高三数学考点-数系的扩充与复数的引入

5．5 数系的扩充与复数的引入
1．虚数单位为i ，规定：i 2＝________，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的________仍然成立． 2．复数的概念
形如：a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a 叫做复数的______，b 叫做复数的__________． ①当________时，复数a ＋b i 为实数； ②当________时，复数a ＋b i 为虚数；
③当________且________时，复数a ＋b i 为纯虚数． 3．复数相等的充要条件
a ＋
b i ＝
c ＋
d i(a ，b ，c ，d ∈R )⇔ ____________，特别地，a ＋b i ＝0⇔____________.
4．复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )与复平面上的点Z (a ，b )、平面向量OZ →
都可建立____________的关系(其中O 是坐标原点)．
5．在复平面内，实轴上的点都表示____________；虚轴上的点除____________外都表示____________． 6．复数的模
向量OZ →
的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作________或||a ＋b i .即||z ＝||a ＋b i ＝r ＝________(r ≥0，r ∈R )． 7．共轭复数
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为__________，复数z 的共轭复数记作________． 8．数系的扩充
数集扩充的过程是：自然数集(N )→____________→____________→____________→复数集(C )．数集的每一次扩充，都使得在原有数集中能实施的运算，在新的数集中仍能进行，并且解决了在原有数集中某种运算不可实施的矛盾．
9．复数的加、减、乘、除的运算法则 设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则 (1)z 1±z 2＝____________________________； (2)z 1·z 2＝____________________________； (3)z 1
z 2＝____________________________ (z 2≠0)． 10．复数加、减法的几何意义
以复数z 1，z 2分别对应的向量OZ 1→，OZ 2→为邻边作平行四边形OZ 1ZZ 2，对角线OZ 表示的向量OZ →
就是____________．z 1－z 2对应的向量是____________．
自查自纠
1．－1 运算律
2．实部 虚部 ①b ＝0 ②b ≠0 ③a ＝0 b ≠0 3．a ＝c 且b ＝d a ＝b ＝0 4．一一对应
5．实数 原点 纯虚数
6.||z
a 2＋
b 2
7．共轭复数 z
8．整数集(Z ) 有理数集(Q ) 实数集(R ) 9．(1)(a ±c )＋(b ±d )i (2)(ac －bd )＋(ad ＋bc )i (3)ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2
i 10．复数z 1＋z 2所对应的向量 Z 2Z 1→
若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－ 2 D.2
解：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2.故选B .
(2017·全国卷Ⅱ)3＋i
1＋i ＝( )
A ．1＋2i
B ．1－2i
C ．2＋i
D ．2－i
解：由复数除法的运算法则有：3＋i 1＋i
＝（3＋i ）（1－i ）
2＝2－i.故选D .
(2017·山东)已知a ∈R ，i 是虚数单位，若z ＝a ＋3i ，z ·z ＝4，则a 的值为( ) A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3 D.3
解：由z ＝a ＋3i ，z ·z —
＝4得a 2＋3＝4，所以a ＝±1.故选A .
(2017·江苏)已知复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，则z 的模是________． 解：|z |＝|(1＋i)(1＋2i)|＝|1＋i||1＋2i|＝2×5＝10.故填10.
(2017·浙江)已知a ，b ∈R ，(a ＋b i)2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则a 2＋b 2＝________，ab ＝________. 解：由题意可得a 2－b 2＋2ab i ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，ab ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪
⎧a 2＝4，b 2＝1， 则a 2＋b 2＝5，ab ＝2.故填5；2.
类型一 复数的概念
下列命题中：
(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；
(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1；
(5)若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 解：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小． (2)若m ＝0，n ＝i 时，则z ＝0＋i 2＝－1∈R .
(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立．
(4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确． (5)若a ＝0，则0·i ＝0不是纯虚数．故选A .
【点拨】正确理解复数的概念，不要想当然地认为字母表示的数(特别是i 的系数)一定是实数，也不要随意将实
数中的一些结论推广到复数中去．对z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝0，b ≠0，z 为实数⇔b ＝0.
(1)(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：
p 1：若复数z 满足1
z ∈R ，则z ∈R ；
p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z —
2； p 4：若复数z ∈R ，则z —
∈R . 其中的真命题为( )
A ．p 1，p 3
B ．p 1，p 4
C ．p 2，p 3
D ．p 2，p 4
解：令z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由1z ＝1
a ＋
b i ＝a －b i a 2＋b 2∈R 得b ＝0，所以z ∈R ，故p 1正确；
当z ＝i 时，因为z 2＝i 2＝－1∈R ，而z ＝i ∉R ，故p 2不正确； 当z 1＝z 2＝i 时，满足z 1·z 2＝－1∈R ，但z 1≠z 2，知p 3不正确；
对于p 4，因为实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故p 4正确．故选B .
(2)(2017·天津)已知a ∈R ，i 为虚数单位，若a －i
2＋i
为实数，则a 的值为________．
解：a －i 2＋i ＝（a －i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ）＝（2a －1）－（a ＋2）i 5＝2a －15－a ＋25i 为实数，则a ＋25＝0，a ＝－2.故填－2.
已知A ，B 是锐角三角形的两内角，则复数(sin A －cos B )＋(sin B －cos A )i 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 解：因为A ，B 是锐角三角形的两内角，
所以A ＋B ＞π2，且0＜A <π2，0<B ＜π
2.
所以0＜π2－B ＜A ＜π
2
，
由正弦函数的单调性知sin ⎝⎛⎭⎫π
2－B ＜sin A ， 即sin A －cos B ＞0.同理可得，sin B －cos A ＞0. 故选A .
【点拨】判断复数对应的点在复平面上的位置，只需判断复数的实部和虚部的正负即可，对题目中条件“A ，B 是锐角三角形的内角”的挖掘是解决此题的关键．
(2017·北京)若复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1) B ．(－∞，－1) C ．(1，＋∞) D ．(－1，＋∞)
解：z ＝(1－i)(a ＋i)＝(a ＋1)＋(1－a )i ，因为对应的点在第二象限，所以⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋1＜0，
1－a ＞0， 解得a ＜－1.故选B .
关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实根，则实数m 的值是．
解：设实根为x 0，则x 2
0－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，
即x 20＋x 0＋3m －(2x 0＋1)i ＝0.
由复数相等的充要条件得⎩
⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，
2x 0＋1＝0.
所以m ＝－13(x 20＋x 0)＝－13×⎝⎛⎭⎫14－12＝112.故填1
12
. 【点拨】复数的分类，复数的相等，复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，再根据题意求解．
(2016·山东)若复数z 满足2z ＋z —
＝3－2i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1＋2i B ．1－2i C ．－1＋2i D ．－1－2i
解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则2z ＋z —
＝3a ＋b i ＝3－2i ，故a ＝1，b ＝－2，则z ＝1－2i.故选B .
类型二 复数的运算
i 是虚数单位，计算2i －2（1－i ）2×⎝ ⎛
⎭
⎪⎫21＋i 2017＝________.
解：因为2（i －1）（1－i ）2＝2i －1＝－(i ＋1)，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫21＋i 2016＝21008（2i ）1008＝1，
所以原式＝－(i ＋1)×2
（1＋i ）
＝－ 2.故填－2.
【点拨】(1)复数的计算除了掌握基本运算法则外，最好熟记一些常见算式运算的结果，这对提高运算的速度和准确度都有很大的帮助．如：(1＋i)2＝2i ，(1－i)2＝－2i ，(1＋i)·(1－i)＝2，i 4n ＝1，i 4n ＋
1＝i ，i 4n ＋
2＝－1，i 4n ＋3
＝－i(n ∈N )等．(2)除法的关键是“分母实数化”．
i 是虚数单位，⎝ ⎛
⎭
⎪⎫21－i 2016＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝________________.
解：原式＝⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛
⎭⎪⎫21－i 21008＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 6＝⎝⎛⎭⎫2－2i 1008＋i 6＝i 1 008＋i 6＝i 4×252＋i 4＋2＝1＋i 2＝0.故填0. 类型三 复数的模与共轭复数
(1)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数为( ) A ．2＋i B ．2－i
C ．5＋i
D ．5－i
解：由题意得z －3＝5
2－i ＝2＋i ，所以z —＝5＋i ，故z ＝5－i.故选D .
(2)(2017·全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，则|z |＝( ) A.12 B.2
2
C. 2 D ．2
解：由题意可得，z ＝2i 1＋i ，由复数求模的法则，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1||z 2|可得，|z |＝|2i||1＋i|＝2
2
＝ 2.故选C . 【点拨】复数模与共轭复数的运算性质要牢记，如zz —＝|z |2，⎪⎪⎪⎪z 1z 2＝|z 1|
|z 2|等．
(1)把复数z 的共轭复数记作z —
，已知(1＋2i) z —
＝4＋3i ，求z 及
z
z
. 解：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z —
＝a －b i ，由已知得(1＋2i)·(a －b i)＝(a ＋2b )＋(2a －b )i ＝4＋3i ，由复数相等的定义知⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＝4，2a －b ＝3， 解得a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.所以z z ＝2＋i 2－i ＝（2＋i ）2（2－i ）（2＋i ）＝3＋4i 5＝35＋45i.
(2)(2015·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z —
，则|(1－z )·z —
|＝( ) A.10 B ．2 C. 2 D ．1
解：依题意得(1－z )·z —
＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i ，则|(1－z )·z —
|＝|－3＋i|＝（－3）2＋12＝10.故选A .
1．处理与复数概念有关的问题，首先找准复数的实部与虚部，若复数为非标准的代数形式，应通过代数运算将其化为标准的代数形式，然后根据定义解题，复数问题实数化是解决复数问题最基本的思想方法． 2．熟练掌握复数部分的一系列概念，对于求解复数题至关重要．以下三点请注意：
(1)对于复数m ＋n i ，如果m ，n ∈C (或没有明确界定m ，n ∈R )，则不可想当然地判定m ，n ∈R . (2)易误认为y 轴上的点与纯虚数一一对应(注意原点除外)．
(3)对于a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件，只注意了a ＝0而漏掉了b ≠0. 3．复数的几何意义
(1) (其中a ，b ∈R )．
(2)|z |表示复数z 对应的点与原点的距离．
(3)|z 1－z 2|表示两点的距离，即表示复数z 1与z 2对应的点的距离．
4．复数代数形式的加减乘除运算的法则是进行复数运算的理论依据，加减运算类似于多项式的合并同类项，乘法法则类似于多项式乘法法则，除法运算则先将除式写成分式的形式，再将分母实数化．
5．复数的代数运算多用于次数较低的运算，但应用i 、ω的性质可简化运算．注意下面结论的灵活运用：(1)(1±i)2
＝±2i ；(2)1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ；(3)ω2＋ω＋1＝0，ω3＝1，其中ω＝－12±32i ；(4)i n ＋i n ＋1＋i n ＋2＋i n ＋
3＝0(n ∈N )
等．
6．在进行复数的运算时，不能把实数集的运算法则和性质照搬到复数集中来，如下面的结论，当z ∈C 时，不是
总成立的：(1)(z m )n ＝z mn (m ，n 为分数)；(2)若z m ＝z n ，则m ＝n (z ≠1)；(3)若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0.
1．(2016·武汉调考)设i 是虚数单位，若复数a －17
4－i 是纯虚数，则实数a 的值为( )
A ．－4
B ．－1
C ．4
D ．1
解：a －17
4－i ＝a －4－i 是纯虚数，则a ＝4.故选C .
2．(2016·全国卷Ⅲ)若z ＝1＋2i ，则
4i
·z 1
z -＝( ) A ．1 B ．－1 C ．i D ．－i
解：4i ·z 1z -＝4i
（1＋2i ）（1－2i ）－1＝i.故选C .
3．(2015·山东)若复数z 满足
1i
z
-＝i ，其中i 为虚数单位，则z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－1－i D ．－1＋i 解：因为z —
＝i(1－i)＝1＋i ，所以z ＝1－i.故选A .
4．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab ＝0”是“复数a ＋b
i 为纯虚数”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解：ab ＝0⇔a ＝0或b ＝0⇒复数a ＋b i 为纯虚数或实数，充分性不成立；反之，若a ＋b
i 为纯虚数，则必有a ＝0且
b ≠0，所以ab ＝0.故选B .
5．(2016·全国卷Ⅱ)已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－3，1) B ．(－1，3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)
解：复数z 在复平面内对应的点在第四象限应满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，
m －1＜0，
解得－3＜m ＜1.故选A .
6．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z —
1＝z —
2 B ．若z 1＝z —
2，则z —
1＝z 2
C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z —
1＝z 2·z —
2
D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 2
2
解：对于选项A ，若|z 1－z 2|＝0，则z —1＝z —2，故z 1＝z 2，正确；对于选项B ，若z 1＝z —2，则z —1＝z =
2＝z 2，正确；对于选项
C ，z 1·z —
1＝|z 1|2，z 2·z —
2＝|z 2|2，若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z —
1＝z 2·z —
2，正确；对于选项
D ，如令z 1＝1＋i ，z 2＝1－
i ，满足|z 1|＝|z 2|，而z 21＝2i ，z 22
＝－2i ，故不正确．故选D . 7．(2016·北京)设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ∈R ⇒a ＝－1.故填－1.
8．已知复数z ＝x ＋y i(i 是虚数单位，x ，y ∈R )，且|z －2|＝3，则y
x 的最大值为________．
解：因为|z －2|＝（x －2）2＋y 2＝3，
所以(x －2)2＋y 2＝3.
由图可知⎝⎛⎭⎫y x max ＝3
1＝ 3.故填3.
9．设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i(i 是虚数单位)，试求实数m 取何值时： (1)z 是纯虚数； (2)z 是实数；
(3)z 对应的点位于复平面的第二象限．
解：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＝0，
m 2＋3m ＋2≠0， 解得m ＝3.
(2)由题意可得⎩
⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋2＝0，
m 2－2m －2＞0， 解得m ＝－1或m ＝－2.
(3)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧lg （m 2－2m －2）＜0，
m 2＋3m ＋2＞0， 即⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＞0，m 2－2m －2＜1，m 2＋3m ＋2＞0， 解得－1<m ＜1－3或1＋3＜m <3.
10．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋m i ＝0有实数根，求实数m 的值．
解：设x ＝k (k ∈R )是方程的实数根，则k 2＋(m ＋2i)k ＋2＋m i ＝0，即(k 2＋km ＋2)＋(2k ＋m )i ＝0.
根据复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋km ＋2＝0，
2k ＋m ＝0.
解之得⎩⎨⎧k ＝2，m ＝－22或⎩⎨⎧k ＝－2，m ＝2 2.
所以方程的实数根为x ＝2或x ＝－2，相应的实数m 的值为－22或2 2. 11．设存在复数z 同时满足下列条件： (1)复数z 在复平面内对应的点位于第二象限； (2)z ·z —
＋2i z ＝8＋a i(a ∈R )． 试求a 的取值范围．
解：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由(1)得x ＜0，y ＞0， 由(2)得(x ＋y i)(x －y i)＋2i(x ＋y i)＝8＋a i ， 即x 2＋y 2－2y ＋2x i ＝8＋a i.
由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2y ＝8， ①
2x ＝a ， ②
由①得x 2＋(y －1)2＝9，因为x <0，y >0， 所以－3≤x <0，所以－6≤a ＜0.
对任意复数ω1，ω2，定义ω1*ω—
2＝ω1ω2，其中ω—
2是ω2的共轭复数，对任意复数z 1，z 2，z 3有如下四个命题：
①(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)； ②z 1*(z 2＋z 3)＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)； ③(z 1*z 2)*z 3＝z 1*(z 2*z 3)； ④z 1*z 2＝z 2*z 1； 则真命题的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：由于ω1*ω2＝ω1ω—
2，对于①，(z 1＋z 2)*z 3＝(z 1＋z 2)·z —
3＝z 1z —
3＋z 2z —
3＝(z 1*z 3)＋(z 2*z 3)，显然成立； 对于②，z 1*(z 2＋z 3)＝z 1(23z z +)＝z 1(z —
2＋z —
3)＝z 1z —
2＋z 1z —
3＝(z 1*z 2)＋(z 1*z 3)，显然成立； 对于③，(z 1*z 2)*z 3＝(z 1z —
2) z —
3＝z 1z —2z —
3，而z 1*(z 2*z 3)＝z 1*(z 2z —
3)＝z 1z —
2z 3，显然不成立； 对于④，由于z 1*z 2＝z 1z —
2，而z 2*z 1＝z 2z —
1，显然不成立．故选B .
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2016·山东)若复数z ＝2
1－i
，其中i 为虚数单位，则z —＝( )
A ．1＋i
B ．1－i
C ．－1＋i
D ．－1－i 解：易知z ＝1＋i ，所以z —
＝1－i.故选B .
2．设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z —
，则2z
z
-等于 ( ) A ．－1－2i B ．－2＋i C ．－1＋2i D ．1＋2i 解：由题意可得
2z z
-＝2－（－1＋i ）－1－i ＝（3－i ）（－1＋i ）
（－1－i ）（－1＋i ）＝－1＋2i.故选C .
3．已知向量a ＝(1，m )，b ＝(m ，2)，若a ∥b ，则实数m 等于( ) A ．－ 2 B. 2 C ．－2或 2 D ．0 解：由a ∥b 知1×2－m 2＝0，所以m ＝± 2.故选C .
4．(2017·衡水联考)欧拉在1748年给出了著名公式e i θ
＝cos θ＋isin θ(欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数e ＝2.71828…，根据欧拉公式e i θ
＝cos θ＋isin θ，任何一个复数z ＝r (cos θ＋isin θ)，都可以表示成z
＝r e i θ的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数z 1＝2e πi 3，z 2＝e πi
2，则复数z ＝z 1z 2在复平面内对应的点在( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解：因为z 1＝2e πi 3＝2⎝⎛⎭⎫cos π3＋isin π3＝1＋3i ，z 2＝e πi
2＝cos π2＋isin π2＝i ，所以z ＝z 1z 2＝1＋3i i ＝（1＋3i ）（－i ）i （－i ）＝
3－i.复数z 在复平面内对应的点为Z (3，－1)，点Z 在第四象限．故选D .
5．已知点A (1，3)，B (4，－1)，则与向量AB →
方向相反的单位向量是( )
A.⎝⎛⎭⎫－35，45
B.⎝⎛⎭⎫－45，35
C.⎝⎛⎭⎫35，－45
D.⎝⎛⎭⎫45
，－35 解：AB →＝(4，－1)－(1，3)＝(3，－4)，|AB → |＝32＋（－4）2＝5.所以与向量AB →
方向相反的单位向量为－AB →
|AB →|
＝
－（3，－4）5
＝⎝⎛⎭⎫
－35，45.故选A .
6．(2017·江南十校联考)设D 是△ABC 所在平面内一点，AB →＝2DC →
，则( ) A.BD →＝12AC →－AB → B.BD →＝AC →－12AB →
C.BD →＝32AC →－AB →
D.BD →＝AC →－32
AB →
解：BD →＝AD →－AB →＝AC →＋CD →－AB →＝AC →－12AB →－AB →＝AC →－32
AB →
.故选D .
7．对于复数z 1，z 2，若(z 1－i)z 2＝1，则称z 1是z 2的“错位共轭”复数，则复数32－1
2
i 的“错位共轭”复数为( )
A ．－36－12i
B ．－32＋32i C.36＋12i D.32＋32
i 解法一：由(z －i)⎝⎛⎭⎫32－1
2i ＝1，可得z －i ＝132－1
2
i ＝32＋12i ，所以z ＝32＋32i.
解法二：(z －i)⎝⎛⎭⎫32－12i ＝1且⎪⎪⎪⎪32－1
2i ＝1，所以z －i 和32－12i 是共轭复数，即z －i ＝32＋12i ，故z ＝32＋32i.故
选D .
8．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝1
3
.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )
A ．4
B ．－4 C.94 D ．－9
4
解：由4|m |＝3|n |，可设|m |＝3k ，|n |＝4k (k ＞0)，又n ⊥(t m ＋n )，所以n ·(t m ＋n )＝n ·t m ＋n ·n ＝t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2
＝t ×3k ×4k ×1
3
＋(4k )2＝4tk 2＋16k 2＝0，所以t ＝－4.故选B .
9．(2017·湖南二模)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13
CA →＋λCB →
，则λ的值为( )
A.23
B.13 C ．－13 D ．－23
解：由A ，B ，D 共线知13＋λ＝1⇒λ＝2
3.故选A .
10．(2015·河南调研)复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(i 是虚数单位，m ，λ，θ∈R )，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( )
A ．[－1，1] B.⎣⎡⎦
⎤－9
16，1 C.⎣⎡⎦⎤－916，7 D.⎣⎡⎦
⎤9
16，7 解：由复数相等的充要条件可得⎩
⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，
4－m 2＝λ＋3sin θ， 消去m 得4－4cos 2θ＝λ＋3sin θ，由此可得λ＝4sin 2θ－3sin θ＝4⎝⎛⎭⎫sin θ－382－9
16，因为sin θ∈[－1，1]，所以λ∈⎣⎡⎦
⎤－916，7.故选C . 11．如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →
的值是( )
A.32
B.5
2
C ．2
D ．3 解：取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则OD ⊥BC ，AD →＝12
(AB →＋AC →)，BC →＝AC →－AB →，
所以AO →·BC →＝(AD →＋DO →)·BC →＝AD →·BC →＋DO →·BC →＝AD →·BC → ＝12(AB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝12
(AC →2－AB →2)
＝12×(32－22)＝5
2
.故选B . 12．(2017·全国卷Ⅲ)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →＝λAB →＋μAD →
，则λ＋μ的最大值为( ) A ．3 B ．2 2 C. 5 D ．2
解：以A 为坐标原点，AB ，AD 所在直线分别为x ，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，
则A (0，0)，B (1，0)，C (1，2)，D (0，2)，可得直线BD 的方程为2x ＋y －2＝0，点C 到直线BD 的距离为212＋22
＝
25
，圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝45，因为P 在圆C 上，所以设P (1＋255cos θ，2＋255sin θ)，AB →＝(1，0)，AD
→＝(0，2)，AP →＝λAB →＋μAD →
＝(λ，2μ)，所以⎩
⎨⎧1＋255cos θ＝λ，
2＋25
5
sin θ＝2μ，
λ＋μ＝2＋255cos θ＋55sin θ＝2＋sin(θ＋
φ)≤3(这里tan φ＝2)，所以λ＋μ的最大值为3.故选A .
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设a 是实数，且a
1＋i
＋1－i 2是实数，则a 等于________．
解：a 1＋i ＋1－i 2＝a （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＋⎝⎛⎭⎫12－12i ＝⎝⎛⎭⎫a 2＋12－⎝⎛⎭⎫a 2＋12i ，由题意知a 2＋1
2＝0，所以a ＝－1.故填－1. 14．(2016·全国卷Ⅰ)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________． 解：由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，解得m ＝－2.故填－2. 15．若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a 与b 夹角的余弦值为________．
解：由|a |＝|a ＋2b |，设a 与b 的夹角为θ，等式两边平方得a 2＋4a ·b ＋4b 2＝a 2⇒a ·b ＝－b 2，所以cos θ＝a ·b
|a ||b |
＝
－b 23|b |2＝－13.故填－1
3
. 16．(2016·上海)在平面直角坐标系中，已知A (1，0)，B (0，－1)，P 是曲线y ＝1－x 2上一个动点，则BP →·BA →
的取值范围是________．
解：由题意可知y ＝1－x 2表示以原点为圆心，半径为1的圆的上半圆．设P (cos α，sin α)，α∈[0，π]，因为
BA →＝(1，1)，BP →＝(cos α，sin α＋1)，所以BP →·BA →
＝cos α＋sin α＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋1∈[0，1＋2]．故填[0，1＋2]．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)． (1)若〈a ，b 〉为锐角，求x 的范围； (2)当(a ＋2b )⊥(2a －b )时，求x 的值．
解：(1)若〈a ，b 〉为锐角，则a ·b >0且a ，b 不同向．
则a ·b ＝x ＋2>0，所以x >－2.当x ＝12
时，a ，b 同向． 所以x >－2且x ≠12
. (2)因为a ＋2b ＝(1＋2x ，4)，(2a －b )＝(2－x ，3)，
则(2x ＋1)(2－x )＋3×4＝0，即－2x 2＋3x ＋14＝0，
解得x ＝72
或x ＝－2. 18．(12分)(2016·洛阳期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z —
＝1，求z ；
(2)已知复数z ＝5m 21－2i
－(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值． 解：(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，
由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1，
解得a ＝12，b ＝±32. 因为复数z 在复平面内对应的点在第四象限，
所以b ＝－32，所以z ＝12－32
i. (2)z ＝5m 21－2i
－(1＋5i)m －3(2＋i) ＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，
依题意得m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.
因为2m 2－5m －3≠0，所以m ≠3，所以m ＝－2.
19．(12分)已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1，2)．
(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标；
(2)若|b |＝52
，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ. 解：(1)设c ＝(x ，y )，由c ∥a 和|c |＝25，
可得⎩⎪⎨⎪⎧1·y －2·x ＝0，x 2＋y 2＝20， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4或⎩
⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－4. 所以c ＝(2，4)或c ＝(－2，－4)．
(2)因为(a ＋2b )⊥(2a －b )，所以(a ＋2b )·(2a －b )＝0，
即2a 2＋3a ·b －2b 2＝0，所以2|a |2＋3a ·b －2|b |2＝0，
所以2×5＋3a ·b －2×54＝0，所以a ·b ＝－52
， 所以cos θ＝a ·b |a ||b |
＝－1. 因为θ∈[0，π]，所以θ＝π.即a 与b 的夹角θ为π.
20．(12分) 设向量m ＝(cos α，1)，n ＝(sin α，2)，且m ∥n ，其中α∈⎝⎛⎭
⎫0，π2. (1)求sin α；
(2)若sin(α－β)＝35
，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求cos β. 解：(1)因为m ∥n ，所以2cos α＝sin α.
又sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin 2α＋14sin 2α＝1，所以sin 2α＝45
. 因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以sin α＞0，所以sin α＝255
. (2)因为α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，所以－π2＜α－β＜π2.
因为sin(α－β)＝35，所以cos(α－β)＝45
. 又sin α＝255，所以cos α＝55
. 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝55×45＋255×35＝255
. 21．(12分)已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点．
(1)若β＝α－π6
，求向量OA →与OB →的夹角； (2)若|AB →|≥2|OB →|对任意实数α，β恒成立，求实数λ的取值范围．
解：(1)设向量OA →与OB →的夹角为θ，
则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|
＝λsin （α－β）|λ|＝λ2|λ|， 当λ＞0时，cos θ＝12，θ＝π3；当λ＜0时，cos θ＝－12，θ＝2π3
. 故当λ＞0时，向量OA →与OB →的夹角为π3
； 当λ＜0时，向量OA →与OB →的夹角为2π3
. (2)解法一：|AB →|≥2|OB →|对任意的α，β恒成立，
即(－sin β－λcos α)2＋(cos β－λsin α)2≥4对任意的α，β恒成立，
即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，
所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＞0，λ2－2λ＋1≥4或⎩
⎪⎨⎪⎧λ＜0，λ2＋2λ＋1≥4， 解得λ≥3或λ≥－3.
故所求实数λ的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．
解法二：由λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，可得λ2＋1－2|λ|≥4，解得|λ|≥3或|λ|≤－1(舍去)，由此求得实数λ的取值范围；
解法三：由|AB →|＝|OB →－OA →|≥||OB →|－|OA →||＝|1－|λ||，可得|AB →|的最小值为|1－|λ||，然后将已知条件转化为|1－|λ||≥2，
由此解得实数λ的取值范围．
22．(12分)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1的右焦点为F (c ，0)且a ＞b ＞c ＞0，设短轴的一个端点为D ，原点O 到直线DF 的距离为32
，过原点和x 轴不重合的直线与椭圆E 相交于C ，G 两点，且|GF →|＋|CF →|＝4. (1)求椭圆E 的方程；
(2)是否存在过点P (2，1)的直线l 与椭圆E 相交于不同的两点A ，B 且使得OP →2＝4P A →·PB →成立？若存在，试求出
直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)由椭圆的对称性知|GF →|＋|CF →|＝2a ＝4，所以a ＝2.又原点O 到直线DF 的距离为32，所以bc a ＝32
，所以bc ＝3，又a 2＝b 2＋c 2＝4，a ＞b ＞c ＞0，所以b ＝3，c ＝1.故椭圆E 的方程为x 24＋y 23
＝1. (2)当直线l 与x 轴垂直时不满足条件．
故可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k
－8＝0，所以x 1＋x 2＝8k （2k －1）3＋4k 2，x 1x 2＝16k 2－16k －83＋4k 2
，Δ＝96(2k ＋1)＞0，所以k ＞－12. 因为OP →2＝4P A →·PB →，即5＝4[(x 1－2)(x 2－2)＋(y 1－1)(y 2－1)]，
所以4(x 1－2)(x 2－2)(1＋k 2)＝5，
即4[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4](1＋k 2)＝5，
所以4[16k 2－16k －83＋4k 2－2×8k （2k －1）3＋4k 2＋4](1＋k 2)＝4×4＋4k 23＋4k 2＝5，解得k ＝±12，k ＝－12不符合题意，舍去． 所以存在满足条件的直线l ，其方程为y ＝12
x .。