两平面的夹角
高中数学二面角
高中数学二面角
（原创版）
目录
1.高中数学二面角的定义
2.二面角的性质与计算方法
3.二面角的应用
4.总结
正文
一、高中数学二面角的定义
二面角，又称二面角，是指两个平面之间的夹角。
在高中数学中，我们主要研究两个平面之间的夹角。
二面角的度量单位通常为度或弧度。
二、二面角的性质与计算方法
1.二面角的性质
(1) 二面角是非负角，即其度数或弧度值非负。
(2) 二面角的度数或弧度值是平面内任意一条直线与另一平面所成的角度的极限。
(3) 二面角具有可积性，即二面角可以表示为两个平面内直线所成的角度的极限。
2.二面角的计算方法
计算二面角的方法有多种，其中最常见的是使用向量法和投影法。
(1) 向量法：利用两个平面的法向量计算二面角的余弦值，然后通过反余弦函数求得二面角的度数或弧度值。
(2) 投影法：在两个平面上分别选取一条直线，将其投影到同一个平
面上，计算两条投影线段之间的夹角，再利用三角函数求得二面角的度数或弧度值。
三、二面角的应用
在实际问题中，二面角常常出现在建筑、机械、物理等领域。
例如，在建筑中，二面角常用于计算建筑物的立体形状和角度；在机械中，二面角常用于计算机械零件的相对位置和角度；在物理中，二面角常用于计算光线的传播方向和角度等。
四、总结
高中数学二面角是研究两个平面之间夹角的重要概念，其性质和计算方法对于解决实际问题具有重要意义。
数学二面角的求法总结
数学二面角的求法总结数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
它是一个重要的几何概念，在计算机图形学、物理学、化学等领域都有广泛的应用。
本文将总结数学二面角的求法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定义数学二面角是指在三维空间中，两个平面的夹角。
具体来说，设平面P1和平面P2相交于一条直线L，将P1和P2分别沿着L旋转，直到它们重合为止。
此时，P1和P2的夹角就是它们的二面角。
二、求法1. 余弦定理法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：cosθ =(n1·n2) / (|n1|·|n2|)其中，·表示向量的点积，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模长。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：cosθ = n1·n2这个式子就是余弦定理。
它告诉我们，两个向量的点积等于它们的模长乘以夹角的余弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的点积来计算二面角的余弦值，然后再用反余弦函数求出夹角。
2. 向量叉积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = |n1×n2| / (|n1|·|n2|)其中，×表示向量的叉积。
由于n1和n2都是单位向量，所以|n1|=|n2|=1。
因此，上式可以简化为：sinθ = |n1×n2|这个式子就是向量叉积的模长公式。
它告诉我们，两个向量的叉积的模长等于它们的模长乘以夹角的正弦值。
因此，我们可以通过求出n1和n2的叉积的模长来计算二面角的正弦值，然后再用反正弦函数求出夹角。
3. 三角形面积法设P1和P2的法向量分别为n1和n2，它们的夹角为θ，则有：sinθ = 2·S / (|P1|·|P2|)其中，S表示P1和P2的交线段所在的平面的面积，|P1|和|P2|分别表示P1和P2的面积。
平面与平面所成的角与二面角的区别
平面与平面所成的角与二面角的区别
1.平面与平面所成的角：平面与平面所成的角是指两个平面之间的夹角。
两个平面可以通过它们的法向量来确定夹角的大小。
当两个平面相交时，它们所成的角是两个平面的法向量之间的夹角。
平面与平面所成的角的度量范围是0°到180°之间。
2.二面角：二面角是指由四个不在同一平面上的点所确定的空间角。
四个点分别位于两个平面上，两个平面相交于一条直线。
二面角可以通过这条直线和两个平面的法向量来确定。
二面角的度量范围是0°到360°之间。
总结来说，平面与平面所成的角是在二维平面上的角度，而二面角是在三维空间中的角度。
平面与平面所成的角是由两个平面的法向量决定，而二面角是由四个点和两个平面的法向量决定。
此外，平面与平面所成的角度范围为0°到180°，而二面角的度量范围为0°到360°。
高中数学立体几何线面角公式
高中数学立体几何线面角公式
高中数学中，有一些常见的立体几何线面角公式如下：
1. 平面与平面的夹角公式：若两个平面的法线向量分别为n1
和n2，则两个平面的夹角θ满足cosθ = |n1·n2|，其中·表示向
量的点积。
2. 直线与平面的夹角公式：若直线的方向向量为m，平面的
法线向量为n，则直线与平面的夹角θ满足cosθ = |m·n| / |m|，
其中·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
3. 直线与直线的夹角公式：若两条直线的方向向量分别为m1
和m2，则两条直线的夹角θ满足cosθ = |m1·m2| / (|m1|·|m2|)，其中·表示向量的点积，|·|表示向量的模长。
这些公式可以帮助我们计算不同线面之间的夹角。
不过需要注意的是，这些公式只适用于非退化情况，即线面或线线之间不能有重合或平行的情况。
空间面面角计算公式
空间面面角计算公式在几何学中，空间面面角是指两个平面之间的夹角。
计算空间面面角可以帮助我们理解物体之间的相对位置关系，对于工程设计、建筑规划等领域都具有重要意义。
本文将介绍空间面面角的计算公式及其应用。
空间面面角的计算公式可以通过向量的方法来推导。
假设有两个平面分别由法向量a和b表示，那么这两个平面的夹角θ可以通过它们的法向量的夹角来计算。
根据向量的内积公式，可以得到如下的计算公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)。
其中，a·b表示向量a和b的内积，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
通过这个公式，我们可以计算出两个平面之间的夹角θ。
在实际应用中，空间面面角的计算可以帮助我们解决很多问题。
例如，在建筑设计中，如果需要安装两块墙面之间的夹角，可以通过计算它们的法向量来确定夹角的大小，从而更好地安排建筑布局。
又如在机械设计中，如果需要安排两个零件的安装位置，也可以通过计算它们之间的夹角来确定最佳的安装方案。
除了通过向量的方法来计算空间面面角之外，还可以通过坐标的方法来进行计算。
假设两个平面的方程分别为Ax+By+Cz+D1=0和Ex+Fy+Gz+D2=0，那么它们的夹角θ可以通过它们的法向量的夹角来计算。
具体方法是先求出两个平面的法向量，然后利用向量的夹角公式来计算夹角θ。
空间面面角的计算公式在实际应用中具有广泛的意义。
无论是在建筑设计、机械制造、航空航天等领域，都需要通过计算空间面面角来确定物体之间的相对位置关系。
因此，掌握空间面面角的计算方法对于工程技术人员来说是非常重要的。
另外，空间面面角的计算也可以通过数学软件来实现。
例如，在Matlab、Mathematica等软件中都提供了向量和坐标计算的函数，可以方便地进行空间面面角的计算。
这些软件不仅可以加快计算的速度，还可以减少计算过程中的错误，提高计算的准确性。
总之，空间面面角的计算公式是一种非常重要的数学工具，它可以帮助我们理解物体之间的相对位置关系，解决实际问题。
线线,线面,面面夹角公式
线线,线面,面面夹角公式
在几何学中，"线线"、"线面"和"面面"夹角是指两条线、一条线和一个平面，以及两个平面之间的夹角。
下面是它们的相关公式：
1. 线线夹角公式：
当两条直线相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((a·b) / (|a|·|b|))
其中，a和b分别是两条直线的方向向量，·表示向量的点积，|a|和|b|表示向量的模（长度）。
2. 线面夹角公式：
当一条直线和一个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n·d) / (|n|·|d|))
其中，n是平面的法向量，d是直线的方向向量，·表示向量的点积，|n|和|d|表示向量的模。
3. 面面夹角公式：
当两个平面相交时，它们之间的夹角可以使用以下公式计算：
夹角= arccos((n1·n2) / (|n1|·|n2|))
其中，n1和n2分别是两个平面的法向量，·表示向量的点积，|n1|和|n2|表示向量的模。
这些夹角公式可以帮助计算不同几何元素之间的夹角，但需要注意选择正确的向量表示和单位。
另外，由于计算中使用了反余弦函数（arccos），所以计算结果通常以弧度表示。
如果需要以度数表示，可以将弧度值转换为度数。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，我们学习了很多几何知识，其中包括了二面角的概念和计算方法。
二面角是指两个平面的夹角，它在很多几何问题中都有着重要的应用。
在本文中，我们将介绍一些以高中数学为基础的求解二面角的技巧。
我们需要了解二面角的定义。
二面角是指两个平面的夹角，它的大小可以通过两个平面的法向量来计算。
具体来说，如果两个平面的法向量分别为a和b，那么它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (a·b) / (|a|·|b|)
其中，a·b表示向量a和向量b的点积，|a|和|b|分别表示向量a和向量b的模长。
通过这个公式，我们可以求出两个平面的夹角。
我们需要了解如何求解两个平面的法向量。
在高中数学中，我们学习了向量的概念和运算方法，可以通过向量的叉积来求解两个平面的法向量。
具体来说，如果两个平面的法向量分别为a和b，那么它们的叉积a×b就是这两个平面的法向量。
通过这个方法，我们可以求解出两个平面的法向量，从而计算它们的夹角。
我们需要了解如何应用二面角的概念来解决实际问题。
在几何问题中，二面角常常用于计算两个平面的夹角，例如计算两个多面体的相交部分的体积。
在这种情况下，我们可以通过求解两个平面的法向量和夹角来计算它们的相交部分的体积。
通过这种方法，我们可
以解决很多实际问题。
以高中数学为基础，我们可以通过求解两个平面的法向量和夹角来计算二面角。
在实际问题中，二面角常常用于计算两个平面的夹角，例如计算两个多面体的相交部分的体积。
通过掌握这些技巧，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
1.4.2 第2课时 夹角问题(解析版)..
第2课时夹角问题知识梳理知识点一两个平面的夹角平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．知识点二空间角的向量法解法角的分类向量求法范围两条异面直线所成的角设两异面直线l 1，l 2所成的角为θ，其方向向量分别为u ，v ，则cos θ＝|cos 〈u ，v 〉|＝|u ·v ||u ||v |0，π2直线与平面所成的角设直线AB 与平面α所成的角为θ，直线AB 的方向向量为u ，平面α的法向量为n ，则sin θ＝|cos 〈u ，n 〉|＝|u ·n ||u ||n |0，π2两个平面的夹角设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2||n 1||n 2|0，π2题型探究题型一、两条异面直线所成的角1．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2AD =，14AA =，1160BAD BAA DAA ∠=∠=∠=，则1BC 与1CA 所成角的正弦值为（）A ．2142B ．342C ．2114D ．5714【答案】D【详解】11111,BC AD AA CA AA AC AA AD AB =+=-=--，则()()1111BC CA AD AA AA AD AB ⋅=+⋅--，2211116AD AA AD AD AB AA AD AA AB AA =⋅--⋅+-⋅-⋅=，()2221111227BC AD AA AD AD AA AA =+=+⋅+=，()2211CA AA AD AB =--，22211122223AA AD AB AA AD AB AA AD AB =++-⋅-⋅+⋅=，1111113cos ,221BC CA BC CA BC CA ⋅==⋅，所以211357sin ,114221BC CA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，故选：D2．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1 2.AB AA ==E 、F 分别是BC 、11AC 的中点.设D 是线段11B C 上的（包括两个端点．．．．．．）动点，当直线BD 与EF 所成角的余弦值为104，则线段BD 的长为_______.【答案】22【详解】如图以E为坐标原点建立空间直角坐标系：则()()310,0,0,,,2,0,1,0,22E F B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭设(0,,2)(11)D t t -≤≤，则()31,,2,0,1,222EF BD t ⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭，设直线BD 与EF 所成角为θ所以214102cos 4||||5(1)4t EF BD EF BD t θ++⋅===⋅++，即22314370t t +-=，解得1t =或3723t =-（舍去），所以22202222BD =++=，故答案为：22．3．如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，AD BC ∥，60DAB ∠=，SA ⊥面ABCD ，22SA AD BC ===，点F 为线段SD中点(1)求证：CF 面SAB ；(2)求异面直线FC 与BD 所成角的大小.【详解】(1)证明：由SA ⊥面ABCD 建立如图所示的直角坐标系，以A 点为坐标原点，分别以AD ，垂直于AD 以及AS 为方向建立,,y x z 轴，如图所示:由底面是等腰梯形以及22SA AD BC ===可知：(0,0,0)A ，31,,022B ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)S 33,,022C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,0D 又由点F 为线段SD 中点，可知()0,1,1F 31,,022CF ⎛⎫∴=-- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,0,2)AS =uu r ，31,,022AB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =为平面SAB 的法向量，故可知：200130022z n AS y x n AB =⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩，解得30y xz ⎧=-⎪⎨=⎪⎩令1x =，可知平面SAB 的法向量一个法向量为：()1,3,0n =-()1331022n CF ⎛⎫⎛⎫⋅=-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴根据线面平行的向量法判断法则可知CF 面SAB(2)由题意得：由（1）分析可知31,,122CF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，33,,022BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1333012222cos ,023BD CFBD CF BD CF⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+-⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⋅⎝⎭⎝⎭<>===⨯⋅可知向量,BD CF 互相垂直，故异面直线FC 与BD 所成角的大小为904．如图所示，在四棱维P ABCD -中，PA ⊥面,,⊥⊥ABCD AB BC AB AD ，且PA=AB=BC =12AD =2.(1)求PB 与CD 所成的角；(2)求直线PD 与面PAC 所成的角的余弦值.【详解】(1)因为PA ⊥面,ABCD AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系.A (0，0，0)，P (0，0，2)，B (2，0，0)，D (0，4，0)，C (2，2，0)则()2,0,2PB =-,()2,2,0CD =-cos PB CD PB CD PB CD⋅∴=，=12，所以PB 与CD 所成的角为60(2)()()002220AP AC ==，，，，，，设平面PAC 的法向量为(),,m x y z =0,,0z m AP m AC y x =⎧⊥⊥∴⎨+=⎩，令1y =-，则()1,1,0m =-，设直线PD 与面PAC 所成的角的为θ，又()042PD =-，，，∴sin cos m PD m PD m PDθ⋅==，=105直线PD 与面PAC 所成的角的余弦值为155.题型二、直线与平面所成的角1．如图，在三棱锥S ABC -中，,2AB BC SA AB BC ⊥===，点O ､M 分别是AC ､BC 的中点，SO ⊥底面ABC .(1)求证：BC ⊥平面SOM ；(2)求直线AS 与平面SOM 所成角的大小.【详解】(1)证明：连接OB ,由AB BC ⊥,O 为AC 的中点，得OA OB OC ==，又SO ⊥底面ABC ，故SA SB SC ==,∵点M 为BC 的中点，∴SM BC ⊥,又∵OM AB ∥，∴OM BC ⊥,SMOM M =，故BC ⊥平面SOM .(2)解法一：由（1）知BM ⊥平面SOM ,且1BM =,又AB OM ∥，AB ⊄面SOM ,OM ⊂平面SOM ，∴AB ∥面SOM ，则点A 到面SOM 的距离就是点B 到面SOM 的距离1d BM ==.设直线AS 与平面SOM 所成角为θ，π[0,]2θ∈，∴SA 与面SOM 所成的角的正弦值为1sin 2d SA θ==，故SA 与面SOM 所成的角的大小为π6.解法二：设点A 到面SOM 的高为h ，而112,122SO AC OM AB ====,由A SOM S AOM V V --=得1111121123232h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯，则1h =，设直线AS 与平面SOM 所成角为θ，π[0,]2θ∈，∴SA 与面SOM 所成的角的正弦值为1sin 2h SA θ==，即所成的角的大小为π6.解法三：如图，以O 为坐标原点，以OB,OC,OS 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则(2,0,0),(0,0,2),(2,0,0),(0,2,0)A S B C -,则(2,0,2),(2,2,0)AS BC ==-,由（1）可知BC 为平面SOM 的一个法向量，设直线AS 与平面SOM 所成角为θ，π[0,]2θ∈，则21sin |cos ,|||222AS BC θ-=〈〉==⨯,故π6θ=，即直线AS 与平面SOM 所成角为π6.2．如图，在ABC 中，π4ABC ∠=，O 为AB 边上一点，且332OB OC AB ==，PO ⊥平面ABC ，22DA AO PO ==，且DA PO .(1)求证：CO ⊥平面POB ；(2)求直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值.【详解】(1)证明：OB OC =，π4ABC ∠=，π4OCB ∴∠=，π2BOC ∴∠=，CO AB ∴⊥，又PO ⊥平面ABC ，OC ⊂平面ABC ，PO OC ∴⊥，PO 、AB Ì平面POB ，PO AB O ⋂=，CO ∴⊥平面POB ；(2)分别以OC 、OB 、OP 所在射线为x 、y 、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，设1OA =，则2PO OB OC ===，1DA =，则()2,0,0C ，()0,2,0B ，()0,0,2P ，()0,1,1D -，()0,1,1PD ∴=--，()2,2,0BC =-，()0,3,1BD =-，设平面BDC 的一个法向量为(),,n x y z =，00n BC n BD ⎧⋅=⎪∴⎨⋅=⎪⎩，即22030x y y z -=⎧⎨-+=⎩，令1y =，则1x =，3z =，()1,1,3n ∴=，设PD 与平面BDC 所成的角为θ，则()()()()222222101131222sin 11011113PD n PD nθ⋅⨯+⨯-+⨯-===⋅+-+-⨯++，即直线PD 与平面BDC 所成角的正弦值为22211.3．如图，四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形，且平面PAD ⊥底面ABCD ，112AB BC AD ===，BAD ∠＝ABC ∠＝90．(1)证明：PD AB ⊥；(2)点M 在棱PC 上，且CM ＝MP ，求直线BM 与平面PCD 的夹角θ的正弦值.【详解】(1)证明：取AD 的中点O ，连OC ，OP ，∵PAD △为等边三角形，且O 是边AD 的中点，∴PO AD ⊥，∵平面PAD ⊥底面ABCD ，且它们的交线为AD ，∴PO ⊥平面ABCD ，则AB PO ⊥，∵AB AD ⊥，且,AD PO O ⋂=∴AB ⊥平面PAD ，∴PD AB ⊥；(2)由（1）知，PO ⊥面ABCD ，OC AD ⊥，故以O 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，易求3,1,PO OC AB ===各点坐标如下，(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0)(0,1,0),(0,0,3),O A B C D P --,CM MP ∴=13(,0,),22M ∴则13(1,0,3),(1,1,0),(,1,),22CP CD BM =-=-=-设平面PCD 的一个法向量为(,,),n x y z =则30,0n CP x z n CD x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩3,x y z ==令1z =，得平面PCD 的一个法向量为(3,3,1),n =3322315sin .10102n BM n BMq -++×\===´×题型三、两个平面的夹角1．如图，在三棱锥P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，3BC AC =，3BAC π∠=，M 是PA 的中点.(1)证明：PA BC ⊥；(2)若PC AC =，求平面PBC 与平面BCM 所成角的大小.【详解】(1)如图，在ABC 中，因为3BC AC =，3BAC π∠=，由正弦定理得：sin sin3BC ACABCπ=∠，故1sin 2ABC ∠=，又因为AC BC <，所以6ABC π∠=，则2ACB π∠=，即BC AC ⊥.又因为PC ⊥平面ABC ，所以PC BC ⊥，又ACPC C =，所以BC ⊥平面PAC ，又因为PA ⊂平面PAC ，所以BC PA ⊥；(2)因为PC ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，所以CA ，CB ，CP 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系C xyz -，设2PC AC ==，则()2,0,0A ，()0,23,0B ，()002P ,,，()1,0,1M ，所以()1,0,1CM =，()0,23,0CB =，设平面BCM 的一个法向量为(),,n x y z =由·0·0n CM n CB ⎧=⎨=⎩，即00x z y +=⎧⎨=⎩，可取()1,0,1n =-，可取()1,0,0m =为平面PBC 的一个法向量，所以12cos ,212m n m n m n⋅===⨯⋅，所以平面PBC 与平面BCM 所成角的大小为4π；综上，平面PBC 与平面BCM 所成角的大小为4π.2．如图1，矩形PABC 中，33PC =，6PA =，D 为PC 上一点且2CD DP =.现将PAD △沿着AD 折起，使得PD BD ⊥，得到的图形如图2.(1)证明：PA ⊥平面PBD ；(2)求二面角P AB D --的余弦值.【详解】(1)∵四边形PABC 为矩形，33PC =，6PA =且2CD DP =，∴()()222262332BD BC CD =+=+=∵PD BD ⊥，∴()()222232321PB BD PD =+=+=∵33AB =，6PA =，∴222PB PA AB +=，∴PA PB ⊥∵四边形PABC 为矩形，∴PA PD⊥∵PBPD P =，,PB PD ⊂平面PBD ，∴PA ⊥平面PBD(2)过P 作PE AD ⊥，交AD 于E ，∵3PD =，6PA =，∴2PD PAPE AD⋅==，∴221DE PD PE =-=由（1）知PA ⊥平面PBD ,BD ⊂平面PBD ,所以PA BD ⊥，由,PD BD PD AP P ⊥⋂=得BD ⊥平面PAD ，BD ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面PAD ，又PE AD ⊥，PE ⊂平面PAD ，∴PE ⊥平面ABD ，故以D 为原点建立空间直角坐标系如图所示，∴()0,0,0D ，()0,3,0A ，()32,0,0B ，()0,1,2P 平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m =设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =，则00n AB n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，∵()32,3,0AB =-，()0,2,2AP =-，∴3230220x y y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令1x =，得2y =，2z =，∴()1,2,2n =∴227cos ,77m n ==∵二面角P AB D --为锐二面角，∴二面角P AB D --的余弦值为277.3．如图，在四棱锥P ABCD -中，PAB △和PAD △均为正三角形，且边长为3，2BC CD ==，90BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ．(1)求证：BD ⊥平面;PAC (2)求二面角P CD B --的余弦值．【详解】(1)证明：因为PAB △和PAD △均为正三角形，所以AB AD =．又BC CD =，所以AC 为BD 的中垂线．所以O 为BD 的中点．又PB PD =，所以PO BD ⊥．又ACPO O =，AC ，PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ．(2)因为90BAD ∠=，O 为BD 的中点，所以AO OB OD ==．又因为PA PB PD ==，所以PAO ，PBO ，PDO △为全等三角形．所以90POA POB POD ∠=∠=∠=，所以PO AC ⊥．结合（1）知，不妨以O 为坐标原点，OB ，OC ，OP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，则6002B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，6002D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，，2002C ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，6002P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，所以626660,0,0,0,22222DC DP OP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，设平面PCD 的一个法向量为()n x y z =，，，则00n DC n DP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，故6202266022x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，令1x =，则3y =-，1z =-，所以()131n =--，，．设二面角P CD B --的大小为θ，则6·52cos |cos |56·52n OP n OP n OPθ-=⋅===⨯．又二面角P CD B --为锐二面角，所以二面角P CD B --的余弦值为55．跟踪训练1．将正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使得平面ABD ⊥平面CBD ，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．12B ．22C ．12-D ．22-【答案】A【详解】取BD 中点为O ，连接,AO CO ，所以,AO BD CO BD ⊥⊥，又面ABD ⊥面CBD 且交线为BD ，AO ⊂面ABD ，所以AO ⊥面CBD ，OC ⊂面CBD ，则AO CO ⊥.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，()()()(0,0,1),1,0,0,0,1,0,1,0,0A B C D -，所以()()=1,0,1,=1,1,0AB CD ---，11cos ,222AB CD AB CD AB CD⋅-<>===-⨯.所以异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为12.故选:A2．已知1111ABCD A B C D -为正方体，E ，F 分别是1BD ，AB 的中点，异面直线EF 与BD 所成的角为_______【答案】60︒【详解】取点D 为原点，边DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(0D ，0，0)，(2B ，2，0)，(1E ，1，1)，(2F ，1，0)，∴(1,0,1),(2,2,0)EF BD =-=--，∴2EF BD ⋅=-，||2||22EF BD ==，，∴21cos ,2||||222EF BD EF BD EF BD ⋅-<>===-⨯，EF ∴与BD 所成的角为60︒．故答案为：60︒．3．在正方体1111ABCD A B C D -中，如图E 、F 分别是1BB ，CD 的中点，(1)求证：1D F ⊥平面ADE ；(2)求EF 与1CB 所成的角的大小.【详解】(1)以D 为原点，建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，A (1,0,0)，1D (0,0,1)，E (1,1,12)，F (0,12,0)，则1D F ＝(0,12,－1)，DA ＝(1,0,0)，AE ＝(0,1,12)，则1D F DA ⋅＝0，1D F AE ⋅＝0，1D F DA ∴⊥，1D F AE ⊥，即1D F DA ⊥，1D F AE ⊥，又DAAE A =，故1D F ⊥平面ADE .(2)由（1）知：1B (1，1，1)，C (0，1，0)，故1CB ＝(1，0，1)，而EF ＝(－1，－12，－12)，则1EF CB ⋅＝－1＋0－12＝－32，又1131442EF =++=，12CB =，则cos 111332,2322EF CB EF CB EF CB -⋅===-⋅<>⋅.∴1,150EF CB =，由线线角的范围知：EF 与1CB 所成的角为30.4．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AAC C ⊥侧面11,AA B B M N 、分别为11BC AC 、的中点，14,3AB AC AA ===；(1)求证：直线1//MC 面ABN ；(2)求异面直线1MC 与BN 所成角的余弦值．【详解】(1)证明：取AB 的中点P ，连PM PN 、因为,M N 分别为11BC A C 、的中点，所以//MP AC 且12MP AC =，又在直三棱柱111ABC A B C －中，1//C N AC 且112C N AC =，所以1//MP C N 且1MP C N =.所以四边形1MPNC 为平行四边形，所以1//MC PN 因为1⊄MC 平面ABN PN ⊄，平面ABN ，所以直线1//MC 平面ABN ；(2)在直三棱柱111ABC A B C －中1AA ⊥平面ABC ，所以1AB AA ⊥，又侧面11AAC C ⊥侧面11AA B B ，平面11AA C C 平面111AA B B AA ＝，所以AB ⊥平面11ACC A ，分别以1AC AA AB 、、所在直线为x y z ，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则由题意可知1430004230202(,,),(,,),(,,),(,,)C B N M ，所以1(2,3,2),(2,3,4)MC BN =-=-；所以1122222212233(2)(4)21493cos ,493||23(2)23(4)MC BN MC BN MC BN ⋅⨯+⨯+-⨯-<>===++-++-．所以异面直线MC 1与BN 所成角的余弦值为21493493．5．如图所示，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为2的菱形，且60BAD ∠=︒，E 为棱AD 的中点，1BE A E =．(1)证明：1DB ⊥平面11BAC ；(2)求直线11AC 与平面1A BE 所成的角．【详解】(1)连接11B D ,则1111B D A C ⊥,又因为直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面1111D C B A ，则111DD AC ⊥,又1111B D DD D =,故11AC ⊥平面11B D D ,1DB ⊂平面11B D D ,故111DB AC ⊥;设AB 的中点为F ，连接11,B F A B ,交于G 点，由60BAD ∠=︒，BAD 是正三角形，可得13BE A E ==,则1312A A =-=,故在1Rt B BF △中，1tan 2B FB ∠=,在1Rt A AB △中，1tan 2BA A ∠=,故11BA A B FB ∠=∠，所以190BGF BAA ∠=∠=,即11B F A B ⊥，连接DF ，则DF AB ⊥,又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，故1AA DF ⊥,而1AA AB A =,故DF ⊥平面1A AB ,故1DF A B ⊥,又1DFB F F =,故1A B ⊥平面1B DF ，1B D ⊂平面1B DF ,则11A B B D ⊥,又1111A BA C A =,故1DB ⊥平面11BAC ；(2)设AC,BD 交点为O ,以O 为坐标原点，OA,OB 分别为x,y 轴，过点O 作底面的垂线为Z轴，建立空间直角坐标系，则1131(3,0,2),(3,0,2),(0,1,0),(,,0)22A CB E --,则111131(23,0,0),(3,1,2),(,,2)22A C AB A E =-=--=---,设平面1A BE 的法向量为(,,)n x y z =，则110n A B n A E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即320312022x y z x y z ⎧-+-=⎪⎨---=⎪⎩，令1,2y z ==-，则3x =，则(3,1,2)n =-，设直线11AC 与平面1A BE 所成的角为,([0,90])θθ∈，则1162sin |cos ,|||2236A C n θ-=〈〉==⋅，故π4θ=，即直线11AC 与平面1A BE 所成的角为π4.6．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，P 为1A B 的中点，Q 为棱1CC 的中点.(1)求证：PQ ⊥平面1ABA ；(2)若133AA AB ==，求AC 与平面1BQA 所成角的正弦值.【详解】(1)证明：正三棱柱111ABC A B C -中，取线段AB 的中点记为D ，连接CD ，PD ，由已知，易知11PD AA CC ∥∥，且112PD CQ AA ==，所以四边形PDCQ 是平行四边形，PQ CD ∥.又CD AB ⊥，1CD AA ⊥，1AB AA A ⋂=，所以CD ⊥平面1ABA ，所以PQ ⊥平面1ABA .(2)由（1）易知，DB ，DC ，DP 两两垂直，如图，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则1,0,02A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，30,,02C ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1,0,02B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，11,0,32A ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，330,,22Q ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，13,,022AC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，1133(1,0,3),,,222BA BQ ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭uuu r uu u r ，设平面1BQA 的一个法向量(,,)n x y z =，则100n BA n BQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩即33030x y z x z ⎧-++=⎪⎨-+=⎪⎩取1z =，可得(3,0,1)n =所以332cos ,413244AC n 〈〉==+uuu r r，即AC 与平面1BQA 所成角的正弦值为34.7．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，2,1,5CD PD AD PC ====，点E为线段PC 的中点，且BC DE ⊥．(1)证明：PD AC ⊥；(2)求直线PB 与平面ADE 所成角的正弦值．【详解】(1)证明：由底面ABCD 为矩形可知BC CD ⊥，又因为,,BC DE CD DE ⊥⊂平面,PCD CD DE D =，所以BC ⊥平面PCD ，又因为PD ⊂平面PCD ，故BC PD ⊥，∵1,2,5PD CD PC ===满足222PD CD PC +=，∴CD PD ⊥，又因为,,BC PD CD BC ⊥⊂平面ABCD ，CD BC C ⋂=，故PD ⊥平面ABCD ，又因为AC ⊂平面ABCD ，故PD AC⊥(2)由（1）可知PD ⊥平面ABCD ，又底面ABCD 为矩形，故以{},,DA DC DP 为基底建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()10,0,1,1,2,0,1,0,0,0,2,0,0,1,2P B A C E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()11,2,1,1,0,0,0,1,2PB DA DE ⎛⎫ =-==⎪⎝⎭，设平面ADE 的一个法向量为(),,n x y z =，由0102n DA x n DE y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩可取()0,1,2n =-，4230cos ,1565PB n PB n PB n⋅===⋅⋅则直线PB 与平面ADE 所成角的正弦值为230158．如图，斜三棱柱111ABC A B C -中，ABC 为正三角形，D 为棱AC 的中点，1A D ⊥平面ABC ．(1)证明：BD ⊥平面11ACC A ；(2)若12AA AB ==，求直线1AB 与平面1BB C 所成角的正弦值．【详解】(1)在正ABC 中，因为D 为AC 的中点，所以BD AC ⊥．因为1A D ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC 所以1BD A D⊥因为1AC A D D ⋂=，AC ，1A D 均在平面11ACC A 内，所以BD ⊥平面11ACC A (2)因为1A D ⊥平面ABC ．所以1A D DC ⊥，1A D DB ⊥．即1DA ，DC ，DB 两两相互垂直．以{}1,,DB DC DA 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -．因为12AB AC AA ===，所以点()0,1,0A -，()3,0,0B ，()0,1,0C ，()10,0,3A 所以()10,1,3AA =，()3,1,0AB =，()3,1,0BC =-从而()113,2,3AB AA AB =+=，()110,1,3BB AA ==设平面1BB C 的一个法向量为(),,n x y z =，则0n BC ⋅=uu u rr ，10n BB ⋅=即3030x y y z ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，令3y =，则()1,3,1n =-记直线1AB 与平面1BB C 所成角为θ．则11132336sin cos ,5105AB n AB n AB nθ+-⋅=<>===⨯⨯，所以，直线1AB 与平面1BB C 所成角的正弦值为65．9．在四棱锥P ABCD -中，,90,90,,22PA PB BAD PAD AB CD AD AB CD ∠∠======∥，平面PBD ⊥平面PAD.(1)证明：PB ⊥平面PAD ；(2)求二面角B PC A --的正弦值.【详解】(1)作AE PD ⊥于点E ，平面PBD ⊥平面PAD ，平面PBD 平面PAD PD=∴AE ⊥平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，则AE PB ⊥又,AD PA AD AB ⊥⊥PAAB A =，AD ⊥平面PABAB Ì平面PAB ，则AD PB⊥AE PB ⊥，AD AE A ⋂=PB ⊥平面PAD(2)取AB 中点为O ，则由PA PB =，得PO AB ⊥又AD ⊥平面PAB ，得AD PO ⊥，所以PO ⊥平面ABCD以O 为原点，,,OB OC OP 方向分别为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则()()()()1,0,0,0,2,0,0,0,1,1,0,0B C P A -设平面BPC 的法向量为()()(),,,1,0,1,1,2,0m a b c PB BC ==-=-则00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则020a c a b -=⎧⎨-+=⎩今1b =，则()2,1,2m =设平面APC 的法向量为()()(),,,1,2,0,1,0,1n x y z AC AP ===则00n AC n AP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则200x y x z +=⎧⎨+=⎩令1y =，则()2,1,2n =-故1cos ,9m n m n m n⋅==⋅故二面角B PC A --的正弦值为2145199⎛⎫-= ⎪⎝⎭10．在如图所示的五面体ABCDFE 中，面ABCD 是边长为2的正方形，AE ⊥面ABCD ，//DF AE ，且112DF AE ==，N 为BE 的中点，N 为CD 中点.(1)求证：//FN 平面ABCD ；(2)求二面角N MF D --的余弦值；(3)求点A 到平面MNF 的距离．【详解】(1)证明：如图建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()1,0,1N ，()1,2,0M ，()0,2,1F ，所以()1,2,0NF =-，显然平面ABCD 的法向量可以为()0,0,1n =，所以0NF n ⋅=，即NF n ⊥，又NF ⊄平面ABCD ，所以//NF 平面ABCD ；(2)因为()1,2,0NF =-，()1,0,1MF =-，设平面MNF 的法向量为(),,m x y z =，则200m NF x y m MF x z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，令1y =，则2x z ==，所以()2,1,2m =，显然平面MFD 的法向量可以为()0,1,0u =，设二面角N MF D --为θ，由图可知二面角N MF D --为钝角，则1cos 3m u m uθ⋅=-=-⋅，所以二面角N MF D --的余弦值为13-；(3)由（2）知平面MNF 的法向量为()2,1,2m =，又()1,2,0MA =--，设点A 到平面MNF 的距离为d ，则43m MA d m⋅==所以点A 到平面MNF 的距离43.11．如图，AD BC ∥且2AD BC =，AD CD ⊥，EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，DG ⊥平面ABCD ，2DA DC DG ===.(1)若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN ∥平面CDE ；(2)求二面角E BC F --的正弦值；【详解】(1)因为AD BC ∥，AD CD ⊥，DG ⊥平面ABCD ，而AD ､DC ⊂平面ABCD ，所以DG AD ⊥，DG DC ⊥，因此以D 为坐标原点，分别以DA ､DC ､DG 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系.因为EG AD ∥且EG AD =，CD FG ∥且2CD FG =，2DA DC DG ===，所以()0,0,0D ，()2,0,0A ，()1,2,0B ，()0,2,0C ，()2,0,2E ，()0,1,2F ，()0,0,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N .设()0,,n x y z =为平面CDE 的法向量，()0,2,0DC =，()2,0,2DE =，则0020220n DC y n DE x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，不妨令1z =-，可得()01,0,1n =-；又31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以00MN n ⋅=.又∵直线MN ⊄平面CDE ，∴MN ∥平面CDE ；(2)依题意，可得()1,0,0BC =-uu u r ，()1,2,2BE =-，()0,1,2CF =-.设()111,,n x y z =为平面BCE 的法向量，则11110220n BC x n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令11z =，可得()=0,1,1n .设()222,,m x y z =为平面BCF 的法向量，则222020m BC x m CF y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，不妨令21z =，可得()0,2,1m =.若二面角E BC F --的大小为θ，则310cos cos ,10m n m n m n θ⋅===⋅，因此231010sin 1cos 11010θθ⎛⎫=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭.∴二面角E BC F --的正弦值为1010高分突破1．如图，在三棱锥M ABC -中，MA ⊥平面ABC ，ABC 是边长为2的正三角形，23MA =，F 是MC 的中点，则异面直线MB 与AF 所成角的余弦值是（）A ．33B ．34C ．133D ．58【答案】D【详解】解法一：设E 为BC 的中点，连接FE ，如图，∵E 是BC 的中点，∴FE ∥BM ，4MB =,2FE =,2,3AF AE ==;在AFE △中，由余弦定理可知222235cos .2228AFE +-Ð==创∴异面直线BE 与AF 所成角的余弦值为58，解法二：以A 为坐标原点，AC ，AM 所在直线分别为y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，易知()0,0,0A ，()3,1,0B ，()0,1,3F ，()0,0,23M 所以()3,1,23MB =-，()0,1,3AF =，则55cos ,428MB AF MB AF MB AF⋅-===-⨯⋅，∴异面直线BE 与AF 所成角的余弦值为58.故选：D2．在矩形ABCD 中，O 为BD 中点且2=AD AB ，将平面ABD 沿对角线BD 翻折至二面角A BD C --为90°，则直线AO 与CD 所成角余弦值为（）A ．55B ．54C ．3525D ．4225【答案】C【详解】在平面ABD 中过A 作AE BD ⊥，垂足为E ；在平面CBD 中过C 作CF BD ⊥，垂足为F .由于平面ABD ⊥平面BCD ，且交线为BD ，所以AE ⊥平面BCD ，CF ⊥平面ABD ，设1,2AB AD ==，221123,22525BD AE AB AD AE OE OA AE ⨯⨯=⨯⨯⇒==-=，同理可得23,525CF OF ==，以O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则32235,0,,,,0,,0,02255525A C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53,,01025CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设AO 与CD 所成角为θ，则33520cos 255122OA CD OA CDθ⋅===⋅⨯.故选：C3．已知正四面体VABC 的棱长为2，E ，F 分别是棱VA ，BC 的中点，则该正四面体外接球的表面积为___________．异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为___________．【答案】6π23【详解】将正四面体补成一个正方体，因为正四面体VABC 的棱长为2，则正方体的棱长为2，所以正方体的体对角线长为()()()2222226++=，正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长，∴外接球的表面积为26462ππ⎛⎫⨯=⎪ ⎪⎝⎭．如图建立空间直角坐标系，则()2,0,0B，22,,022F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,,222E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()2,2,2V ，所以22,,222BE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，22,,222FV ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，所以22cos ,333BE FV BE FV BE FV⋅===⨯⋅，所以异面直线BE 与VF 所成角的余弦值为23；故答案为：6π；23；4．在三棱锥P ABC -中，已知ABC 是边长为2的正三角形，PA ⊥平面ABC ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，若异面直线MN 、PB 所成角的余弦值为34，则PA 的长为______，三棱锥P ABC -的外接球表面积为______．【答案】2283π【详解】连接CM ，则CM AB ⊥，又因为PA ⊥平面ABC ，以点M 为坐标原点，CM 、MB 、AP 的方向分别为x 、y 、z轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设()20PA h h =>，则()0,1,0A -、()0,1,0B 、()3,0,0C -、()0,1,2P h -、()0,0,0M 、31,,22N h ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，31,,22MN h ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()0,2,2PB h =-，由已知可得()22213cos ,421MN PB h MN PB h MN PB⋅+<>===+⋅，解得1h =，因此，22PA h ==，则点()0,1,2P -，设三棱锥P ABC -的外接球球心为(),,O x y z ，由OA OB OA OC OA OP ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即()()()()()()()2222222222222222221113112x y z x y z x y z x y z x y z x y z ⎧+++=+-+⎪⎪+++=+++⎨⎪⎪+++=+++-⎩，解得3301x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，所以，三棱锥P ABC -的外接球半径为23211133R OA ⎛⎫==-++= ⎪ ⎪⎝⎭，因此，该三棱锥外接球的表面积为22843R ππ=.故答案为：2；283π.5．已知三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的等边三角形，侧棱长为2，D 为11B C 的中点，若113A AB A AC π∠=∠=，则异面直线1A D 与1BC 所成角的余弦值为______．【答案】66【详解】由题意，11122A D AB AC =+,11BC AC AA AB =+-,所以221112444322A D AB AC AB AC =++⋅=++=，222111122222BC AC AA AB AC AA AC AB AA AB =+++⋅-⋅-⋅=，()221111122A D BC AC AB AA AB AB AC AC AA AC AB ⋅=⋅+⋅-++⋅-⋅=，所以11111126cos ,6223A D BC A D BC A D BC ⋅〈〉===⨯⋅故答案为：66.6．如图，在平行六面体111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为1的正方形，侧棱1AA 的长度为2，且11120A AB A AD ∠=∠=︒．(1)求1BD 的长；(2)直线1BD 与AC 所成角的余弦值．【详解】(1)由题意0AB AD ⋅=uu u r uuu r，1121cos1201AA AB AA AD ⋅=⋅=⨯⨯︒=-，111BA AD DD AB AD AA BD =++=-++，2222211111()222BD AB AD AA AB AD AA AB AD AB AA AD AA =-++=++-⋅-⋅+⋅1140226=++-+-=，116BD BD ==．(2)AC AB AD =+，2AC =，221111()()2BD AC AB AD AA AB AD AD AB AA AB AA AD ⋅=-++⋅+=-+⋅+⋅=-，所以11123cos ,362BD AC BD AC BD AC⋅-<>===-⨯，所以直线1BD 与AC 所成角的余弦值为33．7．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长等于4，点E 是棱1DD的中点．(1)求直线1A E 与直线1B C 所成的角；(2)若底面ABCD 上的点P 满足1PD ⊥平面11A EC ，求线段DP 的长度．【详解】(1)如图以D 为坐标原点，以1,,DA DC DD 为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则()()14,0,4,0,0,2,A E 1(4,4,4),(0,4,0)B C ，所以1(4,0,2)A E =--，1(4,0,4)B C =--，设直线1A E 与直线1B C 所成的角为θθ∈π,(0,]2，则1111||24310cos 10||||2542A EBC A E B C θ⋅===⋅⨯,所以310arccos10θ=，即直线1A E 与直线1B C 所成的角的大小等于310arccos 10.(2)假设在底面ABCD 上存在点P ，使得1PD ⊥平面11A EC ，设(),,0P a b ，因为()()110,4,4,0,0,4C D ，所以()()()11114,4,0,0,4,2,,,4A C EC D P a b =-==-，由11111,D P A C D P EC ⊥⊥得，111110,0D P AC D P EC ⋅=⋅=，即440480a b b -+=⎧⎨-=⎩，解得2,2a b ==，即()2,2,0P ，所以()2,2,0DP =，22222022DP =++=，故线段DP 的长度为22.8．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知190CBC ∠=，1BC =，12AB C C ==，点E 是棱1C C 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成的角的余弦值；(2)在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，若存在，求出CMCA的值；若不存在，请说明理由.【详解】(1)190CBC ∠=，1BC =，12AB C C ==，得22113BC CC BC =-=，由题意，因为190CBC ∠=，所以，1⊥BC BC ，又AB ⊥侧面11BB C C ，以B 为原点，分别以BC 、1BC 、BA 的方向为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则有()0,0,2A ，()11,3,0B -，13,,022E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()11,3,2A -，()1,0,0C ，13,,222AE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()12,3,0B C =-，设异面直线AE 与1B C 所成的角为θ，则111352cos =7057AE B C AE B Cθ⋅==⨯⋅，所以异面直线AE 与1B C 所成的角的余弦值为3570.(2)由（1）得()110,0,2A B =-，133,,222A E ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面11A B E 的一个法向量为(),,m x y z =，则11120332022m A B z m A E x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取1x =，可得()1,3,0m =，假设存在点M ，设()()1,0,2,0,2CM CA λλλλ==-=-，其中[]0,1λ∈，()1313,,0,0,2,,22222EM EC CM λλλλ⎛⎫⎛⎫=+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由已知可得221c 12111132os 2,44m ME m EM m E M λλλ<⎛=⋅+==⋅⎫-++ ⎪⎝⎭>，得2693850λλ-+=，即()()312350λλ--=，解得13λ=或523λ=，因此，在棱CA 上是否存在一点M ，使得EM 与平面11A B E 所成角的正弦值为21111，且13CM CA =或523CM CA =.9．如图，四棱雉P ABCD -的底面为直角梯形，AB ∥CD ，AD CD ⊥，1AB AD ==，2CD PD ==，PD ⊥平面ABCD．(1)求异面直线BC 与PA 所成的角的余弦值；(2)求出点A 在平面PBC 上的投影M 的坐标．【详解】(1)因为PD ⊥平面ABCD ，,⊂DA DC 平面ABCD ，所以,PD DA PD DC ⊥⊥，因为AD CD ⊥，所以DA ，DC ，DP 两两垂直，所以以D 点为原点，DA ，DC ，DP 分别为x ，y ，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,2,0)C ，(0,0,2)P ．(1,1,0)BC =-，(1,0,2)PA =-，110cos ,10||||25BC PA BC PA BC PA ⋅-<>===-⋅，所以异面直线BC 与PA 所成的角的余弦值为1010．(2)设(1,1,2)(0,2,2)PM PB PC λμλμ=+=-+-，则(,2,222)M λλμλμ=+--．又(1,2,222)AM λλμλμ=-+--，由AM PB ⊥，AM PC ⊥，得122(222)02(2)2(222)0λλμλμλμλμ-++---=⎧⎨+---=⎩，解得4312λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩．所以411,,333M ⎛⎫= ⎪⎝⎭．10．如图所示，设有底面半径为3的圆锥．已知圆锥的侧面积为15π，D 为PA 中点，3AOC π∠=．(1)求圆锥的体积；(2)求异面直线CD 与AB 所成角．【详解】(1)设圆锥母线长为l ，315S rl l πππ===侧，5l ∴=，即5PA PB ==，∴圆锥的高224h OP PA OA ==-=，2 1119412333V S h OA OP πππ∴=⋅⋅=⋅⋅=⨯⨯=底.(2)解法一：取OA 边上中点E ，连结DE ，CE ，AC ，DE 是AOP 的中位线，//DE OP ∴；OP 垂直于底面，DE ∴垂直于底面，DE AB ⊥∴；CA CO =，E 为OA 中点，CE OA ∴⊥，即AB CE ^；CE DE E ⋂=，,CE DE ⊂平面CDE ，AB ∴⊥平面CDE ，又CD ⊂平面CDE ，AB CD ∴⊥，即异面直线AB 与CD 所成角为2π.解法二：取圆弧AB 中点E ，连结OE ，则OE AB ⊥；以O 为坐标原点，,,OE OB OP 的正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()0,3,0A -，()0,3,0B ，333,,022C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，30,,22D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()0,6,0AB ∴=，33,0,22CD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，0AB CD ∴⋅=，即AB CD ⊥，∴异面直线AB 与CD 所成角为2π.11．如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在平面互相垂直，2AB =，1AF =，M 是线段EF 的中点.(1)求证：//AM 平面BDE ；(2)试在线段AC 上确定一点P ，使PF 与BC 所成角是60°.【详解】(1)设ACBD O =，连接OM ，因为ABCD 是正方形，所以O 是AC 中点，又因为ACEF 是矩形，M 是线段EF 的中点，所以//AO EM ,AO EM =,所以四边形AOEM 为平行四边形，所以//AM OE ,因为AM ⊄平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以//AM 平面BDE ；(2)如图，以C 为原点建立空间直角坐标系C xyz -，依题意设()(),,002P a a a ≤≤，则()2,2,1PF a a =--，()0,2,0CB =，因为2CB =，()2221PF a=-+，()22PF CB a ⋅=-，PF 与CB 所成角是60︒，所以1cos 602PF CBPF CB ⋅︒==⋅，即()()222122221aa -=⨯-+，化简得224230a a -+=，解得22a =或322a =（不合题意舍去），从而22,,022P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，因此P 点应在线段AC 的中点处．12．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，AB ∥CD ，2AD DC AP ===，1AB =，22AC =.(1)试在棱PC 上找一点E 满足：BE DC ⊥；(2)若F 为棱PC 上一点，满足BF AC ⊥，求二面角F AB P --的余弦值.【详解】(1)∵2AD CD ==，22AC =，//AB CD ，222AD DC AC +=∴AD CD ⊥，AD AB ⊥，如图，以A 为原点，,,AB AD AP 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，可得()1,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，设点E 为棱PC 上的点，且(),,E x y z .向量(),,2PE x y z =-，()2,2,2PC =-，且PC mPE =∴2mx =，2my =，()22m z -=-∴222,,2E m mm ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴2221,,2BE mm m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()2,0,0DC =，若BE CD ⊥故0BE DC ⋅=.∴2210m ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴2m =即()1,1,1E ∴E 为棱PC 的中点.(2)()2,2,2CP =--，()2,2,0AC =，()1,0,0AB =，由点F 在棱PC 上，设CF tCP =，故()12,22,2BF BC CF BC tCP t t t =+=+=--，由BF AC ⊥，得·0BF AC =,()()2122220t t ∴-+-=，解得3t 4=，即113,,222BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设()1,,n x y z =为平面ABF 的法向量，则1100n AB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩，不妨令1z =，可得()10,3,1n =-为平面ABF 的一个法向量.取平面PAB 的法向量()20,1,0n =u u r，则1212123310cos ,1010n n n n n n ⋅-===-⋅.易知，二面角F AB P --是锐角，∴其余弦值为31010.13．如图，在四棱锥P －ABCD 中，ACBD O =，底面四边形ABCD 为菱形，2AB =，60ABC ∠=︒，异面直线PD 与AB 所成的角为60°．试在①PA ⊥BD ，②PC ⊥AB ，③PA PC=三个条件中选两个条件，使得PO ⊥平面ABCD 成立，请说明选择理由，并求平面PAB 与平面PCD所成角的余弦值．【详解】选择条件①③.理由如下：若选择条件②，利用反证法.由PO ⊥平面ABCD ，AB Ì平面ABCD ，得PO AB ⊥，又PC AB POPC P ⊥=，，所以AB ⊥平面PAC ，又AC ⊂平面PAC ，所以AB AC ⊥，由菱形的性质可得BD AC ⊥，所以//AB BD ，与ABBD B =矛盾.故不选择条件②.由底面ABCD 为菱形，得BD AC ⊥，又BD PA PAAC A ⊥=，，所以BD ⊥平面PAC ，又PO ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PO ，因为PA PC AO CO ==，，所以PO AC ⊥，又BD AC O ⋂=，所以PO ⊥平面ABCD ；以点O 为坐标原点，OB 、OC 、OP 分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，设OP=h (h >0)，则(0,0,)(3,0,0)(0,1,0)(3,0,0)P h D A B --，，，，有()()3,0,3,1,0PD h AB =--=，，则异面直线PD 与AB 所成的角的余弦值为：231cos 223PD AB PD ABh θ⋅===+，解得6h =，则(0,1,6)PA =--，设平面PAB 的法向量为1111(,,)n x y z =u r，平面PCD 的法向量为2222(,,)n x y z =，则111111600030y z n PA n AB x y ⎧⎧--=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪+=⎪⎩⎩，222222600030y z n PC n CD x y ⎧⎧-=⋅=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=⎪--=⎪⎩⎩，解得12(2,6,1)(2,6,1)n n =-=-，，所以平面PAB 与平面PCD所成角的余弦值为1212122617cos 339n n n n n n ⋅--+===⨯，.14．在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，2222AB CD BC AD ====，60DAB ∠=︒，AE BE =，PAD △为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD.(1)求二面角P EC B --的余弦值；(2)线段PB 上是否存在一点M （不含端点），使得异面直线DM 和PE 所成的角的余弦值为64若存在，指出点M 的位置；若不存在，请说明理由.【详解】(1)设O 是AD 中点，PAD △为正三角形，则PO AD ⊥.因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，又PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥面ABCD .又因为1AD AE ==，60DAB ∠=︒，所以ADE 为正三角形，所以OE AD ⊥，以O 为原点，分别以,,OA OE OP 为,,x y z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz -，则30,0,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,02E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,0,02D ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1,3,02B ⎛⎫- ⎪⎝⎭于是331,,22PC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，13,0,22DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设平面PEC 的法向量为()1,,n x y z =，由1100PC n PE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即330,22330,22x y z y z ⎧-+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩可取()10,1,1n =.平面EBC 的一个法向量为()20,0,1n =，设二面角P EC B --的平面角为θ，则11221212|cos |cos ,22n n n n n n θ=<>=⋅==⋅u r u u r u u r u r u u r u r 由图知为θ为钝角，所以二面角P EC B --的余弦值为22-.(2)设()01PM PB λλ=<<，则13,3,22PM λλλ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，1133,3,2222DM DP PM λλλ⎛⎫=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭，330,,22PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以2936cos ,426421DM PE DM PE DM PEλλλ⋅-===⋅-+，解得45λ=或0（舍），所以存在点M 使得45PM PB =.15．如图，在梯形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝DC ＝BC ＝2，M 为AB 的中点.将ADM △沿DM 翻折至PDM △，连接PC ，PB ．(1)证明：DM⊥PC.(2)若二面角P－DM－C的大小为60°，求PB与平面ABCD所成角的正弦值.【详解】(1)证明：连接AC，交DM于点O，连接PO.因为AB＝4，AD＝DC＝BC＝2，M为AB的中点，所以AM＝AD＝CD.又四边形ABCD为梯形，则四边形AMCD为菱形，所以DM⊥AC.又PD＝PM，O是DM的中点，所以DM⊥PO.因为AC⊂平面PCO，PO⊂平面PCO，AC∩PO＝O，所以DM⊥平面PCO又PC⊂平面PCO，所以DM⊥PC.(2)以O点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为二面角P－DM－C的大小为60°，由（1）DM⊥平面PCO，所以∠POC＝60°，易得∠BAD＝60°，则3333 (2,3,0),0,,,2,,2222 B P PB⎛⎫⎛⎫=-⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.平面ABCD的一个法向量(0,0,1)m=，设PB与平面ABCD所成的角为α，则3372sin|cos,|147PB mα===u ruu r，即PB与平面ABCD所成角的正弦值为3714。
平面与平面之间的夹角公式
平面与平面之间的夹角公式在我们学习几何的奇妙世界里，平面与平面之间的夹角公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
咱先来说说平面与平面夹角的定义哈。
你可以想象一下，两个平面就像是两块斜着靠在一起的板子，它们之间形成的那个“角度”，就是我们要研究的夹角。
这个夹角可不是随随便便定的，得有一套严谨的规则来确定。
那平面与平面之间的夹角公式到底是啥呢？简单来说，就是通过两个平面的法向量来计算的。
法向量就像是平面的“小卫士”，站得笔直，指向平面的特定方向。
还记得我有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个调皮的小家伙一直皱着眉头，怎么都搞不明白。
我就打了个比方，我说这两个平面就像两个倔强的小朋友在争地盘，法向量就是他们各自的“底气”。
咱们通过比较这两个“底气”的方向和大小，就能算出他们争的这块“地盘”的角度啦。
这小家伙一听，眼睛一下子亮了起来，好像突然开窍了。
咱们具体来看看公式啊。
假设平面α的法向量是 n1=(A1,B1,C1)，平面β的法向量是 n2=(A2,B2,C2)，那这两个平面的夹角θ的余弦值就等于 |n1·n2| / (|n1|·|n2|) 。
这里的“·”表示向量的点乘。
可别被这些字母和符号吓到，其实就是一些简单的运算。
比如说，给你两个平面，一个平面方程是 2x + 3y - z = 5，另一个是x - y + 2z = 3 。
那我们先分别找出它们的法向量，第一个平面的法向量n1=(2, 3, -1)，第二个平面的法向量 n2=(1, -1, 2) 。
然后按照公式，先算点乘 n1·n2 = 2×1 + 3×(-1) + (-1)×2 = -3 。
再算模长|n1| = √(2² + 3² + (-1)²) = √14 ，|n2| = √(1² + (-1)² + 2²) = √6 。
两平面夹角余弦值
两平面夹角余弦值
平面夹角余弦值，也叫作夹角余弦定理，是一种用来衡量两个平面的夹角的测量方法。
它可以用来度量两个平面的角度，这些角度用于研究物理学、几何学等相关领域。
1、什么是平面夹角余弦值？
平面夹角余弦值是用来衡量两个平面夹角大小的测量方法，它是一种基于余弦定理的测量方法，可以用角度度量和比较两个平面夹角的大小。
2、如何使用夹角余弦值？
（1）使用平面夹角余弦值，首先要定义两个要测量的平面，每个平面都必须有特定的起始点和结束点；
（2）用一条直线分别连接两个平面的起始点和结束点，然后用角度代替这条直线，将这个角度转换为平面夹角余弦值；
（3）将得到的数值转换成小数，这个小数就是平面夹角余弦值，它可以反映这两个平面的夹角大小。
3、夹角余弦值的应用
（1）平面夹角余弦值可以在几何学中用来衡量和比较两个平面夹角之间相互作用的大小，例如计算向量的夹角；
（2）在工程学中也用夹角余弦值测量两个结构或者零件之间的夹角；
（3）在物理学中，夹角余弦值也可以用来度量和比较物体在三维空间中的角度，例如描述直线、圆弧和椭圆的夹角大小等等。
总之，平面夹角余弦值是一种用来衡量两个平面的夹角的方法，使用此测量方法可以精确地度量和比较几何学、物理学和工程学中两个相关物体之间的角度。
平面与平面所成夹角的范围
平面与平面所成夹角的范围你知道平面和平面之间是怎么相互“对话”的吗？它们是通过夹角来表达自己对彼此的看法的！看起来有点抽象对吧？但想象一下两个大平面，像是你家客厅的地板和墙壁。
它们的交点，就是一个角。
我们常常说“角度”这个词，其实就是在讲这两块“平面”之间的关系。
你要说夹角的范围是什么嘛，其实也没啥复杂的，简单来说，就是它们之间的角度从0°到90°之间变化的那个范围。
而且这个范围是可以很灵活的！我们不说“死角”，也不是“固定的死板角度”，毕竟几何的世界可没这么简单。
你就想，平面和平面之间，最小的夹角就是0°，那就像你跟朋友在一起完全不吵架，心意完全一致、和和气气地待在一起一样，简直是和谐得不能再和谐了。
说到这个0°，不就是两者完全重合在一起吗？像两条平行线，不会有任何交集，简直是“心有灵犀”。
你看，这个0°的情况，完全是零摩擦、绝对合作。
但这只是其中的一种可能，它只是最极端的一个例子而已。
反过来说，如果角度越来越大，两个平面“心生分歧”的时候，它们就开始逐渐偏离，感觉就像两个人刚开始还勉强聊得来，到后来话题越来越远，甚至有些地方开始不和谐了。
夹角增大的时候，就从0°慢慢发展到45°、60°、70°，一直到90°。
这个90°，就像是朋友之间突然大吵一架，完全分开，什么都不能再说了，互不相干！这90°就有点儿像我们说的“关门打狗”那种局面，完全不想再搭理对方了。
也许你觉得90°已经很极端了，觉得“哇，已经够大了”。
但这个角度并不是终点。
为什么呢？因为几何里还有更大的范围！你想啊，两个平面如果角度超过90°，就变成了锐角和钝角的组合。
实际上，平面之间的夹角最大也不过是180°，也就是两者在“完全倒过来”的状态下完全分开，完全成了对立的两方。
你可以想象成，两个巨大的平面就像是两只巨大的船，各自有着不同的航线，朝着各自的方向航行，碰撞不可能发生。
俩平面夹角余弦值公式
俩平面夹角余弦值公式在我们学习数学的旅程中，有一个挺重要的知识点，那就是俩平面夹角余弦值公式。
还记得我当年读高中的时候，有一次数学课上，老师在讲这个知识点。
那天天气有点热，教室里的风扇呼呼地转着，但大家的注意力都在黑板上。
老师在黑板上画了两个相交的平面，一边画一边说：“同学们，看好啦，这就是两个平面，咱们要找它们夹角的余弦值。
”老师的粉笔在黑板上“吱吱”作响，他写下了公式：cosθ = |n1·n2| / (|n1|×|n2|) ，其中 n1 和 n2 分别是两个平面的法向量。
看着这个公式，一开始我也是一头雾水，心里想：“这啥呀，这么复杂！”可老师很有耐心，他开始给我们一步一步地解释。
他说：“法向量就像是平面的‘指挥官’，通过它们我们就能算出夹角的余弦值。
”然后他举了个例子，假设一个平面的法向量是（1，2，3），另一个是（4，5，6），然后带着我们一起计算。
我当时跟着老师的思路，在本子上不停地写写算算。
算着算着，突然就好像“开窍”了一样，明白了其中的道理。
那之后，每次遇到有关平面夹角的问题，我都会想起那堂课，想起老师认真讲解的样子。
其实在实际生活中，这个公式也有它的用武之地呢。
比如说建筑设计，建筑师们在设计高楼大厦的时候，不同的墙面就可以看作是不同的平面，如果要计算它们之间的角度关系，这个公式就能派上用场啦。
再比如在游戏开发中，特别是那些 3D 游戏，游戏场景里的各种平面和角度的计算，也离不开这个公式。
想象一下，游戏里那些逼真的场景，山的斜坡、房屋的屋顶，它们角度的设定说不定就是通过这个公式计算出来的。
还有在机械制造中，零件的设计和组装，也需要准确计算平面之间的夹角，以确保零件能够完美契合，机器能够正常运转。
回到学习中，要真正掌握这个公式，不能只是死记硬背，得理解它的原理。
要多做练习题，通过实际的运算来加深对它的理解和运用能力。
比如说，给你两个平面方程，你要能快速地找出它们的法向量，然后代入公式进行计算。
几何法求面面夹角
几何法求面面夹角1.引言1.1 概述几何法求解面面夹角是一种用几何学原理来计算两个平面之间夹角的方法。
在三维空间中，平面是一个无限延伸的二维表面，由无数个点构成。
而面面夹角则是指两个平面之间的夹角大小。
几何法求解面面夹角的思路基于平面的特性，通过考察平面上的特定线段或者角度，可以推导出两个平面之间的夹角值。
这种方法是一种直观、准确的求解方式，适用于不同形状和方位的平面之间的角度计算。
在计算过程中，几何法求解面面夹角需要明确平面的方程或者法向量信息。
通过对两个平面的方程或者法向量进行分析，可以得到它们之间的夹角。
在这个过程中，我们可以运用向量的点乘和模长运算，结合平面几何性质如平行、垂直等关系，推导出两个平面之间的夹角公式。
几何法求解面面夹角在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在计算机图形学中，我们需要处理不同平面的相交、交线等问题，几何法可以帮助我们得到准确的夹角信息。
此外，在工程设计中，几何法也能够为我们提供平面布置、空间定位等方面的参考。
通过深入学习几何法求解面面夹角的定义及其计算方法，我们可以更好地理解平面之间的关系，并能够灵活运用这一知识解决实际问题。
下文将详细介绍几何法求解面面夹角的定义和计算方法，以及其在实践中的应用优势和未来发展前景。
1.2文章结构文章结构部分的内容：本文主要分为三个部分，分别是引言、正文和结论。
在引言部分，我们将对本文的主题进行概述，并介绍文章的结构以及目的。
首先，我们将简要介绍几何法求面面夹角的概念和重要性，以引起读者的兴趣。
接着，我们将详细描述文章的结构，说明各个部分的内容和目标。
最后，我们明确本文的目的，即希望能够全面介绍几何法求面面夹角的定义和计算方法，总结其优势，并展望其未来的发展前景。
在正文部分，我们将首先给出几何法求面面夹角的定义，详细阐述其基本概念和相关理论。
我们将介绍面面夹角的几何意义和重要性，并探讨其在实际应用中的作用。
然后，我们将详细介绍几何法求面面夹角的计算方法，包括具体的步骤和公式推导。
面面角和二面角的取值范围
面面角和二面角的取值范围
面面角和二面角是在几何学和三维空间中经常遇到的概念。
面面角是指两个平面之间的夹角，而二面角则是指两个相邻平面的夹角。
它们的取值范围在数学和工程中有着重要的应用。
首先，让我们来看一下面面角的取值范围。
在三维空间中，两个平面之间的夹角取值范围通常是0到180度之间。
当夹角为0度时，表示两个平面重合，夹角为180度时，表示两个平面平行但不重合。
在实际应用中，面面角的取值范围可以通过各种几何和三角函数来计算和描述。
而对于二面角来说，它的取值范围也是在0到180度之间。
二面角的概念常常出现在立体几何中，比如在多面体的边界上。
它的取值范围也可以通过几何和三角函数来描述和计算。
在工程和建筑领域中，面面角和二面角的取值范围对于设计和测量都是非常重要的。
工程师和设计师需要准确地计算和控制这些角度，以确保建筑结构的稳定性和美观性。
总之，面面角和二面角的取值范围在数学和工程中都有着重要
的应用。
对于几何学和三维空间的研究和实际应用来说，理解和掌握这些角度的概念和取值范围是至关重要的。
平面与平面夹角的正切值公式
全部作文
平面与平面夹角的正切值公式
平面与平面夹角的正切值公式（Tan）是用来表示两个平面夹角的正切值，也就是当两个平面夹角的正切值为1时，它们之间的夹角为45°。
它是一个有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间夹角的大小。
正切值公式的基本原理是，如果两个平面夹角的正切值为1，那么它们之间的夹角就是45°。
另外，如果两个平面夹角的正切值为0，那么它们之间的夹角就是0°。
此外，如果两个平面夹角的正切值大于1，那么它们之间的夹角就会大于45°；如果两个平面夹角的正切值小于1，那么它们之间的夹角就会小于45°。
正切值公式可以用来计算任意两个平面之间夹角的大小，只要知道它们之间正切值就可以。
此外，正切值公式还可以用来解决其他各种角度和距离的问题，比如两条直线的夹角和距离，这些都可以用正切值公式来计算。
总之，平面与平面夹角的正切值公式是一个很有用的数学公式，可以用来计算两个平面之间的夹角大小，也可以用来解决其他各种角度和距离的问题。
二面角夹角公式
二面角夹角公式二面角夹角公式是在平面几何中常用的一个公式，用于计算两个平面的夹角。
在解决实际问题中，二面角夹角公式可以为我们提供很大的帮助和指导。
二面角夹角公式的推导过程相对比较复杂，不过在此我将简化说明。
首先，我们需要了解什么是二面角。
二面角是由两个平面所夹成的角，其大小通常用角度来表示。
在三维空间中，我们常常遇到两个平面相交的情况，这时就涉及到了二面角的计算。
设平面P₁和平面P₂相交于直线L，我们可以通过两个平面在直线L 上的法线向量来计算二面角。
设平面P₁的法线向量为n₁，平面P₂的法线向量为n₂，那么二面角夹角θ可以通过以下公式计算得到：cosθ = |n₁·n₂| / |n₁||n₂|其中，|n₁·n₂|表示向量n₁和n₂的点乘结果，|n₁|和|n₂|分别表示向量n₁和n₂的模。
注意，这里的点乘是指向量的数量积，表示两个向量的夹角的余弦值。
通过这个公式，我们可以计算出两个平面的夹角θ。
这个公式的应用非常广泛，可以用于解决很多实际问题。
在物理学中，二面角夹角公式常常用于计算光的折射。
当光线从一个介质进入另一个介质时，由于介质的折射率不同，光线会发生偏折。
偏折的角度可以通过二面角夹角公式来计算。
这个公式为我们提供了一个重要的工具，可以帮助我们理解和解决光的折射问题。
在建筑学中，二面角夹角公式可以用于计算建筑物的朝向和采光。
通过计算建筑物的朝向和周围环境的夹角，我们可以确定建筑物的采光情况，从而优化建筑物的设计和布局。
在航空航天领域，二面角夹角公式可以用于计算飞行器的姿态和轨道。
通过计算飞行器所处的平面和参考平面的夹角，我们可以确定飞行器的姿态，从而控制飞行器的飞行方向和姿态。
在计算机图形学中，二面角夹角公式可以用于计算三维模型的旋转和变换。
通过计算两个平面的夹角，我们可以确定三维模型的旋转角度和变换方式，从而实现模型的动画和变换效果。
二面角夹角公式在平面几何中起着重要的作用。
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作业： P104 5(3) (6)、8、9
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§3.2 平面与点的相关位置 §3.3 两平面的相关位置
教学时数： 2课时 教学重点：点到平面的距离、两平面的位置关系； 教学难点：1.离差的概念和应用；
2.两平面的位置关系。 教学目标：
1.理解离差的概念； 2.掌握点到平面的距离公式； 3.熟悉两平面的位置关系的充要条件； 4.培养学生的空间想象能力。
第三章 平面与空间直线
§3.1 平面的方程 §3.2-3 平面与点 两平面的相关位置 §3.4 空间直线的方程 §3.5-6 直线与平面 直线与点的相关位置 §3.7 空间两直线的相关位置 §3.8 平面束
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第三章 平面与空间直线 教学安排说明
教学时数：12课时 本章教学目标及要求：通过本章的学习，使学生掌握空间坐标 系下平面、直线方程的各种形式，熟练掌握平面与空间直线间各种 位置关系的解析条件，会求平面与空间直线间各种距离和夹角。 本章教学重点：1.空间坐标系下平面 、直线方程的几种重要形 式；2. 平面与空间直线间各种位置关系的解析条件；3.平面与空间 直线各种度量关系的量化公式。 本章教学难点：1. 空间直线一般方程向标准方程的转化；2. 综 合运用位置关系解析条件求平面、空间直线方程。
15
二、平面的法式方程
1、向量式法式方程
uuur
若M
0
是自O ur
向
所作垂线的垂足 P，
uuur
uuur
的法向量取与OP同 ur
向的单位向量n0, 并设 | OP | p，则OP pn0，故平面 的方程
uur r ur
ur r
是：n0 (r pn0 ) 0, 即 n0 r p 0, 叫平面 的向量式法式方程。
则：r r1 u(r2 r1) v(r3 r1)。
x x1 y y1 z z1
即 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0.
x3 x1 y3 y1 z3 z1
7
5、截距式方程
设平面与 x, y, z 三轴分别交于 P(a,0,0), Q(0,b,0),
R(0,0,c) （其中 a 0,b 0,c 0 ），求此平面方程。
2
§3.1 平面的方程（1）
教学时数： 2课时 教学重点：平面方程的应用； 教学难点：1.平面的一般方程；2.平面基本定理。 教学目标：
1.理解平面的概念； 2.掌握平面方程的求法； 3.熟悉平面的基本定理； 4.培养学生的空间想象能力。
返回 3
一、由一点和方位向量确定的 平面方程
方位向量：不共线且与平面 平行的两向量
返回 19
复习
1.平面的点法式方程 A(xx0 )B( y y0 )C(zz0 ) 0. ur r
2.向量式法式方程 n0 r p 0. 3. 坐标式法式方程 x cos y cos z cos p 0
特点: ①一次项系数为单位向量的分量,即平方和等于1；
② p是原点O到平面 的距离，常数项 p 0.
X 2 Y2
Z2
6
由一点和方位向量确定的平面方程
4、三点式方程
建立过不共线的三点Mi (xi , yi , zi ) ，( i 1, 2, 3)的
平面方程。
ur uuur
r ur ur
r
设 ur
urri
=OM
i
{xi ,
yi ,
zi }(
i
1, 2,3),取a r uuur
r2
r1，
b r3r r1r为平r面的r 方位r向量r ，令r=OM ={x, y, z},
X 2v, Y2 v,
z z0 Z1 u Z2 v,
(u, v是参数) 叫平面的坐标式参数方程。
3、点位式方程
r ur r r
r r r ur r r
方程 r r0 ua vb 两边点乘(ab)得 (r r0, a, b) 0，
x x0 y y0 z z0 即 X1 Y1 Z1 0，叫平面的点位式方程。
4.一般方程化为法式方程：
在一般方程两边同法式化因子 1 / A2 B2 C 2。
结束 20
一、点到平面的距离
平面与点的相关位置有两种情况：即点在平面上和
点不在平面上，重点讨论点不在平面上的情况。
1. 离差的定义：从点M
uuuuur
uur
0
向平面
引垂线，垂足为Q，
向
量QM
0
在的单位法向量 uuuuur
A 0,可写成 A2(x D) ABy ACz 0, 凑成： B A 0 0
A
C 0 A
9
平面一般方程的讨论
表示由点M
0
(
D
A
,
0,
0)
和不共线向量 B, A, 0 和
C,0, A所确定的平面。于是有：
平面基本定理：在空间坐标系下，任意平面的方程都
可表为三元一次方程，反过来任一个三元一次方程都表示
定义：与平面垂直的非零 向量，叫该平面的法向量．
已知平面上的点M0 (x0, y0, z0 )和 它的法向量nr {A, B, C}, 求平面方程.
Z
M0
r n
M
O
解: 设M (x, y, z)为平面上任一点， X
Y
uuuur r uuuur r
uuuur
则M M 0
n
MM 0
n
0.Q
MM 0
{x
{x0,
y0 ,
z0}，则Muuu0uMur
rr 与a 、b 共面
r r
ur r0
r ua
r vb
r ur r r r r0 ua vb (u、v是参数)
叫平面 的向量式参数方程。
5
由一点和方位向量确定的平面方程
2、坐标式参数方程
rr 将a、b
的坐标代入上式得
：
x y
x0 y0
X1u Y1 u
X 2 Y2 Z2
x3 x1 y3 y1 z3 z1
5.截距式方程 x y z 1。 abc
二、平面的一般式方程
1. Ax By Cz D 0. 2.平面基本定理：在空间任意平面的方程都可表为三元一次
方程，反之任一个三元一次方程都表示一个平面。
3.平面一般方程的讨论：
转18 14
一、平面的点法式方程
r
r
a {X1, Y1, Z1}、b {X 2 , Y2 , Z2}，叫平面的一组方位
向量。已知平面上的一点及其方位向量，可以确
定它的方程。
4
由一点和方位向量确定的平面方程
1.向量式参数方程
r uur
设M (x0 , y0 , z0 )是上的动点，则 r =OM {x, y, z} ,
ur uuuur r0 =OM0
2、坐标式法式方程
r
uur
设r {x, y, z}、n0 {cos，cos , cos }，则有x cos y cos
z cos p 0，叫平面 的坐标式法式方程，简称法式方程。
特点: ①一次项系数为单位向量的分量，即平方和等于1；
② p是原点O到平面 的距离，常数项 p 0.
16
3、一般方程化为法式方程
M0
到
的距离 uur r
d
|
|。
定理：点M
与平面
0
n0
r
p
0 的离差为
n0 r
p.
ur r
（对方程左边用 r0 代替 r 即得）
uuuur uur
uuuur uur uuur uur uuuur uur
证:
射影
uur n0
QM0 = | n0
| 射影
uur n0
QM 0
n0 QM
n0 (OM0
号，即取D的相反号。一般方程化为法式方程的过程叫
法式化，选定符号后的 叫法式化因子。
17
小结
例1、把平面的方程 3x 2y 6z 14 0 化为法式方程， 求自原点指向平面的单位法向量及其方向余弦，并求原点 到平面的距离。
例2. 求过点 (1, 1, 1) 且垂直于平面 x y z 0 , 3x 2y 2z 5 0 , 的平面方程.
解: nr1 {1, 1,1}, nr2 {3, 2, 12}, 取法向量 nr nr1 nr2 {10, 15, 5}, 所求平面方程为：10(x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0, 即：2x 3y z 6 0.
小结: 1.点法式； 2.法式；3.一般方程化法式方程。
一个平面。称它是平面的一般方程。
1. D 0 平面过原点;
2. A,
B, C 之一为 0, 如 C 0 :
① D 0时平行于 z 轴； ② D 0时，经过 z 轴.
3.
A,
B,C
中两个为0,如B
C
0:①②
D0 时平行于 yoz面； D=0 时，经过 yoz面.
10
例1
例1. 求平行于平面6x y 6z 5 0，而与三个坐标面
在直角坐标系下，若 的方程为 Ax By Cz 0，则
r
n {A, B, C}是 的法向量，而法式方程中的一次项系数 是 的一特殊单位法向量分量。故将一般方程化为法式 方程只需在一般方程两边同乘因子 1/ A2 B2 C2， 即： Ax By Cz D 0, 再根据D 0选取的符
x0 ,
y
y0 , z
z0}，
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0,叫平面的点法式方程.
记 D ( Ax0 By0 Cz0 )，则有：Ax By Cz D 0。
可见： 的一般方程 Ax By Cz D 0中的变量系数