两平面的夹角

z
所围成的四面体体积为一个单位的平面方程。 g c
解 : 设平面为 x y z 1, Q V 1,
abc
1 1 abc 1, 由所求平面与已知 32
o
x ga
gy
b
1 平面平行得 a
1 b
1 c.
即
1
1
1
,令
1
1
1
6 1 6 6a b 6c 6a b 6c
t a 1 , b 1, c 1 , 代入体式得a 1, b 6,
X 2v, Y2 v,
z z0 Z1 u Z2 v,
(u, v是参数) 叫平面的坐标式参数方程。
3、点位式方程
r ur r r
r r r ur r r
方程 r r0 ua vb 两边点乘(ab)得 (r r0, a, b) 0，
x x0 y y0 z z0 即 X1 Y1 Z1 0，叫平面的点位式方程。
一个平面。称它是平面的一般方程。
1. D 0 平面过原点;
2. A,
B, C 之一为 0, 如 C 0 :
① D 0时平行于 z 轴； ② D 0时，经过 z 轴.
3.
A,
B,C
中两个为0,如B
C
0:①②
D0 时平行于 yoz面； D=0 时，经过 yoz面.
10
例1
例1. 求平行于平面6x y 6z 5 0，而与三个坐标面
号，即取D的相反号。一般方程化为法式方程的过程叫
法式化，选定符号后的 叫法式化因子。
17
小结
例1、把平面的方程 3x 2y 6z 14 0 化为法式方程， 求自原点指向平面的单位法向量及其方向余弦，并求原点 到平面的距离。
例2. 求过点 (1, 1, 1) 且垂直于平面 x y z 0 , 3x 2y 2z 5 0 , 的平面方程.
15
二、平面的法式方程
1、向量式法式方程
uuur
若M
0
是自O ur
向
所作垂线的垂足 P，
uuur
uuur
的法向量取与OP同 ur
向的单位向量n0, 并设 | OP | p，则OP pn0，故平面 的方程
uur r ur
ur r
是：n0 (r pn0 ) 0, 即 n0 r p 0, 叫平面 的向量式法式方程。
n0上的射影叫点
M
0与
的离差。记
作：
射影uur n0
QM
。
0
z
R
z
P
P
uur pur
n0 r0r
O
q
x
M0
Q
y
ur
uur pr
Q
n0
O
qur r0
M0
y
x
21
2. 离差和距离的计算
uuuur uur
可见：1.当QM0 与n0同向时 0；否则 0；M0在上 0.
离差可判断两点在平面的一侧或两侧；2. uur r
X 2 Y2
Z2
6
由一点和方位向量确定的平面方程
4、三点式方程
建立过不共线的三点Mi (xi , yi , zi ) ，( i 1, 2, 3)的
平面方程。
ur uuur
r ur ur
r
设 ur
urri
=OM
i
{xi ,
yi ,
zi }(
i
1, 2,3),取a r uuur
r2
r1，
b r3r r1r为平r面的r 方位r向量r ，令r=OM ={x, y, z},
x0 ,
y
y0 , z
z0}，
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0,叫平面的点法式方程.
记 D ( Ax0 By0 Cz0 )，则有：Ax By Cz D 0。
可见： 的一般方程 Ax By Cz D 0中的变量系数
A, B, C 恰好是平面 的一个法向量的分量。
r
r
a {X1, Y1, Z1}、b {X 2 , Y2 , Z2}，叫平面的一组方位
向量。已知平面上的一点及其方位向量，可以确
定它的方程。
4
由一点和方位向量确定的平面方程
1.向量式参数方程
r uur
设M (x0 , y0 , z0 )是上的动点，则 r =OM {x, y, z} ,
ur uuuur r0 =OM0
在直角坐标系下，若 的方程为 Ax By Cz 0，则
r
n {A, B, C}是 的法向量，而法式方程中的一次项系数 是 的一特殊单位法向量分量。故将一般方程化为法式 方程只需在一般方程两边同乘因子 1/ A2 B2 C2， 即： Ax By Cz D 0, 再根据D 0选取的符
解：将三点坐标代入平面的三点式方程整理得：
平面的截距式方程
z
x y z 1
gc
abc
x 轴上截距 y 轴上截距 z 轴上截距
o
x ga
gy
b
8
二、平面的一般式方程
任何平面的方程都可以用它上面的一点和它的一个方
x x0 y y0 z z0
位向量来确定： X1 Y1 Z1 0, 即Ax By Cz D 0,
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.2-3 平面与点 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置 §3.7 空间两直线的相关位置 §3.8 平面束
返回 1
第三章 平面与空间直线 教学安排说明
教学时数：12课时 本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标 系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种 位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。 本章教学重点：1.空间坐标系下平面 、直线方程的几种重要形 式；2. 平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；3.平面与空间 直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：1. 空间直线一般方程向标准方程的转化；2. 综 合运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。
M0
到
的距离 uur r
d
|
|。
定理：点M
与平面
0
n0
r
p
0 的离差为
n0 r
p.
ur r
（对方程左边用 r0 代替 r 即得）
uuuur uur
uuuur uur uuur uur uuuur uur
证:
射影
uur n0
QM0 = | n0
| 射影
uur n0
QM 0
n0 QM
n0 (OM0
A 0,可写成 A2(x D) ABy ACz 0, 凑成： B A 0 0
A
C 0 A
9
平面一般方程的讨论
表示由点M
0
(
D
A
,
0,
0)
和不共线向量 B, A, 0 和
C,0, A所确定的平面。于是有：
平面基本定理：在空间坐标系下，任意平面的方程都
可表为三元一次方程，反过来任一个三元一次方程都表示
定义：与平面垂直的非零 向量，叫该平面的法向量．
已知平面上的点M0 (x0, y0, z0 )和 它的法向量nr {A, B, C}, 求平面方程.
Z
M0
r n
M
O
解: 设M (x, y, z)为平面上任一点， X
Y
uuuur r uuuur r
uuuur
则M M 0
n
MM 0
n
0.Q
MM 0
{x
{x0,
y0 ,
z0}，则Muuu0uMur
rr 与a 、b 共面
r r
ur r0
r ua
r vb
r ur r r r r0 ua vb (u、v是参数)
叫平面 的向量式参数方程。
5
由一点和方位向量确定的平面方程
2、坐标式参数方程
rr 将a、b
的坐标代入上式得
：
x y
x0 y0
X1u Y1 u
返回 13
复习
一、由一点和方位向量确定的平面方程
r ur r r 1.向量式参数方程 r r0 ua vb；
2.坐标式参数方程
xx0 X1u X2v y y0 Y1u Y2v
z z0 Z1u Z2v；
xx0 y y0 zz0
xx1 y y1 zz1
3.点位式方程 X1 Y1 Z1 0； 4. 三点式方程 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0；
X 2 Y2 Z2
x3 x1 y3 y1 z3 z1
5.截距式方程 x y z 1。 abc
二、平面的一般式方程
1. Ax By Cz D 0. 2.平面基本定理：在空间任意平面的方程都可表为三元一次
方程，反之任一个三元一次方程都表示一个平面。
3.平面一般方程的讨论：
转18 14
一、平面的点法式方程
3 作业： P104 1①②、2、5① ②
返回 12
§3.1 平面的方程（2）
教学时数： 2课时 教学重点：平面的点法式方程的应用； 教学难点：1.平面点法式方程的推导；
2.面的法式方程的应用。 教学目标：
1.了解平面的点方式方程； 2.掌握平面的法式方程的求法； 3.掌握平面的一般方程化为法式方程。
作业： P104 5(3) (6)、8、9
返回 18
Байду номын сангаас
§3.2 平面与点的相关位置 §3.3 两平面的相关位置
教学时数： 2课时 教学重点：点到平面的距离、两平面的位置关系； 教学难点：1.离差的概念和应用；
2.两平面的位置关系。 教学目标：
1.理解离差的概念； 2.掌握点到平面的距离公式； 3.熟悉两平面的位置关系的充要条件； 4.培养学生的空间想象能力。
6t
t
6t
c 1. 得平面方程6x y 6z 6.
11
例2
例2.设平面过原点及点 (6,-3,2) 且与平面 4x y 2z 8 垂直，求此平面方程.
解: 设平面为 Ax By Cz D 0, 由平面过原 点知 D 0, 由平面过点(6,-3,2) 知 6A 3B 2C 0. Q nr {4, 1, 2}, 4A B 2C 0 A B 2 C, 所求平面方程为 2x 2 y 3z 0.
4.一般方程化为法式方程：
在一般方程两边同法式化因子 1 / A2 B2 C 2。
结束 20
一、点到平面的距离
平面与点的相关位置有两种情况：即点在平面上和
点不在平面上，重点讨论点不在平面上的情况。
1. 离差的定义：从点M
uuuuur
uur
0
向平面
引垂线，垂足为Q，
向
量QM
0
在的单位法向量 uuuuur
返回 19
复习
1.平面的点法式方程 A(xx0 )B( y y0 )C(zz0 ) 0. ur r
2.向量式法式方程 n0 r p 0. 3. 坐标式法式方程 x cos y cos z cos p 0
特点: ①一次项系数为单位向量的分量,即平方和等于1；
② p是原点O到平面 的距离，常数项 p 0.
OQ)
uur ur r uur r uur r uur ur uur r
uur ur r
uur ur
n0 (r0 q) n0 r n0 q n0 r0 | n0 || q | cos n0 r0 | q | cos n0 r0 p.
推论1: 点M0 (x0, y0, z0 )与平面x cos y cos z cos p 0
解: nr1 {1, 1,1}, nr2 {3, 2, 12}, 取法向量 nr nr1 nr2 {10, 15, 5}, 所求平面方程为：10(x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0, 即：2x 3y z 6 0.
小结: 1.点法式； 2.法式；3.一般方程化法式方程。
则：r r1 u(r2 r1) v(r3 r1)。
x x1 y y1 z z1
即 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0.
x3 x1 y3 y1 z3 z1
7
5、截距式方程
设平面与 x, y, z 三轴分别交于 P(a,0,0), Q(0,b,0),
R(0,0,c) （其中 a 0,b 0,c 0 ），求此平面方程。
2
§3.1 平面的方程（1）
教学时数： 2课时 教学重点：平面方程的应用； 教学难点：1.平面的一般方程；2.平面基本定理。 教学目标：
1.理解平面的概念； 2.掌握平面方程的求法； 3.熟悉平面的基本定理； 4.培养学生的空间想象能力。
返回 3
一、由一点和方位向量确定的 平面方程
方位向量：不共线且与平面 平行的两向量
X 2 Y2
Z2
其中: A Y1
Z1 , B Z1 X1 , C
X1
Y1
.
Q
rr a, b 不共线,
Y2 Z2
Z2 X2
X 2 Y2
A, B, C 不全为0, 即任一平面可用x, y, z 的三元一次方程表
示,反之对于给定的三元一次方程 Ax By Cz D 0,不妨设
xD/A y z
2、坐标式法式方程
r
uur
设r {x, y, z}、n0 {cos，cos , cos }，则有x cos y cos
z cos p 0，叫平面 的坐标式法式方程，简称法式方程。
特点: ①一次项系数为单位向量的分量，即平方和等于1；
② p是原点O到平面 的距离，常数项 p 0.
16
3、一般方程化为法式方程