第二章练习题及参考解答

第二章练习题及参考解答
2.1 为研究中国的货币供应量(以货币与准货币M2表示)与国内生产总值(GDP)的相互依存关系，分析表中1990年—2007年中国货币供应量（M2）和国内生产总值（GDP ）的有关数据:
表2.9 1990年—2007年中国货币供应量和国内生产总值(单位:亿元)
资料来源:中国统计年鉴2008,中国统计出版社
对货币供应量与国内生产总值作相关分析，并说明相关分析结果的经济意义。

练习题2.1 参考解答:
计算中国货币供应量(以货币与准货币M2表示)与国内生产总值(GDP)的相关系数为:
计算方法: XY n X Y X Y r -=
或 ,()()X Y X X Y Y r --=
计算结果:
M2
GDP
M2 1
0.996426148646
GDP
0.996426148646
1
经济意义: 这说明中国货币供应量与国内生产总值(GDP)的线性相关系数为0.996426,线性
相关程度相当高。

2.2 为研究美国软饮料公司的广告费用X与销售数量Y的关系,分析七种主要品牌软饮料公司的有关数据
表2.10 美国软饮料公司广告费用与销售数量
资料来源:(美) Anderson D R等. 商务与经济统计.机械工业出版社.1998. 405
绘制美国软饮料公司广告费用与销售数量的相关图, 并计算相关系数，分析其相关程度。

能否在此基础上建立回归模型作回归分析？
练习题2.2参考解答
美国软饮料公司的广告费用X与销售数量Y的散点图为
说明美国软饮料公司的广告费用X与销售数量Y正线性相关。

若以销售数量Y 为被解释变量,以广告费用X 为解释变量,可建立线性回归模型 i i i u X Y ++=21ββ 利用EViews 估计其参数结果为
x 4036.147857.21y
ˆ+= （96.9800）（1.3692） t= (-0.131765) (10.5200)
9568.02=R F=110.6699 S.E=92302.73 D.W=1.4389
经t 检验表明, 广告费用X 对美国软饮料公司的销售数量Y 确有显著影响。

回归结果表明，广告费用X 每增加1百万美元, 平均说来软饮料公司的销售数量将增加14.40359(百万箱)。

2.3 为了研究深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值的关系，得到以下数据：
表2.11 深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值
资料来源: 深圳市统计年鉴2008. 中国统计出版社
(1)建立深圳地方预算内财政收入对本市生产总值GDP 的回归模型； (2)估计所建立模型的参数，解释斜率系数的经济意义； （3）对回归结果进行检验。

(4)若是2008年深圳市的本市生产总值为8000亿元，试对 2008年深圳市的财政收入作出点预测和区间预测 (0.05α=)。

练习题2.3参考解答: 1、 建立深圳地方预算内财政收入对GDP 的回归模型，建立EViews 文件，利用地
方预算内财政收入（Y ）和GDP 的数据表，作散点图
可看出地方预算内财政收入（Y ）和GDP 的关系近似直线关系，可建立线性回归模型： t t t u GDP Y ++=21ββ 利用EViews 估计其参数结果为
即 ˆ20.46110.0850t t
Y GDP =+ （9.8674） (0.0033)
t=(2.0736) (26.1038) R 2=0.9771 F=681.4064
经检验说明,深圳市的GDP 对地方财政收入确有显著影响。

2
0.9771R =，说明GDP 解释了地方财政收入变动的近98%，模型拟合程度较好。

模型说明当GDP 每增长1亿元时，平均说来地方财政收入将增长0.0850亿元。

当2008年GDP 为7500亿元时，地方财政收入的点预测值为：
2008
ˆ20.46110.08508000700.4611Y =+⨯=（亿元） 区间预测：
为了作区间预测，取0.05α=,f Y 平均值置信度95%的预测区间为：
21ˆˆf
Y t n ασ+利用EViews 由GDP 数据的统计量得到 2031.266x σ= 2300.773X = n=18 则有
2
22(1)2031.266(181)70142706.5669i x x
n σ=-=⨯-=∑
2
2
1()(80002300.773)32481188.3976f X X -=-=
取0.05α=,2008
ˆ700.4611Y =，0.025(18-2)=2.120t 平均值置信度95%的预测区间为： ^
^
21f
Y t n ασ
20088000GDP =时 700.4611 2.12027.2602⨯
700.461141.6191=（亿元）
f Y 个别值置信度95%的预测区间为：
^
^
21f
Y t ασ+即
700.4611 2.12027.2602⨯ 700.461171.2181=（亿元）
2.4 为研究中国改革开放以来国民总收入与最终消费的关系，搜集到以下数据： 表2.12 中国国民总收入与最终消费 (单位：亿元)
资料来源：中国统计年鉴2008. 中国统计出版社，2008.
(1) 以分析国民总收入对消费的推动作用为目的，建立线性回归方程，并估计其参数。

(2) 计算回归估计的标准误差ˆσ
和可决系数2
R 。

(3) 对回归系数进行显著性水平为5%的显著性检验。

(4) 如果2008年全年国民总收入为300670亿元，比上年增长9.0%，预测可能达到的最终 消费水平，并对最终消费的均值给出置信度为95%的预测区间。

练习题2.4参考解答：
(1)以最终消费为被解释变量Y ，以国民总收入为解释变量X ，建立线性回归模型：
i i i u X Y ++=21ββ 利用EViews 估计参数并检验
回归分析结果为:
ˆ3044.3430.530112t t
Y X =+ (895.4040) (0.00967) t= (3.3999) (54.8208)
2
0.9908R = n=30
(2)
回归估计的标准误差即估计的随机扰动项的标准误差ˆσ
=，
由EViews 估计参数和检验结果得ˆ3580.903σ
=, 可决系数为0.9908。

(3)由t 分布表可查得0.025(302) 2.048t -=，由于20.02554.8208(28) 2.048t t β=>= ，或由P 值=0.000可以看出, 对回归系数进行显著性水平为5%的显著性检验表明, 国民总收入对
最终消费有显著影响。

(4)如果2008年全年国民总收入为300670亿元，预测可能达到的最终消费水平为:
2008
ˆ3044.3430.530112300670162433.1180Y =+⨯=(亿元) 对最终消费的均值置信度为95%的预测区间为: ^
^
21f
Y t n ασ
由Eviews 计算国民总收入X 变量样本数据的统计量得: 68765.51x σ= 63270.07X = n=30 则有
2
22
(1)68765.51(301)137132165601.2429
i x x
n σ=-=⨯-=∑ 2
2
()(30067063270.07)56358726764.0049f X X -=-=
取0.05α=,2008
ˆ162433.1180Y =，0.025(30-2)=2.048t ,已知 ˆ3580.903σ=,平均值置信
度95%的预测区间为：
^
^
21f
Y t n α
σ
=162433.1180 2.0483580.903⨯ =162433.11884888.4110（亿元）
2.5 美国各航空公司业绩的统计数据公布在《华尔街日报1999年年鉴》（The Wall Street Journal Almanac 1999）上。

航班正点到达的比率和每10万名乘客投诉的次数的数据如下1。

表2.13 美国各航空公司业绩的统计数据
资料来源:(美) Anderson D R 等.商务与经济统计. 机械工业出版社.1998，405.
(1)画出这些数据的散点图
(2)根据散点图。

表明二变量之间存在什么关系？
(3)估计描述投诉率如何依赖航班按时到达正点率的回归方程。

(4)对估计的回归方程斜率的意义作出解释。

(5)如果航班按时到达的正点率为80%，估计每10万名乘客投诉的次数是多少？
练习题2.5参考解答：
美国各航空公司航班正点到达比率X 和每10万名乘客投诉次数Y 的散点图为
1
资料来源:(美)David R.Anderson 等《商务与经济统计》，第405页，机械工业出版社
由图形看出航班正点到达比率和每10万名乘客投诉次数呈现负相关关系, 利用EViews 计算线性相关系数为：
建立描述投诉率（Y ）依赖航班按时到达正点率（X ）的回归方程： i i i u X Y ++=21ββ 利用EViews 估计其参数结果为
即 i
i X Y 070414.0017832.6ˆ-= （1.017832）（-0.014176）
t=(5.718961) (-4.967254) R 2=0.778996 F=24.67361
从检验结果可以看出, 航班正点到达比率对乘客投诉次数确有显著影响。

这说明当航班正点到达比率每提1个百分点, 平均说来每10万名乘客投诉次数将下降0.07次。

如果航班按时到达的正点率为80%，估计每10万名乘客投诉的次数为
384712.080070414.0017832.6ˆ=⨯-=i
Y （次）
2.6 表2.34中是16支公益股票某年的每股帐面价值Y 和当年红利X 的数据：
表2.14 某年16支公益股票每股帐面价值和当年红利
（1）分析每股帐面价值和当年红利的相关性? (2) 建立每股帐面价值和当年红利的回归方程； （3）解释回归系数的经济意义。

练习题2.6参考解答：
1．分析每股帐面价值和当年红利的相关性 作散布图：
从图形看似乎具有一定正相关性，计算相关系数：
每股帐面价值和当年红利的相关系数为0.708647
2．建立每股帐面价值X 和当年红利Y 的回归方程：
12i i i Y X u ββ=++
回归结果：
参数2β的t 检验：t 值为3.7580,查表0.025(162) 2.145t -=<2 3.7580t β=,或者P 值为0.0021<0.05α=,表明每股红利对帐面价值有显著的影响。

3.回归系数的经济意义：
平均说来公司的股票每股红利增加1元，当年帐面价值将增加6.8942元
2.7 设销售收入X 为解释变量，销售成本Y 为被解释变量。

现已根据某百货公司某年12个月的有关资料计算出以下数据：（单位：万元） 2()42505
3.73t
X
X -=∑ 647.8
8X = 2
()262855.25t
Y Y -=∑ 549.8Y =
()()334229.09t
t X
X Y Y --=∑
（1） 拟合简单线性回归方程，并对方程中回归系数的经济意义作出解释。

（2） 计算可决系数和回归估计的标准误差。

（3） 对2β进行显著水平为5%的显著性检验。

（4） 假定下年1月销售收入为800万元，利用拟合的回归方程预测其销售成本，并给出
置信度为95%的预测区间。

练习题2.7参考解答：
(1)建立回归模型: i i i u X Y ++=21ββ
用OLS 法估计参数: 2
2
2
()()334229.09
ˆ0.7863()425053.73
i
i
i
i
i
i
X X Y Y x y
X X x
β--===
=-∑∑∑∑
12ˆˆ549.80.7863647.8866.2872Y X ββ=-=-⨯= 估计结果为: ˆ66.28720.7863i i
Y X =+ 说明该百货公司销售收入每增加1元,平均说来销售成本将增加0.7863元。

(2)计算可决系数和回归估计的标准误差 可决系数为：
22
22
222
222
2
ˆˆˆ()0.7863425053.73262796.99
0.999778
262855.25262855.25
i i i
i
i
i
y x x R
y y
y
ββ===
⨯=
==∑∑∑∑∑∑
由 2
2
21i i
e r
y
=-∑∑ 可得
222(1)i
i e
R y =-∑∑
222(1)(10.999778)262855.2558.3539i
i e
R y =-=-⨯=∑∑
回归估计的标准误差
: ˆ 2.4157σ
===
(3) 对2β进行显著水平为5%的显著性检验
*
222^
^
2
2
ˆˆ~(2)ˆˆ()()t t n SE SE βββββ-=
=
-
^
2
2.4157
ˆ()0.0037651.9614SE β==
==
*
2^
2
ˆ0.7863
212.51350.0037
ˆ()t SE ββ=
=
=
查表得 0.05α=时,0.025(122) 2.228t -=<*
212.5135t = 表明2β显著不为0,销售收入对销售成本有显著影响.
(4) 假定下年1月销售收入为800万元，利用拟合的回归方程预测其销售成本，并给出置
信度为95%的预测区间。

ˆ66.28720.786366.28720.7863800695.3272i i
Y X =+=+⨯=万元 预测区间为: 21ˆˆF F
Y Y
t n ασ= 695.3272 2.228 2.4157695.3272 1.9978
F Y =⨯=2.8 表2.15中是1992年亚洲各国人均寿命（Y ）、按购买力平价计算的人均GDP （X1）、成人识字率（X2）、一岁儿童疫苗接种率（X3）的数据: 表2.15 1992年亚洲各国人均寿命等数据
资料来源：联合国发展规划署. 人的发展报告. 1993
（1）分别设定简单线性回归模型，分析各国人均寿命与人均GDP 、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率的数量关系。

（2）对所建立的多个回归模型进行检验。

（3）分析对比各个简单线性回归模型。

练习题2.8参考解答：
（1） 分别设定简单线性回归模型，分析各国人均寿命与人均GDP 、成人识字率、一岁
儿童疫苗接种率的数量关系: 1) 人均寿命与人均GDP 关系 121i i i Y X u ββ=++ 估计检验结果:
2) 人均寿命与成人识字率关系
3) 人均寿命与一岁儿童疫苗接种率关系
（2）对所建立的多个回归模型进行检验
由人均GDP 、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率分别对人均寿命回归结果的参数t 检验值均明确大于其临界值,而且从对应的P 值看,均小于0.05,所以人均GDP 、成人识字率、一岁儿童疫苗接种率分别对人均寿命都有显著影响.
（3）分析对比各个简单线性回归模型 人均寿命与人均GDP 回归的可决系数为0.5261 人均寿命与成人识字率回归的可决系数为0.7168 人均寿命与一岁儿童疫苗接种率的可决系数为0.5379 相对说来,人均寿命由成人识字率作出解释的比重更大一些
2.9 按照“弗里德曼的持久收入假说”： 持久消费Y 正比于持久收入X ，依此假说建立的计量模型没有截距项，设定的模型应该为：2i i i Y X u β=+，这是一个过原点的回归。

在古典假定满足时，证明过原点的回归中2β的OLS 估计量2
ˆβ的计算公式是什么？对该模型是否仍有
0i
e =∑和0i
i
e X
=∑？对比有截距项模型和无截距项模型参数的OLS 估计
有什么不同？
练习题2.9参考解答：
没有截距项的过原点回归模型为: 2i i Y X u β=+ 因为
22
2
ˆ()
i
i
i
e Y X β
=-∑∑
求偏导 2
22
ˆ2()()2ˆi i i i
i i e Y X X e X ββ
∂=--=-∂∑∑∑ 令 2
22
ˆ2()()0ˆi i i i
e Y X X ββ
∂=--=∂∑∑ 得 22ˆi i i X Y X β=∑∑ 而有截距项的回归为22
ˆi i i
x y x β=∑∑ 对于过原点的回归，由OLS 原则:
0i
e =∑已不再成立, 但是0i
i
e X
=∑是成立的。

还可以证明对于过原点的回归 2
2
2ˆ()i
Var X
σβ=∑ ， 22
ˆ1
i
e n σ
=-∑
而有截距项的回归为 2
2
2
ˆ()i
Var x
σβ=∑ ，
22
ˆ
2
i
e n σ=
-∑
2.10 练习题2.3中如果将“地方财政收入”和“本市生产总值”数据的计量单位分别或同时由”亿元”改为”万元”，重新估计参数，对比参数估计及检验结果与计量单位更改之前有什么区别? 你能从中总结出什么规律性吗？
练习题2.10参考解答：
如果将“地方财政收入Y ”和“本市生产总值GDP ”数据的计量单位分别或同时由”亿元”改为”万元”，数据变为：
深圳市地方预算内财政收入与国内生产总值
为：
11ˆ20.461060.084965t t
Y GDP =+ （9.867440） (0.003255)
t=(2.073593) (26.10376) R 2=0.977058
B.当“地方财政收入” 的计量单位为“亿元”，“本市生产总值” 的计量单位为“万元” 时：
12ˆ20.461060.00000850t t
Y GDP =+ （9.867440）(0.000000325)
t=(2.073593) (26.10376) R 2=0.977058
C.当“地方财政收入” 的计量单位为“万元”，“本市生产总值” 的计量单位为“亿元” 时：
21ˆ204610.6849.6520t t
Y GDP =+ （98674.40） (32.54902)
t=(2.073593) (26.10376) R 2=0.977058
D.当“地方财政收入” 的计量单位为“万元”，“本市生产总值” 的计量单位为“万元” 时：
22ˆ204610.60.084965t t
Y GDP =+ （98674.40） (0.0032549)
t=(2.073593) (26.10376) R 2=0.977058
可以总结出,变量度量单位对回归影响的一般规律为:
1)当被解释变量测量单位改变（扩大或缩小常数c 倍）,而解释变量测量单位不变时:OLS 截距和斜率的估计值及标准误差都缩小或扩大为原来的c 倍. (如C 的情况)
2)当解释变量测量单位改变（扩大或缩小常数c 倍）,而被解释变量测量单位不变时:OLS
斜率的估计值及标准误差扩大或缩小为原来的c倍,但不影响截距的估计. (如B的情况)3)当被解释变量和解释变量测量单位同时改变相同倍数时，OLS的截距估计值及标准误差扩大为原来的c倍,但不影响斜率的估计. (如D的情况)
4)当被解释变量和解释变量测量单位改变时，不会影响拟合优度.可决系数是纯数没有维度，所以不随计量单位而变化。