四年级数论奇数与偶数(一)学生版
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知识要点奇数与偶数
(一)
由于计数的需要,人们创造了数字。令创造阿拉伯数字的先贤们想不到的是,随着人们的不断研究,数字的魅力已经不仅仅局限于计数本身,对数的研究已经成了数学领域的尖端学问。本讲将向大家介绍奇数和偶数,让大家领略数字本身的独特魅力。
①所有奇数都是用2除的余数为1。即
{}
13579L
, , , , ,
②所有偶数都是用2除的余数为0。即
{}
02468L
, , , , ,
也就是能被2整除的数叫做偶数,不能被2整除的数叫做奇数。
因为偶数是2的倍数,所以通常用2k这个式子来表示偶数(这里k是整数);
因为任何奇数除以2其余数总是1,所以通常用式子21
k+来表示奇数(这里k是整数)。
特别注意,因为0能被2整除,所以0是偶数。最小的奇数是1,最小的偶数是0。
奇数与偶数的运算性质:
性质1:偶数+偶数=偶数(偶数-偶数=偶数)
奇数+奇数=偶数(奇数-奇数=偶数)
偶数+奇数=奇数(偶数-奇数=奇数)
可以看出:一个数加上(或减去)偶数,不改变这个数的奇偶性;
一个数加上(或减去)奇数,它的奇偶性会发生变化。
(也可以这样记:奇偶性相同的数加减得偶数,奇偶性不同的数加减得奇数。)性质2:偶数⨯奇数=偶数(推广开来还可以得到:偶数个奇数相加得偶数)
偶数⨯偶数=偶数(推广开就是:偶数个偶数相加得偶数)
奇数⨯奇数=奇数(推广开就是:奇数个奇数相加得奇数)
可以看出:一个数乘以偶数时,乘积必为偶数;几个数的积为奇数时,每个乘数都是奇数。
(也可以这样简记:对于乘法,见偶(数)就得偶(数))。
性质3:任何一个奇数一定不等于任何一个偶数。
基础篇
【例1】357911131517
+++++++的和是奇数还是偶数?为什么?
【例2】135719911993
⨯⨯⨯⨯⨯⨯
L的积是偶数还是奇数,为什么?
【例3】123456799100999897967654321
L L的和是奇数还是+++++++++++++++++++++
偶数?为什么?
【例4】12345679899
L的计算结果是奇数还是偶数,为什么?
+⨯+⨯+⨯++⨯
【例5】从公元1年开始到2年,3年,一直到2008年,在这些年份当中,请问有多少奇数年?有多少个偶数年?
【例6】有一个数列:1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…,从第三个数开始,每个数等于它前面两个数的和,则该数列前2009个数中有多少个奇数?
【例7】有一本500页的书,从中任意撕下20张纸,这20张纸上的所有面码之和能否是1999?
【例8】(闸北中学小升初试题)试找出两个整数,使大数与小数之和加上大数与小数之差,再加上1000等于1999.如果找得出来,请写出这两个数,如果找不出来,请说明理由.
【例9】有四个互不相等的自然数,最大数与最小数的差等于4,最小数与最大数的乘积是一个奇数,而这四个数的和是最小的两位奇数.求这四个数.
【例10】甲同学一手握有写着23的纸片,另一只手握有写着32的纸片.乙同学请甲回答如下一个问题:“请将左手中的数乘以3,右手中的数乘以2,再将这两个积相加,这个和是奇数还是偶数?”当甲说出和为奇数时,乙马上就猜出写有23的纸片握在甲的左手中.你能说出是什么道理吗?
挑战篇
【例11】(上海中学小升初试题)三十六口缸,分作九船装,只准装单,不准装双.问:怎样运走这些缸?【例12】在一张9行9列的方格纸上,把每个方格所在的行数和列数加起来,填在这个方格中,例如
538a =+=.问:填入的81个数字中是奇数多还是偶数多?
a
12345
6789
9
87654321
【例13】 如果把每个方格所在的行数和列数乘起来,填在这个方格,例如:5315a =⨯=。问填入的81个
数中是奇数多还是偶数多?
【例14】 用数字1,3,0可以组成多少个奇数和偶数?
【例15】 桌子上有6只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的4只杯子,问能否经过若干次翻动,使得全
部杯子的开口全都向下?
【例16】 桌子上有6只开口向上的杯子,每次同时翻动其中的5只杯子,问能否经过若干次翻动,使得全
部杯子的开口全都向下?
【例17】 桌子上有5个开口向上的杯子,现在允许每次同时翻动其中的3个,问能否经过若干次翻动,使
得5个杯子的开口全都向下?如果能请动手操作一下。
【例18】 桌子上有5个开口向上的杯子,现在允许每次同时翻动其中的4个,问能否经过若干次翻动,使
得5个杯子的开口全都向下?
【例19】在8个房间中,有7个房间开着灯,1个房间关着灯.如果每次拨动4个不同房间的开关,能不能把全部房间的灯都关上?为什么?
【例20】(08年迎春杯试题)在一次聚会时,朋友们陆续到来,见面时,有些人互相握手问好.主人很高兴,笑着说:“不论你们怎样握手,你们之中,握过奇数次手的人必定有偶数个.”请你想一想,主人为什么这么说,他有什么理由呢?
【例21】元旦前夕,同学们相互送贺年卡。每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡,那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数,还是偶数?为什么?
【例22】某影院共有1995个座位。上、下午各演出一场,甲、乙两校各有1995名同学看电影。同一学校的学生有的看上午场,有的看下午场,但每人恰看一场,试说明:电影院一定有这样的座位,上、下午在这个座位坐的是两所不同学校的学生。
【分析】上、下午各演一场,共有19952
⨯人,因此场场满座。假设
⨯个座位,甲、乙两校共有学生19952
没有一个座位上、下午由不同学校的学生坐,也就是每一个座位上、下午坐的都是同一所学校的。
如果某校学生上午坐k个座位,那么下午还应坐这k个座位。这样,该校看电影的人数应是2k
⨯个,是偶数,而不可能是1995个人,与所给的条件矛盾。这个矛盾说明,假设是错误的,这就是说,电影院一定有某个(或一些)座位,上、下午坐的是不同学校的学生。