工程图学第三章 换面法
工程图学第三章投影变换
求直线MN与三角形ABC平面的交点，并判断可见性
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P27-7
试用一段管路 KF将GH和EF 连接起来。 （1）求KL最短距 离实长 （2）求KL的投影
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P27-8
求两平面的夹角
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P25-2
已知直线DE距离三角形ABC平面为20mm， 用换面法求直线DE的V面投影。
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P26-3
在三角形ABC内找一点K， 使K到B、C的距离均为21mm。
返回Leabharlann 求三角形ABC、DEF平面的交线，并判断可见性
P26-4
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P26-5
求点D到三角形ABC的距离，并求垂足K的投影
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P26-6
投影变换
直线的变换 平面的变换 综合练习
p23 p24 p25 p26 p27
P23-1
求直线与H面的夹角
返回
P23-2
求直线与V面的夹角
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P23-3
求平行两直线之间的距离
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P23-4
求平行两直线之间的距离
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P24-1
求三角形ABC平面与H面的夹角
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P24-2
求三角形ABC平面与V面的夹角
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P24-3
已知三角形ABC平面的H面投影及 AB边的V面投影， 且∠BAC=45°完成三角形V面投影
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P24-4
以直线AB为底边作等腰三角形ABC， 已知三角形高为30mm,并与H面夹角45°， 用换面法完成三角形的两面投影。
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P25-1
已知点D距离三角形ABC平面为20mm， 用换面法求点D的V面投影。
最新工程制图(换面法)讲课稿
面的垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面内
取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
V1 C c’1
a’1d’1
c
b’1
X1
把一般位置平面变换成投影面的垂直面
水平线
b B
V d
c D
OC
a A b dc
b1 V1
d1(c1) a1
a X
H
X1
b
d
a
c
V
X
H
d
a
b
O O1
c
H
X1V1 a1 d1(c1) b1
工程制图(换面法)
第一节 概述
特殊位置的直线： 可直接反映实长、倾角问题
a
b
a(b)
X
O
X
O
a
实长
b
b 实长
a
特殊位置的平面： 可直接反映实形、倾角问题
c 实形
a
b
X
O
a
cb
正平面
a c
b
X
O
b
a
类似形 c
正垂面
特殊位置的几何元素： 可直接反映度量、定位问题
a
c
b m c
e
f
b d
e a(b)
三、基本原理
V
V1
1. 点的一次变换： H
H
a
V X
a
A O aV11
ax a H O1 ax1 X1
V
XH
axOBiblioteka aO1ax1
H
变换规律：
X1 V1 a1
清华大学工程制图换面法
２、 把投影面垂直面变为投影面平行面
c1 V1 a1
b1
2013-2-3
X1
16
c1 b1
例5 求铅垂面 ABC的实形。 o
a1
作图要点： 新投影轴平行 于平面的积聚性投 影线。
2013-2-3 17
３、把一般位置平面变为投影面平行面
a2 b2 d2 d c2
实形
o
d
d
30
小结——本讲基本要求
重点：换面法的原理及作图方法。
2013-2-3
31
a1
o
b1
2013-2-3
10
2、把投影面平行线变为投影面垂直线
a1 b1 b
a1 b1
o
b
2013-2-3 11
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
a2 b2
b1 V1 a1
X1
2013-2-3
12
３、把一般位置直线变为投影面垂直线
o
a2 b2
2013-2-3
13
三、平面的投影变换
１、把一般位置平面变为投影面垂直面 例3 将一般位置平面ABC变换为投影面 的垂直面，并求其正面倾角 。
被更换的投影面V
建立新投影 面的原则？
新的投影面V1 新投影面的选择原则： 1、新投影面必须与空间几 何元素处于有利于解 题的位置； 2、新投影面必须垂直于原 有的一个投影面。
5
不变的投影面H V/H 体系变为V1/H 体系
2013-2-3
一、点的投影变换
1.点的一次变换
V1 a1
点的投影变换规律：
例10 已知点M到平面 ABC的距离为30，求m’。
b’
机械制图第三章 换面法
V1 ⊥H X1
O2
X O1
平行
作图：
O
二、将一般位置直线变为投影面垂直线
（2次）
投影图： b'
a'
O2X2⊥
a1’b1’
V XH
b O O1
▲
O2
b2
▲ a2
a
b1'
V1
H2 X2
O1X1 ∥ab
H V1 X1
a1'
2、第二次变换H2→H， 将投影面平行线AB变换 为O2投X2影⊥面a1的’b垂1’。直线，即：X1
二、更换水平投影面
V a'
用H1面更 换H面
a'
X1
X1 V H1
ax1
ax1
X ax
A
O1
O a1
X
V H
ax
O O1
a1
a
a
H
H1面应与V面垂直
点的投影变换规律： 1、点的新投影和不变投影的连线垂直于新投影轴； 2、点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离.
三、连续两次更换投影面
有时需要连续两次更换投
以实现的。
3、故先设新投影面将直线变换为投影面的平行线，再次设新投 影面将平行线变换为投影面的垂直线，以实现题意要求。
二、将一般位置直线变为投影面垂直线
H2⊥V1
1、设新投影面V1，将一般和直线
位置直线变换为投影面的平
行线（即：正平线）。
X2
2、再设新投影面H2，将 投影面的平行线（即：正 平线）变换为投影面的垂 直线。
第三章 换面法
1、换面法的目的、概念、基本原则。 2、点的投影变换规律。
土木工程制图-换面法篇教学提纲
a1
ax2 .
a'1
H1 V1 X2
四、换面法的四个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
作图：
b
a V
b
V1
A
a'1
b'1 B
a
a
XV H
b
a.
H
X1 V1
●
●
a'1
b'1
Hb
X1
新投影轴的位置？
⒉ 更换两次投影面
新投影体系的建立
先把V→V1，
V1H，得到中间新投影体系:
X1 V—1 H
再把H→H1， H1 V1，得到新投影体系: X2 —VH11
V a
ax
X
X2
a1
H1
ax2
V1
O
A
a'1
a ax1
H
X1
按次序更换
作图方法
a
X
V H
ax
a ax1 .
H X1 V1
作图规律
a1a'1 X2 轴 a1ax2 = aax1
b
c
d.
b
H X1
V1
b'● 1
α a'1●d'1c● '1
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次变换能否实现？
一次换面,
把一般位置平面变换成投影面垂直面； 为什么？
二次换面，把投影面垂直面变换成投影面平行面。
作图方法：
第3章 投影变换---换面法
广东技术师范学院天河学院教案2012 年月日第周单元教案首页第三章投影变换——换面法第一节换面法的基本概念一、换面法的基本概念空间几何元素的位置保持不变，用新的投影面来代替旧的投影面，使空间几何元素对新的投影面的相对位置变成有利于解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。
这种方法称为换面法。
用换面解题时应遵循下列两原则:⒈选择新投影面时,应使几何元素处于有利于解题的位置；⒉新投影面必须垂直于原投影面体系中不被变换的投影面，并与它组成新投影面体系，必要时可连续变换。
(a) (b)图3.1 将一般位置直线变换成投影面平行线如图3.1,新投影面必须垂直于不变换的投影面，即V1⊥H，X1为新投影轴。
这时，不变换投影面上的投影a、b与V1面上的新投影a1＇、b1＇的投影连线a a1＇⊥X1、b b1＇⊥X1。
并且a1＇、b1＇到X1的距离等于被代替的投影a＇、b＇到被代替的投影轴的距离，即a1＇a X1＝a＇a X＝A a＝Z A, b1＇b X1＝b＇b X＝B b＝Z B。
第二节点的换面二、点的投影变换规律（一）点的一次变换点是一切几何形体的基本元素。
因此，必须首先掌握点的投影变换规律。
现在来研究更换正立投影面时，点的投影变换规律。
图3表示点A在V/H 体系中，正面投影为a′，水平投影为a。
现在令H面不变，取一铅垂面V1（V1⊥H）来代替正立投影面V，形成新投影面体系V1/H。
将点A向V1投影面投射，得到新投影面上的投影a′1。
这样，点A在新、旧两体系中的投影（a，a′1）和(a，a′)都为已知。
其中a′1为新投影，a′为旧投影，而a为新、旧体系中共有的不变投影。
它们之间有下列关系：1. 由于这两个体系具有公共的水平面H，因此点A到H面的距离（即z坐标），在新旧体系中都是相同的，即a′ax=Aa=a′1ax1。
2. 当V1面绕X1轴重合到H面时，根据点的投影规律可知aa′1必定垂直于X1轴。
这和aa′⊥X轴的性质是一样的。
哈尔滨工程大学工程图学章节基础题答案
3-1换面法
①X1∥de →②求出d1→③d1为圆心，40为半径做圆弧，交得e1→④返回，求得e’
思路：将△ABC变换为投影面的垂直面。
求点D到△ABC的距离也就是过点D 作△ABC 的垂线DK，
若△ABC⊥V
1面，则DK∥V
1
面。
作图步骤：
1.在△ABC内作水平线CN（作c’n’∥X ）；
2.作X1⊥cn；
3.投影变换，得a1、b1、c1、d1；
4.作d1 k1⊥a1 b1 c1（d1 k1即为所求）。
5.也可继续将K点返回：
∵△AB C⊥V
1，而DK⊥△AB C, ∴DK∥V
1
, ∴做dk∥X1, 得k；
∵点K∈△ABC，∴连接ak延长交bc于m；投影得m’，连接a’m’，投影得k’。
3-2换面法
思路：将△ABC变换为投影面的垂直面，直接得出交点K。
再判断可见性。
作图步骤：
1.在△ABC内作水平线AM（作a’m’∥X ）；
2.作X1⊥am；
3.投影变换，得a1、b1、c1、e1、f1；e1f1与a1b1c1交于k1；
4.返回求得k和k’；
5.判别可见性。
3-3换面法
思路：通过两次换面，求出△ABC的实形，即得AB和AC的夹角。
作图步骤：
1.∵BA∥H，∴作X1⊥ba；
2. 投影变换，得a1、b1、c1；
3. 作X2∥a1b1c1；
4. 投影变换，得a2、b2、c2；。
5. △a2b2c2=△ABC，θ即为AB和AC的夹角。
3-4换面法
3-5换面法
3-6换面法
3-7换面法。
换面法
换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。
当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。
换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。
1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。
然后找出其在新投影面上的投影。
2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。
二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。
因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。
1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。
过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。
a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。
由于在（a）（b）（c）图2-25点的一次变换（换V面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H投影体系和V1/H体系中，具有公共的H面，所以点a到H面的距离（Z坐标）在两个题词体系中是相等的。
所以有如下关系：1a'a⊥O1X1轴；1a'1xa=a'xa=A a，即：换V面时Z坐标不变。
由此得出点的投影变换规律是：①点的新投影和不便投影的连线，必垂直于新投影轴；②点的新投影到新投影轴（O1X1）的距离等于被替换的点的旧投影到旧投影轴（OX）的距离，也即换V面时高度坐标不变。
换面法PPT课件
7
(一) 点的投影变换规律
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
a’
V1 a1’
a1’
X
V H
X1
a
（二）新投影面的选择必须符合以下两个基本条件：
1、新投影面必须和空间几何元素处于有利解题的位置。
2、2新021投/6/1影6 面必须垂直于一个不变投影面。
18
例 已知ＡＢ的实长及A’B’，求AB的水平投影
AB
a’
XV
b’
H
2021/6/16
a
19
例 已知ＡＢ的实长及a’b’，求AB的水平投影
AB
作图
1. 将AB变换为 水平线(X1∥a’b’) 2. 利用AB的实 长及点的投影规 律求出b1 3. 求出b
讨论
a’ XV
H a
a1 b1
另一解b1
b’
15 b1'
a1' e1'
e' d'
e1 d1' c1'
ed
2021/6/16
27
1-5- 4 解题举例
[例1] 求图示立体上的正垂面P 的实形。
2021/6/16
28
1-5-4 解题举例
[例2] 已知一般位置平面△ABC 和一般位置直线 E F 的两个投影，
它们是相交关系，试求交点的投影。
2021/6/16
b’ f’ l’ c’
1. 将△ABC变换为正垂面
2. 求出交线的辅助投影l1’ n1’ 3. 求出交线的正面投影和水平 投影 4. 判别可见性
工程制图换面法
c'
b'
XV
a'
Hc
e
a
a1'
b
e1´
b1'
c1'
第50页，共50页。
例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b2
a2 e2
b
e1
d2
c2
a
V X
H a
e d c
b ed
c
第50页，共50页。
题10： 已知两直线AB//CD且相间距离为10
d
c
b
b
a
a X
c
XV H
题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？
b
b
a
a
d
c
XV
H
V
X
d
b
b
a
c
a
a1
第50页，共50页。
提示
a2 b2
b1
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN，
且AB为水平线，求CD及MN的投影。
MN
作图：
n● c●
a ● m
X
V H
a
●m
●
n
c
请注意各点的投影 如何返回？
求m点是难点。
d a
求具有公共边BC的△ABC 和△BCD的夹角。
C
BD
A
c2 (b2)
H2
a2
d2
b
X
V H
a
b O1 c2 (b2) O2
d b2
c
O c
H X1 V1
c2
a2
a2
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4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 c 作 图： 线 a2 ● a b
X V H
a b c
H P1 X1
.
●
a1b1 .
b2●
●
c2
平面的实形
●
c1
X2轴的位置？ 与其平行
P
a
V
A B a
H
a1 b1
b
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V
a
a1 .
距离
H X1 P 1
d1 .
b b1 . a2 2d2
c2
c
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
P1 P2 X2
例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， N 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M
作图：
● c
●
d
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
五、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P X
b a d b a
.
V H
c d a1
a 1
ax
X
a
H
ax1 X1
P X1 —1 先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系: H P1 X2 — 再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系: P2
⑵ 求新投影的作图方法
a
作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1
V X H
ax
a2
c
C
P1 c1 a1d1 b1
X1
d b
A B D
c
d
a
正平线！
b H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H a b c H X 1 P1 d
.
d
c
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
α
a1d1
● ●
c1
●
d1
反映平面对哪 个投影面的夹角？
H P 1 X1
P2 c1 P1 X 1
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析： 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 时所得两交线之间的夹角。 所求。 d a XV H c a c b
a H
H1 ● X1 P1 a1 X1
●
b1 a2b2
X2轴的位置？
与a1b1垂直
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 能否只进行一次变换？ a 平面变成新投影面的 垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
C N
n ●
●
a XV H a c
m
b
M
D B a1m1b1
●m ●
n
d b
d1
.
●
a1≡b1≡m1
● ●
P1
.
c1
n1
d1
n1
请注意各点的投 H P 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
c1
●
圆半径=MN
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
P1 H X1
H
ax
X
ax1
H X1
a
a
a1ax1 = aax 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
aa1 X1
⑶ 求新投影的作图方法
更换V面
a
更换H面
a1 XV H
X1 P 1 H
.
a1
ax1
a
ax
V X H
ax
ax1
.
●
H
a
P1 X1
a
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V
P2
a2
按次序更换 P1
ax2
a
A
第三章 投影变换－换面法
• 本章介绍投影变换，仅介绍变换投影面 法，它是解决空间几何元素定位和度量 的一种简单有效的方法。 • 图解问题的难易程度不仅取决于问题本 身的复杂程度，而且在很大程度上．还 取决于几何元素与投影面以及投射方向 的相对位置。
一般位置元素和特殊位置元素求解方法比较
投影变换基本方法： 1、换面法 2、旋转法
换面法基本原理
换面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
二、新投影面的选择原则
●
b a1 d1
● ●
θ c1
.
●
b1
.
d
a2≡ b2
●
θ
●
●
d2
c2
小 结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
X1 H
P1
.
a
H
b
a1
●
b1
●
换H面行吗？ 不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
V H
V
b P2
a2b2
ax2 b1
P1
a b a
.
a
b X
B A
X
a1
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
a ax1 H X1 P1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V A
b
B
X
V
b1
H
b a
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 ● 作 图： c 几个解？ 两个解！ a ● 2 a d b
X
V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
a1b1
● ●
解法相同！ 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。
a
A
a 1
V
P1
X
ax ax1
H P1 X1
H
ax
X
ax1
H X1
a
a
P1 V 新投影体系 X1 — 旧投影体系 X — H H A点的两个投影：a，a1 A点的两个投影：a， a