6.5区间估计

P{θ L ( X 1 , X 2 , ⋯, X n ) ≤ θ ≤ θ U ( X 1 , X 2 ,⋯, X n )} = 1 − α
关于定义的说明
同等置信区间 P{θ L ( X 1 , X 2 , ⋯, X n ) ≤ θ ≤ θ U ( X 1 , X 2 ,⋯, X n )} = 1 − α
一般由点估计 引出
其中仅包含待估参数 θ , 并且 Z 的分布已知 且不依赖于任何未知参数 (包括 θ ).
(2) 对于给定的置信水平 1 − α , 定 出两个常数c, d , 使 P{c ≤ G ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n ;θ ) ≤ d } = 1 − α .
(3) 若能从 c ≤ G ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ;θ ) ≤ d 等价 ⇕ 不等式 θ L < θ < θ U 其中 θ L θ U 都是统计量, 那么 [θ L , θ U ] 是 θ 的 1 − α 的置信区间.
例1
设总体 X 在 [0,θ ] 上服从均匀分布 , 其中 θ
(θ > 0) 未知, ( X 1 , X 2 ,⋯, X n ) 是来自总体 X的样本 , 给定 α , 求 θ 的置信水平为 1 − α 的置信区间.
解 θ的最大似然估计量为
因为 X ( n ) 的概率密度为
X ( n ) = max{ X 1 , X 2 , ⋯ , X n },
Z=
X(n)
θ
,
nxn−1 n , 0 ≤ x ≤ θ, f ( x) = θ 0, 其他.
考察包括待估参数 θ 的随机变量
Z=
X(n)
θ
,
nz n −1 , 0 < z < 1, 其概率密度为 g ( z ) = 其他. 0,
对于给定的 α , 可定出两个常数 a , b(0 < a < b ≤ 1),
于是得 µ 的一个置信水平为 1 − α 的置信区间 σ σ X − z1−α / 2 , X + z1−α / 2 . n n
这样的置信区间常写成 X ± σ z 1−α / 2 . n σ 其置信区间的长度为 2× z1−α / 2 . n 取 n = 16, σ = 1, α = 0.05, 查表可得 z1−α / 2 = z 0.975 = 1.96,
例2
设某产品的长度 X 服从正态分布 N ( µ ,16),
今抽9件测量其长度 得数据如下(单位 单位:mm): 今抽 件测量其长度, 得数据如下 单位 件测量其长度 142, 138, 150, 165, 156, 148, 132, 135, 160.
试求参数 µ 的置信水平为 95％的置信区间.
其置信区间的长度为 2× σ z 1−α / 2 ≤ 1.2 n
为置信区间.
三、单个正态总体参数的置信区间
（一）σ已知时μ的置信区间
设 X 1 , X 2 ,⋯, X n 是来自正态总体 N ( µ , σ 2 ) 的样本 , 其中σ 2 为已知, µ 为未知, 求 µ 的置信水平 为 1 − α 的置信区间.
因为 X 是 µ 的无偏估计 , 且 Z =
随机区间[θ L , θ U ]以 1 − α的概率包含着参数θ的真值, 而不能说参数θ以 1 − α的概率落入随机区间[θ L , θ U ].
还可以解释为：
若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)
每个样本值确定一个区间(θ L , θ U ),
每个这样的区间包含θ 的真值或不包含θ 的真值,
1 得一个置信水平为 0.95的置信区间 X ± × 1.96 . 16 由一个样本值算得 则置信区间为 x = 5.20, 即 [4.71, 5.69].
注意: 置信水平为 1−α的置信区间 是不唯一的 .
X −µ α = 0.05有 P − z1−0.04 ≤ ≤ z1−0.01 = 0.95, σ/ n
说明： 说明： 被估计的参数θ虽然未知, 但它是一个常数,
没有随机性, 而区间[θ L , θ U ])是随机的.
每次试验后，根据样本就能确定一个区间[θ L , θ U ]
当我们做10次试验后，就会有10组样本对应10个区间
样本容量 样本容量 n 固定 , 置信水平 1 − α 增大 , 置信区 间长度增大 , 可信程度增大 , 区间估计精度降低 . 置信水平 置信水平 1 − α 固定 , 样本容量 n 增大 , 置信区 间长度减小 , 可信程度不变 , 区间估计精度提高 .
比较两个置信区间的长度
L1 = 2 ×
L2 =
σ
n
z1−0.025 = 3.92 ×
σ
nHale Waihona Puke ,σn( z1−0.04 + z1−0.01 ) = 4.08 ×
σ
n
,
显然 L1 < L2 . 置信区间短表示估计的精度高 置信区间短表示估计的精度高.
说明: 说明 对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标 轴对称的情况, 易证取a和 关于原点对称时 关于原点对称时,能使 轴对称的情况 易证取 和b关于原点对称时 能使 置信区间长度最小. 置信区间长度最小
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1. 置信区间的定义
设总体 X 的分布函数 F ( x;θ ) 含有一个未知参数θ ,
若由样本X 1 , X 2 , ⋯ , X n 确定的两个统计量
对于给定值α (0 < α < 1), .满足 P{θ L ( X 1 , X 2 , ⋯, X n ) ≤ θ ≤ θ U ( X 1 , X 2 , ⋯, X n )} ≥ 1 − α ,
按伯努利大数定理, 在这样多的区间中 伯努利大数定理 在这样多的区间中, 包含θ真值的约占100(1 − α )%, 不包含的约占100α %.
二. 求置信区间的一般办法——枢轴量法 求置信区间的一般办法 枢轴量法
步骤为：
(1) 寻求一个样本 X 1 , X 2 , ⋯, X n 的函数 : Z = G ( X 1 , X 2 , ⋯ , X n ;θ )
区间估计
置信区间、枢轴量法
一、区间估计的基本概念
设总体 X 的分布函数 F ( x;θ ) 含有一个未知参数θ ,
若由样本X 1 , X 2 , ⋯, X n 确定的两个统计量 θ L = θ L ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )和θ U = θ U ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n ) ˆ ˆ 使得 θ L < θ U , 在得到样本值之后， ˆ ˆ 就把θ估计在区间[θ L , θ U ]里.
解 由 n = 9, σ = 4, α = 0.05,
正态分布µ的置信度为 1 − α的置信区间 ：X ±
z1−0.025 = 1.96, x = 147.333知,
σ
n
z1−α / 2
的置信区间为 µ的置信度为 0.95的置信区间为 (144.720, 149.946).
练习
设 总体 服从正态分布 N ( µ ,1), 为得到的置信水平 为0.95的置信区间长度不超过1.2， 样本容量应该多大 ?
X (n) 满足条件 P a ≤ ≤ b = 1 − α , θ
即 满足 1 − α = ∫ nz n −1dz = b n − a n 条件的的a , b
a
b
X (n) X (n) 使得 P ≤θ ≤ = 1−α, a b
X ( n) X (n) b , a
X −µ
X −µ ~ N (0,1)是不依赖于任何未知参 数的, σ/ n
σ/ n
~ N (0,1),
由标准正态分布的 α 分位点的定义知
−z
1−
α
2
z
1−
α
2
X −µ P − z α ≤ ≤ z α = 1−α, 1− 1− σ/ n 2 2
σ σ P X − zα / 2 ≤ µ ≤ X + zα / 2 = 1 − α , n n
θ L = θ L ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )和θ U = θ U ( X 1 , X 2 ,⋯ , X n )
则称随机区间(θ L , θ U )是θ 的置信水平为1 − α 的置信区间
θ L 和θ U 分别称为θ的(双侧)置信下限和置信上限, 1 − α为置信水平.
参数θ的1-α的同等置信区间 同等置信区间
即 P{ X −
σ
n
z1−0.01 ≤ µ ≤ X +
σ
n
z1−0.04 } = 0.95,
σ σ z1−0.01 , X + z1−0.04 也是 µ 的置信水平 故 X − n n 为 0.95的置信区间. 其置信区间的长度为
σ
n
( z1−0.04 + z1−0.01 ) .