1.4.3含有一个量词的命题的否定

探究一：
写出下列命题的否定：
（1）所有的矩形都是平行四边形； （2）每一个素数都是奇数； （3）x∈R, x2－2x＋1≥0.
（1）并非所有的矩形都是平行四边形; 即 存在矩形不是平行四边形；
（2）并非每一个素数都是奇数；
即 存在素数不是奇数； （3）并非所有的x ∈ R，x2-2x+1≥0.
即 x0 ∈ R，x02-2x0+1<0.
否定：存在一个数能被8整除，但不能被4整除.
(3)原命题完整表述：任意四边形，若它是正方形， 则它的四条边中任何两条都相等.
否定：存在一个四边形，它是正方形，但它的四条边 中至少有两条不相等.
(4)否定：所有的三角形都不是正三角形.（√ ）
(4)否定：所有的三角形不都是正三角形.（ ）
同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不 同，可以有不同的表述方法。
练习.
C
A
练3.写出下列命题的否定,并判断真假： (1) p:任意两个等边三角形都是相似的； (2) p: x0∈R, x02+2x0+2=0. 解：(1) ¬ p: 存在两个等边三角形,它们不相似. ¬ p是假命题；
(2) ¬ p: x R, x2 2x 2 0. ¬ p是真命题.
练习.
一般地 , 对于含有一个量词的全称命题的 否定 , 有下面的结论:
结论一：
全称命题p : x ∈M，p （ x）， 它的否定┐p : x0 ∈M, ┐p （ x0 ）.
例1：
写出下列全称命题的否定：
（1）p：所有自然数的平方是正数； （2）p：所有可以被5整除的整数，末位 数字都是0； （3）p：每一个四边形的四个顶点共圆.
命
全称命题
题
特称命题
表 述
(1)所有x A, p(x)成立.
(1)存在x0 A,使p(x0 )成立.
(2)对一切x A, p(x)成立. (2)至少有一个x0 A,使p(x0 )
(3)对每一个x A, p(x)成立. 成立.
方 (4)任选一个x A,使p(x) 法 成立.
(3)对有些x0 A,使p(x0 )成立. (4)对某个x0 A,使p(x0 )成立.
(5)凡x A,都有p(x)成立. (5)有一个x0 A,使p(x0 )成立.
小结
含有一个量词的命题的否定
一般地，我们有： “x M , p(x)”的否定为“x M , p(x)”, “x M , p(x)”的否定为“x M , p(x)”。
结论：全称命题的否定是特称命题 特称命题的否定是全称命题
（1）┐p：有自然数的平方不是正数； （2） ┐p：存在可以被5整除的整数，末位数字不 是0； （3） ┐p：存在四边形，它的四个顶点不共圆.
探究二：
写出下列命题的否定：
（1）有些实数的绝对值是正数； （2）某些平行四边形是菱形； （3） x∈R, x2＋1＜0.
（1）不存在一个实数，它的绝对值是正数；
隐蔽性否定的确定：
解题中会遇到省略了“所有，任何，任意”等量 词的简化形式，这种情形下时应先将命题写成完整 形式，再依据法则来写出其否定形式.
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2）被8整除的数能被4整除； （3）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等； （4） 有的三角形为正三角形.
即 所有实数的绝对值都不是正数；
（2）没有一平行四边形是菱形； 即 每一个平行四边形都不是菱形；
（3）不存在x ∈R ， x2+1<0. 即 x ∈ R，x2+1 ≥ 0.
一般地,对于含有一个量词的特称命题的 否定,有下面的结论:
结论二：
特称命题p ： x0 ∈M，p （ x0）， 它的否命题┐p: x ∈M, ┐p （ x ）.
Leabharlann Baidu 例2：
写出下列特称命题的否定：
（1）p: 存在一对实数，使2x＋3y＋3>0成立； （2）p: 有些三角形不是等腰三角形； （3）p: 有一个素数含三个正因数.
（1） ┐p：所有的实数都使得2x＋3y＋3≤0成立； （2） ┐p：所有的三角形都是等腰 三角形； （3） ┐p：所有的素数都不含有三个因数.
1.4.3含有一个量词的命题的 否定
经过前几节课的学习，想想命题的否定与 否命题的区别？
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题. 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断 ,只否 定结论不否定条件.
如：一个数的末位是0，则可以被5整除.
否命题：若一个数的末位不是0，则它不可以被5整除； 命题的否定：一个数的末位是0，不可以被5整除.
(1)原命题完整表述：对任意的实数x,若x2>4,则x>2.
它的否定：存在实数x0，满足x02＞4，但x0≤2.
例3. 写出下列命题的否定： （1） 若x2>4，则 x>2； （2）被8整除的数能被4整除； （3）若一个四边形是正方形，则它的四条边相等； （4）有的三角形为正三角形.
(2)原命题完整表述：所有能被8整除的数能被4整除.