微积分的创立

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微积分的创立、发展及意义【最新】

微积分的创立、发展及意义摘要该文主要论述了微积分的创立过程、微积分的发展历程，以及微积分的重要意义。

在微积分的创立过程中，主要说明了创立背景、微积分的两位创始人独立创立微积分的过程以及微积分的基本内容及基本方法；其次，以欧拉为主要代表介绍了微积分的发展历程；最后论述了微积分对科学、社会、工业、航空等方面的影响及其深远意义。

关键词：微积分数学史创立发展意义论文1、微积分的创立1.1 微积分的创立背景[1]克莱因（M.Klein）认为：微积分的创立，首先是处于17世纪主要两科学问题，即有四种主要类型的问题有待用微积分去解决。

第一类：已知物体移动的距离表示为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度；反过来，已知物体的加速度表示为时间的函数的公式，求速度和距离。

第二类：问题是求曲线的切线，这是一个几何问题，但对科学的应用有巨大的影响。

第三类：问题是求函数的极大极小值。

第四类：问题包括求曲线的长度,曲线围成的面积等等。

首先对微积分的创造作出贡献的是开普勒和伽利略。

用无数个无穷小之和计算面积和体积是开普勒的基本思想，而这一思想的精华是从阿基米德的著作中吸收的，伽利略则奠定了实验和理论协调的近代科学精神，这对于微积分的形成是至关重要的。

对于微积分的孕育有重要影响的是1635 年卡瓦列利(B.Cavalieri意大利)的《不可分连续量的几何学》的发表，他对前人的微积分结果作了初步系统的综合，并创立了一种简易形式的积分法——不可分量法，使卡瓦列利的不可分量更接近于定积分计算的，是法国的帕斯卡(Ｂ.Pascal)和英国的瓦里士（J.Wallis）。

瓦里士是牛顿、莱布尼茨之前把分析方法引入微积分的工作做得最多的人。

对微积分的孕育具有重要影响的人物是法国的费马(Fermat)，最迟在1636年他已达到求积分方法上的算术化程度，微积分的另一个重要课题——求极值的方法也是费马创造的。

在17世纪，至少有10多位大数学家探索过微积分，而牛顿(Newton)、莱布尼茨(Laeibniz)，则处于当时的顶峰。

微积分创立的背景与过程

微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。

微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。

微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。

微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。

1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。

在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。

牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。

2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。

牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。

他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。

牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。

莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。

他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。

莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。

3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。

在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。

在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。

在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。

在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。

在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。

微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。

微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。

微积分产生的背景

微积分的创立者是牛顿和莱布尼兹严格微积分的奠基者是柯西和威尔斯特拉斯关于微积分的故事，曾经一度迷惑着我，今天有幸弄清其中原委，以消心中疑云。

微积分的萌芽可以追溯到古代的希腊、中国和印度，酝酿于17世纪的欧洲。

1.牛顿和莱布尼兹创立了微积分1.1 牛顿的“流数术”牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭。

1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。

笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。

牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。

1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。

在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。

这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。

正是在这种意义下，牛顿创立了微积分。

牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。

1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。

而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。

1.2 莱布尼茨的微积分工作莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。

1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。

这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。

微积分的创立与第二次数学危机

微积分的创立与第二次数学危机微积分在数学史上的发展有着重要的地位，不仅是一种研究工具，更是引领了数学领域的新一波革命。

然而，在微积分创立的同时，数学却遭遇了第二次数学危机，为什么会出现这样的情况呢？微积分的创立微积分的创立是由牛顿和莱布尼茨两位伟大的数学家分别独立发明的。

17世纪末期，牛顿发明了微积分的基本思想，通过对同一函数在两个相邻时刻之间的差别进行极限分析，得出了微分和积分的概念。

莱布尼茨也在同一时间内独立地发明出了微积分的基本思想，但他使用的符号和牛顿有所不同。

微积分的诞生极大地推动了物理学和其他领域的发展。

在物理学中，微积分被用来描述质点的位置变化随时间的导数和加速度，以及力的积分表示功。

微积分也被广泛应用于工程学、经济学、天文学等领域。

第一次数学危机发生在19世纪初期，当时的探究重点是不确定性原理。

卡尔·根特洛克和海森堡等物理学家的研究表明，存在一些物理量的值是无法同时确定的。

这种不确定性引导着波动力学的诞生，而不是经典力学。

然而，第二次数学危机与第一次危机的背景截然不同。

在20世纪初期，一些数学家意识到了基于无穷集合的微积分理论中存在一些悖论。

G·卡扎活、B·罗素和A·怀特海等数学家通过数学的逻辑分析，发现了使得微积分理论变得自相矛盾的问题。

其中一个最著名的问题是伯努利悖论。

伯努利悖论指出如果意像无穷多次抛硬币，每次都有1/2的概率正面朝上，那么这样的尝试会有无穷大的概率得到全部正面或全部反面。

这个问题看着很奇怪，但是仍然能够被证明它是正确的。

结果是，微积分中的传统定义中对于无穷小量，极限和集合的性质并不十分明确。

为了解决这些问题，数学家扩展了微积分的公理化定义，并利用了另一种数学逻辑系统——ZFC公理集合论。

这就意味着微积分和其他数学学科的基础被彻底地改变了。

结语微积分的发明是数学史上的一个里程碑，极大地推动了现代科学的发展。

然而，微积分的诞生也在一定程度上暴露了基于无穷集合的微积分理论的局限性。

微积分发展历程

微积分发展历程微积分的发展历程是数学史上一个充满辉煌成就的章节。

微积分为我们提供了一种强大的工具，用于理解和描述自然界的各种现象，从运动的轨迹到电磁场的行为，从物质的变化到概率的推断，微积分无处不在。

在下面的文章中，我们将探讨微积分的发展历程，包括其起源、关键人物和里程碑事件。

1. 古希腊时期：微积分的历史可以追溯到古希腊时期。

古希腊数学家阿基米德（Archimedes）被认为是微积分的奠基人之一。

他在计算曲线下的面积和体积时使用了无限小的方法，这可以看作微积分的初步尝试。

2. 牛顿和莱布尼兹：微积分的真正发展始于17世纪末。

英国科学家艾萨克·牛顿和德国数学家戈特弗里德·莱布尼兹独立地开发了微积分的基本原理。

牛顿的工作集中在运动和力学方面，而莱布尼兹则更侧重于符号表示法。

他们的成就为微积分的未来发展奠定了坚实的基础。

3. 分析学的建立：18世纪，微积分逐渐成为一门独立的学科，被称为"分析学"。

法国数学家奥古斯丁·路易·柯西（Augustin-Louis Cauchy）和卡尔·威尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人在微积分中引入了极限概念，从而解决了一些问题的严格性。

4. 黎曼几何和复分析：19世纪中期，德国数学家伯纳尔·黎曼的工作将微积分与几何学相结合，创立了黎曼几何，为曲线和曲面的研究提供了新的工具。

复分析的发展也为微积分的应用领域提供了更多可能性。

5. 泛函分析和分布理论：20世纪，微积分领域进一步扩展，引入了泛函分析和分布理论等新的数学工具，用于研究函数空间和广义函数。

这些理论在数学、物理学、工程学和经济学等领域的应用中发挥了重要作用。

6. 现代微积分的应用：现代微积分广泛应用于科学、工程、计算机科学、经济学和社会科学等各个领域。

它不仅有助于解决实际问题，还推动了数学自身的发展。

微积分的方法和概念也在其他数学分支中找到了应用，如微分方程、积分方程和泛函分析。

分数阶微积分的历史背景

分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。

微积分的基本概念和内容包微分学积分学。

但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。

十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。

1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。

流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。

牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。

所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。

微积分发展史简述

微积分发展史简述微积分是数学中的重要分支，广泛应用于自然科学、工程学、经济学等领域。

它的发展历史可以追溯到古希腊时期，但直到17世纪才得到了系统的发展和完善。

本文将简要介绍微积分的发展史。

1. 古希腊时期：微积分的雏形在古希腊时期，数学家们对于几何学有着深入的研究。

亚里士多德和欧几里得等人提出了许多与微积分相关的概念，如无穷小量和极限。

然而，由于当时的数学工具和观念的限制，微积分的发展受到了很大的阻碍。

2. 牛顿和莱布尼茨：微积分的创始人17世纪，牛顿和莱布尼茨几乎同时独立地发展出微积分学。

牛顿创立了微积分的主要思想和方法，他提出了差分和积分的概念，并建立了微分方程和牛顿运动定律等基本理论。

莱布尼茨独立地发展出了微积分的符号表示法，引入了微积分中的极限和导数的概念。

牛顿和莱布尼茨的工作为微积分的发展奠定了基础。

3. 微积分的完善：极限与连续性18世纪，欧拉和拉格朗日等数学家对微积分进行了深入的研究和发展。

欧拉进一步完善了微积分的符号表示法，并提出了欧拉公式等重要结果。

拉格朗日则对微积分中的极限和连续性进行了系统的研究，提出了拉格朗日中值定理和泰勒展开等重要定理。

这些工作使微积分的理论更加严谨和完备。

4. 微积分的应用：物理学和工程学19世纪，微积分的应用开始扩展到物理学和工程学等实际问题中。

拉普拉斯和傅里叶等数学家使用微积分的方法解决了一系列的物理学问题，为微积分的应用奠定了基础。

同时，微积分也在工程学中得到了广泛的应用，如力学、电磁学和流体力学等领域。

微积分的应用使得工程学的发展取得了重大的突破。

5. 微积分的发展与现代数学的关系20世纪，微积分的发展与现代数学的发展密切相关。

在集合论和数理逻辑的基础上，数学家们对微积分的理论进行了深入的研究和推广。

勒贝格和黎曼等数学家提出了测度论和黎曼积分等新的概念和方法，为微积分的发展带来了新的思路和工具。

同时，微积分也成为了现代数学的重要组成部分，在数学的其他分支中得到了广泛的应用。

数学史第七章巨人的杰作——微积分的创立讲义

第七章
巨人的杰作——微积分的创立
7.3 科学巨人—— 7.4 多才多艺的数学大师莱布尼茨
7.3 科学巨人——牛顿
牛顿
Isaac Newton
数学家物理学家天文学家自然哲学家英国皇家学会会员
艾萨克·牛顿简介
艾萨克·牛顿（1642--1727）出生于英格兰林肯郡的一个小镇乌尔斯索普。他出生之前，他的父亲就已去世。在牛we顿lco3m岁e时to ，us他e th的es母e P亲ow改e嫁rPo给in一t te个mp牧lat师es，, N把ew牛顿托付给了Co他nt的ent祖de母sig抚n,养10。ye8a年rs后ex，per牧ien师ce病故，牛顿的母亲又回到了乌尔斯索普。牛顿自幼沉默寡言，性格倔强，这种习性可能来自他的家庭环境。
主要贡献
微积分的创立二项式定理
运动的三个基本定律（牛顿三定律）：
光学、哲学、天文学
数学其他方面
微积分的创立
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年，当时笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》对他的影响最大。他对笛卡尔求曲线切线的方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找更好、跟一般的方法。
1666年10月他写的第一篇关于微积分的论文《论数短论》，其中首次提出了流数的概念，所谓流数就是速度，在变速运动中速度是路程对事件的微商，至于速度的变化状况就要用速度的微商来反映，即加速度是速度的微商。
艾萨克·牛顿简介牛顿墓碑铭文：此地安葬的是艾撒克·牛顿勋爵，他用近乎神圣的心智和独具特色的数学原则，探索出行星的运动和形状、彗星的轨迹、海洋的潮汐、光线的不同谱调和由此而产生的其他学者以前所未能想像到的颜色的特性。以他在研究自然、古物和圣经中的勤奋、聪明和虔诚，他依据自己的哲学证明了至尊上帝的万能，并以其个人的方式表述了福音书的简明至理。人们为此欣喜：人类历史上曾出现如此辉煌的荣耀。他生于1642年12月25日，卒于1727年3月20日。

微积分的创立

微积分的创立微积分思想的历史萌芽，可以追溯到古代。

在阿基米德、刘徽、祖冲之父子关于体积的计算中包含了无穷小求积过程，极限的思想与方法也十分明确。

与积分学相比，微分学的起源则要晚很多。

刺激微分学发展的主要数学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率和求函数的极大值极小值。

但是，古代学者处理这些问题都是基于静态的观点。

比如，把切线看做是与曲线只在一点接触且不穿过曲线的“切触线”，而不是把切线看做是“割线”的极限。

17世纪以来，随着生产实践的深入和对自然现象的深刻认识，对数学提出了大量的问题，主要集中在：(1)由距离和时间的关系，求物体在任意时刻的瞬时速度和加速度；(2)确定运动物体在其轨道上任一点的运动方向，以及研究光线通过透镜而提出的切线问题；(3)求函数的最大值和最小值；(4)求曲线的长度、曲线围成的面积、体积，物体的重心，等等。

在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的新的数学工具。

正是他们的努力，最终导致微积分的诞生。

下面将简要介绍几位先驱者的具有代表性的工作。

① 开普勒与旋转体体积开普勒是现代天文学的创始人，他因行星运动三大定律的发现，被称誉为“天空的立法者”。

开普勒的第二定律称：联结行星与太阳之间的焦半径在相等的时间里扫过相等的面积。

为了估计出一个椭圆扇形的面积，开普勒将椭圆扇形分割成许多的小三角形相加。

也许他认为自己只是在运用常识而已，然而，他已解决了一个积分学的问题。

这种思想在他的《求酒桶体积之新法》(Nova stereometria doliorum vinariourum, Linz,1615)一书中有系统的阐述，开普勒应用粗糙的积分方法，求出了93种立体的体积，这些体积是圆锥曲线的某段围绕它们所在平面上的轴旋转而成的。

1613年10月30日，开普勒举行了他的第二次婚礼。

他准备了几大桶葡萄酒，可是经销商计算酒桶体积的拙劣方法，促使开普勒思考如何计算这类问题，从而为积分学的发明奠定了基础。

微积分的创立

微积分的创立，被誉为“人类精神的最高胜利”。

在18世纪，微积分进一步深入发展，这种发展与广泛的应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。

在数学史上，18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。

18世纪微积分最重大的进步是由欧拉（Leonard Euler ，1707—1783）作出的。

欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》（Introductio in Anclysin infinitorum ）以及他随后发表的《微分学》（Institutionis Calculi differentialis ，1755）和《积分学》（Institutiones Calculi integralis ，共3卷，1768—1770）是微积分史上里程碑式的着作，它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。

这三部着作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的符号如：等等，对分析表述的规范化起了重要作用。

欧拉出生于瑞士巴塞尔一个牧师家庭，13岁就进入巴塞尔大学，数学老师是约翰。

伯努利。

师生之间建立了极亲密的关系，伯努利后来在给欧拉的一封信中这样赞许自己这位学生在分析方面的青出于兰：“我介绍高等分析时，它还是个孩子，而您正在将它带大成人。

”欧拉主要的科学生涯是在俄国圣彼德堡科学院（1727—1741；1766—1783）和德国柏林科学院（1741—1766）度过的。

他对彼德堡科学院怀有特殊的感情，曾将自己的科学成就归功于“在那儿拥有的有利条件”。

欧拉是历史上最多产的数学家。

他生前发表的着作与论文有560余种，死后留下了大量手稿。

欧拉自己说他未发表的论文足够彼德堡科学院用上20年，结果是直到1862年即他去世80年后，彼德堡科学院院报上还在刊登欧拉的遗作。

1911年瑞士自然科学协会开始出版欧拉全集，现已出版70多卷，计划出齐84卷，都是大四开本。

第六章微积分的创立

笛卡儿的代数方法在推动微积分的早期发展方面有很大的影响，牛顿就是以笛卡儿圆法为起跑点而踏上研究微积分的道路的．
(四)费马求极大值与极小值的方法
笛卡儿圆法记载于他1637年发表的《几何学》中．就在同一年，费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法．按费马的方法，设函数 f (x) 在点 a 处取极值，费马用 a + e 代替原来的未知量 a ，并使 f ( a + e) 与 f (a ) “逼近”(adequatio)，即
(六)沃利斯“无穷算术”
沃利斯(J．Wallis，1616—1703)是在牛顿和莱布尼茨以前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家．沃利斯最重要的著作是《无穷算术》(1655)，其书名就表明了他用本质上是算术的也就是牛顿所说“分析”Байду номын сангаас途径发展积分法．沃利斯利用他的算术不可分量方法获得了许多重要结果，其中之一就是将卡瓦列里的幂函数积分公式 a a n +1 n ∫0 x dx = n + 1 推广到分数幂情形．
1638年，伽利略(Galileo Galilei，1564—1642)《关于两门新科学的对话》出版．伽利略建立了自由落体定律、动量定律等，为动力学奠定了基础；他认识到弹道的抛物线性质，并断言炮弹的最大射程应在发射角为45’时达到，等等． 45’
凡此一切，标志着自文艺复兴以来在资本主义生产力刺激下蓬勃发展的自然科学开始迈入综合与突破的阶段，而这种综合与突破所面临的数学困难，使微分学的基本问题空前地成为人们关注的焦点：
6.2 牛顿的“流数术”
牛顿(1saac Newton，1642—1727)于伽利略去世那年（1642 年）的圣诞出生于英格兰林肯郡伍尔索普村一个农民家庭．少年牛顿不是神童，成绩并不突出，但酷爱读书与制作玩具．17 岁时，牛顿被母亲从格兰瑟姆中学召回田庄务农。史托克斯校长竭力劝说牛顿的母亲：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失!” 这恐怕是科学史上最幸运的预言。

微积分发展简史

微积分建立以后，出现了两个极不协调的情景：
一方面是微积分广泛应用于各个领域，取得了辉煌
的成就；另一方面是人们对于微积分基本概念的合
理性提出了强烈的质疑。19世纪以前，无穷小量概
念始终缺少一个严格的ห้องสมุดไป่ตู้学定义，因此导致了相当
严重的混乱。
特别地，1734年英国哲学家、红衣主教贝克莱对
微积分基础的可靠性提出的强烈质疑，引发了第二次
14
3.微积分的建立
终于十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼兹，在不同的国家，几乎在同时总结前人研究成果的基础上，各自独立的创建了划时代的微积分。
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牛顿在1665年11月发明“正流数术”(微分法)，
次年5月又建立了“反流数术”(积分法)．1666年10
月，牛顿将前两年的研究成果整理成一篇总结性论
文，但他没有拿去发表。
莱布尼茨
莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz），德国哲学家、数学家。涉及的领域及法学、力学、光学、语言学等40多个范畴，被誉为十七世纪的亚里士多德。和牛顿并称为微积分的创立者。
3
微积分学是微分学(Differential Calculs)和积分学(Integral Calculs)统称,英文简称Calculs,意为计算。这是因为早期微积分主要用于天文、力学、几何中的计算问题。后来人们也将微积分学称为分析学或无穷小分析。
18
微积分诞生以后，数学迎来了一次空前的繁荣时期。18世纪被称为数学史上的英雄世纪。数学家们把微积分应用于天文学、力学、光学、热学等各个领域，获得了丰硕的成果；在数学本身，他们把微积分作为工具，又发展出微分方程、微分几何、无穷级数等理论分支，大大扩展了数学研究的范围。

微积分的创立

三、例题与练习
e.g.1 求极限
e.g.2 求导数
e.g.3 求微分
e.g.4 圆柱形工件直径
，长
，
的铜，现在工件侧面涂上一层厚 0.001cm 的铜，问需要多少铜（要多少铜（铜的密度为 e.g.5 求极值 )？？
e.g.6 作出函数
的图形
e.g.7 计算积分
e.g.8 已知曲线在任一点，又曲线经过点的方程。的方程。
b
3．第二次数学危机与微积分的发展和完善
N-L的微积分逻辑基础不严密，特别是在无穷的微积分逻辑基础不严密，小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。小概念上的混乱，引起不少科学家的批评。英国哲学家、牧师 G.Berkeley（1685-1753）： G.Berkeley（1685-1753）：英国哲学家、分析学家，或致一位不信神的数学家》《分析学家，或致一位不信神的数学家》矛头直指牛顿的流数法。牛顿的流数法。——— Berkeley悖论
这就导致了第二次数学危机这就导致了第二次数学危机
由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合，所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19 所以即使基础不牢，人们还是乐意去用它，直到19 世纪，才开始真正解决问题。世纪，才开始真正解决问题。第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见的是达朗贝尔（ Alembert）。但他未提供理论 Alembert）。但他未提供理论。意见的是达朗贝尔（D’Alembert）。但他未提供理论。达朗贝尔 Lagrange，Bolzano（捷克），），Cauchy 后经 Lagrange，Bolzano（捷克），Cauchy 等人的努力，（分析学奠基人），Weirstrass（法）等人的努力，分析学奠基人），Weirstrass（），Weirstrass 奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。奠定了微积分严格的基础，解决了第2次数学危机。

牛顿发明微积分的过程

牛顿发明微积分的过程
牛顿发明微积分的过程可以追溯到17世纪。

他是根据自己的研究和理论逐步发展出微积分的。

1. 无穷小法：牛顿首先引入了“无穷小”的概念。

他将变化量视为无穷小的数量，这样就可以计算出变化量的极限，并将其称为“微分”。

2. 导数：通过研究曲线的斜率，牛顿引入了“导数”的概念。

他发现，导数可以用来描述曲线在某一点的变化率。

这是微积分中的重要概念之一。

3. 积分：牛顿还发展了积分的概念。

他认识到，积分可以用来计算曲线下的面积或者描述曲线的总变化量。

这就是微积分中的另一个重要概念。

4. 牛顿定理：牛顿还提出了牛顿定理，即通过求微分和积分可以得到一个函数的原函数。

这个定理为后来的微积分研究提供了重要的理论基础。

5. 基本定理：牛顿还提出了微积分中的基本定理。

这个定理描述了导数和积分之间的关系，可以用来计算函数的积分。

总的来说，牛顿发明微积分的过程是一个逐步的发展过程。

他通过研究变化量和曲线的性质，引入了微积分中的重要概念，并提出了微积分中的基本定理。

这些成果对于后来的微积分研究和应用具有重要的意义。

微积分发展简史(借鉴类别)

微积分发展简史一、微积分的创立微积分中的极限、穷竭思想可以追溯到两千五百年前的古希腊文明，著名的毕达哥拉斯学派，经过了漫长时期的酝酿，到了17世纪，在工业革命的刺激下，终于通过牛顿（Newton）和莱布尼兹（Leibniz）的首创脱颖而出了。

大约从15世纪初开始的文艺复兴时期起，工业、农业、航海事业与上古贸易的大规模发展，刺激着自然科学蓬勃发展，到了17世纪开始进入综合突破的阶段，而所有这些所面临的数学困难，最后汇总成四个核心问题，并最终导致微积分的产生。

这四个问题是：1.运动中速度、加速度与距离之间的虎丘问题，尤其是非匀速运动，使瞬时变化率的研究成为必要；2.曲线求切线的问题，例如要确定透镜曲面上的任一点的法线等；3.有确定炮弹最大射程，到求行星轨道的近日点与远日点等问题提出的求函数的极大值、极小值问题；4.当然还有千百年来人们一直在研究如何计算长度、面积、体积与重心等问题。

第一、二、三问题导致微分的概念，第四个问题导致积分的概念。

微分与积分在17世纪之前还是比较朦胧的概念，而且是独立发展的。

开普勒（Kepler）、伽利略（Galileo）、费马（Fermat）、笛卡尔（Descartes）、卡瓦列里（Cavalieri）等学者都做出了杰出贡献。

1669，巴罗（Barrow，牛顿的老师）发表《几何讲义》，首次以几何的面貌，用语言表达了“求切线”和“求面积”是两个互逆的命题。

这个比较接近于微积分基本定理。

牛顿和莱布尼兹生长在微积分诞生前的水到渠成的年代，这时巨人已经形成，牛顿和莱布尼兹之所以能完成微积分的创立大业，正事由于它们占到了前辈巨人们的肩膀上，才能居高临下，才能高瞻远瞩，终于或得了真理。

可以这样说：微积分的产生是量变（先驱们的大量工作的积累）到质变（牛顿和莱布尼兹指出微分与积分是对矛盾）的过程，是当时历史条件（资本主义萌芽时期）下的必然产物。

微积分基本定理的建立标志着微积分的诞生。

牛顿自1664年起开始研究微积分，钻研了伽利略、开普勒、瓦利斯（Wallis），尤其是笛卡尔的著作。

莱布尼茨创立微积分的故事

莱布尼茨创立微积分的故事摘要：一、莱布尼茨简介二、莱布尼茨与微积分的创立1.时代背景2.莱布尼茨与牛顿的竞争与合作3.微积分的基本原理三、莱布尼茨微积分的影响1.数学领域的变革2.物理学、工程学等领域的应用四、莱布尼茨的其他贡献1.计算机科学领域的预见2.逻辑学、哲学方面的研究五、总结与启示正文：一、莱布尼茨简介戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646-1716），德国哲学家、数学家，被誉为“计算机科学之父”。

他在数学、物理、哲学等多个领域取得了卓越成就，与牛顿、巴洛克艺术三巨匠并列。

二、莱布尼茨与微积分的创立1.时代背景在17世纪，欧洲科学正处于变革时期。

伽利略、开普勒等科学家为物理学和数学的发展奠定了基础。

莱布尼茨正是在这样的背景下，开始了他的科学研究。

2.莱布尼茨与牛顿的竞争与合作莱布尼茨与英国科学家牛顿（Isaac Newton）几乎同时独立发现了微积分原理。

两人之间曾存在激烈的竞争，但最终承认彼此的成果，并合作完成了微积分的体系化。

3.微积分的基本原理莱布尼茨提出了微积分的基本原理，包括微分和积分两部分。

微分学研究函数在某一点的变化率，而积分学研究求解曲线下的面积。

这两个概念的提出，为数学和自然科学的发展提供了强大工具。

三、莱布尼茨微积分的影响1.数学领域的变革莱布尼茨的微积分理论，使数学研究从静态变为动态，为后来的微分方程、概率论、泛函分析等数学分支的发展奠定了基础。

2.物理学、工程学等领域的应用微积分的出现，为物理学、工程学等领域的研究提供了强大的数学工具。

例如，牛顿的运动定律、万有引力定律等，都可以通过微积分进行精确求解。

四、莱布尼茨的其他贡献1.计算机科学领域的预见莱布尼茨研究了二进制系统，并预见了计算机科学的发展。

他的著作《计算机与算盘》被誉为计算机科学的奠基之作。

2.逻辑学、哲学方面的研究莱布尼茨在逻辑学和哲学领域也取得了重要成果。

微积分基本公式的创始人

微积分基本公式的创始人
微积分是莱布尼兹、牛顿创立的。

牛顿从研究物理问题出发创立了微积分，牛顿称之为“流数术理论”。

莱布尼兹从几何角度出发独立创立了微积分，莱布尼兹把微积分称之为“无穷小算法”。

十七世纪以来，微积分的概念和技巧不断扩展并被广泛应用来解决天文学、物理学中的各种实际问题，取得了巨大的成就。

但直到十九世纪以前，在微积分的发展过程中，其数学分析的严密性问题一直没有得到解决。

十八世纪中，包括牛顿和莱布尼兹在内的许多大数学家都觉察到这一问题并对这个问题作了努力，但都没有成功地解决这个问题。

整个十八世纪，微积分的基础是混乱和不清楚的，许多英国数学家也许是由于仍然为古希腊的几何所束缚，因而怀疑微积分的全部工作。

这个问题一直到十九世纪下半叶才由法国数学家柯西得到了完整的解决，柯西极限存在准则使得微积分注入了严密性，这就是极限理论的创立。

极限理论的创立使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上，它也为20世纪数学的发展奠定了基础。

微积分的创立

微积分的创立微积分的诞生，是全部数学史中的一个伟大的创举．追溯一下历史就可发现，早在微积分诞生之前的2000多年，就已经有了它的萌芽．比如，古代的人民用方砖砌圆，我国庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，魏晋时刘徽的“割圆术”，祖恒原理，等等，都涉及到以“直”代“曲”的极限观念，属于微积分的朴素思想．阿基米德更可称为是微积分学的先驱，他不仅成功地将“穷竭法”应用于求像抛物线弓形那样复杂的曲边形的面积中，而且在求积时应用了级数有限项之和所成序列的近似法、还首次提出了现在所谓的上积分与下积分的概念等．但是真正形成微积分思想是17世纪后半叶，牛顿—莱布尼兹总结和发展了前人的工作，几乎同时建立了微积分的方法和理论微积分的起源，主要是力学与几何两大类问题．已知变速运动的路程为时间的函数，求瞬时速度及加速度；求曲线的切线等，这类问题的数学抽象化，即微分学．已知变速运动的速度为时间的函数，求运动物体通过的路程，求曲线围成的面积等．这类问题的数学抽象化，即积分学．牛顿和莱布尼茨用各自不同的方法，创立了微积分学。

如果说牛顿接近最后的结论比莱布尼茨早一些，那么莱布尼茨发表自己的结论要早于牛顿。

虽然牛顿的微积分应用远远超过莱布尼茨的工作，刺激并决定了几乎整个十八世纪分析的方向，但是莱布尼茨成功的建立起更加方便的符号体系和计算方法。

两位微积分的奠基人，一位具有英国式的处事严谨，治学严谨的风度，一位具有德国人的哲理思辨心态，热情大胆。

下面分别讲述两位数学家在微积分方面的研究。

英国著名数学家、物理学家牛顿(Newton，1643—1727)，一贯坚持唯物论的经验论，特别重视实验和归纳推理的他，从研究物理问题出发创立了微积分(1665—1666)，牛顿称之为“流数术理论”．他的微积分的思想最早出现在1665年5月20日的一份手稿中提到“流数术”．这一天可以作为微积分诞生的日子，而微积分的思想公开发表于1687年他的巨著《自然哲学的数学原理》中．牛顿的“流数术”中，有三个重要的概念：流动量、流动率、瞬．牛顿的流数术以力学中的点的连续运动为原型，把随时问连续变化的量而产生的一个连续变化的变量，即以时间为独立变数的函数(生长中的量)称为流动量，流动率是流动量的变化速度，即变化率(生长率)，称为导数．所谓“瞬”这个概念，如牛顿所说是一种刚刚产生的无限小的量，如一个无限小的时间间隔称为一个瞬．牛顿把全部微积分问题分为两大类，他用运动学上的术语表达为：“速度”与“路程”．“速度”相当于现在的导函数，“路程”相当于现在的原函数，“时间”被简单地作为所有变量的公共自变量，流数术所提出的中心问题是：①已知连续运动的路程，求给定时刻的速度(即微分法)；②已知运动速度，求给定时间内经过的路程(即积分法)．牛顿专论微积分的著作有两部，第一部正式的、系统的论述流数术的重要著作是《流数术和无穷级数》，于1671年写成，在1736年才正式出版．另一部著作是《曲线求积论》，于1676—1691年写成，在1704年出版．用字母x，y，z…表示流动量，简称为流量，用加点字母x，y，z…表示流动率，称为流数，或称为速度，用字母。

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