2.1.1椭圆及其标准方程优秀课件(公开课)

椭圆的方程
两种形式的标准方程的比较：
x2 a2
y2 b2
1a
b
0
与
y2 a2
x2 b2
1a
b
0
椭圆的焦点在x轴上 项的分母较大；
椭圆标准方程中x2
椭圆的焦点在y轴上 项的分母较大．
椭圆标准方程中y2
椭圆的方程
椭圆方程的几何意义：
y
y
F1 o F2 x
B2 A1 b a A2
F1 O c F2 x
之间的关
系
分母哪个大，焦点就在哪一根坐标轴上
判定下列椭圆的焦点在 哪个轴上，写出焦点坐标。
1） x 2 y 2 1答:在 x 轴上(-3,0)和(3,0） 25 16
2） x 2 y 2 1 144 169
答:在 y 轴上(0,-5)和(0,5）
3） x 2 y 2 1 m2 m2 1
(是线段F1F2)。 (3)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=4＜|F1F2|=4，故点M的轨迹不存在。
(4)到F1(-2,0)、F2(0,2)的距离之和为3的点的轨迹。
因 | MF1 | | MF2 | 3 | F1F2 | 2 2，故点M的轨迹为椭圆 。
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
讲授新课
椭圆的标准方程：
y
•
F1
o
• P(x, y)
x
•
F2
x2 y2 a2 b2 1
(a＞b＞0).
它所表示的椭圆的焦点在x轴上，焦点 是F1(c, 0)、F2(－c, 0)，且c2＝a2－b2.
讲授新课
如果使点F1、F2在y轴上，点F1、F2 的坐标是F1(0,－c)、F2(0, c)，
则椭圆方程为：
y2 x2 a2 b2 1
(a＞b＞0).
y
•
F1
o
• P(x, y)
x
•
F2
x2 y2 a2 b2 1
y
F2• •P(x, y)
x o
F1•
y2 x2 a2 b2 1
如何根据标准方程判断焦点在哪个坐标轴上？
讲授新课
2. 椭圆标准方程的推导：
如图，建立直角坐标系xOy， 使x轴经过点F1、F2，并且 点O与线段F1F2的中点重合. 设点M(x, y)是椭圆上任一点， 椭圆的焦距为2c(c＞0).
焦点F1、F2的坐标分别是 (－c, 0)、(c, 0)． 又设M与F1和F2的距离的和等于常数2a．
|MF1|＋|MF2|＝2a
答:在y 轴上(0,-1)和(0,1)
焦点在分母大的那个轴上。
写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
x2 y2 1 16
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x2 y2 1或 x2 y 2 1
16
16
例题讲解
例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。
星系中的椭圆
——仙女座星系
•M
•
•
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
设M（x,y)为所求轨迹上的任意一点，
则:|MF1|+ |MF2|=2a
即: (x c)2 y2 (x c)2 y2 2a
所以 (x c)2 y2 2a (x c)2 y2
两边平方得 : (x c)2 y2 4a2 4a (x c)2 y2 (x c)2 y2
B1
xHale Waihona Puke Baidu a2
y2 b2
1
a
b
0
椭圆的标准方程
定义 图形
|MF1|+|MF2|=2a (2a>|F1F2|)
y
y M
F1 M
F1 O
F2
x
O
x
F2
方程
x2 y2 a2 b2 1
a b 0
x2 b2
y2 a2
1
a b 0
焦点
(c,0)、(c,0)
(0,c)、(0,c)
a、b、c
b2=a2c2
解： ∵椭圆的焦点在x轴上
∴设它的标准方程为: x2 + y2 = 1 (a > b > 0)
a2 b2
∵ 2a=10, 2c=8
y
M
∴ a=5, c=4
F1 o
F2 x
∴ b2=a2－c2=52－42=9
x2 y2
∴所求椭圆的标准方程为: 25 + 9 = 1
课堂练习
5：若方程4x2+ky2=1表示的曲线是焦点在y轴上的 椭圆，求k的取值范围。
即: a2 cx a (x c)2 y2
两边平方得：a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
因为2a>2c，即a>c，所以 a2-c2>0，令a2-c2=b2，其中 b>0，代入上式可得：
b2x2+a2y2=a2b2
随堂练习.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
(2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 因|MF1|+|MF2|=4=|F1F2|=4，故点M的轨迹不是椭圆
Y
M (x,y)
如图所示： F1、F2为两定 点，且|F1F2|=2c，求平面
内到两定点F1、F2距离之
F1
O
F2 X 和为定值2a（2a>2c)的动
(-c,0)
(c,0) 点M的轨迹方程。
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中 点为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、F2 的坐标分别为(-c,0)、 (c,0)。
解：由4 x 2
ky2
1得
x2 1
y2 1
1
4k
∵方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M
几点说明： 1、F1、F2是两个不同的点；
F1
F2
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）