镜像法及其应用

镜像法

在静电场中，如果在所考虑的区域内没有自由电荷分布时，可用拉普拉斯方程求解场分布；如果在所考虑的区域内有自由电荷分布时，可用泊松方程求解场分布。如果在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷，区域边界是导体或介质界面时，一般情况下，直接求解这类问题比较困难，通常可采用一种特殊方法—镜象法来求解这类问题。 镜像法是直接建立在唯一性定理基础上的一种求解静电场问题的方法。适用于解决导体或介质边界前存在点源或线源的一些特殊问题。镜像法的特点是不直接求解电位函数所满足的泊松或拉普拉斯方程，而是在所求区域外用简单的镜像电荷代替边界面上的感应电荷或极化电荷。根据唯一性定理，如果引入镜像电荷后，原求解区域所满足的泊松或拉普拉斯方程和边界条件不变，该问题的解就是原问题的解。下面我们举例说明。

1导体平面的镜像

例.1 在无限大的接地导电平面上方h 处有一个点电荷q ，如图3.2.1所示，求导电平板上方空间的电位分布。

解 建立直角坐标系。此电场问题的待求场区为0z >；场区的源是电量为q 位于(0,0,)P h 点的点电荷，边界为xy 面，由于导电面延伸到无限远，其边界条件为xy 面上电位为零。

导电平板上场区的电位是由点电荷以及导电平面上的感应电荷产生的，但感应电荷是未知的，因此，无法直接利用感应电荷进行计算。

现在考虑另一种情况，空间中有两个点电荷q 和q -，分别位于(0,0,)P h 和点

(0,0,)P h '-，使得xy 面的电位为零，如图3.2.2。这种情况，对于0z >的空间区域，电

荷分布与边界条件都与前一种情况相同，根据唯一性定理，这两种情况0z >区域的电位是相同的。也就是说，可以通过后一种情况中的两个点电荷来计算前种问题的待求场。对比这两种情况，对0z >区域的场来说，后一种情况位于(0,0,)P h '-点的点电荷与前一种情况导电面上的感应电荷是等效的。由于这个等效的点电荷与待求场区的点电荷相对于边界面是镜像对称的，所以这个等效的点电荷称为镜像电荷，这种通过场区之内的电荷与其在待求场区域之外的镜像电荷来进行计算电场的方法称为镜像法。需要特别强调，镜像法只是对特定的区域才有效，镜像电荷一定是位于有效的场区之外。

现在回到本例中来，所求场区的电位应满足以下方程：

20q ϕ∇=除点外 （3.2）

图3.2.1 导电平面上方的点电荷 图3.2.2 点电荷的镜像电荷

边界条件为：

,0R ϕ→∞→ （3.3） 0,0z ϕ== （3.4）

在(0,0,)h -处放一镜像电荷q q '=-来代替导体表面上感应电荷的作用，并将0z ≤区域换成真空。判断能否代替的标准是看代替后在0z >区域内所产生的场是否仍满足方程(3.2)和边界条件(3.3)、(3.4)。

q 与q '在0z >的区域内产生的电位为

01

()

4q q R R ϕπε'

=+'

2

2

2

2

2

2

1(

)4()

()

x y z h x y z h πε=

+

++-++- （3.5）

R →∞时，式（3.5）→∞，因此新系统对边界条件（3.3）自然满足。同时，式（3.5）

也满足式（3.4）的边界条件。

在0z >的区域内的电位为

11(

)4q R R ϕπε=

-'

2

2

2

2

2

2

(

)4()

()

q x y z h x y z h πε=

-

++-+++ （3.6）

式（3.6）既满足方程（3.2），又满足边界条件式（3.3）、（3.4），由解的唯一性定理可知，它就是原问题所求的电位解。

为了更好地理解镜像法的物理含意，我们对此例再稍加讨论。由式(3.6)可求出上半空间的电场为

332222220

2211{}4[()][()]x qx E x x y z h x y z h ϕπε∂=-

=-∂++-+++ 332222220

2211{}4[()][()]y qy E y x y z h x y z h ϕπε∂=-

=-∂++-+++ 332222220

22

{}4[()][()]z q z h z h E z x y z h x y z h ϕπε∂-+=-

=-∂++-+++ 在0z =的平面上，0x y E E ==，只有z E 即法向电场分量n E 存在，亦即

图3.2.3 点电荷对无限大接地导体平面的镜像电荷

32222

0(,,0)2()

n z qh

E E x y x y h πε-==

++

根据导体表面的边界条件，导体表面上的感应电荷面密度为

032222

2()

s n qh E x y h σεπ-==

++ （3.7）

上式表明，s σ在导体表面上并不是均匀分布的，但它的总感应电荷为

32222

2()

s s qh dxdy q dxdy q x y h σπ∞

∞

∞∞-∞-∞

-∞-∞

==-

=-++⎰

⎰

⎰⎰ （3.8）

感应电荷总量与镜像电荷总量相等。这一结论是合理的，因为点电荷q 所发出的电力线全部终止在无限大的接地导体平面上。 讨论：

1）镜像电荷是一些假想的电荷，它的引入不能改变所研究区域的原有场分布，因此镜像电荷应放在所研究的场区之外。

2）镜像电荷的具体位置与量值大小、符号的确定，应满足给定的边界条件。不过很多时候是根据界面的情况，先假定像电荷的位置，再由边界条件来决定像电荷的大小。

3）既然用镜像电荷代替了感应电荷的作用，因此考虑了镜像电荷后，就认为导体面（或介质面）不存在了，把整个空间看成是无界的均匀空间。所求区域的电位等于给定电荷所产生的电位和镜像电荷所产生的电位的叠加。

例2 两个半无限大的接地导电平面折成一直角区域，直角区有一点电荷q ，如图3.2.4()a 所示。求直角区域中的电位分布。

解 建立直角坐标系，使直角导电面与坐标平面相合，并使点电荷位于xy 平面，设其坐标为(,,0)a b 。现在，待求场区为0,0x y >>的区域，边界面为0x =面与0y =，在边界面上电位为零。容易看出，对于如图3.2.4()b 所示的空间有相对坐标面对称分布的四个点电荷的情况，在坐标的第一象限与原问题有相同的电荷分布和边界条件。因此，可通过这四个点电荷求解待求场区的场，即

01234

1111

(,,)()4q

x y z r r r r ϕπε=-+-

式中，2

2

2

1()()r x a y b z =-+-+

22222223222

4()()()()()()r x a y b z r x a y b z r x a y b z =++-+=++++=-+++ 题6图

图3.2.4 直角区域中的点电荷和镜像