1函数项级数的一致收敛性

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函数列与函数项级数

§1. 函数项级数的一致收敛性

1. 讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性:

⑴ ()n f x =

,(,);x ∈-∞+∞

⑵ ()sin

,n x f x n

=

i) (,),x l l ∈- ii) (,);x ∈-∞+∞ ⑶ (),1n nx f x nx =+ (0,1);x ∈ ⑷ 1(),1n f x nx

=

+

i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞

⑸ 2

233

(),1n n x

f x n x

=

+

i) [,),0,x a a ∈+∞> ii) (0,);x ∈+∞ ⑹ (),1n nx f x n x

=

++ [0,1];x ∈

⑺ (),1n n n

x

f x x

=

+

i) [0,],1,x b b ∈< ii) [0,1];x ∈ iii) [,),1;x a a ∈+∞>

⑻ 2(),n n

n f x x x =- [0,1];x ∈

⑼ 1

(),n n n f x x x +=- [0,1];x ∈

⑽ ()ln

,n x x f x n n

= (0,1);x ∈

⑾ 1()ln(1),nx

n f x e n

-=

+ (,);x ∈-∞+∞

⑿ 2

()(),x n n f x e --=

i) [,],x l l ∈- ii) (,)x ∈-∞+∞ . 2. 设()f x 定义于(,)a b ,令

[()]

()n nf x f x n

=

(1,2,)n =⋅⋅⋅.

求证:{()}n f x 在(,)a b 上一致收敛于()f x . 3. 参数α取什么值时,

(),nx

n f x n xe

α

-= 1,2,3,n =⋅⋅⋅

在闭区间[0,1]收敛?在闭区间[0,1]一致收敛?使10

lim ()n n f x dx ->∞

可在积分号下取极

限?

4. 证明序列2

()nx n f x nxe -=(1,2,)n =⋅⋅⋅在闭区间[0,1]上收敛,但

1

100

lim ()lim

().n n n n f x dx f x dx ->∞

->∞

≠⎰

5. 设{()}n f x 是[,]a b 上的连续函数列,且{()}n f x 在[,]a b 一致收敛于()f x ;又

[,]n x a b ∈(1,2,)n =⋅⋅⋅,满足0lim n n x x ->∞

=,求证 0lim ()().n n n f x f x ->∞

=

6. 按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性:

⑴ 0

(1), [0,1];n n x x x ∞

=-∈∑

⑵ 12

2

1

(1)

, (,)(1)

n n

n x

x x -∞

=-∈-∞+∞+∑

.

7. 设()n f x (1,2,)n =⋅⋅⋅在[,]a b 上有界,并且{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛,求证:

()n f x 在[,]a b 上一致有界.

8. 设()f x 在(,)a b 内有连续的导数()f x ',且

1()[()()],n f x n f x f x n

=+

-

求证:在闭区间[,]αβ()a b αβ<<<上,{()}n f x 一致收敛于()f x '. 9. 设1()f x 在[,]a b 上黎曼可积,定义函数序列

1()()x n n a

f x f t dt +=

(1,2,)n =⋅⋅⋅

求证:{()}n f x 在[,]a b 上一致收敛于零.

10. 设{()}n f x 在(,)a b 内一致收敛于()f x ,0(,)x a b ∈且

lim (),n n x x f x a ->= (1,2,)n =⋅⋅⋅.

证明:lim n n a ->∞

和0

lim ()x x f x ->存在且相等,即

0lim lim ()lim lim ()n n n x x x x n f x f x ->∞->->->∞

=.

11. 讨论下列函数项级数的一致收敛性:

1 (,);n x ∞

=∈-∞+∞∑

⑵ 42

1

, (,);1n x

x n x

=∈-∞+∞+∑

⑶ 22

1(1)(1)

, [0,);n

nx

n e

x n x

-∞

=--∈ +∞+∑

⑷ 1sin , (2,);2n

n nx x x ∞

=∈-+∞+∑

⑸ 5

21, (,);1n nx

x n x

=∈-∞+∞+∑

2

11),

||2;2

n n

n x x

x ∞

-=+≤ ≤∑

⑺ 21

, [0,);nx n x e x ∞

-=∈+∞∑

⑻ 1ln , [0,1];!

n n

n x x x n ∞

=∈∑

2

, (,);n x ∞

=∈-∞+∞∑ ⑽ 1

, ||1;n

n n x r x

=≥>∑

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