物理光学A---第二章 光波的叠加与分析

2 变，将出现一系列的 幅振 为零的点 —波节和一系列振幅为 大最 值
的点—波腹。
2 由 cos k z 0可求得波节的位置为
2
kz n
22
n 1，3，5，
h
11
由coskz 1可求得波腹的位置为
2
kz n
22
n 0， 2， 4， 6，
3 由以上的表 相达 邻式 的可 波知 腹 相 ： 或 距 ； 波相 节邻 之的
h
18
2.4 不同频率的两个单色光波的叠加
当两个沿同一方向传播的振动方向相同、振幅相等而频率相差
很小的单色光波叠加时，将出现“拍”现象。
2.4.1 光拍 设符合于上述条件的两光波沿z方向传播，各自的波函数为
E1acoks1z1t E2acoks2z2t
λ１＝２π／ｋ１，ｖ１＝ｗ１／ｋ１
λ２＝２π／κ２，υ２＝ｗ２／κ２
P54 例2.2
h
9
2.驻波
2.2.1 驻波的形成
一束单色光波垂直入射到两种介质的界面上时，入射光波和反
射光波成为两个频率相同、振动方向相同、传播方向相反的单
色波，它们的叠加将形成驻波。
参见图2-4：两介质界面的投影沿Y轴方向，两介质折射率分别 为n1、n2，设入射、反射光的沿Z轴方向传播，且两光振幅近似 相等。
1212 k12k1k2 m1212 km12k1k2
E的表达式简化为
E2acoskmzmtcoskzt
令振A幅2acoskmzmt,上面的波函数进化一为步简
EAcoskzt
这表明：合成波是 频一 率个 为 、振幅随时间和位 化置 的变 波，如图
2.16所示。
由振幅可求得波强度为
I A2 4a2co2skmzmt
当 m12时， I 0，为最小m 值0。 ， 1， 2，
2
当介于以上两种时 情0h， 况 I 之 4I间 02。
6
3 位相差的表达式 可写为
2
1
kr2
r1
2
r2
r1
2 0
nr2
r1
0是真空中的波长，通仍常简写为；
定义式中的nr2 r1 ，称为光程差。有了相位差和光程差的关系
fxa0a1cos2λπzβ1a2cosλ2π/z2β2 a0a1coks zβ1a2co2skzβ2
相速度
群速度
hwenku.baidu.com
z
26
2.5 光波的分析
P20 理想纯洁光：E Acoskz t 时间、空间无限延展的周期函
数 实际光：波列长度都有限
本节：复杂波是单色波的叠加 2.5.1 周期性波的分析
参见图2.18，该波的运动在一定的空间周期内重复一次，即 为周期性波。 应用数学上的傅立叶级数定理，具有空间周期的函数f(x)可 以表示为一组空间周期为的整分数倍的简谐函数之和，即
A2
a12
a
2 2
2 a1 a 2
cos 2
1
合振动的初位相为
tg a1 sin 1 a2 sin 2 a1 cos1 a2 cos 2
P点的合振动可以表示为
E A cos t
h
5
结论：P点的合振动与两个分振动一样，也是一个简谐振动，其 频率和振动方向也与两个分振动相同。
我们关注的是合振动的强度 I=A2，故进行以下的讨论：
E1 a1coskr1 t E2 a2 coskr2 t
a1,a2分别是两光P波 点在 的振幅。
由叠加原P理 点， 的合振动应为 的两 叠振 加动 ：
EE1 E2 a1cosk1rta2coskr2 t
令1 kr1，2 kr2，可将上式化简为
Ea1cos1 ta2 cos2 t
h
4
经数学运算整理后，得 出合振动的振幅为
h
14
椭圆方程中各量的几何意义见图2—9。这种光矢量末端轨迹为 椭圆的光称为椭圆偏振光。 结论：两个在同一方向传播的、频率相同的、振动方向互相垂
直的单色光波叠加时，一般将形成椭圆偏振光。
2.3.2 几种特殊情况 由椭圆方程可知：偏振椭圆的形状由参与叠加的两光波的位相
差 =（2-1）和振幅比a2/a1决定，以下是两种特殊情况。
散的真空中传播时，由
于 dv
d
0,所以vg
v,
群速和相速相等；
当叠加的两光波在色散
介质中传播时，dv
d
0, vg
v,群速和相速不等。
群速度是光能量或光信号的传播速度，实际的光信号测量实验
中，测量到的速度就是群速。
h
23
正常色散（透明区）
， .... g p
反常色散（吸收区）
， .... g p
入射波和反射 数波 为的波函
E1 acoks zt
E1/ acokszt
为反射时的位 当相 反变 射化 发， 生于 光光 密疏 界面 n1 ， n2即
时， 。
h
10
两波叠加后函 的数 合为 成波波
EE1E1/ acoksztacokszt
2acokszcost
2 2
此式表明，形成该波的合振动为频率不变的简谐振动。该振动 的特点分析如下： 1 振动的振幅为A 2acoskz ，振幅随传播时的位 坐置 标Z而
如果 ν１＝ν２：无色散 如果 ν１≠ν２： 有色散
两波叠加函 后数 的为 合成波波
EE 1E2aco k1s z1tco k2sz2t
2aco1 2s k1k2z12tco1 2s k1k2z12t
h
19
为简E的 化表达式，引频入率 平 、均 平角 均k波 、数 调制角 m、 频
调制波 km： 数
E xx0 0a E1xcoyk0sE1 zyty0a2coksz2 t
合振动矢量的大小和方向均随时间变化，经简单的数学运算可
得其末端的运动轨迹方程：
这个方Ea12x2程 Ea表 22y2 明 2Ea矢 1x： aE2y量 c合 o末 s振 2 端 动 1的 si轨 n2椭 迹 2 圆 是 1。 一个
设中括号A内 exi p 的 ，部 则分 上为 式简化为
EAexi pexpitAexi pt
合振动振幅为
A2 a12 a22 2a1a2 cos2 1
合振动的初位相为
tg a1sin1 a2 sin2
a1 cos 1 a2 chos 2
8
三、相幅矢量加法
旋转矢量法：旋转的矢量是想象出来的，真正的矢量是旋转矢 量的投影。
1 当 j时 , j0,1,2, 椭圆方程变为
Ey
a2 a1
Ex,
即合矢量末一 端经 的过 轨坐 迹标 为 ， 原如 点 2— 图 的 1中 0a直 ,e所 线
示。
h
15
2 当j 2 j 1 时, j 0,1,2,椭圆方程变为
2
E
2 x
E
2 y
1
a12
a
2 2
合矢量的运动轨迹是一 个正椭圆，如图 2 — 10中c, g所示。
1 设两单色光 P点波的在振幅相 a1 等 a2： a，则合振动的强
I
A2
a2
a2
2aacos 2
14a2
co2s
2
4I02
co2s
2
式中I0 a2，是单个光波的 ；光强度
2 1，是两光P点 波的 在位相差。
2 由1的结果可P点 知的 ，光强度取差 决 于位相
当 2m时， I 4I02，为最大值；
h
16
2.3.4 椭圆偏振光的强度
由第一章第五节关于辐射能的讨论已知，相对光强度即辐射强
度的平均值为
IE2
对于椭圆偏振光，
I x0Exy0Ey x0Exy0Ey
Ex2 Ey2
即 IIxIy
这个结果表明：椭圆偏振光的强度等于参与叠加的两个振动方 向相互垂直的单色光波的强度之和。 说明：此式适用于椭圆，圆，自然光
h
13
2.3 两个频率相同、振动方向相互垂直的光波的叠加
2.3.1 椭圆偏振光
参见图2.10：由光源S1、S2发出两个单色光波，频率相同，振动 方向相互垂直。设两波的振动方向分别平行于X轴和Y轴。
当两波到Z达 轴上P点时，振动方程为
Ex Ey
aa12ccoosskkzz12tt
两波P点 在 处 叠加后的合振动为
h
17
2.3.5 利用全反射产生椭圆和圆偏振光
已知光在两介质界面上以布儒斯特角B入射时，反射光中只有 唯一方向的振动，这种光叫完全偏振光或线偏振光。如果让线 偏振光在两介质的界面上发生全反射，则反射光波中的 s分量和 P分量之间有一位相差，两波一般合成为椭圆偏振光。特殊情 形下，当两波的振幅相等时合成为圆偏振光。 菲涅耳菱体 S波，P波 同频率，正交振动，电矢量 P32 图1.32 结合P59 图2.12（a)(c) 要求：看懂P62 例2.4 （建议用数学软件求解）
h
2
§1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加
一.代数加法
二 参见右图： 三两 个 频 率 相 同 、 振 动 方
s1
r1
y
向相同的单色光波分别由
光源s1、s2发出，经过一段 传播路程后在P点相遇，产
s2
生叠加，s1到P点的距离为
r2
P
r1，s2点到P点的 距离为r2。
h
3
两光波在P点的振动可用波函数表示为
波强度 0和 在 4a2之间变化，这大 种时 强小 度的 时现象称
h
20
beat
1
2ACos
2
10
t
20
1
Cos
2
10
20
t
2
2
2
2
time
h
21
出现拍现象时的拍频等于2 m, 而m= 1-2,为参与叠加的两光 波的 频率之差，所以可通过观测光学拍现象来检测光波的微小
频率差。
2.4.2 群速度和相速度 对于一个单一的单色光波，光速是指其等位相面的传播速度，称 为相速度。对于两个单色波的合成波，光速包含两种传播速度： 等位相面的传播速度和等振幅面的传播速度，分别称为相速度和 群速度。由合成波波函数可求得两速度的表示式。
数学根基
有的书：逆时针；本书：顺时针。
利用相幅矢量的概念，通过简单的矢量求和运算，也可以得到 与前相同的结论。
A 2 a 1 2 a 2 2 2 a 1 a 2co2 s1 ) (
tgaa11csoi ns1 1 a a2 2scion2 s2
相幅矢量：长度代表振动的振幅大小，它与ox轴的夹角等于该 振动的位相角。
稳定的光强度的周期性变化，这就是光的干涉现象，这种叠加
称为相干叠加，叠加的光波称为相干光波。
h
7
二 .复数方法
三 光源S1、S2发出的单色光波在P点的复数形式的波函数为
E1 a1e xip a1t E2 a2exip a2t
两者叠加的合振动为
EE 1E 2a1ex i p 1ta2ex i p2t a1ex ip 1a2ex ip 2ex ip t
无色散（比如真空）
.......... .......... ... g p
光能量，光信号
...... 能量 ~ 振幅 ....... 群速度
P 65 例 6 .5 例 6 .6 要求明白
h
24
E z,t
正 常 色 散: 群 速 度 相 速 度
群速度
相速度
h
z
25
E z,t
反 常 色 散: 群 速 度 相 速 度
若此时又有 a1 a2 a,则轨迹方程为
E
2 x
E
2 y
a2
即合矢量的运动轨迹是 一个圆，这种光称为圆 偏振光。
2.3.3 左旋和右旋 由合振动矢量旋转方向的不同，可以把椭圆（圆）偏振光分为 左旋两类。区分原则是：对着光的传播方向观察，合矢量向逆 时针方向旋转时为左旋偏振光；合矢量向顺时针方向旋转时为 右旋偏振光。 左旋偏振光： sin＞0; 右旋偏振光：sin＜0
和波节之 。 间相距
2
4
4 当光在光疏 光密界面反射时，界面 处为波节。
5 合成波的位 co相 st与坐z标 无关，它的意义不 是在 z： 方波 向
2 传播，故称为驻波。
h
12
2.2.2 驻波实验
典型的驻波实验是维纳驻波实验。
1. P57 图2.8 2. 感光 3.全反射
光驻波现象在多个光学过程中存在，现在见的最 多的是在激光器谐振腔中多次往复反射的光波 形成的驻波。激光输出的这种稳定的驻波称为 激光束的纵模。
第二章 光波的叠加与分析
1 两个同频率、同振向的单色光波的叠加 2 驻波 3 两个同频率、垂直振向的单色光波的叠加 4 不同频率的两个单色光波的叠加 5 光波的分析
h
1
对平面波表达式的理解：
• 简单逻辑：传播时间延迟
• 理解沿正反方向平面波表达式（两种理解 方法）
• 要求：已知波源处的平面波的表达式，求 空间某点处的平面波表达式
后，可以将2中的结论转而表述为
当nr2r1m 时I， 4I0 2；
当nr2r1m1 2时I， 0。
4 无论位相差表达式还是光程差表达式，都只适用于两光波的
初位相相同的情况。若非如此，还应加上两光波的初位相差。
5 由光程差的表达式可知，两光波叠加区域内不同位置处将有不
同的光程差，因而会有不同的光强度，整个叠加区域内将出现
已知合成波波函数为
E 2a coskm z mtcos kz t 由位相不变的条件kz t 常数 可求得相速度为
v
k
h
22
由振幅不变的k条 mz件 mt 常数可求得群速度为
vg
m
km
k
当很小时，有近似式
vg
d
dk
群速度和相速度之关间系的为
vg
vk dvv dv
dk
d
当叠加的两光波在无色