上海交大附中09-10学年高二上学期期中考试(数学)
上海市位育中学2024-2025学年高二上学期10月期中数学试卷(含答案)
位育中学2024学年第一学期高二年级数学期中2024.10一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分）1．直线l 和平面α相交于点A ，用集合符号表示为________．2．已知空间两个角和，若，则________．3．一个水平放置的边长为2的正三角形的直观图面积为________．4．将长为3，宽为2的矩形绕着较长边所在的直线旋转一周，所形成的几何体的体积为________．5．已知球的表面积为36π，则该球的体积为________．6．已知圆锥的底面半径是1，它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的侧面积为________．7．如图，在三棱台的9条棱所在直线中，与直线是异面直线的共有________条．8．已知两点A 、B 都在平面α外，A 、B 到平面α的距离分别为2和4，则线段AB 的中点到平面α的距离为________．9．圆柱底面半径为3，母线长为5，一只小蜘蛛从某条母线上的一端点出发，沿着圆柱表面爬行两周到该母线的另一个端点，则蜘蛛所走的最短路程为________．10．三棱锥的4个面无限延展后把空间分成________个部分．11．如图，在正方体中，中点为Q ，过A 、Q 、三点的截面面积为________．12．在一个棱长为6cm 的密封正方体盒子中，放一个半径为1cm 的小球．无论怎样摇动盒子，小球在盒子中不能达到的部分的体积是________．ABC ∠A B C ∠''',,40AB A B BC B C ABC ∠︒'''='∥∥A B C ∠'''=111ABC A B C -1A B 1111ABCD A B C D -11,AB DD =1B 3cm二、选择题（本大题共有4题，每题4分，满分16分）13．设a 、b 为平面M 外的两条直线，且，那么是的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．非充分非必要14．已知a ，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是（ ）A ．若，则B ．若，则C ．若，则D ．若，则或15．如图所示，一个灯笼由一根提竿PQ 和一个圆柱组成，提竿平行于圆柱的底面，在圆柱上下底面圆周上分别有两点A 、B ，AB 与圆柱的底面不垂直，则在圆柱绕着其旋转轴旋转一周的过程中，直线PQ 与直线AB 垂直的次数为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．816．如图所示，正三棱柱的所有棱长为1，点P 、M 、N 分别为棱的中点，点Q 为线段MN 上的动点（含端点）．当点Q 由点N 出发向点M 运动的过程中，以下结论中正确的是（ ）A ．直线与直线CP 可能相交B ．直线与直线CP 始终异面C ．直线与直线CP 可能垂直D ．直线与直线BP 不可能垂直三、解答题（本大题共有5题，满分42分）17．（本题满分8分）用文字语言表述“线面平行的判定定理”，写出已知、求证并证明．18．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）a M ∥ab ∥b M ∥,,a b αβαβ⊥⊥∥a b∥,,a b a b αβ⊥⊥⊥αβ⊥,,a a b ααβ⊥⊥∥b β∥,a a b αβ= ∥b α∥b β∥111ABC A B C -111,,AA AB A B 1C Q 1C Q 1C Q 1C Q已知三棱锥满足．（1）证明：直线AB 与直线VC 是异面直线；（2）求异面直线AB 与VC 所成角大小．19．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，已知点P 在圆柱的底面圆O 的圆周上，AB 为圆O 的直径，圆柱的表面积为20π，．（1）求直线与平面ABP 所成角的大小；（2）求点A 到平面的距离．20．（本题满分8分，第1小题满分4分，第2小题满分4分）如图，几何体中，CDEF 为边长为2的正方形，ABCD 为直角梯形，，，，，．V ABC-2,VC VA BA BC AC VB ======1O O 2,120OA AOP =∠=︒1A P 1A BP EF ABCD -AB CD ∥AD DC ⊥2AD =4AB =90ADF ∠=︒（1）求证：平面；（2）求几何体的体积．21．（本题满分10分，第1小题满分4分，第2小题满分6分）如图，在四面体ABCD 中，平面，点M 为AD 上一点，且，连接BM ，CM ．（1）；（2）求二面角．的大小．AC ⊥FBC EF ABCD -3,AB BD CD AB ===⊥,BCD CD BD ⊥2AM MD =BM CD ⊥M BC D --参考答案一、填空题1． 2．40°或140° 3； 4． 5． 6．7．3 8．3或1 910．15 11． 12．11．【答案】【解析】截面是如图所示的等腰梯形，其中为的中点．因为所以截面面积．答案：12．【答案】【解析】在正方体的8个顶点处的单位立方体空间内，小球不能到达的空间为：除此之外，在以正方体的棱为一条棱的12个的正四棱柱空间内，小球不能到达的空间共为其他空间小球均能到达．l A α= 12π36π12π9840π563-981QEB A E 11C D 11EQ AB AQ B E ====1928S =⨯+=9840π563-3314π48118π833⎡⎤⎫⎛-⨯=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦114⨯⨯()21114π144812π4⎡⎤⨯⨯-⨯⨯=-⎢⎥⎣⎦故小球不能到达的空间体积为：．故答案为：二、选择题13．A 14．C 15．A 16．B15．【答案】A【解析】作出平面，使得平面，当时，平面或平面，结合旋转分析可知有两次使得．故选：A ．16．【答案】B【解析】在正三棱柱中，点分别为棱的中点，平面平面平面，四点不共面，直线与始终异面，故A 错误，B 正确；对于C ，设，则，若直线与直线垂直，则，解得，()34408π4812π56πcm 33⎫⎛-+-=- ⎪⎝⎭34056π(cm)3-CDEF PQ ⊥CDEF PQ AB ⊥AB ∥CDEF AB ⊂CDEF PQ AB ⊥111ABC A B C - ,M N 11,AB A B 11,A MN AA ∴∥MN ⊄ 111,AA C C AA ⊂11,AA C C MN ∴∥11AA C C 1,,,C P C Q ∴1C Q CP ()01NQ MN λλ=≤≤1111111111,222QC QN NC MN NA AC AA AC AB CP AA AC λλ=+=++=+-=- 1C Q CP 111110,022QC CP AA AC AB AA AC λ⎫⎫⎛⎛⋅=∴+-⋅-= ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭22111111102242AA AA AC AA AC AC AA AB AB AC λλ∴-⋅+⋅--⋅+⋅= 111110222λ∴-+⨯⨯⨯=32λ=不存在点使得直线与直线垂直，故C 错误；对于D ，连接，如图，为的中点，，平面平面，平面，又平面，当点在的位置时，直线与直线垂直，故错误．故选：B ．三．解答题17．平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行；已知，求证；证明略18．（1）证明略 （2）19．（1）（220．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）由题意得，，且，平面四边形CDEF 为正方形，，由平面，又四边形为直角形，，，由平面，（2）连结，过作的垂线，垂足为，易见平面，且，，几何体的体积为．01,λ≤≤∴ Q 1C Q CP 1C N 1111,C A C B N = 11A B 111C N A B ∴⊥1AA ⊥ 1111,A B C C N ⊂11111,A B C AA C N ∴⊥11111,AA A B A C N =∴⊥ 11ABB A BP ⊂111,ABB A C N BP ∴⊥∴Q N 1C Q BP D ,,a b a b αα⊄⊂∥a α∥13arccos 32163,AD DC AD DF ⊥⊥DC DF D = AD ∴⊥,,CDEF AD FC ∴⊥ DC FC ∴⊥,DC AD D FC =∴⊥ ,ABCD FC AC ∴⊥ ABCD ,,2,4AB CD AD DC AD AB ⊥==∥AC BC ∴==222AC BC AB AC BC +=∴⊥,BC FC C AC =∴⊥ FCB EC B CD N BN ⊥CDEF 2BN =1116333EF ABCD E ABCD B ECF ABCD EFC V V V S DE S BN ---=+=⋅+⋅= △△∴EF ABCD -16321．【答案】（1）见解析 （2）【解析】（1）证明：因为平面平面，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以；（2）取的中点，连接，过作于，过作于，连接，因为在平面中，，所以，由（1）知，所以因为平面，所以平面，因为平面，所以因为平面MEH ，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，所以，在中，，所以所以，所以二面角的大小为AB ⊥,BCD CD ⊂BCD AB CD ⊥,,,CD BD AB BD B AB BD ⊥=⊂ ABD CD ⊥ABD BM ⊂ABD BM CD ⊥BC N DN M MH BD ⊥H H HE BC ⊥E ME ABD ,AB BD MH BD ⊥⊥MH AB ∥AB CD ⊥MH CD ⊥,,CD BD D CD BD =⊂ BCD MH ⊥BCD BC ⊂BCD MH BC⊥,,,HE BC MH HE H MH HE ⊥=⊂ BC ⊥MEH ME ⊂MEH BC ME ⊥MEH ∠M BC D --2,3AM MD AB BD CD ====1221,333MH AB HE DN =====Rt MHE △ME ===cos HE MEH ME ∠===MEH ∠=M BC D --。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案
一. 填空题1. 若=-n (2,1)是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2. 直角坐标平面xOy 中，若定点A (1,2)与动点P x y (,)满足⋅=OP OA 4，则点P 的轨迹方 程是3. 已知圆--+=x x y 44022的圆心是点P ，则点P 到直线--=x y 10的距离是4. 若向量a ，b 满足=a ||1，=b ||2，且a 与b 的夹角为π3，则+=a b ||5. 三阶行列式---k11235442第2行第1列元素的代数余子式为-10，则=k6. 点P (3,4)关于直线-=x y 1的对称点的坐标是7. 己知两点A (3,4)，-B (1,5)，直线l ：=-y kx 1与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围8. 已知点-A (10,2)，B (5,7)，若在x 轴上存在一点P ，使-PA PB ||||最小，则点P 的坐 标为9. 若圆（+=>x y R R 0)222和曲线+=x y 341||||恰有六个公共点，则R 的值是 10. 给出以下关于线性方程组解的个数的命题①⎩+=⎨⎧+=a x b y c a x b y c 222111；②⎩++=⎪⎨++=⎪⎧++=a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d 333322221111；③⎩++=⎨⎧++=a x b y c z d a x b y c z d 22221111；④⎩+=⎪⎨+=⎪⎧+=a x b y c a x b y c a x b y c 333222111. （1）方程组①可能有无穷多组解；（2）方程组②可能有且只有两组不同的解；（3）方程组③可能有且只有唯一一组解；（4）方程组④可能有且只有唯一一组解. 其中真命题的序号为11. 如图，边长为4的正方形ABCD 中，半径为1的动圆Q 的圆心Q 在边CD 和DA 上移动（包含端点A ，C ，D ），P 是圆Q 上及其内部动点，设R =+∈BP mBC nBA m n (,)，则+m n 的取值范围是12. 若实数x 1、x 2、y 1、y 2，满足+=x y 11122，+=x y 12222，+=x x y y 11212，则上海交大附中高二上学期期中数学试卷及答案1122的最大值为二. 选择题13. 下列等式中不恒成立的是（ ）A. a b b a ⋅=⋅B. ()a b a b λλ⋅=⋅C. 222()a b a b ⋅=⋅D. 22||||()()a b a b a b -=+⋅-14. 方程223820x xy y -+=所表示的曲线的对称性是（ ）A. 关于x 轴对称B. 关于y 轴对称C. 关于y x =轴对称D. 关于原点对称15. 己知111(,)P a b 与222(,)P a b 是直线1y kx =+（k 为常数）上两个不同的点，则关于x 和y 的方程组112211a xb y a x b y +=⎧⎨+=⎩的解的情况是（ ）A. 无论k ，1P ，2P 如何，总是无解B. 无论k ，1P ，2P 如何，总有唯一解C. 存在k ，1P ，2P ，使之恰有两解D. 存在k ，1P ，2P 使之有无穷多解16. 如图，在同一平面内，点P 位于两平行直线1l 、2l 同侧，则P 到1l 、2l 的距离分别为1、3，点M ，N 分别在1l 、2l 上，||8PM PN +=，则PM PN ⋅的最大值为（ ）A. 15B. 12C. 10D. 9三. 解答题17. 已知直线l :(2)()0a b x a b y a b ++++-=及点(3,4)P .（1）证明：直线l 过某定点，并求该定点的坐标；（2）当点P 到直线l 的距离最大时，求直线l 的方程.18. 已知(sin ,1)a θ=，(1,cos )b θ=，[,]44ππθ∈-. （1）求2||a b +的最大值；（2）设与的夹角为ϕ，求ϕ的取值范围.19. 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义122()||a b a a b b ⋅=-⋅.（1）若(1,2)a =，(1,1)b =-，求1a ； （2）设(1,2)b =，证明：若位置向量a 的终点在直线3450x y ++=上，则位置向量1a 的终点轨迹是一条直线，并求此直线的方程.20. 已知两个定点(0,4)A ，(0,1)B ， 动点P 满足||2||PA PB =，设动点P 的轨迹为曲线E ，直线l ：4y kx =-.（1）求曲线E 的轨迹方程；（2）若l 与曲线E 交于不同的C 、D 两点，且120COD ∠=︒ (O 为坐标原点)，求直线l 的斜率；（3）若1k =，Q 是直线l 上的动点，过Q 作曲线E 的两条切线OM 、ON ，切点为M 、N ，探究：直线MN 是否过定点，若存在定点请写出坐标，若不存在则说明理由.21. 在平面直角坐标系xOy 中，已如(1,1)A --，(2,1)B -，(,)C m n 为三个不同的定点，以 原点O 为圆心的圆与线段AB ，AC ，BC 都相切.（1）求圆O 的方程及m 、n 的值；（2）若直线l :()y x t t =-+∈R 与圆O 相交于M 、N 两点，且12OM ON ⋅=-，求t 的值； （3）在直线AO 上是否存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有||||PA PQ λ= （λ为常数）？若存在，求出点Q 的坐标及λ的值，若不存在，请说明理由.参考答案一. 填空题1. arctan 22. 24x y +=3. 24.5. 14-6. (5,2)7. [,arctan 6]4ππ- 8. (12,0)9. 3 10. （1）（4） 11. [1 12. 2二. 选择题 13. C 14. D 15. B 16. A三. 解答题17.（1）证明略，(2,3)-；（2）570x y ++=.18.（1）3+；（2）]2π. 19.（1）(2,1)a =；（2）证明略.20.（1）224x y +=；（2）（3）(1,1)-.21.（1）221x y +=，1m =-，3n =；（2）2t =±；（3）11(,)22Q --，λ=。
高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)
高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若（4）“若，则，则有实数解”的逆否命题；”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．为的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1B．16C．8D．4）10．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．114．已知的三边长构成公差为 2 的等差数列，且最大角的正弦值为 ，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n }的前 n 项和为 S n ，a 1＝1，当 n≥2时，a n ＋2S n － ＝n ，则 S 2017的值____ ___16．已知变量满足约束条件 若目标函数 的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共 6 题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
2023-2024学年上海华二附中高二上学期期中数学试卷及答案(2023.11)
1华二附中2023学年第一学期高二年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第16~题每题4分,第7-12题每题5分）1．直线3310x y +-=的倾斜角为______．2．抛物线2y x =的准线方程为______．3．已知12,F F 是椭圆22:132x y C +=的两个焦点，椭圆C 上的两个动点P 、Q 与1F 满足三点共线，则2PQF △的周长是______．4．平行直线210x y +-=与2430x y ++=的距离为______．5．已知双曲线2221(0)4x y m m -=>的一条渐近线方程是520x y -=，则m =______．6．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，点12,F F 是两个焦点，若椭圆上存在点P ，使得12120F PF ∠=︒，则该椭圆的离心率的取值范围是______．7．斜率为1的直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，若l 与圆22(5)8x y -+=相切，则P 等于______．8．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线:2l y x =上在第一象限内的点，(5,0)B ，以AB为直径的圆C 与直线l 交于另一点D ．若0AB CD ⋅=，则点A 的横坐标为______．9．如图，发电厂的冷却塔外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在直线旋转所得到的曲面，该冷却塔总高度为170米，水平方向上塔身最窄处的半径为20米，最高处塔口半径25米，塔底部塔口半径为202米，则该双曲线的离心率为______．210．已知,x y 为实数，代数式22221(2)9(3)y x x y +-++-++的最小值是______．11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．二、选择题（共4题，共18分，13-14题每题4分，15-16每题5分）13．椭圆22152x y +=的长轴长为（）A ．25B ．5C ．4D ．214．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若,A B 两点的横坐标之和为3，则||AB =（）A ．5B ．143C ．133D ．415．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆D （后轮）的半径均为3,ABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A ．43B ．12C ．123D ．3316．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④三、解答题（共5题，共78分）17．（14分）直线1:2110l x y +-=与直线2:2100l x y +-=相交于点P ，直线l 经过点P （1）若直线2l l ⊥，求直线l 的方程：（2）若直线l 在坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程．18．（14分）已知抛物线2:2C y px =（p 为常数，0p >）的焦点F 与椭圆22195y x +=的右焦点重合，过点F 的直线与抛物线交于,A B 两点．（1）求抛物线C 的标准方程；（2）若直线AB 的斜率为1，求||AB ．419．（14分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区，已知tan 3,6MON OA ∠=-=（百米），Q 到直线ON ，ON 的距离分别为3（百米）（百米）．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟，表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r=（百米）(09,01)t a ≤<<<，当喷泉表演开始时，一观光车s （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA（百米/分钟）的速度开往休息区A ．问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B=是双曲线上的两点，AB的中点(1,2)M．（1）求双曲线C的方程：（2）求直线AB方程：（3）如果线段AB的垂直平分线与双曲线交于C、D两点，问A、B、C、D四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．5621．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由．7参考答案一、填空题1.120;2.14x =-;3.;4.52; 5.5;6.,12⎫⎪⎪⎣⎭;7.218或;8.3;；11．如图，从双曲线22135x y -=的左焦点F 引圆223x y +=的切线FP 交双曲线右支于点,P T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -=______．-【解析】设双曲线的右焦点为1F ,因为O 为1FF 中点,M 为PF 中点,所以MO 为三角形1PFF 的中位线,11,2MO PF =又1122MT PT PM PF FT PF PF FT=-=--=-所以()112MO MT PF PF FT FT a-=-+=-a FT ===又所以MO MT -=.-.12．已知,P Q 分别是圆22:(4)8C x y -+=与圆22:(4)5D x y +-=上的点，O 是坐标原点，则2||||2PQ PO +的最小值为______．【解析】由()2248x y -+=得22880x x y -++=,于是22222828,x x y x y -++=+从而()22221442x x y x y -++=+,=8等于点P 到点()2,0M 的距离.所以PQ PQ PM MQ =+ ,而min ||MQ =-=所以PQ +二、选择题13.A14.A 15.A 16.C15．骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆A （前轮），圆DABE △，,BEC ECD △△均是边长为4的等边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中，AB BP ⋅的最大值为（）A．B ．12C．D ．3【答案】A【解析】以D 为坐标原点，AD 为x 轴，过D 做AD 的垂线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则()((8,0,,A B C ---.圆D 的方程为223x y +=，可设)Pαα，所以(,AB BP αα==+- .故126sin 126AB BP πααα⎛⎫⋅=++-=+≤ ⎪⎝⎭故选:A.16．把方程||||194x x y y +=-表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的是（）9①()f x 在R 上单调递减；②()y f x =的图像关于原点对称；③函数()3()2g x f x x =+不存在零点；④()y f x =的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为2；A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④【答案】C【解析】由方程方程1x x y y +=-,当0x ,0y 时不成立;当0,0x y ><时,22149y x -=；当0,0x y <>时,22194x y -=;当0,0x y 时,22194x y +=;如下图示:由图判断函数在R 上单调递减,故(1)正确,(2)错误;当()320f x x +=,即()23f x x =-,函数()()32g x f x x =+的零点,就是函数()y f x =和23y x =-的交点,而23y x =-是曲线221,049y x x -=>,0y <和221,0,094x y x y -=<>的渐近线,所以没有交点.由图知,23y x =-和221,094x y x += ,0y 没有交点,所以函数()()32g x f x x =+不存在零点,故(3)正确;由图,()y f x =上的点到原点距离的最小值点应在0,0x y 的图象上,即满足22194x y +=,设(),P x y,PO ===,当0x =时取最小值2,故(4)正确.故选:C .三．解答题1017.（1）250x y -+=（2）43070x y x y -=+-=或18.（1）28y x =（2）16AB =19.（1）AB =(2)不会，理由略20．（18分）设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为，离心率,e A B =是双曲线上的两点，AB 的中点(1,2)M ．（1）求双曲线C 的方程：（2）求直线AB 方程：（3）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点，问A 、B 、C 、D 四点是否共圆?若共圆求之，若不共圆给予充分理由．【答案】（1）2212y x -=（2）1y x =+（3）略【解析】(1)依题意得c ce a ⎧=⎪⎨==⎪⎩,解得1a =.所以222312b c a =-=-=,故双曲线C 的方程为2212y x -=.(2)设()()1122,,,A x y B x y ,则有221122221212y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩.两式相减得:()()()()1212121212x x x x y y y y -+=-+,由题意得121212,2,4x x x x y y ≠+=+=,所以()1212121221x x y y x x y y +-==-+,即 1.AB k =故直线AB 的方程为1y x =+.11(3)假设A B C D 、、、四点共圆,且圆心为P .AB 为圆P 的弦,所以圆心P 在AB 垂直平分线CD 上,又CD 为圆P 的弦且垂直平分AB ,圆心P 为CD 中点M .下面只需证CD 的中点M 满足MA MB MC MD ===即可.由22112y x y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩,得:()1,0A -,()3,4B .由(1)得直线CD 方程:3y x =-+,由22312y x y x =-+⎧⎪⎨-=⎪⎩得:(3C -+(63D ---+,()3,6CD M ∴-⋅的中点2,MA MB MC MD MA MB MC MD ======∴=== 即A B C D 、、、四点在以点()3,6M -为圆心,为半径的圆上.21．（18分）如图，D 为圆22:1O x y +=上一动点，过点D 分别作x 轴y 轴的垂线，垂足分别为,A B ，连接BA 并延长至点W ，使得||1WA =，点W 的轨迹记为曲线C ．（1）求曲线C 的方程：（2）若过点(2,0)K -的两条直线12,l l 分别交曲线C 于,M N 两点，且12l l ⊥，求证：直线MN 过定点：（3）若曲线C 交y 轴正半轴于点S ，直线0x x =与曲线C 交于不同的两点,G H ，直线SH ，SG 分别交x 轴于,P Q 两点．请探究：y 轴上是否存在点R ，使得2ORP ORQ π∠+∠=若存在，求出点R 坐标；若不存在，请说明理由．12【答案】（1）2214x y +=（2）见解析（3）存在，理由见解析【解析】(1)设()()00,,,W x y D x y ,则()()00,0,0,A x B y ,由题意知1AB =,所以WA AB = ,得()()000,,x x y x y --=-,所以00,2,x x y y ⎧=⎪⎨⎪=-⎩因为22001x y +=,得2214x y +=,故曲线C 的方程为2214x y +=.(2)由题意可知,直线12,l l 不平行坐标轴,则可设1l 的方程为:2x my =-,此时直线2l 的方程为12x y m=--.由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得:()22440m y my +-=,解得:244m y m =+或0y =(舍去),所以222428244m m x m m m -=⋅-=++,所以222284,44m m M m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭,同理可得:222284,4141m m N m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭.①当1m ≠±时,直线MN 的斜率存在,13()222224222244455556441,:,2828161644445441MN MN m m m m m m m m k l y x m m m m m m m ++⎛⎫++====+ ⎪-----⎝⎭-++所以直线MN 过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭.②当1m =±时,直线MN 斜率不存在,此时直线MN 方程为:65x =-,也过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭,综上所述:直线MN 过定点6,05⎛⎫-⎪⎝⎭.(3)存在点。
上海交大附中2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
上海交通大学附属中学2023-2024学年度第二学期高二数学期中考试卷（本试卷共4页，满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）一､填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设函数()()sin 12f x x =+，则()f x ′=__________.2.4对双胞胎站成一排，要求每对双胞胎都相邻，则不同的站法种数是__________.（结果用数字作答）3.设事件A B ､是互斥事件，且()()14P A P B ==，则()P A B ∪=__________. 4.已知函数()2ln f x ax x =+的导函数()f x ′满足()13f ′=，则a 的值为__________. 5.若从正方体的6个面的12条面对角线中，随机选取两条，则它们成异面直线的概率是__________. 6.为了弘扬我国古代的“六艺文化”，某学校欲利用每周的社团活动课开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门课程，每周开设一门，每门课都要开，连续开设六周，若课程“射”不排在第二周，课程“乐”不排在第五周，则所有可能的排法种数为__________.7.一家药物公司试验一种新药，在500个病人中试验，其中307人有明显疗效，120人有疗效但疗效一般，剩余的人无疗效，则没有明显疗效的频率是__________.8.某篮球运动员的罚球命中率为80%，假设每次罚球的结果是独立的，则他在3次罚球中至少进1球的概率是__________.9.设()f x 是定义在R 上的偶函数，()f x ′为其导函数，()20240f =，当0x >时，有()()xf x f x ′>恒成立，则不等式()0xf x >的解集为__________.10.小张一次买了三电冰糖葫芦，其中一串有两颗冰糖葫芦，一串有三颗冰糖葫芦，一串有五颗冰糖葫芦.若小张每次随机从其中一串中吃一颗，每一电只能从上往下吃，那么不同的吃完的顺序有__________种.（结果用数字作答）11.为庆祝70周年校庆，学校开设A B C ､､三门校史课程培训，现有甲､乙､丙､丁､戊､已六位同学题名参加学习，每位同学仅报一门，每门课至少有一位同学报名，则不同报名方法有__________种.12.设点P 在曲线()Γ:ln 22x y x =+上，点Q 在直线:1l y x =−上，平面上一点M 满足13QM MP = ，则M 到坐标原点O 的距离的最小值为__________.二､题题题（本大题共有4题，第13､14题每题4分，第15､16题每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑.13.抛一枚硬币的试验中，下列对“伯努利大数定律”的理解正确的是（ ）A.大量的试验中，出现正面的频率为0.5.B.不管试验多少次，出现正面的概率始终为0.5C.试验次数增大，出现正面的经验概率为0.5D.试验次数每增加一次，下一次出现正面的频率一定比它前一次更接近于0.514.某城市新修建的一条道路上有12个路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的4盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有（ ）A.47CB.48CC.49CD.48P15.抛一枚骰子，记事件A 表示事件“出现奇数点”，事件B 表示事件“出现4点或5点”，事件C 表示事件“点数不超过3”，事件D 表示事件“点数大于4”，有下列四个结论：①事件A 与B 是独立事件；②事件B 与C 是互斥事件；③事件C 与D 是对立事件；③D A B ⊆∩；其中正确的结论是（ ）A.①②B.②③C.③④D.①④16.对于函数()y f x =和()y g x =，及区间D ，若存在实数k b ､，使得()()f x kx b g x ≥+≥对任意x D ∈恒成立，则称()y f x =在区间D 上“优于”()y g x =.有以下两个结论：①()2log f x x =在区间[]1,2D =上优于()2(1)g x x =−； ②()32f x x =+在区间[]1,1D −上优于()e x g x =.那么（ ）A.①､②均正确B.①正确，②错误C.①错误，②正确D.①､②均错误三､解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，D 是AC 的中点.（1）证明：1AB ∥平面1BC D .（2）若1,90,45AB BC ABC B AB ∠∠===，求二面角11B C D B −−的余弦值.18.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数()()22ln f x a x x ax =−+−. （1）当3a =时，求函数()y f x =的单调区间；（2）若函数()y f x =在区间[]1,e 上恰有一个零点，求a 的取值范围.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为p ，乙同学答对每题的概率均为()q p q >，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同题答题的概率为12，恰有一人答对的概率为512. （1）求p 和q 的值； （2）设事件i A =“甲同学答对了i 道题”，事件i B =“乙同学答对了i 道题”，其中0,1,2i =，试求甲答对的题数比乙多的概率.20.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.设12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右焦点，P 是椭圆C 短轴的一个顶点，已知12PF F1213F PF ∠=.如图，,,M NG 是椭圆上不重合的三个点，原点O 是MNG 的重心.（1）求椭圆C 的方程；（2）求点M 到直线NG 的距离的最大值；（3）判断MNG 的面积是否为定值，并说明理由.21.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知函数()e 2e x x f x a −=++.（1）若直线3y x =+是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值；（2）若()21f x x x ≥−+对任意实数x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若12e e 3x x +=，且()()()12123f x f x x x k ⋅≥++，求实数k 的最大值.。
2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海交通大学附属中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．下列命题：①有两个面平行，其他各面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；②有两侧面与底面垂直的棱柱是直棱柱；③过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形不可能是矩形；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱．其中正确命题的个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】①②③④均可举出反例.【详解】①如图1，满足有两个面平行，其他各面都是平行四边形，显然不是棱柱，故①错误；ABB A与底面垂直，但不是直棱柱，②错误；②如图2，满足两侧面11③如图3，四边形11ACC A 为矩形，即过斜棱柱的侧棱作棱柱的截面，所得图形可能是矩形，③错误；④所有侧面都是全等的矩形的四棱柱不一定是正四棱柱，因为两底面不一定是正方形，④错误． 故选：A2．已知z 均为复数，则下列命题不正确的是（ ） A ．若z z =则z 为实数B ．若20z <，则z 为纯虚数C ．若|1||1|z z +=-，则z 为纯虚数D ．若31z =，则2z z =【答案】C【分析】设复数(,)z a bi a b R =+∈，利用复数的基本运算，以及复数方程的运算，即可判定，得到答案.【详解】由题意，设复数(,)z a bi a b R =+∈，对于A 中，由z z =，即a bi a bi +=-，解得0b =，所以复数z 为实数，所以A 正确；对于B 中，复数2222z a b abi =-+，因为20z <，可得00a b =≠，，所以复数z 为纯虚数，所以是正确的；对于C 中，当0z =时，满足|1||1|z z +=-，所以复数z 不一定为纯虚数，所以不正确； 对于D 中，由31z =，可得310z -=，即2(1)(1)0z z z -++=，解得1z =或132z =-，所以2z z =，所以是正确的. 故选C.【点睛】本题主要考查了复数的代数形式的乘除运算，以及复数的基本概念和复数方程的应用，其中解答中熟练利用复数的代数形式的四则运算，以及熟记复数的基本概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.3．如果函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ，则称()f x 为“Ω函数”.已知函数25,01,()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩是“Ω函数”，则m 的取值范围是（ ）A ．[4,9]B ．[5,9]C ．[4,)+∞D ．[5,)+∞【答案】B【分析】根据函数的新定义得到()()min f x f a =且()()max f x f b =，结合函数()f x 和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数()f x 的定义域为[,]a b ，且值域为[(),()]f a f b ， 即函数()f x 的最小值()()min f x f a =，最大值为()()max f x f b =，又由函数25,01()4,14x x f x x x m x ≤≤⎧=⎨-+<≤⎩，当01x ≤≤时，可得055x ≤≤，要是函数()f x 满足新定义，则满足()520(4)5f f ⎧≥≥⎨≥⎩，即94{5m m ≥≥≥，所以59m ≤≤，所以实数m 的取值范围是[5,9]. 故选：B.4．一个棱长为1的正方体容器ABCD EFGH -，在八个顶点处分别有一个出口（出口大小忽略不计）.现从A 点放入一个粒子.粒子沿着直线运动，碰到容器壁会进行反射（遵循反射定律），遇到出口就会飞出容器.已知粒子在飞出容器前与容器壁产生了三次碰撞（粒子未与棱产生碰撞），则粒子在容器内的飞行距离有（ ）种不同的值 A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】利用正方体的对称性，根据粒子碰撞次数可分别从{,,}C H F 、{,,}B E D 射出，进而判断各情况粒子在容器内的飞行距离，即可得结果. 【详解】根据正方体的对称性，如下图示，粒子从A 射出在EG 、AC 各碰撞2次、1次后，从C 点射出；粒子从A 射出在BG 、AH 各碰撞2次、1次后，从H 点射出； 粒子从A 射出在DG 、AF 各碰撞2次、1次后，从F 点射出； 以上三种情况粒子在容器内的飞行距离相同为32；粒子从A 沿平面ABCD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DC （EF ）、AB 各碰撞2次、1次后，从B 点射出；粒子从A 沿平面AEHD （平面ABFE ）射出在平面边缘靠近DH （BF ）、AE 各碰撞2次、1次后，从E 点射出；粒子从A 沿平面ABCD （平面AEHD ）射出在平面边缘靠近BC （EH ）、AD 各碰撞2次、1次后，从D 点射出；17. 综上，粒子在容器内的飞行距离共有2种不同值. 故选：B二、填空题5．已知球的表面积为π，则其体积为______. 【答案】6π【分析】由球的表面积公式与体积公式求解 【详解】由题意得24r ππ=，12r =，则3436V r ππ== 故答案为：6π6．若圆锥高为3，且母线与底面所成角为4arccos 5，则该圆锥的侧面积为______.【答案】20π【分析】由题意求出底面半径，进而求母线长、底面周长，应用扇形面积公式求圆锥侧面积.【详解】若底面半径为r45=，可得4r =，所以，底面周长为2π8πr =5，故圆锥侧面积为18π520π2⨯⨯=.故答案为：20π7．若{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则符合条件的不同有序集合对(),A B 共有______对. 【答案】4【分析】根据给定条件，列举出集合A 与B 的可能结果即可作答.【详解】因{},A B a b ⋂=，{},,,A B a b c d ⋃=，则有：{,},{,,,}A a b B a b c d ==； {,,},{,,}A a b c B a b d ==；{,,},{,,}A a b d B a b c ==；{,,,},{,}A a b c d B a b ==，所以符合条件的不同有序集合对(),A B 共有4对. 故答案为：48．已知A 、B 、C 是ABC 的内角，若()()1cos i sin cos i sin 2A A B B +⋅+⋅=，其中i 为虚数单位，则C 等于______. 【答案】2π3##120° 【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、余弦公式计算可得. 【详解】由()()cos i sin cos i sin cos cos sin sin i(sin cos cos sin )A AB B A B A B A B A B +⋅+⋅=-++cos()isin()A B A B =+++12=+，所以()1cos 2A B +=，()sin A B +=，因为()0,πA B +∈，所以π3A B += 所以()2ππ3C A B =-+=. 故答案为：2π39．正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有______种不同选法 【答案】12【分析】正方体的侧棱出发找到与之共面的2个顶点，确定共面的情况数，注意重复计数的情况.【详解】从任意一个侧棱出发，其它6个顶点中任选2个点都有3种共面的情况， 所以，所有共面的情况有2438=⨯种，而每条棱均重复计数一次， 综上，正方体的8个顶点中，选取4个共面的顶点，有24122=种. 故答案为：1210．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，一质点自A 点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 的最短路线的长为___________. 【答案】10【分析】将三棱柱的侧面展开两次，结合矩形的对角线长，进而求得最短距离，得到答案. 【详解】将正三棱柱111ABC A B C 的侧面展开两次，再拼接到一起， 其侧面展开图，如图所示的矩形，连接1AA ，因为正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为1，高为8，可得矩形的底边长为6，高为8， 所以2216810AA =+=. 故答案为：10.11．平行六面体1111ABCD A B C D -，11BAD BAA A AD θ∠=∠=∠=，11AB AD AA ===，若12AC =，则cos θ=______.【答案】16【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有11AC AD AA AB =++，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求cos θ.【详解】如上图知：11AC AD AA AB =++，所以22221111222AC AD AA AB AD AA AD AB AD AA =+++⋅+⋅+⋅36cos 4θ=+=， 故1cos 6θ=. 故答案为：1612．如图，在三棱柱111A B C ABC -中，D ，E ，F 分别为AB ，AC ，1AA 的中点，设三棱锥F ADE -体积为1V ，三棱柱111A B C ABC -的体积为2V ，则12:V V =_______【答案】124【详解】试题分析：因为D ，E ，分别是AB ，AC 的中点，所以S △ADE ：S △ABC=1：4， 又F 是AA 1的中点，所以A 1到底面的距离H 为F 到底面距离h 的2倍． 即三棱柱A 1B 1C 1-ABC 的高是三棱锥F-ADE 高的2倍．所以V 1：V 2=13S △ADE•h/S △ABC•H ＝124=1：24【解析】棱柱、棱锥、棱台的体积13．若对于定义在R 上的函数()y f x =，当且仅当存在有限个非零自变量x ，使得()()f x f x -=，则称()y f x =为类偶函数，若函数()324y x a x a =+--为类偶函数，则实数a 的取值范围为______.【答案】()2,2-【分析】根据已知条件及类偶函数的定义，将问题转化为方程有解问题，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由()()f x f x -=，得()()323244x a x a x a x a ----=+--，即()3240x a x +-=， 根据类偶函数的定义，可知方程()3240x a x +-=存在有限个非零的实数解， 故()224a x -=-存在有限个非零的实数解，则240a -<，解得22a -<<，所以实数a 的取值范围为()2,2-. 故答案为：()2,2-.14．如图，函数()()3sin 0,02πy x ωϕωϕ=+>≤<图像与y 轴交于点30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，与x 轴交于点2π,03⎛⎫⎪⎝⎭，则ωϕ+=______.【答案】2π23+【分析】由题意得2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，结合图象有32π1432T T >>求ω范围，即可确定参数值.【详解】由题设3322πsin()03ϕωϕ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩且0,02πωϕ>≤<，所以2π3ϕ=或π3ϕ=，且2ππ3k ωϕ+=，Z k ∈，当2π3ϕ=时，2π2ππ33k ω=-，Z k ∈，故312kω=-，Z k ∈， 当π3ϕ=时，2πππ33k ω=-，Z k ∈，故312k ω-=，Z k ∈，由图知：33π2π1π4232T T ωω=>>=，可得3924ω<<，综上，2k =时32122ω⨯=-=，此时2π3ϕ=，故ωϕ+=2π23+. 故答案为：2π23+15．用一个平面将圆柱切割成如图的两部分.将下半部分几何体的侧面展开，平面与圆柱侧面所形成的交线在侧面展开图中对应的函数表达式为 1.52cos y x =+.则平面与圆柱底面所形成的二面角的正弦值是______.【答案】63【分析】根据已知画出 1.52cos y x =+在[π,π]-上的图象，直观想象侧面展开图与几何体的关系确定截面最高、低高度差及底面半径，即可求二面角正弦值.【详解】由 1.52y x =在一个周期[π,π]-上图象如上图，其最大值与最小值相差2222 底面周长为2π，即底面半径为1，故直径为2， 22226(22)2=+. 616．定义在R 上的函数()y f x =、()y g x =，且满足()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意12,R x x ∈恒成立，请判断以下命题：（1）若()y f x =是周期函数，则函数()y g x =也是周期函数； （2）若()y f x =是偶函数，则函数()y g x =也是偶函数；（3）若()y g x =是R 上的严格增函数，则函数()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）若()y f x =是R 上的增函数，则函数()()y f x g x =+与函数()()y f x g x =-也都是R 上的增函数.其中真命题的序号是______. 【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）令1x x T =+，2x x =代入条件即可判断；（2）令1x x =-，2x x =代入条件即可判断；（3）（4）令1x >2x ，根据函数的单调性定义判断正误即可.【详解】（1）若()y f x =是周期为T 的函数，则()()f x f x T =+， 令1x x T =+，2x x =，故|()()|0f x T f x +-=|()()|g x T g x ≥+-， 所以|()()|0g x T g x +-=，即()()g x T g x +=； （2）若()y f x =是偶函数，则()()f x f x -=，令1x x =-，2x x =，故|()()|0f x f x --=|()()|g x g x ≥--， 所以|()()|0g x g x --=，即()()g x g x -=；（3）若()y g x =是R 上为增函数，令1x >2x ，则1212()()()()0f x f x g x g x -≥->， 所以1212()()()()0f x f x g x g x -≥->，或1221()()()()0f x f x g x g x -≤-<，即12()()f x f x >或12()()f x f x <，故()y f x =是R 上的严格增函数或者严格减函数； （4）()y f x =是R 上的增函数，令1x >2x ，则1212()()|()()|f x f x g x g x -≥-， 所以121221()()()()()()f x f x g x g x f x f x -≥-≥-，即1122()()()()f x g x f x g x -≥-，故()()y f x g x =-为增函数或为常数函数； 1122()()()()f x g x f x g x +≥+，故()()y f x g x =+为增函数或为常数函数；综上，（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）三、解答题17．已知正三棱柱111ABC A B C 的底面边长为3cm ，高为3cm ，M 、N 、P 分别是1AA 、AC 、11B C 的中点.(1)用“斜二测”画法，作出此正三棱柱的直观图（严格按照直尺刻度）； (2)在（1）中作出过M 、N 、P 三点的正三棱柱的截面（保留作图痕迹）. 【答案】(1)作图见解析； (2)作图见解析.【分析】（1）利用斜二测法画出棱柱底面111A B C 的直观图，再根据斜二测画图的原则确定,,A B C 三点，即可得直观图；（2）应用平面的基本性质画出截面即可.【详解】（1）①平面直角坐标系中作边长为3cm 的等边三角形111A B C ，原点O 为11A B 中点，如下图，②在线段1OC 上找到中点Q ，过O 作与x 轴成45°的y '轴，并在y '轴找点1C 使1OC OQ =，此时直观图底面111A B C 确定；③过111,,A B C 向上作与x 轴垂直的射线，并在各射线上找一点,,A B C 使1113A A B B C C ===cm ，连接,,AB BC BA ，即得正三棱柱的直观图.（2）①过MN 作直线分别交射线111,C A C C 于,E D ，连接,EP DP ，分别交11,A B BC 于,G F ，②连接,MG NF ，则截面FNMGP 即为所求.18．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD ⊥底面ABCD ，1PD DC ==，2AD =.点M 为BC 的中点.(1)证明：平面PAM ⊥平面PBD ； (2)求点B 到平面PAM 的距离. 【答案】(1)证明见解析； 7.【分析】（1）由线面垂直性质得PD AM ⊥，根据已知可证BD AM ⊥，再应用线面、面面垂直的判定证结论；（2）AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由面面垂直的性质有BH ⊥面P AM ，即BH 的长为B 到面P AM 的距离，等面积法求长度即可. 【详解】（1）因为PD ⊥底面ABCD ，AM ⊂平面ABCD ，所以PD AM ⊥.底面为矩形，且1PD DC ==，2AD =，则tan 2cot AD ABABD BAM AB BM∠====∠， 所以Rt △ABD Rt △BMA ，易知BD AM ⊥.又PD BD D ⋂=，,PD BD ⊂面PBD ，所以AM ⊥平面PBD ，而AM ⊂平面PAM ， 所以平面PAM ⊥平面PBD .（2）设AM 与BD 交于点E ，连接PE ，过点B 作BH 垂直于PE 交其于点H ，由①知，面PAM ⊥面PBD ，面PAM ⋂面PBD PE =，BH PE ⊥且BH ⊂面PBD ， 因此BH ⊥面P AM ，线段BH 的长为点B 到平面P AM 的距离.由1122PEB S BE PD PE BH =⋅⋅=⋅⋅△，解得7BH =因此点B 到平面P AM 719．已知数列{}n a 和{}n b 有11a =-，()1122n n n a a n a --=≥-，而数列{}n b 的前n 项和2322n n n B =+.(1)证明数列{}n c 为等比数列，其中1nn n a c a =-；(2)如果n n n d b c =⋅，试证明数列{}n d 的单调性. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析.【分析】（1）根据给定的递推关系，结合等比数列定义计算判断作答.（2）由（1）求出数列{}n c 的通项，再求出数列{}n b 的通项，利用作差法比较1,n n d d +大小作答. 【详解】（1）数列{}n a 中，当2n ≥时，111222122n n n n a a a a ----+==-+--，因11a =-，有210a -<<，3(1,0)a ∈-，由此可得(1,0),2n a n ∈-≥，而1nn n a c a =-，于是得111111121111222112n nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a c a a a a a a a a a c a a a a a a a +++++-----==⋅=⋅=⋅=-----，而111112a c a ==-， 所以数列{}n c 为以12为首项，以12为公比的等比数列. （2）由（1）知，1111()()222n nn c -=⋅=，当2n ≥时，2213(1)3(1)12222n n n n n n n b B B n ---=-+--=+=，112b B ==满足上式，因此1n b n =+，则12n n n d +=，有111210222n n n n n n n n d d +++++--=-=<，即1n n d d +<，所以数列{}n d 为严格递减数列.20．已知定义域为()0,∞+的函数()y f x =满足：①对()0,x ∈+∞，恒有()()22f x f x =；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-. (1)求18f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；(2)求出当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈时的函数解析式；(3)求出方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和. 【答案】(1)0；(2)()12n f x x +=-，(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈；(3)5123.【分析】（1）根据给定的函数关系，依次计算即可作答. （2）根据给定的关系，分1x >和01x <≤求解作答. （3）由（2）求出方程()12f x x =在(12,2n n +⎤⎦上的根，再探讨n 的取值，利用无穷等比数列求和公式计算作答.【详解】（1）依题意，()0,x ∈+∞，有()()122f x f x =，当(]1,2x ∈时，()2f x x =-， 2341111111()()()(1)(2)08242222f f f f f =====. （2）当1x >时，(12,2k k x +⎤∈⎦，N k ∈，(]1,22kx∈， 则()2122222222222k k k k kx x x x f x f f f x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⋅⋅⋅==-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当1x ≤时，(12,2k k x --+⎤∈⎦，N k ∈，1k ≥，(]21,2kx ∈，则()()()()()212112222222222k k k k k f x f x f x f x x x ---+===⋅⋅⋅==-=-， 综上，对任意(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()12n f x x +=-. （3）由（2）知，当(12,2n n x +⎤∈⎦，Z n ∈，()1122n f x x x +=-=，解得(1124222,233n n n n x ++⎤=⋅=⋅∈⎦， 因此在每一区间(12,2n n +⎤⎦，Z n ∈段上方程都有唯一解，由421003n⋅≤解得2log 757n ≤<，于是得6n ≤， 从而方程所有不大于100的解从大到小分别为：651244442,2,,2,2,3333--⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅，形成一个以12为公比的无穷等比数列，则其所有项的和为69422512313312⋅==-， 所以方程()12f x x =在(]0,100x ∈中所有解的和5123.【点睛】关键点睛：涉及由抽象的函数关系及给定区间上的解析式求解析式，在所求解析式的区间上任取变量，再变换到已知解析式的区间上是解题的关键.21．如果实数[],,02πx y ∈，且满足()cos cos cos x y x y +=+，则称x 、y 为“余弦相关”的. (1)若π2x =，请求出所有与之“余弦相关”的实数y ； (2)若两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：3ππx y ≤+≤；(3)若不相等的两数x 、y 为“余弦相关”的，求证：存在唯一的实数[]02,πz ∈，使得x 、z 为“余弦相关”的，y 、z 也为“余弦相关”的. 【答案】(1)34πy =或7π4；(2)证明见解析； (3)证明见解析.【分析】（1）将π2x =代入已知条件求得tan 1y =-，即可得实数y ；（2）先应用反证法证明πx y +≥，再根据定义证2πx -，2πy -也是余弦相关的，结合前一结论证3πx y +≤，即可；（3）先证存在性：记3πz x y =--，易得()cos cos x z y +=-、cos cos cos x z y +=-，即得x ，z 为“余弦相关”的，同理证y 、z 也为“余弦相关”的；再证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的，得到三角方程()cos cos cos t z t z +=+，应用三角恒等变换、正弦型函数的性质，将问题化为cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+=⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭在()0,2π内两个不同的解x 和y ，得到3πz x y =--即可.【详解】（1）将π2x =代入得2πcos cos y y ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故sin cos y y -=，故tan 1y =-，又[]2π0,y ∈，则34πy =或7π4.（2）已知[],,02πx y ∈满足()cos cos cos x y x y +=+. 先证πx y +≥：若πx y +<，由余弦函数单调性知：()cos cos x y x +≤， 从而()cos cos cos 0y x y x =+-≤，故π2y ≥，同理π2x ≥.相加得：πx y +≥与假设矛盾，故πx y +≥. 再证3πx y +≤：易知2πx -，[]2π0,2πy -∈，()()()()cos 2π2πcos cos cos cos 2πcos 2πx y x y x y x y -+-=+=+=-+-，故2πx -，2πy -也是余弦相关的.从而利用以上结论，有()()2π2ππx y -+-≥，即3πx y +≤. 综上，3ππx y ≤+≤.（3）证存在性：记3πz x y =--，由（2）知[]02,πz ∈，而()()3cos cos πcos x z y y +=-=-， 且()()cos cos cos cos 3πcos cos cos x z x x y x x y y +=+--=-+=-.从而()cos cos cos x z x z +=+，故x ，z 为“余弦相关”的，同理，y 、z 也为“余弦相关”的. 证唯一性：x ，y ，z 中任意两个数灯“余弦相关”的， 代入检验易知x ，y ，z 均不为0和π，故(),,0,2πx y z ∈. 注意到()cos cos cos x z x z +=+，()cos cos cos y z y z +=+，x y ≠ 固定z ，引入关于t 的三角方程()cos cos cos t z t z +=+.移项，和差化积，得2sin sin cos 22z z t z ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而cos sin 22sin 2z z t z ⎛⎫+= ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，其中()0,π2z ∈，x 和y 为该方程在()0,2π内两个不同的解.利用()sin 2z f t t ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在()0,2πt ∈内图象知，x 和y 关于函数在()0,2π内的一条对称轴对称.注意到(),2π0,3π222z z z t ⎛⎫+∈+⊂ ⎪⎝⎭，故对称轴可能π22zt =-或3π22z -或5π22z -. 从而πx y z +=-或3πz -或5πz -.由（2），[]π,3πx y +∈，而()0,2πz ∈，故ππz -<，5π3πz ->. 从而只能是3πx y z +=-，即3πz x y =--.【点睛】关键点点睛：第二问，根据新定义求证不等式关系，注意反证法的应用；第三问，记3πz x y =--并从存在性、唯一性两方面证明结论.。
上海市交大附中2018~2019学年度 高二下期中数学考试卷(图片版)
上海交通大学附属中学2018-2019学年度第二学期高二数学期中考试试卷（满分150分，120分钟完成.答案一律写在答题纸上）命题：刘亚丽审核：杨逸峰一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分）1、如果一条直线与两条平行直线都相交，那么这三条直线共可确定个平面．答案：12、【2017高考上海，4】已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于.【答案】9π【解析】设球的半径为R ，则：34363R ππ=，解得：3R =，该球的主视图是一个半径为3的圆，其面积为：29S R ππ==.3、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为a =．【答案】4【解析】236444a a a ⋅=⇒=⇒=4、【2017高考上海，7】如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系.若1DB 的坐标为()4,3,2，则1AC的坐标是.【答案】()4,3,2-【解析】将向量1AC的起点平移至点D ，则平移后的向量与向量1DB 关于平面11CDD C 对称，据此可得：()14,3,2AC =-.5、【2014上海,理6】若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.【答案】1arccos3.6、【2013上海文10】已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则l r＝______.【解析】由题知，tan63r l π==⇒l r =.7、已知ABC ∆三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为__________（写出所有可能值）答案：0，2，4。
8、正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动,则DC AP ⋅的取值范围是______________．【答案】【解析】试题分析：以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系．则、、、、．∴、．∵点在线段上运动，∴，且．，，故答案为．9、【2010上海理12，倒数第3题】如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于O ，剪去AOB ∆，将剩余部分沿OC 、OD 折叠，使OA 、OB 重合，则以A （B ）、C 、D 、O 为顶点的四面体的体积为________；【答案】3【解析】在折叠过程中OC OB ⊥，OD OA ⊥始终没有改变，所以最后形成的四面体()A B CDO -中，OA ⊥底面CDO ，故其体积21182(22)22323V =⨯⨯⨯=，故答案为：823.10、某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则34x y +的最大值为．【答案】55试题分析：由图可知，根据三视图得到三棱锥OABC 如图，OC=2，AC=y，BC=1，在OAC Rt ∆中，24y OA -=，2225y BC OA x -=+=，即522=+y x ，三角换元（或者称利用圆的参数方程）设5cos ,5sin x y θθ==，故3455cos()55x y θϕ+=+≤。
上海市交大附中2021-2022学年高二上学期10月月考数学试题 Word版含答案
上海交通高校附属中学2021—2022学年第一学期 高二数学月考--试卷一、填空题（共12题，前6题每题4分，后6题每题5分，满分54分）1、若向量→a ，→b 满足12=⋅→→b a ，且5=→b ，则→a 在→b 方向上的投影为2、设点())0,3(,6,1B A -，P 是直线AB 上一点，且→→=AB AP 31，则P 点的坐标为3、若点()11-，A 在直线l 上的射影为()63，B ，则直线l 上一般式方程为 4、已知向量()()2,5,1,1-=-=→→k b a ，若向量→→b a ,之间的夹角为钝角，则实数k 的取值范围是5、直线l 经过点()()33,01-，，B A ，那么直线l 的倾斜角α是 6、两平行线12:1=-y x l 与0272:2=+-y x l 间的距离为7、直线013:1=-+-y x l 围着它上面一点()31，沿逆时针方向旋转15，则旋转后的直线2l 的方程为8、已知直线x y l =:1和直线0:2=-y ax l 的夹角θ在区间⎪⎭⎫⎝⎛12,0π内变动，试求实数a 的取值范围 9、直线l 过点()33，P ，点()11，-Q 到它的距离等于4，则直线l 的方程是 10、在锐角三角形ABC 中，21tan =A ，D 为边BC 上的点，ABD ∆与ACD ∆的面积分别为2和4，过D 作AB DE ⊥于E ，AC DF ⊥于F ，则=⋅→→DF DE11、直线0632=-+y x 分别交y x ,轴于B A ,两点，点P 在直线1--=x y 上，则PB PA +的最小值是 .12、已知有两个不相等的非零向量→→b a ,，两组向量→→→→→54321,,,,x x x x x 和→→→→→54321,,,,y y y y y 均由2个→a 和3个→b 排列而成，记→→→→→→→→→→⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=5544332211y x y x y x y x y x S ，min S 表示S 全部可能取值中的最小值，则下列命题中真命题的序号是 （写出全部真命题的序号）① S 有5个不同的值； ②若→→⊥b a ，则min S 与→a 无关；③若→→b a //，则min S 与→a 无关； ④若→→>a b 4，则0min >S ；⑤若→→=a b 2，2min 8→=a S ，则→a 与→b 的夹角为4π。
上海交大附中09-10学年高二下学期期中考试(数学含答案)
上海交通大学附属中学2009-2010学年度第二学期高二数学期中试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1. 在4(1的展开式中，x 的系数为 (用数字作答).2. 直线12:10:20l x my l x y ++=-+=与垂直，则m =____________.3. 已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=kx-3与线段AB 相交，则k 的取值范围为_____________4. 直线经过点A （2，1），B （1，m 2）两点（m ∈R ），那么直线l 的倾斜角取值范围是 . 5. 已知椭圆中心在原点，一个焦点为(3，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该椭圆的标准方程是 ．6. 由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++=引切线，则直线1y x =+上的点与切点之间的线段长的最小值为 .7. 已知两圆0822:,024102:222221=-+++=-+-+y x y x C y x y x C ，则以两圆公共弦为直径的圆的方程是 .8. 椭圆(1－m )x 2－my 2=1的长轴长是 .9. 已知三角形ABC 三个顶点为(1,1),(1(13A B C --，则角A 的内角平分线所在的直线方程为 . 10. 曲线()142≤--=x xy 的长度是 .11. 我们可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭图形所截得线段的比为定值k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍，你可以从给出的简单图形①（甲：大矩形ABCD 、乙：小矩形EFCB ）、②（甲：大直角三角形ABC 乙：小直角三角形DBC ）中体会这个原理，现在图③中的曲线分别是22221(0)x y a b a b+=>>与222x y a +=，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为 ．12. 已知AB 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的长轴，若把该长轴2010等分，过每个等分点作AB 的垂线，依次交椭圆的上半部分于点122009P ,P ,P ，设左焦点为1F ，则()111121200911F A F P F P F P F B 2010+++++=二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
2019学年上海市交大附中高二(下)期中数学试卷附答案
2019学年上海市交大附中高二（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）如果一条直线与两条直线都相交，这三条直线共可确定个平面．2．（3分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．3．（3分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a＝．4．（3分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．5．（3分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．（3分）已知圆柱Ω的母线长为l，底面半径为r，O是上底面圆心，A，B是下底面圆周上两个不同的点，BC是母线，如图，若直线OA与BC所成角的大小为，则＝．7．（3分）已知△ABC三个顶点到平面α的距离分别是3，3，6，则其重心到平面α的距离为（写出所有可能值）8．（3分）正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动，则的取值范围是．9．（3分）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD中，AC与BD相交于O，剪去△AOB，将剩余部分沿OC、OD折叠，使OA、OB重合，则以A、（B）、C、D、O为顶点的四面体的体积为．10．（3分）某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则3x+4y的最大值为11．（3分）已知A、B、C、P为半径为R的球面上的四点，其中AB、AC、BC间的球面距离分别为、、，若，其中O为球心，则x+y+z的最大值是12．（3分）如图，在四面体ABCD中，E，F分别为AB，CD的中点，过EF任作一个平面α分别与直线BC，AD相交于点G，H，则下列结论正确的是．①对于任意的平面α，都有直线GF，EH，BD相交于同一点；②存在一个平面α0，使得点G在线段BC上，点H在线段AD的延长线上；③对于任意的平面α，都有S△EFG＝S△EFH；④对于任意的平面α，当G，H在线段BC，AD上时，几何体AC﹣EGFH的体积是一个定值．二、选择题13．（3分）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．2πD．4π14．（3分）如图，在大小为45°的二面角A﹣EF﹣D中，四边形ABFE与CDEF都是边长为1的正方形，则B与D两点间的距离是（）A．B．C．1D．15．（3分）《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h，计算其体积V的近似公式V≈L2h，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3，那么，近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（）A．B．C．D．16．（3分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，若点P（异于点B）是棱上一点，则满足BP与AC′所成的角为45°的点P的个数为（）A．0B．3C．4D．6二、解答题17．现在四个正四棱柱形容器，1号容器的底面边长是a，高是b；2号容器的底面边长是b，高是a；3号容器的底面边长是a，高是a；4号容器的底面边长是b，高是b．假设a≠b，问是否存在一种必胜的4选2的方案（与a、b的大小无关），使选中的两个容器的容积之和大于余下的两个容器的容积之和？无论是否存在必胜的方案，都要说明理由18．如图，已知圆锥底面半径r＝20cm，O为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点P 为母线SA的中点，PQ与SO所成的角为arctan2，求：（1）圆锥的侧面积；（2）P，Q两点在圆锥侧面上的最短距离．。
高二数学上学期期中模拟卷(空间向量与立体几何+直线与圆的方程+椭圆)(解析版
2023-2024学年高二数学上学期期中考试一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的（）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】lg 0m >等价于1m >.若2m =，则方程()2211m x y m -+=-表示单位圆.若方程()2211m x y m -+=-表示椭圆，则椭圆方程可化为2211y x m +=-，则1m >且2m ≠.故“lg 0m >”是“方程()2211m x y m -+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：B.2．直线()()()2212:110,:120l a x ay l a x a a y -+-=-+++=，若12//l l ，则实数a 的值不可能是（）A ．1-B ．0C ．1D ．2-【答案】A【分析】根据平行列式，求得a 的值，进而确定正确答案.【详解】由于12//l l ，所以()()()2211a a a a a -⨯+=⨯-，()()()21110a a a a a +---=，()()()()()()22211112120a a a a a a a a a a ⎡⎤-+-=-+=-+=⎣⎦，解得0a =或1a =或2a =-.当0a =时，12:10,:20l x l x --=-+=，即12:1,:2l x l x =-=，两直线平行，符合题意.当1a =时，12:10,:220l y l y -=+=，即12:1,:1l y l y ==-，两直线平行，符合题意.当2a =-时，12:3210,:3220l x y l x y --=-++=，即12:3210,:3220l x y l x y --=--=，两直线平行，符合题意.所以a 的值不可能是1-.故选：A3．如图，在四面体OABC 中，,,OA a OB b OC c ===．点M 在OA 上，且2,OM MA N =为BC 中点，则MN等于（）A ．121232a b c-+ B ．211322a b c-++C ．111222a b c+- D ．221332a b c+-【答案】B【分析】连接ON ，利用空间向量基本定理可得答案.【详解】连接()12211,23322ON MN ON OM OB OC OA a b c =-=+-=-++．故选：B.4．如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为4，P 是1AA 的中点，若1AM AB AA λμ=+，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，若1D M CP ⊥，则BCM 面积的最小值为（）A ．4B ．8C ．855D ．82【答案】C【分析】由题意知点M 在平面11ABB A 内，建立如图空间直角坐标系A xyz -，设(,0,)M a b ，根据空间向量的数量积的坐标表示可得24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，结合线面垂直的性质即可求解.【详解】由1,[0,1]AM AB AA λμλμ=+∈、，知点M 在平面11ABB A 内，以1,,AB AD AA 所在直线为坐标轴建立如图空间直角坐标系A xyz -，则1(0,0,2),(4,4,0),(0,4,4)P C D ，设(,0,)M a b ，则1(,4,4),(4,4,2)D M a b CP =--=-- ，由1D M CP ⊥，得1416280D M CP a b ⋅=-++-=，即24b a =-，取AB 的中点N ，连接1B N ，则点M 的轨迹为线段1B N ，过点B 作1BQ B N ⊥，则4245525BQ ⨯==，又BC ⊥平面11ABB A ，故BC BQ ⊥，所以BCM S △的最小值为145854255QBC S =⨯⨯= .故选：C.5．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，将军从点()2,0A 出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（）A ．101-B ．251-C ．25D ．10【答案】B【分析】根据题意作出图形，然后求出()2,0A 关于直线4x y +=的对称点A '，进而根据圆的性质求出A '到圆上的点的最短距离即可.【详解】若军营所在区域为22:1x y Ω+≤，圆：221x y +=的圆心为原点，半径为1，作图如下：设将军饮马点为P ，到达营区点为B ，设(),A x y '为A 关于直线4x y +=的对称点，因为()2,0A ，所以线段AA '的中点为2,22x y +⎛⎫⎪⎝⎭，则2422x y ++=即60x y +-=，又12AA yk x '==-，联立解得：42x y =⎧⎨=⎩，即()4,2A '，所以总路程||||||||PB PA PB PA '+=+，要使得总路程最短，只需要||||PB PA '+最短，即点A '到圆22=1x y +上的点的最短距离，即为11OA OB OA ''-=-=.故选：B.6．在等腰直角三角形ABC 中，4AB AC ==，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图）．若光线QR 经过ABC 的重心，则QR 的长度等于（）AB．9C．9D．9【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，得出ABC 各顶点以及重心的坐标，设(),0P a ，04a <<.求出直线BC 的方程，根据光的反射原理得出点P 关于BC 以及y 轴的对称点的坐标，表示出RQ 的方程，代入重心坐标，求出a 的值，得出RQ 的方程.进而求出,R Q 的坐标，即可根据两点间的距离公式得出答案.【详解】如图，建立平面直角坐标系，则()0,0A ，()4,0B ，()0,4C ，ABC 的重心坐标为44,33⎛⎫⎪⎝⎭，BC 方程为40x y +-=，设(),0P a ，04a <<.根据光的反射原理以及已知可知，点P 关于BC 的对称点1P 在QR 的反向延长线上，点P 关于y 轴的对称点2P 在QR 的延长线上，即12,,,P P Q R 四点共线.由已知可得点()111,P x y 满足()11110422011a x y y x a++⎧+=⎪⎪⎨-⎪⨯-=--⎪⎩，解得1144x y a =⎧⎨=-⎩，所以()14,4P a -.易知()2,0P a -.因为12,,,P P Q R 四点共线，所以有直线QR 的斜率为()40444a ak a a ---==--+，所以，直线QR 的方程为()44ay x a a-=++.由于直线QR 过重心44,33⎛⎫⎪⎝⎭，所以有444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，整理可得2340a a -=，解得43a =或0a =（舍去），所以直线QR 的方程为44434343y x -⎛⎫=+⎪⎝⎭+，整理可得3640x y -+=.所以，R 点坐标为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.联立QR 与BC 的方程364040x y x y -+=⎧⎨+-=⎩，解得209169x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即2016,99Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，QR ==.故选：B.7．正四面体的棱长为3，点M ，N 是它内切球球面上的两点，P 为正四面体表面上的动点，当线段MN 最长时，PM PN ⋅的最大值为（）A ．2B ．94C ．3D ．52【答案】C【分析】设四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，根据题意求出内切球的半径，当MN 为内切球的直径时，MN 最长，再化简()()PM PN PO OM PO ON ⋅=+⋅+可求得其最大值.【详解】设正四面体ABCD 的内切球球心为O ，G 为BCD △的中心，E 为CD 的中点，连接,AG BE ，则O 在AG 上，连接BO ，则AO BO =.因为正四面体的棱长为3，所以22333BG BE ==所以AG ===r ，则()222AG r r BG -=+，)22rr =+，解得4r =，当MN 为内切球的直径时MN 最长，此时0+= OM ON，238OM ON ⋅=-=-⎝⎭ ，()()PM PN PO OM PO ON⋅=+⋅+()2238PO PO OM ON OM ON PO =+⋅++⋅=- ，因为P 为正四面体表面上的动点，所以当P 为正四体的顶点时，PO 最长，POPM PN ⋅的最大值为23348⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭.故选：C8．已知M 为椭圆：()222210x y a b a b+=>>上一点，1F ，2F 为左右焦点，设12MF F α∠=，21MF F β∠=，若sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+，则离心率e =（）A ．12B ．13C ．12D ．23【答案】C【分析】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，结合三角恒等变换以及正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+化为22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，继而推出,,a b c 的关系，求得答案.【详解】设12||,||MF m MF n ==，12||2F F c =，则2m n a +=，由sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+得3sin 3sin cos sin cos sin ααββαβ-=+，即3sin 2sin cos sin sin cos cos sin sin sin()ααββαβαββαβ-=++=++，在12MF F △中，由正弦定理得1222sin sin sin sin()n m c cF MF αβαβ===∠+，故32cos 2n m m c β-=+，又2224cos 4c n mcmβ+-=，故22243224c n m n m m c cm+--⋅=+，即282(3)()()0c c m n m n n m +-++-=，即[4()][2()]0c m n c n m -+--=，即4c m n =+或2c n m =-，结合椭圆定义可知2m n c +>且||2m c -<，故4c m n =+，即142,2c c a e a =∴==，故选：C【点睛】关键点睛：本题是椭圆的离心率的求解问题，即求,,a b c 之间的关系，解答的关键是对于已知等式的化简，即利用三角恒等变换结合正余弦定理将sin sin cos 1sin cos sin 3ααββαβ-=+转化为三角形边之间的关系式，进而化简可得,,a b c 的关系，即可求解答案.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积可能是（）A ．1B ．3C ．4D ．7【答案】BC【分析】根据给定条件，求出线段AB 长，点P 到直线AB 的距离范围，再利用三角形面积公式求解即得.【详解】依题意，点(2,0),(0,2)A B --，则||AB =圆()2222x y -+=的圆心(2,0)C ，半径2r =，则点C 到直线AB 的距离4222r =>，因此点P 到直线AB 的距离[2,32]d ∈，ABP 的面积1||2[2,6]2S AB d d =⋅=∈，显然BC 满足，AD 不满足.故选：BC10．已知圆2221:2100C x y mx y m ++-+=，圆222:450C x y y ++-=，则下列说法正确的是（）A ．若点()1,1在圆1C 的内部，则24m -<<B ．若2m =，则圆12,C C 的公共弦所在的直线方程是41490x y -+=C ．若圆12,C C 外切，则15m =±D ．过点()3,2作圆2C 的切线l ，则l 的方程是3x =或724270x y -+=【答案】BCD【分析】根据点在圆的内部解不等式2112100m m ++-<+即可判断A 错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B 正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C 正确；对直线l 的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D 正确.【详解】对于A ，由点(1,1)在圆1C 的内部，得2112100m m ++-<+，解得42m -<<，故A 错误；对于B ，若2m =，则圆221:41040C x y x y ++-+=，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是41490x y -+=，故B 正确；对于C ，圆1C 的标准方程为22()(5)25x m y ++-=，圆心为()1,5C m -，半径15r =，圆2C 的标准方程为22(2)9x y ++=，圆心为()20,2C -，半径23r =，若圆12,C C 外切，则1212C C r r =+，即24953m +=+，解得15m =±，故C 正确；对于D ，当l 的斜率不存在时，l 的方程是3x =，圆心2C 到l 的距离23d r ==，满足要求，当l 的斜率存在时，设l 的方程为()32y k x =-+，圆心2C 到l 的距离224331k d r k -===+，解得724k =，所以l 的方程是724270x y -+=，故D 正确.故选：BCD.11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 为11A B 的中点，P 为棱BC 上的动点（包含端点），则下列结论正确的是（）A ．存在点P ，使11D P AC ⊥B ．存在点P ，使1PE D E =C ．四面体11EPCD 的体积为定值83D ．二面角11P DE C --的余弦值的取值范围是23⎡⎢⎣⎦【答案】AB【分析】利用向量法，根据线面垂直，两点间的距离，几何体的体积，二面角等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，设()02CP a a =≤≤，则(),2,0P a ，()2,1,2E ，()()12,0,0,0,2,2A C ，()10,0,2D ，则()12,2,2AC =- ，()1,2,2D P a =-，112442D AC a a P ⋅=-+-=-，当0a =时，即P 点与C 点重合时，11D P AC ⊥，故A 正确.由1PE D E =2a =，此时P 点与B 点重合，故B 正确.111111111422223323E PC D P C D E C D E V V S --==⨯⋅=⨯⨯⨯⨯= 为定值，故C 错误.又()12,1,0D E = ，()1,2,2D P a =-，设平面1D EP 的法向量()1,,n x y z = ，由11112002200D E n x y D P n ax y z ⎧⋅=+==⎪⎨⋅=+-==⎪⎩，令1x =则=2y -，22a z =-，11,2,22a n ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ，又平面11D EC 的法向量()20,0,2n =，12cos ,22n an ∴=-又02a ≤≤，122cos ,3n n ⎤∴∈⎣⎦，故D 错误.故选：AB12．已知椭圆222:12x y C m+=的焦点分别为()10,2F ，()20,2F -，设直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，且点11,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为线段MN 的中点，则下列说法正确的是（）A ．26m =B．椭圆C C ．直线l 的方程为320x y +-=D ．2F MN的周长为【答案】AC【分析】先由题意求出2m 即可判断A ；再根据离心率公式即可判断B ；由点差法可以求出直线l 的斜率，由直线的点斜式化简即可判断C ；由焦点三角形的周长公式即可判断D.【详解】如图所示：根据题意，因为焦点在y 轴上，所以224m -=，则26m =，故选项A 正确；椭圆C的离心率为2636c e a ===，故选项B 不正确；不妨设()()1122,,,M x y N x y ，则2211126x y +=，2222126x y +=，两式相减得()()()()1212121226x x x x y y y y +-+-=-，变形得121212123y y x x x x y y -+=-⨯-+，又注意到点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭为线段MN 的中点，所以121212121221122P P x x x x x y y y y y ++====++，所以直线l 的斜率为121212123313l y y x k xx x y y ⨯=-+⨯--=-+=-=，所以直线l 的方程为11322y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即320x y +-=，故选项C 正确；因为直线l 过1F ，所以2F MN 的周长为()()22212122446F M F N MN F M F M F N F N a a a ++=+++=+==，故选项D 不正确.故选：AC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在三棱锥-P ABC 中，PC ⊥底面,90,4,45ABC BAC AB AC PBC ∠∠==== ，则点C 到平面PAB 的距离是.【答案】463/463【分析】建立空间直角坐标系，设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，由点C 到平面PAB 的距离为PC m d m⋅=求解.【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,0,4,42A B C P ，所以()()()0,4,42,4,0,0,0,0,42AP AB PC ===-.设平面PAB 的一个法向量为(),,m x y z =，则0,0,m AP m AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即4420,40,y z x ⎧+=⎪⎨=⎪⎩令y 1z =-，所以()1m =-，所以点C 到平面PAB的距离为PC m d m⋅==14．若非零实数对(),a b满足关系式1771a b a b ++=-+=，则a b=．【答案】34-或43【分析】化简转化为点到直线的距离，利用直线的位置关系即可求解.【详解】由1771a b a b ++=-+=5==，()1,1A 到直线10ax by ++=的距离1d，()7,7B -到直线10ax by ++=的距离2d ，5==，所以125d d ==.因为10AB =，1210d d +=，所以当点A ，B 在直线10ax by ++=同侧时，直线AB 与直线10ax by ++=平行，当点A ，B 在直线10ax by ++=异侧时，A ，B 关于直线10ax by ++=对称，因为直线AB 的斜率174173k +==--，直线10ax by ++=的斜率为ab-，所以43a b -=-或413a b ⎛⎫⎛⎫-⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以43a b =或34ab=-.故答案为：34-或43.15．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点F且与长轴垂直的弦的长为(2,1)P 且斜率为1-的直线与C 相交于,A B 两点，若P 恰好是AB 的中点，则椭圆C 上一点M 到F 的距离的最大值为.【答案】3/3+【分析】利用点差法可求基本量的关系，再结合通径的长可求基本量，故可求焦半径的最大值.我们也可以联立直线方程和椭圆方程，从而可用基本量表示中点，从而得到基本量的一个关系式，同样结合通径长可取基本量，故可求焦半径的最大值.【详解】法一：将x c =代入椭圆C 的方程得2b y a =±，所以22ba=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2222112222221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b -+-++=，又124x x +=，1212122,1y y y y x x -+==--，所以22210a b-=②，解①②得3a b ==，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.法二：将x c =代入椭圆C 的方程得2by a=±，所以22b a =，直线AB 的方程是1(2)y x -=--，即3y x =-，代入椭圆的方程并消去y 整理得()2222222690a b x a x a a b +-+-=，则()()()()22222222222490694a a b a a b a b a b ∆=--++-->=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122264a x x a b+==+，即222a b =②，解①②得3a b ==，满足0∆>，所以3c =，所以C 上的点M 到焦点F的距离的最大值为3a c +=.故答案为：3.16．在平面直角坐标系xOy 中，已知()1,1A --，圆22:1O x y +=，在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数），则Q 的坐标为．【答案】11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】设00(,)Q x y ，(,)P x yλ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，从而得到202202(22)()320x x y x λλλ+++--=对任意[x y +∈恒成立，从而得到202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，即可求出λ与0x ，从而得解.【详解】设00(,)Q x y ，(,)P x y ，则PA =PQ =若在直线AO 上存在异于A 的定点Q ，使得对圆O 上任意一点P ，都有(PA PQλλ=为常数)，λ=对圆O 上任意点(,)P x y 恒成立，即22222200(1)(1)()()x y x x y y λλ+++=-+-，整理得222222022000(1)()(22)(22)2()0x y x x y y x y λλλλ-++++++-+=，因为点Q 在直线AO 上，所以00x y =，由于P 在圆O 上，所以221x y +=，故202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，其中点(),P x y 在圆22:1O x y +=上，令x y m +=，则0x y m +-=，所以直线0x y m +-=与圆有交点，所以圆心到直线的距离小于等于半径，即1d ≤，解得m ≤≤[x y +∈，所以202220220320x x λλλ⎧+=⎨--=⎩，显然0λ≠，所以021x λ=-，故22230λλ--=，因为0λ>，解得λ=1λ=.当1λ=时，(1,1)Q --，此时,Q A 重合，舍去.当λ=11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，综上，存在满足条件的定点11,22Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时λ=故答案为：11,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用题设条件，结合221x y +=与00x y =化简得202202(22)()320x x y x λλλ+++--=恒成立，从而得到关于0,x λ的方程组，由此得解.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD DC =，E ，F 分别是AB ，PB 的中点.(1)求证：EF CD ⊥.(2)已知点G 在平面PAD 内，且GF ⊥平面PCB ，试确定点G 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)点G 为AD 的中点【分析】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设AD a =，再根据0EF DC ⋅= 即可证明.（2）设(,0,)G x z ，根据GF ⊥平面PCB 得到0FG CB ⋅= ，0FG CP ⋅= ，即可得到答案.【详解】（1）以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴的正方向，建立空间直角坐标系（如图），设AD a =，则(0,0,0)D ，(,,0)B a a ，(0,,0)C a ，,,02a E a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，(0,0,)P a ，,,222a a a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以,0,22a a EF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，(0),,0DC a = ，所以,0,(0,,0)022a a EF DC a ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ ，所以EF CD ⊥.（2）因为∈G 平面PAD ，设(,0,)G x z ，所以,,222a a a FG x z ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ .由（1），知(,0,0)CB a = ，(0,),CP a a =- .因为GF ⊥平面PCB ，所以,,(,0,0)()02222a a a a FG CB x z a a x ⎛⎫⋅=---⋅=-= ⎪⎝⎭ ，2,,(0,,)022222a a a a a FG CP x z a a a z ⎛⎫⎛⎫⋅=---⋅-=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以2a x =，0z =，所以点G 的坐标为,0,02a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，即点G 为AD 的中点.18．（12分）已知直线:1l y kx k =+-．(1)求证：直线l 过定点；(2)若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，求k 的取值范围；(3)若直线l 与x 轴、y 轴形成的三角形面积为1，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)11[,]35-(3)(21y x =+++(21y x =+【分析】（1）由直线方程观察得定点坐标即证；（2）由4x =±时对应点的纵坐标不小于0可得；（3）求出直线与坐标轴的交点坐标，再计算三角形面积从而得直线的斜率，即得直线方程．【详解】（1）由1y kx k =+-，得1(1)y k x +=+．由直线方程的点斜式可知，直线l 过定点(1,1)--；（2）若当44x -<<时，直线l 上的点都在x 轴下方，则410,410,k k k k -+-≤⎧⎨+-≤⎩解得1135k -≤≤，所以k 的取值范围是11[,35-；（3）设直线l 与x 轴的交点为A ，与y 轴的交点为B ，坐标原点为O ．当0x =时，得||||1|OB k =-，当0y =时，得|1|||||k OA k -=，所以11|1||||||1|22||AOB k S OA OB k k -==-⨯△，即211|1|12||k k -⨯=，解得2k =2，所以直线l 的方程为(21y x =+(21y x =+19．（12分）如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛VEX 中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地ABCD （包含边界和内部，A 为坐标原点），AD 10米，在AB 边上距离A 点4米的F 处放置一只电子狗，在距离A 点2米的E v ，电子狗行走速度为2v ，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M ，那么电子狗将被机器人捕获，点M 叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点M 的轨迹方程；(2)若P 为矩形场地AD 边上的一点，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，问：P 点应在何处？【答案】(1)2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)P 的横坐标范围为⎤⎥⎝⎦即可逃脱.【分析】（1）分别以,AD AB 为,x y 轴，建立平面直角坐标系，由题意2MF ME v v =，利用两点间的距离公式可得答案.（2）利用三角函数得到极端情况时P 点的横坐标即可得到答案.【详解】（1）分别以AD ，AB 为x ，y 轴，建立平面直角坐标系，则()0,2E ，()0,4F ，设成功点(),M x y ，可得2MF ME v v ==化简得2241639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，因为点M 需在矩形场地内，所以403x ≤≤，故所求轨迹方程为2241640393x y x ⎛⎫⎛⎫+-=≤≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）当线段FP 与（1）中圆相切时，则413sin 4243AFP ∠==-，所以30AFP ∠=︒，所以4tan 30AP =︒=，若电子狗在线段FP 上都能逃脱，P点的横坐标取值范围是⎤⎥⎝⎦．20．（12分）．如图，//AD BC 且2,,//AD BC AD CD EG AD =⊥且,//EG AD CD FG =且2,CD FG DG =⊥平面,2ABCD DA DC DG ===．(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：//MN 平面CDE ；(2)求平面BCE 和平面BCF 夹角的正弦值；(3)若点P 在线段DG 上，且直线与平面ADGE 所成的角为45︒，求点P 到平面CDE 的距离．【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3)2.【分析】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ ，通过证明平面//MQN 平面CDE ，可得//MN 平面CDE ；（2）如图，建立以D 为原点的空间直角坐标系，分别求出平面BCE 和平面BCF 夹角的法向量，即可得答案；（3）由（2），设()0,0,P t ，直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒可得点P 坐标，可得点P 到平面CDE 的距离.【详解】（1）取GD 中点为Q ，连接NQ ，MQ .因M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，Q 为GD 中点，由三角形及梯形中位线定理，可得,NQ ED MQ DC .又注意到，,ED DC ⊂平面EDC ，,NQ MQ ⊄平面EDC ，,NQ MQ ⊂平面MNQ ，∩NQ MQ Q =，则平面//MQN 平面CDE .又MN ⊂平面MQN ，则//MN 平面CDE .（2）因DG ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，则,DG DC DG DA ⊥⊥，又AD DC ⊥，则如图建立以D 为原点的空间坐标系.则()()()()()()()000200020002120202012,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,D A C G B E F .()()()100122112,,,,,,,,BC BE BF =-=-=--.设平面BCE 和平面BCF 的法向量分别为()()11112222,,,,,n x y z n x y z == .则1111110220BC n x BE n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取()10,1,1n = ；222222020BC n x BF n x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，取()20,2,1n = .设平面BCE 和平面BCF 夹角为θ，则1210cos cos ,θn n === .则平面BCE 和平面BCF夹角的正弦值为sin θ=（3）由（2），设()0,0,P t ，其中[]0,2t ∈，则()12,,BP t =-- 又由题可得，平面ADGE 的一个法向量可取()30,1,0n = .结合直线BP 与平面ADGE 所成的角为45︒，则32cos ,n BP t ==⇒=则(DP = ，()()020202,,,,,DC DE == .设平面CDE 法向量为()4444,,n x y z = ，则4444420220DC n y DE n x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ .取()4101,,n =- ，则点P 到平面CDE的距离442n DP d n ⋅=== .21．（12分）已知在平面直角坐标系xOy 中，已知A 、B 是圆O ：228x y +=上的两个动点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒；(1)求点P 的轨迹方程；(2)点P 轨迹记为曲线τ，若C ，D 是曲线τ与x 轴的交点，E 为直线l ：4x =上的动点，直线CE ，DE 与曲线τ的另一个交点分别为M ，N ，判断直线MN 是否过定点，若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由．【答案】(1)224x y +=(2)过定点()1,0Q ．【分析】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，根据几何关系得到2OP =，得到轨迹方程.（2）设()4,E t ()0t ≠，分别计算CE ，DE 的直线方程，联立圆方程得到交点坐标，考虑直线MN 斜率存在和不存在两种情况，计算直线方程得到答案.【详解】（1）设点(),P x y 为曲线上任意一点，P 是弦AB 的中点，且90AOB ∠=︒，圆O ：228x y +=的半径r =122OP AB ===，故点P 的轨迹方程为：224x y +=．（2）不妨取()2,0C -，()2,0D ，设()4,E t ()0t ≠，则直线CE 的方程为()26t y x =+，直线DE 的方程为()22t y x =-，联立()22264t y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，得2222364440363636t t t x x +++-=，则224236M t x t -=-+，即2272236M t x t -=+，()2242636M M t t y x t =+=+，所以22272224,3636t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．联立()22224t y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，得22224404t x t x t +-+-=，则22424N t x t +=+，即22284N t x t -=+，()28224N N t t y x t -=-=+，所以222288,44t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭．①当t ≠±MN 的斜率222222224883647222812364MNt t t t t k t t t t t --++==----++，则直线MN 的方程为222288284124t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+-+⎝⎭，即()28112t y x t =--，直线过定点()1,0，所以()1,0Q ；②当t =±MN 垂直于x 轴，方程为1x =，也过定点()1,0Q ．综上所述：直线MN 恒过定点()1,0Q ．【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，定点问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中设出E 的坐标，分别计算,M N 坐标再计算直线方程是解题的关键.22．（12分）如图所示，已知椭圆2219x y +=中()3,0A ，()0,1B ；P 在椭圆上且为第一象限内的点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N(1)求证：①||||AN BM ⋅为定值；②PMN 与PAB 面积之差为定值；(2)求MON △面积的最小值.【答案】(1)①证明见解析；②证明见解析(2)92+【分析】（1）①设00(,)P x y ，利用直线方程求出点,M N 坐标，从而可得||||AN BM ⋅的表达式，结合点在椭圆上化简，即可证明结论；②利用PMN 与PAB 面积之差为MAN BAN S S - ，利用三角形面积公式，结合①的定值即可证明结论；（2）利用三角形面积公式表示出MON △面积的表达式，利用（1）的定值结合基本不等式，即可求得答案.【详解】（1）证明：①设00(,)P x y ，()001,030x y <<<<，则220019x y +=，即220099x y +=，直线()0033:y PA y x x =--，令0x =，则0033M y y x =--，故003|||1|3y BM x =+-；直线0011:y PB y x x =+-，令0y =，则001N x x y -=-，故00|||3|1x AN y =+-；所以00000000003|||||3||1||33|||133331x y x y x y AN BM y x y x ⋅=+⋅+⋅-+----+()()()2220000000000000033996618||||3133x y x y x y x y x y x y x y +-+++--==----+000000001666183|38x y x y x y x y --++-==-，即||||AN BM ⋅为定值6；②PMN 与PAB 面积之差为11||||||||22MAN BAN S S AN OM AN OB -=⋅-⨯⋅ 1||||32AN BM =⨯⋅=,即PMN 与PAB 面积之差为定值3；（2）MON △面积()()11||||3||1||22OMN S ON OM AN BM =⋅=++ ()1||||||3||32AN BM AN BM =⋅+++()1966322+≥+=，当且仅当||3||AN BM =，结合||||6AN BM ⋅=，即|||AN BM ==时取等号，即MON △面积的最小值为92+.【点睛】关键点睛：解答本题的关键在于证明||||AN BM ⋅为定值，解答时要利用直线方程表示出||,||AN BM ，从而求得||||AN BM ⋅表达式，结合点在椭圆上化简即可证明结论.。
上海市上海师范大学附属中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
上师大附中高二期中数学试卷2024.11一.填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.直线过点，法向量为，则的一般式方程为______.2.顶点在坐标原点，焦点在轴，且经过的抛物线的标准方程为______.3.已知直线：，：，若，则实数______.4.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.5.经过点且与圆相切的直线方程为______.6.南宋晚期的龙泉窑粉青釉刻花斗笠盏如图1所示，忽略杯盏的厚度，这只杯盏的轴截面如图2所示，其中光滑的曲线是抛物线的一部分，已知杯盏盛满茶水时茶水的深度为3cm ，则抛物线的焦点到准线的距离为______cm.图1图27.已知椭圆的焦点为、，椭圆上的动点的坐标为，且为钝角，则的取值范围为______.8.已知圆：，圆：，圆与圆、圆外切，则圆心的轨迹方程为______.9.过椭圆：右焦点的直线：交于、两点，为AB 的中点，且OP 的斜率为，则椭圆的标准方程为______.10.已知，分别为椭圆：的左、右焦点，过的直线与交于，两点，若，则椭圆的离心率为______.11.已知是抛物线：的焦点，双曲线：（，）的渐近线与抛物线交于抛物线、两点（异于原点），若，则双曲线的离心率为______.l (1,2)(1,2)n = l x (2,4)M --1l 10x ay +-=2l 10ax y +-=12//l l a =l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭(5,4)-2225x y +=221167x y +=1F 2F P (),P P x y 12F PF ∠P x A 22(2)9x y ++=B 22(2)1x y -+=C A B C C 22221(0)x y a b a b+=>>F l 20x y --=C A B P 12-C 1F 2F C 22221(0)x y a b a b+=>>1F C P Q 121::6:3:2PF PF FQ =C F C 22(0)y px p =>E 22221x y a b -=0a >0b >C A B 120AFB ︒∠=12.已知双曲线左右焦点分别为、，点为右支上一动点，圆与的延长线、的延长线和线段都相切，则的取值所组成的集合为______.二.选择题（本大题共4题，满分20分）13.方程表示椭圆的充要条件是（ ）A. B. C. D.或14.已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.4 B.6 C.8 D.1015.所表示的曲线为（ ）A.抛物线 B.椭圆 C.双曲线 D.直线16.从某个角度观察篮球（如图1）可以得到一个对称的平面图形（如图2），篮球的外轮廊为圆，将篮球的表面粘合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线与圆的交点将圆的周长8等分，且，则该双曲线的离心率为（ ）图1图2三.解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知三边所在直线方程为AB ：，BC ：，CA ：.（1）求AC 边上的高所在的直线方程；（2）求直线AB 与直线CA 的夹角.18.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，点在椭圆上，，，过与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于、两点，为线段PQ 的中点.（1）求椭圆的方程；22114425x y -=1F 2F P M 1F P 12F F 2F P 22PM PF PF ⋅ 2214x y m+=0m >0m <4m >04m <<4m >22143x y +=1F 2F P 12PF F △3+-O O AB BC ==CD ABC △34120x y ++=43160x y -+=220x y +-=C 22221(0)x y a b a b +=>>1F 2F 12A C 12AF =1260F AF ︒∠=2F l C P Q N C（2）已知点，且，求线段MN 所在的直线方程.19.如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km ，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN 段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km ，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km ，线路NP 段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy .（1）求道路的曲线方程；（2）现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标）20.已知圆：和圆：.（1）若圆与圆相交，求的取值范围；（2）若直线：与圆交于，两点，且，求实数的值；（3）若，设为平面上的点，且满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，求所有满足条件的点的坐标.21.已知双曲线：（，）的渐近线方程为，、分别为双曲线的顶点，且.（1）求双曲线的方程；（2）直线与双曲线交于、两点，且，求的值；（3）设动点，其中，直线AM 、BM 与双曲线分别交于、两点，求证：直线CD 过定点.10,8M ⎛⎫ ⎪⎝⎭MN PQ ⊥A B O C O M N P --A B M O O x M N P --M N P --Q Q C Q Q 1C 226260x y x y ++-+=2C 222810410(0)x y x y r r +--+-=>1C 2C r l 1y kx =+1C P Q 4OP OQ ⋅= k 2r =P P 1l 2l 1C 2C 1l 1C 2l 2C P E 22221x y a b-=0a >0b >20x y ±=A B E 4AB =E 1y kx =-E P Q POQ S =△2k (1,)M m m ∈R E C D参考答案一.填空题1. 2. 3. 4.5.或6.7.8.9.12.二.选择题13.D14.B 15.A 16.B 三.解答题17.（1）；（2）18.（1）；（2）或19.（1）（，），；（2），20.（1；（23）或21.（1）；（2）或；（3）250x y +-=28y x =-1-(,(1,)-∞+∞ 5x =9402050x y --=278⎛ ⎝221(1)3y x x -=>22184x y +={}1240x y -+=1arctan 222143x y +=16810x y +-=162430x y +-=22144x y -=2x ≤≤06y ≤≤224(0)x y y +=≤53,22Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭min CQ =22r -<<+51,22⎛⎫- ⎪⎝⎭313,22⎛⎫- ⎪⎝⎭2214x y -=116514(4,0)。
2023学年上海高二上学期数学同步精讲练第03讲异面直线所成的角(核心考点讲与练)
第03讲异面直线所成的角（核心考点讲与练） 求异面直线所成的角的三步曲 异面直线所成角的概念及辨析一、单选题1．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）已知异面直线a 、b 所成角为80︒，P 为空间一定点，则过P 点且与a 、b 所成角都是50︒的直线有且仅有（ ）条．A ．2B ．3C ．4D ．62．（2021·上海市延安中学高二期中）已知正方体1111ABCD A B C D -，P 为1CC 中点，对于下列两个命题：（1）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都相交；（2）过点P 有且只有一条直线与直线AB ，11A D 都成45°角．则以下判断正确的是（ ）A ．（1）为真命题；（2）为真命题B ．（1）为真命题；（2）为假命题C ．（1）为假命题；（2）为真命题D ．（1）为假命题；（2）为假命题二、填空题 3．（2021·上海·位育中学高二阶段练习）空间中三条直线a b c 、、两两垂直，若直线d 与直线a b c 、、所成角都为θ，则cos θ=_______4．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）已知直线a ．如果直线b 同时满足条件：①a 与b 异面；②a 与b 成定角；③a 与b 的距离为定值．那么这样的直线b 有__________条．考点考向方法技巧5．（2021·上海奉贤区致远高级中学高二阶段练习）若两异面直线a、b所成的角为60，过空间内一点P作与直线a、b所成角均是60的直线l，则所作直线l的条数为_________．证明异面直线垂直一、单选题1．（2017·上海交大附中高二期中）如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（）①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；②平面SBC内存在直线与SA平行③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；④存在点E使得SE⊥BA．A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题2．（2022·上海长宁·高二期末）如图是一个边长为2的正方体的平面展开图，在这个正方体中，则下列说法中正确的序号是___________.①直线AF与直线CN垂直；②直线BM与直线CN相交；③直线ME与直线CN平行；④直线AB与直线CN异面；求异面直线所成的角1．（2022·上海·复旦附中高二期中）如图所示，在三棱锥D ABC -中，2==AC BD ，E 、F 分别为AD 与BC 的中点，2EF =，则异面直线AC 与BD 所成角的大小是______．2．（2021·上海市徐汇中学高二期中）如图，P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，,M N 分别是,AB PC 的中点，若2,23MN BC PA ===，则异面直线PA 与MN 所成角的大小为________.3．（2021·上海市进才中学高二阶段练习）在正方体上，a ，b 是两条异面直线的面对角线，则它们所成的角大小可能为___________4．（2021·上海市南洋模范中学高二阶段练习）正方体1111ABCD A B C D -的面对角线中，与1AD 所成角为60︒的有__________条.5．（2021·上海·华东师范大学松江实验高级中学高二阶段练习）在正方体1111ABCD A B C D -中，与1AD 成60角的面对角线的条数是________6．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期末）空间内有三条直线，其中任意两条都不相交但相互垂直，若直线l 与这三条直线所成的角的大小都是θ，则tan θ=______．7．（2021·上海市建平中学高二期中）已知圆锥的轴截面PAB 是等边三角形，C 为底面弧AB 的中点，D 为母线PB 的中点，则异面直线PA 和CD 所成角的大小为________三、解答题8．（2021·上海浦东新·高二期中）在三棱锥P ABC -中，M ，N 分别是PA ，BC 的中点，已知2AC PB ==，3MN AC ，PB 所成角的大小.由异面直线所成的角求其他量一、填空题1．（2021·上海市控江中学高二期中）异面直线a 、b 所成角为3π，直线c 与a 、b 垂直且分别交于A 、B ，点C 、D 分别在直线a 、b 上，若1AC =，2AB =，3BD =，则CD =________．2．（2021·上海市洋泾中学高二期中）已知异面直线,a b 所成角为3π，过空间一点P 有且仅有2条直线与,a b 所成角都是θ，则θ的取值范围是___________.3．（2021·上海市建平中学高二阶段练习）在空间四边形ABCD 中，8AB CD ==，M ､N 分别是对角线AC ､BD 的中点，若异面直线AB ､CD 所成角的大小为30，则MN 的长为___________. 4．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）已知四面体ABCD 中，4AB CD ==，E 、F分别为BC 、AD 的中点，且异面直线AB 与CD 所成的角为3π，则EF =___________. 5．（2019·上海市嘉定区第二中学高二期中）空间四边形ABCD ，AB =CD =8，M ､N ､P 分别为BD ､AC ､BC 的中点，若异面直线AB 和CD 所成的角为60°，则线段MN 的长为___________.6．（2021·上海·华师大二附中高二开学考试）如图，空间四边形ABCD 的对角线AC=BD=8，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，且AC BD ⊥，则MN 等于_____________7．（2021·上海市徐汇中学高二期中）空间四边形两对角线的长分别为6和8﹐所成的角为60°，连接各边中点所得四边形的面积是_______________.8．（2021·上海市宝山中学高二阶段练习）若两条异面直线所成的角为60︒，则称这对异面直线为“黄金异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“黄金异面直线对”共有________对.二、解答题9．（2021·上海师范大学附属外国语中学高二阶段练习）已知四棱锥P -ABCD ，底面ABCD 为正方形，边长为3，PD ⊥平面ABCD .(1)若PC =5，求四棱锥P - ABCD 的体积；(2)若直线AD 与BP 的夹角为60°，求PD 的长.10．（2020·上海交大附中高二期中）如图，圆锥的顶点是S ，底面中心为O ，OC 是与底面直径AB 垂直的一条半径，D 是母线SC 的中点.（1）求证：BC 与SA 不可能垂直；（2）设圆锥的高为4，异面直线AD 与BC 所成角的余弦值为26，求圆锥的体积. 一、单选题1．（2021·上海市延安中学高二期中）如图，已知正方体1111ABCD A B C D -中，F 为线段1BC 的中点，E 为线段11A C 上的动点，则下列四个结论正确的是（ ）A ．存在点E ，使EF ∥BDB ．存在点E ，使EF ⊥平面11ABC DC ．EF 与1AD 所成的角不可能等于60°巩固提升D ．三棱锥1B ACE -的体积随动点E 变化而变化2．（2021··高二阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，过点A 作平面1A BD 的垂线，垂足为点H ，给出以下命题：①H 是1A BD 的垂心；②AH 垂直于平面11CB D ；③AH 的延长线过点1C ；④直线AH 和1BB 所成角的大小为45︒，其中正确的命题个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．43．（2021·上海市松江二中高二期中）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD （及其内部）以AB 边所在直线为旋转轴旋转120︒得到的，G 是DF 的中点，设P 是CE 上的一点，且AP BE ⊥，则AG 与BP 所成角的大小为（ ）A ．45︒B ．15︒C ．30D ．0︒4．（2021·上海市市西中学高二期中）如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④二、填空题5．（2021·上海交大附中闵行分校高二阶段练习）如图甲，将三棱锥P ﹣ABC 沿三条侧棱剪开后，展开成如图乙所示的形状，其中点P 1，A ，P 3共线，点P 1，B ，P 2共线，点P 2，C ，P 3共线，且P 1P 2=P 2P 3，则在如图甲所示的三棱锥P ﹣ABC 中，P A 与BC 所成角的大小为___________.6．（2021·上海外国语大学闵行外国语中学高二期中）如图已知A 是BCD △所在平面外一点，AD BC =，E ､F 分别是AB CD 、的中点，若异面直线AD 与BC 所成角的大小为3π，则AD 与EF 所成角的大小为___________. 7．（2021·上海交大附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA AD ==，2AB =，则直线AC 与1A D 所成的角的余弦值等于______．8．（2021·上海师范大学第二附属中学高二期中）在四面体ABCD 中，8AB =，6CD =，M 、N 分别是BC 、AD 的中点，且5MN =，则AB 与CD 所成角的大小是________.三、解答题9．（2022·上海·复旦附中高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，AB ＝1，AD ＝2，14AA =，E 、F 分别为线段BC 、1CC 上的点，且CE ＝1，CF ＝1．(1)求证：EF ∥平面11ADD A ；(2)求异面直线EF 与1A D 所成角的余弦值．10．（2021·上海市洋泾中学高二阶段练习）已知边长为1的正方形ABCD 绕BC 边旋转一周得到圆柱体．(1)求该圆柱体的表面积；(2)正方形ABCD 绕BC 边逆时针旋转2π至11A BCD ，求证：1A D AC ⊥． 11．（2021·上海市南洋模范中学高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，过1A ､1C ､B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体111ABCD AC D -，且这个几何体的体积为10. (1)求棱1AA 的长；(2)若11A C 的中点为1O ，求异面直线1BO 与11A D 所成角的余弦值.12．（2021·上海大学附属南翔高级中学高二期中）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F ，分别为11A D 和1CC 的中点.（1）画出由A ，E ，F 确定的平面β截正方体所得的截面，（保留作图痕迹，使用铅笔作图）；（2）求异面直线EF 和AC 所成角的大小. 13．（2021·上海浦东新·高二期中）在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.(1)求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；(2)《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.14．（2021·上海市行知中学高二阶段练习）如图，三棱柱111ABC A B C -中，1A BCB -是底面边长为2的正三棱锥．（1）求证：1AC CC ⊥；（2）若异面直线1AB 与1CC 所成的角为3π，求三棱锥1B ACC -的体积． 15．（2021·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，2BC =，15CC =，M 为棱1CC 上一点．（1）若132C M =，求异面直线1A M 和11CD 所成角的正切值；（2）若11C M =．试证明：BM ⊥平面11A B M ．16．（2021·上海市进才中学高二期中）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥底面ABC ，BC AC ⊥．（1）求证：11//B C 平面1A BC ；（2）求证：平面1A BC ⊥平面11ACC A ．（3）若12A B BC =，求异面直线1A B 与11B C 所成角的大小．。
上海市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(无答案)
上海市2024学年第一学期高二年级数学学科期中试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、填空题（本大题满分54分）本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分.1.用数学符号语言表示“点在直线外，直线在平面上”:________________.2.若，是异面直线，直线，则与的位置关系是__________.3.“直线与平面无公共点”是“直线不在平面上”的_____条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个合适的填空）4.如果直线，直线，，则_________________.5.如果直线与平面所成的角为，那么直线与平面内的直线所成的角的取值范围是__________.6.由一条直线和直线外的3个点可确定平面的个数最多为___________个.7.在四面体中，，，、分别是、的中点，且，则与所成角的大小是____________.8.已知一个利用斜二测画法画出直观图如图所示，其中，，，则原的面积为_____________.9.正三角形的边长为，是三角形所在平面外一点，平面，且，则到的距离为____________.10.三角形的一条边在平面内，，，，若与平面所成角为，则直线与平面所成角的大小为____________.11.如图，矩形的，宽，若平面，矩形的边上至少有一个点，使得，则的范围是____________.A l l αa b c a ∥c b l αl α11OA O A ∥11OB O B ∥3AOB π∠=111AO B ∠=l α3πl αABCD 8AB =6CD =M N BC AD 5MN =AB CD ABC △2B O ''=5O C ''=3O A ''=ABC △ABC 2P ABC PA ⊥ABC 1PA =P BC ABC AB α2A π∠=AB a =AC =AC α4πBC αABCD 2AB =AD x =PA ⊥ABCD CD Q PQ BQ ⊥x12.在平面几何里，有勾股定理“设的两边，互相垂直，则”，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，在如图2的几何体中，若两两互相垂直，则有___________________________________.二、选择题（本大题满分18分）本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分.13.下列命题中是真命题的是（ ）A.四边形一定是平面图形B.空间一个点与一条直线可以确定一个平面C.一个平面的面积可以为D.相交于同一点的四条直线最多可以确定6个平面14.已知，是两条不同的直线，是一个平面，以下命题正确的是（ ）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则15.已知三边的长分别为、、，平面外一点到三边的距离都等于2，则点到平面的距离等于（ ）.A.1D.416.如图，为正方体，① ②平面③与底面④过点与异面直线与成角的直线有2条.ABC V AC AB 222AB AC BC +=A BCD -,,AB AC AD 210km l m αl α⊥l m ⊥m α⊂l α⊥m α∥l m ⊥l α⊥l m ⊥m α∥//l αm α⊂l m ∥ABC △345ABC P ABC △P ABC 1111ABCD A B C D -1AC BD ⊥1BD ⊥1ACB 1BD 11BCC B 1A AD 1CB 60其中正确结论的个数是（ ）.A.0B.1C.2D.3三、解答题（本大题满分78分）17.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，分别是，的中点.（1）求证:平面；（2）求证:平面.18.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2.（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角大小.19.（本题满分14分）第（1）小题6分，第（2）小题8分.如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位:）.（加工中不计损失）.111ABC A B C -AB BC ⊥E F 11AC BC AB ⊥11B BCC 1C F ∥ABE P O 4PO =OA OB 90AOB ∠= M AB PM OB mm（1）若钉身长度是钉帽高度的3倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为，求钉身的长度（结果精确到）.20.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是圆柱的底面直径且，是圆柱的母线且，点是圆柱底面圆周上的点，点在线段上，点在线段上.（1）求圆柱的表面积；（2）求证:；（3）若，是的中点，求的最小值.21.（本题满分18分）第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分.如图，是底面边长为1的正三棱锥，，，分别为棱，，上的点，截面底面，且棱台与棱锥的棱长和相等.（棱长和是指多面体中所有棱的长度之和）10mm 1mm AB 2AB =PA 2PA =C E PA F PC BC EF ⊥1AC =D PB CE DE +P ABC -D E F PA PB PC DEF ∥ABC DEF ABC -P ABC -（1）求证:为正四面体；（2）若，求二面角的大小；（3）设棱台的体积为，是否存在体积为且各棱长均相等的直四棱柱，使得它与棱台有相同的棱长和?若存在，请具体构造出这样的一个直四棱柱，并给出证明；若不存在，请说明理由.P ABC -12PD PA =D BC A --DEF ABC -V V DEF ABC -。
2023-2024学年北京交大附中高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A ．15B ．310C ．35D ．122．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（ ） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−454．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（ ） A ．√55B ．25C ．45D ．2√555．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．√53D ．√637．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（ ） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（ ）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中正确结论的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝ ；若a →，b →，c →共面，则λ＝ ．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= ．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值 ．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为 ．15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离． （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为 ；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为 ． 三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．17．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，AC ∩BD ＝O ，且PO ⊥平面ABCD ，PO ＝2，F ，G 分别是PB ，PD 的中点，E 是P A 上一点，且AP ＝3AE ． （1）求证：GF ⊥PC ；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值． 条件①：BD =2√3；条件②：∠DAB =2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）． （Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ； （2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =ji ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由； （2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明．2023-2024学年北京交大附中高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每道小题的四个选项中只有一个答案正确.每道小题4分，本大题一共40分.）1．若书架上放的工具书、故事书、图画书分别是5本、3本、2本，则随机抽出一本是故事书的概率为（ ） A ．15B ．310C ．35D ．12解：设随机抽出一本是故事书为事件A ，基本事件总数为10，事件A 包含的基本事件数为3， ∴P （A ）=310， 故选：B ．2．在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（ ） A ．（﹣1，﹣2，3） B ．（﹣1，﹣2，﹣3）C ．（﹣1，2，﹣3）D ．（1，2，3）解：在空间直角坐标系中，点P （1，2，﹣3）关于坐标平面xOy 的对称点为（1，2，3）． 故选：D ．3．若cos α=35，则sin （3π2−α）＝（ ）A ．35B ．−35C ．45D ．−45解：因为cos α=35，所以sin （3π2−α）＝﹣cos α=−35．故选：B ．4．直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，若∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值等于（ ） A ．√55B ．25C ．45D ．2√55解：法一：以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（0，0，2），B （0，0，0），C 1（0，1，2），AB 1→=（﹣1，0，2），BC 1→=（0，1，2），设异面直线AB 1与BC 1所成角为θ， 则cos θ=|AB 1→⋅BC 1→||AB 1→|⋅|BC 1→|=4√5⋅√5=45． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45．法二：将直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1还原为长方体如图所示，则异面直线AB 1与BC 1所成角即为AB 1与AD 1所成角， 在三角形AB 1D 1中，AB 1＝AD 1=√5，B 1D 1=√2， 根据余弦定理cos ∠B 1AD 1=5+5−22×√5×√5=45．∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为45． 故选：C ．5．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m ⊂α，α∥β，则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：m ⊂α，α∥β，由m ⊥n ，可得n ∥β或n ⊂β或n 与β相交，相交也不一定垂直， 反之，由n ⊥β，可得n ⊥α，而m ⊂α，则m ⊥n ． 则“m ⊥n ”是“n ⊥β”的必要不充分条件． 故选：B ．6．在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为A 1D 1的中点，则点C 1到直线CE 的距离为（ ） A ．13B ．√33C ．√53D ．√63解：如图，过C 1作C 1H ⊥EC 与点H ，根据题意易知△ECC 1为直角三角形，且EC 1=√52，CC 1＝1，∴EC =√54+1=32，∴点C 1到直线CE 的距离为C 1H =EC 1×CC 1EC =√52×132=√53．故选：C ．7．某停车场的停车收费标准如表所示：李明驾驶家用小轿车于17：30进入该停车场，并于当天21：10驶出该停车场，则李明应缴纳的停车费为（ ） A ．13.5元B ．18.5元C ．20元D ．27.5元解：根据题意得60÷15×2.5+30÷15×3.75+1＝10+7.5+1＝18.5（元），则李明应缴纳的停车费为18.5元． 故选：B ．8．我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水．天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸．若盆中积水深九寸，则平地降雨量是（ ）（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸；③台体的体积公式V =13(S 上+√S 上S 下+S 下)⋅ℎ） A ．2寸B ．3寸C ．4寸D ．5寸解：如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸． ∵积水深9寸，∴水面半径为12（14+6）＝10寸，则盆中水的体积为13π×9（62+102+6×10）＝588π（立方寸）．∴平地降雨量等于588ππ×142=3（寸）．故选：B ．9．如图，棱长均相等的三棱锥P ﹣ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD ＝x ，锐二面角A ﹣BD ﹣C 的大小为θ．当x 增大时，（ ）A ．θ增大B ．θ先增大后减小C ．θ减小D ．θ先减小后增大解：由题意，三棱锥P ﹣ABC 是正四面体，以△PBC 的重心为坐标原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，设三棱锥P ﹣ABC 的棱长为2√3，则PG ＝3，OP ＝2， 所以OA 2＝AP 2﹣PO 2＝12﹣22＝8，所以B(−1，−√3，0)，A(0，0，2√2)，C(−1，√3，0)，P(2，0，0)， 因为二面角A ﹣BD ﹣C 为锐二面角，所以D(√32x −1，2√3−x2，0)， 所以AB →=(−1，−√3，−2√2)，AD →=(√32x −1，2√3−x2，−2√2)， 设平面ABD 的法向量为m →=(t ，y ，z)，则{m →⋅AB →=0m →⋅AD →=0，即{−t −√3y −2√2z =0(√32x −1)t +(2√3−x2)y −2√2z =0， 令y =−√3x ，则t =4√3−x ，z =√2x −√6，所以m →=(4√3−x ，−√3x ，√2x −√6)， 因为OA ⊥平面PBC ，所以平面PBC 的一个法向量为n →=(0，0，1)，所以cosθ=|m →⋅n →|m →|⋅|n →||=|√2x−√6|√(4√3−x)2+(√3x)2+(√2x−√6)2=1√6√2x 2−4√3x+6x 2−2√3x+9=1√6√2−12(x−√3)2+6， 因为0＜x ＜2√3，所以当x =√3时，cos θ取得最小值0，此时θ取得最大值π2，当x ＞√3或x ＜√3时，cos θ都变大，即θ变小． 故选：B ．10．如图，在棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱AA 1上的一个动点，给出下列四个结论： ①三棱锥B 1﹣BED 1的体积为定值； ②存在点E 使得B 1D ⊥平面BED 1； ③D 1E +BE 的最小值为√2+1；④对每一个点E ，在棱DC 上总存在一点P ，使得AP ∥平面BED 1；⑤M 是线段BC 1上的一个动点，过点A 1的截面α垂直于DM ，则截面α的面积的最小值为√62． 其中正确结论的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5解：对于①，V B−BED1=V D1−BEB1=13S△BEB1⋅ℎ，显然S△BEB1是定值，因为D1A1⊥平面ABB1A1，所以h是定值，所以三棱锥B1﹣BED1的体积是定值，①正确；对于②，若存在点E，使得B1D⊥平面BED1，又BD1⊂平面BED1，可得BD1⊥B1D，所以四边形BDD1B1为正方形，即BB＝B1D1，这与B1D1=√2BB1矛盾，②错误；对于③，如图，将侧面AA1D1D与侧面AA1B1B展开铺平，则D1E+BE的最小值√5，③错误；对于④，当点E在点A时，平面BED1即是平面ABD1，此时AP与平面BED1相交，故不存在点P符合要求，④错误；对于⑤，如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，可得A1C⊥BD，A1C⊥BC1，且BD ，BC 1是平面BDC 1内两条相交直线，所以A 1C 上平面BDC 1，又DM ⊂平面BDC 1， 所以A 1C ⊥DM ，因为M 是BC 1上的动点，且过点A 1的截面α垂直DM ， 所以截面α过点C ，截面α交D 1C 1与G ，交AB 于H ，设D 1G ＝x （0≤x ≤1）， 则A 1G =√1+x 2，CG =√(1−x)2+1，在△A 1GC 中， 可得cos ∠A 1GC =1+x 2+x 2−2x+2−32√1+x 2⋅√x 2−2x+2=x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2，sin ∠A 1GC =√1−(x 2−x√1+x 2⋅√x 2−2x+2)2=√2√1+x 2⋅√x 2−2x+2，则该截面的面积为S =2×12A 1G ⋅CGsin∠A 1GC =√2x 2−2x +2=√2⋅√(x −12)2+34， 因为x ∈[0，1]，所以当x =12时，S min =√62，此时G ，H 分别是D 1C 1和AB 的中点，当M 是BC 1中点时，DM ⊥BC 1，即DM ⊥GH ， 所以DM ⊥平面A 1HCG ，满足题意，⑤正确． 故选：A ．二、填空题（每一道小题5分，本题一共25分）11．已知向量a →=(−2，2，−2)，b →=(−1，6，−8)，c →=(λ，0，−6)，若a →⊥c →，则λ＝ 6 ；若a →，b →，c →共面，则λ＝ 15 ． 解：∵a →⊥c →，∴a →⋅c →=0，又∵向量a →=(−2，2，−2)，c →=(λ，0，−6)， ∴﹣2λ+12＝0， ∴λ＝6．∵a →，b →，c →共面，∴c →=x a →+yb →，∴（λ，0，﹣6）＝x （﹣2，2，﹣2）+y （﹣1，6，﹣8）， ∴{λ=−2x −y 0=2x +6y −6=−2x −8y ，解得{x =−9y =3λ=15， 故答案为：6；15．12．在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，则(BE →+CE →)⋅BC →= 0 ．解：如图(BE →+CE →)⋅BC →=(BE →+CE →)⋅(BE →+EC →)=(BE →+CE →)⋅(BE →−CE →)=BE →2−CE →2， 因为|BE →|=|CE →|，所以(BE →+CE →)⋅BC →=0；故答案为：0．13．设动点P 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1上（含内部），且D 1P →=λD 1B →，当∠APC 为锐角时，写出实数λ的一个可能的取值16（答案不唯一） ．解：设正方体的棱长为1，AP ＝x ，D 1P ＝t ，则AC =√2， 在△APC 中，由余弦定理得cos ∠APC =x 2+x 2−22x 2=x 2−1x2， 若∠APC 为锐角，则x 2−1x 2＞0，则x 2＞1，当点P 与D 1重合时，∠APC ＝60°，符合题意，此时λ＝0， 在△AD 1P 中，AD 1=√2，cos ∠AD 1P =√63，于是由余弦定理得x 2=2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63， 于是2+t 2−2⋅√2⋅t ⋅√63＞1，即3t 2−4√3t +3＞0，解之得：t ＞√3或t ＜√33，由D 1B =√3，故λ＞1（舍）或0＜λ＜13．所以实数λ的取值范围是0≤λ＜13，取λ=16即可． 故答案为：16（答案不唯一）．14．如图，在四棱锥P ﹣ABED 中，DE ∥AB ，BE ⊥DE ，AB ＝2DE ＝2PE ＝2，BE =√3，PE ⊥平面ABED ，则异面直线PB 与AD 之间的距离为 2√217．解：以点E 为坐标原点，ED ，EB ，EP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所的空间直角坐标系，则 A （2，√3，0），B （0，√3，0），P （0，0，1），D （1，0，0）， 则AD →=(−1，−√3，0)，PB →=(0，√3，−1)，PD →=(1，0，−1)， 设n →=(x ，y ，z)，满足n →⊥AD →，n →⊥PB →，{n →⋅AD →=0n →⋅PB →=0，即{−x −√3y =0√3y −z =0，令y ＝1，则x =−√3，z =√3，故n →=(−√3，1，√3)， 所以异面直线PB 与AD 之间的距离为：|n →⋅PD →n→|=√3，√3)⋅(1√7=2√217． 故答案为：2√217． 15．定义空间中点到几何图形的距离为：这一点到这个几何图形上各点距离中最短距离． （1）在空间中到定点O 距离为1的点围成的几何体的表面积为 4π ；（2）在空间，定义边长为2的正方形ABCD 区域（包括边界以及内部的点）为Ω，则到Ω距离等于1的点所围成的几何体的体积为163π+8． ．解：（1）与定点O 距离等于1的点所围成的几何体是一个半径为1的球，所以其表面积为4π； （2）分析可知，到距离等于1的点所围成的几何体是一个棱长为2，2，2的长方体和4个高为2，底面半径为1的半圆柱以及四个半径为1的四分之一球所围成的几何体，所以其体积为：2×2×2+4×12×π×12×2+4×14×43π×13=8+4π+43π=163π+8． 故答案为：（1）4π；（2）163π+8．三、解答题16．（12分）如图，已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC ＝BC ，M 为AB 的中点． （Ⅰ）求证：CM ⊥平面ABB 1A 1； （Ⅱ）求证：AC 1∥平面CMB 1．（Ⅰ）证明：由直三棱柱的性质知，AA1⊥平面ABC，∵CM⊂平面ABC，∴AA1⊥CM，∵AC＝BC，M为AB的中点，∴CM⊥AB，又AA1∩AB＝A，AA1、AB⊂平面ABB1A1，∴CM⊥平面ABB1A1．（Ⅱ）证明：连接BC1，交B1C于点O，连接OM，则O为BC1的中点，∵M为AB的中点，∴OM∥AC1，∵OM⊂平面CMB1，AC1⊄平面CMB1，∴AC1∥平面CMB1．17．（14分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，AC∩BD＝O，且PO⊥平面ABCD，PO＝2，F，G分别是PB，PD的中点，E是P A上一点，且AP＝3AE．（1）求证：GF⊥PC；（2）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线P A与平面EFG所成角的正弦值．条件①：BD=2√3；条件②：∠DAB=2π3．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答记分．（1）证明：∵G ，F 分别为PD ，PB 中点，∴GF ∥DB ， ∵底面ABCD 是边长为2的菱形，∴AC ⊥BD ， ∵PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥BD ， 又PO ∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面P AC ， ∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC ， ∴GF ⊥PC ；（2）解：如图以O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，若选①，∵BD =2√3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3， 若选②，∵∠DAB =2π3，底面ABCD 是边长为2的菱形，∴OA ＝1，OD =OB =√3， 则A （1，0，0），B(0，√3，0)，D(0，−√3，0)，P （0，0，2），G(0，−√32，1 ），F(0，√32，1)．∴PA →=(1，0，−2)，AP →=(−1，0，2)，OA →=(1，0，0)， 又AP ＝3AE ，∴AE →=13AP →，∴OE →=OA →+13AP →=(23，0，23)， ∴E(23，0，23)，EF →=(−23，√32，13)，EG →=(−23，−√32，13)， 设平面EFG 法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅EF →=−23x +√32y +13z =0n →⋅EG →=−23x −√32y +13z =0，取n →=(1，0，2)，设直线P A 与平面EFG 所成角为θ．则sinθ=|PA →⋅n→|PA →||n →||=−3√5⋅√5=35． ∴直线P A 与平面EFG 所成角的正弦值为35． 18．（14分）已知函数f （x ）＝x 2+ax +4（a ∈R ）． （Ⅰ）若f （1）＝0，求不等式f （x ）≤0的解集；（Ⅱ）若f （1）＝2，求f （x ）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，并分别写出取得最大值和最小值时的x 值；（Ⅲ）若对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为f （x ）＝x 2+ax +4且f （1）＝0，所以a +5＝0，解得a ＝﹣5， 所以f （x ）＝x 2﹣5x +4，由f （x ）≤0，得f （x ）＝x 2﹣5x +4≤0，即（x ﹣4）（x ﹣1）≤0，解得1≤x ≤4， 即原不等式的解集为[1，4]；（Ⅱ）因为f （1）＝2，所以a +5＝2，所以a ＝﹣3， 所以f （x ）＝x 2﹣3x +4＝（x −32）2+74， 因为x ∈[﹣2，2]，所以函数在[﹣2，32]上单调递减，在（32，2]上单调递增，所以当x =32时函数取得最小值f （x ）min ＝f （32）=74；当x ＝﹣2时函数取得最大值f （x ）max ＝f （﹣2）＝14；（Ⅲ）因为对任意x ∈（0，+∞），不等式f （x ）＞0恒成立， 即对任意x ∈（0，+∞），不等式x 2+ax +4＞0恒成立， 即﹣a ＜x +4x对任意x ∈（0，+∞）恒成立， 因为x +4x≥2√x ⋅4x =4，当且仅当x =4x ，即x ＝2时取等号； 所以﹣a ＜4，即a ＞﹣4， 所以a ∈（﹣4，+∞）．19．（15分）在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点，线段AC 与DP 交于O 点（如图1）．将△ACD 沿AC 折起到△ACD '位置，使得平面D ′AC ⊥平面BAC （如图2）．（1）求二面角A ﹣BD '﹣C 的余弦值；（2）线段PD '上是否存在点Q ，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68？若存在，求出PQ PD′的值；若不存在，请说明理由．解：（1）因为AB ∥CD ，∠BAD =π3，AB ＝2AD ＝2CD ＝4，P 为AB 的中点， 所以BC ＝2，∠ABC =π，AB ＝4，所以AC ⊥BC ，AC ⊥DP ，因为平面D ′AC ⊥平面BAC ，平面D ′AC ∩平面BAC ＝AC ，D 'O ⊂平面D ′AC ，D ′O ⊥AC ， 所以D ′O ⊥平面BAC ，所以OA ，OP ，OD ′两两垂直，以O 为坐标原点，OA ，OP ，OD ′所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的建立空间直角坐标系，则D '（0，0，1），C(−√3，0，0)，B(−√3，2，0)，A （√3，0，0），所以D ′C →=(−√3，0，−1)，CB →=(0，2，0)，AB →=(−2√3，2，0)，AD ′→=(−√3，0，1)， 设平面BCD '的法向量为n →=(x ，y ，z)，则{n →⋅D′C →=−√3x −z =0n →⋅CB →=2y =0，取x ＝1，得n →=(1，0，−√3)， 设平面ABD ′的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅AB →=−2√3x 1+2y 1=0m →⋅AD′→=−√3x 1+z 1=0，取x 1＝1，得m →=(1，√3，√3)， 设二面角A ﹣BD '﹣C 的平面角为θ，由法向量的方向可知，＜m →，n →＞=θ，所以cosθ=|m →⋅n →||m →||n →|=|1−√3×√3|2×7=√77，则二面角A ﹣BD ′﹣C 的余弦值为√77； （2）设PQPD′=t （0≤t ≤1），则PQ →=tPD′→，因为P （0，1，0），PD ′→=（0，﹣1，1），则Q （0，1﹣t ，t ），CQ →=(√3，1−t ，t)，由（1）知平面BCD ′的一个法向量为n →=(1，0，−√3)， 所以CQ 与平面BCD ′所成角的正弦值为|cos ＜CQ →，n →＞|=|CQ →⋅n →||CQ →||n →|=|3−3t|2√3+(1−t)2+t =√68，化简得3t 2﹣7t +2＝0，解得t =13或t ＝2（舍去）， 故存在PQ PD′=13，使得CQ 与平面BCD '所成角的正弦值为√68． 20．（15分）如图1，矩形ABCD ，AB ＝1，BC ＝2，点E 为AD 的中点，将△ABE 沿直线BE 折起至平面PBE ⊥平面BCDE （如图2），点M 在线段PD 上，PB ∥平面CEM ．（1）求证：MP ＝2DM ； （2）求点B 到面PEC 的距离；（3）若在棱PB ，PE 分别取中点F ，G ，试判断点M 与平面CFG 的关系，并说明理由． 解：（1）证明：如图所示：连接BD 与CE 交于点Q ，连接MQ ，PB ∥平面CEM ，PB ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MEC ＝MQ ， 故PB ∥MQ ，△BCQ ﹣△DEQ ，故BQ QD=BC DE=2，即BQ ＝2QD ，△PBD ∽△MQD ，故PMMD=BQ QD=2，即MP ＝2DM ．（2）过P 作PH ⊥BE 交BE 于H ，PB ＝PE ＝1，故PH =√22， V P ﹣BCE =13S △BCE ×PH =13×12××2×√22=√26，PH ⊥BE ，平面PBE ⊥平面BCDE ， 平面PBE ∩平面BCDE ＝BE ，PH ⊂平面PBE ，故PH ⊥平面BCDE ， EC ⊂平面BCDE ，则PH ⊥EC ，BE =√2，EC =√2，BC ＝2，故BC 2＝BE 2+EC 2，故BE ⊥EC ，BE ∩PH ＝H ， BE ，PH ⊂平面PBE ，故EC ⊥平面PBE ， PE ⊂平面PBE ，故EC ⊥PE ，S △PBC =12×PE ×CE =12×1×√2=√22， 设点B 到面PEC 的距离为h ，则13S △PBC •h ＝V P ﹣BCE =√26，故h ＝1． 即点B 到面PEC 的距离为1． （3）M ∈CFG ．理由如下：如图所示：延长ED 到N ，使得DE ＝DN ，连接PN ，GN ，四边形BCNE 为平行四边形，F ，G 分别为PB ，PG 中点， 则FG ∥BE ，故FG ∥CN ，则CNGF 四点共面，D 为EN 中点，且MP ＝2DM ，故M 为△PEN 重心，G 是PE 中点，NG 为△PEN 中线， 所愉M ∈NG ，所以M ∈平面FCNG ，即M ∈平面CFG ．21．（15分）给定正整数n ≥2，设集合M ＝{α|α＝（t 1，t 2，⋯，t n ），t k ∈{0，1}，k ＝1，2，⋯，n }．对于集合M 中的任意元素β＝（x 1，x 2，⋯，x n ）和γ＝（y 1，y 2，⋯，y n ），记β•γ＝x 1y 1+x 2y 2+⋯+x n y n ．设A ⊆M ，且集合A ＝{αi |αi ＝（t i 1，t i 2，⋯，t in ），i ＝1，2，⋯，n }，对于A 中任意元素αi ，αj ，若a i ⋅a j ={p ，i =j i ，i ≠j ，则称A 具有性质T （n ，p ）．（1）判断集合A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}是否具有性质T （3，2），说明理由； （2）判断是否存在具有性质T （4，p ）的集合A ，并加以证明． 解：（1）对于A ＝{（1，1，0），（1，0，1），（0，1，1）}， 则（1，1，0）•（1，1，0）＝1+1+0＝2， 同理（1，0，1）•（1，0，1）＝（0，1，1）•（0，1，1）＝2， 而（1，1，0）•（1，0，1）＝1+0+0＝1， 同理（1，1，0）•（0，1，1）＝（1，0，1）•（0，1，1）＝1， 所以A 具有性质T （3，2）．（2）假设存在集合A 具有性质T （4，p ），易知集合A 有4个元素且p ∈{0，1，2，3，4}， ①若p ＝0，则A ＝{（0，0，0，0）}，不符合4个元素，舍去；②若p ＝1，则A ⊆{（1，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0），（0，0，0，1）}， 又因为（1，0，0，0）•（0，1，0，0）＝0，所以不满足，舍去； ③若p ＝2，则A ⊆{（1，1，0，0），（1，0，1，0），（1，0，0，1），（0，1，1，0），（0，1，0，1），（0，0，1，1）}， 又因为（1，1，0，0）•（0，0，1，1）＝（1，0，1，0）•（0，1，0，1） ＝（1，0，0，1）•（0，1，1，0）＝0， 所以这3组每组至多只能有一个包含于A ，所以A 至多只有3个元素，矛盾，舍去；④若p＝3，则A⊆{（1，1，1，0），（1，1，0，1），（1，0，1，1），（0，1，1，1）}，又因为（1，1，1，0）•（1，1，0，1）＝2，所以不满足，舍去；⑤若p＝4，则A＝{（1，1，1，1）}，只有一个元素，舍去，综上可知，不存在具有性质T（4，p）的集合A．。
2022-2023学年上海市上海中学高二上学期期中数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市上海中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．集合{}18652024,Z x x x ≤≤∈中，共有（ ）个数是7的整数倍. A ．21 B ．22 C ．23 D ．24【答案】C【分析】由题意可令186572024k ≤≤，求出k 的范围即可求解 【详解】令7,Z x k k =∈，由题意可得186572024k ≤≤， 解得1865202477k ≤≤， 所以266.4289.1,Z k k ≤≤∈，所以满足条件的整数共有289267123-+=个， 故选：C2．将12根长度相同的小木棍通过粘合端点的方式（不可折断），不可能拼成（ ）. A ．正三棱柱 B ．正四棱锥C ．正四棱柱D ．正六棱锥【答案】D【分析】根据几何体的结构特征逐一判断即可.【详解】正三棱柱中9条棱长度可以完全相同，故A 成立； 正四棱锥中5条棱长度可以完全相同，故B 成立； 正四三棱柱中12条棱长度可以完全相同，故C 成立； 因为正六边形的中心到六个顶点的距离都等于边长， 所以正六棱锥的侧棱长总比底边长，故D 不成立； 故选：D.3．已知正五棱锥P ABCDE -的外接球的球心为点O ，△P AB 的外心是点1O ，则异面直线1OO 与P A 所成角为（ ）. A ．54° B ．60°C ．72°D ．90°【答案】D【分析】根据给定条件，利用球的截面小圆性质即可求解作答.【详解】点O 为正五棱锥P ABCDE -的外接球球心，而点1O 是PAB 的外心，即点1O 是球O 被平面P AB 截得的截面小圆圆心，于是得1OO ⊥平面P AB ，而PA ⊂平面P AB ，因此1OO PA ⊥， 所以异面直线1OO 与P A 所成角为90. 故选：D4．图中的十面体的面是由四个正五边形，四个三角形和两个正方形组成的，则图中上正方形面积是下正方形面积的（ ）倍.A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】由图形分析出上下底面正方形的边长，即可求解 【详解】观察两个相邻的正五边形，它们的组成的图形是对称的， 由于它们的一侧可以夹一个正方形， 所以另一侧也可以加一个正方形， 因此，图中的三角形为等腰直角三角形， 不妨设正五边形的边长为1， 2所以下底面正方形的边长为12 所以上底面正方形的面积为2，下底面正方形的面积为1， 所以上正方形面积是下正方形面积的2倍， 故选：B二、填空题5．已知等差数列{n a }满足()*3N n n a a n n -=∈，则21a a -=___．【答案】12##0.5【分析】设公差为d ，由已知递推式有1321a a d -==求公差，进而可得21a a -的值. 【详解】若数列{n a }的公差为d ，而1321a a d -==，故12d =， 又2112a a d -==.故答案为：126．已知向量()1,2,2a =-与(),2,1b m m =-垂直，则m 的值为______. 【答案】2【分析】直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】()()1,2,2,2,12420a b m m m m ⋅=-⋅-=+--=，解得2m =. 故答案为：27．在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD BB ++=______. 【答案】1AC ##1C A -【分析】根据给定条件，利用正方体的结构特征，结合空间向量运算求解作答. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，11,AD BC BB CC ==， 所以111AB AD BB BC CC C B A A +=++=+. 故答案为：1AC8．已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则这个圆锥的表面积等于______． 【答案】3π【分析】根据圆锥轴截面的定义结合正三角形的性质，可得圆锥底面半径长和高的大小，由此结合圆锥的表面积公式，能求出结果．【详解】∵圆锥的轴截面是正三角形ABC ，边长等于2 ∴圆锥的高3232AO =⨯=， 底面半径1212r =⨯=.∴这个圆锥的表面积：221213S rl r πππππ=+=⨯⨯+⨯=.故答案为3π．【点睛】本题给出圆锥轴截面的形状，求圆锥的表面积，着重考查了等边三角形的性质和圆锥的轴截面等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 9．已知球的表面积为12π，则它的体积为__________.【答案】【分析】先计算球的半径，再求体积【详解】设球的半径为R,则2344123R R V R πππ=∴==故答案为：10．已知a b ⊥，c 与a 、b 的夹角都是60°，且1a =，2b =，3c =，则a b c +-=______.【分析】利用向量模的计算公式以及数量积的运算律求解即可.【详解】因为a b ⊥，c 与a 、b 的夹角都是60°，且1a =，2b =，3c =，所以30,cos60,cos6032a b c a c a c b c b ⋅=⋅=⋅︒=⋅=⋅︒=，所以()22222222a b c a b ca b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅3149022352=+++-⨯-⨯=，所以5a b c +-=，11．已知等差数列{}n a 满足1112130a a a ++>，10150a a +<，记n S 表示数列{}n a 的前n 项和，则当10n n S S +<时，n 的取值为______.【答案】23【分析】根据题意得到120a >，130a <，计算得到2312230S a =>，()241213120S a a =+<，得到答案. 【详解】1111212303a a a a =++>，故120a >，110113520a a a a =++<，故130a <，故0d <， ()23123121232302S a a a =+⨯=>，()()2412412131241202S a a a a =+⨯=+<. 10n n S S +<，故23n =.故答案为：2312．一个正三棱柱各面所在的平面将空间分成______部分．【答案】21【分析】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分，由此可得解.【详解】三棱柱三个侧面将空间分成7部分，三棱柱两个平行的底面又在这个基础上分成3大部分， 故三棱柱各面所在的平面将空间分成3721⨯=部分 故答案为：21【点睛】思路点睛：本题考查将空间分成几部分的判断，解题时要认真审题，注意三棱柱的结构特征及平面的基本性质及推论的合理运用，属于基础题.13．设正四面体ABCD 的棱长为1，点M 、N 满足2AM MD =，2=CN NB ，则MN =______. 【答案】53【分析】利用空间向量的坐标运算求两点间的距离.【详解】如图,将正四面体ABCD 放在正方体中,2因为2AM MD =，2=CN NB ,所以22222,0M N ⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭，,所以220,MN ⎛= ⎝⎭,所以MN =5514．将边长为24、20、16的三角形沿三条中位线折叠成一个四面体，则该四面体的体积为______. 【答案】306【分析】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8的三角形， 故该四面体可放置与一个长方体1111ABCD A B C D -中，即可求解【详解】由题意可知该四面体的四个面都是一个边长分别为12,10,8的三角形， 故该四面体可放置与一个长方体1111ABCD A B C D -中，即图中的三棱锥11A BC D -， 不妨设1110,12,8A B BD A D ===，则111110,12,8DC AC BC ===， 设1,,AB a AD b AA c ===，则22222222210128a c a b b c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，解得222905410a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以3103610a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，所以11111114A BC D ABCD A B C D A ABD V V V ---=-⨯1131036104310361032=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯2190690690630633=-⨯=⨯=，故答案为：30615．已知ABC 的三边长为4、4、3，它的外接圆恰好是球O 的一个大圆，P 为球面上一点.若点P 到的三个顶点的距离相等，则三棱锥-P ABC 的体积为______. 【答案】4【分析】根据给定条件，求出球O 的半径，过P 作PO '⊥平面ABC 于点O '，证明O '与点O 重合作答.【详解】依题意，不妨令4,3AB AC BC ===，则132cos 8BCABC AB ∠==，有255sin 1cos ABC ABC ∠=-∠=因此ABC 的外接圆半径，即球O 的半径为12sin 55AC R ABC =⨯=∠过点P 作PO '⊥平面ABC 于点O '，如图，因PA PB PC ==，于是得O A O B O C '''==，即点O '是ABC 外心，与点O 重合，又点P 在三棱锥-P ABC 的外接球球面上，则点P 是球O 直径的一个端点，即有55PO R '== 1155355sin 4322ABCSAB BC ABC =⋅∠=⨯⨯=所以三棱锥-P ABC 的体积是1135543355A CA B P BC V SR -=⋅==.故答案为：416．在一个235⨯⨯的长方体黑盒内，每个面的内壁都装有平面镜，八个角均凿了小孔，一束激光从某个孔射入，入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同，则该束光线经过______次反射后穿出盒外. 【答案】21【分析】作出空间直角坐标系，得出三个坐标轴坐标的变化规律，得出光束的路径，进而求出光反射的次数.【详解】解：由题意， 在235⨯⨯的长方体中，入射光线与该孔所对应的三条棱的夹角均彼此相同 ∴沿对角线入射， ∴各坐标变化规律如下：:01210121x →→→→→→→→:01234543210123454321y →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→:012321012321z →→→→→→→→→→→→建立空间直角坐标系如下图所示：假设光线从1A 点射入，则光线路径如下：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()110,0,31,1,22,2,11,3,00,4,11,5,22,4,31,3,20,2,11,1,02,0,11,1,20,2,31,3,22,4,11,5,00,4,11,3,22,2,31,1,20,0,11,1,02,2,11,3,20,4,31,5,22,4,11,3,00,2,11,1,22,0,3A B →→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→→根据光线路径可知，共经过了21次反射. ∴该束光线经过了21次反射. 故答案为：21.三、解答题17．如图，已知该几何体由底面半径均为3的圆柱和圆锥粘合而成，它们的母线长均为5，求该几何体的体积.【答案】57π【分析】由圆锥与圆柱的体积公式求解即可 【详解】22534-=，所以圆锥的体积为21π3412π3⨯⨯⨯=，圆柱的体积为2π3545π⨯⨯=， 所以该几何体的体积为12π45π=57π+18．已知空间中三点()1,1,1A -、()0,2,1B 、()2,1,3C -. (1)当k AB AC ⋅+与2k AB AC ⋅-的夹角为钝角时，求k 的范围； (2)求原点O 到平面ABC 的距离.【答案】(1)5(,0)(0,2)2-；(2)1.【分析】（1）求出向量,AB AC 坐标，再利用向量夹角为钝角，结合向量数量积列式求解作答. （2）求出平面ABC 的法向量，利用点到平面距离公式计算作答.【详解】（1）因点()1,1,1A -、()0,2,1B 、()2,1,3C -，则(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==-， (1,,2)k AB AC k k ⋅+=-，2(2,,4)k AB AC k k ⋅-=+-，因当k AB AC ⋅+与2k AB AC ⋅-的夹角为钝角，则()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-<，且k AB AC ⋅+与2k AB AC ⋅-不共线，当()(2)0k AB AC k AB AC ⋅+⋅⋅-<时，22(1)(2)82100k k k k k -++-=+-<，解得522k -<<， 当k AB AC ⋅+与2k AB AC ⋅-共线时，存在实数t ，有(2,,4)(1,,2)k k t k k +-=-，于是得2(1)42k t k k tkt +=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得2,0t k =-=， 因此k AB AC ⋅+与2k AB AC ⋅-不共线，则0k ≠，所以k 的范围是5(,0)(0,2)2-.（2）由（1）知，(1,1,0),(1,0,2)AB AC ==-，设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =， 则020n AB x y n AC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令1z =，得(2,2,1)n =-，(0,2,1)OB =，所以原点O 到平面ABC 的距离2||1||2n OBd n ⋅===19．如图，正四棱锥P ABCD -的底面面积为4(1)求P A 和DC 的所成角的余弦值； (2)求侧棱P A 和侧面PBC 所成角的正弦值. 【答案】515【分析】（1）因为//CD AB ，则P A 和DC 的所成的角为∠PAB 或其补角，由余弦定理求解即可； （2）连接,AC BD 交于点O ，连接OP ，则易知,,OA OB OP 两两垂直，故以O 为原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可【详解】（1）因为正四棱锥P ABCD -的底面面积为45 所以2,5AB BC CD AD PA PB PC PD ======== 又//CD AB ，所以P A 和DC 的所成的角为∠PAB 或其补角，因为2225cos 2252PA AB PB PAB PA AB +-∠===⋅⨯⨯所以P A 和DC 5； （2）连接,AC BD 交于点O ，连接OP ， 则易知,,OA OB OP 两两垂直，故以O 为原点，,,OB OC OP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系， 则())()(0,2,0,2,0,0,2,0,3A BC P -，()()(0,2,3,2,2,0,2,0,3AP BC BP ==-=-，设平面BCP 的一个法向量为(),,n x y z =， 则220230BC n x BP n x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，即62x y x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，则()6,6,2n =， 设P A 和平面PBC 所成的角为θ，则60622315sin 566423n APn AP θ⋅⨯+⨯+⨯===++⨯+⋅， 所以P A 和平面PBC 所成角的正弦值为15520．已知底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截后的几何体如图所示，若2AB DG ==，3CF =，3BAD π∠=.(1)求BE 的长；(2)求二面角A EC B --的余弦值.【答案】(1)16【分析】（1）由面面平行性质可得AEFG 为平行四边形，根据5AE GF ==（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面BEC 和平面AEC 的法向量，利用向量的夹角公式即可求得答案.【详解】（1）由题意底面ABCD 为菱形的直四棱柱，被平面AEFG 所截几何体，因为面//ABE 面CDGF ，面AEFG面ABE AE =，面AEFG 面CDGF GF =，由面面性质定理可知//AE GF ，同理//AG EF ，即四边形AEFG 为平行四边形， 2AB DG ==，3CF = ∴5AE GF ==，即2225BE +=，∴1BE =.（2）以O 为原点，OA 所在直线为x 轴，OB 所在直线为y 轴，过O 平行于CF 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，则)3,0,0A ，()0,1,0B ，()3,0,0C -，()0,1,1E ， 即()23,0,0AC =-，()3,1,1CE =，()3,1,0BC =--， 设面AEC 法向量为(),,n a b c =，则00n AC n CE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∴23030a a b c ⎧-=⎪⎨++=⎪⎩， 设1b =，则()0,1,1n =-，设平面BEC 法向量为(),,m x y z =，则3030m BC x y m CE x y z ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=++=⎪⎩， 设1y =，则3,1,03m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以6cos ,2323n mn m n m ⋅===⋅⨯ ， 由图知二面角A EC B --621．在四面体ABCD 中，H 、G 分别是AD 、CD 的中点，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点，且()0BF BE k k FC EA==>.(1)求证：E 、F 、G 、H 四点共面；(2)若平面EFGH 截四面体ABCD 所得的五面体AC EFGH -的体积占四面体ABCD 的325，求k 的值. 【答案】(1)见解析(2)9k =【分析】（1）利用平行的传递性证明//EF HG 即可；（2）延长,,EH FG BD ，则必交于点M ，利用相似比求解即可【详解】（1）连接,EF HG ，因为H 、G 分别是AD 、CD 的中点，所以//AC HG ，又()0BF BE k k FC EA ==>， 所以//AC EF ，所以//EF HG ，所以E 、F 、G 、H 四点共面；（2）延长,,EH FG BD ，则必交于点M ，证明如下：设=EH FG M ，因为EH ⊂平面ABD ，所以M ∈平面ABD ，同理M ∈平面BCD ，又平面ABD ⋂平面BCD BD =，所以M ∈BD ，所以,,EH FG BD ，则必交于点M ，取BD 的中点O ，连接,OH OG ，因为()0BE k k EA =>， 所以1BE k BA k =+， 又12OH BA =， 所以12OH k BE k+=， 所以312M HOG M EBF V k V k --+⎛⎫= ⎪⎝⎭， 又12MO OH k MB BE k+==， 所以122MD DO k MD DO k++=+， 所以()()22121kMD kDO k MD k DO +=+++，所以()12k MD DO -=，即21MD DO k =-， 所以21M HDG D HOG V V k --=-，11M HOG D HOG k V V k --+=-， 所以()()3333881111M EBF M HOG D HOG k k k V V V k k k ---+=⋅=⋅⋅-++， ()()333381181111111811HOG EBF D HOG A BCDk k k k k k V V V k k k k k k ---⎛⎫⎛⎫++++=⋅-⋅=⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----++⎝⎭⎝⎭ 221258A BCD V -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭， 所以()338112211182581k k k k ⎛⎫+-⋅=- ⎪ ⎪-+⎝⎭，即()()3328111511251k k k k -+⋅=-+， 所以227411512125k k k k ++=++，即212101630k k --=， 所以()()12790k k +-=，解得9k =或712k =-， 又因为0k >，所以9k =【点睛】四点共面问题是立体几何中常考的问题之一，解决的方法是结合图象证明这四点成的两条线平行，通过两直线平行，从而说明四点共面。
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上海交通大学附属中学09-10学年高二上学期期中考试数学试卷（本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟，答案一律写在答题纸上）命题：李嫣 审核：杨逸峰 校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第_________项。
2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___________。
3．ABC ∆中，AB BC CA ++=_______________。
4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 。
5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =_________。
6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=_________。
7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a = 是0a =的充要条件；（3）若a b = ，则a b =± ；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。
其中为真命题的是___________________。
8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升 ，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作______次，该酒精浓度降到30%以下。
9.设111()123f n n=+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=_____________________。
10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 。
11．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，若k ≤21，那么S k 等于______________12．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
若6a ＝1，则m 所有可能的取值为______________。
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是 （ ） A ．215a a + B ．215a a ⋅ C ．2916a a a ++D ．2916a a a ⋅⋅14．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足 （ ） A ．q >1 B ． 0<q <1 C ．q <1 D ．q <015．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ ） A ．11a B.10a C.9aD.8a16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以AB C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧，这样画到第n 圈，则所得曲线A12332313n n n CA A A A A A -- 的总长度n S 为 （ ）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+三、解答题（本大题满分52分，8+8+12+12+12）本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17.在2与9之间插人两个数，使前三项成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列。
18.已知数列{}n a 的通项公式313n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n H 。
19．等比数列{}n a ，0n a >，它的前k 项和80k S =，123,,,,k a a a a ⋅⋅⋅中最大的一项是54，且前2k 项的和26560k S =。
求：（1）数列的通项()n a f n =；（2）lim nn na S →∞20. 设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项的和为n S ，并且对于所有的自然数n ，存在正数t ，使n a 与t 的等差中项等于n S 与t 的等比中项．（1）求 {}n a 的通项公式；（2）若n=3时，2n n S t a -⋅取得最小值，求t 的取值范围。
21.已知函数1(),(,)f x x R xa∈≠满足()(),(0)a x f x abx f x a ⋅⋅=+≠，(1)1,f =若使()2f x x =成立的x 只有一个:（1）求()f x 的解析式；（2）若数列{}n a 满足*1121,(),1,()3n n n na a f ab n N a +===-∈，证明数列{}n b 是等比数列，并求出{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，证明1122112n n na b a b a b ++⋅⋅⋅+<-上海交通大学附属中学2009-2010学年度第一学期高二数学期中试卷本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟。
请考生用钢笔或圆珠笔将答案写在答题卷上 命题：李嫣 审核：杨逸峰 校对：冼巧洁一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分。
1.在数列21121,0,,,,,98n n --⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，225是它的第____10______项。
（练习册p1（2）） 2.方程22310x x -+=两根的等比中项是___2±。
（一课一练p15(7)） 3．ABC ∆中，AB BC CA ++ =_______0________。
4．已知21110011(2)101n m n n n a n n -⎧≤≤⎪⎪+=⎨⎪+>⎪⎩（正整数m 为常数），则lim n n a →∞= 2m；5. 等差数列{}n a 中，n S 是前n 项和，且k S S S S ==783,，则k =____4______。
6. 在1，2之间插入n 个正数12,,,n a a a ⋅⋅⋅，使这n+2个数成等比数列，则123n a a a a ⋅⋅⋅=____22n_____。
7. 给出以下命题（1）若非零向量a 与b 互为负向量，则//a b ；（2）0a = 是0a =的充要条件；（3）若a b = ，则a b =± ；（4）物理学中的作用力和反作用力互为负向量。
其中为真命题的是_____（1）（2）（4）__________8．有纯酒精20升，倒出3升后，以水补足20升 ，这叫第一次操作，第二次操作再倒出3升，再以水补足20升，如此继续下去，则至少操作___8___次，该酒精浓度降到30%以下。
9.设111()123f n n =+++⋅⋅⋅+，那么1(2)(2)k k f f +-=111121222k k k +++⋅⋅⋅+++（一课一练p34（8））10. 已知数列{n a }的前n 项和S n =n 2-9n ，若它的第k 项满足5<a k <8，则k= 8 。
11．设数列{a n }是首项为50，公差为2的等差数列；{b n }是首项为10，公差为4的等差数列，以a k 、b k 为相邻两边的矩形内最大圆面积记为S k ，若k ≤21，那么S k 等于2(23)k π+12．已知数列{}n a 满足：1a ＝m （m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时，当为奇数时。
若6a ＝1，则m 所有可能的取值为__4，5，32________。
二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为(A)、(B)、(C)、(D)的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在对应的空格内，选对得3分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），一律得零分。
13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 17为一确定常数，则下列各式也为确定常数的是（ C ） A ．215a a + B ．215a a ⋅ C ．2916a a a ++ D ．2916a a a ⋅⋅ 14．在等比数列{a n }中，首项a 1<0，则{a n }是递增数列的充要条件是公比q 满足（ B ） A ．q >1 B ． 0<q <1 C ．q <1 D ．q <015．等差数列{a n }中，15a =-，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取的是 （ A ） A ．11a B.10a C.9a D.8a 16．一条曲线是用以下方法画成：ABC ∆是边长为1的正三角形，曲线11223CA A A A A 、、分别以AB C 、、为圆心，12AC BA CA 、、为半径画的弧， 123CA A A 为曲线的第1圈，然后又以A 为圆心，3AA 为半径画弧 ，这样画到第n 圈，则所得曲线1233231n n nC A A A AAA-- 的总长度n S 为（ A ）A ．(31)n n π+B ．(1)3n n π+ C ．2(31)n π- D ．(1)n n π+ 三、解答题（本大题满分52分，8+8+12+12+12）本大题共有5小题，解答下列各题必须写出必要的步骤。
17.在2与9之间插人两个数，使前三项成等差数列，后三个数成等比数列，试写出这个数列。
（课本p22例3）解：设插入的两个数依次为a 和b ，那么a 和b 应满足方程组：2229b a b a +=⎧⎨=⎩………..4分A解得46a b =⎧⎨=⎩或1432a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ …………………6分当4,6a b ==时，所求数列为2，4，6，9。
当13,42a b ==- 时，所求数列为132,,,942- ………………. 8分 18.已知数列{}n a 的通项公式313n a n =-，求数列{}n a 的前n 项和n H 。