平均价格应该跟随即使价格变动，在任何时刻其变化幅度应该小于即时价格变化幅度，B 、D 均错误. 答案：C33、(新都一中高2021级12月月考)关于x 的方程(x 2－1)2－|x 2－1|＋k ＝0①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中正确()A 、4B 、1C 、2D 、3答案：A取k ＝－12，可得(|x2－1|－4)(|x2－1|＋3)＝0只有|x2－1|＝4有解，得x2＝5或者x2＝－3(舍去),∴x ＝±，此时原方程有两个不同的实数根.①正确取k ＝，得(|x2－1|－)2＝0|x2－1|＝x2＝或者x2＝∴x ＝±或者x ＝±，有四个不同的实数根.②正确取k ＝0，得|x2－1|＝0或者|x2－1|＝1，所以x2＝1或者x2＝0或者x2＝2得x ＝0或者x ＝±1或者x ＝±，有五个不同的实数根.③正确取k ＝，得(|x2－1|－)(|x2－1|－)＝0，所以x2－1＝±或者x2－1＝±∴x2＝或者x2＝或者x2＝或者x2＝，有八个不同的实数根.④正确 答案：A34、(2021届高三第一次模拟考试)函数的y =222-x (x ≤－1)反函数是〔▲〕A.y =－1212+x (x ≥0) B.y =1212+x (x ≥0) C.y =－1212+x (x ≥2)D.y =1212+x (x ≥2)答案：A35、(2021届高三第一次模拟考试)设函数f (x )是定义在Ｒ上的以5为周期的奇函数，假设f (2)>１，f (2021)=33-+a a ，那么a 的取值范围是〔▲〕 A.(－∞,0)B.(0,3)C.(0,+∞)D.(－∞,0)∪(3,+∞)答案：B36、(2021届高三第二次教学质量检测)函数()f x 的定义域为R ，对任意实数x 满足(1)(3)f x f x -=-，且(1)f x -＝(3)f x -，当12x ≤≤时，()f x ＝2x ，那么()f x 的单调减区间是〔〕A.[2k ，2k +1](k Z ∈)B.[2k -1，2k ](k Z ∈)C.[2k ，2k +2] (k Z ∈)D.[2k -2，2k ](k Z ∈) 答案：A37、(2021届高三第二次教学质量检测)设1(1)1() 1 (1).x x f x x ⎧≠⎪|-|=⎨⎪=⎩，假设关于x 的方程2()()0f x bf x c ++=有三个不同的实数解123x x x ，，，那么222123x x x ++等于〔〕A.5B.222b +C.13D.213c+ 答案：A38、(区2021年高三数学一模)函数lg(1)y x 的反函数的图象为答案：D39、(崇文区2021年高三统一练习一)|log |)(3x x f =，那么以下不等式成立的是〔〕A ．)2()21(f f > B ．)3()31(f f > C ．)31()41(f f > D ．)3()2(f f >答案：C40、(东城区2021年高三综合练习一〕“0=a 〞是“函数),0()(2+∞+=在区间ax x x f 上是增函数〞的〔〕A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案：A41、(东城区2021年高三综合练习二)函数)6()21(,9)2(),(,log )(11f f f x f x x f a +==--则若其反函数为的值是〔〕A ．2B ．1C ．21D ．31答案：B42、(东城区2021年高三综合练习二)假设函数),4()(+∞在x f 上为减函数，且对任意的)4()4(,x f x f R x -=+∈有，那么〔〕D-1 xCABA ．)3()2(f f >B ．)5()2(f f >C ．)5()3(f f >D ．)6()3(f f >答案：D43、(海淀区2021年高三统一练习一)假设函数()y f x =的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2},那么函数()y f x =的图象可能是〔〕答案：B44、(西城区2021年4月高三抽样测试)函数(2)2xy x x =>-的反函数的定义域为〔〕 A.(1)+∞， B.(0)+∞， C.(01)， D.(12)，答案：A45、(西城区2021年5月高三抽样测试)设1a >，函数log a y x =的定义域为[](),m n m n <，值域为[]0,1，定义“区间[],m n 的长度等于n m -〞，假设区间[],m n 长度的最小值为56，那么实数a 的值是 〔〕 A ．11B ．6 C ．116D ．32答案：B46、(宣武区2021年高三综合练习一)函数=)(x f 1log +x a 〔0<a<1〕的图像大致为以下列图的〔〕ABC Dx答案：A47、(宣武区2021年高三综合练习一)给出定义：假设2121+≤<-m x m 〔其中m 为整数〕，那么m 叫做离实数x 最近的整数，记作{}x =m.在此根底上给出以下关于函数{}x x x f -=)(①函数y=)(x f 的定义域为R ，值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0；②函数y=)(x f 的图像关于直线2kx =〔Z k ∈〕对称； ③函数y=)(x f 是周期函数，最小正周期为1； ④函数y=)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数。
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数(附答案解析)
2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >> 4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞5．已知3log 2a =，0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c << 6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >>7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．二．多选题（共3小题） 8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= ．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 ．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 ． 14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= ．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= ． 四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+；（2）2731329log 5log 42log 5log -++． 22．计算：（100.539()()54--++ （2）22log 62222523lg lg -+--2022年全国高考数学真题及模拟题汇编：函数参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．函数()3f x lgx x =+-的定义域为( )A ．[0，3]B ．(0，3]C ．[0，)+∞D ．(-∞，3]【考点】函数的定义域及其求法【分析】由对数式的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0联立不等式组求解．【解答】解：要使原函数有意义，则030x x >⎧⎨-⎩，解得03x <． ∴函数()3f x lgx x =+-的定义域为(0，3]．故选：B ．【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．2．函数||22()x y x x R =-∈的大致图象是( )A ．B ．C ．D ．【考点】函数的图象与图象的变换【分析】根据题意分析可得()f x 为偶函数，通过0x =函数的值，排除函数的图象即可．【解答】解：根据题意有||2||2()2()2()x x f x x x f x --=--=-=，所以函数是偶函数，又函数||22x y x =-，当0x =时，1y =，排除C ，故选：A ．【点评】本题考查函数的图象分析，注意分析函数的奇偶性，属于基础题．3．已知函数()3f x x x =--0.2(3)a f =，3(0.2)b f =，0.2(log 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．c b a >>【考点】函数单调性的性质与判断【分析】首先求出函数()f x 的单调性，再判断0.2log 3，30.2，0.23的大小关系，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：因为函数()3f x x x =-所以30x -，可得3x ，即()f x 的定义域为(-∞，3]， 所以()3f x x x =-(-∞，3]单调递增，因为0.20331>=，3000.20.21<<=，0.2log 30<，所以30.20.2log 30.23<<，所以30.20.2(log 3)(0.2)(3)f f f <<，所以c b a <<．故选：A ．【点评】本题主要考查函数单调性的性质与判断，考查函数值大小的比较，考查逻辑推理能力，属于基础题．4．已知函数212()(5)f x log x ax =-+，在(4,)x ∈+∞单调递减，则a 的取值范围是( )A ．(-∞，8]B ．21(,)4-∞C ．(,8)-∞D ．21(,]4-∞ 【考点】复合函数的单调性【分析】令25t x ax =-+，12log y t =，分析内层函数与外层函数的单调性以及对数真数在所给区间恒为正数，可得出关于a 的不等式组，进而求得实数a 的取值范围．【解答】解：令25t x ax =-+，易知12log y t =在其定义域上单调递减，要使()f x 在(4,)+∞上单调递减，则25t x ax =-+在(4,)+∞单调递增，且250t x ax =-+>，即2424450a a ⎧⎪⎨⎪-+⎩， 所以8214a a ⎧⎪⎨⎪⎩，即214a 因此实数a 的取值范围是(-∞，21]4． 故选：D． 【点评】本题考查复合函数的单调性，考查学生的运算能力，属于中档题．5．已知3log a =0.1b e =，0.5ln c e =，则三者大小关系为( )A ．a c b <<B ．c a b <<C ．c b a <<D ．a b c <<【考点】对数值大小的比较【分析】直接利用对数的运算性质化简得答案．【解答】解：33log log 0.5a =<=，0.101b e e =>=，0.50.5ln c e ==，a cb ∴<<．故选：A ．【点评】本题考查对数值的大小比较，考查对数的运算性质，是基础题．6．已知12a e =，3log 5b =，6log 8c =（其中e 为自然对数的底数， 2.718)e ≈，下列关系正确的是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．c a b >> 【考点】对数值大小的比较【分析】利用对数函数的单调性得到a b >，a c >，再利用对数的运算法则，换底公式，基本不等式得到b c >，求解即可．【解答】解：1232a e =>，33log 5log 3b =<332=， 6443log 8log 81log 22c =<=+=， a b ∴>，a c >，25858583363535lg lg lg lg lg lg lg b c lg lg lg lg lg lg -⋅∴-=->-=⋅ 222222(83)2425555444353535lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg lg +--->=>⋅⋅⋅ 2255035lg lg lg lg -==⋅， b c ∴>，a b c ∴>>，故选：A ．【点评】本题考查了对数的运算法则，换底公式，对数函数的单调性，基本不等式的应用，考查了计算能力，属于中档题．7．若1a >，则1()x y a=与log a y x =在同一坐标系中的图象大致是( ) A ． B ．C ．D ．【考点】对数函数的图象与性质；指数函数的图象与性质【分析】由指数函数与对数函数的性质依次判断即可． 【解答】解：1()x y a=与log a y x =分别过(0,1)，(1,0)点， 又1a >， ∴1()x y a=与log a y x =分别为定义域内的减函数，增函数， 故选：D ．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的性质应用，属于基础题．二．多选题（共3小题）8．下列函数中，属于奇函数并且值域为R 的有( )A ．3y x =B ．1y x x =+C ．1y x x =-D ．22x x y -=+【考点】函数的值域；函数奇偶性的性质与判断【分析】根据题意，依次分析选项是否正确，综合可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，3()f x x =是奇函数，且值域为R ，符合题意；对于B ，1()f x x x =+，当0x >时，1()2f x x x=+，当0x <时，()2f x -，即()f x 的值域为(-∞，2][2-，)+∞，不符合题意；对于C ，1()f x x x=-，是奇函数，且在(0,)+∞上单调递增，当0x +→时，()f x →-∞，x →+∞时，()f x →+∞，其值域为R ，符合题意；对于D ，()22x x f x -=+，是奇函数，且()2f x （当且仅当0x =时取“= “)，其值域不为R ，不符合题意；故选：AC ．【点评】本题考查函数奇偶性的判断以及值域的计算，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．9．下列函数中，值域是(0,)+∞的是( )A ．12x y -=B ．21y x =C ．(1)y ln x =+D ．||y x =【考点】函数的值域【分析】利用函数的性质求出值域即可判断．【解答】解：对于:1A x R -∈，120x y -∴=>，故A 正确，对于:0B x ≠，20x ∴>，210y x ∴=>，故B 正确， 对于:10C x +>，(1)(y ln x ∴=+∈-∞，)+∞，故C 错误，对于:D x R ∈，||[0y x ∴=∈，)+∞，故D 错误．故选：AB ．【点评】本题主要考查函数值域的求解和判断，结合函数的性质求出函数的值域是解决本题的关键，是基础题．10．下列函数中，是奇函数且在(,)-∞+∞上是单调递增函数的是( )A ．()f x x =B ．()||f x x x =C ．()22x x f x -=-D ．2()f x x =【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】由常见函数的奇偶性和单调性可得结论．【解答】解：()f x x =为奇函数，且在(,)-∞+∞上是单调递增，故A 符合题意；()||f x x x =满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且在[0，)+∞递增，在(-∞，0]也递增，则()f x 在(,)-∞+∞上是单调递增，故B 符合题意；()22x x f x -=-的定义域为R ，满足()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，且2x y =和2x y -=-在R 上递增，则()f x 在R 上递增，故C 符合题意；2()f x x =为偶函数，故D 不符题意．故选：ABC ．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，考查运算能力和推理能力，属于基础题．三．填空题（共5小题）11．函数22(1)3(0)f x x x x -=-+>，则f （3）= 5 ．【考点】函数的值【分析】令213x -=得2x =，再代入即可．【解答】解：令213x -=得，2x =或2x =-（舍去），故f （3）2(21)f =-22235=-+=，故答案为：5．【点评】本题考查了复合函数函数值的求法，属于基础题．12．函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点 (1,2)-- ．【考点】对数函数的图象与性质【分析】令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，即可求解．【解答】解：令21x +=，解得1x =-，当1x =-时，022y =-=-，故函数()log (2)2(0a f x x a =+->，且1)a ≠的图象必过定点(1,2)--．故答案为：(1,2)--．【点评】本题主要考查对数函数的性质，考查定点问题，属于基础题．13．已知212x =，21log 3y =，则x y +的值为 2 ． 【考点】对数的运算性质【分析】先把指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【解答】解：212x =，2log 12x ∴=，222112log 423x y log log ∴+=+==， 故答案为：2．【点评】本题主要考查了指数式与对数式的互化，考查了对数的运算性质，是基础题．14．已知函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则3log f （3）= 2 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；指数函数的单调性与特殊点【分析】求出(2,4)P ，由幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，求出a ，得到()f x 的解析式，再计算3log f （3）即可．【解答】解：函数23(0x y a a -=+>且1)a ≠的图象恒过定点P ，则(2,4)P ，∴幂函数()a y f x x ==过(2,4)P ，24a ∴=，解得2a =，2()f x x ∴=，3log f ∴（3）3log 92==．故答案为：2．【点评】本题考查函数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．若幂函数()f x 的图象经过点1(,4)4，则(2)f -= 12- ． 【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】设出幂函数的解析式，代入点的坐标，求出函数的解析式，求出(2)f -的值即可．【解答】解：设幂函数的解析式为()f x x α=， 则1()44α=，解得：1α=-， 故1()f x x =，故1(2)2f -=-， 故答案为：12-． 【点评】本题考查了求幂函数的定义，考查函数求值问题，是基础题．四．解答题（共7小题）16．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+．（1）当0x 时，求函数()f x 的解析式；（2）解关于m 的不等式：(2)(2)23f m f m m +--．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）根据奇函数的性质进行转化求解即可．（2）将不等式进行转化，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．【解答】解：（1）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()2f x x x =-+． (0)0f ∴=，当0x >，则0x -<，则2()2()f x x x f x -=--=-，即2()2(0)f x x x x =+<，综上2()2(0)f x x x x =+．（2）由(2)(2)23f m f m m +--．得(2)2(2)2(2)2f m m f m m f m m +--+-=-+-． 设()()g x f x x =+，则不等式等价为(2)(2)g m g m -，作出函数()f x 的图象如图：则()f x 在R 上是增函数，则()()g x f x x =+也是增函数， 则由(2)(2)g m g m -，得22m m -，得23m， 即实数m 的取值范围是(-∞，2]3．【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据函数奇偶性和单调性的定义将不等式进行转化是解决本题的关键，是中档题．17．设函数4()221xx f x =--，0x >． （1）求函数()f x 的值域；（2）设函数2()1g x x ax =-+，若对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，求正实数a 的取值范围．【考点】函数的值域【分析】（1）由已知41()2212121x x x x f x =-=-+--，，利用基本不等式可求函数()f x 的值域；（2）由对1[1x ∀∈，2]，2[1x ∃∈，2]，12()()f x g x =，可得函数函数()f x 在[1，2]上的值域包含于函数()g x 在[1，2]上的值域，由此可求正实数a 的取值范围．【解答】解：（1）24(2)111()2221212121x x x x x x f x -+=-=-=-+---，0x >，210x ->， 则11()212(21)22121x x x x f x =-+-⋅=--，，当且仅当1x =时取“=”， 所以()[2f x ∈，)+∞，即函数()f x 的值域为[2，)+∞；（2）设21x t =-，[1x ∈，2]，[1t ∴∈，3]， 函数1y t t=+在[1，3]上单调递增， 则函数()f x 在[1，2]上单调递增，()[2f x ∴∈，10]3， 设[1x ∈，2]时，函数()g x 的值域为A ，由题意知[2，10]3A ⊆， 又因为函数()g x 图象的对称轴为02a x =>， 当12a ，即02a <时，函数()g x 在[1，2]上递增，则(1)210(2)3g g ⎧⎪⎨⎪⎩，解得506a <， 当122a <<时，即24a <<时，函数()g x 在[1，2]上的最大值为g （1），g （2）中的较大者，而g （1）20a =-<且g （2）521a =-<，不合题意，当22a >，即4>时，函数()g x 在[1，2]上递减，则10(1)3(2)2g g ⎧⎪⎨⎪⎩，满足条件的a 不存在． 综上，5(0,]6a ∈． 【点评】本题考查了求函数的值域及分类讨论思想，采用了换元法求值域，换元后对参数t 的范围要进行确认，这是易错点，属于中档题．18．设函数21y mx mx =--．（1）若函数21y mx mx =--有两个零点，求m 的取值范围；（2）若命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，求m 的取值范围；（3）若对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立，求m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；二次函数的性质与图象【分析】（1）利用零点的定义，结合二次方程根的个数问题，求解即可；（2）将问题转化为210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，分0m =和0m ≠两种情况，结合二次函数的图象与性质，列式求解即可；（3）将问题转化为4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立，利用基本不等式求解最值，即可得到答案．【解答】解：（1）因为函数21y mx mx =--有两个零点，所以方程210mx mx --=有两个不同的实数根，则2040m m m ≠⎧⎨=+>⎩，解得4m <-或0m >， 故实数m 的取值范围为(-∞，4)(0-⋃，)+∞；（2）命题：x R ∃∈，0y ，是假命题，则命题：x R ∀∈，0y <，是真命题，则210mx mx --<对于x R ∀∈恒成立，当0m =时，不等式为10-<恒成立，符合题意；当0m ≠时，则2040m m m <⎧⎨=+<⎩，解得40m -<<． 综上所述，实数m 的取值范围为(4-，0]；（3）因为对于[1x ∈，3]，2(1)3y m x ++恒成立， 即240x mx ++对于[1x ∈，3]恒成立，即4()m x x-+在[1x ∈，3]恒成立， 则4[()]max m x x-+， 因为4424x x x x+⋅=， 当且仅当4x x=，即2x =时取等号， 所以4[()]4max x x -+=-， 则4m -，所以实数m 的取值范围为[4-，)+∞．【点评】本题考查了函数零点的理解与应用，函数与方程的应用，函数与不等式的综合应用，命题真假的应用以及不等式恒成立问题，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．19．已知函数()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并给出证明；（3）若(1)1f -<，求a 的取值范围．【考点】函数奇偶性的性质与判断【分析】（1）依题意，得2020x x +>⎧⎨->⎩，解之可得函数()f x 的定义域； （2）()f x 为奇函数；利用奇函数的定义证明即可；（3）1(1)13aa f log log a -<⇔<，通过对a 的范围的分类讨论，可求得答案． 【解答】解：（1）()log (2)log (2)a a f x x x =+--，其中0a >，1a ≠，∴202202x x x x +>>-⎧⎧⇒⎨⎨-><⎩⎩， ∴函数()f x 的定义域为(2,2)-；（2）()f x 为奇函数． 证明：22()()022a a x x f x f x log log x x-+-+=+=+-， ()()f x f x ∴-=-，(2,2)x ∈-，()f x ∴为奇函数；（3）(1)1f -<，∴1(1)3a a f log log a -=<， ①01a <<，()f x 单调递减，∴103a <<； ②1a >，()f x 单调递增，∴13a >，1a ∴>； 综上：103a <<或1a >，即(0a ∈，1)(13⋃，)+∞． 【点评】本题考查函数奇偶性的性质与判断，考查分析推理能力与运算求解能力，属于中档题．20．已知函数1()21x f x a =-+为奇函数． （1）求a 的值，并判断函数()f x 的单调性；（2）若x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，求实数k 的取值范围．【考点】奇偶性与单调性的综合【分析】（1）由奇函数在R 上有定义，可得(0)0f =，求得a 的值，再由指数函数的单调性可得()f x 的单调性；（2）由奇函数()f x 的单调性可将不等式的两边的“f ”去掉，结合二次不等式恒成立，运用判别式法，解不等式可得所求范围．【解答】解：（1）函数1()21x f x a =-+为奇函数，定义域为R ， 可得(0)0f =，即102a -=，解得12a =， 则1112()12212xx xf x -=-=++，满足()()0f x f x -+=， 所以12a =成立； 由2x y =在R 上递增，可得112xy =+在R 上递减， 所以()f x 在R 上为递减函数；（2）x R ∀∈，2(1)()0f x f kx ++<，即为2(1)()()f x f kx f kx +<-=-，因为()f x 在R 上为递减函数，所以21x kx +>-，即210x kx ++>恒成立，则△0<，即240k -<，解得22k -<<，则k 的取值范围是(2,2)-．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于基础题．21．计算下列各式．（1）1206310.064()(2021)3π--+-+； （2）2731329log 5log 42log 5log -++． 【考点】对数的运算性质；有理数指数幂及根式【分析】（1）利用有理数指数幂的运算性质求解．（2）利用对数的运算性质求解．【解答】解：（1）原式1113662332043132⨯⨯⨯=⋅-++⨯ 23220.49198917255=-++⨯=-++=． （2）原式333log 527log 9log 527211=+++-=++=．【点评】本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．22．计算：（100.539()()54--++（2）22log 62222523lg lg -+-- 【考点】有理数指数幂及根式；对数的运算性质【分析】利用有理指数幂及对数的运算性质依次化简即可．【解答】解：（100.539()()54--++221133e e =-+++；（2）22log 62222523lg lg -+--421100632lg =--⨯ 211=-=．【点评】本题考查了有理指数幂及对数的运算，属于基础题．。
函数的概念与性质常见典型考题赏析
ʏ张文伟函数是每年高考的必考内容㊂纵观近几年的高考试题,函数的概念与性质,函数的图像与应用问题,分段函数问题,以函数形式出现的综合题和应用题一直是常考点,且常考常新㊂下面就函数的概念与性质的常见典型考题进行举例分析,供大家学习与参考㊂题型一:函数概念的理解判断对应关系是否构成函数的关键:一是自变量x的取值是否任意,二是对应的函数值y是否唯一㊂判断两个函数是否相同,要根据函数的 三要素 来判断,即看函数的定义域㊁对应关系㊁值域是否一致,当三者都一致的时候,两个函数才是相同函数㊂例1设M={x|0ɤxɤ2},N={y| 0ɤyɤ2},给出下列四个图形,如图1,图2,图3,图4,其中能表示从集合M到N的函数关系的图形有()㊂图1图2图3图4A.1个B.2个C.3个D.4个解:由函数的定义知,M中任意一个x,在N中都有唯一的y与之对应,故图1,图2,图4正确㊂应选C㊂跟踪训练1:下列函数中与函数y=x是同一个函数的是()㊂A.y=(x)2B.y=3x3C.y=4x4D.y=(x+1)2x+1-1提示:A中,y=(x)2=x(xȡ0),yȡ0,可知定义域不同且值域不同,所以两个函数不是同一个函数㊂B中,y=3x3=x(xɪR),yɪR,对应关系相同,定义域和值域都相同,所以是同一个函数㊂C中,y=4x4,yȡ0,与y=x值域不同,且当x<0时,它的对应关系与函数y=x不相同,所以不是同一个函数㊂D中,y=(x+1)2x+1-1的定义域为{x|xʂ-1},与函数y=x的定义域不相同,所以不是同一个函数㊂应选B㊂题型二:求具体函数的定义域函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值集合,其实质是以使函数的表达式所含运算有意义为原则㊂函数的定义域要用集合或区间的形式表示㊂若已知函数f(x)的定义域为[a,b],则函数f[g(x)]的定义域是指满足不等式aɤg(x)ɤb的x取值范围;已知f[g(x)]的定义域是[a,b],指的是xɪ[a,b],要求f(x)的定义域,就是求xɪ[a,b]时g(x)的值域㊂例2函数y=x+3-3x2+x-6的定义域是㊂解:要使此函数有意义,x必须满足x+3ȡ0,x2+x-6ʂ0,{即xȡ-3,xʂ2且xʂ-3,{也即x>-3且xʂ2,所以函数的定义域为(-3, 2)ɣ(2,+ɕ)㊂跟踪训练2:若函数f(x)的定义域为[-2,1],求函数y=f x+14()㊃f x-14()的定义域㊂提示:要使函数y=f x+14()㊃f x-14()有意义,必须满足经典题突破方法高一数学2022年10月-2ɤx +14ɤ1,-2ɤx -14ɤ1㊂ìîíïïïï由此解得-94ɤx ɤ34,-74ɤx ɤ54,ìîíïïïï即-74ɤx ɤ34㊂故函数y =f x +14()㊃f x -14()的定义域为-74,34[]㊂题型三:函数的值与值域问题一次函数的值域为R ,二次函数的值域可用公式法㊁配方法或图像法求解,反比例函数的值域可用图像法求解㊂在求值域时,一定要考虑定义域,如求y =x 2-2x (-1ɤx <2)的值域,不能用公式法,可根据定义域结合图像求解㊂例3 已知函数f (x )=3x 2-2x -1,则f (-2)=;f (m -1)=;f [f (-1)]=㊂解:f (-2)=3ˑ(-2)2-2ˑ(-2)-1=15㊂f (m -1)=3(m -1)2-2(m -1)-1=3m 2-8m +4㊂因为f (-1)=3ˑ(-1)2-2ˑ(-1)-1=4,所以f [f (-1)]=f (4)=3ˑ42-2ˑ4-1=39㊂跟踪训练3:求下列函数的值域㊂(1)y =2x -4x +3㊂(2)y =1x 2+2x +2㊂提示:(1)因为y =2x -4x +3=2(x +3)-10x +3=2-10x +3ʂ2,所以y ɪ(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ),即此函数的值域为(-ɕ,2)ɣ(2,+ɕ)㊂(2)令u =x 2+2x +2=(x +1)2+1ȡ1,则y =1u㊂因为u ɪ[1,+ɕ),所以y ɪ(0,1],即此函数的值域为(0,1]㊂题型四:求函数的解析式求函数解析式的四种常用方法:待定系数法,当已知函数类型时,常用待定系数法;代入法,已知y =f (x )的解析式,求函数y =f [g (x )]的解析式时,可直接用新自变量g (x )替换y =f (x )中的x ;换元法,已知y =f [g (x )]的解析式,求y =f (x )的解析式,可令g (x )=t ,反解出x ,然后代入y =f [g (x )]中,求出f (t ),即得f (x );构造方程组法,当同一个对应关系中的两个自变量之间有互为相反数或者互为倒数关系时,可构造方程组求解㊂例4 设二次函数f (x )满足f (x -2)=f (-x -2),且图像与y 轴交点的纵坐标为1,被x 轴截得的线段长为22,求函数f (x )的解析式㊂解:(方法1)设f (x )=a x 2+b x +c (a ʂ0)㊂由已知得c =1㊂由f (x -2)=f (-x -2),可得4a -b =0㊂由|x 1-x 2|=b 2-4a c |a |=22,可得b 2-4a c =8a2㊂由上可得,b =2,a =12,c =1,所以函数f (x )=12x 2+2x +1㊂(方法2)因为f (x -2)=f (-x -2),所以y =f (x )图像的对称轴为x =-2㊂又|x 1-x 2|=22,所以y =f (x )的图像与x 轴的交点为(-2-2,0),(-2+2,0)㊂设f (x )=a (x +2+2)(x +2-2)㊂因为f (0)=1,所以a =12㊂故函数f (x )=12[(x +2)2-2]=12x 2+2x +1㊂跟踪训练4:求下列函数的解析式㊂(1)已知f (x -1)=x +2x ,求f (x )㊂(2)设f (x )是定义在(1,+ɕ)上的一个函数,且f (x )=2x f1x ()-1,求f (x )㊂提示:(1)令t =x -1,则t ȡ-1,且x =t +1,所以f (t )=(t +1)2+2(t +1)=t 2+4t +3㊂故f (x )=x 2+4x +3(x ȡ-1)㊂(2)因为f (x )=2x f 1x ()-1,所以用1x 代换x ,得f 1x()=21xf (x )-1㊂由上经典题突破方法高一数学 2022年10月消去f1x(),解得f (x )=4f (x )-2x -1,所以f (x )=23x +13㊂又因为x ɪ(1,+ɕ),所以函数f (x )=23x +13,x ɪ(1,+ɕ)㊂题型五:分段函数的应用求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值在哪个区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值㊂已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条件㊂实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系的不同进行分段求解㊂例5已知函数f (x )=x 2+1,x ȡ0,-2x ,x <0,{若f (x )=10,则x =㊂解:当x ȡ0时,f (x )=x 2+1=10,可得x =-3(舍去)或x =3;当x <0时,f (x )=-2x =10,可得x =-5㊂综上可知,x =-5或x =3㊂跟踪训练5:已知函数f (x )=12x -1,x ȡ0,1x,x <0,ìîíïïïï若f (a )=a ,则实数a 的值是㊂提示:当a ȡ0时,f (a )=a2-1=a ,可得a =-2(舍去);当a <0时,f (a )=1a=a ,可得a =-1或a =1(舍去)㊂综上知实数a =-1㊂题型六:函数的单调性问题证明函数f (x )在区间上的单调性的五个步骤:①设元,②作差,③变形,④判号,⑤定论㊂解决与抽象函数有关的变量的取值范围问题,关键是利用单调性 脱去 函数符号 f,从而转化为不等式求解㊂例6 已知函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),求a 的取值范围㊂解:由题意知-1<a -1<1,-1<1-4a <1,{解得0<a <12㊂因为函数f (x )在区间(-1,1)上单调递减,且f (a -1)>f (1-4a ),所以a -1<1-4a ,可得a <25㊂综上可得,0<a <25,即a 的取值范围是0,25()㊂跟踪训练6:设函数f (x )=x |x -1|+m ,当m >1时,求函数f (x )在区间[0,m ]上的最大值㊂提示:函数f (x )=x |x -1|+m =-x 2+x +m ,0ɤx ɤ1,x 2-x +m ,1<x ɤm ㊂{当0ɤx ɤ1时,f (x )=-x 2+x +m =-x -12()2+m +14ɤm +14;当1<x ɤm 时,由f (x )=x 2-x +m =x -12()2+m -14,可得f (x )在(1,m ]上单调递增,所以f (x )m a x =f (m )=m 2㊂由m 2ȡm +14且m >1得m ȡ1+22㊂所以f (x )m a x =m +14,1<m <1+22,m 2,m ȡ1+22㊂ìîíïïïï题型七:函数性质的应用函数的性质主要有定义域㊁值域㊁单调性㊁奇偶性㊁周期性㊁对称性等㊂利用奇偶性和单调性解不等式要注意的是:奇函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相同,偶函数在定义域内的关于y 轴对称的两个区间上的单调性相反㊂例7 设f (x )在R 上是偶函数,在(-ɕ,0)上单调递减,若f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),求实数a 的取值范围㊂解:由题意知f (x )在(0,+ɕ)上单调递增㊂因为a 2-2a +3=(a -1)2+2>0,a 2+a +1=a +12()2+34>0,且f (a 2-2a +3)>f (a 2+a +1),所以a 2-2a +3>a 2+a +1,解得a <23㊂故所求实数a 的取值范围是 经典题突破方法 高一数学 2022年10月-ɕ,23()㊂跟踪训练7:设定义在[-2,2]上的偶函数f (x )在区间[0,2]上单调递减,若f (1-m )<f (m ),求实数m 的取值范围㊂提示:因为f (x )是偶函数,所以f (-x )=f (x )=f (|x |)㊂不等式f (1-m )<f (m )等价于f (|1-m |)<f (|m |)㊂又f (x )在区间[0,2]上单调递减,所以|1-m |>|m |,-2ɤm ɤ2,-2ɤ1-m ɤ2,ìîíïïï解得-1ɤm <12㊂故实数m 的取值范围是-1,12[)㊂题型八:幂函数问题对于幂函数f (x )=xα,当α>0时,在(0,+ɕ)上单调递增;当α<0时,在(0,+ɕ)上单调递减㊂对于幂函数f (x )=xα,在(0,1)上,指数越大,图像越靠近x 轴(简记为 指大图低 );在(1,+ɕ)上,指数越大,图像越远离x 轴(简记为 指大图高)㊂例8 已知函数f (x )=x 3,x ɤa ,x 2,x >a,{若存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根,则a 的取值范围是㊂解:存在实数b ,使方程f (x )-b =0有两个根等价于存在实数b ,函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点(图略)㊂当a <0时,y =f (x )在(a ,0)上单调递减,(0,+ɕ)上单调递增,所以存在实数b ɪ(0,a 2),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当0ɤa ɤ1时,y =f (x )在R 上单调递增,所以不存在实数b ,使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点;当a >1时,y =f (x )在(-ɕ,a )上单调递增,(a ,+ɕ)上也单调递增,所以存在实数b ɪ(a 2,a3),使函数y =f (x )与y =b 的图像有两个交点㊂综上可得,a ɪ(-ɕ,0)ɣ(1,+ɕ)㊂跟踪训练8:已知幂函数y =x 3m -9(m ɪN *)的图像关于y 轴对称,且在(0,+ɕ)上单调递减,求满足(a +1)-m 3<(3-2a )-m3的a 的取值范围㊂提示:因为幂函数y =x 3m -9在(0,+ɕ)上单调递减,所以3m -9<0,解得m <3㊂又m ɪN *,所以m =1或m =2㊂因为函数图像关于y 轴对称,所以3m -9为偶数,可知m =1,则(a +1)-13<(3-2a )-13㊂因为y =x -13在(-ɕ,0),(0,+ɕ)上均单调递减,所以a +1>3-2a >0或0>a +1>3-2a 或a +1<0<3-2a ,解得23<a <32或a <-1㊂故a 的取值范围为(-ɕ,-1)ɣ23,32()㊂题型九:二次函数模型二次函数求最值的四种方法:配方法,判别式法,换元法,单调性法㊂求二次函数最值问题,最好结合二次函数的图像㊂例9 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本y (万元)与年产量x (t)之间的函数关系式可以近似地表示为y =x 25-48x +8000㊂已知此生产线年产量最大为210t ㊂若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少解:设可获得的总利润为W 万元,则W =40x -y=40x -x 25+48x -8000=-x 25+88x -8000=-15(x -220)2+1680(0ɤx ɤ210)㊂因为W 在[0,210]上单调递增,所以当x =210时,W m a x =-15(210-220)2+1680=1660(万元)㊂故年产量为210t 时,可获得最大利润,最大利润为1660万元㊂跟踪训练9:某工厂生产甲㊁乙两种产品所得利润分别为P (万元)和Q (万元),它们与投入资金m (万元)的关系有如下公式:P =12m +60,Q =70+6m ㊂今将200万元资金投入生产甲㊁乙两种产品,并要求对甲㊁乙两种产品的投入资金都不低于25经典题突破方法高一数学 2022年10月万元㊂(1)设对乙种产品投入资金x (万元),求总利润y (万元)关于x 的函数关系式及其定义域㊂(2)如何分配投入资金,才能使总利润最大?求出最大总利润㊂提示:(1)根据题意知,对乙种产品投入资金x 万元,对甲种产品投入资金(200-x )万元,那么总利润y =12(200-x )+60+70+6x =-12x +6x +230㊂由x ȡ25,200-x ȡ25,{解得25ɤx ɤ175,所以函数的定义域为[25,175]㊂(2)令t =x ,则y =-12t 2+6t +230=-12(t -6)2+248㊂因为x ɪ[25,175],所以t ɪ[5,57]㊂当t ɪ[5,6]时,函数单调递增;当t ɪ[6,57]时,函数单调递减㊂所以当t =6,即x =36时,y m ax =248㊂故当甲种产品投入资金164万元,乙种产品投入资金36万元时,总利润最大,最大总利润为248万元㊂题型十:分段函数模型对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数称为分段函数㊂分段函数是一个函数,而不是几个函数㊂分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域是各段函数值域的并集㊂例10 某厂生产某种零件,每个零件的成本为40元,出厂单价定为60元,该厂为鼓励销售商订购,决定当一次订购量超过100个时,每多订购1个,订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元,但实际出厂单价不能低于51元㊂(1)当一次订购量为多少个时,零件的实际出厂单价恰降为51元?(2)设一次订购量为x 个,零件的实际出厂单价为P 元,写出函数P =f (x )的表达式㊂(3)当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个,利润又是多少元(一个零件的利润=实际出厂单价-成本)解:(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为51元时,一次订购量为x 0个,则x 0=100+60-510.02,即x 0=550㊂因此,当一次订购量为550个时,每个零件的实际出厂价恰好降为51元㊂(2)当0<x ɤ100时,P =60;当100<x ɤ550时,P =60-0.02(x -100)=62-x50;当x >550时,P =51㊂所以函数P =f(x )=60,0<x ɤ100,62-x 50,100<x ɤ550,51,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂(3)设销售商一次订购量为x 个时,工厂获得的利润为L 元,则函数L =(P -40)x =20x ,0<x ɤ100,22x -x 250,100<x ɤ550,11x ,x >550ìîíïïïï(x ɪN )㊂当x =500时,L =6000;当x =1000时,L =11000㊂因此,当销售商一次订购500个零件时,该厂获得的利润是6000元;如果订购1000个,利润是11000元㊂跟踪训练10:某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元㊂经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t (单位:百件)时,销售所得的收入约为5t -12t 2(万元)㊂(1)若该公司的年产量为x (单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润f (x )表示为年产量x 的函数㊂(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大?提示:(1)当0<x ɤ5时,产品全部售出,当x >5时,产品只能售出500件㊂所以函数f(x )=经典题突破方法 高一数学 2022年10月5x -12x 2()-(0.5+0.25x ),0<x ɤ5,5ˑ5-12ˑ52()-(0.5+0.25x ),x >5,ìîíïïïï即函数f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,0<x ɤ5,12-0.25x ,x >5㊂{(2)当0<x ɤ5时,f (x )=-12x 2+4.75x -0.5,所以当x =4.75(百件)时,f (x )有最大值,可得f (x )m a x =10.78125(万元)㊂当x >5时,f (x )<12-0.25ˑ5=10.75(万元)㊂故当这种产品的年产量为475件时,当年所得利润最大㊂题型十一:抽象函数问题解抽象函数问题,主要用赋值法㊂赋值法的关键环节是 赋值 ,赋值的方法灵活多样,既要照顾到已知条件的运用和待求结论的产生,又要考虑所给关系式的结构特点㊂例11 已知定义在区间(0,+ɕ)上的函数f (x )满足f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),且当x >1时,f (x )<0㊂(1)证明:f (x )为单调递减函数㊂(2)若f (3)=-1,求f (x )在[2,9]上的最小值㊂解:(1)任取x 1,x 2ɪ(0,+ɕ),且x 1>x 2,则x 1x 2>1㊂因为当x >1时,f (x )<0,所以f x1x 2()<0,即f (x 1)-f (x 2)<0,所以f (x 1)<f (x 2),所以函数f (x )在区间(0,+ɕ)上是单调递减函数㊂(2)因为f (x )在(0,+ɕ)上是单调递减函数,所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)㊂由f x 1x 2()=f (x 1)-f (x 2),可得f 93()=f (9)-f (3),而f (3)=-1,所以f (9)=-2㊂故f (x )在[2,9]上的最小值为-2㊂跟踪训练11:设函数f (x )的定义域为U ={x |x ɪR 且x >0},且满足条件f (4)=1㊂对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),且当x 1ʂx 2时,有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0㊂(1)求f (1)的值㊂(2)如果f (x +6)+f (x )>2,求x 的取值范围㊂提示:(1)对任意的x 1,x 2ɪU ,有f (x 1㊃x 2)=f (x 1)+f (x 2),可令x 1=x 2=1,得f (1ˑ1)=f (1)+f (1)=2f (1),所以f (1)=0㊂(2)设0<x 1<x 2,则x 2-x 1>0㊂因为当x 1ʂx 2时,f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1>0,所以f (x 2)-f (x 1)>0,即f (x 2)>f (x 1),所以f (x )在定义域内为增函数㊂令x 1=x 2=4,可得f (4ˑ4)=f (4)+f (4)=1+1=2,即f (16)=2㊂当x +6>0,x >0,{即x >0时,原不等式可化为f [x (x +6)]>f (16)㊂因为f (x )在定义域上为增函数,所以x (x +6)>16,解得x >2或x <-8㊂又x >0,所以x >2㊂故x 的取值范围为(2,+ɕ)㊂题型十二:函数的创新题这类问题的特点是背景新颖,信息量大,通过它可考查同学们获取信息㊁分析信息并解决问题的能力㊂解答这类问题,首先要分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,然后应用到具体的解题过程之中,这是破解新定义信息题难点的关键㊂例12 给出定义:若m -12<x ɤm +12(其中m 为整数),则m 叫作离实数x 最近的整数,记作{x },即{x }=m ㊂现给出下列关于函数f (x )=|x -{x }|的四个命题:①f -12()=12;②f (3.4)=-0.4;③f -14()=f 14();④y =f (x )的定义域为R ,值域是-12,12[]㊂经典题突破方法高一数学 2022年10月其中真命题的序号是㊂解:因为-1-12<-12ɤ-1+12,所以-12{}=-1,所以f-12()=-12--12{}=-12+1=12,①正确㊂因为3-12<3.4ɤ3+12,所以{3.4}=3,所以f (3.4)=|3.4-{3.4}|=|3.4-3|=0.4,②错误㊂因为0-12<-14ɤ0+12,所以-14{}=0,所以f -14()=-14-0=14㊂因为0-12<14ɤ0+12,所以14{}=0,所以f 14()=14-0=14,所以f -14()=f 14(),③正确㊂y =f (x )的定义域为R ,值域是012[],④错误㊂答案为①③㊂跟踪训练12:(多选题)对任意实数a ,b ,定义m i n {a ,b }=a ,a ɤb ,b ,a >b,{若f (x )=2-x 2,g (x )=x 2-2,则关于函数F (x )=m i n {f (x ),g (x )}的说法正确的是( )㊂A .函数F (x )是偶函数B .方程F (x )=0有一个解C .函数F (x )有四个单调区间D .函数F (x )有最大值为0,无最小值提示:由题意可得,函数F (x )=2-x 2,x ɪ(-ɕ,-2]ɣ[2,+ɕ),x 2-2,x ɪ(-2,2),{作出函数F (x )图像,如图5所示㊂图5由图5可知,该函数为偶函数,有两个零点-2,2,四个单调区间㊂当x =ʃ2时,函数F (x )取得最大值为0,无最小值㊂应选A C D ㊂1.已知函数f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1(m ɪR ),试比较f (5)与f (-π)的大小㊂提示:f (x )=m x 2-2m x +m -1x 2-2x +1=m -1(x -1)2㊂y =-1x 2的图像向右平移1个单位得到y =-1(x -1)2的图像,再向上(m ȡ0)或向下(m <0)平移|m |个单位得到y =m -1(x -1)2的图像㊂因为y =-1x2在(-ɕ,0)上单调递减,在(0,+ɕ)上单调递增,且关于y 轴对称,所以f (x )在(-ɕ,1)上单调递减,(1,+ɕ)上单调递增,且关于直线x =1对称,所以f (-π)=f (2+π),而2+π>5,所以f (-π)=f (2+π)>f (5),即f (5)<f (-π)㊂2.已知f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,且f (x )+g (x )=x 2+x -2,求f (x ),g (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (-x )=f (x ),g (-x )=-g (x )㊂由f (x )+g (x )=x 2+x -2,可得f (-x )+g (-x )=(-x )2-x -2,即f (x )-g (x )=x 2-x -2㊂由上可得函数f (x )=x 2-2,g (x )=x ㊂3.已知f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x >0时,f (x )=x 3-2x 2+2,求f (x )的解析式㊂提示:因为f (x )是定义在R 上的奇函数,所以当x =0时,f (-0)=-f (0),即f (0)=0㊂当x <0时,-x >0,所以f (x )=-f (-x )=-[(-x )3-2(-x )2+2]=x 3+2x 2-2㊂所以函数f (x )=x 3+2x 2-2,x <0,0,x =0,x 3-2x 2+2,x >0㊂ìîíïïï作者单位:河南省开封高中(责任编辑 郭正华)经典题突破方法 高一数学 2022年10月。
函数-【2023高考必备】2013-2022十年全国高考数学真题分类汇编(全国通用版)(原卷版)
专题02函数
一、选择题
1．(2022年全国乙卷理科·第12题)已知函数 的定义域均为R，且 ．若 的图像关于直线 对称， ，则 ()
A． B． C． D．
2．(2022新高考全国II卷·第8题)已知函数 的定义域为R，且 ，则 ()
A． B． C．0D．1
A． B． C． D．
12．(2021年高考全国甲卷理科·第4题)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足 ．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为()( )
A．1．5B．1．2C．0．8D．0．6
27．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第3题)函数 的图象大致为()
A． B． C． D．
24．(2019年高考数学课标全国Ⅰ卷理科·第5题)函数 在 的图象大致为()
25．(2018年高考数学课标Ⅲ卷(理)·第7题)函数 的图象大致为()
26．(2018年高考数学课标Ⅱ卷(理)·第11题)已知 是定义域为 的奇函数，满足 ．若 ，则 ()
A． B．0C．2D．50
13．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第12题)若 ，则()
A． B． C． D．
14．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科·第5题)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()
3．(2021年新高考全国Ⅱ卷·第8题)已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则()
【精选高中试题】高中数学黄金100题系列——专题05 函数定义域(解析版) Word版(含解析)
I ．题源探究·黄金母题例1 求函数)34(log )(5.0-=x x f 的定义域. 【解析】要使式子有意义，则0)34(log 5.0≥-x ， 即1log 0)34(log 5.05.0=≥-x ，根据对数函数的单调性，则1340≤-<x ， 解得143≤<x ， 所以函数)(x f 的定义域为]1,43(.II ．考场精彩·真题回放【例2】【2016高考江苏卷】函数y义域是 ▲ . 【答案】[]3,1-【解析】要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-， 【例3】【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D）y =【答案】D 【解析】lg 10xy x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．精彩解读【试题来源】人教版A 版必修一第74页习题2.2 A 组第7题【母题评析】本题以求函数定义域为载体，考查根式的概念及利用对数函数的性质解简单对数不等式.本类考查方式是近几年高考试题常常采用的命题形式，达到一箭双雕的目的.【思路方法】由函数式有意义得到关于自变量的不等式，利用有关函数的性质或不等式性质，解出自变量的取值范围，即为函数的定义域.【命题意图】本类题通常主要考查函数定义域的求法.【考试方向】这类试题在考查题型上，通常基本以选择题或填空题的形式出现，难度较小，往往与特殊函数的图像与性质、值域、解不等式、集合运算有联系. 【难点中心】对求函数定义域问题，首项要确定使函数式子有意义的条件，列出关于自变量的不等式（组），其次利用有关不等式性质和相关函数的性质解不等式（组），注意：①函数解析式含有几个式子，这几个式子都必须有意义，其交集即为函数的定义域；②解不等式时要等价变形；③抽象函数的定义域是难点.本题是简单函数定义域的求法，是基础题.III ．理论基础·解题原理考点一 函数定义域的概念1．在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域； 考点二 常见函数的定义域1.一次函数b kx y +=的定义域为R ；2.二次函数c bx ax y ++=2的定义域为R ； 3.指数函数x a y =（0>a 且1≠a ）定义域为R ；4.对数函数x y a log =（0>a 且1≠a ）的定义域为),0(+∞；（1）当Z m ∈，n 为奇数且0>mn 时，定义域为R ； （2）当m 为奇数n 为偶数且0>mn 时，定义域为),0[+∞； （3)当*Z m ∈，n 为奇数且0<mn 时，定义域为),0()0,(+∞⋃-∞； （4）当m 是奇数，n 为偶数且0<mn 时，定义域为),0(+∞； 6.正弦函数x y sin =、余弦函数x y cos =定义域都为R ；考点三 函数定义域的求法 1.已知函数解析式，求定义域紧扣“函数定义域是函数自变量的取值范围”这一概念。
高中数学抽象函数题型汇编及答案
抽象函数常见题型汇编及答案抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。
由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。
本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域，解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。
例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。
解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。
例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。
解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。
解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。
例题3：函数定义域是，则的定义域是_______ 解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。
例题4：函数的定义域是，求的定义域。
解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】已知函数的定义域是［1，2］，求f(x)的定义域。
解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f(x)的定义域是［1，4］【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。
解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。
解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 二、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。
高考10年真题汇总(函数)
历年高考试题汇编Ⅰ——集合与函数考试内容：集合.子集、交集、并集、补集. 映射.函数(函数的记号、定义域、值域). 幂函数.函数的单调性.函数的奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图象间的关系.指数函数.对数函数.换底公式.简单的指数方程和对数方程. 二次函数.考试要求：(1)理解集合、子集、交集、并集、补集的概念.了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，能掌握有关的术语和符号，能正确地表示一些较简单的集合.(2)了解映射的概念，在此基础上理解函数及其有关的概念掌握互为反函数的函数图象间的关系. (3)理解函数的单调性和奇偶性的概念，并能判断一些简单函数的单调性和奇偶性，能利用函数的奇偶性与图象的对称性的关系描绘函数图象.(4)掌握幂函数、指数函数、对数函数及二次函数的概念及其图象和性质，并会解简单的指数方程和对数方程. 一、选择题1.在下面给出的函数中，哪一个既是区间(0，π2)上的增函数，又是以π为周期的偶函数(85(3)3分)2.＝x 2＝|sinx | ＝cos 2x ＝esin 2x3.函数y ＝－x＋1的反函数是(86(2)3分) 4.＝log 5x ＋1 ＝log x 5＋1＝log 5(x －1)＝log 5x －15.在下列各图中，y ＝ax 2＋bx 与y ＝ax ＋b 的图象只可能是(86(9)3分)6.A .B .C .D . 7.8.设S ，T 是两个非空集合，且S ?T ，T?S ，令X ＝S ∩T ，那么S ∪X ＝(87(1)3分) 9. C .Φ10.11.在区间(－∞，0)上为增函数的是(87(5)3分)12. ＝－(－x ) ＝x1－x＝－(x ＋1)2 ＝1＋x ２13.14. 集合{1，2，3}的子集总共有(88(3)3分) 15. 个 个个 个16.17. 如果全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，M ＝{a ，c ，d }，N ＝{b ，d ，e }，则M －∩N －＝(89(1)3分) 18. A .φB .{d }C .{a ，c }D .{b ，e }19.20. 与函数y ＝x 有相同图象的一个函数是(89(2)3分) 21.＝x＝x 2x＝axlog a (a ＞0且a ≠1) ＝log a a x(a＞0且a ≠1) 22.23. 已知f (x )＝8＋2x －x 2，如果g (x )＝f (2－x 2)，那么g (x )(89(11)3分)24. A .在区间(－1，0)上是减函数 B .在区间(0，1)上是减函数 25. C .在区间(－2，0)上是增函数D .在区间(0，2)上是增函数26.27.方程2413log x 的解是(90(1)3分) 28.＝19＝33＝ 3 ＝929.30.设全集I ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝1}，N ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则M —∪N —＝(90(9)3分) 31.A .φ B .{(2，3)}C .(2，3)D .{(x ，y )|y ＝x ＋1}32.33.如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么y x的最大值是(90(10)3分) 34.A .12B .33C .32D . 335.36.函数f (x )和g (x )的定义域为R ，“f (x )和g (x )均为奇函数”是“f (x )与g (x )的积为偶函数”的(90上海)37.A .必要条件但非充分条件B .充分条件但非必要条件38.C .充分必要条件 D .非充分条件也非必要条件39.40.如果log a 2＞log b 2＞0，那么(90广东) 41.＜a ＜b＜b ＜a ＜a ＜b ＜1 ＜b ＜a ＜142.函数y ＝(x ＋4)2在某区间上是减函数，这区间可以是(90年广东) 43.A .(－∞，－4]B .[－4，＋∞)C .[4，＋∞)D .(－∞，4]44.如果奇函数f (x )在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上是(91(13)3分) 45.A .增函数且最小值为－5 B .增函数且最大值为－5 46.C .减函数且最小值为－5 D .减函数且最大值为－547.设全集为R ，f (x )＝sinx ，g (x )＝cosx ，M ＝{x |f (x )≠0}，N ＝{x |g (x )≠0}，那么集合{x |f (x )g (x )＝0}等于(91年⒂3分) 48.A .M －∩N － B .M －∪N C .M －∪N D .M －∪N －49.log 89log 23等于(92(1)3分) 50.A .23C .3251.图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象，已知n 取±2，±12四个值，则相应于曲线c 1，c 2，c 3，c 4的n 依次是(92(6)3分) 52.A .－2，－12,12，2，12,－12，－2 53.C .－12，－2，2，12D .12，2，－2，－1254.函数y ＝e x －e －x2的反函数(92(16)3分)55.A .是奇函数，它在(0，＋∞)上是减函数 B .是偶函数，它在(0，＋∞)上是减函数 56.C .是奇函数，它在(0，＋∞)上是增函数D .是偶函数，它在(0，＋∞)上是增函数57.如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，那么(92(17)3分) 58.(2)＜f (1)＜f (4) (1)＜f (2)＜f (4) 59.(2)＜f (4)＜f (1)(4)＜f (2)＜f (1)60.当0＜a ＜1时，函数y ＝a x和y ＝(a －1)x 2的图象只可能是(92年上海)61.BCD3 466.67.设全集I＝R，集合M＝{x|x2＞2}，N＝|log x7＞log37}，那么M∩N－＝(92年三南)68.A.{x|x＜－2＝B.{x|x＜－2或x≥3＝C.{x|x≥3} D.{x|－2≤x＜369.对于定义域为R的任何奇函数f(x)都有(92年三南)70.(x)－f(－x)＞0(x∈R) (x)－f(－x)≤0(x∈R)71.(x)f(－x)≤0(x∈R) (x)f(－x)＞0(x∈R)72.F(x)＝[1＋22x－1]f(x)，(x≠0)是偶函数，且f(x)不恒等于0，则f(x)(93(8)3分)73.A.是奇函数B.是偶函数74.C.可能是奇函数也可能是偶函数D.不是奇函数也不是偶函数75.设a，b，c都是正数，且3a＝4b＝6c，那么(93(16)3分)76.A.1c＝1a＋1bB.2c＝2a＋1bC.1c＝2a＋2bD.2c＝1a＋2b77.函数y＝x＋a与y＝log a x的图象可能是(93年上海)78.A.79.80.81.82.83.84.集合M＝{x|x＝kπ2＋π4，k∈Z}，N＝{x|x＝kπ4＋π2，k∈Z}，则(93年三南)85.＝N?M?N∩N＝φ86.87.设全集I＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，2，3}，集合B＝{2，3，4}，则A∪B－－＝(94(1)4分)88.A.{0} B.{0，1} C.{0，1，4} D.{0，1，2，3，4}89.设函数f(x)＝1－1－x2(－1≤x≤0)，则函数y＝f－1(x)的图象是(94(12)5分)90.B xx93. －1 O x O 1 x －1 94.95.定义在R 上的任意函数f (x )都可以表示成一个奇函数g (x )与一个偶函数h (x )之和，如果f (x )＝lg (10x＋1)，x ∈R ，那么(94(15)5分) 96.(x )＝x ，h (x )＝lg (10x＋10－x＋1) (x )＝lg (10x ＋1)＋x2，h (x )＝lg (10x ＋1)－x297.(x )＝x2，h (x )＝lg (10x＋1)－x2(x )＝－x 2，h (x )＝lg (10x ＋1)＋x298.y ＝x )99.C D x 0102. 103.104. 设I 是全集，集合P ，Q 满足P ?Q ，则下面结论中错误的是(94年上海) 105. ∪Q ＝Q B .P －∪Q ＝I ∩Q －＝φ D .P ∩Q ＝P － － －106.107. 如果0＜a ＜1，那么下列不等式中正确的是(94上海)108. A .(1－a )31＞(1－a )21 (1－a )(1＋a )＞0C .(1－a )3＞(1＋a )2D .(1－a )1＋a＞1 109.110. 已知I 为全集，集合M ，N ?I ，若M ∩N ＝N ，则(95(1)4分) 111. A .M ?N － － B .M －?NC .M ?N － －D .M －?N112. 函数y ＝－1x ＋1的图象是(95(2)4分)A yx x －1 O 116. 117.118.已知y ＝log a (2－ax )在[0，1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是(95(11)5分)119.A.(0，1) B.(1，2) C.(0，2) D.[2，＋∞)120.如果P＝{x|(x－1)(2x－5)＜0}，Q＝{x|0＜x＜10}，那么(95年上海)121.∩Q＝φ?Q?P∪Q＝R122.已知全集I＝N，集合A＝{x|x＝2n，n∈N}，B＝{x|x＝4n，n∈N}，则(96(1)4分) 123.＝A∪B＝A－∪B＝A∪B－＝A∪B－－124.当a＞1－x(96(2)4分)x O 1 x129.130.设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1，f(x)＝x，则f＝(96(15)5分)131.B.－D.－132.如果log a3＞log b3＞0，那么a、b间的关系为(96上海)133.＜a＜b＜1 ＜a＜b＜b＜a＜1 ＜b＜a134.在下列图像中，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝(ba)x的图像只可能是(96上海)A B. C. D140.设集合M＝{x|0≤x＜2}，集合N＝{x|x2－2x－3＜0}，集合M∩N＝(97(1)4分)141.A.{x|0≤x＜1} B.{x|0≤x＜2} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0≤x≤2}142.143.将y＝2x的图象144.A.先向左平行移动1个单位B.先向右平行移动1个单位145.C.先向上平行移动1个单位D.先向下平行移动1个单位146.再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象.(97(7)4分)147.148.定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在区间[0，＋∞)的图象与f(x)重合.设a＞b＞0，给出下列不等式:149.①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b) ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)150.③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a) ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a) 151.其中成立的是(97(13)5分)152.A.①与④B.②与③C.①与③D.②与④153.154.三个数，，的大小关系为(97上海)155.156.157.158.函数y＝a|x|(a＞1)的图像是(98(2)4分)yx x o 162.163.函数f(x)＝1x(x≠0)的反函数f－1(x)＝(98(5)4分)164.(x≠0) B.1x(x≠0) C.－x(x≠0) D.－1x(x≠0) 165.166.如果实数x，y满足x2＋y2＝1，那么(1－xy)(1＋xy)有(98年广东)167.A.最小值12和最大值1 B.最大值1和最小值34168.C.最小值34而没有最大值D.最大值1而没有最小值169.170.如图，I是全集，M、P、S是I的3个子集，则阴影部分所表示的集合是171.A.(M∩P)∩S B.(M∩P)∪S172.C.(M∩P)∩S－D.(M∩P)∪S－(99(1)4分)173.174.已知映射f:A?B，其中集合A＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B中的元素都是A中的元素在映射f下的象，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是|a|，则集合B中的元素的个数是(99(2)4分)175.176.177.若函数y＝f(x)的反函数是y＝g(x)，f(a)＝b，ab≠0，则g(b)＝(99(3)4分)178. －1 －1179.180.设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n＋n ，则在映射f 下，象20的原象是(2000⑴5分) 181.182.183. 《中华人民共和国个人所得税法》规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额，此项税款按下表分别累进计算.某人一月份应交纳此项税款元，则他的当月工资、薪金所得介于(2000⑹5分)～900元 ～1200元～1500元～2800元184.设全集I ＝{a ，b ，c ，d ，e }，集合M ＝{a ，c ，d }，N ＝{b ，d ，e }，那么M ∩N － －是(2000春京、皖(2)4分) 185. A .ΦB .{d }C .{a ，c }D .{b ，e }186.187. 已知f (x 6)＝log 2x ，那么f (8)等于188. A .43 D .12189.190. 函数y ＝lg |x |(2000春京、皖(7)4191. A .是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 192. B .是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 193. C .是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 194. D .是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减195.196. 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如右图，则(2000春京、皖(14)5分) 197. ∈(－∞，0) ∈(0，1)∈(1，2) ∈(2，＋∞)198.199. 若集合S ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，T ＝{y |y ＝x 2－1，x ∈R }，则S ∩T 是(2000上海(15)4分) 200.C .ΦD .有限集201.202. 已知集合A ＝{1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是(2000广东) 203.204.205.设集合A 和B 都是坐标平面上的点集{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，映射f :A →B 把集合A中的元素(x ，y )映射成集合B 中的元素(x ＋y ，x －y )，则在映射f 下，象(2，1)的原象是(2000年江西、天津(1)5分) 206. A .(3，1)B .(32,12)C .(32,－12) D .(1，3)207.208. 集合M ＝{1，2，3，4，5}的子集个数是(2001年春京、皖、蒙(1)5分) 209.210. 函数f (x )＝a x(a ＞0且a ≠1)对于任意的实数x 、y 都有(2001春京、皖、蒙(2)5分) 211. (xy )＝f (x )f (y ) (xy )＝f (x )＋f (y ) 212. (x ＋y )＝f (x )f (y )(x ＋y )＝f (x )＋f (y )213. 函数y ＝－1－x 的反函数是(2001春京、皖、蒙(4)5分)214. ＝x 2－1(－1≤x ≤0) ＝x 2－1(0≤x ≤1) 215. ＝1－x 2(x ≤0)＝1－x 2(0≤x ≤1)216. 已知f (x 6)＝log 2x ，那么f (8)等于(2001春京、皖、蒙(7)5分)217. A .43D .12218.若定义在区间(－1， 0) 内的函数f (x )＝log 2a (x ＋1) 满足f (x )＞0， 则a 的取值范围是(2001年(4)5分) 219. A .(12，＋∞)B .(0，12]C .(0，12) D .(0，＋∞)220. 设f (x )、g (x )都是单调函数，有如下四个命题:(2001年(10)5分) 221. ①若f (x )单调递增，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递增; 222. ②若f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递增; 223. ③若f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )单调递减; 224. ④若f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )单调递减; 225. 其中，正确的命题是226. A .②③B .①④C .①③D .②④227. 满足条件M ∪{1}＝{1，2，3}的集合M 的个数是(2002年北京(1)5分)228.229.下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间(π2，π)上为减函数的是(2002年北京(3)5分)230.＝cos2x＝2|sinx| ＝(13)cosx＝－cotx231.如图所示，f i(x)(i＝1，2，3，4)是定义在[0， 1]上的四个函数，其中满足性质：“对[0， 1]中任意的x1和x2，任意?∈[0， 1]，f[?x1＋(1－?)x2]≤?f(x1)＋(1－?)f(x2)恒成立”的只有(2002年北京(12)5分)(x)，f3(x) (x) (x)，f3(x) (x)232.一般地，家庭用电量(千瓦时)与气温(℃)有一定的关系，用图(1)表示某年12个月中每月的平均气温，图(2)表示某家庭在这年12个月中每月的用电量，根据这些信息，以下关于该家庭用电量与气温间关系的叙述中，正确的是(2002年上海(16)4分)233.234.235.236.237.238.239.240.241.图(1) 图(2)A.气温最高时，用电量最多B.气温最低时，用电量最少C.当气温大于某一值时，用电量随气温增高而增加D.当气温小于某一值时，用电量随气温降低而增加1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份3025201510514012010080604020气温242.集合M ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z }，则(2002年全国(5)、广东(5)、天津(6)5分) 243. ＝N ?N ?M ∩N ＝φ244.245. 函数f (x )＝x |x ＋a |＋b 是奇函数的充要条件是(2002年广东(7)5分) 246. ＝0 ＋b ＝0＝b＋b 2＝0247.248. 函数y ＝1－1x －1(2002年广东(9)5分) 249. A .在(－1，＋∞)内单调递增 B .在(－1，＋∞)内单调递减 250. C .在(1，＋∞)内单调递增D .在(1，＋∞)内单调递减251.252. 函数y ＝x 2＋bx ＋c (x ∈[0，＋∞))是单调函数的充要条件是(2002年全国(9)、天津(8)5分) 253. ≥0 ≤0＞0＜0254.255.据2002年3月9日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95 933亿元，比上年增长%”，如果“十·五”期间(2001年——2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十·五”末我国国内年生产总值约为(2002年全国(12)、广东(12)、天津(12)5分) 256. 000亿元 000亿元 000亿元 000亿元257.258. 函数y ＝1－1x －1的图像是(2002年全国(10)5分)265. A ．B .C .D .266.267. 若集合M ＝{y |y ＝2－x}，P ＝{y |y ＝x －1}，则M ∩P ＝(2003年春北京(1)5分)268. A ．{y |y ＞1}B ．{y |y ≥1}C ．{y |y ＞0}D ．{y |y ≥0}269.270. 若f (x )＝x －1x，则方程f (4x )＝x 的根是(2003年春北京(2)5分) 271. A ．12B ．－12C ．2D ．－2272.273. 关于函数f (x )＝(sinx )2－(23)|x |＋12，有下面四个结论：274. (1)f (x )是奇函数(2)当x ＞2003时， f (x )＞12恒成立 275. (3)f (x )的最大值是32(4)f (x )的最小值是－12276. 其中正确结论的个数为(2003年春上海(16)4分) 277.个个个 个83．设函数的取值范围是则若0021,1)(,.0,,0,12)(x x f x x x x f x >⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-（2003年全国（3）5分）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．),0()2,(+∞⋃--∞D ．),1()1,(+∞⋃--∞二、填空题1. 设函数f (x )的定义域是[0，1]，则函数f (x 2)的定义域为________.(85(10)4分) 2.3. 已知圆的方程为x 2＋(y －2)2＝9，用平行于x 轴的直线把圆分成上下两个半圆，则以上半圆(包括端点)为图像的函数表达式为_____________(85广东) 4. 5. 方程40.5x x 5252=-+的解是__________.(86(11)4分)6.7. 方程9－x－2·31－x＝27的解是_________.(88(17)4分)8.9. 函数y ＝e x －1e x ＋1的反函数的定义域是__________.(89(15)4分)10.11. 函数y ＝x 2－49的值域为_______________(89广东)12. 13. 函数y ＝x ＋4x ＋2的定义域是________________(90上海) 14.15. 设函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≤1时，y ＝x 2＋1，则当x ＞1时，y ＝_________(91年上海) 16.17. 设函数f (x )＝x 2＋x ＋12的定义域是[n ，n ＋1](n 是自然数)，那么在f (x )的值域中共有_______个整数(91年三南) 18.19. 方程1－3x1＋3x ＝3的解是___________.(92(19)3分)20.21. 设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S的值为__________.(92(21)3分) 22.23. 已知函数y ＝f (x )的反函数为f －1(x )＝x －1(x ≥0)，那么函数f (x )的定义域为_________(92上海) 24.25. 设f (x )＝4x －2x ＋1(x ≥0)，f －1(0)＝_________.(93(23)3分)26.27. 注:原题中无条件x ≥0，此时f (x )不存在反函数. 28. 函数y ＝x 2－2x ＋3的最小值是__________(93年上海) 29.30. 在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…a n ，共n 个数据，我们规定所测物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量:与其它近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小，依此规定，从a 1，a 2，…a n 推出的a ＝_______. (94(20)4分) 31.32. 函数y ＝lg 10x－2的定义域是________________(95上海) 33.34. 1992年底世界人口达到亿，若人口的年平均增长率为x %，2000年底世界人口数为y (亿)，那么y 与x 的关系式为___________(96上海) 35.36. 方程log 2(9x－5)＝log 2(3x－2)＋2的解是x ＝________(96上海) 37.38. 函数y ＝12－x)的定义域为____________(96上海) 39.40. lg 20＋log 10025＝________(98上海) 41.42. 函数f (x )＝a x(a ＞0，a ≠1)在区间[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a ＝______(98上海)43.44. 函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3 (x ≤0)x ＋3 (0＜x ≤1)－x ＋5 (x ＞1)的最大值是__________(98年上海)45.46. 函数y ＝log 22x －13－x 的定义域为____________(2000上海(2)4分)47.48. 已知f (x )＝2x＋b 的反函数为y ＝f －1(x )，若y ＝f －1(x )的图像经过点Q (5，2)，则b ＝_______(2000上海(5)4分) 49.50. 根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP (GDP 是值国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市政府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需要_________年(2000上海(6)4分) 51. (按：1999年本市常住人口总数约1300万) 52.53. 设函数y ＝f (x )是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图像为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上，f (x )＝_____(2000上海(8)4分) 54.55. 函数)0(1)(2≤+=x x x f 的反函数=-)(1x f ______．(2001年春上海(1)4分) 56.57. 关于x 的函数f (x )＝sin (x ＋φ)有以下命题：(2001年春上海(11)4分) 58. (1)对任意的φ，f (x )都是非奇非偶函数； 59. (2)不存在φ，使f (x )既是奇函数，又是偶函数； 60. (3)存在φ，使f (x )是奇函数； 61. (4)对任意的φ，f (x )都不是偶函数.62. 其中一个假命题的序号是_______.因为当φ=_______时，该命题的结论不成立. 63.64. 方程log 3(1－2·3x)＝2x ＋1的解x ＝_____________.(2002年上海(3)4分) 65.66. 已知函数y ＝f (x )(定义域为D ，值域为A )有反函数y ＝f －1(x )，则方程f (x )＝0有解x ＝a ，且f (x )＞x (x ∈D )的充要条件是y ＝f －1(x )满足___________(2002年上海(12)4分)67.68. 函数y ＝2x1＋x (x ∈(－1，＋∞))图象与其反函数图象的交点坐标为________.(2002年天津(13)4分)69.70. 函数y ＝a x在[0，1]上的最大值和最小值之和为3，则a ＝______(2002年全国(13)4分) 71.72. 已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f (12)＋f (3)＋f (13)＋f (4)＋f (14)＝________(2002年全国(16)、广东(16)、天津(16)4分) 73.74. 若存在常数p ＞0，使得函数f (x )满足f (px )＝f (px －p2)(x ∈R )，则f (x )的一个正周期为_________.(2003年春北京(16)4分) 75.76. 已知函数f (x )＝x ＋1，则f －1(3)＝___________.(2003年春上海(1)4分) 77.78. 已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R }，B ＝{x |x ≥a }且A ?B ，则实数a 的取值范围是____________.(2003年春上海(5)4分) 79.80. 若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝1对称，则b ＝__________.(2003年春上海(11)4分)81. 使1)(log 2+<-x x 成立的x 的取值范围是 .（2003年全国（14）.4分） 82.三、解答题1. 解方程 log 4(3－x )＋(3＋x )＝log 4(1－x )＋(2x ＋1).(85(11)7分)2.3. 设a ，b 是两个实数，A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n 是整数}，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋15，m 是整数}，C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤144}是xoy 平面内的集合，讨论是否存在a 和b 使得①A ∩B ≠φ，②(a ，b )∈C 同时成立.(85(17)12分) 4.5. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数:①C ?A ∪B ，且C 中含有3个元素，②C ∩A ≠φ(φ表示空集)(86(20)10分)6.7. 给定实数a ，a ≠0且a ≠1，设函数y ＝x －1ax －1(x ∈R 且x ≠1a)，证明:8. ①经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x 9. ②这个函数的图象关于直线y ＝x 成轴对称图形.(88(24)1210.11. 已知a ＞0且a ≠1，试求使方程log a (x －ak )＝log a (x 2－a 2)有解的k 的取值范围.(89(22)12分) 12.13. 设f (x )是定义在R 上以2为周期的函数，对k ∈Z ，用I k 表示区间(2k －1，2k ＋1]，已知当x ∈I 0时，f (x )＝x 2.(89(24)10分)14. ①求f (x )在I k 上的解析表达式；15. ②对自然数k ，求集合M k ＝{a |使方程f (x )＝ax 在I k 上有两个不相等的实根} 16.17. 设f (x )＝lg 1＋2x＋……＋(n －1)x＋n xan，其中a 是实数，n 是任意给定的自然数，且n ≥2.18. ①如果f (x )当x ∈(－∞，1]时有意义，求a 的取值范围；19. ②如果a ∈(0，1]，证明2f (x )＜f (2x )当x ≠0时成立.(90(24)10分20.21. 已知f (x )＝lg 1＋2x ＋4xa 3，其中a ∈R ，且0＜a ≤1(90广东)22. ①求证：当x ≠0时，有2f (x )＜f (2x )；23. ②如果f (x )当x ∈(－∞，1]时有意义，求a 的取值范围 24.25. 根据函数单调性的定义，证明函数f (x )＝－x 3＋1在R 上是减函数.(91(24)10分) 26.27.已知函数f (x )＝2x－12x ＋1(91三南)28.⑴证明：f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数； 29.⑵证明：对不小于3的自然数n 都有f (n )＞nn ＋130.31.已知关于x 的方程2a 2x －2－7ax －1＋3＝0有一个根是2，求a 的值和方程其余的根.(92三南)32.33. 某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为t 元/千克，根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系: 34. P ＝1000(x ＋t －8) (x ≥8，t ≥0) 35. Q ＝50040－(x －8)2(8≤x ≤14) 36. 当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格.37. ①将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；38. ②为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元(95(25)12分) 39.40. 已知二次函数y ＝f (x )在x ＝2t ＋1处取得最小值－4t 2(t ＞0)，f (1)＝0(95上海)41. ⑴求y ＝f (x )的表达式；42. ⑵若任意实数x 都满足等式f (x )g (x )＋a n x ＋b n ＝xn ＋1(其中g (x )为多项式，n ∈N )，试用t 表示a n 和b n ；43. ⑶设圆C n 的方程为：(x －a n )2＋(y －b n )2＝r n 2，圆C n 与圆C n ＋1外切(n ＝1，2，3…)，{r n }是各项都为正数的等比数列，记S n 为前n 个圆的面积之和，求r n 和S n . 44.45. 设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)，方程f (x )－x ＝0的两个根x 1，x 2满足0＜x 1＜x 2＜1a .46. Ⅰ.当x ∈(0，x 1)时，证明x ＜f (x )＜x 1；47. Ⅱ.设函数f (x )的图象关于直线x ＝x 0对称，证明:x 0＜x 12.(97(24)12分)48.49. 解方程3lgx －2－3lgx ＋4＝0(99年广东10分) 50.51. 已知二次函数f (x )＝(lga )x 2＋2x ＋4lga 的最大值为3，求a 的值(2000春京、皖) 52.53. 设函数f (x )＝|lgx |，若0＜a ＜b ，且f (a )＞f (b )，证明：ab ＜1(2000春京、皖(21)12分)54. 本小题主要考查函数的单调性、对数函数的性质、运算能力，考查分析问题解决问题的能力.满分12分. 55.56. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧f 1(x ) x ∈[0，12)f 2(x ) x ∈[12，1] 其中f 1(x )＝－2(x －12)2＋1，f 2(x )＝－2x ＋2.(2000春京、皖(24)14分)57. (I )在下面坐标系上画出y ＝f (x )的图象；58. (II )设y ＝f 2(x )(x ∈[12，1])的反函数为y ＝g (x )，a 1＝1，a 2＝g (a 1)， ……，a n ＝g (a n －1)，求数列{a n }的通项公式，并求lim n →∞a n ；59. (III )若x 0∈[0，12)，x 1＝f (x 0)，f (x 1)＝x 0，求x 0.60.61. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示. (2000(21)12分) 62. ⑴写出图一表示的市场售价与时间的函数关系P＝f (t )；63. 写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q ＝g (t )；64. ⑵认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？ 65. (注：市场售价和种植成本的单位：元/10kg ，时间单位：天) 66.67. 已知函数:f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)(2000上海(19)6＋8＝14分)68. ⑴当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；69. ⑵若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围 70.71. 设函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0.(2000年广东(20)12分) 72. (1)解不等式f (x )≤1；73. (2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调函数. 74.75. 设函数f (x )＝x ＋ax ＋b(a ＞b ＞0)，求f (x )的单调区间，并证明f (x )在其单调区间上的单调性．(2001年春京、皖、蒙(17)12分) 76.77. 某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0＜x ＜1)，则出厂价相应提高的比例为，同时预计年销售量增加的比例为．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(2001年春京、皖、蒙(21)12分)78. (Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；79. (Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 80.81. 已知R 为全集，A ＝{x|(3－x)≥－2}，B ＝{x|5x －2≥1}，求A －∩B(2001年春上海(17)12分)82. 设f (x )是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，对任意x 1、x 2?[0，12]，都有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)?f (x 2).(2001年(22)14分)83. (Ⅰ)设f (1)＝2，求f (12)，f (14);84. (Ⅱ)证明f (x )是周期函数.85. (Ⅲ)记a n ＝f (2n ＋12n)，求lim n →∞(lna n ).86. 在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：(2002年北京(20)12分)87. 用计算机求n 个不同的数v 1，v 2，…，v n 的和∑ni ＝1v i ＝v 1＋v 2＋v 3＋……＋v n .计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数.计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作.88. 为了用尽可能少的单位时间．．．．．．．．．，使各台机器都得到这n 个数的和，需要设计一种读和加的方法.比如n ＝2时，一个单位时间即可完成计算，方法可用下表表示：(I)当n ＝4时，至少需要多少个单位时间可完成计算把你设计的方法填入下表(II )当n ＝128时，要使所有机器都得到∑ni ＝1v i ，至少需要多少个单位时间可完成计算(结论不要求证明)89. 已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ， b ∈R 都满足： 90.f (a ?b )＝af (b )＋bf (a )(2002年北京(22)13分)91. (I )求f (0)， f (1)的值；92. (II )判断f (x )的奇偶性，并证明你的结论；93. (III )若f (2)＝2，u n ＝f(2－n)n (n∈N)，求数列{u n }的前n 项的和S n .94.95. 已知函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈(－π2，π2).(2002年上海(19)14分)96. (1)当θ＝－ π6时，求函数f (x )的最大值与最小值；97. (2)求θ的取值范围，使得y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数. 98.99. 已知a ＞0，函数f (x )＝ax －bx 2(2002年广东(22)14分) 100. (1)当b ＞0时，若对任意x ∈R 都有f (x )≤1，证明：a ≤2b ；101. (2)当b ＞1时，证明：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件是b －1≤a ≤2b ； 102. (3)当0＜b ≤1时，讨论：对任意x ∈[0，1]，|f (x )|≤1的充要条件. 103.104. 设a 为实数，函数f (x )＝x 2＋|x －a |－1，x ∈R (2002年全国(21)12分) 105. (1)讨论f (x )函数的奇偶性 106. (2)求函数f (x )的最小值. 107.108. 某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出. 当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.(2003年春北京(20)12分)109. (Ⅰ)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？110. (Ⅱ)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大最大月收益是多少111. 已知函数.5)(,5)(31313131--+=-=x x x g xx x f (2003年春上海(20)7＋7＝14分)112. (1) 证明f (x )是奇函数；并求f (x )的单调区间；113. (2) 分别计算f (4)－5f (2)g (2)和f (9)－5f (3)g (3)的值，由此概括出涉及函数f (x )和g (x )的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式，并加以证明. 33．（2003年（19）.12分）已知.0>c 设P ：函数xc y =在R 上单调递减.Q ：不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ，如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.。
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
函数的性质的高考试题汇编
函数的性质的高考试题汇编(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性一、选择题1.(2013·福建高考文科·T5)函数()()2ln 1=+f x x 的图像大致是 ( )【解题指南】f(x)的定义域为R,通过奇偶性,单调性进行筛选或带特殊点计算.【解析】选A. ()()()22ln(1)ln(1)f x x x f x -=-+=+=,所以()f x 的图象关于y 轴对称,又x ∈(0,+∞)时, ()f x 是增函数.且过点(0,0).2.（2013·辽宁高考理科·Ｔ11）【备注：（2013·辽宁高考文科·Ｔ12）与此题干相同，选项顺序不同】已知函数2222()2(2),()2(2)8,f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==（{}max ,p q 表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值）记1()H x 的最小值为A , 2()H x 的最大值为B ,则A B -=（ ）22.16.16.216.216A B C a a D a a ---+-【解题指南】 搞清楚{}{}12()max (),(),()min (),()H x f x g x H x f x g x ==的确切含义。
数形结合解决问题。
【解析】选B.{}1(),()(),()max (),()(),()().f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≥⎧==⎨<⎩ {}2(),()(),()min (),()(),()().f x f x g x H x f x g x g x f x g x ≤⎧==⎨>⎩由2222()()2(2)2(2)8,f x g x x a x a x a x a =⇒-++=-+--+ 解得122, 2.x a x a =-=+而函数2222()2(2),()2(2)8,f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+的图像的对称轴恰好分别为2, 2.x a x a =+=-可见二者图像的交点正好在它们的顶点处。
专题01 函数定义域问题(学)
8.已知函数 的定义域为 ，若 有定义，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【变式演练5】9. 已知函数 ，则函数 的定义域为（ ）
A. B.
C. D.
【变式演练6】10.已知函数 的定义域是 ，则函数 的定义域是_______．
方法三实际问题的定义域
万能模板
内容
使用场景
函数的实际应用问题
方法一直接法
万能模板
内容
使用场景
函数 的解析式已知的情况下
解题模板
第一步找出使函数 所含每个部分有意义的条件，主要考虑以下几种情形：
（1）分式中分母不为0；
（2）偶次方根中被开方数非负；
（3） 的底数不为零；
（4）对数式中的底数大于0、且不等于1，真数大于0；
（5）正切函数 的定义域为 .
第二步列出不等式（组）；
30. 函数 的定义域是______.
31.函数 的定义域为_____.
32. 函数 的定义域为________.
33. 如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出 的一个“同域函数”的解析式为____________.
34.已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为________.
只需解不等式 ，不等式的解集即为所求函数 的定义域.
(2)已知复合函数 的定义域为 ，求函数 的定义域：
只需根据 求出函数 的值域，即为函数 的定义域.
【例4】
7.求下列函数的定义域：
（1）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
（2）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
（3）已知函数 的定义域为 ，求函数 的定义域.
2014高考数学一轮汇总训练《函数的定义域和值域》理 新人教A版
第二节 函数的定义域和值域[备考方向要明了][归纳·知识整合]1．常见基本初等函数的定义域 (1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R .(4)y ＝a x(a ＞0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x ，定义域均为R . (5)y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(6)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z .(7)实际问题中的函数定义域，除了使函数的解析式有意义外，还要考虑实际问题对函数自变量的制约．2．基本初等函数的值域 (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R . (2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥4ac －b 24a ；当a <0时，值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤4ac －b 24a . (3)y ＝k x(k ≠0)的值域是{y |y ≠0}． (4)y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是{y |y >0}． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . (6)y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． (7)y ＝tan x 的值域是R .[探究] 1.若函数y ＝f (x )的定义域和值域相同，则称函数y ＝f (x )是圆满函数，则函数①y ＝1x；②y ＝2x ；③y ＝ x ；④y ＝x 2中是圆满函数的有哪几个？提示：①y ＝1x 的定义域和值域都是(－∞，0)∪(0，＋∞)，故函数y ＝1x是圆满函数；②y ＝2x 的定义域和值域都是R ，故函数y ＝2x 是圆满函数；③y ＝ x 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故y ＝ x 是圆满函数；④y ＝x 2的定义域为R ，值域为[0，＋∞)，故函数y ＝x 2不是圆满函数．2．分段函数的定义域、值域与各段上的定义域、值域之间有什么关系？ 提示：分段函数的定义域、值域为各段上的定义域、值域的并集．[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)函数f (x )＝4－xx －1的定义域为( ) A ．[－∞，4] B ．[4，＋∞) C ．(－∞，4)D ．(－∞，1)∪(1,4]解析：选D 要使函数f (x )＝4－xx －1有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x －1≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.所以函数的定义域为(－∞，1)∪(1,4]．2．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是( )A ．[2,5]B ．NC ．(0,20]D ．{2,3,4,5}解析：选D 函数值只有四个数2,3,4,5，故值域为{2,3,4,5}． 3．若f (x )＝1log 122x ＋1，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞)解析：选A 根据题意得log 12(2x ＋1)＞0， 即0＜2x ＋1＜1，解得－12<x <0，即x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0. 4．(教材改编题)函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )的定义域为________，值域为________．解析：由图象可知，函数y ＝f (x )的定义域为[－6,0]∪[3,7)，值域为[0，＋∞)．答案：[－6,0]∪[3,7) [0，＋∞)5．(教材改编题)若x －4有意义，则函数y ＝x 2－6x ＋7的值域是________． 解析：∵x －4有意义，∴x －4≥0，即x ≥4. 又∵y ＝x 2－6x ＋7＝(x －3)2－2， ∴y min ＝(4－3)2－2＝1－2＝－1. ∴其值域为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)[例1] (1)(2012·山东高考)函数f (x )＝1ln x ＋1＋ 4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2](2)已知函数f (x 2－1)的定义域为[0,3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．[自主解答] (1)x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2.解得－1<x <0或0<x ≤2. (2)∵0≤x ≤3，∴0≤x 2≤9，－1≤x 2－1≤8.∴函数y ＝f (x )的定义域为[－1,8]． [答案] (1)B (2)[－1,8]本例(2)改为f (x )的定义域为[0,3]，求y ＝f (x 2－1)的定义域． 解：∵y ＝f (x )的定义域为[0,3]， ∴0≤x 2－1≤3，解得－2≤x ≤－1或1≤x ≤2，所以函数定义域为[－2，－1]∪[1,2]．——————————————————— 简单函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出．②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．1．(1)(2012·江苏高考)函数f (x )＝ 1－2log 6x 的定义域为________． (2)已知f (x )的定义域是[－2,4]，求f (x 2－3x )的定义域．解析：(1)由1－2log 6x ≥0解得log 6x ≤12⇒0＜x ≤6，故所求定义域为(0， 6 ]．答案：(0， 6 ](2)∵f (x )的定义域是[－2,4]，∴－2≤x 2－3x ≤4，由二次函数的图象可得，－1≤x ≤1或2≤x ≤4. ∴定义域为[－1,1]∪[2,4].[例2] 求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ；(3)y ＝x ＋4x. [自主解答] (1)法一：(分离常数法)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1， 即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． 法二：由y ＝x －3x ＋1得yx ＋y ＝x －3. 解得x ＝y ＋31－y，所以y ≠1，即函数值域是{y |y ∈R ，y ≠1}．(2)法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12.法二：(单调性法)容易判断函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12.所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≤12. (3)法一：(基本不等式法)当x >0时，x ＋4x≥2 x ×4x＝4， 当且仅当x ＝2时“＝”成立； 当x <0时，x ＋4x ＝－(－x －4x)≤－4，当且仅当x ＝－2时“＝”成立．即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．法二：(导数法)f ′(x )＝1－4x 2＝x 2－4x2.x ∈(－∞，－2)或x ∈(2，＋∞)时，f (x )单调递增，当x ∈(－2,0)或x ∈(0,2)时，f (x )单调递减． 故x ＝－2时，f (x )极大值＝f (－2)＝－4；x ＝2时，f (x )极小值＝f (2)＝4.即函数的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)．若将本例(3)改为“y ＝x －4x”，如何求解？解：易知函数y ＝x －4x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是增函数，故函数y ＝x －4x的值域为R .———————————————————求函数值域的基本方法(1)观察法：一些简单函数，通过观察法求值域． (2)配方法：“二次函数类”用配方法求值域．(3)换元法：形如y ＝ax ＋b ±cx ＋d (a ，b ，c ，d 均为常数，且a ≠0)的函数常用换元法求值域，形如y ＝ax ＋a －bx 2的函数用三角函数代换求值域．4分离常数法：形如y ＝cx ＋dax ＋ba ≠0的函数可用此法求值域. 5单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其增减性进而求最值和值域.6数形结合法：画出函数的图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围.2．求下列函数的值域． (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[0,3]；(2)y ＝x 2－xx －x ＋1；(3)y ＝log 3x ＋log x 3－1.解：(1)(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∵0≤x ≤3，∴1≤x ＋1≤4.∴1≤(x ＋1)2≤16. ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]．(2)y ＝x 2－x ＋1－1x 2－x ＋1＝1－1x 2－x ＋1，∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴0<1x 2－x ＋1≤43，∴－13≤y <1，即值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1. (3)y ＝log 3x ＋1log 3x－1，令log 3x ＝t ，则y ＝t ＋1t－1(t ≠0)，当x >1时，t >0，y ≥2t ·1t－1＝1， 当且仅当t ＝1t即log 3x ＝1，x ＝3时，等号成立；当0<x <1时，t <0，y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤－t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1t －1≤－2－1＝－3.当且仅当－t ＝－1t 即log 3x ＝－1，x ＝13时，等号成立．综上所述，函数的值域是(－∞，－3]∪[1，＋∞).[例3] 已知函数f (x )＝ax 2＋bx .若至少存在一个正实数b ，使得函数f (x )的定义域与值域相同，求实数a 的值．[自主解答] ①若a ＝0，则对于每个正数b ，f (x )＝bx 的定义域和值域都是[0，＋∞)，故a ＝0满足条件；②若a >0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域为D ＝{x |ax 2＋bx ≥0}＝⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a ∪[0，＋∞)，但f (x )的值域A ⊆[0，＋∞)，故D ≠A ，即a >0不符合条件；③若a <0，则对于正数b ，f (x )＝ax 2＋bx 的定义域D ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，－b a ， 由于此时f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2a ＝b2－a，故f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，b 2－a ，则－b a ＝b2－a ⇒⎩⎨⎧a <0，2－a ＝－a⇒a ＝－4.综上所述，a 的值为0或－4. ——————————————————— 由函数的定义域或值域求参数的方法已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的值或取值范围．3．(2013·温州模拟)若函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，1，则a ＋b ＝________.解析：∵由题意知x －1>0，又x ∈[a ，b ]， ∴a >1.则f (x )＝1x －1在[a ，b ]上为减函数， 则f (a )＝1a －1＝1且f (b )＝1b －1＝13， ∴a ＝2，b ＝4，a ＋b ＝6. 答案：61种意识——定义域优先意识函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础．因此，我们一定要树立函数定义域优先的意识．4个注意——求函数定义域应注意的问题(1)如果没有特别说明，函数的定义域就是能使解析式有意义的所有实数x 的集合． (2)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(3)当一个函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义的公共部分的集合．(4)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．4个准则——函数表达式有意义的准则函数表达式有意义的准则一般有：①分式中的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0；④对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1.6种技巧——妙求函数的值域(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法； (2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法； (4)当函数解析式结构与基本不等式有关，可考虑用基本不等式求解； (5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解.易误警示——与定义域有关的易错问题[典例] (2013·福州模拟)函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 的定义域为________________．[解析] ∵要使函数f (x )＝x ＋12x ＋1－1－x 有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠－1，∴函数f (x )的定义域为{x |x ≤1，且x ≠－1}． [答案] (－∞，－1)∪(－1,1] [易误辨析]1．本题若将函数f (x )的解析式化简为f (x )＝(x ＋1)－1－x 后求定义域，会误认为其定义域为(－∞，1]．事实上，上述化简过程扩大了自变量x 的取值范围．2．在求函数的值域时，要特别注意函数的定义域．求函数的值域时，不但要重视对应关系的作用，而且还要特别注意定义域对值域的制约作用．[变式训练]1．若函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，3，则函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，5B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤56，5C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3，103解析：选C 令t ＝f (x )，则12≤t ≤3.易知函数g (t )＝t ＋1t 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是减函数，在[1,3]上是增函数．又因为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝52，g (1)＝2，g (3)＝103.可知函数F (x )＝f (x )＋1f x 的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，103.2．已知函数f (x ＋2)＝x ＋2x ，则函数f (x )的值域为________． 解析：令2＋x ＝t ，则x ＝(t －2)2(t ≥2)．∴f (t )＝(t －2)2＋2(t －2)＝t 2－2t (t ≥2)． ∴f (x )＝x 2－2x (x ≥2)．∴f (x )＝(x －1)2－1≥(2－1)2－1＝0， 即f (x )的值域为[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞)一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)1．已知a 为实数，则下列函数中，定义域和值域都有可能是R 的是( ) A ．f (x )＝x 2＋a B ．f (x )＝ax 2＋1 C ．f (x )＝ax 2＋x ＋1D ．f (x )＝x 2＋ax ＋1解析：选C 当a ＝0时，f (x )＝ax 2＋x ＋1＝x ＋1为一次函数，其定义域和值域都是R . 2．已知等腰△ABC 周长为10，则底边长y 关于腰长x 的函数关系为y ＝10－2x ，则函数的定义域为( )A ．RB ．{x |x >0}C ．{x |0<x <5}D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |52<x <5 解析：选D 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x >0，10－2x >0，2x >10－2x ，即52<x <5. 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是( )解析：选A A 中定义域是[－2,2]，值域为[0,2]；B 中定义域为[－2,0]，值域为[0,2]；C 不表示函数；D 中的值域不是[0,2]．4．(2013·南昌模拟)函数y ＝ x x －1－lg 1x的定义域为( )A ．{x |x >0}B ．{x |x ≥1}C ．{x |x ≥1，或x <0}D ．{x |0<x ≤1}解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x x －1≥0，1x>0，得x ≥1.5．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．[－2,2] B ．[1,2] C ．[0,2]D ．[－2， 2 ]解析：选C ∵－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4≤4，0≤－x 2＋4x ≤2，－2≤－－x 2＋4x ≤0， 0≤2－－x 2＋4x ≤2，∴0≤y ≤2.6．设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x ＋x ＋4，x <g x ，g x －x ，x ≥g x ，则f (x )的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(1，＋∞)B. )[0，＋∞C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－94，＋∞ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)解析：选D 令x <g (x )，即x 2－x －2>0，解得x <－1或x >2；令x ≥g (x )，即x 2－x －2≤0，解得－1≤x ≤2，故函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <－1或x >2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.当x <－1或x >2时，函数f (x )>f (－1)＝2；当－1≤x ≤2时，函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤f (x )≤f (－1)，即－94≤f (x )≤0，故函数f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)． 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分) 7．函数y ＝16－x －x2的定义域是________．解析：由函数解析式可知6－x －x 2>0，即x 2＋x －6<0，故－3<x <2. 答案：(－3,2)8．设x ≥2，则函数y ＝x ＋5x ＋2x ＋1的最小值是______．解析：y ＝[x ＋1＋4][x ＋1＋1]x ＋1，设x ＋1＝t ，则t ≥3，那么y ＝t 2＋5t ＋4t＝t＋4t ＋5，在区间[2，＋∞)上此函数为增函数，所以t ＝3时，函数取得最小值即y min ＝283. 答案：2839．(2013·厦门模拟)定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )∈[－4，－1]；当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,6]，故当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－4,6]．答案：[－4,6]三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分)10．若函数f (x )＝12x 2－x ＋a 的定义域和值域均为[1，b ](b >1)，求a ，b 的值．解：∵f (x )＝12(x －1)2＋a －12，∴其对称轴为x ＝1，即[1，b ]为f (x )的单调递增区间． ∴f (x )min ＝f (1)＝a －12＝1，①f (x )max ＝f (b )＝12b 2－b ＋a ＝b .②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝3.11．设O 为坐标原点，给定一个定点A (4,3)，而点B (x,0)在x 轴的正半轴上移动，l (x )表示AB的长，求函数y ＝xl x 的值域． 解：依题意有x ＞0，l (x )＝x －42＋32＝x 2－8x ＋25，所以y ＝x l x ＝xx 2－8x ＋25＝11－8x ＋25x2. 由于1－8x ＋25x 2＝25⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －4252＋925，所以1－8x ＋25x 2≥35，故0＜y ≤53. 即函数y ＝x l x 的值域是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53. 12．已知函数f (x )＝x 2＋4ax ＋2a ＋6.(1)若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2)若函数f (x )的函数值均为非负数，求g (a )＝2－a |a ＋3|的值域． 解：(1)∵函数的值域为[0，＋∞)， ∴Δ＝16a 2－4(2a ＋6)＝0 ⇒2a 2－a －3＝0⇒a ＝－1或a ＝32.(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负， ∴Δ＝8(2a 2－a －3)≤0⇒－1≤a ≤32.∴a ＋3>0.∴g (a )＝2－a |a ＋3|＝－a 2－3a ＋2 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋322＋174⎝ ⎛⎭⎪⎫a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32. ∵二次函数g (a )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32上单调递减， ∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤g (a )≤g (－1)，即－194≤g (a )≤4.∴g (a )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－194，4.1．下列函数中，与函数y ＝1x有相同定义域的是( )A ．f (x )＝ln xB ．f (x )＝1xC ．f (x )＝|x |D ．f (x )＝e x解析：选A 当x >0时，1x有意义，因此函数y ＝1x的定义域为{x |x >0}．对于A ，函数f (x )＝ln x 的定义域为{x |x >0}； 对于B ，函数f (x )＝1x的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }；对于C ，函数f (x )＝|x |的定义域为R ； 对于D ，函数f (x )＝e x的定义域为R . 所以与函数y ＝1x有相同定义域的是f (x )＝ln x .2．函数y ＝ln x ＋1－x 2－3x ＋4的定义域为( ) A ．[－4，－1)B ．(－4,1)C ．(－1,1)D ．(－1,1]解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－3x ＋4>0x ＋1>0得－1<x <1，因此该函数的定义域是(－1,1)．3．若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2x x －1的定义域是( ) A ．[0,1] B ．[0,1) C ．[0,1)∪(1,4]D ．(0,1)解析：选B 要使g (x )有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x <1.故定义域为[0,1)．4．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x ∈[－1,1]，函数g (x )＝f 2(x )－2af (x )＋3的最小值为h (a )．(1)求h (a )的解析式；(2)是否存在实数m ，n 同时满足下列两个条件：①m >n >3；②当h (a )的定义域为[n ，m ]时，值域为[n 2，m 2]？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ∈[－1,1]，知f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3，令t ＝f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3 记g (x )＝y ＝t 2－2at ＋3，则g (x )的对称轴为t ＝a ，故有： ①当a ≤13时，g (x )的最小值h (a )＝289－2a3，②当a ≥3时，g (x )的最小值h (a )＝12－6a ， ③当13<a <3时，g (x )的最小值h (a )＝3－a 2综上所述，h (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧289－2a 3，a ≤13，3－a 2，13<a <3，12－6a ，a ≥3，(2)当a ≥3时，h (a )＝－6a ＋12，故m >n >3时，h (a )在[n ，m ]上为减函数， 所以h (a )在[n ，m ]上的值域为[h (m )，h (n )]．由题意，则有⎩⎪⎨⎪⎧h m ＝n 2，h n ＝m 2，⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋12＝n 2，－6n ＋12＝m 2，，两式相减得6n －6m ＝n 2－m 2，又m ≠n ，所以m ＋n ＝6，这与m >n >3矛盾，故不存在满足题中条件的m ，n 的值.。
定义域和值域(含答案)汇编
定义域和值域（含答案）一：例题讲解1下列四组函数，表示同一函数的是（ ） A. f x i ；h ；x 2,g X =xBC. f(x) = <x 2_4 ,g(x) = Jx+2 Jx -22D . f(x) = Ig2 - lg x ,g(x)二 Igx【答案】D2•函数 f （x ） = Iog 2（x 2+2x-3）的定义域是（）A. [-3,1]B . (-3,1)C .(」：,-3]U[1,二)D .（」：，—3）U （1,二）【答案】D3•函数的定义域为（)A (-2,1) B . (- 2, +8)C .(-2,1) 1\ - ( , ： ：) D .(-, 亠')22 2 2【答案】 C4.若 -（K ） - 1logj (2x+l)'则f （x ）的定义域为（）2【答案】C兀5兀【答案】』x — +2k 兀c x < — +2k 兀，k € z ?..6 6 ,6•若函数f （2x —1）的定义域为 匚3,3】，贝U f （x ）的定义域为 _______ . 【答案】1-7,5 17.若函数f （2x ）的定义域是1-1,1 1,则函数f （2x-1） • f （2x 1）的定义域是 ______________ 【答案】[-1,1].2 21&已知函数f x 二 一-2的定义域是R ，则实数m 的取值范围是 .Umx 2 + mx 十1【答案】0乞m :: 45.函数f x =lg1 sin x— . 2丿 的定义域为f (x)=A.'：.匸—R D .■（专，0）B .【解析】要使f （x ）的定义域是R ，即对任意的x 恒有mx 2 • mx • 1 . 0，则当若m = 0，恒有1 0 ；当m^O ，则有 $>02，解得0vmc4 •综上所述，0兰mc4.—m-4m 09.函数y=x2_4x *3, XE b,3】的值域为x +2x +211.函数y的值域是（）x+1【答案】（换元法） 1,5H-2 2【解析】((R - 3 2x1(2x )2 -3 2x 5 , 2x1 2121** 11 215令 2 =t ，贝y 1 兰t 兰 4，贝y y = — t_3t*5 = _( t_3 + — ,，1 兰t 兰4,二_兰_( t_3 +_兰_,2 2 22 2 2 2故答案为 1,5 •IL 2 215•函数y = x _ ...1 _2x 值域为 ___________________A .03B .〔-1,0】【答案】C10 •函数二的值域为（） 4 - xA. {y|y >- 1} BC. {y|y € R 且 y M 4} D【答案】（分离常数法）DC.1-1,31{y|y € R 且 y M 0} {y|y € R 且 y M- 1}D .0,21A. { y | y _ -2 或 y 3 2} B • {y| y ：： -2 或 y >2}【答案】（法）A.12 .函数y2的值域是（ 2x +1) A. (0,1 ) B .0,11C.0, ：：【答案】 （反解法）A13.函数1 1 _2x 卫f(x)=( )的值域是一【答案】4C.计| -2 乞 y 乞2? D . { y | ^ -^ 2 或 y 3 2. 2}0,二5的值域为 _______________1 x2x14 .设0乞x 辽2，则函数y = 4-321【答案】(换元法)(亠丄］，22 21 -t2 1 -t2 1 2 1 2【解析】设J _2x =t，则t _0,x ，所以y t (-t -2t 1) (t 1)2 1，因2 2 2 21为t _0,所以y乞寸•16.定义在R上的函数y = f(x)的值域为［-1,2］，贝U y = f (x • 1)的值域为 _____________【答案】［-1,2］【解析】函数y二f (x)的图象向左平移一个单位得y = f (x • 1)的图象，因此它们的值域相同.17 •若函数y=x2 -3x-4的定义域为0,m 1,值域为-空，-4，则m的取值范围是_________________________IL 4【答案】3 312，J3 252【解析】函数y =x -3x-4的图象如图，当x 时，函数有最小值，当x=0或x=3时函数值为-4 ,2 4原题给出函数的定义域为0, m,所以，从图象中直观看出3< 3.218 .函数f(x) =|1 —x| —|x —3|,x€ R 的值域是___________________ .【答案】［-2,2］【解析】f (x)冲1 -x|-|x-3|= x-1 - x-3 ,利用绝对值的几何意义可知 f (x )表示x到1的距离与x到3的距离之差，结合数轴可知值域为［-2,2］V 2x2, XW119.函数f(^b 的值域是_______________, X〉1-X【答案】［0,：：)20. ★已知f (x) ~x2- 3x+4,若f (x)的定义域和值域都是［a , b］，则a+b= ____________ .【答案】5【解析】••• f ( x) = x2- 3x+4=上；)叮：f+ 1,A x=2是函数的对称轴，根据对称轴进行分类讨论:4 4f (a) =b①当b v 2时，函数在区间［a , b］上递减，又•••值域也是［a , b］,•••得方程组* / 、f (b)為 / - 3a+4-b，两式相减得—(a+b ) (a - b ) - 3 (a - b ) =b - a ,又T a *b ,「. a+b= g ■^b 2-3b+4=a4 :L F由一 - ,il I- ，得 3a 2- 8a+4=0,「. a= ' • b=2,但 f (2) =1 工上，故舍去.4自3 3 ②当 a v 2v b 时，得 f (2) R=a ,又T f ( 1) = v 2, 4或 b=4,‘. a+b=5③当a > 2时，函数在区间［a , b ］上递增，又•••值域是［a , b ］ ,•••得方程组*即a , b 是方程—x 2 - 3x+4=x 的两根,42即 a , b 是方程 3x - 16x+16=0去.故答案为：5:练习x的定义域是(-J -x3x - x 2px 3：齐，则函数f(x)的定义域为(E2' 1]【答案】D则 x=t - 1 ,••• f (t )=」_「_「t ' ■ ：：t ，- 4 故舍去3’• f ( b ) =b ,得.-::bU L ，4• b =「舍)f (a) -a f (b) =b4 3,但a >2，故应舍21. f(x)二A. (_： ：,1] B . (-：( 0,1) C .(」：，0)(0,[1,0【答案】C 22.函数0.5〒^的定义域为()3A. ( , 1) B4【答案】A?3(,g) C . (1, +R ) D . ( , 1) 44U( 1, +m)23 •已知 f (x)A.0,3 1 B .〔0,2 U 2,31 C .0,2 U 2,31D .0,2 U 2,3【答案】C 24.若函数y=f(x )的定义域是［-2, 2］，则函数g (x )=''的定义域是【答案】［-1 , 0) 25.已知U( 0, 1] - .「I _ J-，则f (2x - 1)的定义域为(【解析】令x+1=t ,•••- t 2+2t > 0,解之得 0W t w 2.A 函数 f (t ) = —f _，十的定义域为[0 , 2].26.函数 f (x )=1 Jax2 +3ax +1的定义域是R,则实数a 的取值范围是A. 0,4 )B.卩,釦 C.泸] DJ ][< 9 )'9」! 9丿< 9」【答案】 C【解析】由题意定义域为 R ,则有ax 2 3ax 1 0恒成立，当a = 0时结论成立，当4_4且:::0，代入求解得0 ：：： a ，综上可得a 的范围是 0,—91 9丿227.函数y =x ，x(-1^x^3)的值域是 ()A. [0,12]B. [-1,12]C. [一 1,12] D [3,12]4 2 4【答案】B28.函数f(x)=』)x 1, 1-1,1 1的值域是2【答案】3,3丨29•函数y = • 16-4x 的值域是 A. [0 ,+^) B . [0 — 4] C . (0, 4) D . [0 — 4)【答案】D【解析】因为4x 0，所以0乞16-4「：：16，所以16-4—0,4 .1 — x30 .函数y=的值域是(1 +x 2A :- 1, 1]B (- 1 — 1 :C :- 1 — 1)D . (- 1, 1)【答案】B31.求下列函数的值域：(1) y3 x4 —X(2) y = 2x 一 x 1 (3)2x -3x +4 y二x 2 3x 4【答案】(1) {yy —1}(2) {y 八-2}(3) y令 0W 2x - 1w 2,解得2 2•••函数f ( 2x - 1)的定义域为 「,；］.故选 D.2 2a 亠0时需满足a 0【解析】(1) y =^^=_X_4+7 =_i_^^，: 式0・y^_1，所以值域为｛yy 式_仆4—x x —4 x —4 x —4 …(2) 函数在定义域上是增函数，因此当 X = _1时函数值最小为 -2，所以值域为{ y y X —2}(3) 由函数解析式得 (y —1)x 2 • 3(y - 1)x - 4y -4 =0. ①当y =1时，①式是关于x 的方程有实根•所以 A. ^9(y1)2 _16(y -1)2 _ 0，解得1乞y 乞1.71又当y =1时，存在x =0使解析式成立，所以函数值域为[丄,7] •32•设函数 g(x) =x 2-2 , f(x)屮(x) x 4,x g(x)，则 f (x)的值域是l g(x)—x,x 启 g(x)A [ -9,0] U(1,二)B • [0，二)C4【答案】Dx +x+2, x 》2或x c -1 【解析】由题意可得 f (X )=」 , l x 2 —x —2,—1 兰x 兰2F 1 丫 7 当 x a 2或x < —1, f (x )=x 2 +x +2 = x +— I + —，所以当 x = -1 时有最小值 2；<2丿41 9x =—时有最小值-—,当x =2时有最小值0 , 2 4所以f (x)的值域是[一—,0] U(2, P ) •4' '33•已知x • [0,1]，则函数y 「x • 2 - 1 - X 的值域是( )A. ['. 2-1, .3-1] B • [1,、3] C • [ '.2-1, ..3] D • [0,、2-1]【答案】C【解析】由题意得函数y =尺4—匸在x^[0,1]上是增函数，所以f (x )mi r i = f (0)= J 2 —1 ,fX max= f 1 〜3，所以函数的值域为 ^ 2-1, 3] •[盲0]U (2「)宀 2当 一1 Ex 乞2, f x 二 x-x - 2 —9 -9，所以当 4。
高考数学 专题2.1 函数的概念以及表示试题 文-人教版高三全册数学试题
专题2.1 函数的概念及其表示【三年高考】1. 【2017某某，5】若函数f (x )=x 2+ ax +b 在区间上的最大值是M ，最小值是m ，则M – m A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B 【解析】因为最值在2(0),(1)1,()24a a fb f a b f b ==++-=-中取，所以最值之差一定与无关，选B ．2．【2017某某，文9】设()()121,1x f x x x <<=-≥⎪⎩,若()()1f a f a =+,则1f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭A. 2B. 4C. 6D. 8【答案】C【解析】由1x ≥时()()21f x x =-是增函数可知,若1a ≥,则()()1f a f a ≠+,所以01a <<,由()(+1)f a f a =2(11)a =+-,解得14a =,则1(4)2(41)6f f a ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故选C. 3．【2017某某，文8】已知函数||2,1,()2, 1.x x f x x x x +<⎧⎪=⎨+≥⎪⎩设a ∈R ，若关于的不等式()||2x f x a ≥+在R 上恒成立，则的取值X 围是（A ）[2,2]-（B）[2]-（C）[2,-（D）[-【答案】A4．【2017课标3，文16】设函数10()20x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩，，，，则满足1()()12f x f x +->的x 的取值X 围是__________. 【答案】1(,)4-+∞ 【解析】由题意得： 当12x >时12221x x -+>恒成立，即12x >；当102x <≤时12112x x +-+>恒成立，即102x <≤；当0x ≤时1111124x x x ++-+>⇒>-，即104x -<≤；综上x 的取值X 围是1(,)4-+∞. 5．【2016高考新课标2文数】下列函数中，其定义域和值域分别与函数y=10lg x 的定义域和值域相同的是（ ）（A ）y =x （B ）y =lg x （C ）y =2x （D ）y x= 【答案】D【解析】lg 10x y x ==，定义域与值域均为()0,+∞，只有D 满足，故选D ．6．【2016高考某某文数】已知函数f （x ）=x 2+bx ，则“b <0”是“f （f （x ））的最小值与f （x ）的最小值相等”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 7．【2016高考文数】已知(2,5)A ，(4,1)B ，若点(,)P x y 在线段AB 上，则2x y -的最大值为（ ）A.−1B.3C.7D.8【答案】C【解析】由题意得，AB ：511(4)2924y x y x --=-⇒=-+-， ∴22(29)494497x y x x x -=--+=-≤⋅-=，当4x =时等号成立，即2x y -的最大值为7，故选C.8．【2016高考某某文数】设函数f (x )=x 3+3x 2+1．已知a≠0，且f (x )–f (a )=(x –b )(x –a )2，x ∈R ，则实数a =_____，b =______．【答案】－2；1．【解析】32323232()()313133f x f a x x a a x x a a -=++---=+--，23222()()(2)(2)x b x a x a b x a ab x a b --=-+++-，所以223223203a b a ab a b a a --=⎧⎪+=⎨⎪-=--⎩，解得21a b =-⎧⎨=⎩．9. 【2015高考某某，文6】函数256()4||lg 3x x f x x x -+=--的定义域为（ ） A ．(2,3) B ．(2,4]C ．(2,3)(3,4]D ．(1,3)(3,6]-【答案】C .【解析】由函数()y f x =的表达式可知，函数()f x 的定义域应满足条件：2564||0,03x x x x -+-≥>-，解之得22,2,3x x x -≤≤>≠，即函数()f x 的定义域为(2,3)(3,4]，故应选C .10. 【2015高考新课标1，文10】已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74- （B ）54- （C ）34- （D ）14- 【答案】A【解析】∵()3f a =-，∴当1a ≤时，1()223a f a -=-=-，则121a -=-，此等式显然不成立， 当1a >时，2log (1)3a -+=-，解得7a =，∴(6)f a -=(1)f -=117224---=-，故选A. 11. 【2015高考某某，文8】某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)满足函数关系kx b y e +=( 2.718...e =为自然对数的底数，,k b 为常数).若该食品在℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是( )(A )16小时 (B )20小时 (C )24小时 (D )21小时【答案】C【解析】由题意，2219248bk b e e +⎧=⎪⎨=⎪⎩得1119212b k e e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，于是当x ＝33时，y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝31()2×192＝24(小时)【2017考试大纲】(1)了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域； 了解映射的概念.(2)在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数.(3)了解简单的分段函数,并能简单应用.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 此部分知识在高考命题中多以选择题和填空题的形式出现，或与导数结合出一个解答题，主要考查函数的定义域和值域，以及求函数解析式，求函数值与最值，分段函数求值等，试题难度中等，常和其它知识结合出题．【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式, 函数作为基础知识，单独命题不多，常以求函数解析式来考查立体几何，解析几何，数列，向量，三角函数等内容的最值等问题.具体对函数概念的考查，一般不会以具体形式出现，而是考查通过映射理解函数的本质，体会蕴含在其中的函数思想．对函数定义域的考察，据其内容的特点，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，而且一般是一个具体的函数，故难度较低．对函数值域的考察，多以基本初等函数为背景，若在选择题、填空题中出现，则难度较低；若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大．对函数表示的考查，通过具体问题（几何问题和实际应用）为背景，寻求变量间的函数关系，再求函数的定义域和值域，进而研究函数的性质，寻求问题的结果．对分段函数的考察是重点和热点，往往会以工具的形式和其他知识点结合起来考，以新颖的题型考察函数知识，难度会大点．在2018年的高考备考中同学们只需要稳扎稳打,加强常规题型的练习.由于本单元知识点的高考题,难度不大.所以在复习中不宜做过多过高的要求,只要灵活掌握小型综合题型.由于2016,2017年高考全国卷中对函数概念考查较少,预测2018年高考可能会有以分段函数的形式考查函数概念和函数性质的题目出现．【2018年高考考点定位】高考对函数概念及其表示的考查有三种主要形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域；三是函数的解析表示法；其中经常以分段函数为载体考察函数、方程、不等式等知识的相联系. 【考点1】函数的概念与映射的概念【备考知识梳理】A、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个数，1.近代定义：设B在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常记为=),(y∈xAxf2.传统定义：设在一个变化过程中有两个变量x,y,，若对于每一个确定的x的值，都有唯一确定的值y与之对应，则x是自变量，y是x的函数．→表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点：3.符号:f A B(1)对应法则有方向性, :f A B →与:f B A →不同;(2)集合A 中任何一个元素,在f 下在集合B 中都有唯一的元素与对应;(3)象不一定有原象,象集C 与B 间关系是C B ⊆.【规律方法技巧】1. 判定一条曲线是函数图象的方法：作与x 轴垂直的直线，若直线与曲线最多有一个交点，则该曲线是函数()y f x =的图象．2. 分段函数求值：给定自变量求函数值时，要确定自变量所属区间，从而代入相应的函数解析式；分段函数知道函数值或函数值X 围求自变量或自变量取值X 围时，要分类讨论并和相应的自变量区间求交集，进而得结果．3.判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”． 【考点针对训练】1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②()32f x x x =-+-是函数；③函数2(N)y x x ∈＝的图象是一条直线；④2()x f x x=与()g x x ＝是同一个函数．其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】A2. 设集合B A ,是两个集合，①{}x y x f y y B R A =→>==:,0,；②{}{}x y x f R y y B x x A ±=→∈=>=:,,0；③{}{}23:,41,21-=→≤≤=≤≤=x y x f y y B x x A .则上述对应法则f 中，能构成A 到B 的映射的个数是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【考点2】函数的表示【备考知识梳理】1．表示函数的方法有列表法、图象法、解析式法，最常用的方法是解析式法，尤其在实际问题中需要建立函数式，首先要选定变量，然后寻找等量关系，求得函数的解析式，还要注意定义域．2. 若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同，可用分段函数来表示．【规律方法技巧】求函数的解析式的常用方法：1.代入法：如已知2()1,f x x =-求2()f x x +时，有222()()1f x x x x +=+-.2.待定系数法：已知()f x 的函数类型，要求()f x 的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.3.拼凑法：已知[()]f g x 的解析式，要求()f x 的解析式时，可从[()]f g x 的解析式中拼凑出“()g x ”，即用()g x 来表示，，再将解析式的两边的()g x 用代替即可.4.换元法：令()t g x =，在求出()f t 的解析式，然后用代替()f t 解析式中所有的即可.5.方程组法：已知()f x 与[()]f g x 满足的关系式，要求()f x 时，可用()g x 代替两边的所有的，得到关于[()]f g x 的方程组，解之即可得出()f x .6.赋值法：给自变量赋予特殊值，观察规律，从而求出函数的解析式.7.若()f x 与1()f x或()f x -满足某个等式，可构造另一个等式，通过解方程组求解．8.应用题求解析式可用待定系数法求解．注意：求函数解析式一定要注意函数的定义域，否则极易出错．【考点针对训练】1.设x R ∈，定义符号函数()1,0sgn 0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则下列正确的是（ ）A ．()sin sgn sin x x x ⋅=B ．()sin sgn sin x x x ⋅=C ．()sin sgn sin x x x ⋅=D ．()sin sgn sin x x x ⋅=【答案】A【解析】0x >时，sin sgn()sin x x x ⋅=，0x <时，sin sgn()sin sin()x x x x ⋅=-=-，所以sin sgn()x x ⋅=sin x ，A 正确．故选A ．2.定义在(1,1)-内的函数()f x 满足2()()lg(1)f x f x x --=+，求()f x 【答案】21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)- 【解析】(消去法)当x ∈(1,1)-时，有2()()lg(1)f x f x x --=+，①以x -代替得2()()lg(1)f x f x x --=-+，②由①②消去()f x -得，21()lg(1)lg(1)33f x x x =++-，x ∈(1,1)-. 【考点3】分段函数及其应用【备考知识梳理】1．分段函数是一个函数，而不是几个函数；2．分段函数的定义域是各段“定义域”的并集，其值域是各段“值域”的并集；【规律方法技巧】1.因为分段函数在其定义域内的不同子集上其对应法则不同，而分别用不同的式子来表示，因此在求函数值时，一定要注意自变量的值所在子集，再代入相应的解析式求值．2.“分段求解”是处理分段函数问题解的基本原则．【考点针对训练】 1. 【某某省孝义市2017届高三高考考前质量检测三】则()4f -=（ ）． A. 116 B. 18 C. 14 D. 12【答案】A【解析】()()()()()41142024216f f f f f ⎛⎫-=-===== ⎪⎝⎭,故选A. 2. 【某某省某某中学2017届高三第二次摸底】设函数()4,1{2,1x x a x f x x +<=≥，若243f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则实数a =（ ）A. 23-B. 43-C. 43-或 23-D. 2-或 23- 【答案】A【考点4】定义域和值域【备考知识梳理】在实际问题中，通过选择变量，写出函数解析式，进而确定定义域和值域，再研究函数的性质是函数思想解决实际问题的体现，定义域就是使得实际问题或者具体问题有意义的自变量的取值X 围，值域就是与定义域相应的函数值的取值X 围．1. 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值X 围.2．求函数定义域的步骤：①写出使函数有意义的不等式（组）；②解不等式（组）；③写出函数的定义域（注意用区间或集合的形式写出）3.在函数)(x f y =中与自变量相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域..函数的值域与最值均在定义域上研究.函数值域的几何意义是对应函数图像上纵坐标的变化X 围.4.函数的最值与函数的值域是关联的，求出了函数的值域也就能确定函数的最值情况，但只确定了函数的最大(小)值，未必能求出函数的值域．在函数概念的三要素中，值域是由定义域和对应关系所确定的，因此，在研究函数值域时，既要重视对应关系的作用，又要特别注意定义域对值域的制约作用．【规律方法技巧】1.求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解析式，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2.求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.3.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.4.对于复合函数求定义域问题，若已知()f x 的定义域[,]a b ，则复合函数(())f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤得到.5.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.6.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值X 围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义；第三类是不给出函数的解析式，而由()f x 的定义域确定函数)]([x g f 的定义域或由)]([x g f 的定义域确定函数()f x 的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数X 围问题，常转化为恒成立问题来解决．7.函数值域的求法:利用函数的单调性:若)(x f 是],[b a 上的单调增(减)函数,则)(a f ,)(b f 分别是)(x f 在区间],[b a 上取得最小(大)值,最大(小)值.利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的X 围.利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx e y cx d++=+ (c a ,至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. 利用基本不等式法:导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除. 【考点针对训练】1. 【某某省某某市第一中学2017届高三最后一卷】已知函数()f x 的定义域为()0,+∞，则函数__________．【答案】(-1,1) 【解析】由题意210{340x x x +>--+>，解得11x -<<，即定义域为()1,1-．2. 【某某省揭阳市2017届高三第二次模拟】已知函数，若对任意的1x 、2x R ∈，都有()()12f x gx ≤，则实数A 的取值X 围为【答案】C【解析】也即是()()max min f x g x ≤.()g x 的最小值为，画出()f x 图像如下图所示，由图可知，当1x =时，函数取得最大值为3. 【某某省某某第一中学2017届高三全真模拟】已知函数()2,1{43,1x x f x x x x≤=+->，则()f x 的值域是A. [)1,+∞B. [)0,+∞C. ()1,+∞D. [)()0,11,⋃+∞ 【答案】B【解析】当x ≤1时，f (x )∈[)0,+∞，当x>1时，f (x )=x+4x -3≥1，当且仅当x=4x，即x=2时，f (x )取最小值1；所以f (x )的值域为[)0,+∞.选B.4.【某某省某某市2017届高三四月调研】已知函数()2xxf x e a e-=+⋅+（a R ∈，为自然对数的底数），若()g f x =与()()y f f x =的值域相同，则的取值X 围是（ ）A. 0a <B. 1a ≤-C. 04a <≤D. 0a <或04a <≤ 【答案】A【应试技巧点拨】１． 在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同． ２． 定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行．３． 求函数解析式的几种常用方法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法． ４．分段函数体现了数学的分类讨论思想,求解分段函数求值问题时应注意的问题:(１)应用分段函数时,首先要确定自变量的值属于哪个区间,其次选定相应关系代入计算求解,特别要注意分段区间端点的取舍,当自变量的值不确定时,要分类讨论．(２)若给出函数值或函数值的X 围求自变量值或自变量的取值X 围时,应根据每一段的解析式分别求解,但要注意检验所求自变量值是否符合相应段的自变量的取值X 围．1.【2017()()33f f +-=（ ）A. 1-B.C.D. 【答案】D()()332f f +-=，故选D.2.【某某省某某市崇安区江南中学2017届高三考前模拟】设函数()323614f x x x x =+++且()()1,19f a f b ==。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题04 函数及其表示(原卷版)
专题四 函数及其表示【高频考点解读】1.了解构成函数的要素，会求一些简洁函数的定义域和值域；了解映射的概念．2.在实际情境中，会依据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数．3.了解简洁的分段函数，并能简洁的应用.通过对近几年高考试题的分析看出，本课时内容也是高考考查的重点之一，题型是选择题、填空题．主要考查函数的概念、解析式及分段函数等，试题难度较小.【热点题型】 题型一 函数定义域例1、(2021年高考安徽卷)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 【提分秘籍】求函数的定义域时，应留意(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应当用并集符号“∪”连接．【举一反三】 求函数f (x )＝lgx 2－2x 9－x 2的定义域；(2)已知函数f (2x )的定义域是[－1,1]，求f (x )的定义域． 【热点题型】题型二 函数解析式的求法【例2】 (1)已知f (x ＋1)＝x 2＋4x ＋1，求f (x )的解析式． (2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－f (x )＝2x ＋9，求f (x )． 【提分秘籍】求函数解析式的常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要留意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可依据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )．【举一反三】已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6C ．f (x )＝6x ＋9D ．f (x )＝2x ＋3【热点题型】题型三 分段函数求值例3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f x ＋1，x <4，则f (2＋log 23)的值为A.124B.112C.16D.13【举一反三】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B.45 C ．2D ．9【热点题型】题型四 分类争辩思想在分段函数中的应用例4、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋1，x >32x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为( )A ．log 23 B.1716 C.32 D ．1【提分秘籍】由于分段函数在不同定义区间上具有不同的解析式，在处理分段函数问题时应对不同的区间进行分类求解，然后整合，这恰好是分类争辩的一种体现．1．解决本题时，由于a 的取值不同限制了f (a )的表达，从而对a 进行分类争辩． 2．运用分类争辩的思想解题的基本步骤 (1)确定争辩对象和确定争辩的区域；(2)对所争辩的问题进行合理的分类(分类时需要做到不重不漏，标准统一、分层不越级)； 【举一反三】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ∈－∞，1x 2，x ∈[1，＋∞若f (x )>4，则x 的取值范围是________．【高考风向标】1．（2022·安徽卷）设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝( ) A.12 B.32 C ．0 D ．－122．（2022·北京卷）下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－x D ．y ＝log 0.5(x ＋1)3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)4．（2022·江西卷）函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0，1] B ．[0，1]C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，0]∪[1，＋∞) 5．（2022·山东卷）函数f (x )＝1（log 2x ）2－1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0，12 B ．(2，＋∞) C. ⎝⎛⎭⎫0，12∪(2，＋∞) D. ⎝⎛⎦⎤0，12∪[2，＋∞) 6．（2021·江西卷）已知函数f(x)＝a ⎝⎛⎭⎫1－2⎪⎪⎪⎪x －12，a 为常数且a>0. (1)证明：函数f(x)的图像关于直线x ＝12对称；(2)若x 0满足f(f(x 0))＝x 0，但f(x 0)≠x 0，则称x 0为函数f(x)的二阶周期点．假如f (x)有两个二阶周期点x 1，x 2，试确定a 的取值范围；(3)对于(2)中的x 1，x 2和a ，设x 3为函数 f(f(x))的最大值点，A(x 1，f(f(x 1)))，B(x 2，f(f(x 2)))，C(x 3，0)．记△ABC 的面积为S(a)，争辩S(a)的单调性．7．（2021·江西卷）设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(e x )＝x ＋e x ，则f′(1)＝________．10．（2021·江西卷）如图1－3所示，半径为1的半圆O 与等边三角形ABC 夹在两平行线l 1，l 2之间，l ∥l 1，l 与半圆相交于F ，G 两点，与三角形ABC 两边相交于E ，D 两点．设弧FG 的长为x(0<x<π)，y ＝EB ＋BC ＋CD ，若l 从l 1平行移动到l 2，则函数y ＝f(x)的图像大致是( )图1－3图1－48．（2021·江西卷）函数y ＝xln(1－x)的定义域为( ) A ．(0，1) B ．[0，1) C ．(0，1] D ．[0，1]9．（2021·辽宁卷）已知函数f(x)＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g(x)＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x)＝max {}f （x ），g （x ），H 2(x)＝min {}f （x ），g （x ）(max {}p ，q 表示p ，q 中的较大值，min {}p ，q 表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x)的最小值为A ，H 2(x)的最大值为B ，则A －B ＝( )A ．16B ．－16C ．a 2－2a －16D ．a 2＋2a －1610．（2021·全国卷）已知函数f(x)的定义域为(－1，0)，则函数f(2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1，1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1，0) D.⎝⎛⎭⎫12，111． （2021·陕西卷）设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫x －1x 6，x<0，－x ，x≥0，则当x>0时，f[f(x)]表达式的开放式中常数项为( )A ．－20B ．20C ．－15D ．15 12． （2021·四川卷）函数y ＝x 33x －1的图像大致是( )图1－513． （2021·新课标全国卷Ⅱ] 经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．依据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图1－4所示，经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品，以X(单位：t ，100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．(1)将T 表示为X 的函数；(2)依据直方图估量利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X ∈[100，110)，则取X ＝105，且X ＝105的概率等于需求量落入[100，110)的频率)，求T 的数学期望．图1－4【随堂巩固】1．下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( ) A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xxC ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx2．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x3．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－cos πx ，x >0，f x ＋1＋1，x ≤0，则f ⎝⎛⎭⎫43＋f ⎝⎛⎭⎫－43的值等于( ) A ．－2 B ．1 C ．2D ．34．现向一个半径为R 的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h 随时间t 变化的函数关系的是( )5．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝( )A ．x －1B ．x ＋1C ．2x ＋1D ．3x ＋36．依据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,167．具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①y ＝x －1x ；②y ＝x ＋1x ；③y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①8．已知f (x )＝x 2＋px ＋q 满足f (1)＝f (2)＝0，则f (－1)＝________.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x ＋1，x ＜2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．10．设集合M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的是________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f (f (0))＝4a ，则实数a ＝________.12．若函数的定义域为{x |－3≤x ≤6，且x ≠4}，值域为{y |－2≤y ≤4，且y ≠0}，试在下图中画出满足条件的一个函数的图象．13．已知定义域为R 的函数f (x )满足f (f (x )－x 2＋x )＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析式．14．若函数f (x )＝xax ＋b(a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解析式．15.甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时动身前往乙家．如图所示，表示甲从家动身到达乙家为止经过的路程y (km)与时间x (min)的关系．试写出y＝f (x )的函数解析式．16．如图1是某公共汽车线路收支差额y 元与乘客量x 的图象．(1)试说明图1上点A 、点B 以及射线AB 上的点的实际意义；(2)由于目前本条线路亏损，公司有关人员提出了两种扭亏为赢的建议，如图2、3所示．你能依据图象，说明这两种建议的意义吗？(3)此问题中直线斜率的实际意义是什么？ (4)图1、图2、图3中的票价分别是多少元？17．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )>2x ＋5.。
2023高考数学试题汇编
2023高考数学试题汇编集合运算1. (2023甲卷理科T1)设集合A ＝{x |x ＝3k ＋l ，k ∈Z}，B ＝{x |x ＝3k ＋2，k ∈Z}，U 为整数集，则C U (A∩B)＝( )A ．{x |x ＝3k ，k ∈Z}B ．{x |x ＝3k −1，k ∈Z)C ．{x |x ＝3k −l ，k ∈Z}D ．φ2. (2023甲卷文科T1)设全集U ＝{1，2，3，4，5}，集合M ＝{1，4}，N ＝{2，5}，则N∈C U M ＝( )A ．{2，3，5B ．{1，3，4}C ．{1，2，4，5}D ．{2，3，4，5}3. (2023乙卷理科T2)设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}，N ＝{x |−1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝( )4. 设集合U ＝R ，集合M ＝{x |x ＜1}， N ＝{x |−1＜x ＜2}，则{x |x ≥2}＝( )A ． C U (M∈N)B ． N∈C U M C ． C U (M∩N)D ． M∈C U N5. (2023乙卷文科T22)设全集U ＝{[0，1，2，4，6，8}，集合M ＝{0，4，6}，N ＝{0，1，6}，则M∈C U N ＝( )A ．{0，2，4，6，8}B ．{0，1，4，6，8}C ．{1，2，4，6，8}D ．U6. (2023新一卷T1)已知集合M ＝{−2，−1，0，1，2}，N ＝{x |x 2−x −6≥0}，则M∩N ＝A ．{−2，−1，0，1}B ．{0，1，2}C ．{−2}D ．{2}7. (2023新二卷T2)设集合A ＝{0，−a }，B ＝{1，a −2，2a −2}，若A ⊆B ，则a ＝A ．2B ．1C ．23D ．−1 8. (2023上海卷T13)已知P ＝{1，2}，Q ＝{2，3}，若M ＝{x |x ∈P 且x ∉Q}，则M ＝( ) A{1} B{．2} c ．{1，2} D ．{1，2，3}9. (2023天津卷T1)已知集合U ＝{1，2，3，4，5}，A ＝{1，3}，B ＝{1，2，4}，则C U B∈A ＝(A){1，3，5} (B){1，3} (C){1，2，4} (D){1，2，4，5}充分条件(2023天津卷T2)“a 2＝b 2”是“a 2＋b 2＝2ab ”的( )充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分又不必要条件不等式(2023上海卷T1)不等式|x −2|＜1的解集为 。
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一、定义域问题 1. （陕西文2）函数21lg
)(x x f -=的定义域为
（A ）［0，1］
（B ）（-1，1） （C ）［-1，1］
（D ）（-∞，-1）∪（1，+∞）
解析：由1-x 2>0得-1<x<1，选B
（06广东卷）函数2
3()lg(31)1x f x x x
=
++-的定义域是 A.1(,)3-+∞ B. 1(,1)3- C. 11(,)33- D. 1(,)3
-∞-
解：由131
1301<<-⇒⎩⎨
⎧>+>-x x x ，故选B.
2. （江西文3）函数1()lg 4
x f x x -=-的定义域为（
）
Ａ．(14)，
Ｂ．[14)，
Ｃ．(1)(4)-∞+∞U ，，
Ｄ．(1](4)-∞+∞U ，，
解析：
10(1)(4)0,1 4.4
x
x x x x ->⇒--<∴<<-选A. 上海理1）函数()()lg 43
x f x x -=
-的定义域为_____
【答案】 {}
34≠<x x x 且
【解析】 40
30
x x ->⎧⎨-≠⎩⇒ {}34≠<x x x 且
（06湖北卷）设2()lg
2x f x x +=-，则2
()()2x f f x
+的定义域为 A ．(4,0)(0,4)-U B ．(4,1)(1,4)--U C ．(2,1)(1,2)--U D ．(4,2)(2,4)--U 解：f （x ）的定义域是（－2，2），故应有－22x
<2且－22
x
<2解得－4x －1或
1x 4
故选B
3. （湖南卷）函数2log 2y x =
-( )
A.(3,+∞)
B.[3, +∞)
C.(4, +∞)
D.[4, +∞) 解：函数2log 2-=x y 的定义域是2log 2x -≥0，解得x ≥4，选D.
（全国一1
）函数y 的定义域为（ C ） A ．{}|0x x ≥
B ．{}|1x x ≥
C ．{}{}|10x x U ≥
D ．{}|01x x ≤≤
（湖北卷4
）函数1
()f x x
=的定义域为D
A. (,4][2,)-∞-+∞U
B. (4,0)(0.1)-U
C. [-4,0)(0,1]U
D. [4,0)(0,1)-U
（2009福建卷文）
下列函数中，与函数y =
有相同定义域的是 A .()ln f x x = B.1()f x x
= C. ()||f x x = D.()x f x e = 解析 解析
由y =
可得定义域是0.()ln x f x x >=的定义域0x >；1
()f x x =的定义
域是x ≠0；()||f x x =的定义域是;()x
x R f x e ∈=定义域是x R ∈。
故选A. （2010广东理数）9. 函数()f x =lg(x -2)的定义域是 . 9． (1,+∞) ．∵10x ->，∴1x >．
14.（广东文4）函数
1
()lg(1)1f x x x =
++-的定义域是 （ ）
A ．(,1)-∞-
B ．(1,)+∞
C ．(1,1)(1,)-+∞U
D ．(,)-∞+∞ 【答案】C
（江西文3）若
12
1
()log (21)
f x x =
+，则()f x 的定义域为( )
1(,0)2- B.1(,)2-+∞ C.1(,0)(0,)2-⋃+∞ D.1
(,2)
2-
【答案】C
【解析】
()()
+∞⋃⎪⎭⎫
⎝⎛-∈∴≠+>+∴≠+,00,211
12,012,012log 2
1x x x x
（江西理4）设x x x x f ln 42)(2--=，则0)('
>x f 的解集为
A. ),0(+∞
B. ),2()0,1(+∞-Y
C. ),2(+∞
D.)0,1(- 【答案】C
【解析】)(x f 定义域为),0(+∞，又由
0)
1)(2(2422)('>+-=-
-=x x x x x x f ，解得
01<<-x 或2>x ，所以0)('
>x f 的解集),2(+∞
安徽文13
）函数
y =
的定义域是 .
【答案】（－3,2）【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法.
【解析】由2
60x x -->可得2
60x x +-<，即
()()+320x x -<，所以32x -<<. 【2012高考四川文13】
函数()f x =____________。
（用区间表示） 【答案】)2
1,(-∞.
【解析】根据题意知021>-x ，21<
x ，所以定义域为)2
1,(-∞.
（安徽卷13）
函数2()f x =
的定义域为 ．[3,)+∞
（湖南卷14
）已知函数()1).f x a =
≠ （1）若a ＞0,则()f x 的定义域是 ; 3,a ⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
(2) 若()f x 在区间(]0,1上是减函数，则实数a 的取值范围是 .
()(],01,3-∞⋃
2012高考山东文3】
函数1
()ln(1)
f x x =
++
(A)[2,0)(0,2]-U (B)(1,0)(0,2]-U (C)[2,2]- (D)(1,2]- 【答案】B
【解析】方法一：特值法，当2-=x 时，)1ln()(+=x x f 无意义，排除A,C.当0=x 时，
01ln )10ln()0(==+=f ，不能充当分母，所以排除D,选B.
方法二：要使函数有意义则有⎪⎩
⎪
⎨⎧≥-≠+>+0
40)1ln(012x x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≠->2201
x x x ，即01<<-x 或20≤<x ，
选B.
【2012高考江苏5】（5分）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．
【答案】(
0。
【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得
1266000112log 0log 620<x >x >x >x x x x ≤-≥≤≤⎧⎧⎧⎪⎪
⇒⇒⎨⎨⎨
⎩⎪⎪⎩⎩。