4.1.2圆的一般方程(2)课件

高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程

知识梳理
12
【做一做2】已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.

高中数学4.1.2《圆的一般方程》课件

展开得 x 2 y 2 - 2 a x - 2 b y a 2 b 2 r 2 0 x 2y2D xE yF 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
结论：任何一个圆方程可以写成下ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ形式：
x2y2D xE yF0
2.是不是任何一个形如 x2y2D xE yF0
方程表示的曲线都是圆呢？
(1 )x 2y22x4y 10
解设线段AP的中点M的坐标为(x，y)，P的坐标为(x0，y0)，
∵xy＝＝20＋＋22 xy00，，
∴xy00＝＝22xy－ . 2，
又P(x0，y0)在圆x2＋y2＝4上， ∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，∴(x－1)2＋y2＝1.
(2)假设∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程.
教材P124-B组-3：
已知一曲线是与两个定点O(0，0)、A(3，0)距离的比为 1 的点
的轨迹，求出曲线的轨迹.
2
【解析】在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，
点M在曲线上的条件是
| MO | MA
| |
1 2
由两点的距离公式，上式用坐标表示为
x2 y2 1 (x 3) 2 2
通过例1进一步用圆的一般方程研究三角形的外接圆并与标准方程比照计算量，通过动画演示讲解例2，探究动点的轨迹方程的求法，让学生体会用方程研究曲线的方法。运用几何画板让学生感受到一个点随着另一个点在运动，感受到动点形成的轨迹。运用方程思想、转化思想、数形结合思想，会用代入法求轨迹，把几何问题转化为代数问题解答，体会数形结合和待定系数法和代入法求圆方程。
(2)根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； (3)解出 a,b,r或D,E,F ，代入标准方程或一般方程。

4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)

一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3），端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程（轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者说，符合一定条件的点的全体所组成的集合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.

方法总结
直接法也称直译法：将已知条件直接翻译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间

高中数学必修二4.1.2圆的一般方程课件

所求圆的方程为
待定系数法
例3：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程
方法三：待定系数法解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E2 4F 0)
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
二、[导入新课]
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
(xa)2 ( y b)2 r 2
展开后，会得出怎样的情势？
x2 y2 2ax 2by a2 b2 r 2 0
2、那么我们能否将以上情势写得更简单一点呢？
x 2 y 2 Dx Ey F 0
3、反过来想一想，形如上式方程的曲线就一定是圆吗？
圆的方程.
圆的标准方程的情势是怎样的？
(xa)2 ( y b)2 r 2
从中可以看出圆心和半径各是什么？
a, b r
圆的一般方程
【课前练习】
1.圆心在（-1,2），与 y 轴相切的圆的方程. (x+1)2+(y-2)2=1
2.已知圆经过P(5,1),圆心在C(8,3),求圆方程 (x-8)2+(y-3)2=13
2. 圆的一般方程与圆的标准方程的联系
一般方程
配方
标准方程(圆心,半径)
展开
3. 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解)
小结求圆的方程
几何方法
求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
r1 2
D2 E2 4F 5
例5：已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端

人教版高中数学必修2(A版) 4.1.2圆的一般方程 PPT课件

未知量是什么？
过三点O、M1、M2的圆方程
方案1：待定系数法
设x y Dx Ey F 0
2 2
(或 x a y b r 2）
2 2
方案2：数形结合：挖几何性质
M1(1,1)
O(0,0)
D
E
F（或a, b, r )
挖出两条直径（弦中垂线）方程
表示
（2）当D2+E2-4F=0时，表示
（3）当D2+E2-4F<0时，表示
D E D2 E 2 4F 圆心（， ), 半径为的圆 2 2 2 D E 一个点（， ) 2 2 没有意义回到目录
2、圆的一般方程的特点
当D E 4F 0时,方程x y Dx Ey F 0
∵A(5,1),B(7,-3),C(2,-8)三点在圆上 52+12+5D+E+F=0 即: 5D+E+F=-26 ∴ 2 7 +(-3)2+7D-3E+F=0 7D-3E+F=-58 22+(-8)2+2D-8E+F=0 2D-8E+F=-68 解得:D=-4,E=6,F=-12 从而所求方程为:x2+y2-4x+6y-12=0
标题
§4.1.2圆的一般方程
§4.1.2圆的一般方程
一、问题情景二、自主学习三、教师点拨四、课堂小结
本课结束
一、问题情景
我们知道：方程 x a y b r 2(r>0)表示圆心(a,b),半径为r的圆
2 2
那么方程x 2 y 2 Dx Ey F 0表示什么图形呢？

湖北省黄石市高中数学第四章圆与方程4.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2

解分:析设:所圆求的一的般圆方的程方需程确为定三x2个+y系2+数Dx,+用方E待y法+定F:=系待0,数定因法系为. 数O、法M1、M2 三点在圆上,所以它们的坐标是方程和的配解方,法
F 0
∴ D E F 2 0 解此方程组,可得:D=-8,E=6,F=0.
4D 2E F 20 0
∴所求圆的方程为:x2+y2-8x+6y=0. 将此方程左边配方得圆的标准方程(x-4)2+(y+3)2=52, 于是圆心坐标(4,-3),半径为r=5.
圆的一般方程
例题分析
例2.经过点M(-6,0)作圆C:x2+y2-6x-4y+9=0的割线,交圆 C于A、B两点,求线段AB的中点P的轨迹.
解:圆C的方程可化为(x-3)2+(y-2)2=4,其圆心为C(3,2),
方程没有实数解,因而它不表示任何图形曲线.
圆的一般方程
得结论、给定义
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的轨迹可能是圆、点或无轨迹.
我们把D2+E2-4F＞0时x2+y2+Dx+Ey+F=0所表示的
圆的方程称为圆的一般方程.
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2明确指出了圆心和半径圆的一般方程 x2+y2+学Dx过+两Ey种+F形=式0突的出圆的了方形式上的特点:
其次,还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选取恰当的方程,再利用待定系数法和配方法求解.
若条件与圆心、半径有关,则宜用标准方程; 若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程.

4.1.2《圆的一般方程》课件daqiang

小结2：求圆的方程
几何方法
求圆心坐标（两条直线的交点）（常用弦的中垂线）
待定系数法
设方程为 ( x a ) 2 ( y b) 2 r 2 (或x 2 y 2 Dx Ey F 0)
列关于a，b，r（或D，E，F）的方程组
求半径（圆心到圆上一点的距离）
写出圆的标准方程
解析几何
4.1.2圆的一般方程
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y) O x
( x a) ( y b) r
2 2
2
C
标准方程
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9 圆心 (1, 1) ，半径3 ⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
尝试一下
2
探究
2
判断下列方程是不是表示圆
(1) x y 4 x 6 y 4 0
( x 2) ( y 3) 9
2 2
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4 x 6 y 13 0 ( x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
m≠0
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
圆的一般方程
展开圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2得:
X2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0….(1) 其中a，b，r均为常数思考我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
x y 2ax 2by a b r 0

高中数学 4.14.1.2圆的一般方程课件新人教A版必修2

种形式的方程中的一种；②根据所给条件，列出关于 D，栏
目
E，F 或 a，b，r 的方程组；③解方程组．求出 D，E，
链接
F 或 a，b，r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到
所求的圆的方程．
第二十七页，共39页。
跟踪训练
2．(1)已知圆经过 A(2，－3)和 B(－2，－5)，若圆心在直线 x－2y－3＝0 上，求圆的方程．
第十九页，共39页。
跟踪训练
1．求出下列各圆的圆心坐标和半径：
(1)x2＋y2－6x＝0；
(2)x2＋y2＋2by＝0(b≠0)；
栏
目
(3)x2＋y2－2ax－2
3y＋3a2＝0－
6 2 <a<
26.
链接
解析：(1)原方程化为(x－3)2＋y2＝32，因此该圆的圆心为(3,0)，半径为 3.
第十四页，共39页。
栏目链接
第十五页，共39页。
题型一圆的一般方程的概念(gàiniàn)
例1 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心(yuánxīn)和
半径．
栏
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；
目链
接
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0；
(4)2x2＋2y2－5x＝0.
第二十页，共39页。
跟踪训练
(2)原方程化为 x2＋(y＋b)2＝b2(b≠0)，因此该
圆的圆心为(0，－b)，半径为|b|.
栏
目
(3)原方程化为(x－a)2＋(y－ 3)2＝3－2a2.因为
链接
表示圆，所以 3－2a2>0，从而该圆的圆心为(a， 3)，

课件9：4.1.2 圆的一般方程

令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0. 设圆 C 与 x 轴的两个交点的横坐标为 x1，x2，则 x1＋x2＝－D，x1x2＝F. ∵|x1－x2|＝6，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝36，即 D2－4F＝36.③
令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0. 由 ①②③得 D＝12，E＝－22，F＝27，或 D＝－8，E＝－2，F＝7. 故所求圆的方程为 x2＋y2＋12x－22y＋27＝0，或 x2＋y2－8x－2y＋7＝0.
A．(－∞，－1)
B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D. －32，＋∞
【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2＞0，即 k＜－1 时才能表示圆．【答案】 A
3．若方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 表示以(2，－4)为圆心， 4 为半径的圆，则 F＝________. 【解析】以(2，－4)为圆心，4 为半径的圆的方程为 (x－2)2＋(y＋4)2＝16，即 x2＋y2－4x＋8y＋4＝0，故 F＝4. 【答案】 4
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－a2，－a，半径为12 －3a2－4a＋4的圆．(
)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.( ) 【解析】 (1)正确．圆的方程都能写成一个二元二次方程． (2)正确．圆的一般方程和标准方程是可以互化的． (3)错误．当 a2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，即－2<a<23时才表示圆．
2D＋2E＋F＋8＝0，
由题意得5D＋3E＋F＋34＝0， 3D－E＋F＋10＝0，
D＝－8，
解得E＝－2， F＝12，

圆的一般方程课件

解：设圆的方程为 2 y 2 Dx Ey F 0 x
将三点坐标代入方程得
F 0 D E F 2 4 D 2 E F 20
D 8 解得 E 6 F 0
所以圆的方程为 2 y 2 8x 6 y 0 x
②
（）当D E 4F 0时， 1
2 2
D E D 2 E 2 4F 的圆方程② 表示圆心为（ 2 , 2 ），半径为 2
（2）当D D 4F 0时，
2 2
方程
② 有实数解 x
D E D E , y , 表示点（ , ） 2 2 2 2
(3)当D 2 E 2 4F 0时，
4.1.2 圆的一般方程
二元二次方程的一般形式：
Ax By Cxy Dx Ey F 0
2 2
回忆已经学过的圆的标准方程：
（x a） ( x b) r
2 2 2
圆心坐标为 a, b）半径为r （，
将上式展开可得：
x y 2ax 2by a b r 0
（）并不是形如 2 y 2 Dx Ey F 0的方程都表示圆。 1 x
（2）注意方程表示圆，点，不表示任何图形的条件。
作业：P 的练习题 123
（）x 2 y 2 2x 4 y 6 0 1
解 D 2 E 2 4F (2) 2 4 2 4 6 4 0 不是圆的方程
(2)2 x 2 2 y 2 12x 4 y 0
解：原方程可化为： 2 y 2 6x 2 y 0 x
（）x y 2x 4 y 6 0 1

圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册

同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右边，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示为圆心，为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解声手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.

4.1.2 圆的一般方程课件(35张)

求圆的一般方程
【例 2】求经过两点 A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为 2 的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0，所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D；令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0，所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E；
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.]
4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
11 4
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝ 5－m＝32，∴m＝141.]
1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的
条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
[跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项． ∴它不能表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．

人教版必修二数学4.1.2圆的一般方程优秀课件

(4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0)可化为 (x + a )2 + (y- a )2 = a2 ，表
2
22
示以 (- a , a ) 为圆心， 2 a 为半径的圆.
22
2
知识点2 坐标法求动点的轨迹 1.求轨迹方程的一般步骤 (1)建系:建立适当的直角坐标系. (2)设点:用(x,y)表示轨迹(曲线)上任意一点M的坐标. (3)列式:列出关于x,y的方程. (4)化简:把方程化为最简形式. (5)证明:证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.
【误区警示】本题易出现误认为在x轴,y轴上的截距必须是正值,从而将x轴上的截距和认为是|D|,y轴上的截距和认为是|E| 的错误.
【补偿训练】若经过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)三点的圆为⊙M，且点D(m,3)在⊙M上，求m的值.
【解析】设过A(5,0),B(-1,0),C(-3,3)的圆的一般方程为
【自主解答】(1)设M(x,y),由已知圆心A(2,-1),则点P(2x-2, 2y+1),将P代入圆的方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1) -11=0, 即为:x2+y2-4x+2y+1=0. 答案:x2+y2-4x+2y+1=0
(2)设所求轨迹上任一点M(x,y),圆的方程可化为(x-3)2+(y-
【即时练】
1.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标为 ( )
A.(-2,-3)
B.(2,-3)
C.(2,3)
D.(-2,3)
2.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,求出圆的圆心坐标及半径长,并化为标准方程. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0. (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0. (3)x2+y2+2ax+a2=0(a≠0). (4)2x2+2y2+2ax-2ay=0(a≠0).

4.1.2圆的一般方程 PPT课件

2
2
4
(D2 E2 4F 0)
圆心: ( D , E )
22
半径: 1 D2 E2 4F
2
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 E 2 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径一般方程突出形式上的特点： ①x2与y2系数相同并且不等于0； ②没有xy这样的二次项
心坐标和半径时,一般用圆的标准方程比较方便;否则,用圆的一般方程较好,
特别是当给出圆上的三点坐标时,用一般方程可以得到关于 D,E,F 的三元一次方程组,这比用圆的标准方程简便得多,如本题.
三、新知建构，交流展示
题型三
求轨迹方程
【例 3】等腰三角形的顶点是 A(4,2),底边一个端点是 B(3,5),求另一个端点 C 的轨迹方程,并说明它的轨迹是什么. 解:设另一端点 C 的坐标为(x,y).
三、新知建构，交流展示
2 .典例分析：
题型一圆的一般方程的概念辨析题型二求圆的一般方程题型三求轨迹方程
三、新知建构，交流展示
题型一
圆的一般方程的概念辨析
【例 1】判断方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0 能否表示圆,若能表示圆,求出圆心和半径. 解法一:由方程 x2+y2-4mx+2my+20m-20=0,
x2+y2-8x+6y=0 即（x-4）2+（y+3）2=25
三、新知建构，交流展示
求圆方程的步骤: (待定系数法) 1.根据题意,选择标准方程或一般方程. 若已知条件与圆心或半径有关,通常设为标准方程;

4.1.2圆的一般方程 (共12张PPT)

例2:已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 2 2 在圆 ( x 1) y 4 上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解:设M的坐标为(x, y),点A的坐标是 ( x0 , y0 ) . 由于点B的坐标是(4,3),且M是线段AB的中点, x0 2 x 4 y0 3 x0 4 所以 y 即: x 2 2 y0 2 y 3 因为点A在圆上运动,所以A的坐标满足圆的 2 2 方程,即: ( x0 1) y0 4 (2 x 4 1)2 (2 y 3)2 4 3 2 3 2 点M的轨迹方程 (x ) ( y ) 1 2 2 轨迹方程求法
1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
圆心: (1, 2)
半径: r 2
2) x y 0
2 2
3) x y : (3,0) 半径: r 3
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
练习4:如图,等腰梯形ABCD的底边长分别为6 和4,高为3,求这个等腰梯形的外接圆的方程,并 3 求这个圆的圆心坐标和半径长. ( 2,3) (2,3) 解:设圆的方程为: 2 2 x y Dx Ey F 0 因为A,B,C都在圆上,所以其坐标 ( 3,0) (3,0) 都满足圆的方程,即 4 2 2 9 3 D F 0 圆的方程: x y y 9 0 3 9 3 D F 0 2 2 85 2 即: x ( y ) 13 4 D 3 E F 0 3 9 4 85 2 D 0, E , F 9 圆心: (0, ) 半径: 3 3 3
2
2) x y 2 x y 1 0