主讲教师刘树新.
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21
B.2 矢量的标积
A B ABcosφ 规定 0 φ π
A// B
φ
B//
A
显然有
A B AB// A//B
矢量的模量
A A A
22
矢量标积的一些基本性质
(αA)B α(A B) (为标量)
AB BA (A1 A2 )B A1 B A2 B (A1 A2 )(B1 B2 ) A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2
yx yuux ( Acos u)B AB cos(Bx C)
45
y Acos x
可变换为 y Asin( x )
2
即得 y Acos(x ) Asin x
2
46
y tan x
可变换为
y sin x cos x
即得
y
(sin
x)'
y sin x
y sin x cos dx 1 cos x sin dx cos x
dx
dx
y cos x y sin x
42
导数的一些重要性质
y A1y1 A2 y2 y A1y1 A2 y2
y y1y2 y y1y2 y1y2
zb
z
xy平面
P
a
l
mg
b
26
B.3 矢量的矢积
C(右)
B
三维空间 两个矢量的矢积定义为
φ B
A
C(左)
AB C:
C的C方向AB或s由in 右 φ 手系(平确行定四,或边由形左的手面系积确）定
27
矢积的一些基本性质
反交换律 分配律
(αA) B α(A B)
39
数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有
Ax Bdx Ax 简书为 Ax Bdx Ax
cos dx 1 简书为 cosdx 1
sin dx dx 简书为 sindx dx
tan dx dx 简书为 tandx dx
1
1
(1 dx)dx e 简书为 (1 dx)dx e
e 2.71828182845904523536028747135266 249775724709369995957496696762772 40766303535475945713821785251664274
40
C.2 微商（导数）
y
定义 y(x) dy
dx
y
或 y dy
dx
a qS S a
1 q
10
例2. 求无穷串并联系列的电阻
R A B
设AB间的电阻为RAB
则有
RAB
2R
1
1
1
R RAB
11
思考题1：取火柴游戏
N根火柴，2人取，每人一次取 1至a根，最后取者为负（a>1)
对先取者，什么样的N是必胜态， 什么样的N是必败态
12
思考题2：机器猫与玩具鼠
例4 矢积在物理学中的应用一
力矩
M
r
F
角动量
L
r
p
洛仑兹力
F
qv
B
30
例5 矢积在物理学中的应用二
B
b
安培力
b
Il
F IΔl B
a
a
毕奥-沙伐尔定律
B
0
Il
r
4r 3
P
r
Il
31
B.4 矢量的三重积
2 i
i 1
AB
k
( Ai Bi )e i
i 1
19
思考题3： k维空间正方“体”
顶点数 棱数 面数 面积 体积
3维正方体
8
12
6
6a2 a3
2维正方“体”
4
1维正方“体”
2
4
4
4a a2
1
2
2
a
20
(1)从度量的角度分析，为什么数学上给出 S1=2
(2)对k维空间正方“体”， 用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数； 若棱长为a，再求它的“体积” Vk和“面积” S
28
矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有 i j k; j k i; k i j ii jj kk 0
矢积的行列式表示
i A x Bx A B j A y By
k Az Bz
29
cos x sin cos2 x
x(cos
x)'
1 cos2
x
47
y xk k 1,2,
可递归地得到 (xk ) (x xk1) xxk1 x(xk1) xk 1 x(xk 1)
x 1 既有 y kxk1
17
矢量的分解
z
x轴单位矢量 i
y轴单位矢量 j
z轴单位矢量
k
Az
i
A
k
j
Ay
y
A Axi Ay j Azk
x Ax
A xy
可简写为: A : Ax, Ay , Az 或 Ax, Ay , Az
A B
矢量的三重矢积
BC
A
A(BC)
C
三重矢积必在B、C确定的平面内，
B
是B、C的线性组合。
A(BC) (AC)B (A B)C
33
数学补充知识作业题 A组
2、3、6、8、10、11、14、15、18 B组
22、23、24
34
C 一元函数微积分
三重标积
A(BC)
A
几何意义：平行六面体的体积
C
Ax Bx Cx
B
A (B C) A y By Cy
Az Bz Cz
三重标积的循环 可 交换性 A (BC) B(C A) C(A B)
32
A , B , C 共面 A (BC) 0
矢量的某一分量 Ax A i
24
k维空间
正交归一性
e i
e j
δi j
0 1
k
A B A iBi i 1
若i j 若i j
25
例题3 重力功的计算
W
b
(
mg)
Δl
a
b
za
mgz
a
mg(zb za ) mgh
y y1 y2
y
y1y2 y1 y2 y22
43
复合函数的微商
y y(u) u u(x)
yx yuux
链式法则:
yx
dy dx
dy du
du dx
yu ux
44
例7 几个函数的求导
y Asin( Bx C)
可看作 y Asin u u Bx C
36
抛物线函数
y A x2 Δy 2 A x Δ x A(Δ x)2
含有高阶无穷小，其它函数类似。
37
y sinx
Δy sin x (cosΔ x 1) cos x sin x
y ex
y ex (ex 1)
38
自变量增量 x 0 时, 称为自变量微分,改记成dx
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 k a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
6
性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。
性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。
a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 0 a31 a32 a33
力学
主讲教师：刘树新
北京大学物理学院
第零章数学补充知识
A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
211 1 -2 -1 -1 -1 2
i x Fx j y Fy k z Fz
2
三阶行列式可以一般地表述成
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a1 3 a23 a33
a1
1
a2 a3
2 2
a23 a33
a21
a1 2 a32
a1 3 a33
a31
a1 2 a22
a1 3 a23
4
性质1：行列可互换性
i x Fx i j k
j y Fy x y z
k z Fz Fx Fy Fz
5
性质2：一行的公因子可以提出
a11 a12 a13
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y(x dx) y(x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx y Ax2, dy A(2x dx)dx y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
7
A.2 应用
线性代数方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
a11 a12 a13
引入分母行列式 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
C.1 微分 一元函数可记为
y y(x)
y
y y
y
或 y F(x)
自变量 x 的增量: x
O
函数增量: y y(x x) y(x)
x x x x
35
线性函数 y A x B
Δy y(x Δ x) y(x)
y Ax
当自变量的增量很小时， 其它函数的增量能否写成类似的形式？
A
x
i
A
y
j
A
zk
Bx i By j Bzk
A x Bx i A y By j Az Bz k
18
k维空间
K维空间矢量
A
A1e1
A 2e 2
A ke k
k A ie i i 1
矢量的模 矢量的和
A
k
A
元素： a i j
i: 行标; j: 列标
2阶、1阶、零阶行列式分别表述成
a1 1 a21
a1 2 a22
a1 1
3
行列式的运算规则可用下述递归方式定义：
定义 1
a11 a11 a11
a1 1 a21
a1 2 a22
a11 a22
a21 a12
a1 1 a21 a31
a1 2 a22 a32
A B B A
(A1 A2 ) B A1 B A2 B
进一步可导出其它较复杂的公式,例如
(A1
A2
)(B 1
B
2
)
A1 B1 A1 B2 A 2 B1 A 2 B2
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 , D2
b3 a32 a33
方程组的解能表述为
xi
Di D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
S a aq aq2 aq3
a q a aq aq2 aq3
23
三维空间
单位矢量的标积满足
正交性
ij jk ki 0
归一性
i i j j kk 1
A B (Ax i A y j Azk)(Bx i By j Bzk)
AxBx AyBy AzBz
鼠猫
不动
½
½
0
1
2
3
只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠 的概率P=？
13
B 矢量的代数运算
B.1 矢量的叠加与分解
标量：只有大小，没有方向
既有大小，又有方向的量是矢量，记为 A
矢量的大小称为矢量的模，记为 A
单位方向矢量
A
A
或
A
/
A
14
万有引力定律
M
F
m
r
F
G
几何意义: 平均变化率
Q
P y
x
y y(x x) y(x)
O
x
x
x
x
函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率
y dy y(x dx) y(x) tan
dx
dx
41
例6 函数导数的几个实例
y Ax B y A
y Ax2 y 2Ax
Mm r3
r
15
矢量的代数性质
矢量与标量的关系
数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量
A B
矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘
16
两个矢量的和
AB C
AC
Baidu Nhomakorabea
B
A1 A2 A3 (A1 A2) A3
矢量的叠加满足交换律和结合律
B.2 矢量的标积
A B ABcosφ 规定 0 φ π
A// B
φ
B//
A
显然有
A B AB// A//B
矢量的模量
A A A
22
矢量标积的一些基本性质
(αA)B α(A B) (为标量)
AB BA (A1 A2 )B A1 B A2 B (A1 A2 )(B1 B2 ) A1 B1 A1 B2 A2 B1 A2 B2
yx yuux ( Acos u)B AB cos(Bx C)
45
y Acos x
可变换为 y Asin( x )
2
即得 y Acos(x ) Asin x
2
46
y tan x
可变换为
y sin x cos x
即得
y
(sin
x)'
y sin x
y sin x cos dx 1 cos x sin dx cos x
dx
dx
y cos x y sin x
42
导数的一些重要性质
y A1y1 A2 y2 y A1y1 A2 y2
y y1y2 y y1y2 y1y2
zb
z
xy平面
P
a
l
mg
b
26
B.3 矢量的矢积
C(右)
B
三维空间 两个矢量的矢积定义为
φ B
A
C(左)
AB C:
C的C方向AB或s由in 右 φ 手系(平确行定四,或边由形左的手面系积确）定
27
矢积的一些基本性质
反交换律 分配律
(αA) B α(A B)
39
数学上可以证明, 对无穷小量dx, 有
Ax Bdx Ax 简书为 Ax Bdx Ax
cos dx 1 简书为 cosdx 1
sin dx dx 简书为 sindx dx
tan dx dx 简书为 tandx dx
1
1
(1 dx)dx e 简书为 (1 dx)dx e
e 2.71828182845904523536028747135266 249775724709369995957496696762772 40766303535475945713821785251664274
40
C.2 微商（导数）
y
定义 y(x) dy
dx
y
或 y dy
dx
a qS S a
1 q
10
例2. 求无穷串并联系列的电阻
R A B
设AB间的电阻为RAB
则有
RAB
2R
1
1
1
R RAB
11
思考题1：取火柴游戏
N根火柴，2人取，每人一次取 1至a根，最后取者为负（a>1)
对先取者，什么样的N是必胜态， 什么样的N是必败态
12
思考题2：机器猫与玩具鼠
例4 矢积在物理学中的应用一
力矩
M
r
F
角动量
L
r
p
洛仑兹力
F
qv
B
30
例5 矢积在物理学中的应用二
B
b
安培力
b
Il
F IΔl B
a
a
毕奥-沙伐尔定律
B
0
Il
r
4r 3
P
r
Il
31
B.4 矢量的三重积
2 i
i 1
AB
k
( Ai Bi )e i
i 1
19
思考题3： k维空间正方“体”
顶点数 棱数 面数 面积 体积
3维正方体
8
12
6
6a2 a3
2维正方“体”
4
1维正方“体”
2
4
4
4a a2
1
2
2
a
20
(1)从度量的角度分析，为什么数学上给出 S1=2
(2)对k维空间正方“体”， 用递归方法求出它的顶点数、棱数和“面”数； 若棱长为a，再求它的“体积” Vk和“面积” S
28
矢积只能在三维空间中进行, 对于坐标基矢有 i j k; j k i; k i j ii jj kk 0
矢积的行列式表示
i A x Bx A B j A y By
k Az Bz
29
cos x sin cos2 x
x(cos
x)'
1 cos2
x
47
y xk k 1,2,
可递归地得到 (xk ) (x xk1) xxk1 x(xk1) xk 1 x(xk 1)
x 1 既有 y kxk1
17
矢量的分解
z
x轴单位矢量 i
y轴单位矢量 j
z轴单位矢量
k
Az
i
A
k
j
Ay
y
A Axi Ay j Azk
x Ax
A xy
可简写为: A : Ax, Ay , Az 或 Ax, Ay , Az
A B
矢量的三重矢积
BC
A
A(BC)
C
三重矢积必在B、C确定的平面内，
B
是B、C的线性组合。
A(BC) (AC)B (A B)C
33
数学补充知识作业题 A组
2、3、6、8、10、11、14、15、18 B组
22、23、24
34
C 一元函数微积分
三重标积
A(BC)
A
几何意义：平行六面体的体积
C
Ax Bx Cx
B
A (B C) A y By Cy
Az Bz Cz
三重标积的循环 可 交换性 A (BC) B(C A) C(A B)
32
A , B , C 共面 A (BC) 0
矢量的某一分量 Ax A i
24
k维空间
正交归一性
e i
e j
δi j
0 1
k
A B A iBi i 1
若i j 若i j
25
例题3 重力功的计算
W
b
(
mg)
Δl
a
b
za
mgz
a
mg(zb za ) mgh
y y1 y2
y
y1y2 y1 y2 y22
43
复合函数的微商
y y(u) u u(x)
yx yuux
链式法则:
yx
dy dx
dy du
du dx
yu ux
44
例7 几个函数的求导
y Asin( Bx C)
可看作 y Asin u u Bx C
36
抛物线函数
y A x2 Δy 2 A x Δ x A(Δ x)2
含有高阶无穷小，其它函数类似。
37
y sinx
Δy sin x (cosΔ x 1) cos x sin x
y ex
y ex (ex 1)
38
自变量增量 x 0 时, 称为自变量微分,改记成dx
a11 a12 a13
ka21 ka22 ka23 k a21 a22 a23
a31 a32 a33
a31 a32 a33
6
性质3：对换行列式中两行的位置， 行列式反号。
性质4：如果行列式中两行成比例， 那么行列式为零。
a11 a12 a13 ka11 ka12 ka13 0 a31 a32 a33
力学
主讲教师：刘树新
北京大学物理学院
第零章数学补充知识
A 行列式 B 矢量的代数运算 C 一元函数微积分 D 多元函数微积分
1
A 行列式
A.1 行列式
211 1 -2 -1 -1 -1 2
i x Fx j y Fy k z Fz
2
三阶行列式可以一般地表述成
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a1 3 a23 a33
a1
1
a2 a3
2 2
a23 a33
a21
a1 2 a32
a1 3 a33
a31
a1 2 a22
a1 3 a23
4
性质1：行列可互换性
i x Fx i j k
j y Fy x y z
k z Fz Fx Fy Fz
5
性质2：一行的公因子可以提出
a11 a12 a13
相应的函数增量 y 0 , 称为函数微分,记成dy
dy与dx的关系 dy y(x dx) y(x)
微分 ——忽略高阶无穷小
y Ax B, dy Adx y Ax2, dy A(2x dx)dx y sin x, dy sin x(cos dx 1) cos x sin dx
7
A.2 应用
线性代数方程组
a11x1 a12x2 a13x3 b1 a21x1 a22x2 a23x3 b2 a31x1 a32x2 a33x3 b3
a11 a12 a13
引入分母行列式 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
8
引入分子行列式
C.1 微分 一元函数可记为
y y(x)
y
y y
y
或 y F(x)
自变量 x 的增量: x
O
函数增量: y y(x x) y(x)
x x x x
35
线性函数 y A x B
Δy y(x Δ x) y(x)
y Ax
当自变量的增量很小时， 其它函数的增量能否写成类似的形式？
A
x
i
A
y
j
A
zk
Bx i By j Bzk
A x Bx i A y By j Az Bz k
18
k维空间
K维空间矢量
A
A1e1
A 2e 2
A ke k
k A ie i i 1
矢量的模 矢量的和
A
k
A
元素： a i j
i: 行标; j: 列标
2阶、1阶、零阶行列式分别表述成
a1 1 a21
a1 2 a22
a1 1
3
行列式的运算规则可用下述递归方式定义：
定义 1
a11 a11 a11
a1 1 a21
a1 2 a22
a11 a22
a21 a12
a1 1 a21 a31
a1 2 a22 a32
A B B A
(A1 A2 ) B A1 B A2 B
进一步可导出其它较复杂的公式,例如
(A1
A2
)(B 1
B
2
)
A1 B1 A1 B2 A 2 B1 A 2 B2
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 , D2
b3 a32 a33
方程组的解能表述为
xi
Di D
i 1,2,3
9
例1. 公比0≤q＜1的无穷等比级数求和
S a aq aq2 aq3
a q a aq aq2 aq3
23
三维空间
单位矢量的标积满足
正交性
ij jk ki 0
归一性
i i j j kk 1
A B (Ax i A y j Azk)(Bx i By j Bzk)
AxBx AyBy AzBz
鼠猫
不动
½
½
0
1
2
3
只要猫捉到鼠，游戏结束，问猫捉到鼠 的概率P=？
13
B 矢量的代数运算
B.1 矢量的叠加与分解
标量：只有大小，没有方向
既有大小，又有方向的量是矢量，记为 A
矢量的大小称为矢量的模，记为 A
单位方向矢量
A
A
或
A
/
A
14
万有引力定律
M
F
m
r
F
G
几何意义: 平均变化率
Q
P y
x
y y(x x) y(x)
O
x
x
x
x
函数在x处的导数等于函数曲线在x处切线的斜率
y dy y(x dx) y(x) tan
dx
dx
41
例6 函数导数的几个实例
y Ax B y A
y Ax2 y 2Ax
Mm r3
r
15
矢量的代数性质
矢量与标量的关系
数乘：标量与矢量的乘积仍是一个矢量
A B
矢量之间的关系 矢量的叠加:矢量的和 标积和矢积：矢量的乘
16
两个矢量的和
AB C
AC
Baidu Nhomakorabea
B
A1 A2 A3 (A1 A2) A3
矢量的叠加满足交换律和结合律