四年级数论奇数与偶数(一)学生版

知识要点奇数与偶数

（一）

由于计数的需要，人们创造了数字。令创造阿拉伯数字的先贤们想不到的是，随着人们的不断研究，数字的魅力已经不仅仅局限于计数本身，对数的研究已经成了数学领域的尖端学问。本讲将向大家介绍奇数和偶数，让大家领略数字本身的独特魅力。

①所有奇数都是用2除的余数为1。即

{}

13579L

， ， ， ， ，

②所有偶数都是用2除的余数为0。即

{}

02468L

， ， ， ， ，

也就是能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。

因为偶数是2的倍数，所以通常用2k这个式子来表示偶数（这里k是整数）；

因为任何奇数除以2其余数总是1，所以通常用式子21

k+来表示奇数（这里k是整数）。

特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。最小的奇数是1，最小的偶数是0。

奇数与偶数的运算性质：

性质1：偶数+偶数=偶数（偶数-偶数=偶数）

奇数+奇数=偶数（奇数-奇数=偶数）

偶数+奇数=奇数（偶数-奇数=奇数）

可以看出：一个数加上（或减去）偶数，不改变这个数的奇偶性；

一个数加上（或减去）奇数，它的奇偶性会发生变化。

（也可以这样记：奇偶性相同的数加减得偶数，奇偶性不同的数加减得奇数。）性质2：偶数⨯奇数=偶数（推广开来还可以得到：偶数个奇数相加得偶数）

偶数⨯偶数=偶数（推广开就是：偶数个偶数相加得偶数）

奇数⨯奇数=奇数（推广开就是：奇数个奇数相加得奇数）

可以看出：一个数乘以偶数时，乘积必为偶数；几个数的积为奇数时，每个乘数都是奇数。

（也可以这样简记：对于乘法，见偶（数）就得偶（数））。

性质3：任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。

基础篇

【例1】357911131517

+++++++的和是奇数还是偶数？为什么？

【例2】135719911993

⨯⨯⨯⨯⨯⨯

L的积是偶数还是奇数，为什么？

【例3】123456799100999897967654321

L L的和是奇数还是+++++++++++++++++++++

偶数？为什么？

【例4】12345679899

L的计算结果是奇数还是偶数，为什么？

+⨯+⨯+⨯++⨯

【例5】从公元1年开始到2年，3年，一直到2008年，在这些年份当中，请问有多少奇数年?有多少个偶数年?

【例6】有一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…，从第三个数开始，每个数等于它前面两个数的和，则该数列前2009个数中有多少个奇数？

【例7】有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有面码之和能否是1999？

【例8】（闸北中学小升初试题）试找出两个整数，使大数与小数之和加上大数与小数之差，再加上1000等于1999．如果找得出来，请写出这两个数，如果找不出来，请说明理由．

【例9】有四个互不相等的自然数，最大数与最小数的差等于4，最小数与最大数的乘积是一个奇数，而这四个数的和是最小的两位奇数．求这四个数．

【例10】甲同学一手握有写着23的纸片，另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题：“请将左手中的数乘以3，右手中的数乘以2，再将这两个积相加，这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时，乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗？

挑战篇

【例11】（上海中学小升初试题）三十六口缸，分作九船装，只准装单，不准装双．问：怎样运走这些缸？【例12】在一张9行9列的方格纸上，把每个方格所在的行数和列数加起来，填在这个方格中，例如

538a =+=．问：填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?

a

12345

6789

9

87654321

【例13】 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来，填在这个方格，例如：5315a =⨯=。问填入的81个

数中是奇数多还是偶数多?

【例14】 用数字1，3，0可以组成多少个奇数和偶数?

【例15】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的4只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全

部杯子的开口全都向下？

【例16】 桌子上有6只开口向上的杯子，每次同时翻动其中的5只杯子，问能否经过若干次翻动，使得全

部杯子的开口全都向下？

【例17】 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的3个，问能否经过若干次翻动，使

得5个杯子的开口全都向下？如果能请动手操作一下。

【例18】 桌子上有5个开口向上的杯子，现在允许每次同时翻动其中的4个，问能否经过若干次翻动，使

得5个杯子的开口全都向下？

【例19】在8个房间中，有7个房间开着灯，1个房间关着灯．如果每次拨动4个不同房间的开关，能不能把全部房间的灯都关上？为什么？

【例20】（08年迎春杯试题）在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好．主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个．”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？

【例21】元旦前夕，同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数?为什么?

【例22】某影院共有1995个座位。上、下午各演出一场，甲、乙两校各有1995名同学看电影。同一学校的学生有的看上午场，有的看下午场，但每人恰看一场，试说明：电影院一定有这样的座位，上、下午在这个座位坐的是两所不同学校的学生。

【分析】上、下午各演一场，共有19952

⨯人，因此场场满座。假设

⨯个座位，甲、乙两校共有学生19952

没有一个座位上、下午由不同学校的学生坐，也就是每一个座位上、下午坐的都是同一所学校的。

如果某校学生上午坐k个座位，那么下午还应坐这k个座位。这样，该校看电影的人数应是2k

⨯个，是偶数，而不可能是1995个人，与所给的条件矛盾。这个矛盾说明，假设是错误的，这就是说，电影院一定有某个（或一些）座位，上、下午坐的是不同学校的学生。